不等式への招待第８章

不等式への招待第８章 at MATH

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656:１３２人目の素数さん
17/08/20 11:39:21.71 XEX21MRP.net
>>628
かたじけない。その証明が難しいので、もう少し時間を。

657:１３２人目の素数さん
17/08/20 11:40:27.25 XEX21MRP.net
疑問でござる。
(1)
a, b, c >0 の相乗平均を G とおくとき、a/(b+G) + b/(c+G) + c/(a+G) ≧ 3/2 は成り立つか？
(2)
上式で、右辺の定数をGを含む式に変えられないか？たとえば、3/(1+G) みたいな感じで。
(3)
a, b, c >0、s = a+b+c、t = ab+bc+ca、u = abc に対して、s^3u - t^3 ≧0 は成り立つか？

658:１３２人目の素数さん
17/08/20 12:03:13.01 XEX21MRP.net
>>640
(3)は(a,b,c) = (1,1,2), (2,2,1) で正負になった。すまぬすまぬ…。

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669:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:47:22.79 XEX21MRP.net
>>628
ようやく理解。ところでRavi変換は (b+c-a)/2 = x、… なのでは？
基本対称式を使って、力任せに証明してみた。
a, b, c の基本対称式を s, t, u とおくと、
HM^2 - (2√3*r)^2 = 3{3s(st-u)^2 - 4u(s^2+t)^2}/{s(s^2+t)^2}
分子 = u(s^2t+3su-4t^2) + s^2(st^2-4s^2u+3tu) + 2s^2t(st-9u) ≧0
週末が始まったと思ったら、もう終わっていたでござる… ('A`)

670:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:48:49.02 XEX21MRP.net
>>652
正確には、分子じゃなくて、分子の中括弧の中身。

671:１３２人目の素数さん
17/08/20 18:56:12.70 XEX21MRP.net
>>652
何度もすまぬ。
Ravi変換 (b+c-a)/2 = x、…をしてから、x, y, z の基本対称式 s, t, u を使ったのでござった。

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682:１３２人目の素数さん
17/08/20 22:50:23.44 mA3fdDEU.net
>>609
〔Schur 不等式の拡張〕
P,Q,R≧0 かつ（P,Q,R）（a,b,c）が同順または逆順ならば
　P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）≧ 0.
(略証)
bはa，cの中間にあるとしてよい。
　(a-b)(b-c）≧ 0
題意より、P,Q,R≧0 かつ QはP，Rの中間にあるから、
　P-Q+R ≧0
これらより、
　P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b）
= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2
≧ 0,　（終）
いろいろな拡張があり、まとめて Vornicu－Schur 不等式と云うらしい。
詳しくは、ニコニコ大百科の「シューアの不等式」の項を参照

>>640
(1) >>449(1）と同じでつ。
(2）同次式ゆえ、定数でつ。

>>654
それなら、>>652 は >>628 と同じでつね。

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17/08/20 23:01:59.99 vRIJh8/a.net
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684:１３２人目の素数さん
17/08/20 23:03:56.11 mA3fdDEU.net
>>617
専門バカになるでござる。
（ただし、専門を持たぬ只のバカよりは、すこーしマシである。）

685:１３２人目の素数さん
17/08/21 09:09:30.43 QiJqP8rB.net
>>628
a,b,c が△の辺長でない場合も簡単でござるよ。
A+B=2c≧0，B+C=2a≧0，C+A=2b≧0,
∴ A,B,Cのうち負となるのは１つだけ。
∴ HM^2 ≧ 0 ≧ 3ABC/(A+B+C),

686:１３２人目の素数さん
17/08/21 17:53:20.03 8ztbkIZ8.net
a, b, c >0 かつ abc≧1 のとき、
(1) [2004 ウクライナ、文献 [9] 佐藤(訳)P.139]
　a^3 + b^3 + c^3 ≧ ab+bc+ca
(2) [2006.3 エレ解、一松信]
　a^2b + b^2c + c^2a ≧ ab+bc+ca
(3) [疑問]
上の左辺 a^3 + b^3 + c^3 と a^2b + b^2c + c^2a の大小は定まるのか？
巡回不等式に有効な手段って何？真ん中の数を固定して場合分けくらいかな？

687:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:19:47.87 QiJqP8rB.net
>>669
(abc)^(1/3) = G とおき、AM-GM する。
(1)
　a^3+a^3+b^3 -3aab = (2a+b)(a-b)^2 ≧ 0
　ゆえ、(2)に帰着する。

(2)　aab+aab+bbc ≧ 3aG,
　巡回的にたす。

(3) Muirheadの不等式

688:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:26:23.89 QiJqP8rB.net
>>669
　>>670 の訂正
(2) aab + aab + bbc ≧ 3abG
でござった。
(3)　非対称のときは微妙な場合もあるが、この場合は成立つでござる。

689:１３２人目の素数さん
17/08/21 22:55:53.49 qV/a4a+5.net
>>670
(3)muilheadで出来ると？

690:１３２人目の素数さん
17/08/22 00:50:18.83 fGE

691:hoquB.net

692:１３２人目の素数さん
17/08/22 00:57:31.85 fGEhoquB.net
古いmemoを見つけたので、紛失する前に書き込んでおく。
証明は簡単だけど、見た目がよかったので。
〔出典不明〕
A(a,b) = (a+b)/2、G(a,b) = √(ab)、A(a,b,c) = (a+b+c)/3 などと書くことにする。
正の数 a, b, c, d に対して、
A(a,b,c,d) ≧ G(A(a,b,c),A(b,c,d),A(c,d,a),A(d,a,b)) ≧ G(A(a,b).A(a,c).A(a,d).A(b,c).A(b,d).A(c,d).) ≧ G(a,b,c,d)

693:１３２人目の素数さん
17/08/22 13:46:51.51 yCSUoaY7.net
>>674
[第6章.151-159］の辺りにござる。
G(A(a,b,c), A(b,c,d), A(c,d,a), A(d,a,b))^4
= (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)/81
= (sst -su +v)/81,
G(A(a,b),　A(a,c), A(a,d), A(b,c), A(b,d), A(c,d))^6
= (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)/64
= (stu -ssv -uu)/64,
A(ab, ac, ad, bc, bd, cd)
= (ab+ac+ad+bc+bd+cd)/6
= t/6,
A(abc, bcd, cda, dab)
= (abc+bcd+cda+dab)/4
= u/4,

