こんな確率求めてみたいその1/8

こんな確率求めてみたいその1/8 at MATH

1:１３２人目の素数さん
10/02/13 08:38:09
むやみに「～の確率は？」という質問をすると、
白痴呼ばわりされて無用の反発を招いてしまいます。
よって新スレ立てたり、他の質問スレに書くよりも、
なるべくこちらにお願いします。

前スレ
こんな確率求めてみたいその1/7
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

１：ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
２：ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
３：ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
４：ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
５：ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
６：ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

2:１３２人目の素数さん
10/02/13 08:52:44
今日の日本の経済状況を仮定したとして、日本の景気が回復する確率を教えて下さい
又、その証明もお願いします

3:１３２人目の素数さん
10/02/13 10:05:42
有名どころ

・３個以上の箱があり、当たりは１つだけ。
挑戦者が箱を一つ選ぶ。
どれに正解が入っているか知っている司会者が
はずれの箱を除外していき、挑戦者が選んだ箱を含め２箱の状態にしてくれる。
このとき、挑戦者は自分が選んだ箱のままにしておくのと
もう一つの箱を選び直すのとどちらが有利か？

・３枚のカードがあり
１枚は裏表ともに白　１枚は裏表ともに黒　１枚は片面が白、片面が黒。
この３枚のカードのうち１枚が机に置かれている。
白の面が見えているとき、裏面が白である確率は？

・５２枚のトランプからまず３枚を抜きとって見ずに保管しておく
残り４９枚から１枚取り出して、まだ見ないでおく。この４枚目がハードである確率は1/4。
次に保管しておいたカードを見ると、３枚ともハートだった。
このとき４枚目のカードもハートである確率は？

・２つのお年玉袋があり、中に入っている金額は１：２である。
一方を選んで中を見ると10000円だった。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？

4:１３２人目の素数さん
10/02/13 10:44:10
＞４枚目のカードもハートである確率は？
なかなかハードですな。

5:１３２人目の素数さん
10/02/13 12:27:43
>>3
・もうひとつの箱にする
・2/3
・1/4
・正しい

6:１３２人目の素数さん
10/02/13 13:03:50
・もうひとつの箱にする
・2/3
・10/49
・正しい

最後の問題は
中身を見ないうちに「他方にかえたほうが元の1.25倍の期待値になる」ことが
おかしいかどうかを問う問題なら有名だが
ここに挙げてある問題はそれとは別物になってしまってる

7:１３２人目の素数さん
10/02/13 16:39:44
>>5
その理屈だと、
・５２枚のトランプからまず13枚を抜きとって見ずに保管しておく
残り3９枚から１枚取り出して、まだ見ないでおく。この1４枚目がハードである確率は1/4。
次に保管しておいたカードを見ると、1３枚ともハートだった。
このとき1４枚目のカードもハートである確率は？
こういう問題だと明らかに0になるのにおかしいよね。

8:１３２人目の素数さん
10/02/13 22:57:43
ある繰り返しの試行について以下の条件がつきます
１．１回目は必ず成功する
２．１回成功するとそれ以降の成功確率はそれまでの1/2になる

この試行をn回繰り返した時、成功回数の期待値を求めたいのですが

n回目の平均成功確率をa_nとしたとき期待値はΣ[k=1,n]a_k
a_1=1
a_(n+1)=a_n-(a_n)^2/2

までは求まったのですがここからが分かりません
この続きまたは別のエレガントな解を教えてもらえるでしょうか

9:１３２人目の素数さん
10/02/14 02:02:44
>>5,>>6
何故>>3の最後の問題がそうなるか教えて欲しいです。
似た別の問題を解く時の助けにもしたいので、特に推論の前提、仮定を
詳しく教えていただきたいです。

例えば問題文には、袋を開ける前の賞金総額の分布についての情報がありませんが
本問の推論には袋を開ける前の賞金総額の分布は関係ないのでしょうか？
もし関係があるのなら、なにか特定の分布を仮定したのでしょうか？
(各実数が等確率ででるような一様分布,世界の富は有限であることや１億円より２億円は出にくい
だろうというある意味で現実を考慮したような分布,賞金総額が15000円である確率が5/6で20000円
である確率が 1/6となっている分布,etc.)

10:１３２人目の素数さん
10/02/14 02:46:37
>>9
・司会者が当たりの入っている箱を勘違いしている確率は０である。
・カードを机の上に置くときに、表を上にして置く確率も
　片面が白、片面が黒のカードの表が黒の面である確率も1/2である。
・抜き取る前の52枚のトランプが、直前に７ならべを遊んだ後に、特にかき混ぜられる
　ことなく置かれていたうえに、抜き取ったカードは上から順に選んだりした確率は０である。

問題文には書かれてはいないが、回答者はその程度くらいの仮定をしたうえで、回答をしている。
何も書かれていないものは、等確率だと考えるのが一般的なようだ。
（ただし、何が何に対して等確率なのかが解りにくい問題文も存在する。）

もちろん、お年玉を用意したばあちゃんはケチだから２万円を入れることは考えられない、
などの情報が別にあれば、期待値は別のものになる。

ところで、
　最初のお年玉袋から１万円が出てきたときは、別の袋を選ぶほうが特になる
（期待値が掛け金より高くなる）と考えているようだが
では、
1)　出てきた金額が１万円ではなく、別の金額であった場合はどうか？
2)　出てきた金額によって別の袋を選ぶほうが特にならなくなることはあるか？
3)　結局いくらが出てこようが交換したほうが特になるということで間違いないか？
4)　ということは中身を見なくても、交換したほうが特になるということか？

簡便のため、　出てくる金額は０以上の実数とする。

11:１３２人目の素数さん
10/02/14 02:50:21
>>10
>>5でも>>6でもないが、
>>3への回答が「正しい」が正しいと仮定するなら
>>10の1～4も全て「正しい」となりそうだな

