面白い数学の問題おしえて～な 43問目

面白い数学の問題おし ..

2:１３２人目の素数さん
23/10/07 11:24:53.83 o6mengNM.net
有限個の自然数からなる集合{a_1,a_2,…,a_N}があり、この集合の空でない部分集合の和は全て異なる.

(例: {1,2,4}
空でない部分集合は{1},{2},{4},{1,2},{1,4},{2,4},{1,2,4}で、それぞれ和が1,2,4,3,5,6,7で全て異なる.)

このとき、逆数和Σ_{k=1}^N (1/a_k)は2未満となることを示せ.

3:１３２人目の素数さん
23/10/27 01:07:38.37 m4xAS9Ev.net
すっかり過疎だ

4:１３２人目の素数さん
23/11/10 21:22:51.43 CeGMp3Md.net
次の表現は正しいか、○か×で答えよ
[一]　2∈{1,2,3}
[二]　{2}∈{1,2,3}
[三]　2⊂{1,2,3}
[四]　{2}⊂{1,2,3}
簡単だけど勘違いしやすい問題

5:１３２人目の素数さん
23/11/15 20:15:53.37 W3aaVKeD.net
>>4の解答です
[一]　◯
[二]　×
[三]　×
[四]　◯
理由も添える問題にした方が面白かったかも

6:１３２人目の素数さん
23/11/17 17:38:29.52 41Jaa8gk.net
次の表現は正しいか、○か×で答えよ
[一]　2∈{1,2,3}
[二]　{2}∈{1,2,3}U｛｛１，２，３｝、｛２｝｝
[三]　2⊂{1,2,3}U３
[四]　{2}⊂{1,2,3}

7:１３２人目の素数さん
23/11/24 21:18:39.79 fv5tUeJX.net
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。

8:１３２人目の素数さん
23/11/25 02:16:34.11 YOBFH8SG.net
3式足すと
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0
よってa=b=c=0のみが実解

9:１３２人目の素数さん
23/11/25 07:21:42.98 PvIPuyPf.net
・解説その1
加減法を使う
3式足すと
a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0
2乗の形を作るために
a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0
a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[1]
2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[1]の等式も0以上となる
つまり、[1]を満たすa,b,cは0となる
よって、a=b=c=0
・解説その2
a=b=c≠0と仮定する
a=b=c=x　(x≠0)とおく
連立方程式のa^2-ab+c^2=0を用いる
a^2+c^2=ab
a,b,cをxに置き換えると
x^2+x^2=x*x
2*(x^2)=x^2
x≠0のとき、この等式は成り立たない
よって、a=b=c≠0は成り立たない
上記より、
実数解(a,b,c)を1組求めよ
(a,b,c)=(0,0,0)
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか
実数解(0,0,0)以外の実数解(a,b,c)は存在しない

10:１３２人目の素数さん
23/11/25 07:58:41.39 YOBFH8SG.net
勝手に変な解説するなよw

11:１３２人目の素数さん
23/11/25 12:30:20.62 PvIPuyPf.net
勝手に解説して申し訳ないです

自分で証明していたものと比べ物にならないほど洗練されていたので使わせてもらいました。質問板で解説するつもりだったので、そのまま解説その1,2となってます

ちなみに自分の証明では、
2乗の形を作るため、平方完成を用いる(半分の2乗)
(a-b)^2が((1/2)a-(1/2)b)^2
↑こんな感じでした

解説その2は出題に合わせて、無理矢理証明の形にしています

12:１３２人目の素数さん
23/11/25 21:10:05.91 V/tD2Dg4.net
解説その1は >>8と同じもの。これだけで十分。
解説その2は意味不明で、(a,b,c)が
(a,b,c)＝(x,x,x) (3つとも同一の値) …(★)
という形のときに x＝0 のみが解になっていることを示しているだけ。
それ以外の形の (a,b,c) が解になっているかどうかは何も言ってないので、
解説として全く足りてない。
最初の連立方程式から(★)の形に絞られることが言えるのであれば、
解説2でも構わんが、そんなこと解説2には書いてない。

13:１３２人目の素数さん
23/11/25 22:09:05.15 /o1ejyaD.net
>>9の訂正版
連立方程式
a^2-ab+c^2=0…[1]
b^2-bc+a^2=0…[2]
c^2-ca+b^2=0…[3]

加減法を使い連立方程式の解a,b,cを求める
[1],[2],[3]を足す
a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0
2乗の形を作る
a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0
a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[4]
2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[4]の等式も0以上となる
つまり、[4]を満たすa,b,cは0となる
よって、a=b=c=0

実数解(a,b,c)は(0,0,0)の1組である
この1組以外に実数解(a,b,c)が存在する場合について、
a=b=cかつa≠0,b≠0,c≠0と仮定
[1]より、a^2+c^2=ab
a,b,cをxとおく
x^2+x^2=x*x
2*(x^2)=x^2
x=0のとき以外、この等式は成り立たない
つまり、a=b=cのときa=0,b=0,c=0のみ成り立つ
また上記より、連立方程式の実数解a≠b,b≠c,c≠aは成り立たない
したがって、実数解(a,b,c)は(0,0,0)の1組以外に実数解(a,b,c)は存在しない

14:１３２人目の素数さん
23/11/25 22:38:18.76 sowqrXg2.net
>>13
後半が蛇足。前半だけで終わっている。等式 [4] が示せた時点で、
・ (a,b,c)＝(0,0,0) 以外の (a,b,c) は解にならない
ことが既に判明している。それなのに、後半では
・ (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0
というケースを改めて考え直して、そのケースでは解にならないことを
証明し直している。だが、そのような蛇足は全く要らない。
[4] が導出できた時点で、既にそこまで示せているから。

15:１３２人目の素数さん
23/11/25 22:44:05.17 sowqrXg2.net
一般に、非負の実数 x_1,…,x_n の和がゼロならば、
x_1,…,x_n は自動的に全てゼロになる。つまり、
・ x_1≧0, x_2≧0, … , x_n≧0 かつ x_1＋x_2＋…＋x_n＝0 ならば、x_1＝x_2＝…＝x_n＝0
が成り立つ。[4]はまさにこれ。

