面白い数学の問題おしえて～な 43問目

面白い数学の問題おしえて～な 43問目 at MATH

[1からを表示]
50:１３２人目の素数さん
23/12/12 10:41:16.23 gS9cs21n.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)

51:１３２人目の素数さん
23/12/12 10:52:38.61 y5CcJSmf.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

52:１３２人目の素数さん
23/12/12 11:34:49.50 LLbO8mIF.net
>>49
wolfram計算できてなくないか？
素数でないなら合成数であることを示してください
計算機使わず示せます

53:１３２人目の素数さん
23/12/12 12:00:00.53 HChoSoK7.net
(a^2-ab+c^2)(2a+b-c)+(b^2-bc+a^2)(2a+b)+(c^2-ac+b^2)(-a-b+c)=4a^3.

54:１３２人目の素数さん
23/12/12 12:14:23.76 LLbO8mIF.net
>>53
おお、>>28の一発解法だね

55:１３２人目の素数さん
23/12/12 13:43:29.03 Rx991kwn.net
>>48
719で割れる。
F_719 で 712! = 718!/720 = -1

56:１３２人目の素数さん
23/12/12 14:44:53.23 LLbO8mIF.net
>>55
正解！
719が素数なのと720=6!が上手くいきすぎてて面白い問題だと思った(昨夜某アドベンダーで知った)

57:１３２人目の素数さん
23/12/12 14:51:36.52 gS9cs21n.net
>>52
素数ではないと判定されてる
素因数分解は大量の計算量が必要だけど素数であるかどうかの判定は桁数nに対してnlog(n)程度のオーダーで計算できるからwolframなら一発答えがでる

58:１３２人目の素数さん
23/12/12 15:06:48.62 LLbO8mIF.net
あと、713が絶妙に合成数なのも良ポイント

59:１３２人目の素数さん
23/12/12 15:26:34.10 dTc7fHtS.net
>>57
どうやるの？

60:１３２人目の素数さん
23/12/20 04:17:28.81 RWD52qPN.net
例えば
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)

61:１３２人目の素数さん
23/12/21 00:09:32.79 Kb4dE8jB.net
誰か実用的な数学の計算式考えてくれない？
検索しても見つからないしAIに聞いても答えが出せない。
珊瑚とK18金素材のジュエリーがあるとしてそれらは取り外すと破損するから外せないが、
総重量と体積、二つの素材の正確な比重値がわかっているとする。
総重量が100gで、体積が30立方センチである
つまり全体の比重値は3.33である
珊瑚の比重は2.65とし、K18金の比重は15.50とする
なお、実際には体積測定時に気泡が入ったり、
天然の珊瑚や金の合金種類の配合などの個体差による誤差が出るがここでは考えないものとする。

62:１３２人目の素数さん
23/12/21 01:26:04.52 DAQ1Ttj6.net
中学の連立方程式の問題
重量を x, y とおいて
x+y=100, (x/2.65)+(y/15.50)=30
これを解いて
x=(2.65(15.50*30-100))/(15.50-2.65)
≒75.3
y=(15.50(100-2.65*30))/(15.50-2.65)
≒24.7

63:１３２人目の素数さん
23/12/21 05:52:51.32 Kb4dE8jB.net
thx
計算で出せることはわかってたけど式がわからなかったんだよね
買い取り屋はどこも壊して査定とかもったいなくて荒々しいのばかりだし
数学を使って非破壊で求めたらいいのに

64:１３２人目の素数さん
23/12/31 15:01:09.16 syKLy21c.net
保守のついで
Cを
x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = sin(t) + sin(-2t)
で表される曲線とする。
(1)3t≡π (mod 2π)である点を除いて t = α においてCは接線 l(α) を持つことを示せ
(2)l(α)とCは接点以外の共有点をちょうど二つもち、その二点間の距離は一定であることを示せ

65:１３２人目の素数さん
23/12/31 15:10:10.00 syKLy21c.net
>>64
訂正
x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = 2sin(t) + sin(-2t)
でつ

66:１３２人目の素数さん
24/01/07 01:06:51.01 g+TJCW48.net
保守上げついでにつべネタ
cbrt(x)で立方根を返す関数とする
f(x) = cbrt(x) + cbrt(37-x)
とするときf(x)が整数値をとる整数xはx=-27, 64に限ることを示せ

67:イナ ◆/7jUdUKiSM
24/01/08 03:44:40.65 v3Vv1z5P.net
>>31
単位球に内接しかつV/Sが最大値をとる円錐の底面の半径をRとすると、
V=(1/3)πR^2｛1+√(1-R^2)｝
S=πR^2+πR√｛2+2√(1-R^2)｝
=πR^2+πR｛√(1+R)-√(1-R)｝
V/S=｛1+√(1-R^2)｝/[｛√(1+R)+√(1-R)｝/R]
=｛R+R√(1+R)√(1-R)｝/｛R+√(1+R)+√(1-R)｝
(V/S)'=0
微分して=0とし適宜移行し辺々二乗すると、
4+4√(1-R^2)=R^2｛5-2R^2-2R√(1+R)+(2R-4)√(1-R)+√(1-R^2)｝
作図した感じ、
R=0.8……〜0.9.……
Rが定まればV/Sも決まる。

68:１３２人目の素数さん
24/01/08 15:17:41.41 Mk28pz3s.net
>>66
n=cbrt(x),m=cbrt(37-x) とおくと問題は、n^3+m^3=37 という条件下で、n+mが整数になる時の考察になる。
n^3+m^3=37 の時、n+m は負にはならないし、6以上にもならない(※)
従って、n+m　が整数になる時、その値として可能性があるのは　1,2,3,4,5　だけ。
実際これを解き、整数解が得られるのは、k=1の時の、x=-27, 64　だけ。
これで、題意が示される。
(※)
負にならないのは、0 < 37 = n^3+m^3 = (n+m)(n^2-nm+n^2) = (1/4)(n+m){(2n-m)^2+3m^2} から明らか。
6以上にならないのは、(n+m)^3=37+3mn(n+m)≦37+(3/4)(n+m)^3=37+(3/4){37+3mn(n+m)}　；　∵　4xy≦(x+y)^2　
≦37{1+3/4+(3/4)^2+...}=37*4=148＜216=6^3　から示される。

