☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆

☆２ちゃんねらーず編 ..

39:１３２人目の素数さん
01/05/09 05:16
３つの自然数、ＡＢＣがあります。
ＡとＢの積をＣで割った余りが１、かつＢとＣの積をＡで割った余りが１、
かつＣとＡの積をＢで割った余りが１になる自然数ＡＢＣを求めよ。

40:（・∀・）ｲｲ!!
01/05/09 05:19
１辺の長さが１である正十二面体の隣り合う２面のなす角の余弦を求めよ。
（ただし、必要なら cos2π/5 ＝ (√5-1)/4 を用いてよい）

41:（・∀・）ﾊｧﾊｧ･･･｡
01/05/09 05:27
長さ４の定線分ＡＢを考える。
Ａを中心とする半径１の球面上に動点Ｐが、
Ｂを中心とする半径２の球面上に動点Ｑがあるとき、
線分ＰＱの中点Ｒが存在する範囲の体積を求めよ。

42:shima
01/05/09 07:45
40-> -1/√5
41->19π/6
でどうでしょう

43:shima
01/05/09 11:32
やっぱり４１は１３π/３かも・・・

44:１３２人目の素数さん
01/05/09 12:13
>>39
A=2 B=3 C=5

45:１３２人目の素数さん
01/05/09 12:20
>>43
>やっぱり４１は１３π/３かも・・・

やっぱりそうであると思われ。

46:１３２人目の素数さん
01/05/09 12:25
>>44
それしかないって証明できる？それが解だっちゅうのはすぐわかったけど？

47:14
01/05/13 00:20
未だに14の問題解けないのよ・・・。
誰か解いてくれたら嬉しい。

48:１３２人目の素数さん
01/05/13 00:39
>>47
URLﾘﾝｸ(cheese.2ch.net)

49:KARL
01/05/13 01:45
1) a,b,c>=0 ab+bc+ca+abc=4 ならば
　a+b+c>=ab+bc+ca であることを証明せよ。
　また等号が成り立つのは、どういう場合か。

2) 1)を用いて次の命題を証明せよ。
a,b,c,d>=0, 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16ならば
a+b+c+d>=2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)である。

50:１３２人目の素数さん
01/05/13 02:21
↑ 整数論ヴァカ登場！

51:１３２人目の素数さん
01/05/13 05:25
>>48
ありがとう。

52:名無しの歌が聞こえてくるよ
01/05/13 13:22
>>50
整数のはなしじゃないよ。

53:14
01/05/13 23:07
>>48
解答読んだのですが、何か違うような・・・。

第3問　数列anを an＝n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
とするとき lim[n→∞]an をもとめよ。

―――――（書いてあった解答）―――――
問３
　a[n]
　=lim[n→∞]n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx
　=lim[n→∞][n∫[0,1]e・x^ndx - n∫[0,1]x^n・{e - e^(x^2)}dx]
　=e - lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx
なので最終項をもとめる。
f(x)=e(1-x)とおく。f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は左辺ー右辺の２回微分まで
もとめて増減表をかけばわかる。e-e^{x^2}≧0(0≦x≦1)はあきらか。いっぽう
　lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx
　=lim[n→∞]n∫[0,1](x^n-x^{n+1})dx
　=lim[n→∞]n[x^{n+1}/(n+1)-x^{n+2}/(n+2)]^1_0
　=lim[n→∞]n/(n+1)(n+2)
　=0
なので
　0≦lim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx≦lim[n→∞]n∫[0,1]x^n･f(x)dx=0
よりlim[n→∞]∫[0.1]∫x^n・{e-e^(x^2)}dx=0。∴lim[n→∞]a[n]=e
――――（ここ迄）――――――

問題と思われる点。
f(x)≧e-e^{x^2}(0≦x≦1)は成り立たない。
g(x)=f(x)-e+e^(x^2)=e^(x^2)-exとおく。微分して、
g'(x)=2x・e^(x^2)-e
g''(x)={4x^2+2}e^(x^2)>0
よって、g'(x)は単調増加。
g'(0)=-e<0、g'(1)=2e-e=e>0
よって、あるα(0<α<1)が存在して、
g'(x)<0 (x<α)
g'(α)=2α・e^{α^2}-e=0　――①
g'(x)>0 (α<x)
ここで、g'(1/{√2})=(√2)・e^{1/2}-e=(√e)・{(√2)-(√e)}<0
（なぜならば、2<eより√2-√e<0）
よって、1/{√2}<α　――②
g(α)=e^{α^2}-eα=e/(2α)-eα　（①より）
　　=e(1-2・α^2)/(2α)<0　（②より）
従って、g(x)は最小値g(α)<0 (0<α<1)である。

54:48
01/05/14 00:21
>>14=53
すまん。まさかこんな問題を間違えているとは思わなかったので、読まずに紹介してしまった。
正しくはこうやる。部分積分で、

n∫x^n・e^(x^2)dx={n/(n+1)}x^(n+1)・e^(x^2)-{2n/(n+1)}∫x^(n+2)・e^(x^2)dx

と変形する。

n∫[0,1]x^n・e^(x^2)dx={n/(n+1)}・(e^2)-{2n/(n+1)}∫[0,1]x^(n+2)・e^(x^2)dx

となる。問題は最後の積分の評価。

0≦x≦1 では、0≦x^(n+2)・e^(x^2)≦x^(n+2)・(e^2) なので、これを積分し、
n→∞ とすれば、lim∫[0,1]x^(n+2)・e^(x^2)dx=0 がいえて問題解決。

55:１３２人目の素数さん
01/05/14 00:37
>>54
明日ゆっくり読んでみます。

56:１３２人目の素数さん
01/05/14 03:22
>>48の紹介先のように不等式で挟むなら・・・

f(t)＝e^t-｛(e-1)t^2+1｝≧0　(0≦t≦1)
これをを2回微分などで示し　t＝x^2　と変換して
e^(x^2)-｛(e-1)x^4+1｝≧0　(0≦x≦1)　を得る。

0＜(e-1)x^4+1≦e^(x^2)≦e　(0≦x≦1)　より
｛(e-1)x^(n+4)+x^n｝≦x^n・e^(x^2)≦ex^n　(0≦x≦1)
n∫[0,1]｛(e-1)x^(n+4)+x^n｝dx≦a[n]≦en∫[0,1]x^ndx
両端がeに収束するので（略

57:直観力テスト
01/05/14 09:55
>>40の類題？：正四面体の隣り合う２面のなす角の余弦を求めよ。
（ただし、鉛筆使用禁止で制限時間３分）

58:１３２人目の素数さん
01/05/14 10:31
>>53-56
すまソ。私が解答の作者。訂正ついでにかいせつ。
f(x)=2e-2exにすればOK。（e^{x^2}'のx=1での値計算まちがえた。）
じつは C[0,1] に適当な Norm をいれて（L_2 Norm でOK）
連続線形写像 φ:f→lim[n→∞] n∫[t=0,1]t^nf(t)dt をかんがえる。
この空間は {x^u} ではられているので φ(x^u) を計算すると

　φ(x^u)=lim[n→∞] n/(n+t+u)=1=δ(1)(x^u) (=δ(x-1)ともかく。)

