２つの封筒問題スレ

２つの封筒問題スレ ..

263:１３２人目の素数さん
10/03/14 10:56:39
>>254
言い換えると、
x+x+x+x+,,,,,,=1
の系に対して、サイコロ振ってなにかを選択する操作は不可能。
なので、期待値は存在しない。

264:１３２人目の素数さん
10/03/14 11:08:07
x+x+x+x+,,,,,,=1の系に対して、サイコロ振ってなにかを選択する操作は不可能。
なので、問題が成立しない
のほうがベターかな。

265:１３２人目の素数さん
10/03/14 11:09:15
素朴な疑問。
サイコロの目を１万倍にする理由は何？
そのまんまでいいじゃんね？
もしくは＄にするとかさ。

266:240
10/03/14 11:11:18
私の４行目の主張は、もっとシンプルなものです。
「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」ということです。

267:１３２人目の素数さん
10/03/14 11:16:30
>>266
なるほどそうか。

268:186
10/03/14 11:17:40
s5179さん

相手にだけ求めるのは変ですので、繰り返し部分が多いですが、もう一度私の論点以下に書きます。
・自然数全体で考える前に、2^n（n:自然数）の系列を考える
　2^nの系列で考える利点は、特異点が端点のみになること
　自然数全体で考えたい場合は、任意の奇数*2^nの系列の合成を考えることにより実現でき、結局は2^nの場合を考えれば十分
・封筒の作成方法
　0～N-1（N:任意の自然数）のなかから、1/Nの確率でひとつの自然数nを取り出す
　このnを使用し、（2^n、2^(n+1)）の数値が入った大きい封筒を作る
・小さい封筒をあける
　この封筒の数値を2^k（k:0~N）と表記する
　k=0のとき、交換すれば、必ず1→2になる
　k=Nのとき、交換すれば、必ず2^N→2^(N-1)になる
　これら、両端点以外の場合（k:1～N-1）
　交換後、1/2の確率で2^k→(2^k)/2となり、1/2の確率で2^k→(2^k)*2となる
　この場合、期待値は元の数値の1.25倍
・Nを十分に大きくすれば、「ほとんどすべての場合」両端点以外の場合になり、期待値は1.25倍となる
　→このNを無限に発散させると、「ほとんどすべて」が「必ず」に変わり、
　　交換後の期待値が1.25倍で固定されるというのがこの問題のパラドクス
・このパラドクスの原因は、「このNを無限に発散させることが実現不可能」からきている

269:186
10/03/14 11:20:51
>>266

240さん
見えない相手に対して、あまりに雑に書きすぎだと思いますよ。
表現だけ見ると、「積分論が成り立たない！」になっちゃいますよ。

270:7
10/03/14 11:53:07
横からすまんが、ちょっと質問なんだけど
自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に
[nが偶数である確率]=1/2
[nを3で割ると１あまる確率]=1/3　とか
[n=1である確率]=0
[n=0.5である確率]=0
[nが自然数である確率]=1
[n=1である確率]:[n=2である確率]=1:1
[n=1である確率]:[n=0.5である確率]=1:0
さらに自然数から等確率に１つの数mを選んだ時に
[n<mとなる確率]=1/2
っていうのを認めない立場？

例えば
自然数n,mを選んだ時にn<mとなる確率p
は
{1,2,…,N}から任意にn,mを選んだ時にn,mとなる確率p_(N)=(N-1)/2N
だから、p=lim_(N→∞){p_(N)}=1/2となる
とするのは駄目？

もちろん、このことをもって
自然数全体に一様な確率分布が存在するとは言わないけど、厳密にはありえないからこそ
「どの自然数が選ばれるかは同様に確からしいとした時、選ばれた数が条件Aを満たす確率p」
というのは「{1,2,…,N}のどれが選ばれるかは同様に確からしいとし
選ばれた数が条件Aを満たす確率をp_(N)とした時にp=lim_(N→∞){p_(N)}なるp」
つまり「∀ε>0,∃N∈{自然数全体},∀M∈{自然数全体},
p_(M)=({1,…,M}の中で条件Aを満たす要素の数)/({1,…,M}の要素の数)
[M>N⇒|p-{p_(M)}|<ε]」
と私は解釈して(この解釈が妥当である保障はない)考えているのだけど
こんな解釈した問題には興味ない？矛盾はあると思う？

271:7
10/03/14 11:57:40
あと、有界で期待値12500円の場合にもパラドクスが発生してると思うのなら
>>14の視点の混同が原因では？

確率の問題では期待値が高いことを得だとか有利だとか呼ぶこともあるけど
それは日常で使う得や有利という言葉の意味とは異なってるし
ゲームが全部終わった後での賞金(の合計)の大小についての"得"と
"他方の期待値は12500円だから換えた方が得"の"得"は
条件や意味が違うから別物であって、実際に交換して得しなくても矛盾はない。

未確認の金額の期待値と確認済みの金額の比を見て交換するかどうかを
判断する方法(個人の視点)と、２つ封筒の金額のうちの大きい方を最初に受け取った回数の期待値と
ゲームした回数の比＝(最初に受け取った金額が２つのうちの大きい方である確率)＝1/2
を見て交換するかどうかを判断する方法(場の視点)を混同すると矛盾してるように見える。
どちらの方法を選択する方が良いかを考えるには、ゲームのがどんな目的なのかとか
参加者がどんな行動をするのかが決まっていまいといけない。例えば>>7[2a]のような状況を
考えて、それと同時にA君の条件をC君に,B君をD君に対応させてC君とD君にもゲームして
もらうとする。A君がB君よりも多くの金額を得ようとするなら、交換はしてもしなくても有利にはならない。
A君がC君よりも多くの金額を得ようとするなら、A君は交換はするという戦略をとったほうがC君より有利。
と考えるのが個人的には自然だと思う。