12:１３２人目の素数さん
10/02/14 02:50:59
＞　何も書かれていないものは、等確率だと考えるのが一般的なようだ。　

ここは少し誤解を生みやすいかもしれない。

書かれていないことがおこる確率は０。　
起こることは書かれていて分布が書かれていない事象は等確率。
と書くほうがよいかな。

13:１３２人目の素数さん
10/02/14 02:54:18
>>10

誤字

特　→　得

14:１３２人目の素数さん
10/02/14 03:18:50
>>6
別の例だと言っているが、1000円の場合と>>10の言う　4)との間の
どこで別の例になるのだろうか？

15:１３２人目の素数さん
10/02/14 03:23:48
すまん1000円じゃなくて10000円か。

0)　　10000円のとき　→　正しい
1)　　他の金額のとき
3)　　結局どんな金額が出ても　
4)　中身を見なくても　→　おかしい

0)　は正しく　　4)がおかしいとしたら　どこにその境界があるのだろう？

16:１３２人目の素数さん
10/02/14 07:42:32
>>15
最初に出るのが大きい値か小さい値か不明。
そしてどんな値が出ていてもその値の倍や半分が等確率で出る。
この仮定だったら 0)も 4)も繰り返せば1.25倍になるでしょう。

17:１３２人目の素数さん
10/02/14 08:23:34
そもそもこのゲームの目的は何だ？
条件が足らなくないか
期待値を上げることなんてやめてくれよw

9000円は必須だがそれ以上のオーバーキルは無意味
という条件が設定されたときに替える人はいるのかということだ

18:１３２人目の素数さん
10/02/14 09:39:00
２つの袋A、Bとして最初にAを選んだとしたら
中身を見なければBに入ってる金額の期待値はAの1.25倍だが同時にAに入ってる金額の期待値はBの1.25倍
だからA、Bに入ってる金額の期待値は等価
交換する意味はない

Aを開いてx円入ってればA、Bに入ってる金額は(x円,2x円)(x円，x/2円)以外のすべての場合が消えるので変えた方がいい

19:１３２人目の素数さん
10/02/14 10:46:22
>Aを開いてx円入ってればA、Bに入ってる金額は(x円,2x円)(x円，x/2円)以外のすべての場合が消えるので変えた方がいい
Bを開いてても同じ事になるよな

20:１３２人目の素数さん
10/02/14 11:01:41
>>19
何を言ってるんだおまえは

21:１３２人目の素数さん
10/02/14 11:03:02
なかよくしろ

22:１３２人目の素数さん
10/02/14 11:47:24
>>20
最初にBを開いた時は変えない方がいいの？

23:１３２人目の素数さん
10/02/14 11:49:40
>>22
そらそうだろ

24:１３２人目の素数さん
10/02/14 11:52:38
>>23
え？それは何故でしょう？

25:１３２人目の素数さん
10/02/14 11:57:25
>>24
Aに入ってる金額の期待値はその1.25倍だからだよ

26:１３２人目の素数さん
10/02/14 12:09:02
ある正多面体があった。
それぞれの面に1から順に数字が振ってある。
この多面体を一度転がしたとき6の目が出た。
もう一度この多面体をふったとき出る目の期待値を求めよ。

…という問題は期待値は求まるのか？

27:9
10/02/14 12:11:20
>>10
問題文にないことを勝手に仮定するのは、あまりよろしくないと思います。
だからカードの問題ならどのカードを引く確率も同様に確からしい
などの条件はちゃんと問題に書くか、答えにそう仮定したことを書くべきだと思います。

特に本問の場合、金額の組みを{5000円,10000円}とする確率と{10000円,20000円}
にする確率は１：１であるとすることが自然なことだと思いません。
１：１であることを仮定するのなら、どこかにちゃんと明記した方が良いと思います。

私は、出てきた金額が１万円だろうといくらだろうと
賞金総額の分布がわからない時・仮定しない時は期待値の計算はできないので
変えた方が良いのか悪いのか判断できないと考えています。＞本問,1),3)

特定の分布の時(orそう仮定する時)はもう一方の袋の金額の期待値が10000円より大きいこともあるし
また別の時は期待値が10000円より低いことも、10000円になることもあります。＞ 3)

中身がわからない時はどんな分布だろうと、二つの金額の期待値はそれぞれ等しいと言えると思います
＞ (4

28:9
10/02/14 12:13:52
金額の組みを{5000円,10000円}とする確率と{10000円,20000円}
とする確率は１：１であるとすることが自然なことだと思わない理由は２つあります。
１つは世界の富が有限であるなどの事実は考慮したくなるからです。
もし袋に入っているのが金額ではなくて実数だとしても、「100が選ばれる確率よりも
√(65146)+4546624が選ばれる確率は違うだろう」と根拠はないけど心理的には考えてしまいます。

２つ目の理由は、金額の組みを{5000円,10000円}とするか{10000円,20000円}とするかの
選択が全くできないことです。どういうことかを別の例で説明します。

Ｂが３つの箱の中の内の一つにアタリを隠し、他２つをハズレとし
Ａが１つの箱を選ぶというゲームを考えます。通常,Ａがアタリを選ぶ確率は1/3となりますが
もしＢがどの箱にアタリを入れるかを意識的または無意識的に p,q,1-p-qの確率(割合)で
割り振るとしても(仮にＢが[Ａは直感で選ぶ時に右の箱を選びやすい]などの癖を知ってるとしても)
Ａがどの箱を選ぶのかを自由に決められるときは、ＡはＡがアタリを選ぶ確率を1/3にできます。
例えば公正なサイコロを投げて,1か2が出たら右を選ぶ,3か4が出たら真ん中を選ぶ,5か6が出たら左を選ぶ
という方法をとればp,qの値をＡは知らなくても、Ａがアタリを選ぶ確率は1/3になります。
このようにできる時はどのようにＢがアタリを決めるかは関係ないので,そもそも３つの箱にアタリを
が入っている確率は同様に確からしいと考えても問題ありません。