なので φ=δ(1) であることがわかる。そこで以下のようにかんがえればOK。

　(1) 答えはδ(1)(e^{x^2})=e のはずだ。
　(2) φ(e-e^{x^2})=0 のはずだ。
　(3) e-e^{x^2}≦((一次式))なる((一次式))で x=1 のとき 0 になる l(x)
　　　をとれば φ(e-e^{x^2})≦φ(l)=0 となるはずだ。
　(4) あとは挟み撃ちでなんとかなるはずだ。

この問題は e^{x^2} が下に凸なので（凹なので） e-e^{x^2} が上に凸なので
x=1 で 0 になる一次式によって簡単におさえこめる。って～のがPoint。

59:１３２人目の素数さん
01/05/14 12:46
>>53-55,>>57-58
しばし事情でカキコできんのでもちょっとカキコ。
>>58で“δ(1)”と書いたのは Dirac のデルタ関数というやつで
“だいたいの”関数でδ(1)(f)=f(1)が成立する。“だいたいの”
ってのがミソでもちろんそうならないのもある。（連続じゃないのら
いっぱつでつくれる。）でも e^{x^2} はそんなに変な関数でないので
δ(1)(e^{x^2})=e^{1^2}は成り立ってるだろう。と予想するのが
Point。(たぶん実解析的ならOKだったよね。)もちろんそんなこと
受験数学ではつかえないので e^{x^2}=f(x) とおくとき
g(x)≦f(x)≦h(x) で δ(1)(g)=δ(1)(h)=e が直接計算できそうな
かんたんな g,h を見つけてくればよいのだ。わたしは一次式で
さがしたけど>>56さんのように二次式でさがしてもよい。
もちろん>>54さんのように部分積分してもできる。
（それもしってたけどあきらかに出題者はデルタ関数を意識してるので
その線にのっとった解答をのせた。いいわけじゃないよ。ホント。）

60:14
01/05/14 16:52
みなさんありがとう御座います。
理解できました。

61:大学１年生向けの問題
01/05/15 21:24
区間 [0,1] で連続な関数 f(x) に対して、
n→∞ のとき n∫_[0,1] (x^n)f(x)dx → f(1)
となることを示せ。

62:１３２人目の素数さん
01/05/15 22:06
個人的に好きなスレなのでageときます。

63:１３２人目の素数さん
01/05/17 20:03
自己同型群が２次の巡回群になるような有限群を同型を除いて全て求めよ。
（群Ｇに対して、Ｇの自己同型全体のなす群をＧの自己同型群と呼ぶ）

64:まむー
01/05/18 01:52
>>63 それって某大学院の入試問題やん。
なんでコンナ簡単な問題が出るんだろうと思ったね。

群 G の内部自己同型群 Inn(G) が巡回群なら群 G は可換。

65:１３２人目の素数さん
01/05/20 19:40
異なる３実数 a<b<c が

　a+b+c=-4, ab+bc+ca=abc+7

をみたすとき b のとりうる値の範囲をもとめよ。

66:１３２人目の素数さん
01/05/21 07:08
(1-√57)/4＜b＜-1,0＜b＜1+√57)/4
カナ

67:１３２人目の素数さん
01/05/21 07:26
0じゃなくて１カモ

68:正１２面体万歳！
01/05/22 12:30
>>40見て正12面体の模型を作ってみたらひどくいい感じでした（はあと）。
やはり正12面体はこの世で一番偉大なる正多面体だ！！

１．正12面体の１頂点と中心を結ぶ直線に関してこれを回転させてできる立体の体積を求めよ。
２．点Ａ(0, 0, a)を中心とする一辺の長さが１の正12面体を考える。（ただしこの立体は任意の向きをとることができる）
　(1) この立体のxy平面への正射影の面積の最大値を求めよ。
　(2) この立体をx軸に関して回転させてできる立体の体積を求めよ。

ｽﾏｿ･･･ｻｯｷｵﾓｲﾂｲﾀﾓﾝﾀﾞｲﾃﾞｽ｡

69:68
01/05/22 15:20
あ～恥ずかしい。１番では一辺の長さ1にしといてください。
２番の(2)は、「立体の体積の最大値」でした。(1)ができればカンタン？

70:１３２人目の素数さん
01/05/25 21:34
>>61

次の３つと f の連続性から出る．
１．任意のε>0 に対して lim n∫_[0,1-ε] x^n f(x) dx =0
２．n ∫_[1-ε,1] x^n f(x) dx
≧ (1-(1-ε)^n) min_{1-ε≦x≦1} f(x)
３．n ∫_[1-ε,1] x^n f(x) dx
≦ (1-(1-ε)^n) max_{1-ε≦x≦1} f(x)

あとは１，２，３，および，１＋２＋３から目標を得ることを
言えばいい．ここまで言えば分かるだろう？

71:訂正と補足．
01/05/26 17:17
>>70

> ２．n ∫_[1-ε,1] x^n f(x) dx
> ≧ (1-(1-ε)^n) min_{1-ε≦x≦1} f(x)
^^^^ x f(x) に訂正

> ３．n ∫_[1-ε,1] x^n f(x) dx
> ≦ (1-(1-ε)^n) max_{1-ε≦x≦1} f(x)
^^^^ x f(x) に訂正

なお，このヒントは，密度が n x^{n-1} で与えられる
[0,1]上の分布に従う確率変数 X_n は恒等的に 1 という
確率変数に確率収束する，ということと，確率収束すれば
法則収束する，ということを使えばこの問題が解ける，と
いうことをヒントにしたものです．

でも，私は出題者でもなんでもないから，出題者が
そう思って出したかどうかは知らない．

72:１３２人目の素数さん
01/05/30 02:49
>>39

ａ，ｂ，ｃは自然数で、１＜ａ＜ｂ＜ｃとする　→　ａｂ＜ｃａ＜ｂｃ
ａｂ＝ｃｋ＋１　→　ｃｋ＝ａｂ－１…①
ｃａ＝ｂｐ＋１　→　ｂｐ＝ｃａ－１…②（ｐ、ｋは自然数）と置く。

Ｔ＝ａｂ＋ｃａ－１と置く。
Ｔ＝ａｂ－１＋ｃａ
　＝ｃｋ＋ｃａ＝ｃ（ｋ＋ａ）（①より）
Ｔ＝ａｂ＋ｃａ－１
　＝ａｂ＋ｂｐ＝ｂ（ａ＋ｐ）（②より）
よってＴはｃで割り切れ、さらにｂでも割り切れる。

Ｔ＝ｂｃｑと置く（ｑは自然数）
Ｔ＝ａｂ＋ｃａ－１≦ｂｃ＋ｂｃ－１＝２ｂｃ－１より
ｂｃｑ≦２ｂｃ－１
１≦ｂｃ（２－ｑ）
ｂｃ＞０なので、２－ｑ＞０→ｑ＜２
ｑは自然数なのでｑ＝1
ｂｃ＝ａｂ＋ｃａ－１が成り立つ。

