- 1 名前：１３２人目の素数さん [2015/06/28(日) 21:02:20.15 ID:sWAQFjLV.net]
- 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その15
wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1415660285/
- 910 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/20(土) 15:43:54.07 ID:DeDh3mAU.net]
- ￥
- 911 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/20(土) 15:44:11.65 ID:DeDh3mAU.net]
- ￥
- 912 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/20(土) 15:44:31.83 ID:DeDh3mAU.net]
- ￥
- 913 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/20(土) 16:35:09.59 ID:vZ7CIX4k.net]
- >>869
上でも書かれてるけど、x∈Xiに対して
順序対(x, i)を対応させる。すると i が違えば
違う元になるから良い。
こういう事を考えないといけないというのは
正しくて、キチンとやる人はこういう行間を
自分で埋めている。
因みにこういうものの集まりを集合として
考えていい事は対の公理とか冪集合の公理とか
分離公理とかの集合論のから出て来る。
- 914 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/20(土) 16:51:43.33 ID:DeDh3mAU.net]
- ￥
- 915 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/20(土) 17:57:45.04 ID:DeDh3mAU.net]
- ￥
- 916 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/20(土) 19:03:27.57 ID:9TVbDO6E.net]
- >>870
ありがとうございます。
X_i ～ X_i×{i}
とすれば、
∪_{i∈I} X_i×{i}
X_i×{i} ∩ X_j×{j} = ∅
になりますね。
I が可算集合の場合には、
>>865
のやり方で、
∪_{i∈I} X_i から ∪_{i∈I} X_i×{i} への単射が存在することが分かります。
I が非可算集合の場合にはどうしたらいいのか分かりません。
- 917 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/20(土) 19:04:25.73 ID:9TVbDO6E.net]
- >>882
ありがとうございます。
- 918 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/20(土) 19:06:33.57 ID:9TVbDO6E.net]
- 訂正します：
X_i ∋ x → (x, i) ∈ X_i×{i}
とすれば、
X_i ～ X_i×{i} が成り立ち、
X_i×{i} ∩ X_j×{j} = ∅
になりますね。
I が可算集合の場合には、
>>865
のやり方で、
∪_{i∈I} X_i から ∪_{i∈I} X_i×{i} への単射が存在することが分かります。
I が非可算集合の場合にはどうしたらいいのか分かりません。
- 919 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/20(土) 19:06:46.39 ID:ZLAF0ECK.net]
- ￥が誰に粘着しているか何となく分かってきた
- 920 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/20(土) 19:09:22.31 ID:9TVbDO6E.net]
- >>882
>因みにこういうものの集まりを集合として
>考えていい事は対の公理とか冪集合の公理とか
>分離公理とかの集合論のから出て来る。
そのあたりは難しそうですね。
微分積分の教科書を読むことが目的なので、
あまり深入りしないようにします。
- 921 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/20(土) 19:36:15.15 ID:DeDh3mAU.net]
- ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5585
> うるさい
>
> >>5586
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5587 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
>
> ￥
>
- 922 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/20(土) 19:46:43.07 ID:WLuQoRQT.net]
- >>888
リツイート
- 923 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/20(土) 19:54:43.12 ID:DeDh3mAU.net]
- ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5585
> うるさい
>
> >>5586
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5587 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
>
> ￥
>
- 924 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/20(土) 23:47:31.73 ID:hgsNHuxJ.net]
- >>842
形式化しようと思えば出来るけど、したところで循環になるだけだから
何か目的があるとき以外はわざわざ考えないというだけじゃないかと。
形式体系に関する形式的・統辞論的なメタ推論はＰＲＡで形式化されると
いうことになっているんじゃないかな。
- 925 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/20(土) 23:57:16.55 ID:hgsNHuxJ.net]
- 「何か目的があるとき」というのは例えばゲーデルの不完全性定理を示すときね。
形式体系についてのメタ推論を形式体系の中に形式化するという
循環を積極的に使っている良い例。
- 926 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/21(日) 00:01:17.93 ID:e09Ud/XI.net]
- >>836
>遺伝的有限集合の理論と
>弱い算術は無矛盾等価であり
たしか同値性の証明は指数関数を使う必要があって、
弱い帰納法しか認めない立場では証明できないんじゃなかったっけ？
