整数論を勉強するため ..
84:１３２人目の素数さん
19/12/04 19:51:15 VRSz7R/S.net
非アーベル拡大の場合はどうなるんですか？
85:１３２人目の素数さん
19/12/04 21:11:30.19 Wbp2eSrj.net
>>84
Deligne予想＝「有限体上の高次元類体論の非アーベル化」（未解決）
斎藤秀司「高次元類体論の現在」p.259-p.260, 7 有限体上の多様体の類体論の非アーベル化
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
86:１３２人目の素数さん
19/12/04 23:31:57.04 UGmt7zC4.net
やべえ超おもしろそう
87:１３２人目の素数さん
19/12/05 02:46:27 8d5Q6ATA.net
「類体の秘密」を調べるもう一つの方法が『岩澤理論』
加藤和也「整数論の近年のいくつかの進展をふりかえって」p.420-p.425, 2 岩澤理論の発展
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
88:１３２人目の素数さん
19/12/05 19:03:18.53 Fg0w6fL3.net
クロッカワーの中年の夢
89:１３２人目の素数さん
19/12/05 20:25:46.67 8d5Q6ATA.net
>>11
『クロネッカー青春の夢』 => 類体論
『虚２次数体上のアーベル方程式は、虚数乗法を持つ楕円関数の変換方程式で汲み尽くされる』
90:１３２人目の素数さん
19/12/05 20:50:04 8d5Q6ATA.net
ヒルベルトの第12問題
杉浦 光夫「ヒルベルトの問題II」p.259-p.260, 第XII問題 解析函数によるアーベル拡大の構成
91:１３２人目の素数さん
19/12/05 20:52:25 8d5Q6ATA.net
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
92:１３２人目の素数さん
19/12/07 14:11:31 /4V2zz1q.net
証明問題
「５つの整数が与えられている。
その中の３つを上手く選べば、その和が３の倍数になる。」
93:１３２人目の素数さん
19/12/07 14:13:56 xYeMsbxM.net
>>92
この問題は時期的にまずい。
もうちょっと待て。
94:１３２人目の素数さん
19/12/07 14:25:28.00 ldQuDe0i.net
a^3 - b^3 = 217
を満たす整数の組(a, b)を全て求めよ
95:１３２人目の素数さん
19/12/07 14:43:56.51 Wk76fm8B.net
>>94 まるパクリかよｗｗｗ
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
96:１３２人目の素数さん
19/12/08 17:10:38.94 y1Z7V0Cu.net
整数論って何が面白いの？
97:
19/12/08 19:07:22.73 pUbC5NI4.net
>>96
素因数分解が一通りであることを証明するのが面白いのです
98:１３２人目の素数さん
19/12/08 23:34:53.68 VWd/DIsf.net
>>95 によれば
(a,b) = (-8,-9) (1,-6) (6,-1) (9,8)
99:１３２人目の素数さん
19/12/09 03:26:27 g0j5uBcx.net
>>92
> 証明問題
> 「５つの整数が与えられている。
> その中の３つを上手く選べば、その和が３の倍数になる。」
３を法として整数を３つの部分集合 C_k =def= { n?Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、
(1) ５つの整数の中に、ある k について C_k から少なくとも３つの整数を含んでいる場合、
同一の C_k に属する３つを選べばそれらの和は３の倍数になる
(2) さもなければ、C_0, C_1, C_2 の各々から少なくとも１つは含まねばならない
従って、これら３つの部分集合の各々に属する整数を１つずつ選べばそれらの和はやはり３の倍数になる
QED
100:１３２人目の素数さん
19/12/09 03:28:26 g0j5uBcx.net
>>99訂正
数学記号は文字化けするんですね（少なくともJaneStyleだと）
誤> ３を法として整数を３つの部分集合 C_k =def= { n?Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、
正> ３を法として整数を３つの部分集合 C_k =def= { n in Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、
101:１３２人目の素数さん
19/12/09 10:48:20 3RsZZfph.net
正解です。
「2･3^n - 1 個の整数が与えられている。
その中から 3^k 個組 (その和は3^kの倍数) を 2･3^(n-k) -1 組取り出せる。
とくに、3^n 個を上手く選べば、その和が3^nの倍数になる。」
一般化しました。
「a個の整数が与えられているとき、
その中のb個を上手く選べば、その和がcの倍数になる。
(a>b>1, a>c>1)」
↓
「 (a-1)(b^n -1)/(b-1) +1 個の整数が与えられているとき、
その中の b^n 個を上手く選べば、その和が c^n の倍数になる。」
102:１３２人目の素数さん
19/12/09 11:11:23 3RsZZfph.net
>>98
a^3 + b^3 + c^3 = 6^3
の整数解：
(3,4,5) (n,-n,6) (-1,-8,9) (-8,-10,12) 以外にある？
103:１３２人目の素数さん
19/12/09 11:39:18.20 3RsZZfph.net
>>101
(a,b,c) = (2m-1,m,m) とできるらしい。
[エレ解スレ３.491]
URLﾘﾝｸ(www.renyi.hu)
104:１３２人目の素数さん
19/12/09 13:25:14.18 8XNnxxK0.net
エルデシュ＝ギンツブルグの定理
「2m-1個の整数の集合には、和がmで割り切れるようなm個の整数の部分集合が必ず存在する。」
【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:481番)-491
105:１３２人目の素数さん
19/12/09 16:37:17.53 8XNnxxK0.net
「エルデシュ＝ギンツブルグの定理」（>>104）でm=3とした場合が、【数セミ】エレガントな解答をもとむ2019年11月号「出題１」（>>92）の場合。
「５つの整数が与えられている。その中の３つを上手く選べば、その和が３の倍数になる。」
問題文の「上手く選べば」を「必ず存在する」という存在定理に読みかえられる。
106:１３２人目の素数さん
19/12/10 07:02:14.68 9+9M8wAb.net
>>101
(a1,b1,c1) と (a2,b2,c2) について成り立てば
(a1+b1(a2-1), b1･b2, c1･c2) についても成り立つ。
>>103-105
(2m-1,m,m) と (2n-1,n,n) について成り立てば
(2mn-1, mn, mn) についても成り立つ。
∴ 素数mについて成り立てば十分。
(3,2,2) … 偶奇の同じ2個を取り出す。
(5,3,3) >>99
>>105
12月号
107:１３２人目の素数さん
19/12/10 08:29:18.83 4ThAzGsi.net
よそでやれ
108:１３２人目の素数さん
19/12/10 18:04:32 iMjWsbUs.net
Erdős, P.; Ginzburg, A.; Ziv, A. (1961). "Theorem in additive number theory". Bull. Research Council Israel. 10F: 41–43.
