不等式への招待第４章

不等式への招待第４章 at MATH

1:１３２人目の素数さん
09/06/15 19:00:00
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

過去スレ
・不等式スレッド（Part1）　ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
・不等式への招待第２章　ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
・不等式への招待第３章　ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

過去スレのミラー置き場：URLﾘﾝｸ(cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com)

まとめWiki　URLﾘﾝｸ(wiki.livedoor.jp)

姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板「出題不等式」 URLﾘﾝｸ(messages.yahoo.co.jp)

2:１３２人目の素数さん
09/06/15 19:03:00
不等式の本
[1]　不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
　　URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[2]　不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年（絶版）
[4]　不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
　　 URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[5]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[6]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[7]　数理科学 No.386 特集「現代の不等式」，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[8]　数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
　　URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[9]　数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店、2001年
　　URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[10]　The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
　　 URLﾘﾝｸ(amazon.co.jp)
[11]　数学セミナー 2009年 02月号，日本評論社，2009年
　　URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)

3:１３２人目の素数さん
09/06/15 19:04:00
不等式の埋蔵地
[1]　RGMIA　URLﾘﾝｸ(rgmia.vu.edu.au)
[2]　Crux Mathematicorum Synopses　URLﾘﾝｸ(www.journals.cms.math.ca)
[3]　Maths problems　URLﾘﾝｸ(www.kalva.demon.co.uk)
[4]　Mathematical Inequalities & Applications　URLﾘﾝｸ(www.ele-math.com)
[5]　American Mathematical Monthly　URLﾘﾝｸ(www.maa.org)
[6]　Problems in the points contest of KöMaL　URLﾘﾝｸ(www.komal.hu)
[7]　IMO リンク集　URLﾘﾝｸ(imo.math.ca)
[9]　Mathematical Olympiads Correspondence Program　URLﾘﾝｸ(www.cms.math.ca)
[10]　Mathematical Excalibur　URLﾘﾝｸ(www.math.ust.hk)
[11]　MathLinks Contest　URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)
[12]　MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE　URLﾘﾝｸ(www.math.northwestern.edu) (要自動登録)
[13]　Wolfram MathWorld　URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics　URLﾘﾝｸ(jipam.vu.edu.au)
[2] MIA Journal　URLﾘﾝｸ(www.mia-journal.com)
[3] MathLinks Math Forum　URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)

4:１３２人目の素数さん
09/06/15 23:31:16
>>1
スレ立て乙！
>>2に数蝉の記事も加えてあって、完璧な仕事ぶりでござるな…

5:にょにょ ◆yxpks8XH5Y
09/06/16 00:42:34
Cinco!

6:【転載】
09/06/16 02:49:26
979 名前：１３２人目の素数さん投稿日： 2009/06/15(月) 23:24:53
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ

Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds （t1≦t≦t2）
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) （t1≦t≦t2）
が成り立つことを示せ

7:１３２人目の素数さん
09/06/16 03:25:57
フィボナッチ数列に関した不等式ってないですか？

8:１３２人目の素数さん
09/06/16 04:22:17
>>6
上：nの偶奇で場合分け。偶数の場合をといて、奇数の場合を解く。

下：グロンウォールの不等式

9:１３２人目の素数さん
09/06/16 14:15:19
>>6　
x^2+y^2=1 上での x^n+y^n の最大値と解釈してラグランジュ。

10:１３２人目の素数さん
09/06/16 14:45:15
まだ前スレは 20 は書けるぜ！

11:１３２人目の素数さん
09/06/18 01:03:50
ABを斜辺とする直角三角形ABCがある。
辺AC上に、頂点A、Cと異なる任意の点Pをとるとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

(AB-BP)/AP＞(AB-BC)/AC

(お茶の水女子大)

12:１３２人目の素数さん
09/06/18 04:07:20
No1
a，b，cは実数で，a≧0，b≧0とする．
　　p(x)=ax^2+bx+c
　　q(x)=cx^2+bx+a
とおく．-1≦x≦1をみたすすべてのxに対して|p(x)|≦1が成り立つとき，
-1≦x≦1をみたすすべてのxに対して|q(x)|≦2が成り立つことを示せ．

No2
nを正の整数，aを実数とする．すべての整数mに対して，
　　m^2-(a-1)m+(an^2)/(2n+1)＞0
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ．

No3
　実数a，b，c，x，y，z，pが次の4条件をみたしている．
　　a^2-b^2-c^2＞0
　　ax+by+cz=p
　　ap＜0
　　x＜0
このとき，x^2-y^2-z^2の符号を調べよ．