今回のような２つの封筒問題では、いくら公正なコインを投げたとしても
最終的に得る金額が２つの内の多い方となる確率を1/2,少ない方となる確率を1/2とすることはできても
賞金総額が15000円である確率と30000円である確率を1/2にはできないので
賞金総額が15000円である確率と30000円である確率を１：１にすることは
自然だとは思えません。

29:１３２人目の素数さん
10/02/14 12:26:38
>>20
え？Bを開いた時はその金額をx円としないか？

30:１３２人目の素数さん
10/02/14 12:36:25
>>29
Aを先に開くのとBを先に開くのではまるっきり排反条件だろ
Aを先に開いてx円入ってるって条件で話してんのにもしBを開いてたらって仮定つけてどうすんだよ

31:１３２人目の素数さん
10/02/14 12:52:31
>１つは世界の富が有限であるなどの事実は考慮したくなるからです
>根拠はないけど心理的には考えてしまいます

これを問題にない勝手な条件付けっていうんだよ

32:１３２人目の素数さん
10/02/14 13:18:04
正多面体は有限なので、そのうち６面以上のものについてを考えればいい。

正多面体は定義により異なるので、これ以上の計算はその定義をきめてから。

33:9
10/02/14 13:28:28
>>31
それが勝手な条件付けであることはわかっています。
私がはっきりして欲しいと思う所は、確率分布を等しいとすることは
原理的・論理的に必然なことかどうかということです。

もしそうでなはなく、感覚的・気分的に確率分布が等しいと勝手に仮定してるのなら
なんとなく世界の富が有限である～などと仮定するのと大差ないので
答えを書く時は、世界の富が有限である～など考慮したこういう分布
ならこうしたほうが期待値が高くて、賞金総額が一様と仮定したらああしたほうが期待値が高いですよ～
というような書き方をすべきであって単に、交換が得、という書き方は好ましくない
のではないかということです。

もちろん、>>28は[確率が等しいとすることが原理的・論理的に必然]でないことの証明でも
なんでもないし、[確率が等しいとすることが原理的・論理的に必然]であることが確かめられれば
>>28は全く意味のない文章になるということも理解しております。

34:１３２人目の素数さん
10/02/14 13:57:18
>>9　の主張はよくわかったが、それを徹底するつもりはない。
等確率であるなどといちいち書かないのは簡便のためであると考えるからだ。
（逆に、等確率でないような分布を考える場合は、出題者側がそのように指定する必要がある。）
ただしもちろん、いちいち書くことを否定するものではない。

ところで、今ここで問題にしているのは、
「等確率な場合に何かおかしなことが起こっているような気がする…」というような話だと思う。
もしどうしてもそれが気に入らないのなら、問題を修正してもいい。

【修正版】
２つのお年玉袋があり、中に入っている金額は１：２である。　
一方を選んで中を見ると10000円だった。　
この１万円が、安いほうの袋なのか高いほうの袋なのかは等確率であるとする。
他方の袋に入っている金額は5000円か20000円なので　
期待値は12500円となり、別の袋を選ぶ方が得になる。これは正しいか？　

35:１３２人目の素数さん
10/02/14 14:16:10
>>30
>２つの袋A、Bとして最初にAを選んだとしたら
って書いてるから「２つの袋A、Bとして最初にBを選んだとしたら」を出しただけだ
そん時は「Bを開いてx円入ってればA、Bに入ってる金額は(x円,2x円)(x円，x/2円)以外の
すべての場合が消えるので変えた方がいい」でいいんだよな？

36:１３２人目の素数さん
10/02/14 14:28:03
いやだから、どっちを先に選んでても交換したら得になるのがおかしいって言われてたんだが？

37:１３２人目の素数さん
10/02/14 14:35:01
>>35
なんだよAを選んで先にBを開くんじゃなくてBを選んで先にBを開いた場合の話かよ
そりゃ変えた方がいいにきまってる

38:１３２人目の素数さん
10/02/14 14:36:20
交換したら得になるんじゃなくて先に金額が分かった方の反対をとった方が得だって話だよ

39:１３２人目の素数さん
10/02/14 14:42:58
>>38
それもおかしな話だな

40:9
10/02/14 14:45:08
>>34
私はその、どうもおかしい気がする～という部分の原因が
まさに確率分布の所にあると思うのですが…

例えば
お年玉袋を用意する主催者Xはサイコロをなげて1,2がでたら{5000円,10000円}
3,4が出たら{10000円,20000円}、5がでたら{20000円,40000円}、6がでたら{40000円,80000円}
の袋を用意する。袋をもらう方Aが用意された２つの袋のうち、一方を選び中身を確認すると
10000円であった、という問題なら
【修正版】の"１万円が、安いほうの袋なのか高いほうの袋なのかは等確率であるとする"
という条件を満たします。
この問題の時でも、[もう一方の期待値は12500円で、変えた方がいい]はおかしい気がするんでしょうか？

金額の用意の仕方が上と同じで、Aが選んで中身を確認すると20000円だったときや
なにか別の分布(現実を考慮する分布など)を仮定した場合
"１万円が、安いほうの袋なのか高いほうの袋なのかは等確率であるとする"という条件
をみたさないことがあるのに、この条件がみたされていない可能性がある状態を
思考対象から除外しないまま、条件を仮定するから
(暗黙のうちに等確率であると仮定してるのに、そうじゃない場合も考えているから)
どうもおかしい気がするのではないかと思うのですが…