69:イナ ◆/7jUdUKiSM
24/01/09 03:55:17.12 dWfvhJIo.net
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、嶺線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-1/｛2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=1
2-h=1/4
h=2-1/4
=7/4
2h=7/2
2h-h^2=7/2-49/16
=(56-49)/16
=7/16
V=(π/3)(7/16)(7/4)
=49π/192
S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝
=(7/16)π+(7/4)π(√2/2)
=7π(1+2√2)/16
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝
=7(2√2-1)/(12・7)
=(2√2-1)/12
=0.15236892706……

70:イナ ◆/7jUdUKiSM
24/01/09 04:01:07.69 dWfvhJIo.net
前>>69訂正(6行目)。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-1/｛2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=1
2-h=1/4
h=2-1/4
=7/4
2h=7/2
2h-h^2=7/2-49/16
=(56-49)/16
=7/16
V=(π/3)(7/16)(7/4)
=49π/192
S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝
=(7/16)π+(7/4)π(√2/2)
=7π(1+2√2)/16
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝
=7(2√2-1)/(12・7)
=(2√2-1)/12
=0.15236892706……

71:イナ
24/01/09 19:50:01.91 0NEsoApG.net
前 >>70最大値を更新した。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-√2/｛(2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=√2
2-h=1/2
h=2-1/2
=3/2
2h=3
2h-h^2=3-9/4
=3/4
V=(π/3)(3/4)(3/2)
=3π/8
S=π(3/4)+π√｛(3/4)・3｝
=(3/4)π+(3/2)π
=9π/4
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(3×4)/(8×9)
=1/6
=0.1666……

72:イナ
24/01/09 20:57:50.42 e6fhWajH.net
前 >>71
母線が円錐の中心線に対して30°
円錐を真横から見て正三角形に見えるときが最大ってことだよね？
つまり微分しなくても勘で答えは出せるってこと。

73: 【末吉】
24/01/10 00:58:27.29 QR+JBGhQ.net
前>>72
球のV/Sが1/3だから、
円錐のV/Sの最大値がその半分に当たる1/6になるのは妥当な気がする。

74:prime_132
24/01/13 18:08:22.90 mCRD/SJz.net
　a^2 - ab + c^2 ≦ δ_1^2,
　b^2 - bc + a^2 ≦ δ_2^2,
　c^2 - ca + b^2 ≦ δ_3^2,
とする。この３式を足して
　ε^2 = δ_1^2 + δ_2^2 + δ_3^2
　≧ 2(aa+bb+cc) - (ab+bc+ca)
　= [(a+b+c)/√3]^2 + (5/2)[(a-b)/√2]^2 + (5/2)[(a+b-2c)/√6]^2
解はこの回転楕円体の中にある。
　長半径はεで、(1,1,1)方向。
　短半径はε√(2/5) で、↑と垂直な方向。
∴ 解は半径εの球の中にある。
そこで ε→0 とする。

75:イナ
24/01/14 07:33:39.09 B6rOC6Xx.net
単位球の体積は4π/3
単位球の表面積は4π
V/S=1/3=0.333……
単位球に内接する立方体の体積は
V/S=(2/√3)^3/｛6(2/√3)^2｝
=(2/√3)/6
=1/3√3
=√3/9
=1.7320508……/9
=0.19245009……
単位球に内接する円錐のV/S=1/6=0.1666……
形的に極めて妥当な値だと思う。

76:１３２人目の素数さん
24/01/14 20:42:00.46 akLa+tda.net
保守
 >>64 元ネタ、内サイクロイド、2021年大阪公立大学など
ベクトル値関数 e(t)=(cos(t),sin(t))において容易に
e(s) + e(t) // e((s+t)/2) ( if s+t ≠ 0 ( mod π )
d/dt e(t) = e(t+π/2)
などはわかる。曲線は p(t) = 2e(t) + e(-2t) であるから
d/dt p(t) = 2( e(t+π/2) - e(-2t+π/2) )
であり、これは t+π/2 ≡ -2t+π/2 ( mod 2π ), すなわち 3t ≡ 0 ( mod 2π ) の場合を除いて
e(t+π/2) - e(-2t+π/2) // e(t+π/2) + e(-2t-π/2) // e(-t/2)
となり、x=a での法線は e(-t/2-π/2) と平行であり、接線の方程式は
e(-a/2-π/2)・( p - e(a)) = 0
である。曲線上の点 p(t) がこの接線上にあるのは
0 = e(-a/2-π/2)・( 2e(t) + e(-2t) - 2e(a) - e(-2a) )
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - 2sin(a+a/2) - sin(-2a+a/2)
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - sin(3a/2)
= 2sin(t+a/2) + 2cos(-t+a)sin(-t-a/2)
= 2sin(t+a/2) + 2cos(-t+a)sin(-t-a/2)
= 2sin(t+a/2)(1-cos(-t+a))
のときだから t = -a/2, -a/2+π, a ( mod 2π ) となる。
とくに接点以外の交点 P(-a/2), P(-a/2+π)を持つ。とくにその二点間の長さは
| P(-a/2) - P(-a/2+π) | = | (4cos(-a/2),4sin(-a/2)) | = 4
である。

77:１３２人目の素数さん
24/01/14 21:21:37.31 akLa+tda.net
>>68
正解
元ネタはこの人のあげた動画のどれかだけどわかんなくなった
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
大学数学つかっていい解法
u = cbrt(x), v = cbrt(37-x) とおいて
u + v = 37/(u^2 - uv + v^2) は正値をとり分母の最小値はu=vのとき
そのときの u+vは 2(37/2)^(1/3) = 5.28957247269....であるから取りうる整数値は1～5に限られる
さらに右辺の分母は代数的整数で、これが有理数となるとき、それは整数でなければならない。
このときさらに全体が整数となるなら分母は37の約数でなければならない。
以上によりとりうる整数値は1しかありえない。
d/dx(u+v) = 1/3(cbrt(1/x^2) - cbrt(1/(37-x)^2))
はx^2、(37-x)^2の絶対値を比較してx<37/2で単調増加、x>37/2で単調減少となり
関数値が1となりえるのは高々2か所である。

78:１３２人目の素数さん
24/01/15 15:36:04.41 BPhI6irk.net
>>55
Wilson を使うのでござるか。
　(p-1)! ≡ -1　(mod p)
　712 を超える最小の素数 p=719 が素因数だった。
　713 = 23*31,　717 = 3*239

79:１３２人目の素数さん
24/01/15 16:15:38.96 MljwMamg.net
>>2の答えを教えてほしい

80:１３２人目の素数さん
24/01/17 06:51:48.31 1LBM7xkH.net
がんばれ

81:１３２人目の素数さん
24/01/17 17:49:44.64 A9fgHU4D.net
>>79
>>2の出題者です
とりあえずヒントとして
多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表すので、
x∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となることを利用します

