- 255 名前：１３２人目の素数さん mailto:sage [2014/08/02(土) 14:34:30.11 .net]
- >>236
2＜e＜3＜π＜4から、π＜4＜2^e＜2^3＝8＜3^2＜π^2 即ち π＜2^e＜π^2 だから、対数関数の単調増加性に注意すれば、
log(π)＜log(2^e)＜log(π^2) から C＝e・log(2)/log(π) とおけば、1＜C＜2。
今、矛盾に導くことでCが無理数なることを示すために、C'＝C/3が有理数であったとすると、
共に或る自然数m≧2、nにより C'＝n/m と表わせ、よってm!・C'は自然数である。ここに1＜C＜2に注意すると、C'＜1。
また、m!・Σ1/(k!) 級数は0≦k≦mの範囲を走る(以下省略) は自然数である。
よって、N＝m!・C'−m!・Σ1/(k!) とおけば、Nは負整数である。ここで、
N＝m!・e・log(2)/log(π^3)−m!・Σ1/(k!)
＝m!・e(log(2)/log(π^3)−1)＋m!・(e−Σ1/(k!))
＝m!・e(log(2)/log(π^3)−1)＋m!・Σ1/(k!) 級数はk≧m+1の範囲を走る(以下省略)
であり、従って
|N|＝|m!・e(log(2)/log(π^3)−1)＋m!・Σ1/(k!)|
は自然数である。ところで、k≧m+1に注意して|N|を評価すると
|N||≦|m!・e(log(2)/log(π^3)−1)|＋|m!・Σ1/(k!)|
＝m!・e/log(π^3)・|log(2)−log(π^3)|＋m!・Σ1/(k!)
＝m!・e/log(π^3)・log_{π^3}(2)＋m!・Σ1/(k!)
＜2・m!・Σ1/(k!) (∵ e/log(π^3)・log_{π^3}(2)＜1)
＜2・Σ(1/2)^k 級数はk≧0の範囲を走る
＝Σ(1/2)^k 級数はk≧1の範囲を走る
＝1/(1−1/2)＝2
となる。よって、|N|＝1を得る。従って、負整数 N＝-1 を元に戻せば、
m!・C'−m!・Σ1/(k!)＝-1 級数は0≦k≦mの範囲を走る(以下省略)
であり C'＝Σ1/(k!)−1/(m!)＞1。然るに、これはC'＜1に反し矛盾する。
背理法により、これで、C'＝C/3＝e・log(2)/log(π) が無理数であることが示され、よってCは無理数であることが示された。
2チャンだとΣの級数が書きにくいんだよな。
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