73:１３２人目の素数さん
01/05/30 02:50
ｂｃ＝ａｔ＋１（ｔは自然数）と置く
ａｔ＋１＝ａｂ＋ｃａ－１
２＝ａ（ｂ＋ｃ－ｔ）
ａ，ｂ，ｃ，ｔのすべてが自然数というのに注意すると、
　（ａ＝１　かつ　ｂ＋ｃ－ｔ＝２）
　　　　　または
　（ａ＝２　かつ　ｂ＋ｃ－ｔ＝１）
のいずれかが成り立つが、１＜ａなので
ａ＝２　かつ　ｂ＋ｃ－ｔ＝１
ｂｃ＝ａｂ＋ｃａ－１＝２（ｂ＋ｃ）－１
ｂｃ－２（ｂ＋ｃ）＝－１
（ｂ－２）（ｃ－２）＝３
ｂ，ｃは自然数、ｂ＜ｃより
ｂ－２＝１　ｃ－２＝３
ｂ＝３、ｃ＝５

よって（Ａ、Ｂ、Ｃ）＝（２，３，５）（２，５，３）（３，２，５）
　　　　　　　　　　　（３，５，２）（５，２，３）（５，３，２）

74:１３２人目の素数さん
01/05/30 02:52
訂正
（誤）Ｔ＝ａｂ＋ｃａ－１≦ｂｃ＋ｂｃ－１＝２ｂｃ－１より
　　　ｂｃｑ≦２ｂｃ－１
　　　１≦ｂｃ（２－ｑ）
（正）Ｔ＝ａｂ＋ｃａ－１＜ｂｃ＋ｂｃ－１＝２ｂｃ－１より
　　　ｂｃｑ＜２ｂｃ－１
　　　１＜ｂｃ（２－ｑ）

75:１３２人目の素数さん
01/06/01 20:01
age

76:田中洸人
01/06/02 20:44
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
ここを見て必死で勉強してください。

77:１３２人目の素数さん
01/06/02 22:15
>>76
死ね。

78:１３２人目の素数さん
01/06/03 13:57
某予備校のテキストより。
素数ｐをとる。自然数ｎにたいしε(n)でｎの素因数分解にあらわれるｐの
数をあらわすものとする。たとえばｐ＝３のときε(１２)＝１、ε(１０８)＝３、
ε(６４０)＝０である。このとき
　lim[n→∞]ε(n!)/n
をもとめよ。

79:１３２人目の素数さん
01/06/03 13:58
>>76
マジでウザイよ。オマエ何なの？氏んでくれ。

80:１３２人目の素数さん
01/06/03 14:19
>>78
ネタはｐ進距離か…？

81:１３２人目の素数さん
01/06/03 14:22
>>80
むずかしいことしらんけどこれテストでやっててその採点
のバイトしてんだけど結構できてんのよ。びっくり。
最近の工房あなどりがたし。

82:１３２人目の素数さん
01/06/05 20:33

URLﾘﾝｸ(www.geocities.com)

83:１３２人目の素数さん
01/06/08 01:51
C[x,y,z,w] に GL(2,C) を次のように作用させる。
(Af)(x,y,z,w):=f(x',y',z',w').
ただし A は GL(2,C) の元で
X =
(x 　y)
(z 　w),
X' =
(x' 　y')
(z' 　w'),
X'=AXA^(-1)
である。
t:=x+w、d:=xw-yz とおく。
(1) t、d はGL(2,C)-不変である。
(2) C[x,y,z,w] の元で GL(2,C)-不変なもの全体は
　 C[t,d] に一致する。

84:sg1
01/06/12 02:00
>>78
1/(ｐ-1)

85:１３２人目の素数さん
01/06/12 03:26
ε(n!)=Σ[n/p^k] (k=1,2,...,[log_p n])

86:１３２人目の素数さん
01/06/12 09:43
>>84
しぇ～かい。
>>85
Yes! それを1/n∑(n/p^k-1)≦1/nΣ[n/p^k]≦1/n∑1/p^kとはさんで→∞する。
...これを工房がやすやすとやってしまうからな～。しかも何人も。
びっくり。

87:１３２人目の素数さん
01/06/17 07:57
(1)
Σa_n/√n < ∞　かつ、Σ(a_n)^2 = ∞ となる
正項数列{a_n}は存在するか？

(2)
Σa_n/√n = ∞　かつ、Σ(a_n)^2 < ∞ となる
正項数列{a_n}は存在するか？

(3)
Σa_n/n = ∞　かつ、Σ(a_n)^2 < ∞ となる
正項数列{a_n}は存在するか？

88:logos
01/06/18 04:20
数直線上の動点Pは，はじめ原点にある。１秒ごとに正の方向か負の方向に等しい
確率で１だけ移動する。このとき，２ｎ秒以下で原点に戻る確率を求めよ。

89:１３２人目の素数さん
01/06/18 04:25
>>88
なんつーありがちな典型問題を出してくるんじゃ…

90:うにゃま
01/06/19 03:27
曲線Ｃ:y=logxの上に点P(t,logt)(1<t<e)をとり，原点Oと結んだ直
線とＣとの交点でPでない方をQ(a,loga)とする．
線分OPとＣとx軸で囲まれた部分の面積をS1，線分PQとＣで囲まれた
部分の面積をS2とするとき，S1+S2の最小値を求めよ．

91:T-res
01/06/19 17:41
　白玉ｍ個と黒玉ｎ個を一列に並べて、黒玉が２個以上続いたところは黒玉１個
に置き換えるとする。残った黒玉の個数の期待値を求めよ。

92:１３２人目の素数さん
01/06/22 22:18
受験ネタ＼(^o^)／ﾊﾞﾝｻﾞｲ

93:KARL
01/07/01 14:19
>>49の2)
a,b,c,d>=0, 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16ならば
a+b+c+d>=2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)である。

f(X)=X^4-AX^3+BX^2-CX+D=0
という4次方程式を考えます。この方程式が4つの非負解 a,b,c,d
をもつとすれば、A=a+b+c+d, B=ab+ac+ad+bc+bd+cd, C=abc+abd+acd+bcd
D=abcdとなります。
そこで、F'(X)=0という方程式をつくると、この方程式は３つの非負解
α,β,γ（min(a,b,c,d)≦α,β,γ≦max(a,b,c,d))をもつことがRolle
の定理から分かります。
F'(X)=4X^3-3AX^2+2BX^-Cですから
α+β+γ=3A/4
αβ+βγ+γα=2B/4
αβγ=C/4

α,β,γ>=0で αβ+βγ+γα+αβγ=2B/4+C/4
B=ab+ac+ad+bc+bd+cd, C=abc+abd+acd+bcdを代入すると
αβ+βγ+γα+αβγ=1/4(2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd)
=4
したがって、1)から
α+β+γ≦αβ+βγ+γα
つまり3A/4≦2B/4　∴　A≦2/3B
A=a+b+c+d, B=ab+ac+ad+bc+bd+cdを代入して証明おわりです。

94:KARL
01/07/01 14:30
４角形ABCDで∠ABD=20°∠DBC=40°∠ACB=20°∠DCA=10°
とします。
∠ADBは何度になるでしょうか。証明をつけて答えてください。
「天才中学生スレッド」に載せた問題ですが、大学入試問題としては
やさしすぎるでしょうか？それとも難しすぎ？自分では判定できません。

95:１３２人目の素数さん
01/07/07 18:45
ファッションは数学です

96:１３２人目の素数さん
01/07/09 15:53
>94
うざい。昔教えてもらったが忘れた。変な補助線引くんだろ。

そんな問できてもなんの役に立たんよ。
自分で考えて出せる奴なんかほとんどいなくて、
やり方知ってる奴が答えるだけだろ。

ここは大学入試に出る問題だけを取り上げるスレだ。

97:１３２人目の素数さん
01/07/09 21:01
＞96
ただの基地外か、今井?