別の例だと、公正なサイコロを１回か２回投げ、後に投げた方の目が
１～５ならその目の数が得点に、６の目がでたら得点として16点もらえる
というゲームがあったとする(２回投げるかは１回目が終わった後にプレイヤー自信が決められる)。
１回しか投げない時の得点の期待値は31/6で5より大きいけれど
だからといって、１回目に投げたサイコロの目が５の時に２回目を投げた方が良いかどうかは
この"良い"がどんな意味なのかとか、何を目的としたゲームなのかはっきりさせないと決められない。

272:240
10/03/14 12:08:56
「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
この問題から「どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
という仮定を削除すれば、問題を満たす確率分布はいくらでも存在するよ。

「もし、確率分布を、、、と仮定（解釈）すると、、、」という話には、私は興味無い。
だってそれは別の問題じゃん。

273:7
10/03/14 12:48:51
おｋ。
＞だってそれは別の問題じゃん

それを言われると>>1の上部は終了ですな。
(派生元でも既に指摘されてたことではあるけど)

>>1の類題・別の仮定を加えた別の問題を考えたいなら
>>1には明記されていないことをちゃんと明確しないと解けないよ
というのが私の主張、ということで。

ただ、「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」という表現は
あまりよろしくないとは思うよ。x+x+x+x+,,,=1が何を意味するのか
明確にするか、別の表現に直した方が適切だと思う。

274:186
10/03/14 12:51:56
>>270

7さん
（私への質問かどうかわかりませんが）私の考えは、

・「自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に」→これは実現できない
・[nが偶数である確率]=1/2、[nを3で割ると１あまる確率]=1/3
　これらは、2つまたは3つの同値類に分類され、その同値類同士での確率として解釈しているのでOK
・[n=0.5である確率]=0、[nが自然数である確率]=1
これらは、選択するときの分布関係なしに0/全事象と全事象/全事象
・[n=1である確率]:[n=2である確率]=1:1
　これは、1と2を等確率で引くという前提の繰り返し
・[n=1である確率]=0、[n=1である確率]:[n=0.5である確率]=1:0
　これらはなんらかの分布を仮定しなければいけないため、ナーバスな問題（後半の表記は0:0）

・さらに自然数から等確率に１つの数mを選んだ時に[n<mとなる確率]=1/2
　引く前であれば、OK。下の証明もそれで同意できます。

ただし、（実現できない条件のもとで）「nを引いた後の条件付確率」は、
「nがどんな数値であろうとも、後に引くmのほうが大きくなる確率は限りなく1」

275:１３２人目の素数さん
10/03/14 14:49:40
>>274の
>・「自然数から等確率に１つの数nを選んだ時に」→これは実現できない

理解できない人は、このあたりがネックになってるぽい。
言葉遊びだけじゃなくて、具体的にどうやれば実現できるか考えれば分かるよ。

276:１３２人目の素数さん
10/03/14 14:53:06
こういう俺は、コンピュータでシミュレーションが可能かどうかで考えるしか能がないけどね。

277:１３２人目の素数さん
10/03/14 16:13:24
>>275
例え可算であっても無限を扱う事象は実現できないだろ。
現実は有限だからな。

278:１３２人目の素数さん
10/03/14 16:17:41
ん？できないって言ってるんだけど？

279:240
10/03/14 16:41:23
x+x+x+,,,=1
とは、
s_1=x
s_2=x+x
s_3=x+x+x
,,,
と定義し、n→∞としたとき、s_n→1であるということ。

こんな説明が必要な人には、「二つの封筒」問題を理解するのは無理だよ。

二つの封筒の場合には、R^2上の確率測度p(x,y)で、
サポートがy=2xとy=x/2に含まれるものを考える必要がある。
もし、「任意の0以上の実数cに対して一方の封筒の金額がc円のとき、
他方の金額が2cである確率とc/2である確率が等しい」と仮定すると
任意の0以上の実数cに対してp(c,2c)=p(c,c/2)およびp(2c,c)=p(c/2,c)が成立する。
しかし、これは全事象の確率が1であることと矛盾する。（←ここの証明が重要だが、
詳しく書くのは面倒だ。）

280:240
10/03/14 16:50:14
我ながら記号の使い方が不適切な部分があるな。
まぁ、確率論を理解している人なら適当に修正してくれるだろうし、
確率論を理解していない人はそもそも理解できないだろうから、まぁいいか。

あと、金額cのとりうる範囲は>0とすべきだった。c>=0とすると、
「どちらの封筒も0円である確率が1それ以外の確率は0」
ってのが解として存在してしまうから。

281:s5179
10/03/14 17:25:23
>>279

封筒をｎ枚用意し一つの封筒には１、一つの封筒には２・・・、１つの封筒にはNとすべての封筒に数字を記入した紙を入れる。

（１を引く確率1/n）+（2を引く確率1/n)+・・・・・・・（Nを引く確率1/n）=１

これのnが∞のときに適用出来ないと解釈しました。
誤解であれば謝罪させて頂きます。

２つの封筒があり、中にそれぞれお金を入れる。
入っている金額の比は１：２とする。
一方を選んで中を見ると10000円だった。

上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
この問題の命題を果たしていないことになるかどうか
これは重要な点だと思います。
解釈の統一を求めます。

私は問題ないと思います
入っている金額の比は１：２になっていますし
1方を先に選んで10000円になる可能性もあるからです。

282:１３２人目の素数さん
10/03/14 18:26:25
なんの期待値について話してるのか理解できてる？
選んだ封筒に対して常に他方の封筒の金額の期待値が高くなる様な金額組の確率分布は存在しないよ
これは高校の知識で簡単に示せる

あと、「他方の封筒に変えた方が得する」事を言うためには、
選んだ封筒、他方の封筒それぞれについて金額×確率を定義域全体で積分して比べないといけないよ
そして、この値はどんな分布であれ互いに等しい。
これも簡単に示せる。
つまり封筒を変えても得もしないし損もしない

「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率だ」
と、思い込んでしまう事にパラドクスと言われる事の原因がある