16:１３２人目の素数さん
23/11/25 22:46:34.84 /o1ejyaD.net
>>8だけで2つの出題の解答になっているのは分かってますが、出題者が2つに分けているので無理やり2つの解答を用意
手直ししても結果は芳しくないようですね
やっぱり蛇足と割り切るのが良さそう
以上のことから、>>7の出題
「実数解(a,b,c)を1組求めよ。またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。」は、
「実数解(a,b,c)を求めよ。」だけでもいいかもしれません
他にも質問スレへ色々と追加している出題もこちらへ投稿して欲しいですね

17:１３２人目の素数さん
23/11/25 22:46:49.87 sowqrXg2.net
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 … [4]
この等式の左辺には
・ a^2, b^2, c^2, (1/2)(a-b)^2, (1/2)(b-c)^2, (1/2)(c-a)^2
という6個の非負の実数が出現していて、その6個の和を取っており、
しかも和の結果がゼロになっている・・・と言っているのが[4]である。
よって、上記の6個は自動的に全てゼロになる。つまり
a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0
ということになる。特に (a,b,c)＝(0,0,0) である。

18:１３２人目の素数さん
23/11/25 22:50:23.57 sowqrXg2.net
つまり、[4] が導出できた時点で、強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると
確定してしまうので、それ以外の (a,b,c) は解の候補から自動的に除外される。
君が大好きな
・ (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0
というケースも、[4]が導出できた時点で、既に解の候補から除外されているのである。
それなのに、君は後半で改めて (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0 というケースを解の候補として考え直しており、
そのケースでは解にならないことを証明し直している。何度も言うように、それは蛇足である。

19:１３２人目の素数さん
23/11/26 20:39:07.04 tRHONwcN.net
（1）
「f(x,y)=0かつg(x,y)=0」
⇔
「f(x,y)=0かつf(x,y)+g(x,y)=0」
を示せ。

（2）
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。

20:１３２人目の素数さん
23/11/26 20:39:59.57 tRHONwcN.net
実数a,b,cが、
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
…（ア）
を満たしている。

（1）aをbとcで表せ。

（2）恒等的に定数でない整数係数の1変数多項式f(x)で、f(c)=0を満たすものを1つ求めよ。

（3）（2）のf(x)に対し、関数y=f(x)を考える。xがすべての実数値をとりながら変化するとき、yの増減を調べよ。

（4）連立方程式（ア）を満たす実数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

21:１３２人目の素数さん
23/11/27 00:59:33.97 u2RukpoK.net
>>19-20
無意味な誘導。[4]が導出できた時点で全て終わり。

22:１３２人目の素数さん
23/11/27 01:18:22.34 u2RukpoK.net
たとえば >>20は、次のようにすればよい。
解答
(a,b,c)＝(0,0,0)としてみると、(ア)が実際に成り立つことが分かる。
よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。
次に、(ア)の解(a,b,c)を任意に取る。3つとも足し算すると
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[4]
となるので、
a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0
となる。特に(a,b,c)＝(0,0,0)である。つまり、(ア)の解(a,b,c)が存在するなら、
それは強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると確定する。
以上により、(a,b,c)＝(0,0,0) のみが解である。
(1)：2変数多項式 F(x,y) であって、a＝F(b,c) を満たすものを
1つ作れば十分である。ところで、(ア)を満たすa,b,cは
(a,b,c)＝(0,0,0) に確定しているので、
等式 a＝F(b,c) は 0＝F(0,0) を意味する。
よって、F(0,0)＝0 を満たす F(x,y) を作れば十分である。
そのような F は無数に存在する。F(x,y)＝0 (恒等的に0) でもいいし、
F(x,y)＝x－y でもいいし、F(x,y)＝xy でもいい。
どの F(x,y) であっても、a＝F(b,c) が成り立つ。
(2)：f(x)＝x と置けばよい。(a,b,c)＝(0,0,0) なのだから、
c＝0 であり、よって f(c)＝f(0)＝0 すなわち f(c)＝0 である。
(3)：ここでは f(x)＝x なのだから、y＝f(x) は傾き1の直線である。
(4)：(a,b,c)＝(0,0,0) のみである。

23:１３２人目の素数さん
23/11/27 01:23:03.85 u2RukpoK.net
このように、(a,b,c)＝(0,0,0)のみが解であることを先に証明してしまうと、
(1)～(4)の誘導の仕方は企画倒れになってしまう。

24:１３２人目の素数さん
23/11/27 01:24:54.62 u2RukpoK.net
ちなみに、
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。
という問題形式にやたらと拘っているようだが、
それもまた、解答のつけ方は >>22で終わっている。

25:１３２人目の素数さん
23/11/27 01:29:39.66 u2RukpoK.net
この問題形式では、
(i) 実数解(a,b,c)を1組求めよ。
(ii) その1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。
という2つの問題が挙げられているので、(i),(ii)それぞれに
解答をつければよい。そして、その書き方は >>22に書いたとおりである。
改めて解答をつけると、次のようになる。
解答
(i)：(a,b,c)＝(0,0,0)としてみると、問題文の連立方程式が
実際に成り立つことが分かる。よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。
(ii)：解(a,b,c)を任意に取る。3つとも足し算すると
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 となるので、
a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0
となる。特に(a,b,c)＝(0,0,0)である。つまり、解(a,b,c)が存在するなら、
それは強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると確定する。
以上により、(a,b,c)＝(0,0,0) のみが解である。

26:１３２人目の素数さん
23/11/27 01:39:43.77 u2RukpoK.net
このように、(i)に解答するには、
決め打ちで(a,b,c)＝(0,0,0)をいきなり宣言してしまえばよい。
「どうやって (a,b,c)＝(0,0,0) に至ったのか？」
という計算過程を記述する必要はどこにもない。
ただ単に、いきなり
「(a,b,c)＝(0,0,0)としてみる」
と宣言してしまえばよい。これが実際に解になっているかどうかは、
問題文の連立方程式に代入して確かめてみればよいだけである。
(a,b,c)＝(0,0,0)のとき、
a^2-ab+c^2 ＝ 0^2－0*0＋0^2 ＝ 0
であり、同じく b^2-bc+a^2＝0, c^2-ca+b^2＝0 なのだから、
(a,b,c)＝(0,0,0)は実際に連立方程式を満たすことが分かる。
よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。

