分からない問題はここに書いてね463

分からない問題はここ ..

2:１３２人目の素数さん
20/09/11 17:30:29.52 SzpHTH85.net
>>1乙
どつかのスレでlogがらみの積分で級数展開して最後答えがπ^2/9になるやつありませんでしたっけ？

3:１３２人目の素数さん
20/09/11 18:03:23.43 0vyDwvVq.net
>>2
これのことかな
面白い問題おしえて～な 32問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:962番)

4:１３２人目の素数さん
20/09/11 18:48:50.18 SzpHTH85.net
>>3
そーれーっす
あざっす

5:イナ
20/09/11 20:38:48.54 AaAozqQu.net
(x^2-x+1)/x(x-1)=1+1/x(x-1)
=1+1/(x-1)-1/x
=(x-1)/(x-1)+1/(x-1)-1/x
=x/(x-1)-1/x

6:１３２人目の素数さん
20/09/11 22:22:31.10 5dwoXKFC.net
ゴールドバッハ予想を、量子論を使って証明する方法を教えてください。
整数m,n対して、n+m　 n-m 　が共に素数となる
→主量子数ｎに対して、磁気量子数が共に素数となる
これを使ってゴールドバッハ予想を証明したいです。

7:１３２人目の素数さん
20/09/12 07:33:44.47 qHTkNLQP.net
「磁気量子数」の数学的定義を書いてください

8:１３２人目の素数さん
20/09/12 11:33:46.98 xwQy/oao.net
xy平面についての話です。
面積がdである任意の有界閉領域Dに対して、Dに依らないある写像f:(x,y)→(g(x,y),h(x,y))が存在し、fによりDが移った領域Eの面積もdとなる。
このような写像fを考えます。
fは回転移動か平行移動か鏡映、あるいはそれらの合成に限られますか？
fが一次変換の場合はこの通りですが、一次変換に限らない場合の結論をご存知の方お教えください。
またこの問題はどのような分野で扱われる話かもご教授くださいますと幸いです。

9:１３２人目の素数さん
20/09/12 13:21:35.01 v7yy0XZu.net
>>8
例えば非圧縮性の2次元流体に力場(あるいは発散ゼロの速度場)が与えられたときの解は
グニャングニャンに引き伸ばされても面積が保たれる。

10:１３２人目の素数さん
20/09/12 17:18:32.11 m5tE+1+v.net
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
□■□□□□□□
□□□□□□□□
□□□□□□□□
2^n × 2^nのチェス盤から
1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は
以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ
□
□□

2x2の4マスだと欠損がどこにあっても
100%設置可能はすぐわかる
2^n × 2^n以外の6x6の36マスだと
欠損で35マス、3の倍数にならないから
設置不可能になるのもわかる
同じ2^n × 2^n以外の10x10の100マスは
欠損で99マス、3の倍数になるけど設置可能
か否かもわかりません(>_<)

11:１３２人目の素数さん
20/09/12 18:33:44.15 hYMKzfsz.net
ネットで拾った問題ですが答えが書かれていなかったので教えてください。
問題　「サイコロ3つ振った時、1つでも4が出る確率は？」
私は単純に1/6と思ったのですが同じ回答が見受けられませんでした。よろしくお願いします。

12:１３２人目の素数さん
20/09/12 19:44:26.51 VggyUrOw.net
f(x)はすべての実数xについて微分可能な関数で、関係式
f(2x)=(e^x+1)f(x)
を満たしている。
f'(0)=aのとき、aの値により場合を分けてf(x)を求めよ。ここでaは実数の定数である。

13:１３２人目の素数さん
20/09/12 19:48:41.66 hP7TPYf/.net
>>11
サイコロ3つ振ったときの目の出方は216通り。4が出ない目の出方は125通り。
よってp=91/216

14:１３２人目の素数さん
20/09/12 19:50:26.65 7x3M9rP9.net
>>10
大数の宿題（懸賞問題）じゃねーか
来月に解答載るから待ってろ

15:１３２人目の素数さん
20/09/12 19:58:25.39 1FEOb3oP.net
>>8
一次変換に限っても
(x,y) |-> (x+y, y)
(x,y) |-> (2x, y/2)
など

16:１３２人目の素数さん
20/09/12 20:38:02.87 DDwbgG7W.net
問題ではないんですが
n
Σ(k+m)Ck = (m+n+1)Cn
k=0
という式変換はなんという公式？を使っていますか？公式の名前かキーワードかなにか教えてください
formula for parallel summingと書いてあったのですが日本語での情報が引っかからず困っています

17:１３２人目の素数さん
20/09/12 22:45:36.07 l6+bb6cJ.net
>>11
1 - (5/6)^3

18:１３２人目の素数さん
20/09/12 22:58:06.23 v7yy0XZu.net
>>16
Hockey-Stick Identity (ホッケースティック恒等式)
(1-x)^{-(m+2)} = {テイラー展開}
(1-x)^{-(m+1)} * (1-x)^{-1} = {テイラー展開}*{テイラー展開} = ...
で係数を見比べるのが一番簡単だと思う

19:１３２人目の素数さん
20/09/12 23:14:06.66 DDwbgG7W.net
>>18
ああーパスカルの三角形上のアレだったんですね！すっかり失念してました…
名前が付いていることも初めて知り勉強になりました。ありがとうございました

20:１３２人目の素数さん
20/09/13 00:00:38.50 T+9N6H/j.net
>>10　秋山仁の発見的教授法の「証明の仕方」か
「視覚的な解き方」のどっちかに同じ問題があった気がする。
古い本だから今の本屋には売ってないとおもわれる。

21:１３２人目の素数さん
20/09/13 00:53:42.37 T+9N6H/j.net
>>10 解き方思い出した、
2^n × 2^n　のチェス盤は
2^n-1 ×　2^n-1 のチェス盤を田の字に並べたもの。
あとは帰納法で簡単に解ける。

