高校の数学で扱う定義を大学の内容で証明している本

高校の数学で扱う定義 ..

2:１３２人目の素数さん
24/01/29 21:15:42.66 tzyLIjJc.net
違う角度で言えば、ロルの定理や最大・最小の定理など、大学までの数学では当たり前とされてきたものを証明したものをたくさん吸収したいです
適した本あるでしょうか

3:１３２人目の素数さん
24/01/29 22:47:46.89 Yny488v7.net
杉浦光夫「解析入門1」
というか、数学科向けの微分積分の教科書ならどれでも載ってる

4:１３２人目の素数さん
24/01/29 22:55:21.11 tzyLIjJc.net
>>3
私の求める内容が含まれているのかもしれませんが、他の要素が多すぎやしませんか？

5:１３２人目の素数さん
24/01/30 09:59:15.80 375kcXti.net
何を求めてるんだ、はっきり書けよ
>私の求める内容が含まれているのかもしれませんが、他の要素が多すぎやしませんか？

6:１３２人目の素数さん
24/01/30 10:00:21.01 375kcXti.net
>>1
現代数学概説

7:１３２人目の素数さん
24/01/30 10:59:42.22 YRZXulL5.net
>>6
それ考えてました
求める内容について基本的には高校の内容である本が良いです
現代数学概説
数学読本　松坂和夫
いまはどちらを買おうか迷っています

8:１３２人目の素数さん
24/01/30 12:08:46.95 luic8Kl0.net
高校数学の定理を証明するだけなら数十ページくらいで終わりそう
それで本になるんだろうか

9:１３２人目の素数さん
24/01/30 12:58:51.90 5VwS0UVR.net
定義を証明ってなんなの

10:１３２人目の素数さん
24/01/30 13:45:19.72 r6fFTJqH.net
レベルが違い過ぎない？その2つ

11:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:09:30.56 Dh0Y4GUR.net
こういうスレを待っていました。
文系ですが私も数学がわかりたい気持ちがありますので皆さんに教わりながら「現代数学概説1」を読みたいと思います。

12:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:12:24.48 Dh0Y4GUR.net
集合からですね。長年集合論を学びたいと思いつつ今に至ります。孫も成人しており気楽な老後生活です。

13:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:15:25.17 YmfiCOMW.net
現代数学っていっても
60年前の本だよ

14:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:19:57.45 Dh0Y4GUR.net
初めの数ページは中学や高校の教科書のままですね。分かりやすいです。

15:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:22:31.71 Dh0Y4GUR.net
例題の扱いについて質問します。解答がついていませんが皆さんは解きながら進めていますか。それとも内容を頭に入れて解かないで進めますか。

16:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:25:07.38 pQ9TG8nJ.net
>>13
なんかワロタ

17:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:28:08.58 OKm1dEt3.net
本を開いて勉強しないで、こんなスレに書き込んでいる時点で、5年かけても10年かけてもお前にゃ無理

18:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:32:15.90 UNxLg+xn.net
現代数学の柱は代数系、位相、測度の3つで、その基礎は集合であると前書きに書いてありますね。
集合論は100ページぐらいありますが頑張ります。

19:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:44:54.54 YRZXulL5.net
おすすめございますか？

20:１３２人目の素数さん
24/01/30 15:47:26.32 UNxLg+xn.net
1日1ページ読もうと思っていましたが4～5ページ読めて§1の最後まで進みました。今のところ中学高校範囲の内容で分かりやすいです。

21:１３２人目の素数さん
24/01/30 16:06:10.40 YRZXulL5.net
>>20
使い方などについては他でやっていただけませんか？そういう趣旨のスレッドではないですので

22:１３２人目の素数さん
24/01/30 16:17:18.71 UNxLg+xn.net
§2は写像とか関数ですね。少し読み進めてみますね。

23:１３２人目の素数さん
24/01/30 16:35:18.23 UNxLg+xn.net
今まですらすら読めていましたが難しい所にあたりました。頑張りますね。

24:１３２人目の素数さん
24/01/30 17:00:12.28 UNxLg+xn.net
よく考えたらわかりました。図が参考になりますね。対応や射影というのは中学、高校では出てこないので慣れるまで大変そうです。

