☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆

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173:１３２人目の素数さん
02/07/13 03:25
>>172
p=a+b+c,q=ab+bc+ca と置く。0<=q<=4 であることが条件からすぐわかる。
f(x)=x^3-px^2+qx+q-4 とすれば a,b,c は f(x)=0 の3解であるから、
f'(x)=0 の判別式が非負であることが必要。すなわち、p^2>=3q を満たす。

ここから背理法を使う
もし、ある p,q で p<q が成立すると仮定すると
上の条件から q^2>p^2>=3q だから、3<q<=4 である。
g_t(x)=x^3-tx^2+tx+t-4 と曲線族(3<=t<=4)を定義すると、
f(x) > g_q(x) >= inf{g_t(x)|3<t<=4} = min{g_3(x),g_4(x)} = min{(x-1)^3,x(x-2)^2}
よって、0=f(a)>min{(a-1)^3,a(a-2)^2} (b,cも同じ) から
0<=a,b,c<1 でなければならないが、
これでは、ab+bc+ca+abc<4となってしまって、矛盾。
よって、p>=q

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