41:１３２人目の素数さん
10/02/14 14:46:29
>>39
何故？

42:１３２人目の素数さん
10/02/14 14:56:38
案件aが条件Qを満たすとする。
aについて成立する他の条件Rがあるとして
Qを満たす案件bやその他全ての案件についてRが満たされると言っていいものか？
否である。

以下とする。
案件a　=　[　サイコロをなげて1,2がでたら{5000円,10000円}…　]
条件Q　=　【修正版】
条件R　=　おかしくな　または　おかしい気がしない

>>40の前段では、「条件を満たすものの中におかしな気がしないものもある」というに過ぎないので
等確率でないように条件を改変するのは請求すぎる
その前に、条件Q内で、条件Rを満たさないものがあるのかを考えるほうがよいのではないか？

43:１３２人目の素数さん
10/02/14 14:59:28
＞　請求すぎる　

○　性急すぎる

44:１３２人目の素数さん
10/02/14 15:01:37
>>40　
後半の
＞　　(暗黙のうちに等確率であると仮定してるのに、そうじゃない場合も考えているから)　
＞　どうもおかしい気がするのではないかと思うのですが…　
あたりの話ですが

これは　１万円が出てきた場合に限ってですか？　（または有限の金額が出てきた場合に限って）
それとも、　封筒をあけるまでも無く、　常にですか？

45:１３２人目の素数さん
10/02/14 15:22:52
>>41
>>15の内容そのまま
"先にわかる"が無くても交換した方が得になるのでは

46:１３２人目の素数さん
10/02/14 15:24:16
>>40
前スレのこの話の流れのは読んでた？

47:１３２人目の素数さん
10/02/14 15:25:56
>>45
3)と4)との間には一方を開くっていう決定的な条件の変化があるだろ
選ばなかった方を先に開くなら変えない方がいいことになる

48:１３２人目の素数さん
10/02/14 15:27:48
>>47
どちらも開かないなら？

49:１３２人目の素数さん
10/02/14 15:35:54
>>48
変えても変えなくても意味はない

50:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:01:27
変えても変えなくても意味は無い、はずなのに
期待値を計算すると1.25になる

51:9
10/02/14 16:12:21
>>46
読んでましたが、途中で無限の話
(無限は矛盾してる(？))
になってしまって、完全には納得できませんでした。

ただ、期待値(平均)は必ずしも損得の基準にならない
という考えは、有力だろうと思います。
(期待値高い≠交換した方がよい)

52:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:16:24
実数 x を出力する確率の確率密度関数が p(x)、
実数 y を出力する確率の確率密度関数が q(y) で与えられている。
このとき、
x+y を出力する確率の確率密度関数は g(u)=∫p(u-v)q(v)dv で求められる。

本題。
xy を出力する確率の確率密度関数は g(u)=∫(p(u/v)q(v)/v)dv で求められる。
これは、
URLﾘﾝｸ(actuary.upthx.net)
を使って、例えば xy だと
f(x,y) = xy
u = xy
v = y
x = φ(u,v) = u/v
y = Ψ(u,v) = v
とおけば
ヤコビアン J(u,v) = |[dx/du dx/dv; dy/du dydv]| = |[1/v -uv^-2; 0 1]| = 1/v
が求まって、
g(u) = ∫g(u,v)dv = ∫J(u,v)ρx(u/v)ρy(v) dv = ∫ρx(u/v)ρy(v)/v dv
となると。

しかし、x と y の変域が 1≦x,y≦2 の一様分布とかなら積分計算が出来るが、
0≦x,y≦1 や 0＜x,y≦1 の一様分布だったときには積分で log0 が出てきて
うまく積分できない。積分区間が g(u)=∫[0<v<u]1/v dv になるんだ。どうすればいいの？

ちなみに x,y=(0,1/N,2/N,…N/N) の離散有限個からどんどん N を増やしていくと
別に発散せずにある有限の形に収束して行くように見える。

53:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:16:27
>>51
そりゃ実際の損得は期待値だけじゃなくてリスク(分散ないし標準偏差)を考えるからな
ただ数学の問題では損得は期待値の大小と同値だと考えるんだよ

54:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:20:04
>>50
選ばなかった方の期待値は選んだ方の1.25倍
選んだ方の期待値は選ばなかった方の1.25倍
この無限連鎖でどちらも開けなければ期待値も(等価での)∞になるんだよ
じっさいそのとおりだし
だからどちらも開けないで期待値考えても意味ない

55:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:22:04
じゃあ2人の人間が片方ずつを相手にはわからないように開けるとか
お互い相手の方が得だ、と思う

56:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:25:18
>>55
そのとおりだが
この場合双方の与えられる条件が違うんだから何の問題もない

57:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:26:55
相手の金額が期待値でしか予測できないんだから
双方条件は同じじゃない？

58:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:29:24
>>57
そういう意味じゃない
A君が与えられる判断条件はA君が選んだ方の金額
B君が与えられる判断条件はB君が選んだ方の金額
だから判断が真逆になっても何の問題もないって言ってんの

59:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:31:15
よく意味がわからない
なぜそれが問題無い事になるのか？

60:52
10/02/14 16:31:59
ああわりぃ。
ρx(u/v) = 1 (0 < u/v < 1)
ρx(u/v) = 1 (1 < v/u < +∞)
ρx(u/v) = 1 (u < v < +∞)
ρy(v) = 1 (0<v<1)
ρx(u/v)ρy(v) = 1 (u<v<1)
g(u) = ∫ρx(u/v)ρy(v)/v dv
g(u) = ∫[u<v<1]1/v dv
g(u) = ln(1)-ln(u)
= -ln(u)
で 0<u なら発散しないわ。

61:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:37:35
>>54
片方の金額の期待値は、もう一方の金額(金額の期待値ではない)の1.25倍になる
だけでは？

62:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:45:00
>>61
何を言ってるんだ？

63:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:46:13
無限連鎖は起こらない、という主張ではないだろうか？

64:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:52:00
>>56
立場いれかえてるだけだからな

>>59
お互いに相手の方が得で
何の矛盾もないってことだろ

65:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:56:32
>>59
“互いに相手の方が得だとそれぞれが正しく推論する”と実際“互いに相手の方が得”だ
とは違うからな

実際両方が見えてる立場からすれば一方は得をして一方は損をしている

66:１３２人目の素数さん
10/02/14 16:58:03
双方を客観視する神視点と
それぞれ自分の情報しかない主観視点の違いってこと

67:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:20:05
>>38
>交換したら得になるんじゃなくて先に金額が分かった方の反対をとった方が得だって話だよ

それは間違いだな。
金額が分かったときに「それが有限の金額だったなら」交換した方が良い、
というのが真の正解。

68:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:22:16
>>64
A>BかつA<Bは矛盾

>>65
実際全てが見えるなら確率は必要ないね
Aが10000円を手にしてBが5000円を手にした
交換するとAは損をしBは得をする、という具合に

>>66
>>66がA君だったら交換するわけだ
>>66がB君でも交換するわけだ
交換した方が得という事だからこれは当然
それに対して俺が意地になって、絶対交換しないと決めてたとする
俺はA君だったとしても交換しないし、B君だったとしても交換しない
(俺の逆の○君は>>66じゃない)

そうすると、俺より>>66の方が儲かるはず、でいいのかな？

69:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:23:32
>>68
かつ　が成立していないので矛盾ではない

70:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:28:58
A>BかつA<Bはかつが成立していないので矛盾ではない
どういう事？

71:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:30:40
>>70
引用のしかたがおかしい

72:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:33:21
この場で
A>BかつA<Bは矛盾
を持ち出すのがおかしいってことじゃないか？

それに該当するものがないわけだから。

A>BかつA<Bは矛盾　は正しい
ある件がA>B
別件がA<Bのとき
A>BかつA<Bは矛盾を持ち出すのが正しくない
ということを言ってるのでは？

73:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:45:04
別件ならば矛盾にはならないが、
2人の人間が片方ずつを、という事だから別件ではないのでは？

74:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:49:44
>>73
双方が情報を共有してるわけではないだろう

75:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:55:49
A君の立場から見れば交換したほうが有利だしB君の立場から見れば交換したほうが有利
この～の立場から見ればという言葉の重要性分かってないだろ

76:１３２人目の素数さん
10/02/14 17:59:43
>>75
言わんとしてる事はわかるがそれはおかしい
おかしくないと言うのなら>>68の後半に答えてもらえないだろうか？

77:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:00:17
・A君もB君も自分の得た情報から交換したほうが有利だと判断する
・交換したらA君もB君も得をする
この2つを混同してるな意図的なのか分からんが

78:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:02:04
>>75
あくまで個人の得た情報を問題にしてるからな。
双方の得た情報を問題にすると話が全然別物になってしまう
今回のケースだと双方の金額が分かってしまい、交換すると有利なときと
交換しない方が有利なときに明確にわかれてしまうもんな。

79:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:05:31
＞おかしくないと言うのなら>>68の後半に答えてもらえないだろうか？
>>68の後半が意味不明。

交換した時点でＡ君はさっきまでのＢ君の立場になり
さっきまでのＢ君の「交換した方が有利」が適用されるだけだろう

80:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:10:58
>>79
うまく伝わってないようなのでもう一度

>>79が参加者の1人だとする
確認したらある金額であった
交換した方が得か？というとこれはYesなんだよな？

81:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:15:07
期待値1.25倍らしいね

82:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:17:43
>>80
おれは>>79じゃないがその通りだ
そうだと言ったら、じゃあ相手も交換した方が得なんだよな、矛盾するやんけ
とか言い出すんだろうな
>>77の意味分かるか

83:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:18:47
Yesという事で次に

『>>79は参加のたびに常に交換する
これは交換しないのと比べて得である

俺はどれだけ参加しようとも交換しない
これは交換するのと比べて損である』
これはおｋ？

俺と>>79は同時には参加せず、相手は俺か>>79の言いなりになるとする
つまり交換するかしないかで揉めるとかそういう余分な事は考えない

84:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:21:30
>>82
俺は一度も
＞・交換したらA君もB君も得をする
なんて言ってない
足りない部分を好意的に補ってくれるならまだしも
あえて間違ってると想定して否定しても話がより混乱するだけだぞ

85:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:25:41
>>83
そりゃそうだろう。＞おｋ

86:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:32:34
そうすると、俺より>>79の方が得をしやすい事になる

しかし、
>>79が少ない方を選び多い方と交換する確率は0.5
俺が多い方を選び交換しない確率は0.5
>>79が多い方を選び少な方と交換する確率は0.5
俺が少ない方を選び交換しない確率は0.5

確率と期待値は違う、と言うかも知れないが
1回当たりの少ない方の期待額ｘと置いて期待値に直しても同じ
>>79が得られる額の期待値は1.5x
俺が得られる額の期待値も1.5x

87:１３２人目の素数さん
10/02/14 18:46:48
>>86
やっぱり個人が得られる情報と
場全体の情報とを混同している

中を見ないなら「多い方」「少ない方」は
個人では知り得ないわけだから
特定の２数を固定してしまうのがおかしい

88:１３２人目の素数さん
10/02/14 19:00:48
>>87
混同してないぞ？
特定の2数も固定してないし

89:１３２人目の素数さん
10/02/14 19:23:27
神視点じゃないとできないのは、双方の額の大小関係を明確にする事
互いに期待値が1.25である事を知るのは個人視点でも可能