URLﾘﾝｸ(www.renyi.hu)
「Zero-sum problem」
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
109:１３２人目の素数さん
19/12/10 21:11:39.73 ot4vOSEi.net
へえ
110:１３２人目の素数さん
19/12/11 09:46:09.84 VLSxIs0+.net
>>104
>>108
mは素数とする。
x_i をmで割ったときの剰余に注目して、昇順に並べる。
0 ≦ x_1 ≦ x_2 ≦ ････ ≦ x_(2m-1) < m,
・同じ剰余がm個以上あるとき、そのm個を取り出す。
・どの剰余も(m-1)個以下のとき、
0 < x_(m+i) - x_i < p, (1≦i<m) ････(1)
ここで、
S_0 = {0}
S_1 = {0, x_(m+1)-x_1}
S_t = { [Σ[i=1,t] f_i･(x_(m+i) - x_i)] mod m | f_i = 0または1 }
とおく。
補題
#S_t ≧ t+1, (0≦t≦m-1)
(略証)
tについての帰納法による。
#S_0 = 1,
#S_1 = 2,
S_(t+1) = S_t Ｕ { [s+x_(m+t+1)-x_(t+1)] mod m | s∈S_t }
右辺の２つの集合は、元の数は等しい。( #S_t )
しかし元の和は (x_(m+t+1) - x_(t+1)) #S_t だけずれている。(mod m)
#S_t < m のとき、(1) より、mで割り切れない。
∴ 後者の集合は S_t にはない元を含む。
∴ #S_(t+1) ≧ #S_t + 1, (終)
#S_(m-1) = m だから 0,1,････,m-1 をすべて含む。
s ≡ - (x_1+x_2+････+x_m) (mod m)
となる元 s ∈ S_(m-1) を取り出せば、
Σ[f_i=0] x_i + Σ[f_i=1] x_(m+i) ≡ 0 (mod m)
111:１３２人目の素数さん
19/12/11 10:02:28.54 6KWquTFR.net
>>110
それできる？
もともとのエルデシュの証明でまずmが素数の場合に限定してるのは
S_tからS_{t+1}にいくときS_tの各頂点があるmの約数の倍数ばかりになってて
S_{t+1}にいくとき点が増えない可能性があるからで、実際にそれは起こる場合があるので
やはりmが素数の場合から積み上げていくしかないなぁとあきらめたんだけど。
112:１３２人目の素数さん
19/12/11 11:58:49.38 VLSxIs0+.net
ご指摘のとおり、mが素数であることを使っています。
0 < x_(m+i) - x_i < m, (1≦i<m) ････(1)
0 < #S_t < m
より x_(m+t+1)-x_(t+1) も #S_t も 1～m-1 の範囲内ですから
mで割り切れません。
さらに、mが素数ならば、その積もmで割り切れないと言えます。
113:１３２人目の素数さん
19/12/11 12:05:10.14 X7w93S94.net
うまくm-1組のペアをその差からなるm-1元の集合のGCDが1になるように取れる。
がサラッと示せればいいんだけど素数の場合から積み上げていくより楽に示せればいけるんですけどね。
ペアの差の集合全体のGCDがmと互いに素であるケースにはすぐ帰着できるけど、その時そこからうまくm-1組みdisjointに選ぶ方法が見つからなくて諦めました。
あるかも。
114:ID:1lEWVa2s
19/12/11 16:23:00 ZCHbKWmQ.net
ユークリッド互除法か。
115:ID:1lEWVa2s
19/12/11 16:23:49 ZCHbKWmQ.net
ユークリッド互除法の研究とリーマン予想に挑むか。私のこと。
116:ID:1lEWVa2s
19/12/11 16:25:37 ZCHbKWmQ.net
あんたまだフェルマーの最終定理が残ってるでしょう。きっちり落とし前付けてくださいよ。あうとれいじ。私のこと。
117:１３２人目の素数さん
19/12/11 20:47:48 eOvZJ1In.net
「加法的整数論」には、「Erdős–Ginzburg–Ziv の定理」（>>104-108）や「分割数の理論」が含まれ、難問が多いことで知られる。
「分割数の理論」とは、自然数nを正の自然数の和としてあらわす方法で、視覚的な表現に「ヤング図形」が知られている。
118:１３２人目の素数さん
19/12/11 20:49:55 eOvZJ1In.net
Additive number theory「加法的整数論」
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
119:１３２人目の素数さん
19/12/11 21:01:51 eOvZJ1In.net
オイラーの時代には「加法的整数論」が数論の中心問題で、「ウェアリングの問題」や「ゴールドバッハの予想」が知られていた。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ウェアリングの問題 （1909年、ヒルベルトが解決）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ゴールドバッハの予想 （未解決）
120:ID:1lEWVa2s
19/12/12 07:32:15.29 SapOZy/t.net
やんぐやぶろうか.。
121:１３２人目の素数さん
19/12/12 23:49:16 SkZ4piX8.net
addictive number theoryだと加法和也っぽいよね。
122:１３２人目の素数さん
19/12/15 02:04:08.30 ZsSoi6ig.net
問題投下
以下の条件一と条件二を共にみたす、正の整数nは無数にあるか？
条件一：2^n +1が、n-1で割り切れる。
条件二：2^n +2が、nで割り切れる。
計算してみると、n=2,6,66は条件一と条件二を共にみたすことがわかる。
123:１３２人目の素数さん
19/12/16 13:21:25.49 SA3ul0f3.net
「加法的整数論」を勉強するなら
ヒンチン著 蟹江 訳「数論の3つの真珠」
がおすすめ。
1. ファン・デル・ヴェルデンの定理
2. シュニレルマンの不等式
3. ウェアリングの問題
今なら
4. Zero-sum problem
が加わっているところだ。
124:１３２人目の素数さん
19/12/18 02:47:36.94 7Q6rmdWN.net
ニーズがあるかわからんが、一応>>122の回答w