No4
　a，b，cは実数とする．また，xについての関数f(x)を以下のように定める．
　f(x)=x^3-3ax^2+(a^2-a+b)x+c
a≦p，a≦q，a≦rをみたす任意の実数p，q，rに対して，
　{f(p)+f(q)+f(r)}/3≧f((p+q+r)/3)
が成り立つことを示せ．

No5
　a，bは実数とする．xについての関数f(x)を
　　f(x)=|x^3+ax+b|
と定める．|x|≦1におけるf(x)の最大値をM(a,b)として，M(a,b)の最小値を求めよ．

13:１３２人目の素数さん
09/06/18 04:08:16
No6
　nは自然数とする．2，2^2，2^3，…，2^nを並べ替えてできる数列をa[1]，a[2]，a[3]，…，a[n]とする．このとき
　　Σ[k=1,n]a[k]2^k
の最大値，最小値を求めよ．

No7
　任意の正数a，b，cに対して，以下の不等式をみたすような実数kの最小値を求めよ．
a^(1/3)+b^(1/3)+c^(1/3)≦k(a+b+c)^(1/3)

No8
　aは正の定数とする．任意の実数x，yに対して以下の不等式が成り立つことを示せ．
|√(a+x^2)-√(a+y^2)|≦|x-y|

No9
　a,b,c,p,qはすべて異なる実数とする．
　f(x)=(x-a)(x-b)
　g(x)=(x-b)(x-c)
　h(x)=(x-c)(x-a)
として，f(x)+g(x)+h(x)=0の解がp,qであるとき，h(b)＜0ならばf(p)g(q)＞0であることを示せ．

No10
　a,b,c,dは0以上1以下の実数である．このとき，以下の不等式が成り立つことを示せ．
(a+b+c+d+1)^2≧4(a^2+b^2+c^2+d^2)

14:１３２人目の素数さん
09/06/18 04:09:13
No11
　a[1]，a[2]，…はすべて絶対値が1より小さい実数である．nを2以上の自然数として，以下の不等式を示せ．
　a[1]a[2]…a[n]+n-1＞Σ[k=1,n]a[k]

No12
　x，yは正の実数とする．
(1) 任意のx，yに対して，√(x+y)＜√x+√yが成り立つことを示せ．
(2) 任意のx，yに対して，√x+√y≦k√(x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ．

No13
a，b，cは正の実数とする．
(1) (a+1/b)(b+4/a)の最小値と，そのときのa，bの値を求めよ．
(2) (a+1/b)(b+4/c)(c+9/a)の最小値と，そのときのa，bの値を求めよ．

15:１３２人目の素数さん
09/06/18 05:00:35
ん．．．なんか「大学への数学」関係雑誌で見たような問題が並ぶ

16:１３２人目の素数さん
09/06/18 13:22:47
>>15
何年何月号か詳細を述べ給え！

17:15
09/06/18 17:22:20
月刊号じゃなくて，新数学演習とかと同じ位置づけの本

数学ショートプログラム―大学への数学
URLﾘﾝｸ(www.tokyo-s.jp)

普通とは違う見方・解き方で発想力を付けようという趣旨だったか

18:１３２人目の素数さん
09/06/19 00:07:27
>>11
∠CBP = θ とおくと、
　BP = BC/cosθ
　CP = BC･tanθ
　(BP-BC)/CP = (1-cosθ)/sinθ = sinθ/(1+cosθ),
これはθについて単調増加だから
　(BP-BC)/(AC-AP) = (BP-BC)/CP < (AB-BC)/AC
∴　AC(AB-BP) > AP(AB-BC),
両辺を AC･AP で割る。

>>12
No.4
　x≧a では
　f "(x) = 6(x-a) ≧ 0　　･････下に凸

>>13
No.6　チェビシェフ
　最大になるのは Σ同順序積のとき a[k] = 2^k,
　(与式) = Σ[k=1,n] 4^k = 4(4^n -1)/(4-1),
　最小になるのは Σ逆順序積のとき　a[k] = 2^(n+1-k),
　(与式) = Σ[k=1,n] 2^(n+1) = n･2^(n+1),

No.7　チェビシェフ
　a^(1/3)=A, b^(1/3)=B, c^(1/3)=C とおくと、
　(A+B+C)^3 ≦ 3(A+B+C)(A^2+B^2+C^2) ≦ 9(A^3 + B^3 + C^3),

No.8　分子を有理化して
　(左辺) = |x^2 - y^2|/{√(a+x^2) + √(a+y^2)} ≦ |x^2 - y^2|/(|x|+|y|) = Min{|x+y|,|x-y|},