22:１３２人目の素数さん
20/09/13 06:47:00.83 UPpf7WAj.net
>>13
なるほど出目からかんがえればよいのですね。
ありがとうございます。
>>17
ごめんなさい。私には呪文にしか見えませんw　勉強します。
ありがとうございます。

23:18
20/09/13 11:21:56.83 MYDmfvSf.net
>>16
よく考えたら一番簡単なのは普通の帰納法だったわ。
{テイラー展開} * {テイラー展開} = ... は、例えば↓こんな恒等式の導出で効いてくる。
　Σ[k=0,n] C{a+k-1, a} C{b+n-k, b} = C{a+b+n, n}
最初に思い浮かんだのはこの式だったので一番簡単と書いてしまった。
( a=m+1, b=0 でホッケースティックになる )

24:１３２人目の素数さん
20/09/13 21:33:00.43 l1tHCm1R.net
0.999...9(9がn個)=a_nとし、
0.999...:=lim(n→∞)a_nと定義する.
1=0.999...と仮定すると、
N(1)を1の開近傍系として
任意U∈N(1)に対して、ある自然数N_0が存在し、
n≧N_0ならばa_n∈U となる
しかし、{1}∈N(1)であるが、任意の自然数nに対してa_n∈{1}ではない
これは矛盾
したがって0.999...は1ではない

↑これについて真偽判定してくれ～(^_^)ﾉ

25:１３２人目の素数さん
20/09/13 21:37:25.70 UZWmVIqP.net
>>24
普通の位相を考えるなら{1}は1の近傍ではないよ

26:１３２人目の素数さん
20/09/13 22:54:21.16 uTcIrdr2.net
例のスレで見たんだろうけど、あそこでは離散位相を採用しててa_nは収束しないからそもそも「0.999…」が定義できてないんだよなあ

27:１３２人目の素数さん
20/09/14 01:51:08.06 9be1kXTR.net
>>23
生成関数（母関数）は
Σ[k=0,∞] C(a+k,a)･x^k
　= (1/a!)Σ[k=0,∞] (k+a)(k+a-1)････(k+1)x^k
　= (1/a!)(d/dx)^a Σ[k=0,∞] x^{a+k}
　= (1/a!)(d/dx)^a Σ[k'=0,∞] x^{k'}
　= (1/a!)(d/dx)^a 1/(1-x)
　= 1/(1-x)^{a+1},

28:１３２人目の素数さん
20/09/14 17:31:05.13 9be1kXTR.net
前スレ.995
Pが小さい長方形
　(x, y)　(x+⊿x, y)　(x, y+⊿y)　(x+⊿x, y+⊿y)
内にあるとき
Qは小さい「平行4辺形」
　(u, v)　(u+⊿x, v+y⊿x)　(u+⊿y, v+x⊿y)　(u+⊿x+⊿y, v+y⊿x+x⊿y+⊿x⊿y)
の中に移る。(u=x+y, v=xy)
このとき面積は
　(⊿x)(⊿y)　→　|x-y|(⊿x)(⊿y) + (高次の項)
となり、局所面積比ｋは
　k = |x-y|
∴　0 ～ ∞　の値をとる。
なお一般に、(x,y) → (u,v)　における局所面積比ｋは
　k = |(∂u/∂x)(∂v/∂y) - (∂u/∂y)(∂v/∂x)|
で与えられ、ヤコビアンと呼ばれる。

29:１３２人目の素数さん
20/09/14 17:39:07.94 gxIagbDw.net
実解析的な関数が重要なのはなぜですか？

30:１３２人目の素数さん
20/09/14 18:27:54.65 9be1kXTR.net
>>8
小さい長方形D（面積d）
　(x,y)　(x+⊿x,y)　(x,y+⊿y)　(x+⊿x,y+⊿y)
のfによる像は
小さい「平行4辺形」E（面積kd）
一般に、ｆ：(x,y) → (g(x,y),h(x,y))　の面積比ｋは
　k = |(∂g/∂x)(∂h/∂y) - (∂g/∂y)(∂h/∂x)|
で与えられ、ヤコビアンと呼ばれる。

31:１３２人目の素数さん
20/09/14 18:31:49.11 9be1kXTR.net
>>12
　f(x) = a (e^x - 1),

32:１３２人目の素数さん
20/09/14 19:26:56.29 gxIagbDw.net
一松信の解析学序説上の以下の定理と系について質問です。
なぜ、この系は定理6.2の系なのでしょうか？
収束半径という用語を定義するのに定理6.2は必要ですが、それだけのことで系になっているのでしょうか？
「0を中心とする整級数が0以外の点で収束するための必要十分条件は、適当な正の定数c, Mを選んで、すべてのnについて
|a_n| ≦ c*M^nが成立するようにできることである。」
と書けば、収束半径という用語を排除することができます。
定理6.2
0を中心とする整級数sに対して、次のような性質をもつρがただ一つ定まる。
|x|<ρである任意のxに対して、sは絶対収束する。
|x| >ρである任意のxに対して、sは発散する。
系
0を中心とする整級数が0でない収束半径をもつための必要十分条件は、適当な正の定数c, Mを選んで、すべてのnについて
|a_n| ≦ c*M^nが成立するようにできることである。

33:１３２人目の素数さん
20/09/14 21:42:29.08 EGqFVRyO.net
>>10
こないだ見た
いい問題だった

34:１３２人目の素数さん
20/09/15 03:29:58.18 6NaVD6qo.net
>>32
定理の証明に系を使ってるんだろ

35:１３２人目の素数さん
20/09/15 07:36:17.90 6tcrw6c8.net
>>34どういうことですか？定理6.2の証明にその系を使っている？意味が分かりません。