25:１３２人目の素数さん
24/01/30 17:19:13.11 JcAoN6Rq.net
なんだよこのジジイ

26:１３２人目の素数さん
24/01/30 17:37:38.80 UNxLg+xn.net
忘れてましたが合成は
fgではなくgfと書くのでしたね

27:１３２人目の素数さん
24/01/30 17:39:26.97 UNxLg+xn.net
f(a)=b、g(b)=cのとき
g(f(a))=c
c=g￮f(a)ですね

28:１３２人目の素数さん
24/01/30 17:45:29.29 UNxLg+xn.net
逆対応は
f→g=gfの逆だから
gの逆→fの逆で
(fの逆)(gの逆)となるのですね

29:１３２人目の素数さん
24/01/30 17:48:57.22 UNxLg+xn.net
写経とか音読というのは効果があるのでしようか。やっている人はあまり居ないですよね。

30:１３２人目の素数さん
24/01/30 18:39:59.49 UNxLg+xn.net
対応のうち一価のものを写像とか関数と言うわけですね。今まで曖昧に理解していたように思います。

31:１３２人目の素数さん
24/01/30 20:16:58.46 L0zHms5e.net
一価とか今日日聞かないワードだな
数学は不変とか聞いたこともあるが、古いものはすぐ古くなるのが現実だと思う

32:１３２人目の素数さん
24/01/30 21:36:18.49 UNxLg+xn.net
図式と系列とかわかりました。可換というのも当たり前のことてすよね。

33:１３２人目の素数さん
24/01/31 11:24:16.59 /yOUyn9P.net
数列とは写像x: N→Rのことなんですね。

34:１３２人目の素数さん
24/01/31 11:47:14.09 /yOUyn9P.net
Im aは(aα)α∈Aによって定まる集合、Aは添数集合でαは添数ですね。ここは分かりやすいですが分離的な集合族とか、もうかなり複雑になってきてます。

35:１３２人目の素数さん
24/01/31 12:16:33.85 /yOUyn9P.net
(aα)α∈Aは数列で(Mα)α∈Aは集合族ですか。1個1個のa1、a2、が実数か、M1、M2が集合かの違いですよね
どんどん難しくなります
和集合S=∪Mα、α∈A、少なくとも1つに入る
共通部分D=∩Mα、α∈A、全てに入る
拡張すると分かりやすくなることもありますね

36:１３２人目の素数さん
24/01/31 14:34:15.64 /yOUyn9P.net
選出公理の練習ですね。
全射なので(f(ま1)y)y∈Nは∅を含まないから選出公理により写像sは存在する。これをfの右逆写像と言います。

37:１３２人目の素数さん
24/01/31 14:48:38.95 /yOUyn9P.net
または切り口、
左逆写像または引き込みと言います。
逆写像と全射、単射の関係が続きます。つらい。

38:１３２人目の素数さん
24/01/31 15:01:54.67 /yOUyn9P.net
文章の説明だけではなくグラフを使って考えるんですね
何となく理系的な考え方が分かってきました

39:１３２人目の素数さん
24/01/31 16:18:09.59 QvYGEoZM.net
本当に頑固ですね、見てて恥ずかしい

40:１３２人目の素数さん
24/01/31 21:17:26.55 /yOUyn9P.net
数学の本って言い換えの練習が多いのでしょうか。親しみが持てますね。
選出公理のいい変え
集合族(Mα)α∈Aが正規集合族⇒
直積ΠMα、α∈A、≠∅
標準的全射と言うと難しいが射影と言うと分かりやすいですね

41:１３２人目の素数さん
24/01/31 23:46:14.98 95V4zpsw.net
>>1
高校数学で扱う定理だろ

42:１３２人目の素数さん
24/02/01 07:51:47.17 BnDncroT.net
>>41
定理として学びますか？

43:１３２人目の素数さん
24/02/01 08:27:34.49 jrIE5UaF.net
>>42
何を聞いてるんだ？

44:１３２人目の素数さん
24/02/01 08:31:11.36 jrIE5UaF.net
定義と定理もあやふやか

45:１３２人目の素数さん
24/02/01 11:44:52.89 09UvSJmW.net
集合論は計算することが少なくて文系向きですね。
写像が全単射の時は何かと都合がよいのですね。