- 927 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/21(日) 17:19:53.95 ID:j0SFTE+w.net]
- どなたかご存知の方へ
公理体系に対するものではなくて自然演繹に対する完全性定理について
書かれてる本や資料はありませんか？
- 928 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 18:07:57.53 ID:hQHvAN9V.net]
- ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5585
> うるさい
>
> >>5586
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5587 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
>
> ￥
>
- 929 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:25:36.80 ID:hQHvAN9V.net]
- ￥
- 930 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:25:53.39 ID:hQHvAN9V.net]
- ￥
- 931 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:26:11.77 ID:hQHvAN9V.net]
- ￥
- 932 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:26:28.88 ID:hQHvAN9V.net]
- ￥
- 933 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:26:45.88 ID:hQHvAN9V.net]
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- 934 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:27:01.65 ID:hQHvAN9V.net]
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- 935 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:27:25.81 ID:hQHvAN9V.net]
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- 936 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:27:45.33 ID:hQHvAN9V.net]
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- 937 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:28:02.46 ID:hQHvAN9V.net]
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- 938 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/21(日) 19:28:22.74 ID:hQHvAN9V.net]
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- 939 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/21(日) 22:38:14.30 ID:6wqZg5Uz.net]
- >>894
ほかにも、巨大基数間の無矛盾不等価性を示すのに
弱い理論での証明可能性を強い理論の内部で形式化する必要がある。
もっとも最後には第二不完全性に訴えるんだけどな。
>>895
「弱い算術」というのは「ＰＡより弱い算術」という意味では？
I\Sigma_n でも PRA でも EFA でも、指数関数はあっても
「弱い算術」と呼ばれると思う。
- 940 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/21(日) 22:50:19.06 ID:NsUdXUDo.net]
- 指数関数を含むかどうかが哲学的に問題になることがあるんですか？
- 941 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/21(日) 23:09:40.34 ID:pB5DUCqs.net]
- 知らんけど加法と乗法があって帰納法が許されてれば指数関数は自ずから含まれることになるんだよね？
- 942 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/21(日) 23:39:43.11 ID:vUBjAEdn.net]
- >>909
よくは知らないけど可述算術では問題になるらしい（以下参照）
researchmap.jp/?action=cv_download_main&upload_id=79018
>>910
「加法と乗法があって帰納法が許されてれば」それはもうPAでしょ。
弱い算術というにはそれらの内どれかを弱めないと。
- 943 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 17:16:14.21 ID:lgqewHmS.net]
- >>908
「無矛盾不等価性」って初耳だわ。英語だと inequiconsistency とかいうの？
- 944 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 18:39:04.69 ID:1HR7Y5ba.net]
- 可述性についてはS. Fefermanがいろいろやってたね。
こないだ亡くなってしまったけど。
>>896
何が聞きたいかよく分からないけど、
取り敢えず「公理体系」と「自然演繹」を
そういう風に対比させるのはかなり変だよ
- 945 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 19:13:45.11 ID:p+D++n6c.net]
- >>913
>>896が言いたいのは、自然演繹の述語論理について直接完全性定理を証明している本ってことだろう
じぶんには思い当たらんが
- 946 名前：895 [2016/08/22(月) 19:43:32.94 ID:Uc0mTaes.net]
- >>914
その通りです
- 947 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/22(月) 22:22:12.82 ID:q01q4Ck8.net]
- ￥
- 948 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/22(月) 22:59:19.42 ID:q01q4Ck8.net]
- ￥