82:１３２人目の素数さん
24/01/18 08:05:31.37 AiEzVdKM.net
logとって0~1で積分したら3以下は証明できたけどなぁ

83:１３２人目の素数さん
24/01/18 09:07:56.77 AiEzVdKM.net
x=exp(-t)で0~∞で積分だ、なるほど

84:１３２人目の素数さん
24/01/19 01:13:16.69 OgxcpeYC.net
>>83
素晴らしい
天才です
解答書きます
多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表す
よってx∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となる.
両辺対数を取って,
Σ_{k=1}^N log(1+x^(a_k))＜-log(1-x).
両辺xで割り、(0,1)で積分すると,
Σ_{k=1}^N ∫_0^1 log(1+x^(a_k))/x dx＜-∫_0^1 log(1-x)/x dx=π^2/6.
左辺についてx^(a_k)=yとおけば,
Σ_{k=1}^N (1/a_k) ∫_0^1 log(1+y)/y dx= Σ_{k=1}^N (1/a_k) π^2/12.
よって,
Σ_{k=1}^N (1/a_k) π^2/12＜π^2/6より,
Σ_{k=1}^N (1/a_k)＜2.

85:１３２人目の素数さん
24/01/19 01:42:23.84 fl256YzT.net
面白いし不思議だなぁ
もっと普通に(例えば2進法とか使って)示せないんだろうか

86:１３２人目の素数さん
24/01/19 02:58:34.64 PunadIeW.net
これネタ元とかあります？
自作？

87:１３２人目の素数さん
24/01/19 08:18:08.13 hBjkRNpR.net
>>86
元ネタはこの論文です
URLﾘﾝｸ(www.renyi.hu)

88:１３２人目の素数さん
24/01/19 08:25:09.64 NRTYh2U/.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)

89:１３２人目の素数さん
24/01/19 09:18:19.13 PunadIeW.net
>>87
thx
よくこんなの思いつくなぁ

90:１３２人目の素数さん
24/01/19 13:04:19.31 nFs2YqNH.net
>>2
メンバーを小さい順にa_1,a_2,a_3,...,a_Nと表すと、k番目のメンバーは
a_k≧2^(k-1)
という評価ができる。
何故なら、1番目からk番目のメンバーだけで作り得る部分集合の数は、2^k個で、
空集合を除くと2^{k}-1個になる。
部分集合の和が全て異なる事が条件なので、1から2^{k}-1までの値を隙間無く取ったとして、
{k+1}番目のメンバーが取り得る最小の値は2^{k}となるから。

Σ_{k=1}^N (1/a_k)≦Σ_{k=1}^N(1/2^{k-1})=1/1 + 1/2 + ... + 1/2^{N-1} = 2 - 1/2^{N-1} < 2

91:１３２人目の素数さん
24/01/19 13:10:18.42 JmX9c8Ue.net
[0,1]で一様分布する確率変数のiidの列をXn、X1～Xnの平均をYnとすればYnは定数1/2に確率収束する(∵ 大数の法則)
よって特に分布収束する
よって1/Ynは2に分布収束する(∵ 連続写像定理)
特にE(Yn)はE(2)に収束する

92:１３２人目の素数さん
24/01/19 13:14:27.40 kN1TkOQs.net
>>90
その議論は集合 {3,5,6,7} が反例になるんじゃないかな
部分集合の和は全て異なるけど a_4 = 7 < 2^(4-1) になるから

93:１３２人目の素数さん
24/01/19 13:44:18.80 NFJ8vH4+.net
そうなんだよな
自分も最初その方針で考えたけど意外と自由度あって詰んだ

94:１３２人目の素数さん
24/01/19 14:20:39.44 nFs2YqNH.net
>>92
なるほど、そのような例を想定していたんだ。
思慮不足でした。

95:１３２人目の素数さん
24/01/24 16:22:14.93 rFKsVNU5.net
>>81
ところでこの逆って示せるんだろうか

x∈(0,1)で
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k)) ＜ 1/(1-x)

なら、Sの部分和は全て異なる？

96:１３２人目の素数さん
24/01/24 18:52:45.47 wSVl2uIy.net
{4, 5, 6, 7} とかが反例になりそう
(1+x^n)^4 < 1/(1-x) (n≧4, 0<x<1) が示せれば

97:１３２人目の素数さん
24/01/24 19:43:38.74 rFKsVNU5.net
>>96
反例になってそうですね！ありがとうございます。

98:prime_132
24/01/24 20:03:35.51 6OJ6Idbl.net
>>65
C上で t=a に相当する点をAとする。
　A（2cos(a)+cos(-2a), 2sin(a)+sin(-2a)）
点AでCの接線をひく。
　dx/dt = -2{sin(a) - sin(-2a)｝= -4sin(3a/2)cos(a/2),
　dy/dt = 2{cos(a) - cos(-2a)｝= 4sin(3a/2)sin(a/2),
∴接線の傾きは　dy/dx = tan(-a/2),　（傾角は -a/2）
　x = cos(a) + cos(-2a) + L*cos(-a/2),
　y = sin(a) + sin(-2a) + L*sin(-a/2),　
ここで L は接線上の有向距離。
C上の点をT（≠A）とすると、割線ATの傾きは
{2sin(t)+sin(-2t)-2sin(a)-sin(-2a)}/{2cos(t)+cos(-2t)-2cos(a)-cos(-2a)},
これらの傾きが等しいとおくと、
0 = {2sin(t) + sin(-2t) - 2sin(a) - sin(-2a)}cos(a/2)
　+ {2cos(t) + cos(-2t) - 2cos(a) - cos(-2a)}sin(a/2)
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - 2sin(3a/2) - sin(-3a/2)　… 加法公式
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - sin(3a/2)
= 2sin(t+a/2) - 2sin(t+a/2)*cos(t-a)　… 和積公式
= 2{1-cos(t-a)}sin(t+a/2),
∴　t = a(重根)　　… 接点A
　　t = - a/2,　　(cos(a)+2cos(-a/2), sin(a)+2sin(-a/2))　
　　t = π - a/2.　 (cos(a)-2cos(a/2), sin(a)+2sin(a/2))
２つの共有点の距離は２.