283:240
10/03/14 18:40:39
>>281
前半はOK
後半について、（といってもちょっと違う例だが）
例えば,
「一方の金額が1000円であったとき、もう一方が500円、2000円である確率がそれぞれ1/2である。
（ただし、他のある金額についてはこのように1/2にはならない。）」
この確率分布は実現可能だよ。
しかし
「一方の金額がc円であったとき、もう一方がc/2円、2c円である確率がそれぞれ1/2である。
という命題が「任意の」正の実数cに対して成立する。」
この確率分布は実現不可能。「任意の」というのが重要。

284:240
10/03/14 18:51:02
後半について
（＊）「(10000、20000)という確率が1で、それ以外の確率が0である確率分布。」
これは問題の命題を満たしている。
そしてこの場合は一方が10000円ならもちろん封筒を交換した方が得。
（確率分布が与えられれば、それにしたがって計算すれば、どちらが得かが分かる。）

285:186
10/03/14 19:11:35
>>281

>上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
>この問題の命題を果たしていないことになるかどうか
なると思います。
ただ、これで一体何が説明できるのでしょうか。

この問題でもめているのは（＝みなが興味あるのは）、一見できないはずのことに限りなく近いものを構成できることではないのでしょうか。

元の問題に近づけるために、1250*2^n(n:1からN)の系列を考えます。
このとき、両端(2500と2500*2^N)の2つを引かない限り、条件付確率により交換により1.25倍になります。
Nを必要なだけ大きくすることにより、限りなく1に近い確率でこの状況を発生させることができます。
（N=2*10^10にすれば、99.99999999%の確率）

単に「構成できない」から意味が無い、というだけでないところがこのパラドクスの面白いところだと思います。

286:7
10/03/14 19:17:58
>>279
こちらの意図が伝わらなかったようだが、お互いの前提のどこが
食い違っているのか確かめるために質問させてもらった。
＞こんな説明
というぐらいなら、中途半端にしないでちゃんと説明して欲しかったが
おそらく「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」というのは
￢∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
(Rは実数全体の集合,Nは自然数全体の集合とする)
を意味しているのだと思う。一方私は
∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
を考えていた。どっちの式も真であるが、違いは歴然。
違うことを前提にしているのだから、食い違って当然だね
というだけのお話。

>>281
＞上記において封筒を（10000、20000）しか用意しなかったとして
私も問題ないと思うけど、どういう意図なのか
＞解釈の統一
とはどういうことなのか、いまひとつわからない。

>>282
確かに
＞「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率だ」
＞と、思い込んでしまう事
はよくある間違いのひとつではあるけど
「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
という問題を考えること自体は問題ないことは、一応言っておこう。

287:１３２人目の素数さん
10/03/14 19:29:27
>>283
cは勝手に与えられるとするともう一方がc/2円、2c円のような試行を用意することはできる。
cの封筒2つを提示して相手に選ばせた後に（といっても相手はcしか選べないが）残りの封筒を
2ｃの封筒とc/2の封筒のどちらかとすり替えればいい。

288:１３２人目の素数さん
10/03/14 19:36:41
>>286
>「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
>という問題を考えること自体は問題ないことは、一応言っておこう。

考えることは自由だけど、その問題は構成できないことが上で散々言われてるわけだが。

289:１３２人目の素数さん
10/03/14 19:59:12
そういう確率空間が作れないんだよね

290:7
10/03/14 20:04:51
>>288
違う違う。
構成できないのは
「最初にどんな封筒を選んだとしても常に他方の封筒の金額の期待値が高くなる様な金額組の確率分布」
であって
「1000円の封筒を見た時に、他方の封筒の金額が500円であるか2000円であるかは等確率」
となる問題なんてはいっぱいあるでしょ。
上の意味で構成できないと言うなら、区別が付くようにちゃんと書いてくれってことだよ。

291:１３２人目の素数さん
10/03/14 20:24:03
1回だけ封筒選ぶ時は期待値は意味を成さないんだよな。
問題文でその辺ちゃんと書いておいた方が良いのかもしれないが。

292:１３２人目の素数さん
10/03/14 20:29:35
期待値＝1.5x=(10000+x)/2=5000+.5x>10000->x>10000

293:240
10/03/14 21:00:36
>>287
それは>>1の問題の仮定と矛盾している。
まったく別の問題を考えていることになるだろ。

294:240
10/03/14 21:22:46
>>286
>一方私は
>∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
>を考えていた。
数学のどこかの分野では、こんな解釈をすることがあるのかい？
>￢∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
少なくとも解析ではこちらが常識だろ。
しかも文脈も考えればこれしか考えよう無い。
こんなしょうも無い考え違いをする人に、
>中途半端にしないでちゃんと説明して欲しかったが
とか、
>ただ、「x+x+x+x+,,,=1を満たす実数xは存在しない」という表現は
>あまりよろしくないとは思うよ。x+x+x+x+,,,=1が何を意味するのか
>明確にするか、別の表現に直した方が適切だと思う。
とか言われたくないなぁ、、、

ちなみに、君の考えた論理式は真ではあるが、無駄が多い命題だね。
なぜなら、任意の自然数mに対して、x=1/mと定義すれば、mx=1だからね。

295:s5179
10/03/14 21:43:12
>>294

「封筒に自然数が書かれたカードが一枚入れられている。どの自然数が書かれているかは同様に確からしい。」
このような問題設定はありえない。
なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。
確立の全事象が起こる確率は1なので、
x+x+x+x+,,,,,,=1
これはありえない。

と

ちなみに、君の考えた論理式は真ではあるが、無駄が多い命題だね。
任意の自然数mに対して、x=1/mと定義すれば、mx=1だからね。

は、上で否定したことを下で肯定しているように見えるのですが
どう理解すればよろしいか？

296:240
10/03/14 21:45:18
>>285
気づいているとは思うが、
>限りなく1に近い確率でこの状況を発生させることができます。
その代償として、2500*2^Nを引いた場合に交換すると大損をすることになる。
このように「ほぼ確率１で得する代わりに、非常に少ない確立で大損する」
というタイプのパラドックスはいろいろある。
「ギャンブルで負けたら倍額かけ続ければ絶対得する必勝法」とか
「土地を買った額より高く売ればすべての人が儲かる（バブル）」とか