90:１３２人目の素数さん
10/02/14 19:24:47
＞が少ない方を選び

少ない方と言っている時点で
２数が分かっている立場であり
個人の立場と混同している

91:１３２人目の素数さん
10/02/14 19:29:56
>>90
混同してるのはそちらだと思われる
2数がわかってないから
"少ない方を選ぶ確率が0.5"なんだ
2数がわかっているなら少ない方を選ぶわけがない

92:１３２人目の素数さん
10/02/14 19:34:43
>>91
金額比１：２という条件が理解できていないのでは？

そういう条件でないなら>>91でもいいし
交換するたびに相手側の方が期待値が上ということも起こらない。

93:１３２人目の素数さん
10/02/14 19:38:59
>>92
金額比は視点の混同の話とは無関係

事実として、参加者の1人は"多い方"か"少ない方"のどちらかを選ぶわけだが
ここで"少ない方"という単語を用いたからといって神視点だという事にはならない

>>86でもどちらかの参加者に本来得られるはずのない情報を与えてしまっているのなら
視点を混同しているという事になるかも知れない(また別のミスという事になる)
>>86では俺と>>79のどちらがどのような得られるはずのない情報を得ていると言うのか？

94:１３２人目の素数さん
10/02/14 23:06:37
>>86の
>>79が少ない方を選び多い方と交換する確率は0.5
俺が多い方を選び交換しない確率は0.5
>>79が多い方を選び少な方と交換する確率は0.5
俺が少ない方を選び交換しない確率は0.5

これは正しいよ
ここから自分の金額だけを確認した>>79が交換したとき、得をした場合のゲインと損をした場合のロスに差があるってことだよ

＞1回当たりの少ない方の期待額ｘと置いて期待値に直しても同じ
ここが完全に的外れなんだが

Aが確認した金額をもとに、交換したらどうなるか判断する、Aにとって大事なのはそこだけだからな

95:１３２人目の素数さん
10/02/14 23:27:03
>>89も完全な的外れ、Aが自分の金額を確認しているという事実を無視している
AがBの立場を想像して、Bの確認した金額をx円としたら交換したときの期待値は1.25x円だということなんだろうが
Aが自分の金額を確認したら関係ないから
Aが自分の金額確認して1万円だったとしたらBの持っている金額は2万円か5000円のどちらか
つまりAから見れば交換するとBは1万円損するか5000円得するかしかなくてその確率が半々

Bから見ても同じで交換は自分に有利で相手に不利になる(と考える情報が与えられている)

96:１３２人目の素数さん
10/02/14 23:29:34
>>8
いろいろ式をいじってみたけど解けなかった。解ける漸化式じゃないんだと思う。
でも途中式にきれいな形のが出てきたから一応貼ってみる。

とりあえず、Δa[n] = a[n+1] - a[n] = -a[n]^2/2 と差分の形で書き、
差分を微分にすりかえて挙動を見てみると、da/dn = -a^2/2 から a = 2/(n+1) 。
なので a[n]は 1/n くらいになっている。

これを手掛かりに、b[n] = 2/a[n] - 1 と置換してみると、
b[n+1] = b[n] + 1/b[n] + 1 と、ちょっときれいな形になった。（b[1]=1）

b[n+1] = (√b[n] + 1/√b[n])^2 - 1 と変形できるので、
√b[n] + 1/√b[n] = cosh(φ[n]) と置換してみると、
b[n+1] = sinh(φ[n])、 cosh(φ[n+1]) = cosh^2(φ[n])/sinh(φ[n]) 。
f(φ) = 1/cosh(φ) と置くと、f(φ[n+1]) = -f '(φ[n]) という関係になっていた。

厳密解を諦めて a[n] の値を評価してみると、2/(n + 1 + log n) くらいになっていそう。

97:１３２人目の素数さん
10/02/14 23:56:28
>>94
＞ここが完全に的外れなんだが
何が的外れなんだか
「>>79が得られる額の期待値は1.5x
俺が得られる額の期待値も1.5x」
ではない、というのならどうなるのか書いてくれ
否定だけして荒れるのは前スレだけで十分だ

>>95
＞Aが自分の金額確認して1万円だったとしたらBの持っている金額は2万円か5000円のどちらか
＞つまりAから見れば交換するとBは1万円損するか5000円得するかしかなくてその確率が半々
つまり期待値は確認した額の1.25倍になるな

＞Bから見ても同じで交換は自分に有利で相手に不利になる(と考える情報が与えられている)
つまり互いに期待値が1.25倍である事になるな

どこが的外れなんだ？

98:１３２人目の素数さん
10/02/15 00:09:24
自分の金額だけ確認したAから見ればAは交換した方が有利(1.25倍)
自分の金額だけ確認したBから見ればBは交換した方が有利(1.25倍)

何回同じこと言わせるんだお前は

99:１３２人目の素数さん
10/02/15 00:14:38
＞何が的外れなんだか
＞「>>79が得られる額の期待値は1.5x
＞俺が得られる額の期待値も1.5x」
＞ではない、というのならどうなるのか書いてくれ
＞否定だけして荒れるのは前スレだけで十分だ

二つの金額のうち少ない方をX円と仮定すること自体が無意味だといってるんだよ
自分の金額の情報は与えられてるんだぞ

100:１３２人目の素数さん
10/02/15 00:24:52
80 ：１３２人目の素数さん：2010/02/14(日) 18:10:58
>>79
うまく伝わってないようなのでもう一度

>>79が参加者の1人だとする
確認したらある金額であった
交換した方が得か？というとこれはYesなんだよな？

これは本人の視点からいえば正しいってことだぞ
ここを場全体を客観的な立場から見て得かどうかで考えるからおかしいんだよ

101:１３２人目の素数さん
10/02/15 00:25:32
>>98
×Aから見れば
×Bから見れば
○誰から見ても

Bから見てもAは交換した方が得だし、
Aから見てもBは交換した方が得

>>99
＞自分の金額の情報は与えられてる
流れ追えてるか？
＞参加のたびに常に
という時の期待値が1.5xって話だぞ？

102:１３２人目の素数さん
10/02/15 00:28:57
>>100
客観的な立場、をどういう意味で使ってる？
A君とB君を参加者として
参加者と客観的な立場のそれぞれが知りうる情報を挙げてみてくれ