99:prime_132
24/01/25 16:57:12.36 7Z+ndEui.net
内サイクロイド、ハイポ・サイクロイド、内擺(はい)線とか云うらしい。
　a=3, b=1, a-b=2
　周長　8(a-b) = 16,
　面積　(a-b)(a-2b)π = 2π.
森口・宇田川・一松「数学公式Ｉ」岩波全書221 (1956)
　第5章, §68, p.284, 第6.89図 [a=3b]

100:prime_132
24/01/25 17:13:07.57 7Z+ndEui.net
>>98
(訂正)
　2つの共有点の距離は４でした。。。

101:１３２人目の素数さん
24/01/25 18:42:59.63 Hj0dFs0W.net
100と互いに素な100以下の自然数からなる集合の空でない部分集合の和が100の倍数となるものは何通りか．

102:１３２人目の素数さん
24/01/25 22:40:53.62 vVbFxNGP.net
Σ[X⊂S]Σ[x∈X]x = 100
の意味と解釈して
Σ[X⊂S]Σ[x∈X]x = 2^(#S-1)Σ[x∈S]x
#S = 1のとき
解なし
#S = 2のとき
S={1,49},{3,47},{7,47},...,{23,27}のφ(50)/2 = 10個
#S = 3のとき
S={1,3,21},{1,7,17},{1,11,13},{3,9,13}の4個
∴14個

103:１３２人目の素数さん
24/01/25 22:54:29.01 Hj0dFs0W.net
>>102
すみません、100の約数ではなく、100の倍数ですね

例えば
{1,99}
{1,3,97,99}
などがあります

104:１３２人目の素数さん
24/01/26 02:18:29.30 jG4wW7TT.net
"元の総和が100の倍数になる空でない集合"の意味か

105:１３２人目の素数さん
24/01/26 03:14:40.90 jG4wW7TT.net
ρ＝exp(2πi/100)とし、Φ_n(t)をn次円分多項式Φ_n(t)＝Π[k=1..n,(k,n)=1](t-exp(2πik/n))、φ(n)をEuler tautientとする。
f(t)=Π[m=1..100,(m,100)=1](1+t^m)とおけば(求める値+1)×100は
Σ[k=0..99]f(ρ^k)
である。
ここで f(ρ^k) の値は (k,100) = d とするとき
f(ρ^k) = |Φ_(100/d)(-1)|^(φ(100)/φ(d))
である。

106:１３２人目の素数さん
24/01/26 11:03:32.87 jG4wW7TT.net
訂正
Σ[ d|100 ] φ(d)Φd(-1)φ(100)/φ(d)
だ
40*1^1+20*5^2+20*1^2+8*1^5+4*5^10+4*1^10+2*2^20+2^40
= 1099552788000

107:１３２人目の素数さん
24/01/27 19:57:53.24 MjuSGN8e.net
>>106
素晴らしい
100で割れば正解です！
まさしく円分多項式を使う方針を想定してました

108:１３２人目の素数さん
24/01/27 19:58:16.32 MjuSGN8e.net
>>104
問題文が曖昧で紛れてしまって申し訳ない

109:１３２人目の素数さん
24/01/28 09:00:59.37 5vy1yyur.net
有理数x,y,zでx+y+z=0かつxyz=1を満たすものは存在するか？

110:１３２人目の素数さん
24/01/28 09:51:43.09 vjK6M2DA.net
>>109
x+y+1/xy=0
x^2y+xy^2+1=0
y=(-x^2±√(x^4-4x))/2x
x^4-4x=w^2
contains rational points other than (0,0)?

111:１３２人目の素数さん
24/01/28 10:56:11.82 CwYPAyWB.net
x^4y^2+(xy)^3+x^2y=0
(v/8-1/2)^2 - u^3/64 + v/8-1/2 = 0 ( v/8-1/2 = x^2y、-u/8 = xy )
v^2/64 = u^3/64 + 1/4
v^2 = u^3 + 16
E = EllipticCurve([0,0,0,0,16])
E.gens()
[]
URLﾘﾝｸ(sagecell.sagemath.org)

112:１３２人目の素数さん
24/01/28 11:11:38.12 CwYPAyWB.net
E = EllipticCurve([0,0,0,0,16])
[E.gens(),E.torsion_subgroup().points()]
URLﾘﾝｸ(sagecell.sagemath.org)

113:イナ
24/01/28 11:31:13.23 eDHty1UI.net
31は >>35より >>71の方が大きいと思うんですが、正解ですか？

114:prime_132
24/01/28 15:35:55.01 puFIGB78.net
横レスだけど…　>>71 が正解

S = πh(2-h) + πR√(h(2-h))
　= πh√(2-h)*{√(2-h) + R/√h},

V = (π/3)hh(2-h),

S/V = (1/3)√(2-h)･h／{R/√h + √(2-h)}
　　= (1/3)√(2-h){R/√h - √(2-h)}
　　= (1/3){RR/4h - [R/(2√h) - √(2-h)]^2}
　　≦ RR/(12h)
　　= 1/6,
等号条件は R = 2√(h(2-h)),

115:１３２人目の素数さん
24/01/28 15:50:35.61 CwYPAyWB.net
訂正
x4y2 + x3y3 + x2y = x3y2
v2 - u3 + v = -uv (u = -xy, v = x2y )
v2 - u3 = 1(-uv) + 0u2 +1(-v) + 0u + 0
v2 + uv + v = u3 + 0u2 + 0u + 0
...........
E = EllipticCurve([1,0,1,0,0])
[E, E.gens(),E.torsion_subgroup().points()]
............
[Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + y = x^3 over Rational Field
[],
[(0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (0 : -1 : 1)]]
............
URLﾘﾝｸ(sagecell.sagemath.org)

116:イナ
24/01/30 20:06:43.68 aliuHPec.net
前 >>113
>>114そんな一般的な式で表せるんですね。
正解できてよかったです。
安心して眠れます。

117:prime_132
24/01/31 00:43:48.70 b6Gsbw7H.net
>>99
URLﾘﾝｸ(www.ne.jp)
の下の方にあるかも。。。

118:１３２人目の素数さん
24/02/02 13:58:10.51 NUXJCtNP.net
(1)凸多面体には三角形の面または次数3の頂点が必ず存在することを示せ
(2)三角形の面も次数3の頂点もない多面体を示せ
(文章で答えるのは面倒かも…)

119:１３２人目の素数さん
24/02/03 10:32:40.89 iqLz4TOv.net
>>118
(1)
n角形面の数をFn、次数nの頂点の数をVn、辺の数をEとすると凸多面体のオイラーの定理から
Σ(Fn+Vn)=2+E
また辺の数え上げから2E=ΣnFn=ΣnVn
よって
2=Σ(1-n/4)(Fn+Vn)
と変形できるが、n≧4なら右辺がゼロ以下で矛盾
(2)
上面と底面を開けた四角柱を少しずつ歪めてトーラス状に繋げる