98:KARL
01/07/10 02:54
96さんへ

94の答えは30度です。このことを正弦定理を使って証明せよ。
これだったら大学入試に出そうな問題といえませんか？

一番期待しているのは変な補助線ひいて出す答えですけどね。
私自身の模範（？）解答は実に素直なものです。
まあ、ちょっとは考えてみてくれませんか？たぶんあなたの
前に聞いた問題とは違う問題ですから。とにかく図を描いてみてください。

さて、これだったら

99:１３２人目の素数さん
01/07/10 02:58
>>98
今井と一緒に逝け！！

100:１３２人目の素数さん
01/07/10 07:19
URLﾘﾝｸ(users.goo.ne.jp)

101:明大生
01/07/10 11:22
>>49,94
その不等式既出だよ。ずっと前にも誰か出してた。

102:１３２人目の素数さん
01/07/10 11:28
>>101
前に出したのもKARL本人。そっとしといてやれ。

103:明大生
01/07/10 11:30
このスレよりもっと前だって
だって俺もやったけどわからんかったもん

104:１３２人目の素数さん
01/07/10 11:35
だから別スレでもっと前に本人が出してるの。

105:１３２人目の素数さん
01/07/10 12:43
>>104
だから、>>103が言ってるように、もっと前の話。
ここで分からなかったから、問題出した奴が今井の掲示板で聞いてた。
もちろん、今井先生には分かりませんでした（ｗｗｗｗｗ

106:明大生
01/07/10 12:46
>>104
ぎぇ！！それだしたの俺だし。（ｗ
天下の今井大先生なら解けるかなと思ったんだけど
（案の定）だめでした（ｹﾞ

107:見つけた（ｗ
01/07/10 12:58
>66 Reply これは出来ません今井弘一（管理者） 2000/11/15 11:01
> ns.imai.gr.jp
> 今々さんへ、　a+b+c+d≧2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)　は出来ません。

>63 Reply 先生、これ解いて下さい！今々 2000/11/15 03:54
> 1cust39.tnt1.kyoto.jp.da.uu.net
> 先生のＨＰ見て数学の新境地を見出せました。
>と言うことで、僕のわからないこの問題を証明してみてください
>
>「a,b,c,dは非負実数で、条件
>2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16
>をみたす。次の不等式を示し、等号の成立条件も求めよ。
>a+b+c+d≧2/3(ab+ac+ad+bc+bd+cd)」

明大生のクセして京都に住んでるの？？？（ｗｗｗｗｗ

108:明大生
01/07/10 13:08
おお！見つけてくれてありがとう（笑）
なぜか京都に住んでいるのだ！

109:１３２人目の素数さん
01/07/10 13:52
>>108
去年は京都に住んでたの？

110:１３２人目の素数さん
01/07/10 18:05
もう、みんな博士に行くよね。もち、学位とって
企業に就職する。学生のうちから、バンバン派遣
とかやって、スキルも身につけておこうかなー、
って思ってます。

111:603
01/07/13 22:05
上げとかナイト

112:アンチ文部科学省
01/07/27 03:40
正しい理科教科書を作る方法については
URLﾘﾝｸ(www.geocities.co.jp)
を見てください。

113:１３２人目の素数さん
01/08/09 21:24
半径１の半球に含まれる円錐の体積の最大値を求めよ

114:既出だが
01/08/09 22:47
次の式で表される点(x,y)の軌跡を図示せよ。
x=sin(s)+2*sin(2*s)
y=-cos(s)-2*cos(2*s)

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
x^2+y^2≦1
(y+1/2)*(y+√3*x-1)*(y-√3*x-1)≧0
y*(y+√3*x)*(y-√3*x)≧0

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
x^2+y^2≦25
x^2+y^2≧9　または　x^2≦1　または　y^2≦1

115:１３２人目の素数さん
01/08/10 01:41
an=Σe^-(k!)が収束するかどうか

116:１３２人目の素数さん
01/08/14 10:34
sqrd{x^2+y^2+z^2+w^2}+sqrd{(1-x)^2+(1-y)^2+(1-z)^2+(1-w)^2}
の最大値及び最小値を求めよ。
ただし、x、y、z及びwは、0以上１以下の実数とする。
URLﾘﾝｸ(saki.2ch.net)

117:あぼーん
あぼーん
あぼーん

118:ななし
01/08/14 16:56
問いばっかじゃなく解答も書いてよ

119:ななし
01/08/14 23:30
解答きぼんぬ

120:厨房
01/08/16 00:34
で、こたえは？

121:１３２人目の素数さん
01/08/16 12:18
>>114 の類題

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
(y^2-x^2)*(y-1)≧1
(y-2)^2≧x^2
y^2≦2*y

次の条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
((x+√3*y)^2-1)*((x+√3*y)^2-100)≦0
((x-√3*y)^2-1)*((x-√3*y)^2-100)≦0

122:松尾芭焦
01/08/16 20:00
つわものどもがゆめのあと。おぬしらもここまでか。

123:北島三浪
01/08/17 13:42
図示はつらいぜ。アスキーアート板に逝けや

124:駿台花子
01/08/19 01:57
問：
宜しくおねがいしまっす！

任意の正整数ｎに対し、
ｎ＾２＜ｐ＜（ｎ＋１）＾２
を満たす素数ｐが必ず存在することを証明せよ。

125:１３２人目の素数さん
01/09/28 00:53
かちみらみはちち

126:なし
01/09/28 09:45
>>124

初等的には未解決。n<p<2n では、帰納法を使って解く方法がある。

127:なし
01/09/28 10:09
[1] f(x) = p sin(ax + b) + q について

lim f^n (x)
n→∞

の性質を詳しく調べよ。

[2] 自然数 n に対し、ln(x)/x^n を整級数に展開できるか。

[3] 自然数における「ふるい分け法」が有効であるとはどんな場合か。
そのような場合を一般的に示せ。

128:なし
01/09/28 10:14
>>8
>空集合はただ一つしかないことを証明せよ。

空集合が2つあると仮定し A,B とおき、A≠Bとする。
すなわち (x∈A AND NOT(x∈B)) OR (NOT(x∈A) AND x∈B).
しかし、これは A,B が空であることに反する。

129:なし
01/09/28 10:36
>>113
>半径１の半球に含まれる円錐の体積の最大値を求めよ

断面積を考察すれば、x √(1 - x^2) が最大になる場合の
π x^2 √(1 - x^2) に等しい（ただしx>0）。
このとき、式の対称性から x = √(1 - x^2) は明らかで、
x>0 を配慮してこれを解くと x = √(1/2) = √(2)/2 となる。

130:なし
01/09/28 10:55
>>126
n≦p＜2n の間違い。

131:１３２人目の素数さん
01/09/28 12:27
>>126
n≦p＜2nの帰納的な証明って，簡単ですか？
ここで説明するのが大変なら，その証明がのってる本とかHP
とか教えてもらえませんか。

