◆ わからない問題はここに書いてね２６４ ◆

◆ わからない問題は� ..

2:１３２人目の素数さん
10/02/04 23:26:27 BE:255611693-S★(512555)
●スカラー：a,b,...,z, A,...,Z, α,β,...,ω, Α,Β,...,Ω,...（「ぎりしゃ」「あるふぁ～おめが」で変換）
●ベクトル：V=[v1,v2,...], |V>,V↑,vector(V) （混同しないならスカラーの記号でいい。通常は縦ベクトル）
●テンソル：T^[i,j,k...]_[p,q,r,...], T[i,j,k,...;p,q,r,...]　　（上下付き１成分表示）
●行列　　M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]　　M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（右は全成分表示。行または列ごとに表示する。例：M=[[1,-1],[3,2]]）
●転置行列・随伴行列：M ',tM, M†（"†"は「きごう」で変換可）　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)

●複号：a±b（"±"は「きごう」で変換可）
●内積・外積・３重積：a・b, a×b, a・(b×c)=(a×b)・c=det([a,b,c]), a×(b×c)

●関数・数列：f(x), f[x]　a(n), a[n], a_n
●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2)=sqrt(a+b) （"√"は「るーと」で変換可）
●指数関数・対数関数：exp(x+y)=e^(x+y)　ln(x/2)=log[e](x/2)（exp(x)はeのx乗、lnは自然対数）
●三角比：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●絶対値：|x|　　●共役複素数：z~　●ガウス記号：[x] （関数の変数表示と混同しないよう注意）
●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n,k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （"Π"は「ぱい」で変換可）

3:１３２人目の素数さん
10/02/04 23:26:40 BE:255611693-S★(512555)
●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y_x （"∂"は「きごう」で変換可）
●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf
（"∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬[D]f(x,y)dxdy, ∬[C]f(r)dl
（"∫"は「いんてぐらる」，"∬"は「きごう」で変換可）
●数列和・数列積：Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k) （"Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可）
●極限：lim[x→∞]f(x) （"∞"は「むげんだい」で変換可）

●図形："△"は「さんかく」 "∠"は「かく」 "⊥"は「すいちょく」 "≡"は「ごうどう」 "∽"は「きごう」
●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨￢∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換
●等号・不等号："≠≒＜＞≦≧≪≫"は「きごう」で変換

4:１３２人目の素数さん
10/02/04 23:26:53 BE:397618867-S★(512555)
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雑談はここに書け！【３７】
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5:１３２人目の素数さん
10/02/04 23:29:00
>>1
チャンパーノウン定数並にシンプルに乙

6:１３２人目の素数さん
10/02/05 03:33:37
前スレの978さん、指摘ありがとうございます。

複体K＝{P,Q,R,S,PQ,QR,RP,PS,RS,PRS}とする。
このときKの一次元ホモロジー郡を定義に沿って計算せよ。

鎖複体を求める？の意味がわかりません…。
よろしくお願いします。

7:１３２人目の素数さん
10/02/05 04:45:26
>>6
∂(PRS) = RS -PS +PR = -RP -PS +RS
なので, 2次元バウンダリーは-RP -PS +RSで生成される

∂(PQ) = -P +Q
∂(QR) = -Q +R
∂(RP) = P -R
∂(PS) = -P +S
∂(RS) = -R +S
これを行列表示して2次元サイクルを求める
その後, うまく取り替えて, 基底の一つが-RP -PS +RSになるようにする
一次元ホモロジー群はZになるはず

8:１３２人目の素数さん
10/02/05 11:55:00
前スレの988です

位数12の有限アーベル群の同型類をすべて求めよ

という問題なのですが、有限アーベル群の構造について勉強しなおしてみました。
同型類は
Z/3Z×Z/4Z、Z/2Z×Z/6Z　ではないかと思ったのですが、どうでしょうか。

9:１３２人目の素数さん
10/02/05 13:07:47
レベルの低い問題で申し訳ないのですが、教えてください

知り合いの社内試験らしいのですが、助けを求められても分かりませんでした。

じゃがいもが30円、人参が40円、玉ねぎが50円です。
全部で65個買って2550円になるようにします。
人参と玉ねぎの比率が4：7にするように買った場合、じゃがいもは何個になるでしょう？
解答だけではなく、途中計算式も書きなさい。

申し訳ないですが、お願いします。

10:１３２人目の素数さん
10/02/05 13:14:12
>>8
もうちょっとがんがれ

11:１３２人目の素数さん
10/02/05 13:15:19
>>9
整数解ねえよ。

12:１３２人目の素数さん
10/02/05 13:48:47
>>7

なるほど。
よくわかりました。
ありがとうございます。

13:１３２人目の素数さん
10/02/05 13:55:36
>>7

なるほど。
よくわかりました。
ありがとうございます。

14:１３２人目の素数さん
10/02/05 14:11:10
前スレの998、999さん
どうもありがとうございました。
その他の解答してくれた方もどうもありがとうございました。

15:１３２人目の素数さん
10/02/05 15:00:54
9です。
やはり、整数にならないですよね。

問題聞き間違えてるのかもしれません。
失礼いたしました。

16:１３２人目の素数さん
10/02/05 20:26:12
>>9
値切るのかなぁ

17:１３２人目の素数さん
10/02/06 00:02:47
質問です。

〔ラグランジュの乗数法〕
条件x1,...,xn≧0、x1 +x2 +...+xn =C(>0)のもとに

√x1 +...+√xn

の最大値を求めよ。

急にふっかけられたのでラグランジュについての知識が全くありません。
申し訳ありませんがよろしくお願いします。

18:１３２人目の素数さん
10/02/06 00:13:42
ならば無視して打ち捨てるが磐石かと。

19:１３２人目の素数さん
10/02/06 00:31:38
そこをなんとかお願い出来ないでしょうか。

20:１３２人目の素数さん
10/02/06 01:05:00
>>19
この30分の間に、グーグル先生に「ラグランジュの乗数法」とは何か聞けたはずだ。

21:１３２人目の素数さん
10/02/06 01:07:53
>>17 >>19
ラグランジュの恒等式？

　n･C - (√x1 + √x2 + ･･･････ + √xn)^2
　　= (1+1+････+1)(x1+x2+･････+xn) - (√x1 + √x2 + ･･･････ + √xn)^2
　　= Σ[i<j] (√xi - √xj)^2 ≧ 0,