120:１３２人目の素数さん
24/02/03 13:26:03.14 3SMt1m6a.net
(1) Z はコンパクトハウスドルフアーベル群であることを示せ。
(2) Z×Z のハール測度で全測度が 1 であるもの μ をとり確率測度とする。(x,y) を座標関数とする。このとき整数 a,b,c,n で
　
　S = {(x,y) | ax + by ≡ c ( mod n ) }
と表される集合 S は可測であることを示せ。またこの場合には
　μ(S) = lim[T→∞] # S∩[1,T]×[1,T] ...(*)
が成立することを示せ。
(3) S = { (x,y) | x と y は互いに素 }は可測であることを示し、このときもも(*)が成立することを示せ。さらに μ(S) を求めよ。

121:１３２人目の素数さん
24/02/03 13:28:24.91 3SMt1m6a.net
>>120
1行ぬけたorz
追加
整数環の加法群をZであらわし、クルール位相で位相群とみなすとする。

122:１３２人目の素数さん
24/02/03 16:29:13.60 uyLPaYjo.net
ごめん、まんまクルール位相だとコンパクトにならないかも

123:１３２人目の素数さん
24/02/03 16:57:51.74 uyLPaYjo.net
イヤ大丈夫だった
Gm = Z/m!Zに離散位相入れてコンパクト
直積　ΠGm もコンパクト
その中の閉部分群

　{(a(m)+m!Z) | a(m) ≡ a(n) (mod n!) (∀m>n)}

もコンパクトでコレが Z + Krull 位相

124:１３２人目の素数さん
24/02/03 17:54:24.41 uyLPaYjo.net
まだダメだ
× Zの可法群
◯ ΠZ/nZにZを埋め込んだときの閉包
で

125:１３２人目の素数さん
24/02/05 20:45:51.08 DEvuP4sR.net
〔問題〕
mを正の整数とする。
次の条件をみたす正の整数 a,b の組を見つけよ。
　条件(2)　　aa+ab+bb = 7^m.
　条件(3)　　ab(a+b) は7で割り切れない。
数学セミナー, Vol.63, No.3,　Note　(2024/Mar)

126:１３２人目の素数さん
24/02/05 21:54:44.45 5z5jWF3G.net
条件(1)は？

127:１３２人目の素数さん
24/02/05 23:31:04.05 kBKm6I0h.net
ζ = exp( πi/3 ) とおいて

N( a+bζ ) = a^2 + ab + b^2
N( 2+ζ ) = 7

128:１３２人目の素数さん
24/02/06 00:22:33.20 ARzyamq0.net
正値性の担保はどうするんだろう？

129:１３２人目の素数さん
24/02/06 00:30:11.63 ARzyamq0.net
あと条件(3)は少し無駄あるよね
a,b,(a+b)のどれかが7の倍数なら他もそうなるから、aが7の倍数でないってだけで良さそうなのに

130:１３２人目の素数さん
24/02/06 00:34:23.60 TgXxtkkc.net
元ネタはコレ。。。

A2．
次の条件をみたす正整数 a,b のペアを1組みつけよ。
　条件(i)　　ab(a+b) は7で割り切れない。
　条件(ii)　　(a+b)^7 - a^7 - b^7 は 7^7 で割り切れる。

IMO-1984, チェコスロヴァキア大会 (@プラハ)

131:１３２人目の素数さん
24/02/06 01:31:01.41 AWUf5qiU.net
ω^2+ω+1=0
∀m∃k,a,b (2-ω)^m = (a+bω)(-ω)^k

132:１３２人目の素数さん
24/02/06 02:02:24.13 ARzyamq0.net
>>131
なるほどね
でも4象限分をカバーするためには-ω^2も必要だから
正確には(-1)^p ω^qで調節が正しいような

133:１３２人目の素数さん
24/02/06 02:11:14.67 ARzyamq0.net
というかi^kで調節すればいいか

134:１３２人目の素数さん
24/02/06 02:21:29.72 ARzyamq0.net
いやiは格子からはみ出るからダメだw

135:１３２人目の素数さん
24/02/06 03:00:25.59 ARzyamq0.net
>>132
いや失礼、(-ω)^5=-ω^2だ
だからω^3=1でとってるのか位数6になるように

136:１３２人目の素数さん
24/02/06 04:10:58.76 FmdKqeZW.net
ガウス環Rはpidで7のRでの素因数分解は

　7 = (2+ζ)(2+1/ζ)

よって

N(α)=7^m ⇔ α = ζ^p(2+ζ)^q(2+1/ζ)^r (q+r = m)

この内 ab(a+b)=0 ⇔ q=r で m:odd ならなし、m:even なら6個

137:prime_132
24/02/06 17:04:17.29 TgXxtkkc.net
剰余の定理より
　(2-x)^m = (xx+x+1)Q(x) + bx + a,
　(2-ω)^m = a + bω,

138:prime_132
24/02/06 18:25:40.89 TgXxtkkc.net
　(2-ω)^m = A(m) + B(m)･ω,
とおくと
　A(0)=1,　B(0)=0,
　A(m+1) = 2A(m) + B(m),
　B(m+1) = -A(m) +3B(m),
∴　A, B は整数。
　A+Bω = (a+bω)(-ω)^k,　0≦k≦5, a≧0, b≧0.
となるように、次のようにおく。
　A>0, B>0 のとき　(k,a,b) = (0, A, B)
　A≧-B≧0　のとき　(k,a,b) = (1, A-B, A)
　-B≧A≧0　のとき　(k,a,b) = (2, -B, A-B)
　-A>0. -B>0 のとき (k,a,b) = (3, -A, -B)
　-A≧B≧0　のとき　(k,a,b) = (4, B-A, -A)
　B≧-A≧0　のとき　(k,a,b) = (5, B, B-A)

139:prime_132
24/02/06 19:01:33.75 TgXxtkkc.net
偏角について
　arg(A+Bω) = m*arg(2-ω),
より
　arctan{(√3)B/(2A-B)} = -m･arctan((√3)/5)
　　　　= -(m/2)arccos(11/14),

140:１３２人目の素数さん
24/02/07 15:38:22.39 iS7qpSOT.net
平面上に有限個の点があり、白か黒の色が付いている.
さらに一つの直線上に全ての点が乗ることは無いものとする.
このとき, 2点以上の同じ色の点だけを通る直線を引けることを示せ.

