☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆

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208:１３２人目の素数さん
02/08/14 06:35
>>195の解答と似ているが....
ab+bc+ca+abc=4より
a(b+c+bc)+bc=4
a={4-bc}/(b+c+bc) a>0よりbc<4
a+b+c-ab-bc-ca=a(1-b-c)+b+c-bc={4-bc}(1-b-c)/(b+c+bc)+b+c-bc={(4-bc)(1-b-c)+(b+c-bc)(b+c+bc)}/(b+c+bc)....(1)
b+c=u,bc=vとおくとb,c>0よりu>0,0<v<4 b,cの実数条件より u^2>=4v
逆にu,vがこの条件を満たせば t^2-ut+v=0の２解は共に正で、{b,c}⊂解集合でありa=(4-v)/(u+v)でab+bc+ca+abc=4となる
(1)の分子＝(4-v)(1-u)+u^2-v^2=-v^2+(u-1)v+(u-2)^2=-(v-(u-1)/2)^2+(u-1)^2/4+(u-2)^2
各uを固定した時g[u](v)=-(v-(u-1)/2)^2+(u-1)^2/4+(u-2)^2とおく
g[u](v)は上に凸な関数である。従って最小値は、定義域の境界で取る。
境界は、0<=u<=4 ではv=u^2/4上、4<=uではv=4,及びv=0である。
g[u](0)=(u-2)^2>=0
g[u](4)=-16+4(u-1)+(u-2)^2=u^2-16>=0 (u>=4)
g[u](u^2/4)=(-1/16){u^4-4u^3-12u^2+64u-64}=(-1/16)(u-2)^2(u+4)(u-4)>=0(u<=4)
従って(u,v)の存在範囲、すなわちg[u](v)の定義域でg[u](v)>=0 (等号はu=v=4の時のみ）
∴a+b+c-ab-bc-ac>=0
等号はa=0,b=c=2の時のみ成り立つ

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