132:KARL ◆gjHKPQSQ
01/09/28 22:20
>>131
「n>=1なる任意の整数nに対してn<p<=2nなる素数pが存在する。」
この命題は、"Proofs from THE BOOK"(Springer)という本にベルトランの
仮説として紹介され、Chebyshevによって初めて証明され、Ramanujanによって
ずっと単純な形で証明が与えられた、としています。この本に載せられた
証明はPaul Erdos(エルデシュ)が19歳のとき(1932)初めて活字になった彼の論文
からとったものだそうです。確かに初等的な証明ですが、帰納法を使って
はいないような気がします｡
その中にいくつか補助定理が出てくるのですが、そのうちの１つを紹介しま
しょう。

　　　　Π[p<=x]p <= 4^(x-1) (xは2以上の実数)

　＊　記号 '<=' は '等しいかまたはより小さい'
＊ [p<=x]は普通Πの下に書かれるものでΠ[p<=x]pはx以下の全ての素数
　＊　の積を表します｡

この命題はいつか問題としてＵＰしたような覚えがあります。
この本に載っている証明はエルデシュの初めて活字になった原論文
にはないけれど、やはりエルデシュ自身によるものだそうです。
２項係数を知っている人だったら読めば誰でも分るけど、なかなか思いつかない、
という種類の証明です。誘導する形にすれば入試問題にしてもいいかも。
（一部で帰納法も使ってます。）

133:>129
01/10/26 08:20
×

134:１３１
01/10/26 08:45
>>132
をを！レスしてくれてる人がいたんですね。気が付きませんでした。たった今
レスを発見してしまいました。レスありがとうございます。

135:１３２人目の素数さん
01/11/12 00:31
うげ

136:１３２人目の素数さん
01/11/12 02:38
計算問題じゃないよ
｜｜…｜｜５８７５７－４０００｜－３９９９｜……｜－２｜－１｜＝

137:高校生向け
01/11/12 02:47
４次元の実数空間における半径rの超球の体積を積分を用いて求めよ。

138:１３２人目の素数さん
01/11/12 02:50
>>136
１。

139:KARL ◆gjHKPQSQ
01/11/12 02:50
>>93
の解、あらためて見てほれぼれするなあ。ある人に教わったんですけどね。
３文字のやつはわかったんだけど、じつはちょっとくやしい。
>>94
の問題もいいなあ。これは自分で見つけたんですけど．．．
これについて96番さんの考え方は正しくない(とあえて言わせて)。
だって数学の問題の解き方っていろいろあるところが面白いんじゃないですか。
他人の解答をみてなるほどうまいことやるもんだね、と感心したり
その解答をヒントにして別の解答を考え出したりすることもあるし。
この問題については、ヒントを言わせてください。四角形の辺ＡＢ，ＣＤをのばすと
３角形ができます。すぐわかることですが直角３角形です。ＡＣ，ＢＤは２つの角の
３等分線(のうちの１本)です。じつは、直角３角形の３等分線をひいて問題のような
四角形を作ると、つねに角ＡＤＢ＝角ＤＡＣ＝３０度になるのです。私が見つけた
美しい(ちょっぴり感動した)定理(?)です。すれ違い？なはは。

>>100番さんの紹介してるＨＰはすごいですね。94の問題もちゃんとありましたね。
証明もどこかにあるのですか？

>>132で紹介した、"Proofs from THE BOOK"(Springer)は翻訳が出るという話を
どこかで読んだような気がするんですが、どうなんでしょう。

140:高校生向け
01/11/12 02:51
正多面体が
正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体
の５種類しか存在しないことを証明せよ。

141:高校生向け？
01/11/12 02:53
y=x^xのグラフをかけ。(x>0)

142:高校生向け（ほぼ自明）
01/11/12 03:01
空間上にn個の点が与えられていて、1..nまでの番号が振られている。
数列a_iを点iから最も近い距離にある点の番号で定義したとき、
a_(a_k)=kなるk(1≦k≦n)が少なくとも1つ存在することを示せ。

143:１３２人目の素数さん
01/11/12 03:50
>>142
ａ（ｉ）＝ｉとするならａ（ａ（ｉ））＝ｉ。
ｎ＝３，点１点２＝点１点３＝点２点３として
ａ（１）＝２，ａ（２）＝３，ａ（３）＝１
とすればａ（ａ（ｉ））＝ｉとなるｉはない。
点ｉ以外でもっとも点ｉに近い点が一つに定まり
それを点ａ（ｉ）とするならｎ＝１のときは存在しない。
ｎが２以上のときは１≦ｉ＜ｊ≦ｎで点ｉと点ｊの距離が最小になるように
ｉ，ｊをとればａ（ａ（ｉ））＝ｉ，ａ（ａ（ｊ））＝ｊで二つ以上存在する。

144:KARL ◆gjHKPQSQ
01/11/12 21:42
>>140
>>141
いい問題ですね。

145:れんちゅう
01/11/19 10:12
ｘⁿ+ｘ&supn;+ｘ³+xⁿ⁺¹

146:理三受けるんです。
01/12/18 15:52
問題どうぞ。

147:１３２人目の素数さん
01/12/22 14:14
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
ここの問題全部やってみ

148:
02/01/19 18:11

149:三国無双 ◆FHB7Ku.g
02/01/21 15:08
>>17
どっかのすれで答えたような…
こみぱるから
だからうまくかきこめるかわかりません。文字化けするかも。

a[1]＝１、a[n+1]=√（a[n]+２）（n=1,2,・・・）
x^2=√（ｘ＋２）をといてｘ＝２だから極限＝2と予想。

｜a[n+1]-2｜=｜√(a[n]+2)-2｜
=｜(a[n]-2)/｛√(a[n]+2)+2｝｜≦｜｛1/(2+√2)｝(a[n]-2)｜
（∵a[n]>0)
よって
｜a[n]-2｜≦｜｛1/(2+√2)｝^(n-1)*(a[1]-2)｜=｛1/(2+√2)｝^(n-1)　→0　n→∞

よってa[n]→2　n→∞

kaminari sugoi desune///

150:三国無双 ◆FHB7Ku.g
02/01/21 15:20
＞１４１
奇妙な関数ですね・・・
y=x^x(x>0)
対数にあてはめて
logy=x*logx
これを微分して
y'/y=logx+1
y'=y(logx+1)

増減表は
0＜x＜1／eでマイナス、１／eでプラス。
x→0のときもx→∞のときもy→∞かな？よ￥これは予想です。
変局点はy’’を計算・・・。

151:三国無双 ◆FHB7Ku.g
02/01/21 15:31
＞１５０のつづき
訂正：０＜ｘ＜１／ｅでマイナス、１／ｅ＜ｘでプラス。
変曲点は、ｙ’’＝０
y'=y(logx+1)
y''=y'(logx+1)+y(1/x)=y(logx+1)^2+y*(1/x)
y''=0だから
y｛(logx+1)^2+1/x｝=0
でもこの式の左辺はy＞0で、（　）^2≧0で、1／ｘ＞0だから、左辺＞0だから
変曲点なし、でいいのでしょうか？？？