36:１３２人目の素数さん
20/09/15 08:10:12.80 bL5lP9LW.net
>>27
〔生成関数〕
　生(なま)にするか成るかを決める関数。不成(ならず)の関数ともいう。
(大意)
　王将・金将以外の駒は、敵陣で動く際には、
金将のはたらきをするように成ることができます。(不可逆)

37:１３２人目の素数さん
20/09/15 08:42:37.96 6tcrw6c8.net
一松信の解析学序説上の以下の問題についてなのですが、開区間(a, b)で定義された単調函数f(x)に対して、lim_{x→a+0} f(x)は常に存在するように思います。
ですので、数列がうんぬんという箇所は無意味だと思いますが、いかがでしょうか？
「単調函数f(x)が開区間(a, b)で定義され、一つの減少数列a_n→a(a_n>a)に対して、lim_{n→∞} f(a_n) = αならば、lim_{x→a+0} f(x)が存在してαに等しい。」

38:１３２人目の素数さん
20/09/15 09:56:50.32 pFCL+Buz.net
>>36
大駒が成ったときの動きは？

39:１３２人目の素数さん
20/09/15 12:40:54.96 6NaVD6qo.net
>>35
定理6.2の証明を読んでみたか？

40:１３２人目の素数さん
20/09/15 12:42:43.82 DOEBTSVp.net
>>37
f(x) = 1/x は (0, ∞) で定義された単調関数だが、 lim[x→+0] 1/x は存在しない

41:１３２人目の素数さん
20/09/15 13:01:44.53 TrGR7Hlq.net
「数学の本第91巻」スレより
> 414１３２人目の素数さん2020/09/15(火) 00:48:47.94ID:TrGR7Hlq
> 話を横取りするようで悪いが、log(1+x) の級数展開に関して
> 複素領域の収束円上で級数が収束するのは x=1 だけなのか？他にもあるならどんな分布をしているのか？
> その辺りに言及してる文献(またはサイト)があれば教えてほしい。
>
> 415１３２人目の素数さん2020/09/15(火) 11:12:40.77ID:N/433de6
> x=-1の時だけ発散だろうに（証明は読者の演習問題とする）
問題を整理すると
　Σ[k=1,∞] 1/k * e^{i2πkt}
これが発散するのは t が整数の時だけなのか？誰か分かる人お願いします。

42:１３２人目の素数さん
20/09/15 13:24:57.20 6tcrw6c8.net
>>39
もちろん読みました。読んだ直後に系を見ての疑問です。

43:41
20/09/15 14:30:07.91 TrGR7Hlq.net
>>41 (少しだけ進展)
t = 1/3, 2/3 の場合は、3項づつまとめて...
| 1/(3k+0) * e^{i2πt*(3k+0)} + 1/(3k+1) * e^{i2πt*(3k+1)} + 1/(3k+2) * e^{i2πt*(3k+2)} |
　< ( (3k)² (1+e^.+e^..) + k*...+ ... ) / ((3k)(3k+1)(3k+2))
　< M / k² 　{ ∵ 1+e^{i2πt*1}+e^{i2πt*2} = 0, Mはkに依存しない係数 }
よって絶対収束に帰着する。
同様に t が整数以外の有理数の時は収束する。
しかし t が無理数の時はどうしたらいいのか分からない。

44:１３２人目の素数さん
20/09/15 15:00:16.73 zFL7+RUP.net
>>43 つ「Abelの変形法」

45:１３２人目の素数さん
20/09/15 15:38:45.70 TrGR7Hlq.net
>>44
どう使えばいいのか分からない。もう少し詳しくお願いします。
Abelの連続性定理の証明に出てくる変形もその一種らしいのは分かった。
しかし連続性定理は「収束する」かどうかまでは教えてくれない。

46:１３２人目の素数さん
20/09/15 16:25:04.47 zFL7+RUP.net
>>45
S_k = 1+z+z^2+z^3+...+z^k = (1-z^{k+1})/(1-z) とする。
Σ[k=1,n] 1/k * z^k
= Σ[k=1,n] 1/k * (S_k - S_{k-1})
= Σ[k=1,n-1] (1/k - 1/(k+1))*S_k + S_{k-1}/n - 1
= Σ[k=1,n-1] (1/k(k+1))*S_k + S_{k-1}/n - 1.
z=e^{i2πt}, z≠1 なら S_k (k=0,1,2,...) は有界であり、
Σ[k=1,∞] (1/k(k+1)) は収束するから、
このとき Σ[k=1,∞] 1/k * z^k は収束する。

47:１３２人目の素数さん
20/09/15 16:30:18.09 TrGR7Hlq.net
>>46 ありがとう。理解できました。

48:１３２人目の素数さん
20/09/15 16:44:57.90 SDsGw6sI.net
>>31
どういう方法で解決しましたか？
確かにそれで合っていて、場合分けもなさそうなのですが、この解ですべてを表していることの証明がうまくいかないです。

49:１３２人目の素数さん
20/09/15 18:29:14.04 fRXUQm28.net
>>48
ヨコ
f(0)=0は容易
g(x)=f(x)/(e^x-1) (x≒0)
とおけば仮定によりg(x)はg(0)=aとすれば全てのxで連続な関数に拡張される
この時g(x)=g(x/2)より
g(x)=lim g(x/2^n) = g(0)=a

50:１３２人目の素数さん
20/09/15 20:30:46.66 6tcrw6c8.net
λ > μ > 1のとき、十分大きなnに対して、λ/n + 1 > (1 + 1/n)^μが成り立つというのはなぜですか？

51:１３２人目の素数さん
20/09/15 20:49:15.79 6NaVD6qo.net
>>42
系の証明が含まれてる事に気づかないのか？
(本を持ってないから予想だがな、頭の中で証明してみたら含んでたのさ)