694:１３２人目の素数さん
17/08/22 15:23:36.14 fGEhoquB.net
>>669(3)
(a^2, b^2, c^2) と (a,b,c) は大小の順が同じだから、
『同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順除籍の和』で、
a^3 + b^3 + c^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a
で問題ない蟹？

695:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:38:27.52 fGEhoquB.net
(1) [1999 Russia]
a, b, c >0 に対して、1 + 3/(ab+bc+ca) ≧ 6/(a+b+c)
(2) [1999 Russia]
a, b, c >0、abc=1 に対して、1 + 3/(a+b+c) ≧ 6/(ab+bc+ca)
(3) [不明]
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(a+b+c) + 1/3 ≧ 3/(ab+bc+ca)

696:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:49:45.42 fGEhoquB.net
(1) [出典不明]
a, b, c, d >0、abcd=1 とする。
1/(1+ab+bc+ca) + 1/(1+bc+cd+db) + 1/(1+cd+da+ac) + 1/(1+da+ab+bd) ≦ 1
[疑問]
1/(1+ab+bc+cd) + 1/(1+bc+cd+da) + 1/(1+cd+da+ab) + 1/(1+da+ab+bc) だと、どうなるのだろう？

697:１３２人目の素数さん
17/08/22 18:56:05.03 fGEhoquB.net
以下、a, b, c >0、abc=1 とする。いずれも出典不明
(1)
(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c)
(2)
(a+b+c)/3 ≧ {(a^2+b^2+c^2)/3}^(1/5)
(3)
(a-1)/b + (b-1)/c + (c-1)/a ≧ 0
(4)
(a-1)/(b+c) + (b-1)/(c+a) + (c-1)/(a+b) ≧ 0
(5)
(a/c)^2 + (b/a)^2 + (c/b)^2 ≧ 2(a-b)(b-c)(c-a) + 3
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未整理のmemoの中で abc=1、abcd=1 のタイプは片付いたかも…。
　　　　　　　　　　r～～～～～～～～～
　　　＿_　　　　_ﾉきりがないでござる・・・
　／__　｀ヽ_ ⌒ヽ～～～～～～～～～
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

698:１３２人目の素数さん
17/08/22 19:09:30.23 fGEhoquB.net
[おまけ]
友愛数みたいな関係でござるな。
(1)
a, b, c >0、a+b+c=3 のとき、a^2 + b^2 + c^2 + abc ≧ 4.
(2)
a, b, c >0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のとき、a+b+c ≦3.

699:１３２人目の素数さん
17/08/22 21:17:04.84 fGEhoquB.net
>>679
(5) やはり巡回式は全く手が出ない…

700:１３２人目の素数さん
17/08/23 17:00:04.08 edu8Brze.net
>>667
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0,　　（ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0,　　(tt≧3su)
(3)
a=b<c

701: のとき不成立（a=b≧c では成立）でござる。

702:１３２人目の素数さん
17/08/23 17:04:32.35 edu8Brze.net
>>680
(1）題意より
(左辺）= s(ss-2t)/3 + u
　=｛4s^3 + 3(s^3 -4st+9u) + 2(ss-3t)}/27
　≧（4/27)s^3
　= 4,
セビリアMO-2008改
佐藤(訳)、[9] 問題3.118

(2)
題意より、0<a～c<2、
（3-a-b-c)(3+a-b-c+bc）=（4-aa-bb-cc-abc）+ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1)
≧ 1 -（2-b)(2-c)(b+c-1）≧0
∵ b+c-1>0 のとき、AM-GMで（2-b)(2-c)(b+c-1)≦1
イランMO-2002、A.16
>>682 (3)
不等号が逆でござった。

703:１３２人目の素数さん
17/08/23 22:42:04.81 6dHoZEIo.net
>>679
>>681
(3)
a=y/x, ... とおくだけ
(5)
x=b/a, ..., f(x, y, z)=LHS-RHSとおくと
f(x, y, z) - f(t, t, t) = 3/4 * (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0 where t = (x+y+z)/3
よって x = y = z = 1 のとき示せばよいがこれは明らか

704:１３２人目の素数さん
17/08/23 23:35:42.86 6dHoZEIo.net
>>678
両方とも逆数考えればいい

705:１３２人目の素数さん
17/08/24 00:19:32.68 9N+3FV4m.net
>>677
(1)
1 -6/s +3/t =（1 -3/s)^2 + 9/(3t）- 9/ss ≧ 0,　　（ss≧3t)
(2)
1 -6/t +3/(su）=（1 -3/t)^2 + 9/(3su）- 9/tt ≧ 0,　　(tt≧3su)
(3)
成り立ったでござる。死んでお詫びを…（AA略

706:１３２人目の素数さん
17/08/24 01:23:07.53 9N+3FV4m.net
>>679
(2)
ss =（aa+bb+cc）+ t + t,
s^6 ≧｛(aa+bb+cc) +t +t}^3
　≧ 27(aa+bb+cc)tt
　≧ 81(aa+bb+cc)su,
∴（s/3)^5 ≧｛(aa+bb+cc)/3}u,
〔補題196〕
　(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
を使う。（じゅー）

(4)
チェビシェフで，
箔ｯ順序積 ≧ 迫随㍼�ﾏ，
（左辺）≧（1/3)(a+b+c-3){1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)}≧0,

707:１３２人目の素数さん
17/08/24 03:22:45.56 rYRHhAcs.net
>>687
> 〔補題196〕
> 　(8/27)(a+b+c)^5 ≧ (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc),
左側はアッサリ、右側はサッパリ…。
8(a+b+c)^3 - 27(a+b)(b+c)(c+a) = 3(s^3-4st+9u) + 5s(s^2-3t) ≧ 0
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 - 24abc(aa+bb+cc) = s^3t - 25s^2u +48tu
--------------------------------------------------
ついでに、過去ログ漁っていて出てきたやつですが、すっきりした証明ができませぬ。
[第６章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3),
{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2 - 27abc(a^3＋b^3＋c^3)
= s^2t^2 - 27s^3u + 81stu - 81u^2
次数が上がると、s, t, u の不等式のどれを組み合わせるか難しくなる。