- 949 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/22(月) 23:50:10.36 ID:y+29FdtR.net]
- >>913
>>911のリンクにあるのは Nelson の可述性であって、
Feferman の可述性では指数関数なんて問題にならないでしょ。
無限基数の冪は問題にするけれど。
用語に惑わされちゃだめだよ。
- 950 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/23(火) 02:38:08.83 ID:IXoC4cpB.net]
- 限定算術はNelsonだけが問題にしてるんじゃないよ
- 951 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/23(火) 03:54:23.45 ID:uEyNqobm.net]
- >>919
何か読み違えてないか？
- 952 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/23(火) 04:58:16.43 ID:sMBv9oDu.net]
- >>918
> Feferman の可述性では指数関数なんて問題にならないでしょ。
Fefermanが可述的だって主張してる概念が�
- 953 名前：ﾀは思いっきり非可述的だって竹内外史が書いてた記憶が、、、 []
- [ここ壊れてます]
- 954 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/23(火) 05:31:48.29 ID:25kBnNnt.net]
- >>915
そういう意味であれば、例えばvan Dalanの
Logic and Structureという教科書が、
シンタックスとしては自然演繹を採用した上で
完全性定理を証明している。
この流儀の教科書は、⇒の導入の時の仮定のdischargeの
取り扱いとかが面倒そうなので少ない。
戸次の数理論理学とかにあるように
自然演繹もシーケント計算もヒルベルトスタイルの
公理系も証明能力は同じだから、どの体系で証明しても
実際は構わないんだけどね。
- 955 名前：895 [2016/08/23(火) 20:49:23.53 ID:j6M40jGB.net]
- >>922
ありがとうございます
いろいろ調べてみて戸次先生の本のことを知って購入しました
VAN DALENの方も見てみたいと思います
- 956 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/23(火) 23:22:21.52 ID:HE8To2ZA.net]
- >>921
同じ「可述的」という言葉でも
論者ごとに意図しているものはてんで別物だからね。
- 957 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 00:23:26.62 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 958 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/24(水) 10:01:04.82 ID:xmkG2Cy4.net]
- age
- 959 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 10:58:01.11 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 960 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 10:58:16.76 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 961 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 10:58:34.82 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 962 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 10:58:54.07 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 963 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 10:59:09.86 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 964 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 10:59:28.14 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 965 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 10:59:44.51 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 966 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 11:00:01.26 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 967 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 11:04:20.99 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 968 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:sage [2016/08/24(水) 11:04:38.66 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 969 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/24(水) 13:19:33.45 ID:JRjd8fpz.net]
- ￥が健全ならば ￥+痴漢公理 も健全である
- 970 名前：￥ ◆2VB8wsVUoo mailto:age [2016/08/24(水) 14:38:22.24 ID:Ygo7U3hv.net]
- ￥
- 971 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/24(水) 23:41:23.16 ID:fzqG9Jbt.net]
- 今年のサマースクールもおもしろそうだね
このスレ的にはモデル理論はあんまりはやってないみたいだけど
- 972 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/25(木) 20:02:26.09 ID:FX8Vk6AB.net]
- 今回のサマースクールは、連絡先とかも特に何も
設けてないようだし、気の知れた知り合いだけで
やりたいんじゃないの？
多分面識の無い人が行っても、
「何この人…呼んでないんですけど……」
とかいう感じだと思うけど。
数論幾何の専門家とかなら歓迎される可能性も