52:１３２人目の素数さん
20/09/15 21:22:42.84 TrGR7Hlq.net
>>50
λ > M/N > μ > 1 となるような有理数 M/N ( M≧2, N≧2 ) が存在する。
(1+1/n)^{M} = 1 + M/n + M(M-1)/(2n²) + ... + 1/n^M = 1 + M/n + o₁(1/n)
(1+λ/n)^N = ... = 1 + Nλ/n + o₂(1/n)
あるN₀が存在して
n ≧ N₀ の時、 | o₂(1/n) - o₁(1/n) | < (Nλ- M)/2n が成り立つので
(1+λ/n)^N - (1+1/n)^{M} = (Nλ- M)/n + o₂(1/n) - o₁(1/n) ＞ (Nλ- M)/2n ＞ 0
∴ (1+λ/n)^N　＞ (1+1/n)^{M}
1+λ/n = (1+λ/n)^{N/N} ＞ (1+1/n)^{M/N} ＞ (1+1/n)^{μ}

53:１３２人目の素数さん
20/09/16 06:15:37.19 dXfdnrfW.net
>>49
g(2x)とg(x)の関係を逆に見てg(x/2)をど作るんですね。
それを繰り返せばn→∞でx/2^n→0が使えると。全然思いつきませんでした。
微分というより極限を使うんですか、この方法は覚えておきます。ありがとうございます。

54:１３２人目の素数さん
20/09/16 14:43:52.67 462wK+2o.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
これって書き出してくしかないですか？
早く解ける方法が知りたいです。

55:１３２人目の素数さん
20/09/16 14:45:25.19 462wK+2o.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図形問題苦手です！ほんと教えて下さい

56:１３２人目の素数さん
20/09/16 15:04:36.32 Bs83Rmq4.net
>>54
そのような整数を x とし、 x の各桁を表す一桁の整数を a, b, c とし、
x の一の位と百の位の数を入れ替えてできる整数を y とする。
このとき、 x および y は
x = 100a + 10b + c
y = 100c + 10b + a
と書ける。問題の条件より
a + b + c = 14
y - x = 594
だから、これらを使って a, b, c の候補を絞り込めば良い。

57:１３２人目の素数さん
20/09/16 15:45:18.12 s4jUziKT.net
y - x = 99(c-a),
∴　c-a = 6,
題意より x は3桁
∴　a = 1,2,3
(a,b,c) = (1,6,7)　(2,4,8)　(3,2,9)
x = 167, 248, 329
答え　3個

58:１３２人目の素数さん
20/09/16 15:47:27.21 s4jUziKT.net
【No.16改】
各位の数字がそれぞれ異なる３桁の正の整数があり、
各位の数字の和が14である。
今、この３桁の整数が、一の位の数と百の位の数を
入れ替えてできる整数より594大きいとき、
このような整数の個数は何個か。

59:１３２人目の素数さん
20/09/16 16:00:30.60 s4jUziKT.net
>>55
△ABC ≡ △ACD,
△ABC = △ACD = (1/2)AC･AD sinα,
△AEF = (1/2)AE･AF sinα,
∴ △ABC/△AEF ＝ (AC/AE)(AD/AF) = (1+3)(1+1) = 8,
答え　8倍

60:１３２人目の素数さん
20/09/16 16:04:24.80 Bs83Rmq4.net
>>55
三角形 ABC は三角形 ACD と合同なので、三角形 ACD の面積が三角形 AEF の面積の何倍か調べれば良い。
点 F と点 C を結ぶと、点 F が辺 AD の中点であることから、三角形 ACF と三角形 CDF の面積は等しい。
したがって、三角形 ACF の面積が三角形 AEF の面積の何倍か調べれば良い。
点 E が対角線 AC を 1 : 3 に分けることから、三角形 ECF の面積は三角形 AEF の面積の 3 倍である。
すなわち、三角形 ACF の面積は三角形 AEF の面積の 4 倍に等しい。

61:１３２人目の素数さん
20/09/16 16:16:34.75 Bs83Rmq4.net
>>58
c - a = 6 が a - c = 6 に変わるだけだと思うが
c = 0 でも良いことに注意するだけ

62:１３２人目の素数さん
20/09/16 17:21:14.65 s4jUziKT.net
>>50
十分大きなnに対して
　n(1/μ - 1/λ) > 1,
　n/μ > n/λ + 1,
　(1 + λ/n)^{n/μ} > (1 + λ/n)^{n/λ + 1} > e > (1 + 1/n)^n,
　1 + λ/n > (1 + 1/n)^μ,
〔補題〕
(1+1/m)^{m+1} > e > (1+1/n)^n,

63:１３２人目の素数さん
20/09/16 17:59:12.68 s4jUziKT.net
〔補題〕
(1 + 1/n)^{n+1} > e > (1 + 1/n)^n,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:14番)-15

64:１３２人目の素数さん
20/09/16 19:08:00.81 s4jUziKT.net
>>38
　大護摩の場合は、元々の利きに加えて王の利きも兼ねる。

URLﾘﾝｸ(www.jalan.net)
URLﾘﾝｸ(www.rinnoji.or.jp)
URLﾘﾝｸ(www.fudouin.jp) → 柴燈大護摩・火渡り

65:１３２人目の素数さん
20/09/16 23:37:02.93 Gf4JsLzZ.net
>>55
小さい方は底辺が1/4、高さが1/2だから面積は1/8
大きい方は小さい方の8倍

66:１３２人目の素数さん
20/09/17 05:35:35.60 qCXIHlPk.net
任意の正の整数nに対して不等式
(1+1/n)^n < e < (1+1/n)^(n+p)
を成立させる実数pの下限を知りたいです
微積の教科書ではp=1/2の場合に上記の不等式が成り立つことが書かれていますが、pを1/2未満にすることは可能でしょうか？

