- 327 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2015/09/02(水) 17:36:14.61 ID:XNWv0rxl.net]
- d+e,e-dがともにpの倍数であることからd,eはpの倍数。
これとa+d,b+d,c+dのうち2つはpの倍数であることから
a,b,cのうち2つはpの倍数。
これとa+c,b+cのうち一方がpの倍数であることからcはpの倍数。
さらにa,bがともにpの倍数とするとSの元に共通因数pが
あることになり矛盾するので、a,bのうち一方はpの倍数でない。
以下、aがpの倍数でないとする。
bがpの倍数でないとしても同様なのでこの場合は省略。
c,d,eはpの倍数でありaはpの倍数でないから、
a+b,a+c,a+d,a+eはpの倍数でないので2の冪乗である。
よってa+c,a+d,a+eは4の倍数でありe-c,e-dは4の倍数となる。
ここでc+eとd+eのうち一方が4の倍数と仮定すると、
(e-c)+(c+e)=(e-d)+(d+e)=2eは4の倍数となりeは偶数となる。
これとa+eが2の冪乗であることからaは偶数。
続いてb,c,dも偶数であることがいえる。
よってSの元に共通因数2があることになり矛盾。
したがってc+eとd+eはどちらも4の倍数ではない。
e-cとe-dが偶数であることからc+eとd+eはともに偶数である。
よって整数s,t(0<s<t)を用いて
c+e=2p^s
d+e=2p^t
と表せるが、
p(c+e)=2p^(s+1)≦2p^t=d+e<2eとなり矛盾。
したがって、条件を満たすような集合Sは存在しない。
ちなみに4つの場合は1,5,7,11のような例がある。
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