103:１３２人目の素数さん
10/02/15 00:43:00
>>101
Aから見たらBは交換したら損だしBから見たらAは交換すると損なんだよ

>>102
客観的ってのは場全体をとらえてるってことだよ
場全体を見れば一方が必ず得をして一方が損、全体の額も変わるわけないだろ

　

104:１３２人目の素数さん
10/02/15 00:51:31
あと例えばA君B君が両方ともA君の金額だけ知らされた場合
A君は変えようとするしB君は変えるのを拒否するってことも分かってるか

105:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:03:16
>>103
場全体という言葉にもまだ曖昧さが残ってる
双方の額を同時に確認できる視点という意味だとする
→俺は双方の額を同時に確認した上での理屈を主張してるわけじゃないから、この場での意見交換の失敗
客観視する、という意味だとすると
→AやBが客観視して考える事に何か問題があるのか？

・Aから見るとAは交換すると得をし、Bは交換すると損をする
・Bから見るとBは交換すると得をし、Aは交換すると損をする
・場全体(これが曖昧だが)を見れば一方が得をして一方が損、全体の額は変わらない
この３つが同時に真になる事が無いのはわかると思うが

106:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:16:29
→AやBが客観視して考える事に何か問題があるのか？
AやBは自分の金額を確認しているっていってんだろ、その金額と矛盾しない推論しかできないわけ

>・Aから見るとAは交換すると得をし、Bは交換すると損をする
>・Bから見るとBは交換すると得をし、Aは交換すると損をする
>・場全体(これが曖昧だが)を見れば一方が得をして一方が損、全体の額は変わらない
>この３つが同時に真になる事が無いのはわかると思うが

この３つが同時に成り立つことが分かってないから変なことになるんだろうが
実際には違う情報与えられるそれぞれの立場からだから同時って表現はちょっと違うかも知れんが

107:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:30:27

＞確率と期待値は違う、と言うかも知れないが
＞1回当たりの少ない方の期待額ｘと置いて期待値に直しても同じ
＞>>79が得られる額の期待値は1.5x
＞俺が得られる額の期待値も1.5x

自分の金額を考慮しないでただ“交換した方が有利か”だけを考えてるんだってことはわかるか？

108:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:33:30
>>106
＞その金額と矛盾しない推論しかできないわけ
俺が視点混同してるって事は、その矛盾を含んだ主張をしてるって事だよな
どこで矛盾した主張をしてた？

＞この３つが同時に成り立つことが分かってない
いや成り立たないだろ
今ここでの議論は特に額をある額に定めてないよな
どの額であっても成り立つからな
(半分はそういう仮定だが
10001円を確認したら5000.5円はありえないから20002円に違いないとかそういう推論は無し、という)
どの額でも成り立つという事は、Aの視点でもここでの議論同様の事を考える事ができる
つまりAは
・場全体(これが曖昧だが)を見れば一方が得をして一方が損、全体の額は変わらない
という結論に達する事ができる
また
・Bも自分(A)と同じ条件である
という事もわかる

AがAの得られる情報から、交換する方が得という結論にしか達し得ないのならば仕方が無いが
Aは交換しても損も得も無いという結論に達する事ができる
にも関わらず
・Aから見るとAは交換すると得をし、Bは交換すると損をする
が成り立つというのはおかしいだろう

109:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:38:09
>>107
自分の金額っていくらよ？
その話の流れでは複数回繰り返すんだからある特定の額にはならないぞ

＞自分の金額を考慮しないでただ“交換した方が有利か”だけを考えてるんだってことはわかるか？
わからん
誰がそう考えてるんだ？
俺がそう考えてしまっているという指摘なのか？
>>107がそう考えているがそこは伝わっているかという確認なのか？

面倒臭がらずもう少ししっかり書いて欲しい
続いての主張があればどっちを言いたいのか推測もできたかもしれないのに

110:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:42:51
＞AがAの得られる情報から、交換する方が得という結論にしか達し得ないのならば仕方が無いが

交換する方が得という結論にしか達し得ないんだよ
自分の1万円を確認したらBの立場を想像しても
・自分の金額2万円で相手であるAの金額は4万円か1万円
・自分の金額5000円で相手であるAの金額は1万円か2500円
だがAが4万円と2500円って線は消えるんだよ

111:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:47:19
＞自分の金額っていくらよ？
毎回確認する自分の金額だよ、なんで金額を確認するかどうかを軽視するんだよ

＞自分の金額を考慮しないでただ“交換した方が有利か”だけを考えてるんだってことはわかるか？
わからん
誰がそう考えてるんだ？
俺がそう考えてしまっているという指摘なのか？
>>107がそう考えているがそこは伝わっているかという確認なのか？

おまえがそう考えてるってことだよ、実際
＞確率と期待値は違う、と言うかも知れないが
＞1回当たりの少ない方の期待額ｘと置いて期待値に直しても同じ
＞>>79が得られる額の期待値は1.5x
＞俺が得られる額の期待値も1.5x
ここで自分の金額を確認してるということをどこで考慮してるんだよ

112:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:49:37
なんか意味不明な書き込みになったな
＞確率と期待値は違う、と言うかも知れないが
＞1回当たりの少ない方の期待額ｘと置いて期待値に直しても同じ
＞>>79が得られる額の期待値は1.5x
＞俺が得られる額の期待値も1.5x
これは自分の金額も相手の金額も分からない状況で交換した方が得かを論じてることになる
ってことはわかるか？