67:１３２人目の素数さん
20/09/17 06:17:17.94 JAjT4ATP.net
対数をとってみると
(n+p)log(1 + 1/n)
　= (n+p){1/n -1/(2nn) +1/(3n^3) -1/(4n^4) + ････}
　= 1 + (p-1/2)/n + (2/3 -p)/(2nn) - (3/4 -p)/(3n^3) - ････
nが十分大きいとき >1 となることから p≧1/2
でしょうね。

68:イナ
20/09/17 07:32:12.62 Jspq2G5e.net
前 >>5
>>54
3個
 >>55
8倍

69:イナ
20/09/17 07:38:57.19 Jspq2G5e.net
前 >>68
∵(1/4)(1/2)=1/8
∵594≒600
7―1,8―2,9―3の3つしかない。

70:イナ
20/09/17 08:54:23.46 Jspq2G5e.net
前 >>69
761-167=594
842-248=594
923-329=594
∴示された。

71:１３２人目の素数さん
20/09/17 09:18:05.70 080v66Hb.net
680は？

72:１３２人目の素数さん
20/09/17 10:23:38.12 UBnPUQaR.net
司法試験予備試験の問題
球面上の異なる 2 点間の球面に沿った最短距離は，大円（球の中心を通る平面と球面が交わって共有する円）のそれら 2 点を端点とする弧の（長くない方の）長さである。地球上で北緯 45 度・東経 145 度，北緯 45 度・西経 125 度に位置する 2 地点間の地表面に沿った最短距離として最も近いものを，次の1から5までの中から選びなさい。ただし，地球は半径 6378 km の球とする。
1．5009 km 2．6679 km 3．8348 km 4．9017 km 5．9876 km

73:１３２人目の素数さん
20/09/17 10:50:18.46 Adom/Imd.net
>>72
1アース=6378kmの単位で測り、以外単位省略
いずれも北緯45°の小円上(半径1/√2)の2点でコレら端点とする円弧の中心角は360°-(145°+125°)=90°
∴直線距離は1
∴2点を端点とする大円上の円弧の中心角は60°
∴最短距離は
π/3アース= π/3×6,378km=6679.0259815319km

74:イナ
20/09/17 11:07:00.11 Jspq2G5e.net
前 >>70
>>71題意は3桁だから86は不適。
>>72
2πr/4=6378π/2=3189π
∴5

75:１３２人目の素数さん
20/09/17 13:06:58.95 5eERmIBmK
男子2人と女子4人が並ぶ際女子二人が隣り合わない場合って問題があったんだけど
これって求められる？

76:１３２人目の素数さん
20/09/17 12:54:20.47 Kz+iOohl.net
a[k]=n^kとする。
任意の自然数nに対して
(1+1/a[k])^a[k] < e < (1+1/a[k])^(a[k]+p)
を成立させる最小のpをkで表せ。

77:１３２人目の素数さん
20/09/17 13:09:54.98 RV9ad19o.net
>>76
一の位と百の位を入れ替えてできる整数としか書いてないよ
入れ替えても3桁とは言ってない

78:イナ
20/09/17 13:24:26.08 Jspq2G5e.net
前 >>74
86は整数だが086は数字が並んだものに過ぎず整数とは呼べない。

79:１３２人目の素数さん
20/09/17 13:31:58.97 RV9ad19o.net
>>76
p>1/log(1+n^k)-n^k (∀n)
⇔p≧lim (1/log(1+t)-1/t) (∵ 右辺はtについて単調減少)
⇔≧p≧1/2

80:１３２人目の素数さん
20/09/17 13:34:06.99 RV9ad19o.net
>>78
まぁそれならわからないではないが、それを「3桁の整数ではないからダメ」と言ってしまった後では言い訳してると思われますなww

81:イナ
20/09/17 15:17:59.23 Jspq2G5e.net
前 >>78
だから86は整数だが2桁だからだめなんだよ。
一の位と百の位を入れ替えても整数じゃなきゃだめだもんで。
結局3桁じゃねえからだめだと言っただら。

82:イナ
20/09/17 15:17:59.47 Jspq2G5e.net
前 >>78
だから86は整数だが2桁だからだめなんだよ。
一の位と百の位を入れ替えても整数じゃなきゃだめだもんで。
結局3桁じゃねえからだめだと言っただら。

83:１３２人目の素数さん
20/09/17 15:47:59.01 cukv+H71.net
ちょっといいわけとしては無理あるかな
最初の言い方では指摘したかった部分を指摘できていたとは言いがたい
ところでイナは前>>○○ってのをやめてくれないかなあ
汚くなるし見づらいし意味がわからんし
やりたきゃ名前欄に入れるとかしてくれよ