いづれにせよ、封筒一つの場合は大して目新しいアイデアは無いし、
議論するほどの問題じゃない。封筒を二つにしたことによって、
「常に、もう一方の封筒の金額が倍になる確立と半分になる確率が等しい」
というありえない設定を自然に受け入れさせる点がこの問題を作った人の上手さだと思う。

297:240
10/03/14 21:51:30
>>295
任意の自然数mに対して、
1/m+1/m+1/m+,,,,は∞に発散する。

1/2+1/4+1/8+,,,=1
は知ってる？

298:s5179
10/03/14 22:20:10
>>297

1/2+1/4+1/8+,,,=1
うい、知ってる。

1/m+1/m+1/m+,,,,は∞に発散する
なんで？発散するの？マジ？あれ？
x=1/mと定義すれば、mx=1とどこがちがうの？
わからんよ

299:7
10/03/14 22:28:44
＞無駄が多い
って比較しやすいようにわざとそう書いたから、もちろんこちらも承知しているよ。

>>1は賞金の確率分布が決まっていないから、期待値はわからない
という>>240の主張はこちらも同意してるし、>>240の３の意味では
￢∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
が正しいよ。

>>296に
＞「常に、もう一方の封筒の金額が倍になる確立と半分になる確率が等しい」
＞というありえない設定を自然に受け入れさせる点がこの問題を作った人の上手さだと思う。
とあるけど、他の人もこのような考えが多数派みたいだね。だけど
私はそう思わなかった(今では少しはそう思うにはなったけど)から
240(や同じようなことを考えている人)とは違うことを考えているだけ。
でもそれは240(やその他の人)にとっては興味のない別の問題。それだけのことだよ。

>>295
ちゃんと理解したいなら論理の勉強をすることを勧める。
∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N,∃x∈R[m>=n⇒|mx-1|<ε]
の∃x∈Rは∀m∈Nの後ろに書いてあるから
xはmに依存して決めてよいので、x=1/mと定義できる。

∃x∈R,∀ε>0,∃n∈N,∀m∈N[m>=n⇒|mx-1|<ε]
の∃x∈Rは∀m∈Nの前に書いてあるので
xはmに依存してはいけないから、x=1/mと定義できない。

300:s5179
10/03/14 22:52:26
>>299

解説有難う
半分ぐらい理解出来たかもしれません。

じゃあ同数の封筒を用意しようよ。でOK？

301:１３２人目の素数さん
10/03/15 00:57:38
186氏の>>285にあるように、「交換により1.25倍（近く）」になる系で
パラドックスについて考えてみた。その結果分かったことは、

１回毎の期待値が1.25倍（近く）であっても、各回のベース金額が毎回違うので
期待値を平均したものには何の意味もないってこと。
上界（下界もだが）のイレギュラーが金額の期待値に大きく利いてくる。

まとめると、
倍率の期待値：交換により1.25倍（近く）になる。
金額の期待値：交換前と交換後は同じ。

結論：倍率の期待値って無意味？

302:１３２人目の素数さん
10/03/15 01:00:46
>>268
金額の定義域全体を　k*2^n　で表される集合の集合としてとらえ直すわけだな。
金額が１：２という条件からは、そのように扱うことが要請されるわけだから。
そこに納得がいくかどうかが一つの大きな壁

・封筒の作成方法
　0～N-1（N:任意の自然数）のなかから、1/Nの確率でひとつの自然数nを取り出す
　このnを使用し、（2^n、2^(n+1)）の数値が入った大きい封筒を作る
ここで少々ズレが生まれる

ｘとｙが一対一で対応しているｙ＝ｆ（ｘ）において
ｘとｙを同じ扱い方をしているという誤り

303:１３２人目の素数さん
10/03/15 01:05:50
>>301
無意味ではなく、ただ別ものなだけ。

太郎君の体重を知りたいときに
太郎君との体重の関連性が全くない次郎君の体重をはかるのは無意味だが
次郎君の体重を知りたいのならば次郎君の体重をはかることには意味がある

倍率の期待値が無意味なのではなく
倍率の期待値を使わない時に倍率の期待値に注目するのが無意味

304:s5179
10/03/15 05:45:32

可算無限集合の考えで大変大きな間違いしていました。

有限集合と混同して大きな封筒組の大きい側を引けないと考えていました。
「12500派の人って4/5∞の値の封筒引けないジャン」のような考えを持っていました。

期待値は1.25倍を受け入れさせて頂きます。

ご指摘、本当に有難うございました。

305:１３２人目の素数さん
10/03/15 05:49:20
道具は使い方を知ってから使った方がいいよ
生兵法はケガの元で済めばいいが
迷惑の元にもなるから

306:s5179
10/03/15 05:55:57
>>302

そのkは試行を繰り返す場合は初めの試行で決定される「未知数」でしょうか？
それとも試行の度、変る変数でしょうか？

変数でしたら変域を書き込んだ方がよいのでは？

そのあとで考えをお聞かせください

307:１３２人目の素数さん
10/03/15 06:08:36
言葉遊び健在

308:240
10/03/15 06:16:40
>>298
1/2+1/2+1/2+,,,は∞に発散
1/3+1/3+1/3+,,,は∞に発散
1/4+1/4+1/4+,,,は∞に発散
任意の自然数mに対して
1/m+1/m+1/m+,,,は無限大に発散

1/2+1/2=1
1/3+1/3+1/3=1
1/4+1/4+1/4+1/4=1
任意の自然数mに対して
1/m+1/m+,,,+1/m=m*1/m=1
(ただし、m個足した)

309:s5179
10/03/15 06:43:21
>>308

240さん解説ありがとう、やっと理解できました。

310:240
10/03/15 07:00:48
マルチンゲール法
URLﾘﾝｸ(zaq19.livedoor.biz)
サンクトペテルブルクのパラドックス
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)サンクトペテルブルクのパラドックス

311:240
10/03/15 07:07:43
一つはちょっと怪しげなサイトですまないが、リンクしてみた。
（多くの人は知っていると思うが、）
この手のパラドックスを常識として知った上で、
二つの封筒を議論する方が良いと思うので。