kが条件一と条件二をみたすとき、m=2＾k +2も条件一と条件二をみたすことをいう。
明らかに、kは4で割り切れない偶数でかつ2＾k +2はkの奇数倍であることがわかる。
m=2^k +2が条件一をみたすこと
明らかに2^k≡-1 (mod 2^k +1)がいえるから、2^(2^k +2)≡-1 (mod 2^k +1) よって、2^m +1≡0 (mod m-1)がいえる。
m=2^k +2が条件二をみたすこと
明らかに、2^(k-1)≡-1 (mod 2^(k-1) +1)がいえるから、2^(2^k +1)≡-1 (mod 2^(k-1) +1) よって、2^(2^k +2) +2≡0 (mod 2^k +2)
したがって、2^m +2≡0 (mod m)がいえる。
125:◆1Q4eaNW1a6
19/12/18 23:26:32 Vi/bkRgQ.net
ζ := ζp = exp(2πi/p)
Kummerは、Z[ζp]がUFDとなる素数pに対しては、Fermat's last theoremが成り立つことを示したそうですけど、どうやるんでしょう
(x - yζ)(x - yζ^2)...(x - yζ^(p-1)) = z^p
と因数分解してチョチョイのチョイ、とはいかなそうです
126:１３２人目の素数さん
19/12/19 00:15:53.94 ENTaecAy.net
ググったらこんなんあった
URLﾘﾝｸ(alg-d.com)
証明載ってるみたいだけど私には読めないorz
127:１３２人目の素数さん
19/12/19 12:11:21.48 qgGaWerI.net
バーゼル問題「平方数の逆数全ての和（ゼータ関数のS=2の値）を求めよ」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)バーゼル問題
128:１３２人目の素数さん
19/12/19 12:32:53.26 iabKtfR3.net
「加法的整数論」は20世紀にイヴァン・ヴィノグラードフ（Ivan Vinogradov）らによって進展した。
Vinogradov "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" Dover
129:１３２人目の素数さん
19/12/19 14:12:49.49 iabKtfR3.net
1937年ごろ、三角和の方法を用いてヴィノグラードフの定理が証明された。
ヴィノグラードフの定理「十分大きな任意の奇数が3つの素数の和として表すことができる」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)ヴィノグラードフの定理
この「弱いゴールドバッハ予想」（ヴィノグラードフの定理）は、「一般化されたリーマン予想」を仮定することなしに、証明することができた。
「加法的整数論」の主要なテーマ：
1. ファン・デル・ヴェルデンの定理
2. シュニレルマンの不等式
3. ウェアリングの問題
4. Zero-sum problem
5. ゴールドバッハ予想
130:
19/12/19 14:35:00.67 wqId/fcZ.net
>>126
ありがとうございます。
読んでみます
131:１３２人目の素数さん
19/12/20 02:07:53.58 yiLw1Jz8.net
0800
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
132:１３２人目の素数さん
19/12/20 11:16:27.22 ws8TJhKh.net
整数論にまともに体系化された理論なんてないから勉強するだけ無駄
ゴールドバッハ予想や双子素数問題のような極めて基礎的な問題ですら解けてないのが現実
133:１３２人目の素数さん
19/12/20 11:42:15.13 Dc+SffUG.net
類体論
134:１３２人目の素数さん
19/12/20 21:21:03.45 vUqDEWsx.net
代数的整数論をまじめに勉強する学生も減った
135:１３２人目の素数さん
19/12/20 21:34:46.39 AI7yVZXK.net
数論幾何
136:１３２人目の素数さん
19/12/20 22:42:31 vUqDEWsx.net
数論幾何を理解できる学生も減った・・・
137:１３２人目の素数さん
19/12/20 23:14:02.78 ityGs6Ho.net
数論幾何は具体的なことやってて楽しいじゃん
138:１３２人目の素数さん
19/12/20 23:29:38.76 vUqDEWsx.net
数論幾何で一本補助線を引いたらぱーっと問題が解ける
補助線に気がついた時の感覚がたまらないねww
139:１３２人目の素数さん
19/12/24 12:42:40 59hVbcCY.net
幾何以外の分野だと補助線の存在ってなんなの？
媒介変数？
140:１３２人目の素数さん
20/01/29 00:44:54 s5EHIoOZ.net
SGA 4 1/2を読もうと思う
141:１３２人目の素数さん
20/01/29 02:00:13 Bb/kUddm.net
加藤さんの後継者って誰か日本にいないの？
142:１３２人目の素数さん
20/01/29 13:01:21 3zT5wqvW.net
双子素数問題の中国人やタオによる成果って、数論幾何とは別方向からだろ。
ゴールドバッハにしても。
数論幾何を崇める視野の狭いのが日本には多いね。
143:１３２人目の素数さん
20/02/05 03:18:08 AQM1KB8L.net
ウィルソン剰余
W(n) = mod((n-1)!, n)
〔ウィルソンの定理〕
nが素数のとき W(n) = n-1,
n=4 のとき W(4) = 2,
n≧6 が合成数のとき W(n) = 0,
144:１３２人目の素数さん
20/02/05 03:22:42 AQM1KB8L.net
(略証)
nが素数pのとき
1≦a<p とする。
{a,2a,････,(p-1)a} のどの2個も (pを法として) 合同でない。
また pの倍数でもない。
よって 1,2,････,p-1 と合同な元が1個づつある。
ba≡1 (mod p) となるbを a^(-1) と記す。
aa≠1 (mod p) ならば、aと a^(-1) が対をなす。
aa≡1 (mod p) となるのは a=1, a=p-1 のみ,
(p-1)! ≡ p-1 (mod p)
n=4 のとき
(n-1)! = 3! = 6 ≡ 2 (mod n)
n=pq≧6 のとき
(p-1)(q-1) > 1,
n = pq > p+q,
n | n(p-1) = p(n-q) | (n-1)!