708:１３２人目の素数さん
17/08/24 10:30:59.65 9N+3FV4m.net
>>688
〔補題196〕の略証
チョト難しいのでSchurの拡張で。
bはa、cの間にあるとする。
(左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
　= P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)
-----------------------------ｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰｰ--------------------
[第６章.908］の略証
S = aaa+bbb+ccc, T =（ab)^3+(bc)^3+(ca)^3,
p = aab+bbc+cca, q = abb+bcc+caa, u=abc とおく。
pq = T+uS+3uu ≧ 3u(3ST)^(1/3）≧ 3u√(3Su）より、
（左辺）=｛(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 =（S+p+q)^2 ≧ 9(Spq)^(2/3）≧ 27Su，
Casphy!-不等式2-177　じゅー

709:１３２人目の素数さん
17/08/25 00:31:48.00 oetrvUQn.net
>>677 (3)
　st +6Gt -9GGs ≧ 0,
>>679 (1)
st +6u -5GGs ≧ 0,
の特効薬は無いでござるか？（G=(abc)^(1/3))
3次方程式
　X^3 -sX^2 +tX -u=0
の判別式は
　27⊿^2 = 27{(a-b)(b-c)(c-a)}^2
= 4(ss-3t)^3 - (2s^3 -9st +27u)^2
　=（st-9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu -9stu)
　=（st+9u)^2 -4(t^3 +s^3･u +27uu)
　=（st+6GGs +6Gt +9u)^2 -4(t +Gs +3GG)^3,
3つの実根 a,b,c をもつときは
　st+6GGs+6Gt+9u ≧ 2(t+sG+3GG)^(3/2),
と思われるが、さて…

710:１３２人目の素数さん
17/08/25 01:15:11.00 3FtU8w0T.net
>>679
>>690
f(a, b, c)=LHS-RHS, a>=c>=b とすると
f(a, b, c)- f(a, t, t) = 1/4 *(2a-b-c) >= 0 where t = (b+c)/2
f(a, b, c) - f(ab, c, 1) = (a-1)(1-b)(c^2+abc+ab+bc+ca+c-5) >=0
よって a = b = c = 1 のとき調べればよいが明らか

711:１３２人目の素数さん
17/08/25 01:21:08.15 3FtU8w0T.net
>>691
二個目の不等式成り立たないや

712:１３２人目の素数さん
17/08/25 04:26:49.66 Yhp4f37o.net
>>690
f(X) = X^3 -sX^2 +tX -u
f'(X) = 3X^2 - 2sX + t
AN-GMより f'(X)の判別式 D/4 = s^2-3t ≧0
f'(X)=0の解α,βは、α+β, αβ>0 より、α,β>0
また f(0)=-u<0
グラフを考えると、f(X)=0が正の解a, b, cをもつ条件は f(α)f(β)≦0
f(α)f(β) = -(s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2) ≦0
∴ s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 ≧0
残念無念…
s, t, u に関する既知の不等式が出てきただけでござった。
s^2t^2 - 4s^3u +18stu - 4t^3 -27u^2 = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2
　 ('A`) ,..;:～''"
　ﾉ( ﾍﾍ　,,.､;;:～'''

713:１３２人目の素数さん
17/08/25 17:27:20.09 oetrvUQn.net
>>677 (3) が成立つとする。
　2/s + 1/3 ≧ 3/t,
または
　t ≧ 9s/(s+6),
一方、9ss -（s+6)(5s-6）= 4(s-3)^2 ≧ 0 より
　9s/(s+6）≧（5s-6)/s,
したがって
　t ≧（5s-6)/s,
または
　st + 6 ≧ 5s　　>>679（1)
それぢゃ、>>677（3）はどうするか？

714:１３２人目の素数さん
17/08/25 19:30:02.99 Yhp4f37o.net
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明するときの以下の変形は、どうやって思いつくんでしょうか？
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}
F_2 = {(x+y-z)2(x-y)^2 + (y+z-x)2(y-z)^2 + (z+x-y)2(z-x)^2 }/2

715:１３２人目の素数さん
17/08/25 22:34:00.62 oetrvUQn.net
>>695
>>665 にある文献か
Casphy! - highmath - 不等式2 - 175（じゅー）
をサンショウウオ

716:１３２人目の素数さん
17/08/26 01:33:14.23 MEky4IFO.net
[疑問１]
Schur's inequality を対称性を崩さずに証明できるのは、n=0,1,2,3 以外には知られていないのかな？
検索の仕方が下手なのか見当たらんでござる。
[疑問２]
>>677のように、同次でない不等式の証明で、お決まりのテクニックって何じゃらほい？
条件式を使って無理やり同時にして、基本対称式の不等式を利用するくらいしか思いつかないけど、
この問題では、条件式を使っても３乗根が現れて大変だし…

717:１３２人目の素数さん
17/08/26 02:00:02.17 a5WQhO5r.net
>>695 >>697 [1]
拙者にも分かりませぬ。
Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
では対称性は崩れませぬが、うまく証明できるのか疑問だし。

718:１３２人目の素数さん
17/08/26 02:32:02.40 MEky4IFO.net
>>698
> Ｆ_(n+3）=（x+y+z）Ｆ_(n+2）-（xy+yz+zx）Ｆ_(n+1）+ xyz Ｆ_n
ちょうど今、その等式を導いたとこでござる。
それから F_1 を対称性を保つように変形中に次式が出てきて、Wolfram先生に確認してもらった。
F_1
= (1/2){(x^2+y^2-z^2)(x-y)^2 + (y^2+z^2-x^2)(y-z)^2 + (z^2+x^2-y^2)(z-x)^2}
= (1/2){(x+y-z)^2(x-y)^2 + (y+z-x)^2(y-z)^2 + (z+x-y)^2(z-x)^2}
しかし、ここから（結果を知らずに）次式に変形する方法が思いつかない。
F_1 = xy(x+y)(x-y)^2/{(y+z)(z+x)} + yz(y+z)(y-z)^2/{(z+x)(x+y)} + zx(z+x)(z-x)^2/{(x+y)(y+z)}

719:１３２人目の素数さん
17/08/26 15:31:34.41 a5WQhO5r.net
>>698
3Ｆ_2 = 2(x+y+z)Ｆ_1 +｛(x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx)}Ｆ_0,
を使うと
Ｆ_3 =（xx+yy+zz)Ｆ_1 - 2xyzＦ_0

720: となるが、その後が… 700げとー

721:１３２人目の素数さん
17/08/26 16:54:34.17 a5WQhO5r.net
>>700
P=p(z-y), Q=q(x-z), R=ｒ(y-x), p+q+r=0 のとき
　P(x-y)(x-z）+ Q(y-z)(y-x）+ R(z-x)(z-y)
　=（p+q+r)⊿
　= 0,
ここに⊿=（x-y)(y-z)(z-x),
例　p=z-y，q=x-z，r=y-x のとき P=pp、Q=qq、R=rr.