312:１３２人目の素数さん
10/03/15 07:11:10
自然数限定や上限を設定するのは
本来の問題とは別の問題にしてしまうことになると思うが
確かに実際に払えるかどうか、封筒に入るかどうか、どのくらい得と感じるかなどに
話題が向かってたこともあったから
脱線を防ぐためにも知っておくことは無駄ではない

313:240
10/03/15 07:53:30
>>296にも書いたが、
「ほぼ確率１で得する代わりに、非常に少ない確立で大損する」
というタイプのパラドックスは昔から知られていて、
この部分は「二つの封筒」特有の面白さでは無いということ。

いかなる確率分布に従って封筒にお金を入れたとしても、
初めに封筒を選んだとき、
その金額がもう一方の半分である確率は1/2。
よってもう一方の封筒の金額が２倍である確率も1/2。
しかし、上で述べたとおり、
「任意の金額c円に対し、
選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
という確率分布は存在しない。
これが、「二つの封筒」の問題特有の面白い部分だと思うのだが、、、

314:s5179
10/03/15 07:58:12

＜＜初めに封筒を引き導きだされた期待値に意味を持たせる＞＞

これを考えようとしたときに

「初めの封筒を引き、出た金額を支払い、他方の封筒を引く」

と言う実験をしてみようとしたところ。

すべての封筒組が等確率で引けるのであれば
10000円を先に引いた場合
「10000円を賭け1/2の確率で5000円に1/2の確率で20000円に」の賭けと同義で（1円除く）
これは「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で10000円に」の賭けと損得の意味では同義になる。

上は期待値が1.25倍
下は期待値が１倍

損得で同義の賭けではない？
どこかおかしいだろうか

315:１３２人目の素数さん
10/03/15 08:04:59
（1円除く）?

316:１３２人目の素数さん
10/03/15 08:08:14
>「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で10000円に」の賭けと
「5000円を賭け1/2の確率で0円に1/2の確率で15000円に」の賭けと

317:１３２人目の素数さん
10/03/15 08:08:23
>>314
＞どこかおかしいだろうか
積や比と、和や差との混同。

１と２は比が１：２です
双方に１ずつ足したら２と３です
あれ？比が１：２じゃなくなった
同じにならない？
どこかおかしいだろうか？

318:s5179
10/03/15 08:22:04
うん、もう寝起きに書き込むことは止めとくよ。

まともに頭が機能していない事が良く分りました。

319:１３２人目の素数さん
10/03/15 08:26:11
いや、単なる寝ぼけミスにとどまらず
本質をついてる間違いといえる
図らずもわかりやすいカリカチュアになってるおかげで
本質が見えやすくなってるな

320:s5179
10/03/15 08:27:33
いや、損得の意味で

上も下も-5000円と＋10000円、確率1/2で合せてみました。

やはり低血圧なので朝の書き込みは信用ならない・・・
仕事に出ます・・・・

321:s5179
10/03/15 08:30:36
>>319

さん、そうですよね、間違ってないですよね
遅刻する・・・

322:１３２人目の素数さん
10/03/15 08:42:13
>>320
支離滅裂だな

とりあえず改めて>>317参照すべし
損得は「差」、何倍というのは「比」

0円を賭けて1/2の確率で－5000円、1/2の確率で+10000円
期待値は+2500円　
さあこの場合はどうする？何倍？

損得で差を一定のままにするなら
必ず最初の金額+2500円になり
最初の金額次第で比は変わってしまうのは当然なのだが、
このような混同に無自覚な部分が多い

323:１３２人目の素数さん
10/03/15 14:20:07
>>313
そうそう

選んだ封筒が大きい方である確率は1/2だけど、

＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。

これはあくまで、金額に依存する確率

極端な例を挙げると
金額組が(100,200)だけの分布を考える
封筒を一つ選ぶ
この時選んだ封筒が大きい方である確率は1/2
中身を見ると、100円であった
この時選んだ封筒が大きい方である確率は0←これが「金額に依存する確率」

324:s5179
10/03/15 18:30:20
>>322

＞0円を賭けて1/2の確率で－5000円、1/2の確率で+10000円
＞期待値は+2500円　
＞さあこの場合はどうする？何倍？

何倍でしょうね、分かりません。

【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
が分かれば結構です。

「期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？」

を「きちんと調べないと分かりません」と答える事が出来ます。

少なくとも私が感じていたパラドクスは、「初めに引いた10000円＜他方の封筒の期待値12500円」で引いたほうが得、
他方を初めに選んでも期待値1.25倍でまたその他方を引いた方が得、
なんだったら引く前から、一方を選んでその他方の方が得だったので。

325:１３２人目の素数さん
10/03/15 22:35:56
ぜんぜん前のレス読んでないけど，
開封する封筒をＡ，開封しないＢとして，
合計で　３ａ円　入っているとすれば　
Ａ，Ｂの期待値はともに　１．５ａ円　で
開封前なら　どっちを選んでも損得はないよ。
開封後は　期待値が　Ａ　10000円　Ｂ　12500円　で
Ｂ　を選んだほうがお得だよ。
条件付き確率って高校で勉強しただろ？
そんなことよりさー
ブラックジャックで効果的なカウティングの方法でも考えて教えてくれよ。

326:１３２人目の素数さん
10/03/15 22:41:31
>>325
>開封後は　期待値が　Ａ　10000円　Ｂ　12500円
これが任意の金額aについて成立するようなaの確率分布は存在しないんだ！

っていうのが最近のこのスレのトレンド

327:240
10/03/15 23:06:57
一般的な意味での損得は主観的なものであって数学的概念ではない。
ギャンブルや保険は基本的に期待値が「損する」ように設定されているのにもかかわらず、
多くの人がよろこんでそれをする。つまり、その人にとってはギャンブルをしたり保険に入ることが得だといえる。
ただし上記の「損する」とは、単に（掛け金と得られる金額の期待値の）差額が負であるという意味で使っている。
このように限定された意味（数学的に定義できる意味）でならば数学において用いても構わないが。
明らかに意味が分かる場合をのぞいて損得などという言葉を使うべきでない。