(終)
145:１３２人目の素数さん
20/02/19 15:32:59 q7AU3Hic.net
653 １３２人目の素数さん2020/02/18(火) 08:55:02.79ID:i1rO8ufq
私は、数論(数論幾何)の美しさは、数がその背後に深遠な数学的構造を宿してるからだと
ばかり思ってきました。加藤和也先生の「素数の歌が聞こえる」という表現は
あまり詩的過ぎて今まで漠然と受け取っていましたが、しかしあくまで
数自体はその深遠な数学的構造を人間に教えてくれる媒介であって
謂わばそれ自体が本質ではない副次的な存在だと勝手に信じていました。
しかし私がそのような理由で、以前より軽視していた初等整数論の本で
ハーディの数論講義を最近一瞥したら、実はそうではなく、
背後の深遠な数学的構造の有無以前の、その素朴な数自体にも
人間の知性を超えた輝きが確かに存在しているのだと、考えが少し変わりました。
その数自体の美しさを知った上で今までの自身の学習を振り返ると、
複雑な込み入った数学的構造自体の上っ面にしがみつき踊らされ
頭のゴムひもが伸び切ってしまっていたようにも思います。
代数幾何、類体論、保型形式など通常の洗練された現代数学と並行して、
数の原点である初等整数論や解析的整数論も少しずつ学んでみようかと
思っています。とりあえずハーディの本を読むのも一朝一夕には行かない
と思いますが、ハーディの本を読んだあとは、
ジーゲルの解析的整数論、分割関数、連分数、素数分布論、
リーマンゼータ関数や楕円曲線の初等的な取り扱い、など色々考えられますが、
素朴な数の原点のその最高峰は何と言ってもラマヌジャンのような気がします。
ノートブック5巻、ロストノート5巻、これだけで既に膨大ですが
つまみ食いで学んでいくにしても、一体どこから何に手を付けるべきか
道標を示してくれているサーベイすら殆どありません。
どの巻はどんな内容でどんな人がどこから学んでいけばいいのか、
宜しければ是非ともお聞きしたいです
146:１３２人目の素数さん
20/03/26 10:19:46.92 zUlAmjt2.net
>>143
ウィルソンの定理の拡張
n≧3 に対して
P(n) = Π[1≦m≦n-1, (m,n)=1] m
とおく。このとき
(1) P(n) ≡ ±1 (mod n)
(2) P(n) ≡ -1 (mod n) となるのは
n = p^e, 2p^e (pは奇素数、e≧1)
= 4
のときである。
147:１３２人目の素数さん
20/03/26 10:25:26.81 zUlAmjt2.net
(略証)
(1)
A = { m | 1≦m≦n-1, (m,n)=1}
B = { m | mm≡1 (mod n)}
C = { m | mm≠1 (mod n)}
とおくと Aは乗法群をなす。 A = B + C
m∈A に対しては逆元 m^(-1) が存在する。 >>144
m∈C ならば m と m^(-1) が対をなして相殺する。
Π[m∈C] m = 1,
m∈B ならば m と n-m と対をなすが -1 が残る。(← m≠n-m)
m(n-m) ≡ -mm ≡ -1 (mod n)
Π[m∈B] m = (-1)^(#B/2)
ここで #B は偶数。
よって
P(n) = Π[m∈A] m
= (Π[m∈B] m)･(Π[m∈C] m)
= (-1)^(#B/2)
= ±1
(2)
P(n) ≡ -1 (mod n) ⇔ #B が4の倍数でない。⇔
n = p^e, 2p^e (pは奇素数、e≧1)
= 4
数学セミナー、2000年3月号 NOTE (土岡氏)
*) nの素因数分解における2の指数をe, 相異なる奇素数をk種とすると
#B = 2^k (e=0,1)
= 2^(k+1) (e=2)
= 2^(k+2) (e≧3)
となることが、中国剰余定理とnが素数べきの場合の計算から分かる。
高木貞治：「初等整数論講義」第2版、共立出版 (1971)
URLﾘﾝｸ(www.kyoritsu-pub.co.jp)
148:１３２人目の素数さん
20/04/01 13:57:46 3A39oS9Q.net
ご参考
[1] C[n-1,r-1]・C[n,r+1]・C[n+1,r] = C[n-1,r]・C[n,r-1]・C[n+1,r+1],
V. Hoggatt - Hansell: Fibonacci Quarterly, ９, p.120-133 (1971)
[2] GCD{C[n-1,r-1]、C[n,r+1]、C[n+1,r]} = GCD{C[n-1,r]、C[n,r-1]、C[n+1,r+1]}
Henry W. Gould (1972)
・文献
B.Gordon, D.Sato, E.Straus: Pacific J. Math.,１１８(2), p.393-400 (1985)
(佐藤大八郎)
数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社 (1988) ●72
149:１３２人目の素数さん
20/04/01 15:17:04 3A39oS9Q.net
〔定理1〕(ガウスの三平方数定理)
自然数nが3個以下の平方数の和で表わせる。
(3) n = xx+yy+zz, (x,y,z∈Z)
⇔
(4) n ≠ (4^L)･(8k+7) (L,kは非負の整数)
〔系1〕
8k+1, 8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6 の形の自然数nは
3個以下の平方数の和で表わせる。
8k+3 または 8k+6 の形の自然数nは、
ちょうど3個の平方数の和で表わせる。
〔定理2〕
十分大きい 8k+1, 8k+2, 8k+5 型の自然数nは、
ちょうど3個の平方数の和で表わせる。
Schinzel (1959)
E. Grosswald & A. J. Calloway (1959)
〔G.Pallの予想〕 (1933)
16k+2 型は n>130 (反例: n=130)
それ以外は
8k+1 型は n>25 (反例: n=25)
8k+5 型は n>85 (反例: n=5,13,37,85)
と予想される。
数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社(1988)
●115
150:１３２人目の素数さん
20/04/01 16:27:58 3A39oS9Q.net
>>148
[1]
Ｃ[n,r] = n!/(r!･(n-r)!) より。
[2]
-(n+1)Ｃ[n-1,r-1] - (r+1)Ｃ[n,r+1] + (n-r+1)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n-1,r]
n･Ｃ[n-1,r-1] + (r+1)Ｃ[n,r+1] - (n-r)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n,r-1]