152:三国無双 ◆FHB7Ku.g
02/01/21 15:59
＞１１４
x=sin(s)+2*sin(2*s)
y=-cos(s)-2*cos(2*s)

dx/ds=cos(s)+4cos(2s)=cos(s)+4｛2cos(s)*cos(s)-1｝=8｛cos(s)｝^2+cos(s)-4
dy/ds=sin(s)+4sin(2s)=sin(s)+8sin(s)*cos(s)=sin(s)*｛1+8cos(S)｝
あとは０≦ｓ≦２πとして増減表を書く・・・。計算まちがい、うち間違いあるかもしれません。

153:三国無双 ◆FHB7Ku.g
02/01/21 16:38
＞１５２つづき
8t^2+t-4=0の2解をα、β（α＜β）とおくと
-1＜α＜β＜１
だから
x^2+y^2=1
x=α
x=β
x=-1/8
y=0
のグラフを書いて場合わけする。なんかめんどくさい・・。
0＜s＜θ1のときはx'>0,y'>0
θ1＜s＜θ2のときはx'<0,y'>0
θ2＜s＜θ3のときはx'<0,y'<0
θ3＜s＜πのときはx'>0,y'<0
π＜s＜θ4のときはx'>0,y'>0
θ4＜s＜θ5のときはx'<0,y'>0
θ5＜s＜θ6のときはx'<0,y'<0
θ6＜s＜2πのときはx'>0,y'<0
ただしθ1～θ6は下のように定めたもの。
0＜θ1＜π/2＜θ2＜θ3＜π＜θ4＜θ5＜3π/2＜θ6＜2π
cosθ1=cosθ6=α=(-1+√129)/16
cosθ2=cosθ5=-1/8
cosθ3=cosθ4=β=(-1-√129)/16

154:三国無双 ◆FHB7Ku.g
02/01/21 18:08
帰ってきてもレスなし・・。
>>5
図を書くと、
P(0,±r)のとき最大値(2a/b)*√(b^2-r^2)
P(±r,0)のとき最小値(2b/a)*√(a^2-r^2)
という気がします。
でも証明がむずかしい・・。

接線と楕円形の交点をA,Bとおくと、
△OAB＝AB*r/2だから
ABが最大⇔△OABの面積が最大
ここから先がわからない・・。

155:三国無双 ◆FHB7Ku.g
02/01/21 18:40
>>6
△ABCの面積をSとする。（Sはヘロンの公式でa,b,cであらわせる）
またPD=x,PE=y,PZ=zとおくと
△ABC=△PAB+△PBC+△PCA=(1/2)*(ax+by+cz)
よって
ax+by+cz=2S・・・・ア
求める値はa/x+b/y+c/zである。ここで
アの左辺*(a/x+b/y+c/z)を計算してみると
(ax+by+cz)*(a/x+b/y+c/z)=a^2+b^2+c^2+(abx/y+aby/x)+(acx/z+acz/x)+(bcy/z+bcz/y)
≧a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
（∵相加相乗平均の公式.等号はx=y=zのときに限り成立）
したがって、
2S*(a/x+b/y+c/z)≧a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
⇔*(a/x+b/y+c/z)≧(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/(2S)
よって
PA=PB＝PCのとき最小値(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/(2S)・・・答

156:１３２人目の素数さん
02/01/21 18:59
哀れな奴

157:１３２人目の素数さん
02/01/22 06:39
数学板っつぅのはそういうものかと

158:１３２人目の素数さん
02/03/06 09:47
このスレから選りすぐった問題を出せば、今年の東大の問題にも勝てるであろう。たぶん

159:１３２人目の素数さん
02/03/30 02:27

160:１３２人目の素数さん
02/04/29 02:42

161:１３２人目の素数さん
02/06/03 12:50

162:１３２人目の素数さん
02/06/09 14:12
うどだ

163:１３２人目の素数さん
02/06/24 16:55

164:１３２人目の素数さん
02/06/26 01:22

165:１３２人目の素数さん
02/06/26 03:52
問題
三辺の長さが、a、b、cの三角形を考える。
この三角形の内接円の半径をr、外接円の半径をRとするとき、
Rとrをa、b、cで表しなさい。

166:１３２人目の素数さん
02/06/26 09:11
>>165
京大のいつかの問題？

167:１３２人目の素数さん
02/06/28 15:28
　

168:１３２人目の素数さん
02/06/29 22:59

169:１３２人目の素数さん
02/07/01 02:57

170:ｦﾀｦﾀくん＠数学ﾏﾆｱ
02/07/01 03:47
ヲタヲタくんＨＰへ逝く！！
URLﾘﾝｸ(ip.tosp.co.jp)
↑ｸﾘｯｸカキコきぼーん
　　+　
+／■＼　∧＿∧+
( ´∀`)(´∀` )
(つ　つ(つ　つ
(　ヽノ (　ヽノ+
し(＿)　し(＿）
+　　+　　+

171:１３２人目の素数さん
02/07/01 04:50
0以上の実数αに対してF(α)＝∫［-1,1］｜x＾2－α＾2｜αx
(1) F(α)を求めよ。
(2) αが0≦α≦2の範囲を動く時F(α)の最大値と最小値を示せ。

172:KARL ◆gjHKPQSQ
02/07/13 01:36
a,b,c>=0 ab+bc+ca+abc=4 ならば
　a+b+c>=ab+bc+ca であることを証明せよ。
　また等号が成り立つのは、どういう場合か。

既出問題ですが、解答が得られていない(どこかにあったら教えて)
のであえて、ふたたび出題させていただきました。

173:１３２人目の素数さん
02/07/13 03:25
>>172
p=a+b+c,q=ab+bc+ca と置く。0<=q<=4 であることが条件からすぐわかる。
f(x)=x^3-px^2+qx+q-4 とすれば a,b,c は f(x)=0 の3解であるから、
f'(x)=0 の判別式が非負であることが必要。すなわち、p^2>=3q を満たす。

ここから背理法を使う
もし、ある p,q で p<q が成立すると仮定すると
上の条件から q^2>p^2>=3q だから、3<q<=4 である。
g_t(x)=x^3-tx^2+tx+t-4 と曲線族(3<=t<=4)を定義すると、
f(x) > g_q(x) >= inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)} = min{(x-1)^3,x(x-2)^2}
よって、0=f(a)>min{(a-1)^3,a(a-2)^2} (b,cも同じ) から
0<=a,b,c<1 でなければならないが、
これでは、ab+bc+ca+abc<4となってしまって、矛盾。
よって、p>=q

174:１３２人目の素数さん
02/07/13 03:53
等号条件を忘れてた。
p=q の時、3<=q<=4 で f(x)=g_q(x) だから、0=f(a)>=min{(a-1)^3,a(a-2)^2}
よって、a,b,c のうち少なくとも一つが、0,1,2のいづれかでなければならない。
条件式に代入して残り2つも求めると、
"すべて1である" か "0と残り二つが2である" 時に等号が成り立つ。

175: ◆DMNqBRko
02/07/13 03:59
あといっこ条件抜けてるよう鳴きが

176:１３２人目の素数さん
02/07/13 04:19
>>175
？

177:KARL ◆gjHKPQSQ
02/07/13 19:35
3次方程式の判別式は高校のレベルではあつかわない、と思います。
私自身わからない。説明をつけ加えて下さい。
f(x) > g_q(x) >= inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)}
も、infとかminとか曲線族とか大学入試レベルを超えていると思います。
ふつうの高校生に分る解答をお願いします。