>10000円を上回っても損か得かは分からない
ここでの損得の意味は何？

>>1の問題における「得」という言葉は単に（期待値の）差が正という意味で使われている。
つまり、「期待値は12500円となり、もとの金額10000円より大きくなる。これは正しいか？」
という意味です。
そして、すでに何度も書かれていることですが、期待値は（一般には）12500円にはなりません。だから正しくない。

なんだかこのスレは「二つの封筒問題スレ」ではなく、確率や数学の初歩の初歩について議論するスレのような気がする。

328:１３２人目の素数さん
10/03/15 23:28:12
>>324
損得にもっていったあと
何倍になるかを考えた理由は？

329:s5179
10/03/16 00:01:26
>>324

すみません、質問の意味がわかりません

パラドクスは
初めに引いた10000円＜他方の封筒の期待値12500円」で引いたほうが得、
他方を初めに選んでも期待値1.25倍でまたその他方を引いた方が得、
なんだったら引く前から、一方を選んでその他方の方が得だったので

の文の後半が1.25倍なのは5000円が入っているか20000円が入っているか分らなかったからです。
質問に答える事が出来ましたでしょうか？

>>325

240先生、まだこんな事を言ってる子がいます。

引く子視点で見た場合、初めの封筒を引く前は期待値は全く不明です。
設問>>1だったら、期待値7500円or15000円なのか、引く子には全く分らないと思います。
325君は親視点と子視点を混同しています、注意して下さい！！
あと僕の理論を体育の時間に盗みました、返して下さい！！

330:240
10/03/16 00:25:23
>>329はアンカーミスか？
【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
これってどういう意味？
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が得に決まっているだろ？
（ただし、ここでの「得」の意味は「期待値の金額が大きい」という意味です。）

331:１３２人目の素数さん
10/03/16 00:26:49
>>329
ふざけるスレだと表明する気がないなら
いちいちふざけるな

332:s5179
10/03/16 00:58:26
>>330
>>324　としたのはアンカーミスです。
>>328　でした、すみません

あと
他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が得に決まっているだろ
（ただし、ここでの「得」の意味は「期待値の金額が大きい」という意味です。）

得＝期待値の金額が大きい

なので代入して

他方の封筒の期待値が10000円を上回るなら、もとの封筒より他方の封筒の方が期待値の金額が大きいに決まっているだろ

「自明」の説明をして頂いたのでしょうか？

>>331
すみません内容は、ふざけていないつもりなのですが、表明しておきます

たまにふざけます、ご容赦下さい

333:１３２人目の素数さん
10/03/16 01:03:09
>>332
それで、損得にもっていったあと
何倍になるかを考えた理由は？

334:s5179
10/03/16 01:08:53
>>330

あれ>>314てやっぱり間違えてるね。

朝の書き込みは自粛します。

335:s5179
10/03/16 01:10:40
>>333

もう寝ていい？

336:１３２人目の素数さん
10/03/16 02:10:57
親視点とか子視点とか
なんて不自然な考え方

あるのは情報＝値＝引数
とその関数だけ。
コンパクトに考えよう。

337:１３２人目の素数さん
10/03/16 02:43:29
あえて不自然な砲で考え続けることを選んだ人用のスレです

338:s5179
10/03/16 03:02:56
>>>336

了解

幾何＋濃度を使ってみると

必ず交換すると面積が14になる。
一方ずっと交換しないだと16

なので最大値が分からない場合は交換しない戦術が有効になる。
最大値が分かれば最大値の半分が分かり
最大値の半分までは必ず交換、最大値の半分を超えたら交換しない
これにより面積が18で最大になる

均一で等確率、正の実数集合の場合、もちろん有限

説明下手だけどアイデアはあるんだ、説明下手だけど・・・仮定も、答えも、計算も間違うけど・・・

必ず交換する戦術は
値が最大値の半分までのときは負けても小さく、勝つとでかい　なので幸せ
値が最大値の半分超のときは必ず負ける例えば４万が2万に8万が4万に、ここらへんは個人差があるのかな？
4万円を見たあと２万円だとつらいけど、人によっては8万の夢が見れて２万を得たんだから十分幸せ？

240さんへ、期待値が1.25倍の時は本当に1.25倍でした・・・
重ね重ねご指導ありがとうございました

>>333 さん　絶対に許さない！！睡眠時間返せ！！

339:１３２人目の素数さん
10/03/16 03:05:18
>>310 が貼られるや
そっち方面へもきっちり迷走しはじめたね。お見事。

340:１３２人目の素数さん
10/03/16 03:15:02
問題の解を探している内に問題を忘れてしまった良い例ですね

341:１３２人目の素数さん
10/03/16 03:21:48
>>337
抽象が思考できんから
具体的な試行やその条件整備ばっかに時間をとられて
その過程でつけた余計な条件のせいで
間違った答えを生み続ける

そういう道を辿る人が何人もいるな

342:240
10/03/16 06:20:09
>「自明」の説明をして頂いたのでしょうか？
そうだよ。

で、三度目の質問だ。

【>>1の問題で他方の封筒の期待値が10000円を上回っても損か得かは分からない】
これはどういう意味？ここでの損得の意味は？

343:240
10/03/16 06:43:52
>説明下手だけどアイデアはあるんだ
ちょっと考えると、「こうしたら良いんじゃないか？」ってアイデアが
100くらいは思いつく。しかしそれらのほとんどが、すぐに無意味な考えであると分かる。
残ったいくつかについても、良く吟味してみたら、無意味であったり、間違っていたり、、、
本当に良いアイデアだと思えるものは100に一つも無い。
それすらも、他人に話してみたら、「それは既に知られている考えだよ」と言われる。
そういうものだ。

もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。

344:240
10/03/16 07:12:38
「二つの封筒問題」はとても良く出来た面白い問題だ。
>>323の例のように、
中身を見た段階でそれ以前の確率と変わることは当たり前なことなのに、
「封筒問題」では、中身を見た後も1/2のままだと思わされてしまう。
「確率分布の情報が何もないから1/2だ」とか
「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」
などの誤った考察に導かれてしまう。
これがこの問題作者の上手いところだ。

そこで私は、封筒の中身を見ないことに決める。

345:240
10/03/16 07:20:48
「中身を見なければ、」
他方の金額の方がが選んだ封筒より大きい確率は1/2だ。
つまり、他方の金額が選んだ封筒の金額の２倍である確率は1/2だ。
もちろん、他方の金額が選んだ封筒の金額の1/2である確率も1/2だ。
よって、「中身を見ないで」、選んだ封筒を変えれば期待値が1.25倍になる。

まぁ、ただのジョークだがね。

346:１３２人目の素数さん
10/03/16 07:27:19
中身を見ることと、任意の正の実数をコールすることを等価に考えちゃうんだろうね。

347:240
10/03/16 07:36:20
正解が早すぎる、、、混乱された人の書き込みを期待していたのに、、、

348:１３２人目の素数さん
10/03/16 20:50:15
>>326
その、分布は存在しないという証明に
このスレで

＞　なぜなら1が入っている確立をxとすると、2が入っている確立、３が、４が、、、全てxとなる。　
＞　確立の全事象が起こる確率は1なので、　
＞　x+x+x+x+,,,,,,=1　
＞　これはありえない。　

このような説明がなされているけれども、
もしかしてこのスレでは、連続一様分布は存在しないという立場なの？

349:１３２人目の素数さん
10/03/16 20:53:00
>>336
親視点　子視点そのものは不自然でもなんでもない。
この問題は子視点の話であって
親視点と混同していると違う問題になるというだけ。

350:１３２人目の素数さん
10/03/16 20:55:10
>>344
＞　「上限もなく、一様に金額を入れるという仮定のもので考えてるから1/2」　

上限がないことそのものには問題はないと思うんだが、
なぜあえてそのような書き方にしているのだろう？

351:240
10/03/16 21:49:23
>>348
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)連続一様分布
連続一様分布はもちろん存在する。しかい、上限の無い連続一様分布は存在しない。
連続一様分布U(a,b)の確率密度関数の値は1/(b-a)
上限がない、つまりb=無限大のときこれは意味をなさない。

>>350
上限が（たとえば）100円のとき、一方の金額が90円なら、
他方の金額が二倍である確率は0。
確率1/2だという（誤った）結論を導くためには、上限が無いという条件が必要。

352:１３２人目の素数さん
10/03/16 22:11:05
学がない人（俺も）でも正解にたどり着くチャンスは十分にある。
逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
学がなくて　かつ　現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。

353:１３２人目の素数さん
10/03/16 22:19:19
＞逆にいうと間違いをさまよい続ける人は
逆必ずしも真ならず。

＞現実に置き換えてみる労力を惜しんでいる人だろうね。
現実に置き換えるのは危険な行為。数学から離れて
奇妙キテレツな哲学に変化して間違いの上塗りを繰り返す
可能性が高い。

学が無ければ学を身につければよい。

354:352
10/03/16 22:31:10
現実に置き換えてみるって言っても大したことじゃないよ。

Ｑ１　無限集合から何かを等確率で選ぶことが可能か？

→上で散々言われているように不可能。よって、有限集合を考えざるをえない。

有限集合で、上限の数字と下限の数字は１枚、以外の数字は２枚の紙を用意する。
ただし、それぞれにはペアの数字も（小さい字）で書かれている。
これらの紙をルーレットに貼り付けて統計を取るとする。

Ｑ２　十分に上限を大きくすれば、ルーレットで出た数字と、そのペアの数字の比は
1.25であるか？

→NO。単なる統計のマジックでそんな気になるだけ。ペアの数字のほうで統計
とってみればよく分かる。

Ｑ３　それでも1.25が正しい気がする。

→比の平均を考えていませんか？何かの前提がないと比の平均は無意味です。
例：ある会社に事業部が２つあり、
Ａ事業部は前年比売上110％、Ｂ事業部は前年比売上105％だった。
この会社全体の前年比売上は何か考えてみてください。

355:326
10/03/16 23:30:16
>>351
前半
そこは本質じゃないと思う

封筒の金額を(A,2A)と置く。
この時選んだ封筒の中身の期待値は
1/2 ( A + 2A ) = 3A/2
他方の封筒も同じ
つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
この命題を(1)としよう

もうこの時点で
＞「任意の金額c円に対し、
＞選んだ封筒の金額がc円のとき、もう一方が２倍である確率が1/2である。」
＞という確率分布は存在しない。
っていうことの証明になっている。

なぜなら、
選んだ封筒の金額がc円であった時、もう一方の封筒の金額が2c円である確率をP(c)とする
このとき他方の封筒の期待値は　(1 - P(c) ) * c/2 + P(c) * 2c で表される。コレを式(2)とする。

(1)は前述の通り金額に依存しない命題です。一方、式(2)は金額=cの場合の「条件付き確率」。
ここで、金額=cの条件を外して、封筒の期待値を求めるにはどうすればいいか？
選んだ封筒の期待値は　　「 c * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの　」　。
同様に、他方の封筒の期待値は「　式(2) * (cの出現確率) をcの定義域全体で積分したもの　」。　この二つは(1)より等しい。
なんで下の式も(cの出現確率)を掛けているの？って思うかも知れないが、今は行数不足で書ききれない。理解できなかったら質問してくれ。

もしP(c)が任意のcに関して1/2だとしたら、(2)は 5c/4　と書ける。よって積分の結果は明らかに等しくならない。つまりP(c)が任意のcに関して1/2になることはない。

>>336で親視点とか子視点が不自然って言ったのはこういうこと。
詳しく読んでないから違うかもしれないけど、子視点ってつまり「金額=cの場合の条件付き確率」でしょ？
金額で積分しちゃえば親視点（？）になるんだから、分かりにくい考え方だと思うけどなー。