-n･Ｃ[n-1,r-1] - r･Ｃ[n,r+1] + (n-r+1)Ｃ[n+1,r] = Ｃ[n+1,r+1]
∴ GCD{Ｃ[n-1,r-1]、Ｃ[n,r+1]、Ｃ[n+1,r]} は右辺の約数でもある。
つまり 右辺のGCD の約数である。
この関係において r を n-r と置き換えれば、ただちに逆の関係を得る。
つまり証明が完成する。
151:１３２人目の素数さん
20/04/02 00:45:08 FuYTez5K.net
とりあえず、円分拡大の相互法則くらい理解したい
152:１３２人目の素数さん
20/04/03 11:44:39 5VVMl49z.net
Hilbertの理論を勉強中
k: algebraic number field
K/k: Galois extension
O_K(, O_k): integral closure of ℤ in K (resp k)
p⊂O_k: prime ideal
pO_K = P_1^e_1∩ ... ∩P_g^e_g (P_i⊂O_K: prime ideal)
153:１３２人目の素数さん
20/04/03 15:11:43 eeTVLRoC.net
数論よく知らんけどF_pの原始根って存在だけで具体的な記述は未だ不明なの？
すごく基本的なことだと思うんだが
154:１３２人目の素数さん
20/04/03 16:25:04 DGkWtZig.net
K/kがGalois拡大だと
e_1 = ... = e_g
なので、これをeとおく
また、p⊂O_kおよび各P_i⊂O_Kは極大イデアルなので、それによる剰余環は体
Κ_i = O_K/P_i
κ = O_k/p
f_i := [Κ_i : κ]
とすると、K/kがGaloisなら
f_1 = ... = f_g
これをfとおくと
[K : k] = efg
155:１３２人目の素数さん
20/04/03 19:40:53 fI678po3.net
各P_iに対して
D_i := { g∈Gal(K/k)| g(P_i) = P_i }
とおく。
K/kがGalois拡大の場合、Gal(K/k)の{P_1, ..., P_g}への作用は推移的。
したがって、
g = |P_iの軌道| = |Gal(K/k)|/|D_i|
∴ |D_i| = ef
156:１３２人目の素数さん
20/04/03 20:03:59 WF2k6rTY.net
π: D_i→Gal(Κ_i/κ)が以下のようにして定まる
g∈D_i, x + P_i∈Κ_iに対して、
π(g)(x + P_i) := g(x) + P_i
これは、全射だが、単射ではない。その核をI_iとすると、
|D_i| = ef
|D_i|/|I_i| = [Κ_i : κ] = f
より
|I_i| = e
157:１３２人目の素数さん
20/04/03 20:07:04 WF2k6rTY.net
Gal(Κ_i/κ)は巡回群
その生成元をφ_iとする
e = 1のとき
D_i ～ Gal(Κ_i/κ)
なので、φ_iは、Gal(K/k)の元を定める
これを
((K/k)/P_i)
と書く
158:１３２人目の素数さん
20/04/04 11:44:57 rt4buAzO.net
円分拡大の場合
ζ = exp(2πi/n)
K = ℚ(ζ)
k = ℚ
Gal(K/k) = (ℤ/nℤ)^×
159:１３２人目の素数さん
20/04/05 22:40:05 UWMau7O6.net
原始根がナゾすぎる
調べてみてもまだ全然よくわかってないみたいだけど
モチーフとかラングランズとか進展すれば分かるんかな？
160:１３２人目の素数さん
20/04/06 00:18:24 kUIZrhZl.net
モチーフは定義されとるよ。役には立たんが
161:１３２人目の素数さん
20/04/06 00:40:52 iyDiy84Y.net
はあ……？
162:１３２人目の素数さん
20/04/06 16:10:26 1uIC76Xf.net
数論幾何が発展しても、具体的な代数拡大における素イデアル分解とか分かるようにならないのね
163:１３２人目の素数さん
20/04/06 20:58:58 heuuRqFS.net
>>160
159だけどやはり役に立たないの？
今の数論の方向性で原始根みたいな基本的なことの理解は深まるのか疑問だったんだよね
164:１３２人目の素数さん
20/04/06 22:23:39 1EENeCgE.net
多元の院生でした
F先生は天才だと思うのですが、数論の天才はそれを遥かに凌駕するのですね……
この世界、ヤバスギですね……
165:１３２人目の素数さん
20/04/06 22:36:29.99 1EENeCgE.net
私が学生のころから、I先生とF先生は多元の若手でも、明らかに突出していました。
そりゃあ、論文書かない教授とか居ますよ。だけど、旧帝大の先生なんて、やっぱ普通の人じゃなれないわけですよ
その秀才集団の中でも、この2人って、学生の目から見ても明らかに天才だったんですよね。
でも、世界にゃ彼らから見ても雲の上みたいな数学者がわんさかいるんですよね
ちっぽけだわ。俺ってちっぽけだわ。
166:１３２人目の素数さん
20/04/07 00:45:04 oxk5mTUl.net
伝説級の数学者になる人
優秀な数学者になる人
数学者になる人
真面目な学生
おちこぼれ学生
そもそも学部入試すら通らないゴミ
透視図法みたいなもので、自分より遠くは粗くしか分類できない
167:１３２人目の素数さん
20/04/07 00:48:50 18gt0abs.net
K, k: 代数体
K/k: Galois拡大
O_K, O_k: K, kにおける整数環
p⊂O_k: 素イデアル
pO_K = P_1^e_1∩...∩P_g^e_g (P_*⊂O_K: 素イデアル)
と素イデアル分解したとする。
Κ_i := O_K/P_i
κ := O_k/p
f_i := [Κ_i:κ]
とおくと、
[K : k] = Σ[i = 1 to g] e_i * f_i.
Gal(K/k)のKへの作用は、{P_1, ..., P_n}への作用を誘導する。
K/kがGalois拡大の場合、この作用は推移的になる。この時、
e_1 = ... = e_g
となる。これを簡単にeと書く。
K/kがGalois拡大の場合、さらに
f_1 = ... = f_g
となる。これを簡単にeと書く。よって、
[K : k] = efg.
168:１３２人目の素数さん
20/04/07 00:52:16 18gt0abs.net
D_i := { σ∈Gal(K/k)| σ(P_i) = P_i }
とおく。このD_iをP_iの分解群という。群の作用の性質から
|{σ(P_i)| σ∈Gal(K/k) }| = |Gal(K/k)|/|D_i|.
Gal(K/k)の作用は推移的だったので、
g = [K : k]/|D_i|
∴ |D_i| = ef.