178:１３２人目の素数さん
02/07/13 21:05
>3次方程式の判別式は高校のレベルではあつかわない、と思います。
１７３のどこで３次方程式の判別式使ってるか教えてくれ。

>f(x) > g_q(x) >= inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)}
>も、infとかminとか曲線族とか大学入試レベルを超えていると思います。
別にinfとか曲線族使わなくても、f(x)>min{g_3(x),g_4(x)}は言えるだろ。
それにminって高校の範囲超えてるか？

結局は自分の用意した解答と違うから、文句つけたいだけだろ。
まさか理解できないなんてことはないだろうから（ｗ

179:１３２人目の素数さん
02/07/13 21:31
１＋２＝８、２＋１１＝１８→７＋２＝１４

180:こけこっこ ◆ABCDEYl.
02/07/14 00:46
>>177
僕もちょっと便乗質問・・。

>>173で，「a,b,c は f(x)=0 の3解であるから、
f'(x)=0 の判別式が非負であることが必要。」

とあるんですが，判別式が負であることが必要なのはわかります。
でも，f'(x)=0のときは，f(x)は単調増加になるので，f(x)=0は，3重解をもつか
1つの実数解と2つの虚数解を持つかの2通りの可能性が出てくると思います。
この2通りに対して，場合わけをする必要はないのでしょうか？

inf，曲線族って教科書やチャトには出ていないのでわかりません。
解説おながいします。

181:KARL ◆gjHKPQSQ
02/07/14 01:44
>>178
>f'(x)=0 の判別式が非負であることが必要。
ほらね。．．．あれ？？ご、ごめん。老眼のせいでダッシュが目に
入らなかったようです。

>まさか理解できないなんてことはないだろうから（ｗ
そのまさかだぜい（大笑い）

>結局は自分の用意した解答と違うから、文句つけたいだけだろ。
ようするに理解できなかったからけちをつけたかっただけ。（大馬鹿笑い)

182:１３２人目の素数さん
02/07/14 01:54
ぐへっつ

183:１３２人目の素数さん
02/07/14 10:42
>>173
いくつか疑問点

3<q<=4 の十分性は？
f(x) > g_q(x) はｘ＝０では成り立たない
inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)} は正しいか？

184:227
02/07/14 11:18
>>179は何？

185:183
02/07/14 12:01
「f(x) > g_q(x) はｘ＝０では成り立たない」以外は
勘違いしてたみたい無視してくらはい

186:１３２人目の素数さん
02/07/14 12:30
>>173

3＜q≦4 ⇒ 3≦q≦4 だから g_q(x) ≧ min{g_t(x)|3≦t≦4} ＝ min{g_3(x),g_4(x)}
としたら inf 使わずに済んだね

187:１３２人目の素数さん
02/07/14 12:48
今井　今井　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　
　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　
　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　
　　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　　今井　

イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　
　　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　

　　　　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ　イマイ

188:１３２人目の素数さん
02/07/15 19:33
>>172はもう少しスカッと解けないものかなぁ

189:ふぃっしゅっしゅ ◆gicLO6y6
02/07/15 21:31
>>188
ab,bc,ca,abcの相加、相乗平均の大小関係から、
(ab+bc+ca+abc)/4≧(abc)^(3/4)
左辺＝１なので、abc≦1

a,b,c,(abc)^3の相加、相乗平均の大小関係から、
(a+b+c+(abc)^3)/4≧1
∴a+b+c≧4-(abc)^3
　　　 ≧4-abc　（∵ 0≦abc≦1)
　　　＝ab+bc+ca

190:ふぃっしゅっしゅ ◆gicLO6y6
02/07/15 21:38
>>189
等号を答えるの忘れてた
a,b,c,(abc)^3の相加、相乗の式における等号から、
a=b=c
ab+bc+ca+abc=4に代入して、4a^2＝4
よって、等号はa=b=c=1のとき
（このときたしかに等号が成り立つ）

191:１３２人目の素数さん
02/07/15 21:53
>>189
> (a+b+c+(abc)^3)/4≧1
意味不明

192:ふぃっしゅっしゅ ◆gicLO6y6
02/07/15 22:07
>>191
あれ、本当だ

疲れてるな…

193:１３２人目の素数さん
02/07/31 14:00

194:１３２人目の素数さん
02/07/31 15:30

195:KARL ◆gjHKPQSQ
02/08/03 03:34
>>172に対する私の証明は以下のとおりです。

ab+bc+ca+abc=4 (*)
これからc=(4-ab)/(a+b+ab)
だからこれを代入して
a+b+c-(ab+bc+ca)=a+b+(4-ab)/(a+b+ab)-ab-(a+b)*(4-ab)/(a+b+ab)
=1/(a+b+ab)*[(a+b-2)^2-ab(a-1)(b-1)]　　(**)

(*)はa,b,cについて対称だから a <= c <= b として一般性を失わない。
このとき、a>1 あるいは b<1 とすると、(*)が成り立たないから
a <= 1 <= b である。したがって　-ab(a-1)(b-1) >= 0
(a+b-2)^2>=0 だから右辺>=0.
したがって a+b+c >= ab+bc+ca
等号は a+b=2 かつ [a=0またはb=0またはa=1またはb=1]
つまり、a=0,b=c=2 または a=b=c=1
a,b,c についての対称性からb=0,c=a=2;c=0,a=b=2のときも成り立つ。■

注
(**)の[ ]内を(a-b)^2+(4-ab)(a-1)(b-1)として証明することもできます。

196:１３２人目の素数さん
02/08/03 04:11
a1、a2は与えられた実数とし、n≧3に対しては
　an=|an-1-an-2|
で数列anを定める。
(1)a1、a2が整数のとき、ある正の整数Nが存在して、N以上のすべてのnに対して
an=0となることを示せ。
(2)a1、a2が有理数のとき、{an}の取りうる値は有限個であることを示せ。

もちろん、(1)ができれば(2)は簡単なのですが。

197:１３２人目の素数さん
02/08/03 05:13
>>196
b[n]=max{a[n],a[n+1]}を考えたらできた。

198:１３２人目の素数さん
02/08/03 18:40
東大の過去問。1時間で解けたら凄い？

Pはxy平面上の点。A={(x,x^3-x) | -1≦x≦1}。
Aを、常に点Pを通るように平行移動させる。
そうやって平行移動させた図形とAとの共有点がちょうど1点だという事が
ちょうど3回起きるようなPの範囲を図示せよ。

…文が変だな。言いたかったのは↓こういうこと
A={(x,x^3-x)| -1≦x≦1}
Φ(P)={A'| A'はAを平行移動させたものでP∈A'}
D={P| ＃{A'| A'∈Φ(P),＃(A'∩A)=1}=3}
Dを図示せよ。

199:ウリ坊 ◆Lzn.IZwY
02/08/03 22:44
ｒを素数とし、ｎをｒと互いに素な（１以外の公約数を持たない）自然数とします。
このとき、ｎr-1－１がｒで割り切れることを証明して下さい