46:１３２人目の素数さん
24/02/01 14:02:21.81 09UvSJmW.net
AからMへの写像全体またはその部分集合を考えて写像空間または関数空間と言います
P=Π(α∈A) Mα=MA
また全単射同型ですね
f: ∅→∅は1つの写像、
f: ∅→Bは1つの写像、
f: A→∅は∅写像、
f: A→Bは色々な写像
なんですね。A≠∅、B≠∅とします。
標準的な全単射。標準的な、という用語も多く見られますね
部分写像
Mの全ての部分集合の集合を冪集合と言います。特徴関数または定義関数。Γによって引き起こされる冪集合写像
P(M)と2^Mを同一視するということは同型写像が基礎にあるのですね。{0, 1}^M=2^M
I'(M)=I(P(M))です
写像fが単射⇒冪集合写像f'は単射
fが全射⇒f'は全射
こんなのが延々と続くのがつらい

47:１３２人目の素数さん
24/02/01 14:06:59.81 09UvSJmW.net
高校の時、バレーボール部で全国に行きましたがその時の猛練習を思い出しました。
大学は東大文一に受かりましたが勉強はそれなりでしたね。

48:１３２人目の素数さん
24/02/01 16:00:00.51 jrIE5UaF.net
受験脳
>東大文一

49:１３２人目の素数さん
24/02/01 16:25:21.02 jrIE5UaF.net
体育会系で東大文一卒

50:１３２人目の素数さん
24/02/01 17:14:53.63 09UvSJmW.net
被覆とはある集合Mに対してある集合族X=∪(α∈A) MαによってM⊂Xとなる時、XをMの被覆と言う。被覆するということですね。
小さい被覆を細かい被覆、大きい被覆を粗い被覆と言いますね。
X=∪Mα, Y=∪NβがMの被覆の時、
(Mα)∩M、(Nβ)∩M、(Mα)∩(Nβ)もMの被覆になりますね。
被覆というのは被覆する方も被覆される方も集合なので、写像によっていろいろ式が出てきますね

51:１３２人目の素数さん
24/02/01 17:29:12.36 dDzxL5Rn.net
>>50
正直言って開被服で包み込むのには性的興味を覚える

52:１３２人目の素数さん
24/02/01 17:40:45.44 09UvSJmW.net
私は数学で性的に興奮するということはありませんが、被覆かつ分離的かつ任意のMα≠∅の時、直和分割と言いますね。これは良い性質でしようね。

53:１３２人目の素数さん
24/02/02 12:21:15.77 r1zGgm0p.net
大小関係とか包含関係とか。
関係はx￮yまたはx△yのいずれか一方のみが成り立つ。ここで△は￮の否定とします。
ある関係が成り立つまたはある関係が成り立たないのどちらか。
対応→逆対応、写像→逆写像、関係→逆関係とか全部同じなんですね。x∈M、y∈Nの時よりもx∈M、y∈M、x￮y∈Mとすると一挙に話が具体的に見えてきますね。

54:１３２人目の素数さん
24/02/02 13:39:16.55 r1zGgm0p.net
同値関係～
x～x、x～y⇒y～x、x～y∧y～z⇒x～zの3つを反射律、対称律、推移律と言いますね。x～yほx≡y modRとも書きます。
商集合というのがでてきて和集合、差集合、積集合、商集合が揃いましたね。
同値関係にあるxとyを同じものと見做すということですね。
商集合N=M/Rは同値類の集合ですね。同値関係や同値というのはよく出てきます。
代表元と代表系。話がまとまってきましたね。

55:１３２人目の素数さん
24/02/04 01:16:19.77 DfRcG2BH.net
随伴する写像というものを考えます。図式で考えます。同値関係にある元どうしを同一視する。
充満な部分集合とか両立する条件とか難しくなりました。
記号R≻G、G≺R、RはSよりも細かい。SはRよりも粗いと言います。
M/R≺M/SならばSはRと両立する
これで理解します。

56:１３２人目の素数さん
24/02/05 11:42:48.69 6NxeS0G+.net
順序の公理x≤x、x≤y∧y≤z⇒x≤z、x≤y∧y≤x⇒x=y
記号は≤ではありませんが。
この関係を順序関係と言います
順序集合(M, ≤)または台

57:１３２人目の素数さん
24/02/05 12:05:08.03 6NxeS0G+.net
順序関係の例が続きます。
順序関係を定義する、導入するのですね。
Hasseの図式。順序集合。R≺R'。同値関係。擬順序集合、双対的。定義が続きますね。
順序集合同士にも単射、全射、全単射が存在しますね