113:１３２人目の素数さん
10/02/15 01:56:59
>>110
それしか考えられないならそうだろうが

・場は±0
・AとBは対等
この2つから損得無しという結論も出せるだろう

俺や>>110がAになる事もできるだろ
その時は交換が得という結論しか出せないのか？そんな事はないだろ？

>>112
わかるんだが
常に交換する人間と常に交換しない人間の期待値の比較はそのタイミングでしかできなくないか？

114:１３２人目の素数さん
10/02/15 02:04:55
情報によって確率や期待値は変わるんだよ
・場は±0
・AとBは対等
これは全く無条件(情報が与えられていない)での話だろ

＞常に交換する人間と常に交換しない人間の期待値の比較はそのタイミングでしかできなくないか？
毎回自分の金額を確認したうえで交換するっていってんのに常に交換する人間とかおかしいだろ

金額がいくらであろうと交換するんだから最初から交換するって決めてる人間でもいいじゃんって思ってるならそこが最大の誤解だ

115:１３２人目の素数さん
10/02/15 02:11:17
>>114
この場合与えられる情報は自分の額だけだよな？
その情報では
・場は±0
・AとBは対等
が崩れる事はないよ

＞毎回自分の金額を確認したうえで交換するっていってんのに常に交換する人間とかおかしいだろ
おかしいと言われてもな
常に得であるなら常に交換すべきだろう

というか、常に交換が得だという主張への反論として
常に交換をする人間と常に交換しない人間を登場させて比較したんだが

116:１３２人目の素数さん
10/02/15 02:18:16
＞常に得であるなら常に交換すべきだろう

自分の金額だけを確認したら交換した方が得
相手の金額だけを確認したら交換しない方が得

自分の金額を確認するかどうかがどれだけ大きな意味を持つか理解してくれ頼むから

＞・場は±0
＞・AとBは対等
＞が崩れる事はないよ
崩れるんだよAの視点からすると、場は±0ってのはAが得する分Bが損するから崩れてないけど

117:１３２人目の素数さん
10/02/15 02:25:33
>>116
金額の確認というより、正確には焦点を合わせるような感じか？
金額の確認である必要は無いだろう

金額の確認前でも自分の物に焦点を合わせれば相手の物の方が得に見えるし
相手の物に焦点を合わせれば自分の物の方が得に見える

＞崩れるんだよAの視点からすると
だがAはBにとってもB視点からだと交換はBが有利でAは損だという事になるのに気付ける

118:１３２人目の素数さん
10/02/15 02:34:15
＞B視点からだと交換はBが有利でAは損だという事になるのに気付ける
相手がそう思うだろうってことはそりゃわかるだろうね
でもそれは相手が自分と違う情報を得て推論してるから自分の判断には関係ないわけ
有効なことは自分の得た情報での期待値の計算だけだから

119:１３２人目の素数さん
10/02/15 02:36:10
＞金額の確認というより、正確には焦点を合わせるような感じか？
＞金額の確認である必要は無いだろう

＞金額の確認前でも自分の物に焦点を合わせれば相手の物の方が得に見えるし
＞相手の物に焦点を合わせれば自分の物の方が得に見える

いまいち何を言ってんのか分からんがそんな比喩的な話ではない

120:１３２人目の素数さん
10/02/15 02:43:24
>>118
＞自分の判断には関係ない
この部分がおかしいんじゃないか？
Aが頑なに客観視を拒む理由が無い

>>119
ではどんな話なのか

何を言ってるのかわからないとの事なので具体的にも書いてみる
＞金額の確認前でも自分の物に焦点を合わせれば相手の物の方が得に見えるし
自分の額は未知だがxとする
相手の額は0.5xか2xでありその確率は半々である
期待値を求めると1.25xとなり相手の物の方が得

＞相手の物に焦点を合わせれば自分の物の方が得に見える
相手の額は未知だがxとする
自分の額は0.5xか2xでありその確率は半々である
期待値を求めると1.25xとなり自分の物の方が得

121:１３２人目の素数さん
10/02/15 02:45:25
つうかもう2時半だ
お前ら時間は大丈夫なのか？
明日の午後6時あたりから再開でもいいんだが
俺は大丈夫というか頭痛で寝れない

122:１３２人目の素数さん
10/02/15 09:14:35
君ら12時間もやってたのか

結婚して枕元でやれｗ

123:１３２人目の素数さん
10/02/15 10:42:04
なかなかスタートラインにたてないなｗ

どの立場で確率を考えるか
だけの問題なのに。

素直に確率考えるための抽象さや思考の転換に向かわず
今あるものだけで理解をしようとして限界を向かえるというところか

124:１３２人目の素数さん
10/02/15 11:45:52
>>120
>Aが頑なに客観視を拒む理由が無い
客観視=自分の金額を確認しているという事実をなかったことにすること
これは今までの流れでわかるだろ>>112あたりの話だ
Bの視点に立つってのもBがあたえられた条件を“自分の知る情報を無視して”想像するってことだしな
それが悪いとは言わんが与えられた条件を無視することは合理的とは言えないだろ

＞何を言ってるのかわからないとの事なので具体的にも書いてみる
＞＞金額の確認前でも自分の物に焦点を合わせれば相手の物の方が得に見えるし
＞自分の額は未知だがxとする
＞相手の額は0.5xか2xでありその確率は半々である
＞期待値を求めると1.25xとなり相手の物の方が得

＞＞相手の物に焦点を合わせれば自分の物の方が得に見える
＞相手の額は未知だがxとする
＞自分の額は0.5xか2xでありその確率は半々である
＞期待値を求めると1.25xとなり自分の物の方が得

どちらの金額も分からないからどちらかの金額をx円と仮定することと一方の金額が確定することは全然違うだろ

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