∴　|√x1 + √x2 + ･･･････ + √xn | ≦ √(n*C),

　等号成立は x1 = x2 = ･････ = C/n のとき。

22:１３２人目の素数さん
10/02/06 01:16:32
>>20
現在進行で取り組んでいます。
質問の書き方が丸投げ過ぎたと反省しています。

23:１３２人目の素数さん
10/02/06 01:24:18
>>21
レスありがとうございます。
ラグランジュについての知識がまだ不十分ですので、
自分でもう少し勉強してから答えを出した後答え合わせに使わせていただきます。
本当にありがとうございました。

24:１３２人目の素数さん
10/02/06 01:25:37
どういたしまして。

25:１３２人目の素数さん
10/02/06 08:33:16
>>8
その１　たとえば Z/12Z を解答から排除する理由は？
その２
1∈Z/4Z 1+1=2≠ 0 etc
(1,0)∈ Z/2Z×Z/2Z (1,0)+(1,0)=(0,0) etc

いろいろ抜けてないだろうか？

26:１３２人目の素数さん
10/02/06 08:38:49
>>25
Z/12Zがどういう群か知らないだろ？

27:１３２人目の素数さん
10/02/06 08:43:30
>>17
>>21 でファイナルアンサーだと思うけど
ラグランジュの乗数法の勉強の確認用に蛇足

最大値をとるのは境界か内部
内部なら不等式条件は関係なく（あるλがあって）
L= √x1 +...+√xn　+λ (x1 +x2 +...+xn -C)
の極値が候補
∂L/∂xk = 0, k=1.,..,n , と等式条件から x1=x2=...=C/n で値は √(Cn)
境界ならどれかの変数が0 で
対称性から xn=0 だけやれば残りは同じ値
xn=0 とすると n を n-1 とした場合の問題になるから
上記から √(C(n-1)) またはさらに境界での値

帰納的にnが大きいほど内部の極値が大きいから
最初の √(Cn) が最大値

どう考えても >>21 を勧めるけどどうしても乗数法でというならこんなところ

28:１３２人目の素数さん
10/02/06 14:31:23
数理論理学という授業で出た問題です。

任意の論理式ψに対して
ﾄφ⇔ψ
となり標準形の論理式φが取れることを示しなさい。

※「ﾄ」は縦棒と横棒は垂直の関係にある記号です。
適当な記号が見つからなかったので「ﾄ」で代用しています。

※ヒントとして、場合わけを４つ(?)行い、論理式の構成に関する帰納法で示せば良いと言われました。

29:１３２人目の素数さん
10/02/06 15:03:08
>>25
CRTって知ってる？

30:１３２人目の素数さん
10/02/06 15:36:46
1～10の10個の数字からなる数列を考える
これを先頭から順に取り出し2つの列A,Bのどちらかにわけるとする
この時、取り出した数字が
A,Bの最後尾に並んでいる数字より常に大きくなるような
並べ方が存在するための
元の数列の条件を求めなさい

たとえば1 3 2 4 5 6 8 7 9 10という数列の場合

3 2 4 5 6 8 7 9 10
　A:1
　B:
2 4 5 6 8 7 9 10
　A:1 3
　B:
4 5 6 8 7 9 10
　A:1 3
　B:2
5 6 8 7 9 10
　A:1 3
　B:2 4
...(略)
　A:1 3 5 6 7 9
　B:2 4 8 10
こんな風に分けられるのでOK(他の分け方でもよい)

しかし10 9 8 7 6 5 4 3 2 1の場合
8 7 6 5 4 3 2 1
　A:10
　B:9
この時点で8をうまく並べることができなくなる

31:１３２人目の素数さん
10/02/06 16:16:29
アメリカのとある大学にいるのですが、都市経済学の課題が解けません。
みなさんの頭脳でどうにかお願いします！！

この問題はリヴァーサイド（町の名前）の郵便番号ごとの移住すみ分け度を調査するものである
二つの相互排他的グループの分離の標準的な手段は相違指数であり、それは
I= 0.5Σi=1N（Ｎ乗）｜bi/B – wi/W｜
で与えられる。
iは郵便番号、biは郵便番号iの中の黒人人口、Ｂは総黒人人口、wiは郵便番号iの中の白人人口、Ｗは総白人人口である。
相違指数は計算の中に含まれた１つのグループの割合の説明を持っている。
それは、equiproportional mixing（意味がわからなかったので訳せませんでした）を得るために異なる地域に動かなければならない。
Ａ　それぞれの郵便番号における人種構成がすべて同一だった場合、指数の値はいくらか
Ｂ　もし、極端な分離、特にどの郵便番号の地域も白人黒人ともに０人だった場合、指数はいくらになるか
Ｃ　どのように数字を解釈するか
Ｄ　指数は説得力のある居住住み分け度の量りとなるか？もしそうでないならば、なぜ？どのように変えればいいか？

訳がめちゃくちゃで申し訳ないのですがよろしくお願いします。

32:１３２人目の素数さん
10/02/06 16:26:40
マルチ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

33:１３２人目の素数さん
10/02/06 16:37:57
xyzu-xy(z+u)+(x+y)zuを因数分解（因数の形に）したいんだけれど、できない。

34:１３２人目の素数さん
10/02/06 16:38:40
間違えた
xyzu-xy(z+u)-(x+y)zuです

35:１３２人目の素数さん
10/02/06 16:49:43
>>33-34 (x+y)(z+u) とか抜けて無い？

36:１３２人目の素数さん
10/02/06 16:53:17
>>35
抜けてないです。もしかしたら因数分解できないかもしれないです。
実はabcd=ab(c+d)+(a+b)cdをみたす自然数(a,b,c,d)の組は何通りか?
っていう問題を解くために聞いたのですが、できそうにないんです

37:１３２人目の素数さん
10/02/06 19:44:31
>>36
それは因数分解で解く問題ではない
方違えするが吉

38:１３２人目の素数さん
10/02/06 19:50:33
>>36
多項式の因数分解を自然数の（素）因数分解に結び付けたいのだから
定数を加えてずらす程度の変更はしてから分解を試みてよい。