あるけど。多分、神戸で哲学とかの屑が集まったから、
今後はそういう有象無象はお断りという事なんだろうな。
- 973 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/25(木) 20:39:56.06 ID:zT7qIp4C.net]
- >>940
なになに？お前面白い話できそうだな
基礎論クラスタのそういう感じとか、数学徒と哲学徒が喧嘩する話とか聞かせてくれよ
- 974 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/25(木) 21:15:32.30 ID:JfC8VJFC.net]
- 屑だと？
- 975 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/27(土) 02:10:21.70 ID:zhSfXoBD.net]
- 逃げちゃったよﾂﾏﾝﾈｰ
- 976 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/27(土) 02:14:25.01 ID:UaaYeQYH.net]
- 今月に入って異常な言動する奴が居着いてしまった
- 977 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/27(土) 21:44:02.31 ID:WjQGYkZa.net]
- >>909
亀レスで申し訳ないが、Wrightらの新フレーゲ主義では
指数関数のない限定算術が重要になってくる。
フレーゲの論理主義の文脈では、数は集合の等濃性による同値類なので、
和と積は、それぞれ（排他的）和とデカルト積として再現できる。
ところが冪は関数全体に対応するけれど
関数一つ一つが二階の対象なので
関数全体を考えるには2階の範囲を越えてしまう。
- 978 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/28(日) 23:24:53.85 ID:JYe
]
- [ここ壊れてます]
- 979 名前：qlpWz.net mailto: なんか知らんが哲学的興味を持ってる住人が多いのか、ここは。 []
- [ここ壊れてます]
- 980 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/28(日) 23:39:53.38 ID:uUJRP8vd.net]
- 基礎論の専門家が何と言おうと、一般の数学者が基礎論に興味を持つとすれば、文字通りの基礎論、数学の基礎に対する興味でしょうな
- 981 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/29(月) 00:38:38.77 ID:rAcL3jJa.net]
- 基礎論の本を読んでると、
「メタ的な背理法や対偶証明」
がよく出てくるんですが・・・
これらは使っていいんでしょうか？何を根拠に？
あと、一般の数学書で基礎論にちょっと触れているものはよく
「ZFCと一階述語論理で全数学を形式的に展開できる」
などと書かれてたりしますが、
一階述語論理だけだと全数学の記述には不十分なんですよね？
二階述語論理が必要だったり。
そもそも全数学を記述できるかどうかなんて確かめようがない気がしますが。
- 982 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 08:30:36.03 ID:WfzLQxis.net]
- 命題論理の完全性定理の証明にZornの補題が出てきてしまいました。
公理的集合論の章はまだ先です。
これはなんでしょうか。
メタ的なZornの補題？
循環論法？
- 983 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 08:35:56.66 ID:Uj3gOfqE.net]
- >>949
両方
- 984 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 16:21:11.87 ID:WfzLQxis.net]
- なるほど。
- 985 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 16:25:07.24 ID:ltuicMGU.net]
- 循環論法のわけないだろ
集合論の入門書は読んだことあるはずだけど、完全性定理なんて出てこなかっただろ
- 986 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 18:14:07.73 ID:WfzLQxis.net]
- 集合論の形式化に使われている基礎論において定理の証明に集合論のZornの補題が使われるのは循環論法だと思いました。
- 987 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 18:27:59.15 ID:Uj3gOfqE.net]
- 循環論法が定義されてないからあれだけど、少し言い過ぎたかも。
公理的集合論が完全性定理に依存してる訳じゃないからな。
- 988 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 18:30:36.72 ID:WfzLQxis.net]
- と思いましたが、集合論の形式化に使われる類の述語論理の完全性定理の証明には
Zornの補題は必要ないようですね。なら別に循環論法ではないですね。
- 989 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 18:33:16.04 ID:WfzLQxis.net]
- 書き込みが被りました。すみません。
>>955 は >>953 の続きです。
- 990 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 18:33:48.05 ID:ltuicMGU.net]
- いや、そうじゃなくて…
集合論の初歩的な部分ではメタ的な考察は必要ないから、完全性定理の出る幕はないって言ってんの
- 991 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 18:52:48.59 ID:WfzLQxis.net]
- その完全性定理を完全な形で証明するためにはZornの補題のようなものが必要なんですよね
このZornの補題は何者でしょうか？
公理的集合論の公理または定理ですか
素朴集合論の公理または定理ですか
- 992 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 19:15:49.55 ID:Uj3gOfqE.net]
- それはどちらにでもできるんじゃないかと思う。けど...
- 993 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 19:31:21.72 ID:JCFq1GCR.net]
- そもそも、モデルという概念自体に
本質的に集合の概念を使ってるじゃん
メタレベルという事と
意味論を考える事は別の事だからね
- 994 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 19:44:57.32 ID:evqgj3ZF.net]
- 新スレ