141:１３２人目の素数さん
24/02/08 02:19:32.64 1eF/7thg.net
Motzkin-Rabinの定理ってやつらしいね。無理ゲー

142:１３２人目の素数さん
24/02/08 06:58:42.81 9mCZdR43.net
これか
URLﾘﾝｸ(www.sciencedirect.com)
面白い

143:１３２人目の素数さん
24/02/08 18:03:03.70 32el/UiT.net
>>141,142
仰る通りです
元々の論文の
1. 平面上の点を球面に射影する
2. 球面上の点を球面上の大円と1:1対応させる
2. グラフ理論の問題に帰着→オイラーの多面体定理で導く
という流れがあまりにエレガントなのでまた今度分かりやすくまとます

144:１３２人目の素数さん
24/02/08 18:03:24.00 32el/UiT.net
まとます→まとめます

145:１３２人目の素数さん
24/02/08 20:27:50.68 1eF/7thg.net
>>143
解説お待ちしております

146:１３２人目の素数さん
24/02/08 20:59:25.95 XHxX6ZKO.net
多面体定理とか使えるのか

147:１３２人目の素数さん
24/02/08 21:52:49.84 h6CuN/GG.net
面白いか分からないですが多分難しくはあると思います
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

148:１３２人目の素数さん
24/02/09 04:29:17.91 ANR6tb8+.net
難しくはありますね。。。

数列 {a_n} が条件
　・初項 a_1 = 1/√2,
　・S_n = Σ[k=1,n] a_k としたとき、次の漸化式を満たす。
　　　(a_n)^2 + (2S_n －1/√2)^2 = 1,
　・すべてのnに対して、a_n > 0.
を満たすとき、不等式
Σ[n=1,∞] √{(2a_{n+1})^2 + (a_{n+1}－a_n)^2} < π/4.
を示せ。
------------------------------------------------------
P_n (a_n, 2S_n －1/√2) は単位円上にある。
P_1 (1/√2, 1/√2) から出発し、 S_n は単調に増加する。

149:１３２人目の素数さん
24/02/09 06:47:08.25 HApxP0U8.net
高校スレとのマルチ

150:１３２人目の素数さん
24/02/09 15:31:28.41 o3Q5WWbz.net
>>148
kwsk
漸化式そんな風に変形できる？
ほんと？

151:１３２人目の素数さん
24/02/09 15:44:15.77 o3Q5WWbz.net
ああ、わかった。番号一個ずらしてn=1は別に確かめたのか

152:１３２人目の素数さん
24/02/09 16:47:58.44 o3Q5WWbz.net
あれ？条件みたす列ある？
第２項すら正の解ないよ？
Solve[x^2+8sx+4s^2-(2√2)(x+s) == 0,s==1/√2]

153:１３２人目の素数さん
24/02/09 16:50:34.21 o3Q5WWbz.net
訂正 5 ぬかした
Solve[5x^2+8sx+4s^2-(2√2)(x+s) == 0,s==1/√2]
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)

154:１３２人目の素数さん
24/02/09 18:28:41.07 iGBIM0fe.net
定規のみを使って、平面上の与えられた直線と平行な別の直線を作図することは可能か。

ただし、定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能であるという定理は用いて良い

155:１３２人目の素数さん
24/02/09 19:30:27.08 MbqznyUZ.net
平行線かけたら平行線3本と円との6つの交点をXXと結んで直径線が得られて、別の角度で同じことをすれば別の直径線が得られて、交点として円の中心を得る

なんか簡単すぎる気がして、どこかミスってる？

156:１３２人目の素数さん
24/02/09 19:51:34.37 o3Q5WWbz.net
そもそも
定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能である
これ正しい？そんな定理聞いたことないけど。

157:１３２人目の素数さん
24/02/09 19:59:48.66 MbqznyUZ.net
スタイナーの定理というらしいね
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
これのSteiner theoremの項目に書いてる

158:１３２人目の素数さん
24/02/09 20:14:07.71 o3Q5WWbz.net
ユークリッド図法の作図は、与えられた必要な要素が点（または線）である限り、コンパスと直定規の両方を使って作図できるものであれば、直定規だけを使って作図してもよい。
なんでこれで
定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能である
が証明できるん？

159:１３２人目の素数さん
24/02/09 20:27:45.37 MbqznyUZ.net
メイン項目じゃなくて、サブ項目のSteiner's theoremのとこ見て

160:１３２人目の素数さん
24/02/09 21:21:58.09 2zDPeVIc.net
>>158
2次方程式が解けないからだと思うな

161:１３２人目の素数さん
24/02/09 21:36:43.10 o3Q5WWbz.net
>>159
ほんとだ。あった。
言われてみれば当たり前か。

証明のナイーブな要約は以下の通りである。直定規を用いれば，線形射影変換のみが可能であり，線形射影変換は可逆操作である．直線はどのような線形射影変換のもとでも直線上に射影され、円錐断面は線形射影変換のもとでも円錐断面上に射影されるが、後者は偏心、焦点、円の中心が保存されないように歪む。異なる写像の連続の下では、中心は一意的かつ可逆的に写像されない。もし直線を使って円の中心を決めることができれば、このようなことは起こらない。線形変換は可逆的な操作であり、従って一意的な結果をもたらすので、一意的な結果が得られないという事実は、中心点の構築の不可能性を意味する。構築された中心の一意性は、構築を可逆にする追加情報に依存する。

162:１３２人目の素数さん
24/02/09 21:53:29.46 o3Q5WWbz.net
例あるね。射影変換 (x:y:z) → (x,y,z+x/2) で単位円 x^2+y^2 = z^2 上の点の行先計算すると

(1:0:1) → (1:0:3/2) = (2/3:0:1)
(-1:0:1) → (-1:0:1/2) = (-2:0:1)
(0:0:1) → (0:0:1)

だから中心はずれるんだ。なるほど。

163:１３２人目の素数さん
24/02/09 22:48:45.80 MbqznyUZ.net
あれ、、線形射影変換って式で書くとどういうやつ？
一次分数変換なら分母がゼロになるとこでは定義されないような

164:１３２人目の素数さん
24/02/09 23:06:52.76 iGBIM0fe.net
>>155
正解
ちょっと頭の体操的な感じの問題って補足入れとけば良かった

165:１３２人目の素数さん
24/02/10 02:08:06.34 Wbrvic9t.net
PGL^3(R) を RP^2 へ作用させる
定義域は RP^2 全体