722:１３２人目の素数さん
17/08/27 00:28:26.43 NetfQ0ow.net
>>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9u）= t(t-3)^3 + 3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9u),
(左辺）-（右辺）=（2/s + 1/3）- 3/t
　= 2/s - (9-t)/3t
　≧ 2/s -8t/(s^3 +9u)
　= 2(s^3 -4st +9u)/{s(s^3 +9u)｝
　= 2F_1(x,y,z)/{s(s^3 +9u)}
　≧ 0,

723:１３２人目の素数さん
17/08/27 00:47:52.80 NetfQ0ow.net
>>677 (3) >>690 >>694
・t≧9 のときは明らか。
・3≦t≦9 のとき。
24tt -（9-t)(t^3 +9uu）= ｔ(t-3)^3 +3(9-t)(t-3）≧ 0,
(9-t)/3t ≦ 8t/(t^3 +9uu),
(左辺）-（右辺）=（2/s + 1/3）- 3/t
　= 2/(su) - (9-t)/3t
　≧ 2/(su) -8t/(t^3 +9uu)
　= 2(t^3 -4stu +9uu)/{su(t^3 +9uu)｝
　= 2uu･F_1(1/x,1/y,1/z)/{s(t^3 +9uu)}
　≧ 0,

724:１３２人目の素数さん
17/08/27 01:08:20.58 NetfQ0ow.net
>>679 (1) >>690
・t≧5 のときは明らか。
・3≦t≦5 のとき、
24t -（5-t)(t^3 +9uu）=（t-3)^4 +7(t-3)^3 +9(t-3)^2 +6(t-3）≧0,
5-t ≦ 24t/(t^3 +9uu),
(左辺）-（右辺）= 6 -（5-t)s
　≧ 6 -24st/(t^3 +9uu)
　= 6(t^3 -24stu +9uu)/(t^3 +9uu)
　= 6u^3･F_1(1/x,1/y,1/z)/(t^3 +9uu)
　≧ 0,

725:１３２人目の素数さん
17/08/27 02:24:43.88 NetfQ0ow.net
>>702 は大間違いです。

726:１３２人目の素数さん
17/08/27 10:23:54.77 NetfQ0ow.net
>>703 >>704
　
t^3 -4stu +9uu = u^3･F_1(1/x,1/y,1/z）= uu･F_{-2}(x,y,z)
=｛(z^5)(xx-yy)^2 + (x^5)(yy-zz)^2 +(y^5)(zz-xx)^2}/{(x+y)(y+z)(z+x)}
≧0
を使いますた。

727:１３２人目の素数さん
17/08/27 16:11:26.92 NetfQ0ow.net
>>677
佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.86
u=1 のときは（s,t）を入れ換えても成り立つ。（duality)

728:１３２人目の素数さん
17/08/27 16:26:59.89 NetfQ0ow.net
>>388 (5) >>450
〔Hlawkaの不等式〕を拡張…
r≧1 のとき
　K(r){|a|^r +｜b|^r +｜c|^r +｜a+b+c|^r｝≧｜a+b|^r +｜b+c|^r +｜c+a|^r,
ここに K(r）は
　1≦r≦2 のとき、K(r）=（2^r)/{1+3^(r-1)},
　2≦r のとき、K(r）= 2^(r-2),
　kurims 講究録-1136-11 p.90-95 (2000) Theorem 2

>>449 (2)
　佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.43、問題3.67
　(1+ab)(1+a）= ab(1+c)/(1+a), など。
　AM-GMする。

>>453
　佐藤(訳)：文献[9]、演習問題1.61
　x^3 +x^3 +y^3 ≧ 3xxy,　(AM-GM）より
　x^3 +y^3 +z^3 ≧ xxy + yyz + zzx,
　(x,y,z）=（a,b,c）と（x,y,z）=（ab,bc,ca）をたす。

729:１３２人目の素数さん
17/08/27 20:32:51.97 u/VQjdir.net
>>689
> 〔補題196〕の略証
> (左辺)-(右辺）= P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
この形に変形するのって、ものすごく大変なんじゃないん？

730:１３２人目の素数さん
17/08/27 23:16:42.54 NetfQ0ow.net
>>709
その通り。
（a,b,c）=（1,1,1）以外に（1,1,2）（1,2,1）（2,1,1）でも等号が成立するから、チョト難しい。
他に使えそうな方法は無いか？

731:１３２人目の素数さん
17/08/28 00:00:38.32 4VsD2YTN.net
>>708
　解答も訂正。
>>453
チェビシェフ（または AM-GM）で
　a^3 +b^3 +c^3 ≧ aab + bbc + cca = (a/c + b/a + c/b)u,
　(ab)^3 +(bc)^3 +(ca)^3 ≧ ab(bc)^2 + bc(ca)^2 + ca(ab)^2 = (b/a + c/b + a/c)uu,
辺々たす。

732:１３２人目の素数さん
17/08/28 01:54:30.17 4VsD2YTN.net
>>679 (5)
a/c=y, b/a=z, c/b=x とおくと xyz=1.
(a-b)(b-c)(c-a)/abc =（a/b +b/c +c/a）-（c/b +a/c +b/a）=（xy+yz+zx）-（x-y-z),
(左辺）-（右辺）=（xx+yy+zz）-2(xy+yz+zx）+2(x-y-z）-3
=（x+y+z)^2 -4(xy+yz+zx）+2s -3
=｛F_1(x,y,z) -9xyz}/s +2s -3
= F_1(x,y,z）+（2s+3)(s-3)/s
≧0,　　　（s=x+y+z�

733:�3)