84:１３２人目の素数さん
20/09/17 16:17:45.91 sKJeoGsc.net
>>72
数値を変えても計算できるようにプログラムにしてみた（単なる計算式）
> fn <- function(
+ ai=45, 　# 北緯°
+ ak=145, 　# 東経°
+ bi=45, 　# 北緯°(南緯はー°)
+ bk=-125){　# 東経°(西経はー°)
+ R=6378 # 地球の半径km
+ u=pi/180
+ A=R*c(cos(ai*u)*cos(ak*u),cos(ai*u)*sin(ak*u),sin(ai*u))
+ B=R*c(cos(bi*u)*cos(bk*u),cos(bi*u)*sin(bk*u),sin(bi*u))
+ AB=sqrt(sum((A-B)^2))
+ asin(AB/(2*R))*2*R
+ }
> fn()
[1] 6679.026
> " URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)日本の端の一覧#離島を含む日本の東西南北端
+ 最東端
+ 南鳥島・坂本崎（東京都小笠原村北緯24度16分59秒東経153度59分12秒）
+
+ 最西端
+ トゥイシ（沖縄県八重山郡与那国町北緯24度27分5秒東経122度55分57秒
+ "
[1] " URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)日本の端の一覧#離島を含む日本の東西南北端\n最東端\n南鳥島・坂本崎（東京都小笠原村北緯24度16分59秒東経153度59分12秒）\n\n最西端\nトゥイシ（沖縄県八重山郡与那国町北緯24度27分5秒東経122度55分57秒\n"
> fn(24+16/60+59/3600,153+59/60+12/3600,24+27/60+5/3600,122+55/60+57/3600)
[1] 3142.256
> "
+ 最北端
+ 弁天島（北海道稚内市北緯45度31分35秒東経141度55分9秒）
+ 最南端
+ 沖ノ鳥島・北小島（東京都小笠原村北緯20度25分30.6585秒東経136度4分11.1766秒"
[1] "\n最北端\n弁天島（北海道稚内市北緯45度31分35秒東経141度55分9秒）\n最南端\n沖ノ鳥島・北小島（東京都小笠原村北緯20度25分30.6585秒東経136度4分11.1766秒"
> fn(45+31/60+35/3600,141+55/60+9/3600,20+25/60+30.6585/3600,136+4/60+11.1766/3600)
[1] 2845.154

85:１３２人目の素数さん
20/09/17 16:37:26.07 sKJeoGsc.net
>>54
プログラムに数えさせてみた。
a=1:9
b=0:9
c=0:9
gr=expand.grid(a,b,c)
f <- function(x){
a=x[1];b=x[2];c=x[3]
d=c(100,10,1)
a+b+c==14 & a!=b & a!=c & b!=c &
sum(c(a,b,c)*d) == sum(c(c,b,a)*d)-594
}
idx=which(apply(gr,1,f))
gr[idx,]
> gr[idx,]
Var1 Var2 Var3
685 1 6 7
758 2 4 8
831 3 2 9
167,248,329の３個

86:１３２人目の素数さん
20/09/17 17:45:08.53 sKJeoGsc.net
司法試験予備試験問題から
〔第 11 問〕
ある酒造会社が自社の社員に対して，酒（ワイン，ビール，ウィスキー，日本酒及び焼酎）の好みと
海外旅行経験について調査したところ，次のアからウの各事実が明らかになった。
ア．フランス旅行かイタリア旅行の少なくともどちらか一方を経験している社員の中には，ワイン好
きでない者はいない。
イ．ヨーロッパ旅行の経験がない社員は皆，日本酒だけが好きであり，またその逆も成り立つ。
ウ．ウィスキーと焼酎の両方が好きな社員は皆，ヨーロッパ旅行の経験があったとしても，ワイン好
きではない。
以上の事実から論理的に結論できるもの（上記アからウの各事実がいずれも真であるときに必ず真で
あると言えるもの）として最も適切なものを，後記１から５までの中から選びなさい。
１．ワイン好きではない社員は皆，日本酒だけが好きである。
２．ビールもワインもウィスキーも焼酎も好きな酒として挙げなかった社員は皆，イギリス旅行の経
験がない。
３．ウィスキー好きでフランス旅行を経験している社員は，焼酎好きではない。
４．フランス旅行とイタリア旅行の両方を経験している社員は皆，日本酒好きではない。
５．ドイツ旅行とイタリア旅行の両方を経験している社員は皆，ウィスキー好きではない。

87:１３２人目の素数さん
20/09/17 18:01:04.03 BAmg4j4a.net
>>86
3

88:１３２人目の素数さん
20/09/17 18:15:42.95 JAjT4ATP.net
>>62
>>63
〔補題〕
x>0 のとき
　(1+1/x)^{x+1} > e > (1+1/x)^x,
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:16番),37,38

89:イナ
20/09/17 22:37:14.82 Jspq2G5e.net
前 >>82訂正。
>>72
2地点を結ぶ最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯40度線を大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145°線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を中心角は60°
2πr/6
2126π=6679.02598153……
∴2番

90:イナ
20/09/18 10:20:49.38 nQky0mGA.net
前 >>89修正。
>>72
2地点を結ぶ地球表面上の最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯40度線を大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145°線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を結ぶ円弧の中心角は60° 。
地球表面上の最短距離2πr/6=2126π
=6679.02598153……
≒6679(㎞)
∴2番

91:イナ
20/09/18 10:24:29.85 nQky0mGA.net
前 >>90修正。
>>72
2地点を結ぶ地球表面上の最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯40度線を大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145°線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を結ぶ円弧の中心角は60° 。
地球表面上の最短距離2πr/6=2126π
=6679.02598153……
≒6679(km)
∴2番

92:イナ
20/09/18 10:27:17.57 nQky0mGA.net
前 >>91訂正。
>>72
2地点を結ぶ地球表面上の最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯45度線より大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145°線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を結ぶ円弧の中心角は60° 。
地球表面上の最短距離2πr/6=2126π
=6679.02598153……
≒6679(km)
∴2番

93:イナ
20/09/18 10:30:26.16 nQky0mGA.net
前 >>92微調整。
>>72
2地点を結ぶ地球表面上の最短距離は円弧軌道であり、その円弧を含む平面は地球の中心を通るから、その軌道は北緯45度線より大きく北に湾曲し、赤道と円弧の交点は赤道と東経145度線の交点より西に45°行った地点。
話戻って2地点を結ぶ円弧の中心角は60° 。
地球表面上の最短距離2πr/6=2126π
=6679.02598153……
≒6679(km)
∴2番

94:１３２人目の素数さん
20/09/18 14:41:37.69 IaLXii9G.net
「ベキ級数は、収束円の内部に含まれる任意のコンパクト集合上で一様収束することを示せ。
収束半径をρ>0とするとき、任意のr（0 < r < ρ）に対して、|z| ≦ rで一様収束することを示せば十分である。」
と本に書いてあるのですが、なぜですか？