数学基礎論・数理論理学 その17
rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1472553838/
- 995 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/30(火) 21:55:39.13 ID:7xIQx2l9.net]
- >>948
そういう諸々の基礎付けをするために公理を揃えて無矛盾性を示そうとして、無理だとわかったのが不完全性定理だから、背理法に限らず現在の数学に根拠はない
後者については数学の各分野について述語論理でかけることを一つ一つ確かめていくだけだから別にめんどくさいだけで、途方もないと言うほどではないんじゃないかね
- 996 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 11:12:02.07 ID:FZcqGxMx.net]
- いまどき確実な根拠の上に数学を基礎づけようとなんて誰もしていない訳で
（不完全性定理により不可能と分かったのだから）
いまは>>894辺りで言われているように循環論法を積極的に使って
新しい結果を得ていこうというのが最近の基礎論の方向性なんじゃないかな。
- 997 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 11:49:08.59 ID:0IZ71mjY.net]
- >>963
根拠付けと不完全性はそれほど関係ないだろう。
すべてを決定したいわけじゃないからな。
- 998 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 11:53:55.85 ID:0IZ71mjY.net]
- 決定不能な命題があるとか無矛盾性を証明できないとか、そんなことが「数学で用いられている論証が確かな根拠に基づいているか？」という問題意識にどう影響するのだ？
- 999 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 12:04:32.15 ID:0IZ71mjY.net]
- 影響はあるとしても一面的
- 1000 名前：１３２人目の素数さん [2016/08/31(水) 15:13:56.27 ID:iT5yR4ey.net]
- ゲーデルの不完全性定理を根拠に数学の基礎付けを諦めてるやつは半可通
- 1001 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 17:14:05.37 ID:kCoqhdSF.net]
- >>967
自分には公理的な方法以外で万人が納得する基礎付けが想像もできないんだが、他にアプローチがあるなら教えてほしい
- 1002 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 17:22:15.46 ID:GuNMEfLq.net]
- 基礎付けを無矛盾性証明の同義語と捉えてる人、いるんじゃない？
- 1003 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 21:24:23.37 ID:VWTZyeO9.net]
- >>969
現代では「基礎づけ」に様々な意味を与えているけど、
「数学基礎論」・foundations of mathematics という言葉が生まれた当初は
無矛盾性証明とほぼ同義語だったんだろうね。
- 1004 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 21:40:08.71 ID:0IZ71mjY.net]
- 無矛盾ていうのは個別の理論の性質に過ぎないわけじゃん。
もちろん自然数とか集合は数学全体の基盤に「極めて近い」からその無矛盾性が基礎付けに寄与するのはわかるけど。
- 1005 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/08/31(水) 21:48:52.73 ID:rwLn1Ka1.net]
- そうだっけ？
- 1006 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 18:11:42.06 ID:gpfrResy.net]
- ZFCが数学全体とぴったり一致はしないまでも
少なくとも数学全体を含む（形式化できる）というのは
専門家の間で合意が形成されているのでは？
その合意に異議があるということ？
- 1007 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 18:43:03.71 ID:UUcSG6Vo.net]
- >>973
ZFC以前の述語論理による証明プロセスの根拠付けのことだろう
- 1008 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/01(木) 19:41:17.36 ID:khIh13ur.net]
- 質問なんですが、本橋信義さんってトンデモなんですか？
現代論理学入門とか情報時代の論理とか論理学は数学の役に立つかとか数学的帰納法関連の本とか何冊も出してますが
このスレにおられる基礎論や数理論理学が専門の方々から見て本橋さんの論理学関連の本はトンデモなのでしょうか？
なぜ、そういう疑問を抱いたかと言うと、以前、本橋さんの本の１冊を読んだ時、「ゲーデルの不完全性定理は
計算可能性とかとは全く関係ない。他方、完全性定理は計算可能かどうかと深く関わっている」という趣旨のことが書かれているのを
見たからです。（多分、岩波からの『現代論理学入門』だったと思います）
自分は基礎論とかは素人で趣味で勉強しているだけですが、ゲーデルの不完全性定理の証明（例えば林先生が訳された
岩波文庫の）を読むと、証明（というか論理体系の構文的な側面）に関する諸概念を自然数とその上の原始再帰関数として
エンコードして扱おうとしているように見えて、従って不完全性定理は計算可能性の概念と深く関わっていると感じ、
他方、ゲーデルの述語論理の完全性定理が主張している内容およびその証明は計算可能性とは全く無関係に感じたからです。
でも素人なので自分の判断は間違っているかも知れないと思い、基礎論が専門の方々に本橋さんの本に関するご批評を
伺いたい次第です。宜しくご教示くださるようお願いします。
- 1009 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/01(木) 23:13:23.40 ID:BE7gjZDq.net]
- 長い
- 1010 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/02(金) 00:47:37.02 ID:8MFLIgMo.net]
- ３行で言うと？
- 1011 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 01:06:26.40 ID:9d/0NGDu.net]
- 林晋
「日本のモデル論研究
- 1012 名前：の先駆けである本橋信義先生」
http://www.shayashi.jp/HistoryOfFOM/diggression.html [] - [ここ壊れてます]
- 1013 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 01:06:41.48 ID:pPFo64CL.net]