39:１３２人目の素数さん
10/02/06 20:52:14
>>33-34
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)

40:１３２人目の素数さん
10/02/06 21:55:15
1回30球のバッティングセンターがあります。
A君はヒット率２割、ホームラン率５％です。
このバッティングセンターではヒットを３連続で打つと
５球サービスしてくれます。４連続で＋１球、５連続でさらに＋１球・・・
となります。
またホームランを打つとその回は終了となり次回＋１０球貰えます。

例１：１球～４球目までヒットで残り３２球になる。（３０＋６－４）
例２：３０球スタートのとき１３打席目でホームラン→
３０球はその場で終了。次４０球スタート。
例３：５０球スタートのとき４８球目にホームラン→
５０球はその場で終了。次６０球スタート

このとき、A君の平均球数は何球か。

途中で増える要素があるのにどうすれば計算出来るのか
全くわからない。どなたか教えて欲しい。
出来ればEXCELで計算出来るよう式を教えて

41:１３２人目の素数さん
10/02/06 21:59:14
放物型方程式におけるsubsolution-supersolution法がわかりやすくのってる本があったら教えて欲しいです。

42:１３２人目の素数さん
10/02/06 22:43:39
>>40
ルールが不十分な気が。例１で34球目とかにホームランを打ったらどうなるの？

43:１３２人目の素数さん
10/02/06 23:47:55
I＝∫[x=0,∞] (（e^(-b*x^2))*cos(a*x))dx　　　b>0
dI/dbを計算して微分方程式に帰着させるらしいです
この微分方程式を解いたらCe^( ) 型の答えになって
lim[ｂ→∞]=0の初期条件代入したらC=０になってお手上げです
よくわかりませんがフーリエ解析の授業で出た問題です

44:１３２人目の素数さん
10/02/06 23:51:37
すみません、わかると思いますが
lim[ｂ→∞]I(b)=0の初期条件です

45:１３２人目の素数さん
10/02/07 00:55:24
>>43
オイラーの公式でcosをexpにして中身を平方完成したらいかんのか？

46:１３２人目の素数さん
10/02/07 14:42:01
URLﾘﾝｸ(imepita.jp)

画像ですみません
分かりませんお願いします

47:１３２人目の素数さん
10/02/07 15:33:48
>>46
（１）からわからないの？

48:１３２人目の素数さん
10/02/07 15:57:43
>>46 線形代数の教科書で「直交補空間」を調べろ
知りたいことは大抵載ってる．

ヒント
1.∀a,b∈C，∀x,y∈W⊥ に対し ax+by∈W⊥ が成り立つことを示せばよい．
2.∀a[j] ((x-x[1]),a[j]) = (x,a[j]) - Σ(x,a[i])(a[i],a[j]) を計算せよ．
3.x∈W∩W⊥ をとると, ||x||^2 = (x,x) = 0 より x=0．

49:１３２人目の素数さん
10/02/07 17:11:23
バナッハ空間の双対空間での点列{fn}がfに汎弱収束するとき、||fn||は有界であることを示せ。
よろしくお願いします。

50:１３２人目の素数さん
10/02/07 18:55:56
>>49
一様有界性原理（Banach?Steinhaus theorem）の系

51:１３２人目の素数さん
10/02/07 19:34:50
バナッハ・スタインハウスの定理のことですか？

52:１３２人目の素数さん
10/02/07 19:53:41
>>51
そうです

53:１３２人目の素数さん
10/02/07 20:31:44
(∂^2u/∂x^2)-3(∂^2u/∂x∂y)+2(∂^2u/∂y^2)=xsiny
この微分方程式の特別解がわかりません。
教えてください。お願いします。

54:１３２人目の素数さん
10/02/07 20:57:31
>>53
-x*sin[y]/2 + 3*cos[y]/4

55:１３２人目の素数さん
10/02/07 21:08:13
>>54
ありがとうございます。
そのような形を全然思いつきませんでした

56:１３２人目の素数さん
10/02/07 21:12:02
>>42
>>40です。
その場合は次の回に行きます。（４０球の１球目）

お願いします。

57:１３２人目の素数さん
10/02/07 22:17:36
幾何学の問題なので
開集合であること　と　閉集合であること　と　共線性(3個以上の点について、それらが同一直線上にあるということ)
の3つが移送的性質ではないことを反例で示せ。
という問題なのですが、どうしても反例が思いつきません。
区間と写像だけで良いので教えていただきたいです
お願いします！

58:57
10/02/07 22:23:15
すいません、なんとなくわかるかもしれませんが
位相的性質ではないことを
です。誤字すいませんでした。

59:１３２人目の素数さん
10/02/07 22:51:41
>>57
このような基礎的なところでは、極端な例を考えるとよい。
元の数が3個の集合X=(1,2,3}に密着位相を与えたものをX_1、離散位相を与えたものをX_2と
集合XからX自身への恒等写像を　i　とするとき、　i:X_1→X_2、 i:X_2→X_1　で何が起きるかを観察する。

3番目の反例は、平面(E^2)から平面(E^2)への連続写像で、直線を保存しないような連続写像を考えればよい。
　

60:１３２人目の素数さん
10/02/07 22:52:34
4次元ベクトル空間R^4の部分空間W=<b,c>に対し、Wの直行補空間W⊥の基底を求めよ。またaをWとW⊥のベクトルの和の形に表せ。
a=[-1,1,-3,2]
b=[-2,1,1,2]
c=[1,-3,-1,1]
（a,b,c,は4行1列です。わかりにくくてすいません。）

よろしくお願いします。

61:１３２人目の素数さん
10/02/07 23:54:21
>>60
<b,c> の定義は？

62:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:04:39
三角形ABCにおいて次の値を求めよ
A=45゜　B=75゜　C=60゜
a=√2 c=√3のときのbを求めよ
という問題なんですけれどお願いいたします。

63:60
10/02/08 00:14:25
b,cはWの基底です。すいません・・・

64:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:15:27
>>62です
重複してました
ごめんなさい

65:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:39:04
質問です。

1）以下の例が束であることを証明せよ。
　•集合UにたいしてP（U）をベキ集合とする。このとき（P(U),⊂）は束になる。
　•（N,｜）は束になる。

２）以下を示せ
　•順序集合(A,≦)において任意のa,b∈Aに対してその上限a∪bが存在するとき（A,∪）は半束となる。
　•上の文章の上限を下限、∪を∩に代えたもの。

３）Lが分配束であるときは要素aの補元が存在すればそれはただ一つに定まることを示せ

４）CをBの部分プール代数とする。このとき0,1∈Bは0,1∈Cであることを示せ

５）Uのべき集合P（U）は集合演算∪,∩に関して分配束をつくることを示せ

６）任意のモノイドは単位元をただ一つもつことを示せ

７）任意の半群において零元は存在するならばただ一つであることを示せ。

８）D_a：＝{a^n∈A｜n≧0}　とD_aを定義する。D_aはAの部分モノイドになることを示せ

66:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:40:21
>>65
丸投げにも程がある
少しは自力でやりなさい

67:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:41:12
９）位数が素数であるような有限群は巡回群であることを示せ

１０）（A,＊）が半束のとき、a,b∈Aに対してa｜bを
　　　a｜b⇔あるx∈Aに対しa＊x＝b　と定める。
　　•関係｜はA上の半順序になることを示せ
　　•a＊bは順序｜に関する{a,b}の上限になることを示せ

１１）LとL’を束とし、hをLからL’への束準同型でかつ単射な写像とする。このとき、hによるLの像h（L）はL’の部分束であることを示せ

１２）単調写像で束準同型でないものの例を与えよ

１３）以下を示せ
　　•分配束はモジュラー束である
　　•束LとLの任意の元a,b,cに対して
　　(a∩b)∪(a∩c)=a∩(b∪c)⇔(a∪b)∩(a∪c)=a∪(b∩c)

１４）Lは最小元を持ちさらにLの空でない任意の部分集合に対して上限が存在するときLは完備束になることを証明せよ。

１５）Lを完備束hをL上の単調な写像とする。このときhに不動点が存在する。とくに
　　　U{x∈L｜x≦h(x)}　はhの最大不動点になることを示せ。

１６）プール代数で以下のことが成り立つことを示せ
　•a≦b⇔a∩b'=0⇔a'∪b＝1
　•a≦b⇔b'≦a'

１７）F(U)={A⊂U｜AまたはA^cが有限}とさだめると
　　　F(U)はP(U)の部分プール代数になることを示せ(P(U)はUのベキ集合)

よろしくお願いします。

68:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:42:44
丸投げすぎワロタ

69:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:44:15
>>66
すみません。自力では５問ほどしかわかりませんでした…

70:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:46:21
b, c が W の基底になっているかは定義から確かめないといけない。

それが出来たら、直交補空間の定義を復習しよう。

次に、W の次元は明らかに 1 か 2。b, c は一方が他方の一次結合になってないかを確認しよう。

なってない場合、W の直交補空間の次元は 2 で、なってる場合は、3。

次に、W の直交補空間の基底を直交補空間の定義に合うように求めよう。

最後に、W の基底を e1, ... , W の補空間の基底を f1, ... として、a = c1 e1 + ... + d1 f1 + ...
として、連立方程式を解けば、

出　来　　上　　　が　　　　り

71:１３２人目の素数さん
10/02/08 00:51:46
>>69
とにかく、他人に余計な労力を使わせるのはやめなさい
どの５問を解いたのかくらい、せめて書いておくものだ

72:１３２人目の素数さん
10/02/08 01:01:08
問題とは少し違うのですが、長さのないジョルダン閉曲線って存在するのでしょうか？
今読んでいる複素解析の本は「長さのあるジョルダン閉曲線」と「一般のジョルダン閉曲線」とを分けて書いてあるので疑問に思うのですが・・・

73:１３２人目の素数さん
10/02/08 02:59:41
整数aに対してa^2が3の倍数ならばa自身3の倍数であることを示せ。
このことを用いて√(3)、√(6)が無理数であることを証明せよ。

この問題を自分で読み替えてやってみて
もしa^2=3kならば、a=3l
a^2-3k=0
(a-√(3k))(a+√(3k))=0
a=±√(3k)
aを3の倍数にするためには、kは3の倍数でなければならない。
よって、a^2が3の倍数ならばa自身3の倍数。■

としました。これで合っていますか？
ちなみにa=3lは仮定しておきながら、結局使ってないです。
二行目の証明は後でやります。

74:73
10/02/08 03:27:04
√(2)が無理数であることの証明、の一部を変えて√(3)が無理数であることを証明してみます:

いま、aを3の倍数として、a=3kとすれば、
a^2=9k^2
=3(3k^2)
であるから、a^2も3の倍数である。
したがって整数aの平方a^2が3の倍数ならば、
a自身も3の倍数でなければならない。
さて、もし√(3)が有理数であるとすれば、正の整数m, nを用いて
√(3)=m/n
と書くことができる。このとき、m, nがともに3の倍数ならば、
分母、分子を3で約してもっと簡約した形に表すことができるから、
m, nの少なくとも一方は3の倍数ではないとしてよい。
上の式の分母をはらって2乗すれば
m^2=3n^2
よってm^2は3の倍数で、したがってmは3の倍数である(平方a^2が3の倍数ならば、a自身も3の倍数)。
故にm=3L　(Lは整数)と書くことができ、(3L)^2=3n^2より
n^2=3L^2を得る。よってn^2、したがってnも3の倍数である。
これは上の仮定「m, nの少なくとも一方は3の倍数ではない」と矛盾する。
故に√(3)は有理数ではない。■

…こんなのでいいんでしょうか？

75:１３２人目の素数さん
10/02/08 04:24:58
>>73
ぜんぜんだめだぞー。

対偶をとって証明するのが模範解答。

76:１３２人目の素数さん
10/02/08 04:27:17
>>74

> いま、aを3の倍数として、a=3kとすれば、
から
> a自身も3の倍数でなければならない。
がおかしい。ここは>73で証明したその証明を使う。それ以降はOK。