734:１３２人目の素数さん
17/08/28 03:43:27.12 Xt3/xWpv.net
(1) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)
(2) a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
AOPS：URLﾘﾝｸ(artofproblemsolving.com)
[疑問１]
(1)の証明について、
(a+b+c)^3 - 3(a+b)(b+c)(c+a) = s^3 - 3(st-u) = s(s^2-3t) + 3u >0
∴ (a+b+c)^3 > 3(a+b)(b+c)(c+a) ---(A)
>>687 〔補題196〕の右側
(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(a^2+b^2+c^2) ---(B)
(A),(B)から、
(a+b+c)^3 *(a+b+c)^2 > 3(a+b)(b+c)(c+a)*(a+b+c)^2 ≧ 3*24abc(a^2+b^2+c^2)
等号が成り立たなくなるが、実際は例えば、a=b=c のときに等号が成り立つ。
このやり方は、何か間違っているのかな？
A≧B を証明するときに、途中に式を挟んで A≧C、C≧B を証明することがあるけど、
A=C かつ C=B から出した等号成立条件が、A=Bの等号成立条件と一致しないことがあるのは仕方のないことなのかな？
（具体例がすぐには出てこないけど、絶対値の入った不等式の証明とかで、なったことがある）
[疑問２]
(2)の証明が分かりませぬ…。
(1)を次のように証明して、そのコメントに、「コーラを飲んだらゲップが出るくらい明らか（嘘訳）」
と書いてあるけど、ピンときませぬ…。
(a+b+c)^6 ≧ 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 ≧ 81abc(a^2+b^2+c^2)

735:１３２人目の素数さん
17/08/28 06:21:36.55 Xt3/xWpv.net
>>689
Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 ですよね？

736:１３２人目の素数さん
17/08/28 06:30:48.05 Xt3/xWpv.net
>>688-689
> (a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)^2 ≧ 24abc(aa+bb+cc)
>
> bはa、cの間にあるとする。
> (左辺)-(右辺）
> = P(a-b)(a-c）+ Q(b-c)(b-a）+ R(c-a)(c-b)
> = P(a-b)^2 +（P-Q+R)(a-b)(b-c）+ R(b-c)^2,
>
> P =（b+c)(b+c-a)^2 + 2(a+b+c)(b-c)^2 ≧ 0,
> P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝= 2b{(a+c-3m)^2＋3(bb-mm)｝≧ 0,
> R =（a+b)(a+b-c)^2 + 2(a+b+c)(a-b)^2 ≧0,
> ここに、m = min{a,c｝、ac=m(a+c-m)

Q = (c+a)(c+a-b)^2 + 2(a+b+c)(c-a)^2 として、P-Q+R を計算したら、
P-Q+R = 2b{(a+c)^2 -6ac＋3bb｝ + 8(c+a){(c-a)^2 + ca}
となったけど、計算合っているか確認おねがいしますだ。

737:１３２人目の素数さん
17/08/28 06:52:45.91 Xt3/xWpv.net
>>715
ごめん。私の計算違いでした。
　　　　　　　ﾍ）)∧
　　　　　　（ﾟ ∀ﾟ　）
　　　　　ノ || ｙ　/ ヽ切腹しまつ
　　━(m二フ⊂[__ノ､
　　　　　（＿（＿＿ノ

738:１３２人目の素数さん
17/08/28 11:53:15.27 4VsD2YTN.net
>>712 の訂正
× (x-y-z)
○　(x+y+z)

>>713
[疑問1]
　(1）は >>679 (2）ですね。
　>>687 を参照。
　あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。
[疑問2]
　>>687 を参照。
　(2）と（ab+bc+ca)^2 ≧ 3abc(a+b+c) から（1）を出します。
>>714
　そうです。

739:１３２人目の素数さん
17/08/28 21:24:09.98 fpou6rxt.net
>>713
(1)
A >= 81B という不等式を示すのに A > 72B という不等式を示しても何も意味がない
より雑な不等式にしてるんだから等号が成立しなくなるのは必然
[疑問1]
A >=C, C >=B の両方の等号成立条件を合わせたものが A >= B の等号成立条件
(2)
因数分解が一番簡単
[疑問2]
uvw で右側の不等式は明らか
(おそらく AoPS での解き方はこれ)

740:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:03:31.85 Xt3/xWpv.net
>>718
なんと！因数分解できるとは…
(a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2

UVW-method って、これのことですか？
URLﾘﾝｸ(brilliant.org)

741:１３２人目の素数さん
17/08/28 22:42:48.32 sqcQ/xXt.net
>>719
それだよ
wikiがあったんだ
aopsにあるもとの記事読んでもいいと思うけど

742:１３２人目の素数さん
17/08/29 01:52:29.92 QmBHjFut.net
a, b, c >0 に対して、AM + 3*HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}.

743:１３２人目の素数さん
17/08/29 03:10:07.75 QmBHjFut.net
>>69 (1)、>>713 (1)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 + ca^2)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧

744:81abc(a^2 + b^2 + c^2) 改造手術の時間でござるよ。右辺の大小は定まるのでせうか？ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) = 27abc * (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) 　　　　　　　　 81abc(a^2+b^2+c^2) = 27abc * 3(a^2 + b^2 + c^2) だから、(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a)　と　3(a^2 + b^2 + c^2) の大小が定まれば…。 (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) ≦ 3(a^2 + b^2 + c^2) 適当にやっても、うまく行かんでござる… 　..::::::,､_,､::: ::::: ::: :　　　/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: :::: ─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─

745:１３２人目の素数さん
17/08/29 03:22:58.97 QmBHjFut.net
a, b, c >0 の基本対称式 s, t, u で、曲者を縛るでござる。（曲者 = a/b + b/c + c/a）
(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2
a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 = s^3 - 2st - 3u(a/b + b/c + c/a) ≧ 0
∴ s(s^2-2t)/(3u) ≧ a/b + b/c + c/a ≧ s^2/t
これしか思いつきませぬ…。他にないでござるかな？

746:１３２人目の素数さん
17/08/29 03:49:39.64 1JAWO9sa.net
>>721
A + 4H =（A/2) +（A/2）+ 4H
≧ 3(AAH)^(1/3)　　（← AM-GM)
= 3{(s/3)(s/3)(3u/t)}^(1/3)
≧ 3u^(1/3)　　　（← ss≧3t)
= 3G　　　　　　（← Sierpinski)
を使うのが簡単かと...
A + 3H > （2/3)(A+4H）≧ 2G >｛5/16^(1/3)} G