σ∈D_iとする。
x + P_i∈Κ_iに対して、σ(x) + P_iを対応させることで、群の準同型
D_i → Gal(Κ_i/κ)
が定まる。この準同型は全射だが、単射とは限らない。
その核をI_iとすると、
|D_i|/|I_i| = f_i
∴ |I_i| = e
このI_iを、P_iの惰性群という。
169:１３２人目の素数さん
20/04/07 08:20:16 18gt0abs.net
以下、e = 1の場合を考える。このとき、
D_i ～ Gal(Κ_i/κ)
Κ_i/κは有限体の代数拡大なので、Gal(Κ_i/κ)は位数fの巡回群。
その生成元をφ_iとする。φ_iのD_i⊂Gal(K/k)への引き戻しを、
[(K/k)/P_i]
と書く。この元は、
[(K/k)/P_i](x) + P_i = x^f + P_i ∈ Κ_i
となる元である。
[(K/k)/P_i]の位数が1 ⇔ pはO_Kで完全分解
τ(P_i) = P_jとなるτ∈Gal(K/k)を用いると、
[(K/k)/P_i] = τ^(-1)∘[(K/k)/P_j]∘τ
となる。
したがって、K/kがAbel拡大であれば、この元はpのみから定まるので
((K/k)/p)
と書く。
170:１３２人目の素数さん
20/04/07 08:23:14 18gt0abs.net
k = ℚの場合
K = ℚ(ζ_m) (ζ_m := exp(2πi/m))
p = (p)⊂ℤ (p:奇素数)
とする。このとき、((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))は、
((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))(ζ_m) = (ζ_m)^p
で定まる自己同型である。
K: 代数体
K/ℚ: Abel拡大
とする。
Kronecker-Weberの定理より、あるmがあって、
ℚ⊂K⊂ℚ(ζ_m)
となる。対応する群は、
Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)⊃Gal(K/ℚ)⊃{e}
であり、
Gal(K/ℚ) ～ Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)/Gal(K/ℚ).
よって、p: 奇素数に対し、
(p)がKで完全分解 ⇔ ((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))のKへの制限が恒等写像
171:１３２人目の素数さん
20/04/07 17:44:03 teLchzzw.net
よくよく考えたら原始根以前に有限体やp進数の逆元も具体的に分かってるわけではないのか
aとbが互いに素な整数のとき、ある整数a*とb*が存在して
aa*+bb*=1
と出来る、この事実が全ての基礎になってるわけだけど
これらが簡単に表現できない(互除法で行き当たりばったりで作るしかない)ことが神秘的なのかね
文元センセも言ってた加法と乗法の複雑な絡み合い
172:１３２人目の素数さん
20/04/07 21:50:00.26 xomzJtfm.net
任意のnに対して、有理数体のガロア拡大で、ガロア群がZ/nZと同型になるものは存在しますか？
173:１３２人目の素数さん
20/04/07 22:15:15 6spc6HMY.net
算術級数定理より
p = kn + 1
となる素数pが存在する
ζを1の原始p乗根とすると、Q(ζ)/QはGalois拡大で、Gal(Q(ζ)/Q)は
(Z/pZ)^× ～ Z/(p-1)Z ～ Z/(kn)Z
これの部分群Hで、Z/kZと同形なものが存在する
(Q(ζ)^H)/Qが求めるもの
174:１３２人目の素数さん
20/04/07 22:22:16 teLchzzw.net
なるほど～
n|p-1なるpがあればいいとこまではわかったけど、算術級数定理か
175:１３２人目の素数さん
20/04/07 22:29:05.57 3T2KVGlb.net
すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ〜
176:１３２人目の素数さん
20/04/07 23:41:22 283MpXKW.net
>>175
1どうしましょ
177:１３２人目の素数さん
20/04/08 01:58:42.77 O0tyApMG.net
>>175
レー二の定理
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
178:１３２人目の素数さん
20/04/08 05:13:10.38 Ibxp4XrV.net
この人がコーヒーの有名な一節の親なのか
「すべての自然数」てのはwikiのミスかね
179:１３２人目の素数さん
20/04/08 17:53:12 9XSIHJqK.net
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2〜5個 短軸有利
宝：6〜13個 長軸有利
宝：14〜20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
同等☆
Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]
180:１３２人目の素数さん
20/04/08 19:08:41.74 z2JLnDZ4.net
(1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3) ...
181:１３２人目の素数さん
20/04/10 10:57:23.96 d17WbpJ8.net
>>180
e(n) := nを偶数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数
o(n) := nを奇数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数
とすると、x^nの係数は
e(n) - o(n)
182:１３２人目の素数さん
20/04/10 12:25:30.15 +JuE8csR.net
e(n) - o(n)は、-1～1しか取らない
183:１３２人目の素数さん
20/04/11 21:27:44 MRjm12uG.net
n=pq(異なる素数の積)のときn次の円分多項式の係数が-1～1しか取らないことの証明教えて
(このことからn=p^iq^jのときもそうなる)
184:１３２人目の素数さん
20/04/11 21:45:35 MRjm12uG.net
自己解決した
185:１３２人目の素数さん
20/04/12 22:21:11.40 s2F2f2WJ.net
>>183
あれ？
それ成立しないって聞いた記憶かるけど？
186:１３２人目の素数さん
20/04/12 22:32:34.23 fxiBcFsv.net
>>185
それはnが3つ以上の奇素数の積のときではなく？
187:１３２人目の素数さん
20/04/13 20:37:25 eB1v2sjZ.net
ベルトラン仮説や算術級数定理のような素数に関する素朴でシンプルな定理あれば教えてください
(上のレーニの定理は少し複雑だなという感想です)
188:◆QZaw55cn4c
20/04/13 22:13:45 2HELtJr7.net
>>187
ゴールドバッハの予想
＞全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる
189:１３２人目の素数さん
20/04/13 22:38:58.17 eB1v2sjZ.net
て、定理をお願いします…
190:１３２人目の素数さん
20/04/13 22:39:44.21 doFm6REC.net
素数の逆数和は発散する
191:１３２人目の素数さん
20/04/14 11:01:55.50 JKkrDks5.net
フェルマーの小定理
192:１３２人目の素数さん
20/04/14 13:35:21.37 zAX8Cvpg.net
はよせい(｀_´)
193:１３２人目の素数さん
20/04/19 03:16:44 tU5PHIJd.net
ウェアリングの問題、ゴールドバッハの予想 >>119
ヴィノグラードフの定理 >>129
レー二の定理 >>177
194:１３２人目の素数さん