77:73
10/02/08 04:36:05
>>75
こんなに早朝からありがとうございます。
対偶をとって証明するべきなのは>>74ですよね？
対偶の「Bでないなら√(3)が有理数でない」のBは具体的に何ですか？
それと>>73は合っていますか？

78:73
10/02/08 04:40:00
>>76
こんなに早朝からありがとうございます。
ということは、>>73は合っているというですか？
そして、>>74の最初の部分をその>>73の証明で置き換えればいいということですか？

79:１３２人目の素数さん
10/02/08 04:43:48
>>78

違うー！ >>75に書いたけど、「a^2が3の倍数ならばaも3の倍数」の証明は対偶
（「aが3の倍数でないならばa^2も3の倍数でない」）をとって証明するのが定石。
>>73におまえが書いてる証明は、一見もっともらしく見えるけど、「√(3k)が3の
倍数になるためにはkは3の倍数でなくてはいけない」、ってとこがまずい。だって
この問題の設定下では√3自体が無理数かどうかもわかんないんだぞ。

80:１３２人目の素数さん
10/02/08 04:49:34
すみません。集合に関する質問です。
自然数の集合として、「N」がよく使われますが、「自然数全体の集合をNとする」といった
形での「N」は問答無用で「無限集合」として考えてよいのでしょうか？

問題を解いていて、「N」をどうとらえるべきか困っています。

81:73
10/02/08 04:51:02
>>79
ありがとうございます。
すみません、√(3)自体が無理数だと
「√(3k)が3の倍数になるためにはkは3の倍数でなくてはいけない」がまずくなる理由がまず分からないです。
ちょっと、対偶「aが3の倍数でないならばa^2も3の倍数でない」を使って証明してみます。
しばらく時間をください。

82:１３２人目の素数さん
10/02/08 04:51:13
>>80
いまいち質問の意図がよくわかんないけど、Nが「自然数全体の集合」であれば、
他にとくに断りがないかぎり、Nは無限集合だわな。

83:１３２人目の素数さん
10/02/08 04:55:41
>>81
というかさ、「aを3の倍数にするためには」って書いてるけど、これじゃあ
aが3の倍数であるって仮定しているわけだろ？ aが3の倍数であること自体
が証明の目的なんだからそりゃおかしいだろ？

まあとにかく、対偶がんばってみなよ。

84:80
10/02/08 05:00:19
>>82
やっぱり無限集合ですよね。
すいません。背景として「位相」の問題を解いていたのですが、
「XをNの有限部分集合全体とするとき、|X|=アレフ0 を証明せよ」
とあって、「Nを有限に限ってしまったら、アレフ0になりようが無いのでは？」と悩んでいるんです。

85:１３２人目の素数さん
10/02/08 05:03:54
>>84
そだね。Nを有限に限ってしまったら、ℵ0になりようがないよね。

86:80
10/02/08 05:29:54

すみません、考え方で間違っている所があれば指摘していただけないでしょうか？

「有限部分集合全体」ということは、たとえば、1～nまでの有限な部分集合から考えたとき、
その要素の個数はn^2個で有限になる。 →よって ℵ0 にならない。

87:80
10/02/08 05:33:54
すみません、>>86の訂正です。
「n^2個」ではなくて、「2^n個」です。

「有限部分集合全体」ということは、たとえば、1～nまでの有限な部分集合から考えたとき、
その要素の個数は2^n個で有限になる。 →よって ℵ0 にならない。

88:１３２人目の素数さん
10/02/08 05:37:51
>>87
それであってるだろ？何を悩んでる？

89:80
10/02/08 05:43:31
>>88

証明問題が
「XをNの有限部分集合全体とするとき、|X|=ℵ0 を証明せよ」
とあって、ℵ0にならないとおかしいみたいなんです。

たぶん何か捉えかたが間違っていると思うのですが、
どこが間違っているのかわからなくて困っています。

90:１３２人目の素数さん
10/02/08 05:44:48
>>89
ℵ0の定義は？

91:80
10/02/08 05:48:56
「自然数全体と一対一対応がとれる集合」
もしくは「自然数の濃度」と捉えています。

92:１３２人目の素数さん
10/02/08 05:52:54
>>91
だよね？　だからXとNの間に一対一対応がとれることを示せばいいんだよね？
だったら何が問題？　繰り返すけどNは有限集合じゃなくて無限集合だよ？
もしかして、「Nの有限部分集合全体」ってところを勘違いしてる？　Nが無限
集合である以上、たとえば「Nの任意の1つの要素のみからなるNの有限集合」
全体だって無限個あるんだぞ？

93:１３２人目の素数さん
10/02/08 06:03:17
>>91

ちょっと補足。

>>87の

＞「有限部分集合全体」ということは、たとえば、1～nまでの有限な部分集合
＞から考えたとき、その要素の個数は2^n個で有限になる。

ってのは正しい。だけどだからといってNの有限部分集合全体が有限個しかないこと
にはならない。Nの有限部分集合を作るときに、1～nから要素を選ぶって決まってる
わけじゃないんだから。

この路線で考えるなら、Nの要素のうち1～nまでから任意個選んでできるNの有限部
分集合は2^n個、空集合をのぞくと2^n-1個。するとNの有限部分集合の総数は空集合
を考慮して

1+(2^1-1)+(2^2-2)+(2^3-1)+……

ってことになるよね？　これって有限？　無限？

94:１３２人目の素数さん
10/02/08 06:08:33
>>92
レスありがとうございます。
どうやら、「有限部分集合全体」のところで勘違いしていたようです。
自然数Nの一部として抽出された有限集合に対しての、部分集合全体、というような
捉え方をしていました。

95:１３２人目の素数さん
10/02/08 06:09:34
>>94
じゃ、あとは、1対1対応の付け方を考えるだけだね♪

96:80
10/02/08 06:14:13
本当にありがとうございます。
これからちょっと考えてみようと思います。

97:１３２人目の素数さん
10/02/08 10:45:48
>>72
至る所微分不可能な連続函数というものの存在を知っていれば
そのような疑問に至ることも無かったように思われる。

98:１３２人目の素数さん
10/02/08 12:29:52
「AD:DB」と、「ED:DF」を教えてください

URLﾘﾝｸ(up3.viploader.net)