747:１３２人目の素数さん
17/08/29 04:41:59.71 QmBHjFut.net
>>721、>>724
出典を再発見。（大量のブックマークの中から探すのに苦労したでござる）
URLﾘﾝｸ(math.stackexchange.com)
斜め読みしたけど、何をやってるのかサッパリでござる ('A`)

>>724
分かりやすい！
でも、この方法では等号がつかないですね。

748:１３２人目の素数さん
17/08/29 05:25:02.43 QmBHjFut.net
>>721、>>724
ごめん、リンク先の問題をよく見たら、問題が間違っていました。
正しくは、「a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}」でした。

749:１３２人目の素数さん
17/08/29 05:44:11.14 QmBHjFut.net
>>721 再掲
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}
>>724 の方法を真似てみたが、うまくいかなかった。
A + H
＝（A/2) +（A/2）+ H
≧ 3(AAH/4)^(1/3)　　　　…(1)
＝ 3{(ss/(3t))*(u/4)}^(1/3)
≧ 3{(u/4)}^(1/3)　　　　…(2)
= 3G/{4^(1/3)}
(1)の等号は A=2H、(2)の等号は a=b=c で異なるから、
A+H > 3G/{4^(1/3)}
問題の右辺と較べたら、5/16^(1/3)} > 3/{4^(1/3)} でした。

750:１３２人目の素数さん
17/08/29 09:12:22.39 QmBHjFut.net
【問題】
xyz座標平面において、次の不等式で表される立体の体積を求めよ。
　|x＋y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4
検索中に、どこかで見たことのある問題を見つけた。
しばらく検索したものの、出典は分からず…。
コレクションに入っているかと探したが、そこにもなかった。
これが、どんな立体図形になるのかも分かりませぬ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

751:１３２人目の素数さん
17/08/29 09:27:12.29 QmBHjFut.net
>>679 (1) について
問題再掲
a, b, c >0、abc=1 に対して、(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c).
解答
>>704、>>706
うますぎて、思いつきませぬ。
以下のような泥臭い方法で考えていたんだけど、行き詰まったでござる。
左辺 - 右辺の最小値を考える。
abc=1 があるので、実質２文字の関数で、一方を任意に固定して、一変数関数で考えて出せないかと。

752:１３２人目の素数さん
17/08/29 10:12:25.32 PqzL+0/+.net
>>728
立方八面体
URLﾘﾝｸ(imgur.com)

753:１３２人目の素数さん
17/08/29 11:45:47.48 1JAWO9sa.net
>>728
｜a+b｜+｜a-b｜= 2 Max{|a|，|b|｝を使うと、
(左辺）= Max{4|x|，4|y|，4|z|，2|x+y+z|，2|-x+y+z|，2|x-y+z|，2|x+y-z|}
｜x｜≦1
｜y｜≦1
｜z｜≦1
｜x+y+z｜≦2
｜-x+y+z｜≦2
｜x-y+z｜≦2
｜x+y-z｜≦2
の14面で囲まれた立方八面体でござる。

>>729
t^3 -4stu +9uu ≧ 0,　　>>706
s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
u = abc = 1
を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが　>>704

754:１３２人目の素数さん
17/08/29 14:01:31.73 1JAWO9sa.net
>>726 >>727
等号成立は（x､y､z）=λ(1,4,4） and cyclic shift
という所がミソ

755:１３２人目の素数さん
17/08/29 17:18:34.40 QmBHjFut.net
>>731
> t^3 -4stu +9uu ≧ 0,　　>>706
> s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
> u = abc = 1
> を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが　>>704
なるほど。 u=1 だから、s か t のどちらかを消せばよいと。
そこで s を消すために、sを含む s, t, u の不等式の中から、s≦f(t) となりそうなものとして F_1 を選んだ訳でござるな。
考え方が分かってスッキリ！
するってぇと何かい？ t^2 ≧ 3su を使ってもいいってことだね？
s ≦ (t^2)/(3u) = (t^2)/3 より、3≦t≦5 のとき、
(左辺）-（右辺）
＝ 6 - (5-t)s
≧ 6 - (5-t)*(t^2)/3
＝ (t-3)(t^2-2t-6)/3
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 5 となって失敗したでござる。 F_1 じゃなきゃダメなのか…。

756:１３２人目の素数さん
17/08/29 17:34:23.21 QmBHjFut.net
>>733
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 9 の間違いですた

757:１３２人目の素数さん
17/08/30 01:43:40.46 BK+APDDw.net
>>733
F_1 じゃなきゃダメですね…。
マクラーレン・ホンダ：F_1ベルギーGPの決勝レポート（8/28）
マクラーレンはF_1ベルギーGP決勝で、S．バンドーンが14位、Ｆ．アロンソはリタイアだった。
両ドライバーは見事なスタートを切り、Ｆ．アロンソは1周目には10番手から7番手に浮上。
しかし、その後エンジンの不調が発生したためリタイアし、入賞を逃しますた。残念

758:１３２人目の素数さん
17/08/30 02:37:18.32 4Q4sm7+y.net
怒涛の abc=1 シリーズの際に書いたつもりが、書いてなかったようなので。
【問題】
a, b, c >0、abc=1 に対して、
1/(1+a)^3 + 1/(1+b)^3 + 1/(1+c)^3 + 5/{(1+a)(1+b)(1+c)} ≧ 1

　∧＿∧　　　　　　　積一定？
　(　･ω･)＝つ≡つ　　ボコボコにしてやんよ！
　(っ　≡つ＝つ
　/　　　) ﾊﾞﾊﾞﾊﾞﾊﾞ
　( /￣∪

759:１３２人目の素数さん
17/08/30 08:12:26.22 4Q4sm7+y.net
>>677
(3)をプチ改造。
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(ab+bc+ca) + 1/3 ≧ 3/(a+b+c).