19:１３２人目の素数さん
09/06/19 09:37:51
08信州大（後期）より

nを1より大きい整数とする。次の不等式を示せ。

log(n) * log(nπ^2/4) > Σ[k=1,n-1] (4/(kπ))√[log(kπ/2) * log{(k+1)π/2}]

20:１３２人目の素数さん
09/06/19 23:55:27
>>14
No.11
　(左辺) - (右辺) = Σ[k=2,n] (1-a[1]a[2]････a[k-1])(1-a[k]) > 0,

No.12
(1)　(√x + √y)^2 = x + y + 2√(xy) > x + y,
　の平方根をとる。
(2)　2(x+y) - (√x + √y)^2 = x+y -2√(xy) = (√x - √y)^2 ≧ 0,
∴　√x + √y ≦ √{2(x+y)},
等号成立は x=y のとき。

21:１３２人目の素数さん
09/06/20 00:15:59
>>14
No.13
(1)　1 + 4 + 2(ab/2 + 2/ab) ≧ 1 + 4 + 2*2 = 9,
　　等号成立は ab=2 のとき。
(2)　6{(2a/3 + 3/2a) + (3b/2 + 2/3b) + (c/6 + 6/c) + (abc/6 + 6/abc)}
　　≧ 6{2 + 2 + 2 + 2} = 48,
　　等号成立は a=3/2, b=2/3, c=6 のとき。

No.11 は [前スレ.990] かな。

22:１３２人目の素数さん
09/06/20 14:32:02
>>19

π/2 = p とおくと、相乗･相加平均より
　(右辺) < ∑[k=1,n-1] (2/3k){log(kp) + log((k+1)p)}
　　　　 = ∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1) + 2log(p)},
　(左辺) = log(n)log(np^2) = log(n){log(n) + 2log(p)} = log(n)^2 + 2log(p)･log(n),
したがって、
　∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k) + log(k+1)} < log(n)^2,　　　･････ (I)
　∑[k=1,n-1] (2/3k) < log(n),　　　　　　　　　　　　　　　･････ (II)
を示せば十分。

(I)
　1/(k+1) < -log(k/(k+1)) = log((k+1)/k) = log(k+1) - log(k),
より
　∑[k=1,n-1] (2/3k){log(k+1) + log(k)} < (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] (1/(k+1)){log(k+1) + log(k)}
　　= (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] {log(k+1) - log(k)}{log(k+1) + log(k)}
　　= (2/3)log(2) + ∑[k=2,n-1] {log(k+1)^2 - log(k)^2}
　　= (2/3)log(2) + log(n)^2 - log(2)^2
　　= log(n)^2 -log(2){log(2) -2/3}
　　< log(n)^2,　　　　　　　　　　　　　{log(2) = 0.693147･･･ >2/3}

(II)
・n=2 のときは明らか。
・n>2 のとき、(I) と同様に
　∑[k=1,n-1] (2/3k) = 2/3 + ∑[k=2,n-1] (2/3k)
　< 2/3 + ∑[k=2,n-1] {log(k+1)-log(k)}
　= 2/3 + log(n) - log(2)
　< log(n),　　　　　　　　　　　　{log(2) = 0.693147･･･ >2/3}
または、 y=1/x が下に凸だから
　∑[k=1,n-1] (1/k) < ∫[1/2, n -1/2] 1/x dx = log(2n-1) < (3/2)log(n),

23:１３２人目の素数さん
09/06/20 16:04:24
>>13

No.10
　Max{a,b,c,d} = M とおく。
　ab+ac+ad+bc+bd+cd ≧ M(a+b+c+d-M) ≧ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - M^2 > a^2 + b^2 + c^2 + d^2 -1,
　(左辺) = (a+b+c+d)^2 + 2(a+b+c+d) + 1
　　= (a^2 +b^2 +c^2 +d^2) + 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) +2(a+b+c+d) +1
　　≧(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) + (a^2 +b^2 +c^2 +d^2 -1) +2(a^2 +b^2 +c^2 +d^2) +1
　　= (右辺),

24:１３２人目の素数さん
09/06/21 02:29:17
>>6 (上), >>8

n=2m (偶数)のとき cos(x)^2 - (1/2) = ξ, とおく。|ξ| ≦ 1/2, 与式は
　(与式) = (1/2 - ξ)^m + (1/2 + ξ)^m = 2∑[k=0,[m/2]] Ｃ[m,2k] (1/2)^(m-2k) ξ^(2m),
　ξ=±1/2 のとき最大値 1,
　ξ=0 のとき最小値 (1/2)^(m-1),

nが奇数のとき、与式を g(x) とおくと,
　g '(x) = n･sin(x)cos(x){sin(x)^(n-2) - cos(x)^(n-2)},
　最大値 g(0) = g(π/2) = 1,
　最小値 g(π) = g(3π/2) = -1,
なお、
　極小値 g(π/2) = (1/2)^(n/2 -1),
　極大値 g(3π/2) = -(1/2)^(n/2 -1),