356:326
10/03/16 23:43:22
すまん
＞つまりAの値や「封筒の中身がAである確率」によらず、どちらの封筒を選んでも期待値は等しい。
は語弊があるかもしれない。
どう言ったらいいか分からない。
(2)の金額=cという条件を取り去る（積分して均す）と(1)と同値になるっていうことが言いたかった。

もっと明快な説明が出来るように統計学の教科書引っ張り出して統計学の言葉で証明してみるわ。
暇なときに。

357:１３２人目の素数さん
10/03/16 23:48:07
>>343
＞もし真剣に数学をやりたいなら、もう少し考えてから発言した方が良いと思うぞ。
ここは考えない人用スレ。
数学的な準備が整ってないにもかかわらず
まず準備を整えろという忠告に従わない人が最終的に残った隔離スレ。

いくらかログを追えばすぐ分かると思うけど。

358:１３２人目の素数さん
10/03/16 23:50:24
>>353
元の問題から乖離したことに無反省無自覚なまま
そういう奇妙キテレツな試行を次から次に考えるというのが
このスレに残った人にほぼ共通する傾向だな

359:１３２人目の素数さん
10/03/16 23:52:30
>>358
俺のことか？

360:352
10/03/17 00:38:15
このスレはIDないから、俺って言っても分からんのか。面倒だな。

361:7
10/03/17 01:09:16
ちょっとまた質問、というかアンケート。
>>1とは全く別の問題で、しかも金額の確率分布が有限の問題なんだけど
次のゲームを考える。

Nは２以上の自然数とする。
賞金の組は{2500*2^n,5000*2^n}(n=1,2,3,…,N)のどれかで、どれが
選ばれるかは同様に確からしいとする。賞金の組が決まり、金額を２つの封筒に
入れる。参加者A君に、一方の封筒の中身の金額を確認させる。
(確認させる封筒をどちらにするかは、同様に確からしいとする)
A君が確認すると金額は5000円,5000*2^N以外の金額であった。
この時、A君は交換した方が良いか？
交換してもしなくても同じか？
それ以外か？

362:１３２人目の素数さん
10/03/17 01:15:04
>>361
＞この時、A君は交換した方が良いか？
こういう書き方すると、「A君にとって、確実にもらえる10000円を5000円に減らしてまで20000円を狙う理由があるか分からない」とか言われるよ
「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？

363:１３２人目の素数さん
10/03/17 01:21:02
>>361
>5000円,5000*2^N以外の金額であった。
変な表現だな。なんかの間違いだろ。

364:１３２人目の素数さん
10/03/17 01:24:46
やっと分かった。最小と最大を除外したのか。
交換すると1.25倍になる。

365:１３２人目の素数さん
10/03/17 01:25:28
期待値で計算するとね。

366:240
10/03/17 01:35:02
>>355
君の計算をまじめに読んでないが、
計算で矛盾が生ずることを示しても無意味だよ。

他方の封筒に変えても期待値は変わらないはずなのに、
1.25倍になってしまうという矛盾（パラドックス）はなぜ起きるのか？という問いを
考えていた訳だ。
その答えとして、
>(*)「任意の金額c円に対し、選んだ封筒の金額がc円のとき、
>もう一方が２倍である確率が1/2である。」という確率分布は存在しない。
存在しない確率分布に従って計算したから矛盾が起きたんだよ。と説明しているわけ。

さてここで、(*)を証明して見せよう。もしそのような確率分布が存在したとすると、
1.25倍の矛盾が起きてしまう。よって背理法により(*)が示せた。

この文脈においてこの証明は無意味だろ。
君のやってることも（違う計算ではあるが）同様に無意味なことだろ？多分ね。

いずれにせよ、(*)の本質は
>上限の無い連続一様分布は存在しない。
の本質と同じだよ。

367:１３２人目の素数さん
10/03/17 01:38:20
あれ？　1.25倍になること自体が矛盾なのか？
金額に上限が無いという仮定がある以上、普通に起こりうる現象だと思うんだが

368:１３２人目の素数さん
10/03/17 01:54:26
>>367
成立しない仮定は前提にできないよ。

369:１３２人目の素数さん
10/03/17 01:56:56
難しい数学を考えなくても当初の命題で、
「１万円だった」が有用な情報かどうか、有用な情報ならどう役に立ったのかを
考えれば、期待値：12500　はなんかおかしいぞ？と思うのが正常な人間。

370:240
10/03/17 01:58:01
>>354はあまりにむちゃくちゃすぎて、
なんて突っ込みを入れれば良いのか分からんなぁ。

371:367
10/03/17 02:02:44
>>368
いや、金額に上限が無いというのは成立しない仮定ではないよ
金額に上限のない一様分布はありえないけど、一様分布でなくて良いならいくらでもある

372:7
10/03/17 02:09:44
>>362
＞「交換した方が期待値が大きいか？」みたいな書き方にしとけば？
そこはわぞと濁してあるのだけど
一応、訊き方を変える。

交換後の金額の期待値が交換前の金額の1.25倍であることは
A君が交換するかどうかの判断に
関係があると思う？

373:１３２人目の素数さん
10/03/17 02:10:52
>>370
そうか？中学生にも分かる説明を考えたんだが。

374:１３２人目の素数さん
10/03/17 02:12:23
>>372
さっきは条件追加してたのに、今回はそこを濁すのか？
はっきり書けよ。ズルイ奴だな。

375:7
10/03/17 02:26:09
>>374
正しいか正しくないかではなくて、
どう思っているかを訊きたいから、訊き方を変えただけ。
ズルイ奴であることは認める。

ところで、"さっき"ってどれのこと？

376:１３２人目の素数さん
10/03/17 02:36:12
金額が全部分かってる観測者を置いても変わらない。
判断が関係あるってのはオカルトだね。

377:１３２人目の素数さん
10/03/17 02:57:47
>>366
No
コメントするなら、ある程度読んでからにしてくれ
と言っても、かなり読みにくいのは承知してる
明日、統計学の言葉で書き直すから待ってて。

次ページ