760:１３２人目の素数さん
17/08/30 08:19:26.75 4Q4sm7+y.net
>>722
成り立たなかった…。(a,b,c) = (1,1,2), (1,1,1), (1,1,1/2)

761:１３２人目の素数さん
17/08/30 08:34:33.56 4Q4sm7+y.net
>>732
AM-GM や Schur で証明できた場合は、等号成立条件が a=b=c になってしまうから、
証明の中で、それ以外の特殊な不等式が必要になるってことですかね？

762:１３２人目の素数さん
17/08/30 11:56:04.84 BK+APDDw.net
>>737
(a,b,c) →（1/a,1/b,1/c）としたでござるな。
a+b+c → （ab+bc+ca)/abc,
ab+bc+ca → （a+b+c)/abc,
abc → 1/abc,
>>703 の（s,t）を入れ換えて
　F_1(a,b,c）= s^3 -4st +9u ≧0,
　t ≦（s^3 +9u)/4s,
これを使えば　おk　>>707
>>739
そうですね。
AM-GM や Schurは（1,4,4）で等しくないので使えません。

763:１３２人目の素数さん
17/08/30 17:00:49.35 4Q4sm7+y.net
>>736
難しいので、劣化改造してみた。こちらは力任せに証明できる。
a, b>0 かつ ab=1 のとき、1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 2/{(1+a)(1+b)} ≧1.

764:１３２人目の素数さん
17/08/30 17:18:01.56 4Q4sm7+y.net
ところで、AM + GM に関する不等式って何かあったっけ？ Jacobsthal は差だし、Sierpinskiは商か。

765:１３２人目の素数さん
17/08/30 17:24:20.42 4Q4sm7+y.net
>>741
この劣化版って、等式だった…

766:１３２人目の素数さん
17/08/31 00:00:50.60 iQe17wVf.net
>>679
(4)をプチ改造。Nesbittの間に割り込んだ形

767:ですね。 a, b, c >0、abc=1 に対して、 a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≧ 3/2

768:１３２人目の素数さん
17/08/31 00:14:37.43 iQe17wVf.net
>>744
左は(4)を変形しただけ。
右は間違っているかもしれん。
Cauchyの後にAM-GMを使ったんだけど、AM-GMの不等号が逆で、証明になっていなかった。

769:１３２人目の素数さん
17/08/31 00:17:09.96 iQe17wVf.net
結局、こうですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) > 0

770:１３２人目の素数さん
17/08/31 02:42:09.91 iQe17wVf.net
これでOK？
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} ≧1.

771:１３２人目の素数さん
17/08/31 02:45:27.34 iQe17wVf.net
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} > 1.
こうですね。

772:１３２人目の素数さん
17/08/31 04:26:22.51 iQe17wVf.net
>>728
エレ解 1997.9 だった。

773:１３２人目の素数さん
17/08/31 07:12:05.62 iQe17wVf.net
a, b, c ≧0 かつ a+b+c=1 のとき、a*(a+b)^2*(b+c)^3*(c+a)^4 の最大値を求めよ。

774:１３２人目の素数さん
17/08/31 10:46:05.27 DG2IOYgq.net
>>750
GM-AM で
(与式）= 16･a･(a+b)^2･(b+c)^3･{(c+a)/2}^4
　≦ 16｛[a + 2(a+b）+ 3(b+c）+ 4((c+a)/2)]/(1+2+3+4)}^10
　= 16｛(a+b+c)/2}^10
　= 1/64.　　（← a+b+c=1)
等号は（a,b,c）=（1/2,0,1/2)

775:１３２人目の素数さん
17/08/31 22:15:21.12 A7wnlx0o.net
>>744
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (3/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))

776:１３２人目の素数さん
17/08/31 22:18:05.59 A7wnlx0o.net
>>752
間違えた
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (1/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a)))

777:１３２人目の素数さん
17/09/01 00:01:46.44 3P2EPmWz.net
【問題A】a, b, c >0 とする。
(1)
(ab+bc+ca)^3 ≧ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)
(2)
(a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3 + b^3 + c^3)
(3)
(a^2 + bc)(b^2 + ca)(c^2 + ab) ≧ abc(a+b)(b+c)(c+a)
(4)
3*{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} ≧ (ab+bc+ca)(a^2 + b^2 + c^2)
(5)
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ (ab+bc+ca)^3
(6)
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) + 8abc/(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 2

【問題B】
(7)
a, b, c, d >0 に対して、(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c) ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)
(8)
0 ≦ a, b, c ≦ 1 に対して、a^(bc) + b^(ca) + c^(ab) > 2

【参考】
(8)の類題　[第5章.698, 708]
a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1

　　　　＿＿＿　　　====
＼　 .／　≧　　＼　　　====
　＼|　＼ .／　 ::::|　
　　　| ●） ●） :::::|　　そんな不等式で俺様がクマ―！！
　　　ヽ......ワ...:::::.ノ
　　　　｀つ　｀つ　　　　　　(´⌒(´
　　　　　　ゝ_つ_｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　　　　　　　　(´⌒(´⌒;;
　　　　　　ｽﾞｻﾞｻﾞｻﾞ

778:１３２人目の素数さん
17/09/01 00:16:20.58 3P2EPmWz.net
【問題】
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM。ただし、QM = √{(a^2+b^2+c^2)/3}

779:１３２人目の素数さん
17/09/01 06:54:43.37 3P2EPmWz.net
>>388
条件 x>y が抜けとる。すみませぬ。
訂正
x>y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3.

780:１３２人目の素数さん
17/09/01 11:18:02.33 QpLZW4eS.net
>>754
(1)
aa=A，bb=B，cc=C とおいて考える。
(右辺）=（A+2B)(B+2C)(C+2A)
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 4(ABB+BCC+CAA）+ 9ABC,
(左辺）=（ab+bc+ca)^3
= aabb(ab+3bc+3ca）+ bbcc(bc+3ca+3ab）+ ccaa(ca+3ab+3bc）+6(abc)^2
≦ AB(2A+2B+3C）+ BC(2B+2C+3A）+ CA(2C+2A+3B）+ 6ABC
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 2(ABB+BCC+CAA）+15ABC,
(右辺）-（左辺）≧ 2(ABB+BCC+CAA-3ABC）≧ 0,　　（← AM-GM)
(4) a>>b,c では不成立？
(5）コーシーで
(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca）≧（ab+bc+ca)^3
(6)
9(st-u) - 8st = 9(a+b)(b+c)(c+a）- 8(a+b+c)(ab+bc+ca)
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2
≧0,
(左辺）-2 = (ss-4t)/t + 8u/(st-u)
≧ 8s(ss-4t)/{9(st-u)} + 8u/(st-u)
= 8(s^3 -4st+9u)/{9(st-u)}
= 8F_1(a,b,c)/{9(st-u)}
≧0,