99:１３２人目の素数さん
10/02/08 12:45:08
y=(ax+b) mod kでa,b,kが既知のとき
yの値からxを求めることはできますか？

100:１３２人目の素数さん
10/02/08 13:39:41
>>98
△ADE∽△ACB

101:99
10/02/08 13:54:02
ku*av=1の解を1組みつけることで解決しました

102:１３２人目の素数さん
10/02/08 15:38:42
>>70
ありがとうございます。ちょっと考えてみます。

103:73
10/02/08 17:14:40
>>83
>aが3の倍数であるって仮定しているわけだろ？ aが3の倍数であること自体
>が証明の目的なんだからそりゃおかしいだろ？

ごもっともです。
対偶「aが3の倍数でないならばa^2も3の倍数でない」を使った証明をずっと考えてるんですけど、思い浮かびません:

もしa^2≠3kならば、a≠3L (Lは整数)ではない
a^2-3k≠0
(a-√(3k))(a+√(3k))≠0
a≠±√(3k)
3L≠±√(3k)
L≠±√(3k)/3

…すみません、先に進まないといけないので今は諦めます。
ありがとうございました。

104:１３２人目の素数さん
10/02/08 17:24:14
>>103
戻ってきたか（笑）。
対偶を使った証明はこんな感じ。

aが3の倍数でないとすると、i) aは3で割ると1余る、ii) aは3で割ると2余る、の
いずれか。以下、kを整数として
i)のとき、a^2=(3k+1)^2=3(3k^2+2k)+1となるから、a^2は3で割ると1余る、
すなわち3の倍数でない。
ii)のとき、a^2=(3k+2)^2=3(3k^2+2k+1)+1となるから、a^2は3で割ると1余る、
すなわち3の倍数でない。
よって、a^2は3の倍数ではない。

ちなみに、ii)のときはa=3k-1ともおけるから、i)、ii)をまとめて
a^2=(3k±1)^2=3(3k^2±2k)+1と計算するとなお簡潔だね。

がむばれ。

105:73
10/02/08 17:42:33
>>104
ありがとうございます。
問題見てすぐにそんなのがスラスラッと出てくるのが羨ましいです。
後出しジャンケンですけど、自分でもi)とii)のような考え方はしてみたんです。でも、ちょっと違って

もしa^2=3k+1ならば、…
もしa^2=3k+2ならば、…

とした場合、それぞれa=3L+1、a=3L+2になる訳でもなさそうなので（←これも自信なし）、すぐに考えを変えました。
しっかり勉強して精進しますね。
ありがとうございました！

106:98
10/02/08 17:42:58
>>100
すみません。もうちょっとヒントもらえませんか？

107:１３２人目の素数さん
10/02/08 17:47:17
>>106
△FDB∽△FCE

108:１３２人目の素数さん
10/02/08 18:16:02
>>105
a^2=3kなのは前提として与えられている仮定なので、
> もしa^2=3k+1ならば、…
> もしa^2=3k+2ならば、…
> とした場合
を考えようとすること自体が無意味。

109:１３２人目の素数さん
10/02/08 18:34:55
>>105
最初の解答のときもそうだったけど、a^2=3kだとかa^2=3k+1ってやり
たがってるけど、たしかに気持ちはわかるが、そこからだと話が進まない
んだよね。だからこそ「a^2が3の倍数⇒aが3の倍数」という命題を直接（
つまりa^2についての仮定から議論をスタートする）証明しないで、対偶
をとって「aが3の倍数でない⇒a^2も3の倍数でない」をとって、aについ
ての仮定から議論をスタートするわけ。

110:１３２人目の素数さん
10/02/08 18:37:42
>>105
君がいくつかはしらないけど、すらすらとかじゃなく、あまりでの場合わけは定石だぞ

111:１３２人目の素数さん
10/02/08 19:45:55
>>106
URLﾘﾝｸ(cgi.2chan.net)

112:１３２人目の素数さん
10/02/08 20:39:32
>>105
もっと演習を積みましょう

113:１３２人目の素数さん
10/02/08 21:39:49
（・ω・）さて、ここで問題です。

　ある金券ショップに、あるスーパーで1000円以上の買い物で1枚使える、100円のチケット50枚が4千円で売ってました。
そのチケットを使っても、お釣をもらえます。

　では、その券の使えるお店で会計1010円の買い物をして、千円札と100円チケット券1枚を使って1100円支払い、お釣90円をもらえるとすると、全ての券をそのような使い方をしたら、
（おつり）90円×（チケット）50枚＝4500円となり、このチケットの金券ショップでの売価4千円の元が取れるということになり、お得といえるでしょうか？（制限思考時間1分以内）

114:１３２人目の素数さん
10/02/08 21:43:42

ここは出題スレじゃないんで、自重してくれないかな。

115:１３２人目の素数さん
10/02/08 23:00:08
交代群の話の中、対称式や交代式について、

n個の文字から、全ての文字の差を掛け合わせたものを最簡交代式という
というもので、３次の最簡交代式S_3が、

S_3 = (x - y)(y - x)(x - z)

と書かれていたのですが、(z - x)ではダメなんでしょうか。
偶奇が変わるので、よく分からないです。

交代群の話なので、(x - z)だろうが(z - x)だろうが関係ないのですが、
別の分野で使う際に符号に意味があると困るので、教えてください。

116:115
10/02/08 23:01:03
>>115
誤）　偶奇が変わる
正）　正負が変わる

117:１３２人目の素数さん
10/02/08 23:02:30
>>115
式間違えてないか？

118:１３２人目の素数さん
10/02/08 23:26:21
>>30
転倒しているペアを全部、辺で結んだときに
二部グラフが作れるか？
で、どうかな

119:98
10/02/09 00:02:01
>>100, >>107, >>111
ありがとうございます！！
アドバイスのおかげで後は自力でできそうです。
<m(_ _)m>