27:１３２人目の素数さん
23/11/27 01:42:19.47 u2RukpoK.net
(ii)に解答するには、(0,0,0)以外の(a,b,c)が
解の候補から外れることを厳密に示さなければならないので、
ここで初めて、連立方程式の中身を駆使した
具体的な計算過程を記述することになる。
何をするかと言えば、3つとも足し算して
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0
を導出するだけである。これが導出できた時点で、
強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) に確定してしまう。
つまり、(0,0,0) 以外の(a,b,c)は解の候補から外れる。
これで(ii)に解答できたことになる。

28:１３２人目の素数さん
23/11/27 01:43:25.84 u2RukpoK.net
結局、
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。
という問題形式に拘ったところで、
解答の仕方は本質的に >>8で終わっているのであり、
丁寧に書き下しても >>25の書き方になるだけである。

29:１３２人目の素数さん
23/11/27 01:54:32.70 u2RukpoK.net
一方で、君の解答のつけ方には、
・決め打ちで(a,b,c)＝(0,0,0)をいきなり宣言してしまえばよい
という視点が欠落している。君は、(i)に解答するときにも
「どうやって(a,b,c)＝(0,0,0)に到達したのか、
　その計算過程を記述しなければならない」
と勘違いしているのである。
本来なら(ii)で書くべき計算内容を、
君は(i)の時点で書き下してしまうのである。
その後で改めて(ii)に解答しようとするから、
どうしても計算内容の重複(つまり蛇足)が発生するのである。

30:１３２人目の素数さん
23/11/27 19:03:43.30 WtKZl7yZ.net
>>29「計算過程を記述しなければならない」

受験やテスト対策として、塾の講師に「途中計算も必ず書くこと」、「証明は必ず書くこと」、「証明は答えの前に必ず書くこと(先に書く)」、「計算や証明は重複しても構わない」的なことを教わったのを思い出しました

ありがとうございます。違和感の正体と理由がわかりました
受験数学で身に付けた考え方、癖、固定観念的なものが未だに残っているようです

31:１３２人目の素数さん
23/11/27 19:16:50.33 WtKZl7yZ.net
問題:
半径1の球に内接する円錐の体積(V)と表面積(S)の比率(V/S)の最大値を求めよ。

32:１３２人目の素数さん
23/11/28 06:46:53.01 ABxOPJme.net
ふーん

33:１３２人目の素数さん
23/11/28 07:30:33.96 9Dcgh5JH.net
>>31問題:
半径1の球に内接する円錐の体積(V)と表面積(S)の比率(V/S)の最大値を求めよ。
※内接…球に円錐の頂点と底面の円周が接している
比率を最大にするためには、表面積の分母を最小化する必要がある
表面積(分母)の (√((r^2) + (h^2))*r*π) を最小にする条件は、正円錐であることなので (h = r)
半径1の球に内接している正円錐の高さ(h)と底面積の半径(r)は(h = r = 1)
円錐の体積(V)=(1/3)*底面積*高さ(h)
=(1/3)*(1^2)*π*1
=(1/3)π
円錐の表面積(S)=底面積+側面積
=母線の長さ*底面の半径*π
=√((1^2)+(1^2))*1*π
=√(2)π
上記より、
比率(V/S)=((1/3)π)/(√(2)π)=1/(3√(2))
よって、比率(V/S)の最大値は1/(3√(2))

34:１３２人目の素数さん
23/11/28 09:27:25.05 vjjLv2YE.net
>>33
底面積が計算に入ってなくない？

35:１３２人目の素数さん
23/11/28 12:49:58.07 9Dcgh5JH.net
>>33円錐の表面積以降を訂正
円錐の表面積(S)=底面積+側面積
=(半径*半径*π)+(母線*半径*π)
=(1*1*π)+(√(2)*1*π)
=(1+√(2))π
上記より、
比率(V/S)=((1/3)π)/(1+√(2)π)
=1/(3*(1+√(2)))=1/(3+3√(2))
よって、比率(V/S)の最大値は1/(3+3√(2))
>>34確認したら底面積が抜けてました
・確認用
円錐の表面積(S)
=(半径+母線)*半径*π
=(1+√((1^2)+(1^2)))*1*π
=(1+√(2))π
追記:小数点第4位までの表記なら0.1380
比率(V/S)=((1/3)π)/(1+√(2)π)
=1/(3*(1+√(2)))=1/7.24264…
=0.1380…

36:１３２人目の素数さん
23/11/29 17:27:13.41 lbp6lb1l.net
問題:
文字列abcdefの6文字を横1列に並べて順列を作るとき、
[1]. (aとb)または(cとd)の少なくとも1組は隣接する
[2]. aは(cとe)とは隣接しない
[1]と[2]の両方を満たす順列は何通りか？

37:１３２人目の素数さん
23/12/09 04:33:51.84 ThKcZMzA.net
パズルを1題

1〜nまでの数字を1回ずつ使って?×?=?という形の式を作る
1〜4の場合は3×4=12,1〜5の場合は13×4=52が当てはまる

それでは1〜6の場合を答えよ(想定解2つ)

38:１３２人目の素数さん
23/12/09 05:02:13.90 pVyBlX+z.net
問題自体はちっとも面白くないけど、しらみつぶし以外の面白い解き方があるのかな？

39:１３２人目の素数さん
23/12/10 23:45:31.89 M0c/XDgP.net
解説
?×?=?の形の式で数字を6つ使うのは1桁×2桁=3桁のパターンしかない
それをA×BC=DEFとおく
1の位(A,C,F)に1や5が入ることはあり得ないので2,3,4,6のいずれか3つが入ることになり、2×3=6と3×4=2の2通り
Dは4以上になり得ず、1の位で両者とも2と3を使うためD=1が確定
2×3=6を使う場合は繰り上がりが起こらないため5をBやEに入れられない(1の位に入れられないのと同様の理由)ので不成立
3×4=2を使う場合は3×B4=1E2,4×B3=1E2の2通り
5と6を入れてみると成り立つのは3×54=162のみ
よって3×54=162が唯一解
想定解が2つと言うのは
小数点を使えば24×1.5=36(または2.4×15=36)って解も出せるという結構ずるい話