- >>975
完全と不完全を入れ替えたら意味が通る。
ただのタイポか、原文が合っていてあなたがうろ覚えなのかどちらか。
- 1014 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 02:06:11.47 ID:jb083Cy7.net]
- どのような根拠で実際にどのように書かれていたのかはっきり示さずに
「トンデモなんですか？」と質問するw
- 1015 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 03:31:00.41 ID:9mxE5rsz.net]
- >>563
様相論理はゴミ
中学校レベルの数学にすら到達できないギリシア時代の論理
- 1016 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 03:32:20.64 ID:9mxE5rsz.net]
- >>968
基礎付けって誰の造語？
- 1017 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 05:34:22.08 ID:pPFo64CL.net]
- 数理研研究集会の講演タイトルを見ていてギョッとした
9 月 27 日（火）
10:00-10:50 新井敏康（千葉大）
角田先生，証明論を分かって下さい
- 1018 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 14:51:00.10 ID:jXH5LYd5.net]
- >>982
造語って言うか数学基礎論が目指していた(いる?)ところのものが「数学を基礎づける」という意味で使っているが、そんな特殊かな
- 1019 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 14:54:23.38 ID:jXH5LYd5.net]
- 別の言い方をすれば、無矛盾性の証明以外で何をすれば数学基礎論が進歩したとおもわれてるの?最近の研究者のあいだで。
- 1020 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 14:58:40.48 ID:eTvkQD2D.net]
- >>984
文字列配置だけを頼りに言葉を同定してる人なんだろ
- 1021 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:20:39.24 ID:3PRr7uKO.net]
- >>984
全く通じない
そもそも「目指していた」というのは思い込みで既に達しているから
基礎という概念を理解してないからこんな造語を出来る
- 1022 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:38:19.85 ID:eTvkQD2D.net]
- 基礎という概念を理解できてるなんて凄いですね
- 1023 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:39:29.06 ID:pZ+incH9.net]
- >>987
変な奴だなお前。
- 1024 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:41:52.93 ID:3PRr7uKO.net]
- >>984,989
定義されてない妄想を前提に議論が出来ると思ってる奴は数学基礎論に向いてない
集合と論理を根本的に理解してないな
- 1025 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/02(金) 16:45:57.12 ID:jXH5LYd5.net]
- >>1に
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
とあるように、自分と>>987では「基礎」が何かについて差があるんだとして、
>>987は数学基礎論が何を「すでに達した」と考えていて、何を「基礎」と考えてるのか教えてほしい。
- 1026 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:47:59.00 ID:TzW/L/E8.net]
- >>991
これは0点
数学基礎論は確立している
確立していないと主張する方が定義した上で議論を始めなければ論外
証明責任を果たしていない
- 1027 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:49:35.91 ID:eTvkQD2D.net]
- 既に定義されたことしか議論できない人は数学基礎論（哲学の一種）には致命的に向いてませんよ
- 1028 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:50:44.88 ID:TzW/L/E8.net]
- >>993
バカだから哲学なんて言い出す
知能指数足りてない
- 1029 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:51:23.36 ID:TzW/L/E8.net]
- >>993
自分が語ろうとすることすら定義出来ないのはただの無能
知能が低いバカだから数学基礎論は向いてない
- 1030 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:51:24.27 ID:pPFo64CL.net]
- >>988
これは詭弁
- 1031 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:52:22.63 ID:TzW/L/E8.net]
- 自分が語ろうとすることすら定義出来ない無能は常に「新発見」をする
車輪の再発明に過ぎないのになw
オカルトに走るのもこういうガイジ
- 1032 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:53:22.76 ID:pPFo64CL.net]
- >>993
もう既成論文の継ぎ合わせで研究者人生を全うできる。
- 1033 名前：１３２人目の素数さん [2016/09/02(金) 16:53:36.75 ID:jXH5LYd5.net]
- >>992
いや、だから>>992が何を「基礎」で何が「数学基礎論」だと思ってるのかを書いて証明責任を果たしてくれよ
- 1034 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:54:00.37 ID:eTvkQD2D.net]
- >>994
>>1に書いてある現実を受け入れることだ
君の考えるTHE数学基礎論を主張するのは、君の哲学的信念の表明に他ならない
- 1035 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2016/09/02(金) 16:54:14.14 ID:TzW/L/E8.net]
- >>999
教科書読めよキチガイ
- 1036 名前：過去ログ ★ [[過去ログ]]
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