781:￥
17/09/01 14:09:25.39 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 14:09:44.29 7A4+w7Rv.net
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791:１３２人目の素数さん
17/09/01 14:40:29.27 QpLZW4eS.net
>>754
(2)
(左辺）-（右辺）=（aa+bb+cc)^3 -（a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)
= p'(b-c)^2 + q'(c-a)^2 + r'(a-b)^2
≧ 0,
ここに
p ' =｛4a^4+b^4+c^4 +（a^4+a^4+b^4+c^4-4aabc)}/4 ≧（4a^4+b^4+c^4)/4,
q ' =｛a^4+4b^4+c^4 +（a^4+b^4+b^4+c^4-4abbc)}/4 ≧（a^4+4b^4+c^4)/4,
r ' =｛a^4+b^4+4c^4 +（a^4+b^4+c^4+c^4-4abcc)}/4 ≧（a^4+b^4+4c^4)/4,
(3)
(左辺）-（右辺）=（aa+bc)(bb+ca)(cc+ab）- abc(a+b)(b+c)(c+a)
= abc{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)｝+｛(ab)^3 +（bc)^3 +（ca)^3 -3(abc)^2}
= u(s^3 -4st+9u）+ t(tt-3su)
= u･F_1(a,b,c）+ t･uF_{-1}(a,b,c)
≧ 0,

792:１３２人目の素数さん
17/09/01 15:02:15.49 QpLZW4eS.net
>>754
(7)
左辺の4つの因子のうち、負になれるのは高々１つだけ。
左辺が正のときは４つとも正。
GM-AMで
(a+b+c-d)(b+c+d-a）=（b+c)^2 -（a-d)^2 ≦（b+c)^2,
循環的に掛ける。

793:￥
17/09/01 17:01:31.17 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 17:01:46.66 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 17:02:36.90 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 17:04:39.40 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 17:05:00.23 7A4+w7Rv.net
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803:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:12:42.77 3P2EPmWz.net
>>754 (4)は成立しませんでした、すみません。

804:￥
17/09/01 22:30:34.79 7A4+w7Rv.net
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805:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:46:45.99 QpLZW4eS.net
>>726 >>727
>>732 >>739
AM-GMやSchurは使えそうにないので...
a ≦ b,c とすると、G =（abc)^(1/3)≧ a,
m = √(bc）とおき、
(a,b,c）→（a,m,m）としたとき、Gは不変で、
A(a,b,c）- A(a,m,m）=（b+c-2m)/3,
H(a,b,c）- H(a,m,m）=（b+c-2m)/3｛-H(a,b,c)H(a,m,m)/bc}
　≧（b+c-2m)/3（-GG/bc)
　=（b+c-2m)/3（-a/G)
∴ A(a,b,c）+ H(a,b,c）≧ A(a,m,m）+ H(a,m,m）
等号成立は b=c のとき。　……(1)
大きい方の2つが等しい場合を考えればよいので、
ほぼ１変数の問題に帰着する。
A(a,m,m）+ H(a,m,m）
= 2(aa+7am+mm)/{3(2a+m)}
=｛5/16^(1/3)}G + f(x)･mm/{24(2a+m)}
≧｛5/16^(1/3)}G,
ここに、x =（4a/m)^(1/3）とおいた。
f(x）= x^6 - 15x^4 +28x^3 -30x +16
=（x-1)^2｛(xx-4)^2 + 2x(x-1)^2},
等号成立は x=1，4a=m=√(bc）のとき。　……(2)
(1)(2)より、（a,b,c）=λ(1,4,4)

806:１３２人目の素数さん
17/09/01 22:57:26.08 3P2EPmWz.net
>>757
昔のmemoの中に、>>754(5)を改造したものがあった。
a, b, c >0 に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
≧ (27/64)*[(a+b)(b+c)(c+a)]^2
≧ (1/3)*[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2
≧ (ab+bc+ca)^3.

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17/09/01 23:07:51.02 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:08:08.91 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:08:42.26 7A4+w7Rv.net
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17/09/01 23:10:23.49 7A4+w7Rv.net
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817:１３２人目の素数さん
17/09/01 23:50:29.90 QpLZW4eS.net
>>726-727
〔類題〕
AM + 0.90096 HM ≧ 1.90096 GM
等号成立は（a,b,c）=λ( 0.3962570…，1，1）のとき
［第7章.897-903］

818:１３２人目の素数さん
17/09/02 01:00:08.66 Po7d73tU.net
>>388 (5) >>450 >>708
〔Hlawkaの不等式〕の拡張
m≧2 のとき、
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k |^2 +｜Σ[k=1,m] x_k |^2 = Σ[1≦i<j≦m]｜x_i +x_j |^2.
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k｜+｜Σ[k=1,m] x_k｜≧ Σ[1≦i<j≦m］｜x_i +x_j｜.
（D.D.Adamovic）
[初代スレ.354-360,364]
文献[3] 大関、p.34

819:１３２人目の素数さん
17/09/02 01:24:47.34 88PUFUMG.net
HMって何の略？
Heron M???

820:１３２人目の素数さん
17/09/02 02:01:43.40 3JI2dd7J.net
調和平均だろ

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17/09/02 02:19:28.43 z17/uuYO.net
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17/09/02 02:20:02.55 z17/uuYO.net
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832:１３２人目の素数さん
17/09/02 02:38:52.19 Po7d73tU.net
>>755
QQ =（ss-2t)/3 ≦｛ss - 2√(3su)}/3 = 3AA - 2G√(AG),
(5A-3G)^2 -（2Q）≧（5A-3G)^2 -12AA +8G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG) +9GG
=（√A -√G)^2｛13A +26√(AG）+9G}
≧ 0,
∴ 5A-3G ≧ 2Q,

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843:１３２人目の素数さん
17/09/02 04:25:20.11 ziPENgdW.net
>>757 (6)
(左辺)-(右辺) の計算過程で、
　　9(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 8st …(1)
の使うタイミングが上手いですね。
私は左辺の第１項に対して使ってしまい、その後の変形で分子が
　　8F_1 - 2E_1　ここで E_1 = st-9u
となって、ずっと悩んでいました。
(左辺の第１項-2)に対して使うことで、あっさり片付くとは！いと難し… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

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