20/04/19 03:17:23 tU5PHIJd.net
Zero-sum problem、エルデシュ＝ギンツブルグの定理 >>108
バーゼル問題 >>127
虚数乗法 >>11 、類数公式 >>80-91
195:１３２人目の素数さん
20/04/19 03:23:47 tU5PHIJd.net
与えられた数より小さい素数の個数について >>16
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)リーマン予想
196:１３２人目の素数さん
20/04/19 20:20:35 74+JYiE8.net
おお！ありがとう
ヴィノグラードフとエルデシュ=ギンツブルグ初めて知りました
197:１３２人目の素数さん
20/04/20 22:46:36 35vuW0Bh.net
ベルトランの仮説はゴールドバッハの予想から持ってこれる。中国剰余定理とフェルマーの小定理は素数の定義と3000時間にらめっこしてれば大体の人が自力発見できると思う
198:１３２人目の素数さん
20/04/23 14:37:22 M2d54xbk.net
赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。
i_1 + i_2 = i,
j_1 + j_2 = j
k_1 + k_2 = k,
(i,j,k）が
i+j+k = 偶数,
|i-j| ≦ k ≦ i+j,
の条件を満たすとき、
{i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2} ←集合として同じ
とすることができるか？
（色違いは許して同数）
199:１３２人目の素数さん
20/04/24 17:10:41 FdH14EWV.net
>>190
H_n = Σ[k=1,n] 1/k
< Π[p≦n] (1+1/p+1/pp+････)
= Π[p≦n] 1/(1-1/p)
= Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)}
= 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)}
< 2Π[p<n] (1 + 1/p)
< 2 exp(Σ[p<n] 1/p),
H_n → ∞ (n→∞)
より
Σ[p<n］1/p → ∞ (n→∞)
200:１３２人目の素数さん
20/04/24 22:23:26.29 FdH14EWV.net
>>190
・高校数学の美しい物語
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
・思考力を鍛える数学
URLﾘﾝｸ(www.mathlion.jp)
・数学探偵Channel
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:53
・杉山＆ヨビノリたくみ（鈴木貫太郎）
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 41:25
201:１３２人目の素数さん
20/04/30 16:58:26 njuvIHl8.net
保型形式は、楕円関数論の延長としてやるのが好ましいね
Δ=G_2^3 - 27G_3^2
とか言われても、係数の意味わかんねーし
202:１３２人目の素数さん
20/04/30 17:53:00 Je+bO2n6.net
それって極の係数合わせてるだけではないの？
203:１３２人目の素数さん
20/04/30 18:20:46 grParZpf.net
モジュラー形式をリー群に一般化したのが保型形式だけど、後々保型形式を勉強することを見越してモジュラー形式を保型形式と呼ぶことがあるから、恐らくモジュラー形式の話だろう
保型形式"論"では判別式は登場しないので知らなくても問題ない
204:１３２人目の素数さん
20/05/01 14:34:31 2+h9EAX6.net
>>198
できる。これは何かの有名な問題？
205:１３２人目の素数さん
20/05/04 14:16:03 jDRWX2Ph.net
3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(deleted an unsolicited ad)
206:１３２人目の素数さん
20/05/09 08:44:51 pHr5kdzK.net
フェルマーの最初の定理って何だろう？
〔問題〕
n≧0 に対して F_n = 2^(2^n）+ 1 とおく。
(1) F_{n+1｝- 2 = F_n (F_n - 2）を示せ。
(2) m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。
(3) 奇素数が無限個あることを示せ。
もちろん、F_n が素数とは限らない。
207:１３２人目の素数さん
20/05/09 08:56:44 pHr5kdzK.net
>>198
i_1 = j_2 =（i+j-k)/2,
j_1 = k_2 =（-i+j+k)/2,
k_1 = i_2 =（i-j+k)/2,
など。(Ravi変換?)
208:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:24:34 bNx4VBt3.net
SerreのA Course in Arothmeticを読んでいます。
2章のはじめの定理の証明に、「ℤpはコンパクトであるため～」(ℤpはp進整数環)とサラッと書いてあるのですが、どう証明するのでしょうか
209:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:40:45 gdd+7JW+.net
Aerosmithに見えた
210:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:50:42 eeOJx/cN.net
局所体Kは局所コンパクトであり、その付値環οはコンパクトである
Qpは局所体なので、その付置環Zpはコンパクトである
211:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:56:11 bNx4VBt3.net
一般論知ってるとそうなるんですね。
局所体について書いてある本読んで見ます。
永田の可換体論かSerreのLocsl Fieldsに載ってるかな
212:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:57:43.51 7GDKXo0T.net
>>208
Z/pZの可算直積と見てチコノフの定理とかでいいんじゃなかったっけ？
213:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:59:46.73 bNx4VBt3.net
p進整数はp進展開と1対1に対応するので、
X:=Π[n∈ℕ]ℤ/pℤ
からの全射が存在。
各ℤ/pℤに離散位相を入れ、積位相を考えると、Tychonoffの定理よりXはコンパクト。
なので、上の全射が連続写像であることを示せば良い。
ℤpは位相群なので、0の閉近傍系p^nℤpがの逆像がXの閉集合になることを示せば十分。
nは任意に取り、p^nℤpの逆像をFとすると、Fは(... , n(p+2) , n(p+1), 0, ..., 0, 0)の形のもの全体。この補集合は、有限個の開集合×残り全部ℤ/pℤなので、Xの開集合。したがって連続。□
こんな感じか
214:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:07:42 XhRD3Cmi.net
>>208
Serreの流れだと有限環ℤ/p^nの射影極限だから有限集合（コンパクト）の（無限）直積で（チコノフの定理より？）コンパクトというつもりでしょ
その商体Q_pはそれゆえ局所コンパクトという論法だろう
215:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:10:55 XhRD3Cmi.net
あっ，もう済んでた！
216:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:32:25 gdd+7JW+.net
すべての副有限群はコンパクトってことか
