☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆

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664:１３２人目の素数さん
08/05/02 00:04:15
>>633 問題[2]は，絶対値の記号が変．有限集合 A に対して |A| をその要素数とすることがあるので

×　a(k) = | k | (k=1,2,3,…,n) を満たす任意の数列とする。
○　a(n) = 集合{1,2,3,…,n} のどれか1つの値を満たす任意の数列とする。

としたかったのではないかと思う．
このときの解答は次の通り．
(1)

S(1)=a(1)={1} のどれかなので取り得る値は 1
S(2)=1+{1,2}のどれかなので取り得る値は{2,3}
S(3)={2,3}+{1,2,3}={3,4,5,6}
S(4)={3,4,5,6}+{1,2,3,4}={4,5,6,7,8,9,10}

(2)

S(n) の取り得る値の個数を b(n) と書く．
S(n) の最小値は，a(1)=a(2)=...=a(n)=1のとき達成されるので n
S(n) の最大値は，a(1)=1,a(2)=2,...,a(n)=n のとき達成されるので n*(n+1)/2
S(n) の取り得る値は [n,n*(n+1)/2] の間の自然数全てであるから------(*)
b(n)=n*(n+1)/2-n+1=n*(n-1)/2+1

(*) 間に抜けがないことを示すには{1,...,m}のどれかと{1,...,n} の
どれかの値の和が{2,...,n+m} を網羅することを示せば良い．
もし上記の形に戻すなら, m=d-c+1とおいた後{1,...,m}のすべての要素にc-1を足しても
値に抜けがないから．
一般性を失うことなくm>=n として良い．そうでなければnとmの役割を入れ替える．
{1,...,m}は抜けがなくて各項に1を足すと{2,...,m,m+1}．これも抜けがない．
{1,...,m}は抜けがなくて各項にnを足すと{n,...,m,...,n+m}　これも抜けがない．
これらの集合は共通部分を持ちそれぞれが抜けなしなので和集合{2,...,n+m}も抜けがない．

結構しんどい．

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