95:１３２人目の素数さん
20/09/18 15:26:22.21 xS01WcNN.net
>>94
「任意のr（0 < r < ρ）に対して、|z| ≦ rで一様収束する」を仮定する。
収束円内部に含まれる任意のコンパクト集合を Kとする。
K ⊂ { z ; |z| < ρ } = ∪[n=0,∞] Aₙ
但し A₀ := {z ; |z| < ρ/2 }, Aₙ := { z ; ρ*(1- 1/n) < |z| < ρ*(1-1/(n+2)) }　(n=1,2,3,...)
コンパクト性により、ある正数Nに対して K ⊂ ∪[n=0,N] Aₙ
仮定より |z| ≦ r = ρ (1-1/(N+3)) での一様収束が言えるので
そこに含まれる K も一様収束する。

96:１３２人目の素数さん
20/09/18 16:50:35.31 RSm7h/MR.net
あるxについての2次式
f(x)=ax^2+bx+c
に対してg(x)を
g(x)=f(f(x))+2f(x)+3
と定めたところ、g(x)は
g(x)=af(f(x))+bf(x)+c
とも表された。
方程式g(f(x))=0を解け。

97:１３２人目の素数さん
20/09/18 18:18:20.50 IaLXii9G.net
>>95
ありがとうございました。
以下の議論はあっていますか？
収束円の内部に含まれる任意のコンパクト集合をKとする。
K上の関数f : z → |z|は連続関数であるからK上で最大値を取る。
z_0でfは最大値を取るとする。r = |z_0|とおく。
任意のKの元zに対して、|z| ≦ rが成り立つ。z_0は収束円の内部の元だから、r < ρである。
∴任意のKの元zに対して、|z| ≦ r < ρが成り立つ。
|z| ≦ rで一様収束することが示されれば、当然Kでも一様収束する。

98:イナ
20/09/18 18:53:21.20 nQky0mGA.net
前 >>93
>>96
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=f(f(x))+2f(x)+3
=a^3x^4+2a^2bx^3+a(b^2+2ac+b+2)x^2+b(2ac+b+2)x+c(ac+b+3)+3
またg(x)=a^4x^4+2a^3bx^3+(a^2b^2+2a^3c+a^2b+ab)x^2+(2a^2bc+ab^2+b^2)x+a^2c+abc+ac+bc+c
g(x)の4次の係数よりa^3=a^4
a=1
g(x)の2次の係数よりb^2+2c+b+2=b^2+2c+2b
b=2
g(x)の定数項よりc(c+2+3)+3=c^2+2c+c+2c+c
c^2+5c+3=c^2+6c
c=3
f(x)=x^2+2x+3
g(x)=x^4+4x^3+14x^2+20x+27
g(f(x))=(x^2+2x+3)^4+4(x^2+2x+3)^3+14(x^2+2x+3)^2+20(x^2+2x+3)+27=0
x^8+8x^7+17x^6+86x^5+135x^4+340x^3+367x^2+478x+321=0
g'(f(x))=8x^7+56x^6+102x^5+430x^4+540x^3+1020x^2+734x+478
=8(x+7)x^6+2(51x+215)x^4+60(9x+17)x^2+2(367x+239)＞0
∴実解なし。

99:１３２人目の素数さん
20/09/18 19:27:13.56 xS01WcNN.net
>>97
最大値(最小値)云々もコンパクト集合の性質なので、それでいいと思います。
というか、そこまで「分かってる」のに何が疑問だったん？

100:イナ
20/09/18 19:39:45.69 nQky0mGA.net
前 >>98訂正。
>>96
g(f(-3))=26248＞0
g(f(-107))＜0
-107＜x＜-3の範囲に実解ある。
3も107も素数でかつx^8の係数が1だもんで有理数の解を持つようには因数分解できない。
x=-√pとおくと、
x^2=p
x^4=p^2
x^6=p^3
(中止)

101:１３２人目の素数さん
20/09/18 21:01:06.31 IaLXii9G.net
>>99
ありがとうございました。
あまり自信がなかったので、質問しました。

102:１３２人目の素数さん
20/09/18 21:12:55.07 IaLXii9G.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
この命題について質問です。
べき級数の収束半径が1よりも大きければ、べき級数は収束円の内部で連続なので自明です。
またべき級数の収束半径が1よりも小さければ、仮定（Σa_nが収束する）が成り立ちません。
ですので、この命題はべき級数の収束半径がちょうど1である場合を想定していると思います。
拡大・縮小と回転を考えれば、収束半径が正の実数であるべき級数が収束円上の点z_0で収束すれば、
領域Dを拡大・縮小および回転した領域D'にとどまりながらzがz_0に近づくとき、f(z)→Σa_n*z_0^nとなる
と思います。
そこで質問です。
べき級数が収束円上の点z_0で収束するにもかかわらず、z_0で連続でないような例はありますか？

103:１３２人目の素数さん
20/09/18 22:50:11.65 IaLXii9G.net
べき級数の収束域に属する点z_0でべき級数が不連続になる点が存在するか？

104:１３２人目の素数さん
20/09/19 01:00:40.05 GX4VCKKX.net
「nコの色違いのボールがあるときの取れるパターンは何通りあるのか
（1つも取らない、全て取る場合も含めます）」
ご教示お願いいたします
たとえばA～Eの5種類の場合なら「32通り」となって「2^n」になりそうなのは予測できるのですが、、

105:１３２人目の素数さん
20/09/19 01:47:42.03 zDE7GcgM.net
2^n でいいんじゃね
それぞれのボールに対して取るか取らないかの2択