40:１３２人目の素数さん
23/12/10 23:48:11.52 M0c/XDgP.net
1〜4,1〜5,1〜6共に解が1つに定まるのが綺麗なので出題してみた次第
ちなみに1〜7は解なしで1〜8と1〜9は何通りかある

41:１３２人目の素数さん
23/12/11 16:02:19.77 YspZXONi.net
なるほど、いわゆる完全虫食い算になってたわけね

42:１３２人目の素数さん
23/12/11 16:06:55.20 YspZXONi.net
漫画「数学ゴールデン」の3巻から

a1～a6,b1～b6,c1～c6がそれぞれ1～6の並べ替えであるとき
Σ[i=1～6](aibi+bici+ciai)の最小値を求めよ

43:１３２人目の素数さん
23/12/11 16:59:11.24 eiYaHYEN.net
答えは
1*4*6 + 2*3*4 + 3*5*2 + 4*2*3 + 5*6*1 + 6*1*5 = 162
みたいだけどなんか鮮やかな示し方あんの？

44:１３２人目の素数さん
23/12/11 20:18:51.19 7cAlcsOx.net
たぶん組み分け的には

164 641 416
235 352 523

で、4と5は入れ替え可能ってことなんだろうけど
証明はわからん

45:１３２人目の素数さん
23/12/11 20:28:46.09 7cAlcsOx.net
あれ、これΣaibiciじゃん・・・

46:１３２人目の素数さん
23/12/11 20:57:08.51 7cAlcsOx.net
Xi=ai+bi+ciと置けば
問題の式を最小にするにはΣ(Xi)^2を最小にすれば良くて
ΣXi=63(一定)だから、これは幾何学的にはベクトルXiをなるべく対角方向にすればノルムが小さく出来て
Xi=10.5(i=1～6)が最小だけども、Xiは整数値だから
(10,10,10,11,11,11)でノルム最小かな
だから結局 >>44で合ってそう(ただし4と5入替不可)

47:１３２人目の素数さん
23/12/11 22:57:42.64 eiYaHYEN.net
(i)25の倍数が含まれるとき
25x ( x∈(1,2,..,6})が含まれるとして残り５数の和の最小値は
5*(144^3*5/x)^(1/5)だから６数全体の和は
⌈25 + 5*(144^3*5/x)^(1/5)⌉
以上であり、これはx=1のとき最小値162をとる
(ii)25の倍数が含まれないとき
６数を5a,5b,5c,d,e,fとしabc=x^3とおけば
5a+5b+5c+d+e+f≧⌈15x+3*144/x⌉
である
左辺が161以下になるには15x+3*144/x≦161が必要で16/3≦x≦27/5が必要である。
よって
(16/3)^3≦abc≦(27/5)^3
が必要であり
152≦abc≦157
が必要であるが、[152,157]に属する整数はすべて7以上の素因子を含む

48:１３２人目の素数さん
23/12/12 03:22:17.65 LLbO8mIF.net
712!+1は素数か？

49:１３２人目の素数さん
23/12/12 10:34:51.89 gS9cs21n.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)

50:１３２人目の素数さん
23/12/12 10:41:16.23 gS9cs21n.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)

51:１３２人目の素数さん
23/12/12 10:52:38.61 y5CcJSmf.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

52:１３２人目の素数さん
23/12/12 11:34:49.50 LLbO8mIF.net
>>49
wolfram計算できてなくないか？
素数でないなら合成数であることを示してください
計算機使わず示せます

53:１３２人目の素数さん
23/12/12 12:00:00.53 HChoSoK7.net
(a^2-ab+c^2)(2a+b-c)+(b^2-bc+a^2)(2a+b)+(c^2-ac+b^2)(-a-b+c)=4a^3.

54:１３２人目の素数さん
23/12/12 12:14:23.76 LLbO8mIF.net
>>53
おお、>>28の一発解法だね

55:１３２人目の素数さん
23/12/12 13:43:29.03 Rx991kwn.net
>>48
719で割れる。
F_719 で 712! = 718!/720 = -1

56:１３２人目の素数さん
23/12/12 14:44:53.23 LLbO8mIF.net
>>55
正解！
719が素数なのと720=6!が上手くいきすぎてて面白い問題だと思った(昨夜某アドベンダーで知った)

57:１３２人目の素数さん
23/12/12 14:51:36.52 gS9cs21n.net
>>52
素数ではないと判定されてる
素因数分解は大量の計算量が必要だけど素数であるかどうかの判定は桁数nに対してnlog(n)程度のオーダーで計算できるからwolframなら一発答えがでる

58:１３２人目の素数さん
23/12/12 15:06:48.62 LLbO8mIF.net
あと、713が絶妙に合成数なのも良ポイント

59:１３２人目の素数さん
23/12/12 15:26:34.10 dTc7fHtS.net
>>57
どうやるの？

60:１３２人目の素数さん
23/12/20 04:17:28.81 RWD52qPN.net
例えば
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)

61:１３２人目の素数さん
23/12/21 00:09:32.79 Kb4dE8jB.net
誰か実用的な数学の計算式考えてくれない？
検索しても見つからないしAIに聞いても答えが出せない。
珊瑚とK18金素材のジュエリーがあるとしてそれらは取り外すと破損するから外せないが、
総重量と体積、二つの素材の正確な比重値がわかっているとする。
総重量が100gで、体積が30立方センチである
つまり全体の比重値は3.33である
珊瑚の比重は2.65とし、K18金の比重は15.50とする
なお、実際には体積測定時に気泡が入ったり、
天然の珊瑚や金の合金種類の配合などの個体差による誤差が出るがここでは考えないものとする。

62:１３２人目の素数さん
23/12/21 01:26:04.52 DAQ1Ttj6.net
中学の連立方程式の問題
重量を x, y とおいて
x+y=100, (x/2.65)+(y/15.50)=30
これを解いて
x=(2.65(15.50*30-100))/(15.50-2.65)
≒75.3
y=(15.50(100-2.65*30))/(15.50-2.65)
≒24.7