166:１３２人目の素数さん
24/02/10 04:26:14.70 ThHNrf//.net
Mathlogで恐縮ですが、
>>140の解説を作りました
URLﾘﾝｸ(mathlog.info)

167:１３２人目の素数さん
24/02/10 05:55:23.31 Wbrvic9t.net
GJ 素晴らしい。
もしかして単純平面グラフの辺を２色に塗り分けると一色頂点が必ず生じるまで言えてる？

168:１３２人目の素数さん
24/02/10 06:04:03.53 ThHNrf//.net
>>167
それは残念ながら言えないですね
例えば四角形で考えて、青赤を交互にすればどの頂点も異なる色の変を結合してます

今回の場合は大円がクロスする設定なので言えるということですね

169:１３２人目の素数さん
24/02/10 06:04:24.07 ThHNrf//.net
色の変→色の辺

170:１３２人目の素数さん
24/02/10 07:03:46.80 Wbrvic9t.net
でも「大円の交差」なんてほとんど使ってないような。
せいぜい c(v)≧4 くらいでしょ？
まぁgeneral nonsense かもね。

171:１３２人目の素数さん
24/02/10 12:10:33.34 ThHNrf//.net
>>170
確かにそうですね
一般的な2色辺の単純平面グラフであれば、
「c(v)≦2となる頂点vが必ず存在する」
とまでは言えますかね

172:１３２人目の素数さん
24/02/11 03:22:18.34 kz7EJAxM.net
>>125
いま　c = -a -b を追加すると、題意の条件は
条件(1)　a+b+c = 0,
条件(2')　ab+bc+ca = -7^m,
条件(3')　abc ≢ 0　　(mod 7)
と対称化される。(それが狙い)

そこで
　　　(A｡, B｡, C｡) = (1, 0, -1)
　　　A_{n+1} = 2A_n - B_n,
　　　B_{n+1} = 2B_n - C_n,
　　　C_{n+1} = 2C_n - A_n,
によって数列 {A_n} {B_n} {C_n} を定義すれば、いずれも
　　X_{n+1} = 5X_n - 7X_{n-1},
なる漸化式を満たし、上記の条件を満たす。

{A_m, B_m, C_m} のうちの2つは同符号だから、
それらの絶対値を a, b とおけば題意を満たす。

数セミ, Vol.63, No.3, Note (2024/Mar)

173:１３２人目の素数さん
24/02/11 05:28:24.56 kz7EJAxM.net
1の3乗根
　ω = {-1 + √(-3)}/2,　
　ω~ = {-1 - √(-3)}/2,
特性値
　ξ = 3 + ω,
　ξ~ = 3 + ω~,
を使って一般項を表わせば
　A_n = {ω ξ^n - (ω~)(ξ~)^n} / √(-3),
　B_n = {ξ^n - (ξ~)^n} / √(-3),
　C_n = {(ω~) ξ^n - ω (ξ~)^n} / √(-3),

174:１３２人目の素数さん
24/02/11 15:21:14.01 7zUr7YH8.net
Σ_{n=-∞}^∞ f(n) = ∫_-∞^∞ f(x)dx
となる0ではない実解析的関数f:R→Rは存在するか？

175:１３２人目の素数さん
24/02/11 16:31:13.46 n0tHiTUW.net
∫_-∞^∞ exp(-n^2/2) = √(2π)
∫_-∞^∞ exp(-n^2) = √(π)
sum_(n=-∞)^∞ exp(-n^2/2) = ϑ_3(0, 1/sqrt(e))≈2.50663
sum_(n=-∞)^∞ exp(-n^2) = ϑ_3(0, 1/e)≈1.77264
a √(2π) + b √(π) = a ϑ_3(0, 1/sqrt(e)) + b ϑ_3(0, 1/e)
has non trivial roots

176:１３２人目の素数さん
24/02/11 16:33:21.02 n0tHiTUW.net
>>175
自明解しかないorz

177:１３２人目の素数さん
24/02/11 16:34:40.99 n0tHiTUW.net
ま、もう一個つかえばいいんだけど

178:１３２人目の素数さん
24/02/11 16:49:48.58 n0tHiTUW.net
あるやん
a = √(π) - ϑ_3(0, 1/e)
-b = √(2π) - ϑ_3(0, 1/sqrt(e))

179:１３２人目の素数さん
24/02/11 20:15:06.86 CL0NvoIK.net
R正値、実解析的な R 上の関数の集合を S とし線形汎函数 L, l を

　L(f) = ∫_-♾ ^♾ f(x)dx
　l(f) = Σ_-♾ ^♾ f(n)

とし、S0 = { L(f), l(f) < ♾ } とおく
S0上で

sup{ L(f)/l(f) }, inf{ L(f)/l(f) }

を求めよ

180:１３２人目の素数さん
24/02/11 21:35:52.56 dGLcwKey.net
>>174
F(t,n) := e^(-(t+n)^2)
∀t∈[0,1] ∫_(0≦t'≦1) Σ_(n∈Z) F(t',n) dt' = ∫_(x∈R) F(t,x)dx
∴ ∃t∈[0,1] Σ_(n∈Z) F(t,n) = ∫_(x∈R) F(t,x)dx

181:１３２人目の素数さん
24/02/13 05:11:10.47 +Po9oMVI.net
正ｎ角形には、それに内接する正方形が存在するらしい。

182:１３２人目の素数さん
24/02/13 09:04:15.71 Tp7YWVSN.net
あたまえ

183:１３２人目の素数さん
24/02/13 09:07:57.94 +X+7vVe8.net
正多面体は内接球を持つ

184:１３２人目の素数さん
24/02/13 09:11:44.56 Tp7YWVSN.net
線対称軸に直交する直線と正n角形の交点2つそれぞれ線対称軸に並行に直線引いて正n角形の交点2つを通る直線は線対象軸に直交するので4点で長方形
最初の直線を連続に変化させて長方形の辺の長さの差は連続的に変化するから中間値の定理により0すなわち正方形になることがある

185:１３２人目の素数さん
24/02/13 09:16:23.37 Tp7YWVSN.net
>>183
あたまえ
5個しかない

186:１３２人目の素数さん
24/02/13 09:58:28.62 y+EfK879.net
準正多面体で内接球を持つものは
正多面体に限る

187:１３２人目の素数さん
24/02/13 10:25:45.00 Tp7YWVSN.net
あたまえ
3個しかない

188:１３２人目の素数さん
24/02/13 11:59:07.17 1PU5hMSh.net
正多面体は５個だが
準正多面体は１３個

189:１３２人目の素数さん
24/02/13 19:23:07.68 GQw536ZS.net
>>188
>準正多面体は１３個
そうなの？半正多面体じゃ無くて？