120:１３２人目の素数さん
10/02/09 03:29:41
>>115
実際に置換を作用させればわかると思うけど、ひっくり返したらダメだよ。

121:１３２人目の素数さん
10/02/09 04:07:36
XをN(0,1)に従う確率変数とする。
Y＝e^Xの確率密度関数を求めよ。

何から手をつけたらよいのかさっぱりわかりません…
よろしくお願いします。

122:１３２人目の素数さん
10/02/09 07:23:22
>>121
密度関数は分布関数の微分
分布関数は
P[Y≦y] 　= P[e^X ≦ y] = P[X≦ log y]= ∫[-∞,log y] e^(-x^2/2) dx/√2π
これを y で微分

123:１３２人目の素数さん
10/02/09 12:50:23
(X,ρ)：距離空間
Y⊆X
τX：X上のすべての開集合から成る集合族
τY：Y上のすべての開集合から成る集合族
写像σ：τY→τXを、
σ(A) = ｛x∈X：ρ(x,A)＜ρ(x,Y＼A)｝
で定義する。
このとき、
A,B∈τY ⇒ σ(A∩B) = σ(A)∩σ(B)
を示せ。

簡単に示せると思ったのですが、うまくいきませんでした。
よろしくお願いします。

124:１３２人目の素数さん
10/02/09 15:51:05
ｽﾏﾝ
Ｘ＋Ｙ＝８
Ｘ＾2　＋Ｙ＾2＝４０

この連立方程式解いて

125:１３２人目の素数さん
10/02/09 16:19:50
>>124　こんな義務教育レベル、暗算でできんのか。

(x,y)=(2,6),(6,2)

126:１３２人目の素数さん
10/02/09 16:27:02
>>125
＞(x,y)=(2,6),(6,2)

悪いけどそれくらい小学生でもわかる
過程を教えてはくれまいか

127:１３２人目の素数さん
10/02/09 16:36:32
>>126
y=8-xをx^2+y^2=40に代入。2x^2-16x+64=40;x^2-8x+12=0;(x-2)(x-6)=0

128:１３２人目の素数さん
10/02/09 18:23:04
f_n(X)=a_nX^2+b_nX+c_n (n∈N)とする。異なる3つの値α,β,γがあって
数列{f_n(α)},{f_n(β)},{f_n(γ)}がすべて収束するならば,
数列{a_n},{b_n},{c_n}も全て収束する。
さっぱりです。教えてください。

129:１３２人目の素数さん
10/02/09 18:33:03
>>123
x∈σ(A∩B) ならば
ρ(x,A)≦ρ(x,A∩B)＜ρ(x,Y＼(A∩B))=ρ(x,Y∩(A∩B)^c)=ρ(x,(Y∩A^c)∪(Y∩B^c))
≦ρ(x,(Y∩A^c))=ρ(x,Y＼A)
よって x∈σ(A)
同様に x∈σ(B) だから σ(A∩B) ⊂ σ(A)∩σ(B)

A⊂Y だから
min { ρ(x,A∩B), ρ(x,Y＼B) } ≦ min { ρ(x,A∩B), ρ(x,A＼B) } = ρ(x,A)
A∩B⊂A と合わせると ρ(x,A∩B)=ρ(x,A) または ρ(x,Y＼B)≦ρ(x,A)
同様にρ(x,A∩B)=ρ(x,B) または ρ(x,Y＼A)≦ρ(x,B)
x∈σ(A)∩σ(B) とすると ρ(x,A)＜ρ(x,Y＼A) および ρ(x,B)＜ρ(x,Y＼B)
なので min { ρ(x,A), ρ(x,B) } = ρ(x,A∩B)
これと x∈σ(A)∩σ(B) から
ρ(x,A∩B)=min { ρ(x,A), ρ(x,B) }
＜min { ρ(x,Y＼A), ρ(x,Y＼B) } = ρ(x,(Y＼A)∪(Y＼B))=ρ(x,Y＼(A∩B))
よって x∈σ(A∩B)
すなわち σ(A)∩σ(B) ⊂ σ(A∩B)

以上からσ(A)∩σ(B) ＝ σ(A∩B)

130:１３２人目の素数さん
10/02/09 19:19:12
>>128
f_n(α）→a、f_n(β）→b、f_n（γ）→cに収束するとする

このとき、
f_n(X)=a_nX^2+b_nX+c_n-a = 0
f_n(X)=a_nX^2+b_nX+c_n-b = 0
f_n(X)=a_nX^2+b_nX+c_n-c = 0
（※n→∞）とする

は明らかに多項式である
代数学の基本定理より、Xが複素数の範囲内なら、a_n、b_n、c_n-？も∞を除く複素数の範囲内

131:１３２人目の素数さん
10/02/09 19:37:26
>>129
ありがとうございます。

132:１３２人目の素数さん
10/02/09 21:02:18
x*(x-1)*(x-2)…(x-n) = ∑[k=1,n+1]a[k]*x^k

この左辺のような積を多項式で表現したときの係数 a[k] の形がどうなるか
教えて頂けないでしょうか。解説しているサイトの紹介でも構いません。

よろしくお願いします。

133:132
10/02/09 21:06:57
>>132ですが、両辺をm回微分して x = 0 を代入する
という方法で出来そうなのですが、左辺の式のm回微分に
x = 0 を代入したときの表現がよくわからない、という状態です。

134:１３２人目の素数さん
10/02/09 21:18:05
>>132　ガンマ関数入るけど

Π[k=0,n](x-k)=-(-1)^n*(Γ(n-x+1)/Γ(-x))

135:132
10/02/09 21:29:42
それは132の右辺の多項式に、どのように適用すればよいのでしょか？

136:１３２人目の素数さん
10/02/09 21:33:42
x'(t)=t/cosx(t)でx(0)=0となるもののx(t)を求めy。
どのように変形すれば解けるのかわかりません。
急いでいます！よろしくお願いします、

137:１３２人目の素数さん
10/02/09 21:37:34
>>136
急いでるのはわかったからマルチするな

138:１３２人目の素数さん
10/02/09 21:38:50
>>136
> 急いでいます！よろしくお願いします、

それはテメーの事情だ。
回答者に催促するような質問には答えないことにしている。

139:１３２人目の素数さん
10/02/09 21:51:24
sin X(t)=t^2

140:１３２人目の素数さん
10/02/09 21:55:58
＞１３８
それは各回答者が判断することw

141:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:06:00
自分の知識をひけらかしたくて仕方のない人間なら
こんなあからさまマルチにもあっさり答えるだろうな

142:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:09:33
>>132
x からx-nまでの積をΣＡ（n，k）x^k

kについての和

と書いて、nをn+1に増やすときに x-n-1 を掛けるでしょう

二項係数みたいな漸化式を作ればよいでしょう

ただね、係数がきれいな式にならないですよ

基本対称式を使う手もあるけど

143:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:14:09
>>132
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

144:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:16:23
>>132

　x(x-1)(x-2)…(x-n) = ∑[k=1,n+1] s(n+1,k) x^k,

　s(n,k) は異なるn個のものをk組に分けるやり方の数。（第一種スターリング数とか云うらしい）

URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

145:132
10/02/09 22:26:07
みなさん、どうもありがとうございます！
非常に参考になりました。

146:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:29:33
2sin^2θ-√3sinθ-3＜0

でθの範囲を求めるときsinθ＜-√3/2で4/3π＜θ＜5/3πだと思ったのですが違いました…

解説お願いします

147:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:36:12
>>146
その「sinθ＜-√3/2で4/3π＜θ＜5/3πだと思った」のは
どんな計算を行ったことの結果？

148:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:39:49
>>146
　(2sinθ + √3)(sinθ - √3) < 0,
　sinθ - √3 < 0,
より
　2sinθ + √3 > 0,
　sinθ > -(1/2)√3,

149:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:41:48
>>147

この不等式をとくと、sinθ＝-√3/2と√3がでてきまして、√3は不適当で不等式全体＜0なので-√3/2＜0だと思い、単位円を書いて求めました…

150:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:46:27
>>149
不等式をとくというか勝手に等式にして解だしただけだろ。
わかりにくんなら、sinをxにおきかえるとかグラフかくとかしたほうがいいぞ。

151:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:53:42
>>149
やはりね
三角比では誰に何を言われなくても、-1≦sinθ≦1という条件が付いて回る
ということ自体は覚えていたようだけど…
実際に不等式を解く段になるときちんと理解できていないみたいだな

>>148も言ってる通り「sinθ - √3 ＜ 0」だから、もとの不等式で不等号の向きは変わる
それさえ間違えなかったら、単位円を描いて求めることはできるようだから以降は問題ないだろう

152:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:58:29
>>149
Sinθ-√3がマイナスっぱなしになるから、不適当な√3に対応するのですが、マイナスだから、不等号の向きが変わるのですよ

だから、不適当なやつを除いたときに、のぞく前と後で変わるわけね

その不適当な、をいつもマイナスだからと書けばオーケーだったというわけです

153:１３２人目の素数さん
10/02/09 22:59:07
失礼、元の不等式の不等号なんか変わらないや
変わるのは「sinθ - √3」で割った時

154:１３２人目の素数さん
10/02/09 23:01:29
理解できました!皆さんありがとうございます。

155:１３２人目の素数さん
10/02/09 23:18:39
>>139
右辺がt^2/2でした

これ，t->√２-0のときＸ（t）の微分が凄いことになるのね

要するに、ｔって√２を越えられないのね

156:１３２人目の素数さん
10/02/10 00:12:18
微分幾何学で
第二基本形式がパラメータ変換を行っても不変であることを
示したいです。
x(u,v)をx(theta,phi)で行いたいです。
よろしくお願いします。

157:１３２人目の素数さん
10/02/10 07:53:28
>>128
f_n(α)=α^(2)*a_n+α*b_n+c_n
f_n(β)=β^(2)*a_n+…
f_n(γ)=…
を未知数 a_n, b_n, c_n の連立方程式と見ると, α, β, γ は異なるから(係数行列の行列式)≠0 (ヴァンデルモンドの行列式)
だから a_n, b_n, c_n は f_n(α), f_n(β), f_n(γ) の線形結合で書ける.
f_n(α), f_n(β), f_n(γ) は収束するから, a_n, b_n, c_n も収束する.

158:１３２人目の素数さん
10/02/10 21:34:41
複数お願いしたいです。
途中計算もお願いします。

①方程式x^3-2x-1=0を解け
②原点が中心で半径rの円と直線y=2x+3が共有点をもつような
定数rの値の範囲を求めよ
③0=≦x≦πの範囲で不等式cos2x-cosx+1≦0を解け
④放物線y=-x(x-2)と直線y=xで囲まれた図形の面積を求めよ

159:１３２人目の素数さん
10/02/10 21:37:36
ただ今、丸投げ好き回答者を召喚中…

160:１３２人目の素数さん
10/02/10 21:39:24
例えばこれ、答えだけ与えたら喜ばれるの？

161:１３２人目の素数さん
10/02/10 21:41:14
①ができんとかザコすぎるだろ

162:１３２人目の素数さん
10/02/10 21:49:58
>>158 (1), >>161

　x^3 -2x-1 = (x+1)(x^2 -x -1) = (x+1){(x - 1/2)^2 - 5/4},

∴　x = -1, (1±√5)/2,

163:１３２人目の素数さん
10/02/10 21:52:12
召喚成功
これだから丸投げはやめられん

164:１３２人目の素数さん
10/02/10 21:57:41
>>160
質問者も各自の判断
回答者も各自の判断
てとこかと

各自の判断が常に安定している必要も無さそうだし

165:１３２人目の素数さん
10/02/10 22:00:45
質問者にはどうせ確かめようもないんだしな

166:１３２人目の素数さん
10/02/10 22:10:51
>>158
(2)　x^2 + y^2 - r^2 = x^2 + (2x+3)^2 - r^2
　　= 5x^2 + 12x + (9-r^2)
　　= 5(x + 6/5)^2 + (9/5) - r^2
　　= 5(x + 6/5)^2 - D,
　判別式D = r^2 - 9/5 ≧ 0,　r ≧ 3/√5,

(3) cos(2x) - cos(x) +1 = {2cos(x)-1}cos(x) より
　0 ≦ cos(x) ≦ 1/2,
　π/3 ≦ x ≦ π/2,

(4)　-x(x-2) -x = x(1-x),
　∫[0,1] x(1-x) dx = [ (1/2)x^2 - (1/3)x^3 ](x=0,1) = 1/6,

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