63:１３２人目の素数さん
23/12/21 05:52:51.32 Kb4dE8jB.net
thx
計算で出せることはわかってたけど式がわからなかったんだよね
買い取り屋はどこも壊して査定とかもったいなくて荒々しいのばかりだし
数学を使って非破壊で求めたらいいのに

64:１３２人目の素数さん
23/12/31 15:01:09.16 syKLy21c.net
保守のついで
Cを
x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = sin(t) + sin(-2t)
で表される曲線とする。
(1)3t≡π (mod 2π)である点を除いて t = α においてCは接線 l(α) を持つことを示せ
(2)l(α)とCは接点以外の共有点をちょうど二つもち、その二点間の距離は一定であることを示せ

65:１３２人目の素数さん
23/12/31 15:10:10.00 syKLy21c.net
>>64
訂正
x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = 2sin(t) + sin(-2t)
でつ

66:１３２人目の素数さん
24/01/07 01:06:51.01 g+TJCW48.net
保守上げついでにつべネタ
cbrt(x)で立方根を返す関数とする
f(x) = cbrt(x) + cbrt(37-x)
とするときf(x)が整数値をとる整数xはx=-27, 64に限ることを示せ

67:イナ ◆/7jUdUKiSM
24/01/08 03:44:40.65 v3Vv1z5P.net
>>31
単位球に内接しかつV/Sが最大値をとる円錐の底面の半径をRとすると、
V=(1/3)πR^2｛1+√(1-R^2)｝
S=πR^2+πR√｛2+2√(1-R^2)｝
=πR^2+πR｛√(1+R)-√(1-R)｝
V/S=｛1+√(1-R^2)｝/[｛√(1+R)+√(1-R)｝/R]
=｛R+R√(1+R)√(1-R)｝/｛R+√(1+R)+√(1-R)｝
(V/S)'=0
微分して=0とし適宜移行し辺々二乗すると、
4+4√(1-R^2)=R^2｛5-2R^2-2R√(1+R)+(2R-4)√(1-R)+√(1-R^2)｝
作図した感じ、
R=0.8……〜0.9.……
Rが定まればV/Sも決まる。

68:１３２人目の素数さん
24/01/08 15:17:41.41 Mk28pz3s.net
>>66
n=cbrt(x),m=cbrt(37-x) とおくと問題は、n^3+m^3=37 という条件下で、n+mが整数になる時の考察になる。
n^3+m^3=37 の時、n+m は負にはならないし、6以上にもならない(※)
従って、n+m　が整数になる時、その値として可能性があるのは　1,2,3,4,5　だけ。
実際これを解き、整数解が得られるのは、k=1の時の、x=-27, 64　だけ。
これで、題意が示される。
(※)
負にならないのは、0 < 37 = n^3+m^3 = (n+m)(n^2-nm+n^2) = (1/4)(n+m){(2n-m)^2+3m^2} から明らか。
6以上にならないのは、(n+m)^3=37+3mn(n+m)≦37+(3/4)(n+m)^3=37+(3/4){37+3mn(n+m)}　；　∵　4xy≦(x+y)^2　
≦37{1+3/4+(3/4)^2+...}=37*4=148＜216=6^3　から示される。

69:イナ ◆/7jUdUKiSM
24/01/09 03:55:17.12 dWfvhJIo.net
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、嶺線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-1/｛2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=1
2-h=1/4
h=2-1/4
=7/4
2h=7/2
2h-h^2=7/2-49/16
=(56-49)/16
=7/16
V=(π/3)(7/16)(7/4)
=49π/192
S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝
=(7/16)π+(7/4)π(√2/2)
=7π(1+2√2)/16
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝
=7(2√2-1)/(12・7)
=(2√2-1)/12
=0.15236892706……

70:イナ ◆/7jUdUKiSM
24/01/09 04:01:07.69 dWfvhJIo.net
前>>69訂正(6行目)。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-1/｛2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=1
2-h=1/4
h=2-1/4
=7/4
2h=7/2
2h-h^2=7/2-49/16
=(56-49)/16
=7/16
V=(π/3)(7/16)(7/4)
=49π/192
S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝
=(7/16)π+(7/4)π(√2/2)
=7π(1+2√2)/16
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝
=7(2√2-1)/(12・7)
=(2√2-1)/12
=0.15236892706……

71:イナ
24/01/09 19:50:01.91 0NEsoApG.net
前 >>70最大値を更新した。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-√2/｛(2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=√2
2-h=1/2
h=2-1/2
=3/2
2h=3
2h-h^2=3-9/4
=3/4
V=(π/3)(3/4)(3/2)
=3π/8
S=π(3/4)+π√｛(3/4)・3｝
=(3/4)π+(3/2)π
=9π/4
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(3×4)/(8×9)
=1/6
=0.1666……

72:イナ
24/01/09 20:57:50.42 e6fhWajH.net
前 >>71
母線が円錐の中心線に対して30°
円錐を真横から見て正三角形に見えるときが最大ってことだよね？
つまり微分しなくても勘で答えは出せるってこと。

73: 【末吉】
24/01/10 00:58:27.29 QR+JBGhQ.net
前>>72
球のV/Sが1/3だから、
円錐のV/Sの最大値がその半分に当たる1/6になるのは妥当な気がする。

74:prime_132
24/01/13 18:08:22.90 mCRD/SJz.net
　a^2 - ab + c^2 ≦ δ_1^2,
　b^2 - bc + a^2 ≦ δ_2^2,
　c^2 - ca + b^2 ≦ δ_3^2,
とする。この３式を足して
　ε^2 = δ_1^2 + δ_2^2 + δ_3^2
　≧ 2(aa+bb+cc) - (ab+bc+ca)
　= [(a+b+c)/√3]^2 + (5/2)[(a-b)/√2]^2 + (5/2)[(a+b-2c)/√6]^2
解はこの回転楕円体の中にある。
　長半径はεで、(1,1,1)方向。
　短半径はε√(2/5) で、↑と垂直な方向。
∴ 解は半径εの球の中にある。
そこで ε→0 とする。

