◆葉鍵アカデミー第十講 ◆

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26:名無しさんだよもん
08/01/08 21:52:31 LhPcfI3+0
ここでことみちゃん登場

499 名無しさんだよもん [sage] Date:2005/03/26(土) 04:02:06 ID:/pa+L4Pz0 Be:
>>495
ことみ「振り子といえば往復運動を指すのが普通だけど、回転などの一般の周期運動をする力学装置を、広い意味で振り子ということがあるの」

>>497
ことみ「ラプラス変換が使えるのは、定係数の線形微分方程式だけなの」

>>496
ことみ「というわけで、考えてみたの。楕円関数が現れて、とってもとっても面白いの。ちょっと難しいけど、我慢して聞いてほしいの」
ことみ「結論から言うと、単振り子の運動方程式
　　　(d^2/dt^2) θ = -(g/l) sinθ
の厳密解 θ(t) は、次のように場合分けされるの：
　・振動（v < 2 sqrt(gl)）の場合：
　　　θ(t) = 2 arcsin( v/(2 sqrt(gl)) sn( sqrt(g/l)t, v/(2 sqrt(gl)) ) )
　・回転（v > 2 sqrt(gl)）の場合：
　　　θ(t) = 2 arcsin( sn( (v/(2l))t, (2 sqrt(gl))/v ) )
ここで、snはヤコビの楕円関数なの。vは積分定数で、初速を表すの」

ことみ「…なんだか物凄い形だけど、気合を入れて2階微分すればどちらも与方程式を満たすことがわかるの」
ことみ「2階微分方程式の解には本来2つの積分定数が必要で、初速のほかには初期位置が必要だけど、ここでは θ(0)=0 と仮定しているの。初期位置を考慮に入れるには適当な初期位相δをtに足せばいいから、トリビアルなの」

ことみ「導出いってみるの。まず振り子を用意するの」
ことみ「一様な重力加速度gのもとで、一端が固定された軽い剛体棒（長さl）を振り子の腕として、他端に質量mの小球をつけて運動させるの。小球の位置は角度θで表して、鉛直下方をθ=0°、鉛直上方をθ=180°とするの」
ことみ「定性的には>>495で渚ちゃんが言ったとおり、この振り子は小球に与える初速vが低ければ振動し、高ければ回転するの（ちょうどその隙間で、てっぺんで止まるの）」
ことみ「この境界になるのが、v = 2 sqrt(gl) という値なの。この速度は高校物理の範囲で求められるの」

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