106:１３２人目の素数さん
20/09/19 02:53:59.17 BWISzusK.net
>>102
収束円の外は発散するんだから円上で連続のわけがない

107:１３２人目の素数さん
20/09/19 05:30:42.53 NoamFxPQ.net
>>106
収束円の外はべき級数の定義域に含まれません。
f : D -> Cがz=z_0で連続であることの定義は、任意の正の実数εに対して、正の実数δで、z ∈ D かつ |z - z_0| < δ ⇒ |f(z) - f(z_0)| < εを満たすものが存在することです。

108:１３２人目の素数さん
20/09/19 05:49:25.74 OU7LbAAl.net
アーベルの連続性定理からは限られた経路でしか連続性が保証できないし、その他の経路からは不連続になるような例が作れそうではある

109:１３２人目の素数さん
20/09/19 08:22:56.29 tnjAedYP.net
>>108
> その他の経路からは不連続になるような例
Abel's theorem (Wikipedia英語版)には　 f(z) := Σ[n=1,∞] (z^{3^n} - z^{2*3^n}) / n 　が例として載ってる。
lim[δ→∞] f(1-δ) = 0
lim[δ→∞] f( e^{iπ /3^m}*(1-δ) ) = -∞　(m=0,1,2, ... )
となるので　zₘ→1 かつ f(zₘ) → -∞ となるような収束円内部の点列 zₘ が存在する。

110:１３２人目の素数さん
20/09/19 09:18:59.77 tnjAedYP.net
>>109 訂正
誤: [δ→∞]
正: [δ→+0]

111:１３２人目の素数さん
20/09/19 09:32:26.14 GX4VCKKX.net
>>105
ありがとうございます
そういう考えが真っ先に思いついたんですが、
二項定理より
　　ΣnCk=(a+b)=nC0a�b+nC1a�b+nC2a�b+･･･+nCna�b
これにa=b=1を代入
　(1+1)=nC0+nC1+nC2+･･･+nCn
⇔2=nC0+nC1+nC2+･･･+nCn
この方法で間違ってるところありますか？

112:１３２人目の素数さん
20/09/19 11:14:21.74 zDE7GcgM.net
>>111
二項係数を C[n, k] とするとき、
2^n = Σ[k=0,n] C[n, k]
が成立するのは正しい
この右辺を
Σ[k=0,n] （ n 個の色違いのボールから k 個取り出すときの組み合わせの数）
と解釈するならそれでもよさそう

113:１３２人目の素数さん
20/09/19 15:51:27.85 t8b6Rzo3.net
xy平面で反転fにより点P(x,y)を点f(P(x,y))に移すとき、写像fはx,yの簡単な式になりますか？

114:１３２人目の素数さん
20/09/19 17:21:03.84 0zHXJRh+.net
1 ≦ |1-z|/(1-|z|) < M　　　(有界)
|arg(1-z)| < arccos(1/M)
友と語らん　Stolzの徑
夢はかえるよ　Stolzの徑
　{灰田勝彦　♪鈴懸の徑♪　(1942)}

115:１３２人目の素数さん
20/09/19 21:19:21.29 NoamFxPQ.net
lim sup (n * |a_n|)^(1/n) = lim sup (|a_n|)^(1/n)の証明ですが、以下の証明は正しいですか？
{(|a_n|)^(1/n)}が上に有界でなければ、(|a_n|)^(1/n) ≦ (n * |a_n|)^(1/n)だから{(n * |a_n|)^(1/n)}も上に有界ではない。
{(n * |a_n|)^(1/n)}が上に有界ではないとする。n^(1/n)→1だから∃N such that n≧N ⇒ n^(1/n) < 2
Kを任意の実数とする。{(n * |a_n|)^(1/n)}が上に有界ではないから、2*K < (n * |a_n|)^(1/n) となるような
nが無数に存在する。ゆえに2*K < (n_0 * |a_{n_0}|)^(1/n_0) となるようなn_0≧Nが存在する。
2*K < (n_0 * |a_{n_0}|)^(1/n_0) < (n_0)^(1/n_0) * {a_{n_0}|^(1/n_0) < 2 * {a_{n_0}|^(1/n_0)
両辺を2で割って、K < {a_{n_0}|^(1/n_0)
ゆえに、{(|a_n|)^(1/n)}は上に有界ではない。
以上より、{(|a_n|)^(1/n)}、{(n * |a_n|)^(1/n)}のどちらかが上に有界でなければ、
lim sup (n * |a_n|)^(1/n) = ∞ = lim sup (|a_n|)^(1/n)である。
よって、以後、{(|a_n|)^(1/n)}、{(n * |a_n|)^(1/n)}のどちらも上に有界であるとしてよい。
B := lim sup (n * |a_n|)^(1/n)、A := lim sup (|a_n|)^(1/n)とおく。
上極限の定義により、B ≧ Aは明らかである。
上極限の定義により、A ≧ 0も明らかである。
B > Aが成り立つと仮定して矛盾を導く。
αをA/B < α < 1 を満たす任意の実数とする。
εを0 < ε < (α*B-A)/(α+1)を満たす任意の実数とする。
(α+1)*ε < α*B-A
A+ε < α*(B-ε)
が成り立つ。
α < 1であり、1/n^(1/n)→1だから∃N such that n≧N ⇒ 1/n^(1/n) > α
上極限の定義により、B-ε < (n * |a_n|)^(1/n)となるようなn≧Nが無数に存在する。
上極限の定義により、A+ε < (|a_n|)^(1/n)となるようなnは高々有限個しか存在しない。
以上より、
A+ε < α*(B-ε) < (B-ε)/n^(1/n) < (|a_n|)^(1/n)となるようなn≧Nが無数に存在する。
これは、A+ε < (|a_n|)^(1/n)となるようなnは高々有限個しか存在しないことに矛盾する。
ゆえに、B = Aでなければならない。

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