75:イナ
24/01/14 07:33:39.09 B6rOC6Xx.net
単位球の体積は4π/3
単位球の表面積は4π
V/S=1/3=0.333……
単位球に内接する立方体の体積は
V/S=(2/√3)^3/｛6(2/√3)^2｝
=(2/√3)/6
=1/3√3
=√3/9
=1.7320508……/9
=0.19245009……
単位球に内接する円錐のV/S=1/6=0.1666……
形的に極めて妥当な値だと思う。

76:１３２人目の素数さん
24/01/14 20:42:00.46 akLa+tda.net
保守
 >>64 元ネタ、内サイクロイド、2021年大阪公立大学など
ベクトル値関数 e(t)=(cos(t),sin(t))において容易に
e(s) + e(t) // e((s+t)/2) ( if s+t ≠ 0 ( mod π )
d/dt e(t) = e(t+π/2)
などはわかる。曲線は p(t) = 2e(t) + e(-2t) であるから
d/dt p(t) = 2( e(t+π/2) - e(-2t+π/2) )
であり、これは t+π/2 ≡ -2t+π/2 ( mod 2π ), すなわち 3t ≡ 0 ( mod 2π ) の場合を除いて
e(t+π/2) - e(-2t+π/2) // e(t+π/2) + e(-2t-π/2) // e(-t/2)
となり、x=a での法線は e(-t/2-π/2) と平行であり、接線の方程式は
e(-a/2-π/2)・( p - e(a)) = 0
である。曲線上の点 p(t) がこの接線上にあるのは
0 = e(-a/2-π/2)・( 2e(t) + e(-2t) - 2e(a) - e(-2a) )
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - 2sin(a+a/2) - sin(-2a+a/2)
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - sin(3a/2)
= 2sin(t+a/2) + 2cos(-t+a)sin(-t-a/2)
= 2sin(t+a/2) + 2cos(-t+a)sin(-t-a/2)
= 2sin(t+a/2)(1-cos(-t+a))
のときだから t = -a/2, -a/2+π, a ( mod 2π ) となる。
とくに接点以外の交点 P(-a/2), P(-a/2+π)を持つ。とくにその二点間の長さは
| P(-a/2) - P(-a/2+π) | = | (4cos(-a/2),4sin(-a/2)) | = 4
である。

77:１３２人目の素数さん
24/01/14 21:21:37.31 akLa+tda.net
>>68
正解
元ネタはこの人のあげた動画のどれかだけどわかんなくなった
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
大学数学つかっていい解法
u = cbrt(x), v = cbrt(37-x) とおいて
u + v = 37/(u^2 - uv + v^2) は正値をとり分母の最小値はu=vのとき
そのときの u+vは 2(37/2)^(1/3) = 5.28957247269....であるから取りうる整数値は1～5に限られる
さらに右辺の分母は代数的整数で、これが有理数となるとき、それは整数でなければならない。
このときさらに全体が整数となるなら分母は37の約数でなければならない。
以上によりとりうる整数値は1しかありえない。
d/dx(u+v) = 1/3(cbrt(1/x^2) - cbrt(1/(37-x)^2))
はx^2、(37-x)^2の絶対値を比較してx<37/2で単調増加、x>37/2で単調減少となり
関数値が1となりえるのは高々2か所である。

78:１３２人目の素数さん
24/01/15 15:36:04.41 BPhI6irk.net
>>55
Wilson を使うのでござるか。
　(p-1)! ≡ -1　(mod p)
　712 を超える最小の素数 p=719 が素因数だった。
　713 = 23*31,　717 = 3*239

79:１３２人目の素数さん
24/01/15 16:15:38.96 MljwMamg.net
>>2の答えを教えてほしい

80:１３２人目の素数さん
24/01/17 06:51:48.31 1LBM7xkH.net
がんばれ

81:１３２人目の素数さん
24/01/17 17:49:44.64 A9fgHU4D.net
>>79
>>2の出題者です
とりあえずヒントとして
多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表すので、
x∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となることを利用します

82:１３２人目の素数さん
24/01/18 08:05:31.37 AiEzVdKM.net
logとって0~1で積分したら3以下は証明できたけどなぁ

83:１３２人目の素数さん
24/01/18 09:07:56.77 AiEzVdKM.net
x=exp(-t)で0~∞で積分だ、なるほど

84:１３２人目の素数さん
24/01/19 01:13:16.69 OgxcpeYC.net
>>83
素晴らしい
天才です
解答書きます
多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表す
よってx∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となる.
両辺対数を取って,
Σ_{k=1}^N log(1+x^(a_k))＜-log(1-x).
両辺xで割り、(0,1)で積分すると,
Σ_{k=1}^N ∫_0^1 log(1+x^(a_k))/x dx＜-∫_0^1 log(1-x)/x dx=π^2/6.
左辺についてx^(a_k)=yとおけば,
Σ_{k=1}^N (1/a_k) ∫_0^1 log(1+y)/y dx= Σ_{k=1}^N (1/a_k) π^2/12.
よって,
Σ_{k=1}^N (1/a_k) π^2/12＜π^2/6より,
Σ_{k=1}^N (1/a_k)＜2.

85:１３２人目の素数さん
24/01/19 01:42:23.84 fl256YzT.net
面白いし不思議だなぁ
もっと普通に(例えば2進法とか使って)示せないんだろうか

86:１３２人目の素数さん
24/01/19 02:58:34.64 PunadIeW.net
これネタ元とかあります？
自作？

87:１３２人目の素数さん
24/01/19 08:18:08.13 hBjkRNpR.net
>>86
元ネタはこの論文です
URLﾘﾝｸ(www.renyi.hu)

88:１３２人目の素数さん
24/01/19 08:25:09.64 NRTYh2U/.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

89:１３２人目の素数さん
24/01/19 09:18:19.13 PunadIeW.net
>>87
thx
よくこんなの思いつくなぁ

90:１３２人目の素数さん
24/01/19 13:04:19.31 nFs2YqNH.net
>>2
メンバーを小さい順にa_1,a_2,a_3,...,a_Nと表すと、k番目のメンバーは
a_k≧2^(k-1)
という評価ができる。
何故なら、1番目からk番目のメンバーだけで作り得る部分集合の数は、2^k個で、
空集合を除くと2^{k}-1個になる。
部分集合の和が全て異なる事が条件なので、1から2^{k}-1までの値を隙間無く取ったとして、
{k+1}番目のメンバーが取り得る最小の値は2^{k}となるから。