200:KARL ◆gjHKPQSQ
02/08/05 01:07
>>199
r=3, n=2とすると
ｎr-1－１ =6-1-1=4
これはr=3で割り切れない。
ｎr-1－１は　n(r-1)-1という意味（？）
だとすると、
r=3, n=4のときn(r-1)-1=7
これはr=3で割り切れない。
タイプミスと思われます。よろしくご訂正願います。

201:１３２人目の素数さん
02/08/05 02:01
>>200
フェルマーの小定理と思われ。
n^(r-1) - 1 が r で割り切れる。

202:１３２人目の素数さん
02/08/05 07:23

(1)から(3)において、それぞれの解の逆数を解とする方程式を求めよ。

(1) ax^2+bx+c=0

(2) ax^3+bx^2+cx+d=0

(3) ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

(3)が全然わからなくて解法見たら、鬱になってしまった記憶が…。

203:１３２人目の素数さん
02/08/05 12:51
x →1/x としたいいだけじゃないの

204:１３２人目の素数さん
02/08/05 13:05
∫(1⇒2)(x-1)/x^2*e^xdx
問題集の解法が何かﾃｸﾆｶﾙなものだったので
自然に思いつけるような解法を教えて欲しいです。
ちなみに問題集の解法は(fe^x)=(f+f')e^xを利用したものでした。

205:１３２人目の素数さん
02/08/05 13:08
間違ってsageたのでageときます。

206:１３２人目の素数さん
02/08/08 16:00
>>50あたり

207:１３２人目の素数さん
02/08/08 16:51
.......

208:１３２人目の素数さん
02/08/14 06:35
>>195の解答と似ているが....
ab+bc+ca+abc=4より
a(b+c+bc)+bc=4
a={4-bc}/(b+c+bc) a>0よりbc<4
a+b+c-ab-bc-ca=a(1-b-c)+b+c-bc={4-bc}(1-b-c)/(b+c+bc)+b+c-bc={(4-bc)(1-b-c)+(b+c-bc)(b+c+bc)}/(b+c+bc)....(1)
b+c=u,bc=vとおくとb,c>0よりu>0,0<v<4 b,cの実数条件より u^2>=4v
逆にu,vがこの条件を満たせば t^2-ut+v=0の２解は共に正で、{b,c}⊂解集合でありa=(4-v)/(u+v)でab+bc+ca+abc=4となる
(1)の分子＝(4-v)(1-u)+u^2-v^2=-v^2+(u-1)v+(u-2)^2=-(v-(u-1)/2)^2+(u-1)^2/4+(u-2)^2
各uを固定した時g[u](v)=-(v-(u-1)/2)^2+(u-1)^2/4+(u-2)^2とおく
g[u](v)は上に凸な関数である。従って最小値は、定義域の境界で取る。
境界は、0<=u<=4 ではv=u^2/4上、4<=uではv=4,及びv=0である。
g[u](0)=(u-2)^2>=0
g[u](4)=-16+4(u-1)+(u-2)^2=u^2-16>=0 (u>=4)
g[u](u^2/4)=(-1/16){u^4-4u^3-12u^2+64u-64}=(-1/16)(u-2)^2(u+4)(u-4)>=0(u<=4)
従って(u,v)の存在範囲、すなわちg[u](v)の定義域でg[u](v)>=0 (等号はu=v=4の時のみ）
∴a+b+c-ab-bc-ac>=0
等号はa=0,b=c=2の時のみ成り立つ

209:208
02/08/14 06:48
等号について訂正
２つ別の等号成立点が見つかった。（汗;
u=2,v=0 b+c=2,bc=0 これはa=b=2 c=0 a=c=2 b=0の場合に対応
u=2,v=1　これはa=b=c=1の場合も等号成立ね。

210:１３２人目の素数さん
02/09/04 11:01

211:１３２人目の素数さん
02/09/25 23:37
「０，１，２，３と書かれたカードが１枚ずつあり、点Pが平面座標上の原点（０，０）にいる
カードを１枚めくって１が出たら点Pは現在いる点よりx座標が１小さい点へ移動し、
２が出たら点Pは現在いる点よりy座標が２大きい点へ移動し、
３が出たら点Pは現在いる点よりx座標が３大きい点へ移動し、
０が出たら点Pは原点へ移動するとする。
めくったカードは元へ戻し試行を繰り返す。
点Pが領域S{(x,y)|x^2+y^2>5}へ到達した時点でゴールとし、試行を終える。
このときn回目の試行まででゴールする確率を求めよ

212:１３２人目の素数さん
02/10/27 05:08

213:１３２人目の素数さん
02/10/30 19:55

214:１３２人目の素数さん
02/10/31 23:21
大学入試ってのはどんな問題が好まれるんだろう。

問　
a^2+b^2=c^2を満たす自然数の組(a,b,c)のうちで素数を２つ以上含むものは無限に存在するか。

こういうのは嫌われるかなぁ。

215:１３２人目の素数さん
02/10/31 23:31
うざい芸能人ベスト５
　　　
　　1位　中居正広（ＳＭＡＰ）
　　
　歌は下手なくせに態度はでかい三十路過ぎの小汚い巨人ファン

　　２位　山田花子
　
　全くアドリブがきかない貧乳・醜顔のつまらぬダメ芸人。

　　３位　中尾彬
　
　態度でけーよ。こういう奴に限ってちんぽは真性方茎。

　　４位　古館伊知郎（←字違ってるかも）
　
　実況がうるさい。楽屋では一人でチンカス掃除してそう。

　　５位　小池栄子
　
　おっぱいだけで世渡りできると思うな。どうせ最期はヌード。

　ここでニ句。
　
　大不況　現代社会の　産物は　
　　　　　　　　　　　たまりにたまった　クズ芸人の山
　　　　　　　
　「♪帰れ　帰れ　みんな一緒に　異界送りだーっ！
　　　　　♪見たくなーい　芸人は　泡で固めよーっ！♪」　
　　　　　（ゴキパオのコマーシャルソングの音楽にのせて）　　

216:１３２人目の素数さん
02/11/01 21:55
>>214
こんなの出したら差がつかないでつ。。。

217:１３２人目の素数さん
02/11/01 23:47
>>214
っていうか俺解けないんですがｗ

218:１３２人目の素数さん
02/11/03 00:52
>214
2m-1=n^2を満たす素数m,nの組は無限に存在するか、に帰着するかな。
そして無限にありそうな予感。証明は30分考えたけどできず。

219:１３２人目の素数さん
02/11/03 01:23
>>214
面白い問題なので計10時間ほど考えてみたが、マジ和歌欄
うち、3時間ほどプログラムを組んで実験したらSTOPしなかったのでYESと勝手に予想

これくらいなら
無限に存在することを示せ/有限個なことを示せ（これだけで、格段に問題の
レベルはダウンするけど）でないと（それでも）試験にならない予感
嫌われるというより、難しすぎ（漏れがヴァカなだけか？）
数オリ本番より難しくない？

でも、気になる問題だなぁ…

220:１３２人目の素数さん
02/11/03 01:35
フェルマー問題みたいに問題の作り逃げってことはないよね？
出題者の口ぶりからして、それはない予感がするが…

221:１３２人目の素数さん
02/11/04 18:48
素数自体無限にあるんだし（オソラク）無限では・・？

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