☆２ちゃんねらーず編・大学入試数学問題集☆

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155:三国無双 ◆FHB7Ku.g
02/01/21 18:40
>>6
△ABCの面積をSとする。（Sはヘロンの公式でa,b,cであらわせる）
またPD=x,PE=y,PZ=zとおくと
△ABC=△PAB+△PBC+△PCA=(1/2)*(ax+by+cz)
よって
ax+by+cz=2S・・・・ア
求める値はa/x+b/y+c/zである。ここで
アの左辺*(a/x+b/y+c/z)を計算してみると
(ax+by+cz)*(a/x+b/y+c/z)=a^2+b^2+c^2+(abx/y+aby/x)+(acx/z+acz/x)+(bcy/z+bcz/y)
≧a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
（∵相加相乗平均の公式.等号はx=y=zのときに限り成立）
したがって、
2S*(a/x+b/y+c/z)≧a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
⇔*(a/x+b/y+c/z)≧(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/(2S)
よって
PA=PB＝PCのとき最小値(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/(2S)・・・答

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