Σ_{k=1}^N (1/a_k)≦Σ_{k=1}^N(1/2^{k-1})=1/1 + 1/2 + ... + 1/2^{N-1} = 2 - 1/2^{N-1} < 2

91:１３２人目の素数さん
24/01/19 13:10:18.42 JmX9c8Ue.net
[0,1]で一様分布する確率変数のiidの列をXn、X1～Xnの平均をYnとすればYnは定数1/2に確率収束する(∵ 大数の法則)
よって特に分布収束する
よって1/Ynは2に分布収束する(∵ 連続写像定理)
特にE(Yn)はE(2)に収束する

92:１３２人目の素数さん
24/01/19 13:14:27.40 kN1TkOQs.net
>>90
その議論は集合 {3,5,6,7} が反例になるんじゃないかな
部分集合の和は全て異なるけど a_4 = 7 < 2^(4-1) になるから

93:１３２人目の素数さん
24/01/19 13:44:18.80 NFJ8vH4+.net
そうなんだよな
自分も最初その方針で考えたけど意外と自由度あって詰んだ

94:１３２人目の素数さん
24/01/19 14:20:39.44 nFs2YqNH.net
>>92
なるほど、そのような例を想定していたんだ。
思慮不足でした。

95:１３２人目の素数さん
24/01/24 16:22:14.93 rFKsVNU5.net
>>81
ところでこの逆って示せるんだろうか

x∈(0,1)で
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k)) ＜ 1/(1-x)

なら、Sの部分和は全て異なる？

96:１３２人目の素数さん
24/01/24 18:52:45.47 wSVl2uIy.net
{4, 5, 6, 7} とかが反例になりそう
(1+x^n)^4 < 1/(1-x) (n≧4, 0<x<1) が示せれば

97:１３２人目の素数さん
24/01/24 19:43:38.74 rFKsVNU5.net
>>96
反例になってそうですね！ありがとうございます。

98:prime_132
24/01/24 20:03:35.51 6OJ6Idbl.net
>>65
C上で t=a に相当する点をAとする。
　A（2cos(a)+cos(-2a), 2sin(a)+sin(-2a)）
点AでCの接線をひく。
　dx/dt = -2{sin(a) - sin(-2a)｝= -4sin(3a/2)cos(a/2),
　dy/dt = 2{cos(a) - cos(-2a)｝= 4sin(3a/2)sin(a/2),
∴接線の傾きは　dy/dx = tan(-a/2),　（傾角は -a/2）
　x = cos(a) + cos(-2a) + L*cos(-a/2),
　y = sin(a) + sin(-2a) + L*sin(-a/2),　
ここで L は接線上の有向距離。
C上の点をT（≠A）とすると、割線ATの傾きは
{2sin(t)+sin(-2t)-2sin(a)-sin(-2a)}/{2cos(t)+cos(-2t)-2cos(a)-cos(-2a)},
これらの傾きが等しいとおくと、
0 = {2sin(t) + sin(-2t) - 2sin(a) - sin(-2a)}cos(a/2)
　+ {2cos(t) + cos(-2t) - 2cos(a) - cos(-2a)}sin(a/2)
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - 2sin(3a/2) - sin(-3a/2)　… 加法公式
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - sin(3a/2)
= 2sin(t+a/2) - 2sin(t+a/2)*cos(t-a)　… 和積公式
= 2{1-cos(t-a)}sin(t+a/2),
∴　t = a(重根)　　… 接点A
　　t = - a/2,　　(cos(a)+2cos(-a/2), sin(a)+2sin(-a/2))　
　　t = π - a/2.　 (cos(a)-2cos(a/2), sin(a)+2sin(a/2))
２つの共有点の距離は２.

99:prime_132
24/01/25 16:57:12.36 7Z+ndEui.net
内サイクロイド、ハイポ・サイクロイド、内擺(はい)線とか云うらしい。
　a=3, b=1, a-b=2
　周長　8(a-b) = 16,
　面積　(a-b)(a-2b)π = 2π.
森口・宇田川・一松「数学公式Ｉ」岩波全書221 (1956)
　第5章, §68, p.284, 第6.89図 [a=3b]

100:prime_132
24/01/25 17:13:07.57 7Z+ndEui.net
>>98
(訂正)
　2つの共有点の距離は４でした。。。

101:１３２人目の素数さん
24/01/25 18:42:59.63 Hj0dFs0W.net
100と互いに素な100以下の自然数からなる集合の空でない部分集合の和が100の倍数となるものは何通りか．

102:１３２人目の素数さん
24/01/25 22:40:53.62 vVbFxNGP.net
Σ[X⊂S]Σ[x∈X]x = 100
の意味と解釈して
Σ[X⊂S]Σ[x∈X]x = 2^(#S-1)Σ[x∈S]x
#S = 1のとき
解なし
#S = 2のとき
S={1,49},{3,47},{7,47},...,{23,27}のφ(50)/2 = 10個
#S = 3のとき
S={1,3,21},{1,7,17},{1,11,13},{3,9,13}の4個
∴14個

103:１３２人目の素数さん
24/01/25 22:54:29.01 Hj0dFs0W.net
>>102
すみません、100の約数ではなく、100の倍数ですね

例えば
{1,99}
{1,3,97,99}
などがあります

104:１３２人目の素数さん
24/01/26 02:18:29.30 jG4wW7TT.net
"元の総和が100の倍数になる空でない集合"の意味か

105:１３２人目の素数さん
24/01/26 03:14:40.90 jG4wW7TT.net
ρ＝exp(2πi/100)とし、Φ_n(t)をn次円分多項式Φ_n(t)＝Π[k=1..n,(k,n)=1](t-exp(2πik/n))、φ(n)をEuler tautientとする。
f(t)=Π[m=1..100,(m,100)=1](1+t^m)とおけば(求める値+1)×100は
Σ[k=0..99]f(ρ^k)
である。
ここで f(ρ^k) の値は (k,100) = d とするとき
f(ρ^k) = |Φ_(100/d)(-1)|^(φ(100)/φ(d))
である。