190:１３２人目の素数さん
24/02/13 19:25:22.13 GQw536ZS.net
考えてみたら
内接球って
各面に接しないと行けないという縛りが無くてもいいよな
ならどんな多面体にも内接球はあるんじゃネ？

191:１３２人目の素数さん
24/02/13 19:56:34.15 luyiT2KY.net
不等式
∫[0,1] exp(-x)*(x^2+x+1) dx > 1
を示せ。

192:１３２人目の素数さん
24/02/13 20:53:09.30 ypw9noSj.net
ん、普通に積分が実行できてしまうけどいいの？

193:１３２人目の素数さん
24/02/13 22:11:10.46 +X+7vVe8.net
>>190
三角形の内接円は？

194:１３２人目の素数さん
24/02/13 22:32:47.41 Tp7YWVSN.net
>>193
必ず存在するでしょ？

195:１３２人目の素数さん
24/02/13 22:40:04.00 +X+7vVe8.net
>>190
>どんな多面体にも内接球はあるんじゃネ？
だとするとどんな四角形にも内接円はあるんじゃネ？

196:１３２人目の素数さん
24/02/14 00:08:25.05 Gsin+Z4o.net
>>195
あるんじゃね？
>>190と同じ意味なら

197:１３２人目の素数さん
24/02/14 00:21:42.48 GNIan5Mg.net
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)

198:１３２人目の素数さん
24/02/14 01:32:42.31 e0NB9mZ7.net
>>191
1 + x + (e-2)x^2
　= 1 + x + (Σ[k=2,∞] 1/k!) x^2
　≧ 1 + x + Σ[k=2,∞] (1/k!) x^k　　( |x|≦1 )
　= e^x,　　　　　(← マクローリン展開)
より、被積分関数は
　（1+x+(e-2)x^2）e^{-x} ≧（e^x）e^{-x} = 1,
これを [0,1] で積分すると
　∫[0,1]（1+x+(e-2)x^2）e^{-x} dx > ∫[0,1] dx = 1,

・普通に積分を実行すると
　∫[0,1]（1 + ｘ + (e-2)x^2）e^{-x} dx
　　= [（-2(e-1) - (2e-3)x - (e-2)x^2）e^{-x} ] (x=0,1)
　　= 1 + (2ee - 8e + 7)/e
　　> 1,

*)　e-2 > 1/√2 = 0.707107　より
　0 < 2(e-2 - 1/√2)(e-2 + 1/√2) = 2ee - 8ｅ + 7,

199:１３２人目の素数さん
24/02/14 01:36:38.84 oFV0qf5m.net
ん、なんでx^2の係数をe-2にしてんの

200:１３２人目の素数さん
24/02/14 01:59:52.13 e0NB9mZ7.net
被積分関数は
（1+x+xx）e^{-x}
　　≧（1+x+xx)（1 - x + xx/2 - x^3/6)
　　= 1 + xx(1-x)(3-x+xx)/6
　　> 1,

201:１３２人目の素数さん
24/02/14 02:52:22.75 oFV0qf5m.net
ああ、x=1のときf(x)=1になるようにギリギリまで調整したのか

202:１３２人目の素数さん
24/02/14 11:34:13.07 1ZQejWDl.net
以下の2条件を満たす実数a,bを決定せよ。
・0≦x≦1で常に
exp(-x)*(x^2+ax+b) ≧ 1
が成立する。
・| ∫[0,1] exp(-x)*(x^2+ax+b) dx - 1 |
を最小とする。

203:１３２人目の素数さん
24/02/14 18:21:06.03 KR7c1JPW.net
◆10000099から10000139の範囲に
素数は三個
10000103
10000121
10000139
◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,525}],{n,5000050,5000070}]
{0, 0, 10000103, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
10000121, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10000139}

◆的中率100％

204:１３２人目の素数さん
24/02/14 18:23:05.87 oFV0qf5m.net
最初の条件から積分は非負なのに絶対値つけてるのはなぜ？

205:１３２人目の素数さん
24/02/14 18:28:03.99 Gsin+Z4o.net
-1

206:１３２人目の素数さん
24/02/14 18:47:06.60 oFV0qf5m.net
もちろん-1も込みでさ

207:１３２人目の素数さん
24/02/14 19:32:07.14 7Kq4N6qo.net
2以上の自然数は二つの不足数の和として表せることを示せ。

208:１３２人目の素数さん
24/02/14 19:52:29.66 oFV0qf5m.net
不足数（ふそくすう、英: deficient number）とは、その約数の総和が元の数の 2 倍より小さい自然数のことである。この不足数の定義は「その数自身を除く約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。

209:１３２人目の素数さん
24/02/14 20:08:52.43 KR7c1JPW.net
◆19999から20139の範囲に
素数は15個
20011 20021 20023 20029 20047 20051
20063 20071 20089 20101 20107 20113
20117 20123 20129
◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,10000,10070}]
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 20011, 0, 0, 0, 0, 20021,
20023, 0, 0, 20029, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
20047, 0, 20051, 0, 0, 0, 0, 0, 20063, 0, 0,
0, 20071, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20089, 0, 0,
0, 0, 0, 20101, 0, 0, 20107, 0, 0, 20113, 0,
20117, 0, 0, 20123, 0, 0, 20129, 0, 0, 0, 0, 0}

◆的中率100％

210:１３２人目の素数さん
24/02/14 22:33:06.77 BMdi34BM.net
複素平面の原点中心の単位円周上の
任意の４点a,b,c,dに対し
|(a-b)(b-c)(c-a)|+|(d-b)(b-c)(c-d)|
=|(a-b)(b-d)(d-a)|+|(b-c)(c-d)(d-b)|
であることを示せ

211:１３２人目の素数さん
24/02/14 22:59:43.02 oFV0qf5m.net
両辺に同じ項があるけどいいの？

212:prime_132
24/02/14 22:59:56.77 e0NB9mZ7.net
3点を頂点とする⊿の面積を S(a,b,c) 等とすると
　S(a,b,c) + S(c,d,a) = ◇abcd = S(d,a,b) + S(b,c,d)
4点は同一円周上にあるから、外接円の半径は4つともR.
正弦定理などから
　S(a,b,c) = |a-b||b-c||c-a|/(4R),　etc.
これを上式に入れる。

213:１３２人目の素数さん
24/02/14 23:36:44.52 oDzxHQfJ.net
4点の並び順でダメになる悪寒

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