wiki読んでて知ったんだがすべての副有限群はある拡大のガロア群になるらしいね
Z_pをガロア群として持つような拡大って例えば何？
217:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:33:19 bNx4VBt3.net
みなさんありがとうございます。
非自明なのは、チコノフの定理と、積位相とp進距離による位相がちゃんと対応するところですね
218:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:47:30.98 rM3/opNb.net
>>216
pを奇素数
Gal(ℚ(ζ_p^(n+1))/ℚ)
～(ℤ/p^(n+1)ℤ)^×
～(ℤ/(p-1)ℤ)×(ℤ/p^nℤ)
なので、ℚ(ζ_p^(n+1))の部分体K_nで、Gal(K_n/ℚ)～ℤ/p^nℤとなるものが存在する
K=∪[n≧1]K_n
とすれば、Gal(K/ℚ)～ℤ_p
というふうに構成できたはず。
219:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:56:01 rM3/opNb.net
こんなことしなくても、
K_n=ℚ(ζ_p^(n+1))
K_∞=∪[n≧1]K_n
とすれば、
Gal(K_n/K_0)～ℤ/p^nℤ
だから、Gal(K_∞/K_0)～ℤ_pか
220:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:56:11 gdd+7JW+.net
>>218
なるほど、バチの方からうまく取り出すのか
とはいえ最終形が謎すぎるな
221:１３２人目の素数さん
20/05/12 20:00:02 gdd+7JW+.net
あー、p-1の方はQ(ζ_p)から始めれば消せるのか
222:１３２人目の素数さん
20/05/13 02:03:48.03 A69DjUkt.net
お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか？
①自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？
②自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか？
よろしくお願いします
223:１３２人目の素数さん
20/05/14 18:07:54 KTOBc2Kb.net
ID:bNx4VBt3
ageるな
224:１３２人目の素数さん
20/05/15 19:11:44.38 coEapvpP.net
ググると、徳島大学の学部4年生が1年で
Neukirchと、Hartshorneと、SerreのLocal Fieldsと、SGA 4 1/2の1章
を読了しているセミナーの報告が出てくるが、ホンマかいな
京大のAコースでもM1でHartshorne読み終わる奴も珍しくないのに
225:１３２人目の素数さん
20/05/15 20:00:18 ugOrNQS2.net
ぱらぱら眺めて、言葉だけ覚えて、勉強した気になるアホはどこにでも一定数いる。
226:１３２人目の素数さん
20/05/15 20:15:14.67 hmvVN81A.net
東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た
227:１３２人目の素数さん
20/05/15 20:31:50.23 TZqau7rC.net
B4ならこんなもんじゃないの
228:１３２人目の素数さん
20/05/15 23:43:50.12 KW08AtIKp
URLﾘﾝｸ(note.com)
これマジでやったほうがいいよ
英語の勉強全くいらなくなる
誰でも確実に英語脳できる
229:１３２人目の素数さん
20/05/22 17:20:29 5RIWtRFh.net
恥ずかしいことだが京理4回の講究は>>208で必ず引っかかる
230:１３２人目の素数さん
20/05/22 20:10:13 ptQoMTfq.net
>>210
局所コンパクトな体の付値環がコンパクトってどう証明するんですか？
231:１３２人目の素数さん
20/05/25 18:15:15 as7r/XH1.net
｛x｝= x -［x］
= 1/2 - Σ[k=1,∞］sin(2kπx)/(kπ),
[大学学部レヴェル質問スレ１３．398]
232:１３２人目の素数さん
20/05/26 12:10:54 epuMy11v.net
>>230
局所体Kの付値環oがコンパクトだな
局所体は自明ではない乗法付値に対して非連結な局所コンパクト付値体なので、局所コンパクトな体だけでは条件が恐らく足りない
Kの付値環oは(局所体が持つ正規(特に離散)指数付値が定める付値環なので)離散付値環である
よって以降離散付値環に対して議論すればよい
一般に、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、oとlim_← o/p^nは代数的同型かつ同相…?
一方、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、商群p^m/p^{m+1}とo/pは同型なので、任意のn∈Nに対して商環o/p^nは有限で、特にコンパクトである
よってチコノフの定理よりΠ_{n=1}^{∞}o/p^nもコンパクトで、コンパクトの閉部分集合はコンパクトなのでlim_← o/p^nもコンパクト
?よりoもコンパクトである
233:１３２人目の素数さん
20/05/26 12:28:18.19 epuMy11v.net
すまん、離散付値環に対して議論すればよい
って書いてるけど、
離散付値に関して完備、剰余類体が有限という局所体の条件を使ってるから、
一般の離散付値環がコンパクトとは限らない
234:１３２人目の素数さん
20/05/26 12:55:02.26 aYF++qy3.net
誰かの定理で局所コンパクト体が結局標準的な局所コンパクト体しかないって定理あったと思うんだけとなんだっけ？
名前がアルファベットで四文字くらいだった記憶がある。
ググっても見つからない。
235:１３２人目の素数さん
20/05/26 23:31:49 moFWvn2F.net
整数問題の史上最高傑作？（Passlabo）
aa+bb+cc = 292 のとき、整数(a,b,c）を求めよ。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 13:24
236:１３２人目の素数さん
20/05/26 23:34:53 moFWvn2F.net
{a,b,c｝=｛±2, ±12, ±12｝と｛0, ±6, ±16}
237:１３２人目の素数さん
20/05/27 03:30:02 qjAXFTAb.net
>>234
なんかブルバキっぽい話題だな、ヴェイユあたりか？知らんけど
238:１３２人目の素数さん
20/05/30 21:59:15 JGHWf3RD.net
a, bを互いに素な整数
p ≡ b (mod a)
となるpが少なくとも1つ存在することは、初等的に示せる？
239:１３２人目の素数さん
20/05/30 22:44:12.93 fvfWwsTO.net
modular curveのuniversal elliptic curveって何
なんかの表現可能関手のuniversal element？
240:１３２人目の素数さん
20/05/31 00:02:06.93 eEopntvU.net
>>238
bが1のときは確か円分多項式を利用してできるハズ。
一般にはむずかしい。
セルバーグの論文があったはず。(確か1950)
241:１３２人目の素数さん
20/05/31 08:58:38 kTYcRm4u.net
>>240
>>238は「少なくとも1つ」ならば易しくなるか？と聞いてるのでは
俺もわからん
242:１３２人目の素数さん
20/05/31 12:38:45.35 CSQH3/k8.net
やっぱディリクレの算術級数定理ってすげーわ
243:１３２人目の素数さん
20/05/31 15:47:15.60 eEopntvU.net
>>241
なるほど、そうだ。
でも“少なくともひとつ”でも聞いたことないな。
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