106:１３２人目の素数さん
24/01/26 11:03:32.87 jG4wW7TT.net
訂正
Σ[ d|100 ] φ(d)Φd(-1)φ(100)/φ(d)
だ
40*1^1+20*5^2+20*1^2+8*1^5+4*5^10+4*1^10+2*2^20+2^40
= 1099552788000

107:１３２人目の素数さん
24/01/27 19:57:53.24 MjuSGN8e.net
>>106
素晴らしい
100で割れば正解です！
まさしく円分多項式を使う方針を想定してました

108:１３２人目の素数さん
24/01/27 19:58:16.32 MjuSGN8e.net
>>104
問題文が曖昧で紛れてしまって申し訳ない

109:１３２人目の素数さん
24/01/28 09:00:59.37 5vy1yyur.net
有理数x,y,zでx+y+z=0かつxyz=1を満たすものは存在するか？

110:１３２人目の素数さん
24/01/28 09:51:43.09 vjK6M2DA.net
>>109
x+y+1/xy=0
x^2y+xy^2+1=0
y=(-x^2±√(x^4-4x))/2x
x^4-4x=w^2
contains rational points other than (0,0)?

111:１３２人目の素数さん
24/01/28 10:56:11.82 CwYPAyWB.net
x^4y^2+(xy)^3+x^2y=0
(v/8-1/2)^2 - u^3/64 + v/8-1/2 = 0 ( v/8-1/2 = x^2y、-u/8 = xy )
v^2/64 = u^3/64 + 1/4
v^2 = u^3 + 16
E = EllipticCurve([0,0,0,0,16])
E.gens()
[]
URLﾘﾝｸ(sagecell.sagemath.org)

112:１３２人目の素数さん
24/01/28 11:11:38.12 CwYPAyWB.net
E = EllipticCurve([0,0,0,0,16])
[E.gens(),E.torsion_subgroup().points()]
URLﾘﾝｸ(sagecell.sagemath.org)

113:イナ
24/01/28 11:31:13.23 eDHty1UI.net
31は >>35より >>71の方が大きいと思うんですが、正解ですか？

114:prime_132
24/01/28 15:35:55.01 puFIGB78.net
横レスだけど…　>>71 が正解

S = πh(2-h) + πR√(h(2-h))
　= πh√(2-h)*{√(2-h) + R/√h},

V = (π/3)hh(2-h),

S/V = (1/3)√(2-h)･h／{R/√h + √(2-h)}
　　= (1/3)√(2-h){R/√h - √(2-h)}
　　= (1/3){RR/4h - [R/(2√h) - √(2-h)]^2}
　　≦ RR/(12h)
　　= 1/6,
等号条件は R = 2√(h(2-h)),

115:１３２人目の素数さん
24/01/28 15:50:35.61 CwYPAyWB.net
訂正
x4y2 + x3y3 + x2y = x3y2
v2 - u3 + v = -uv (u = -xy, v = x2y )
v2 - u3 = 1(-uv) + 0u2 +1(-v) + 0u + 0
v2 + uv + v = u3 + 0u2 + 0u + 0
...........
E = EllipticCurve([1,0,1,0,0])
[E, E.gens(),E.torsion_subgroup().points()]
............
[Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + y = x^3 over Rational Field
[],
[(0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (0 : -1 : 1)]]
............
URLﾘﾝｸ(sagecell.sagemath.org)

116:イナ
24/01/30 20:06:43.68 aliuHPec.net
前 >>113
>>114そんな一般的な式で表せるんですね。
正解できてよかったです。
安心して眠れます。

117:prime_132
24/01/31 00:43:48.70 b6Gsbw7H.net
>>99
URLﾘﾝｸ(www.ne.jp)
の下の方にあるかも。。。

118:１３２人目の素数さん
24/02/02 13:58:10.51 NUXJCtNP.net
(1)凸多面体には三角形の面または次数3の頂点が必ず存在することを示せ
(2)三角形の面も次数3の頂点もない多面体を示せ
(文章で答えるのは面倒かも…)

119:１３２人目の素数さん
24/02/03 10:32:40.89 iqLz4TOv.net
>>118
(1)
n角形面の数をFn、次数nの頂点の数をVn、辺の数をEとすると凸多面体のオイラーの定理から
Σ(Fn+Vn)=2+E
また辺の数え上げから2E=ΣnFn=ΣnVn
よって
2=Σ(1-n/4)(Fn+Vn)
と変形できるが、n≧4なら右辺がゼロ以下で矛盾
(2)
上面と底面を開けた四角柱を少しずつ歪めてトーラス状に繋げる

120:１３２人目の素数さん
24/02/03 13:26:03.14 3SMt1m6a.net
(1) Z はコンパクトハウスドルフアーベル群であることを示せ。
(2) Z×Z のハール測度で全測度が 1 であるもの μ をとり確率測度とする。(x,y) を座標関数とする。このとき整数 a,b,c,n で
　
　S = {(x,y) | ax + by ≡ c ( mod n ) }
と表される集合 S は可測であることを示せ。またこの場合には
　μ(S) = lim[T→∞] # S∩[1,T]×[1,T] ...(*)
が成立することを示せ。
(3) S = { (x,y) | x と y は互いに素 }は可測であることを示し、このときもも(*)が成立することを示せ。さらに μ(S) を求めよ。

121:１３２人目の素数さん
24/02/03 13:28:24.91 3SMt1m6a.net
>>120
1行ぬけたorz
追加
整数環の加法群をZであらわし、クルール位相で位相群とみなすとする。

122:１３２人目の素数さん
24/02/03 16:29:13.60 uyLPaYjo.net
ごめん、まんまクルール位相だとコンパクトにならないかも

123:１３２人目の素数さん
24/02/03 16:57:51.74 uyLPaYjo.net
イヤ大丈夫だった
Gm = Z/m!Zに離散位相入れてコンパクト
直積　ΠGm もコンパクト
その中の閉部分群

　{(a(m)+m!Z) | a(m) ≡ a(n) (mod n!) (∀m>n)}

もコンパクトでコレが Z + Krull 位相

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