25:24
09/06/21 02:34:01
>>24 の訂正、ｽﾏｿ.
2行目
　(与式) = ････ = 2∑_{k=0,[m/2]} Ｃ(m,2k) (1/2)^(m-2k) ξ^(2ｋ),

26:１３２人目の素数さん
09/06/22 09:11:50
負の実数 x,y,z が x+y+z<-3 および x^2+y^2+z^2+2xyz=1 を満たすとき，
(1) (x+1)(y+1)(z+1)≦0 が成り立つことを示せ。
(2) x,y,z が全て無理数である x,y,z の例を１組挙げよ。
（2006年旭川医科大学）

27:１３２人目の素数さん
09/06/22 21:41:53

(前略)
今入った速報です。アグネスタキオン・・・原因が不明ですが死んだそうです。詳しい情報が入り次第また
お知らせしたいと思います。
うそ～～～！！！付けたことあるけどとまったことがないうちに高値になってしまい、お金ができたら
つけようと思っていたのに
すごく残念でショックでサンデーサイレンスが死んだ時のことを思い出しました。
サンデーに続く確立された種牡馬で血統も素晴らしい人気の種馬だっただけに・・・・。
タキオンが死んだら何が一番なの？

何だかもっと違う話題を書こうと思っていたのに、忘れるくらい残念な出来事になりました
(後略)

ソース：競走馬生産牧場・市川ファームのブログ
(牧場のブログなので直リン回避のため●を入れました。アクセス時には●を削除して下さい)
URLﾘﾝｸ(bl)<)

アグネスタキオン｜馬｜Um@SQL
URLﾘﾝｸ(db.netkeiba.com)

種牡馬｜アグネスタキオン｜馬｜Um@SQL
URLﾘﾝｸ(db.netkeiba.com)

YouTube - アグネスタキオンの種付け
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

28:１３２人目の素数さん
09/06/22 22:42:24
>>26
(2)が難しいな… ('A`)

29:１３２人目の素数さん
09/06/22 23:51:39
x=1/y=zとおく。

30:１３２人目の素数さん
09/06/23 09:00:17
>>26
(2)はx=-cosh(1),y=-cosh(2),z=-cosh(3)
として、無理数かどうか言及しないでokだろうか

31:１３２人目の素数さん
09/06/23 09:13:32
だめでしょ

32:１３２人目の素数さん
09/06/23 13:41:36
>>30
だめだろ！

33:１３２人目の素数さん
09/06/23 16:15:14
F[n]はフィボナッチ数列

(F[n]F[n+1])^4≦(n^3)Σ[k=1→n](F[k])^8

34:１３２人目の素数さん
09/06/23 19:33:49
>>26 (2) は
　　x = -(1/2)(a + 1/a), y = -(1/2)(b + 1/b), z = -(1/2)(c + 1/c),　abc=1,

(略証)
定義より
　x^2 + y^2 + z^2 +2xyz = 1 + (1/4)(1-abc)(1 + 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) + (1/4){1 - 1/(abc)}(1 + a^2 + b^2 + c^2),

さらに abc=1 とおけば (上式) = 1,　題意を満たす。

35:１３２人目の素数さん
09/06/23 19:47:49
>>26
URLﾘﾝｸ(www.mathlinks.ro)

36:１３２人目の素数さん
09/06/23 23:30:00
（ｚ＋ｘｙ）＾２＝（ｘ＾２－１）（ｙ＾２－１）。

37:１３２人目の素数さん
09/06/24 02:05:55
>>33
(右辺)=(1+1+…+1)(1+1+…+1)(1+1+…+1)(F[1]^8+F[2]^8+…+F[n]^8)
≧(1+1+…+1)(1+1+…+1)(F[1]^4+F[2]^4+…+F[n]^4)^2={(1+1+…+1)(F[1]^4+F[2]^4+…+F[n]^4)}^2
≧(F[1]^2+F[2]^2+…+F[n]^2)^4
=(F[n]F[n+1])^2=(左辺)

38:１３２人目の素数さん
09/06/24 02:35:00
n≧3のとき(F(n+1)/F(n))^4≦2^4≦3^3≦n^3だから緩すぎ。

39:１３２人目の素数さん
09/06/24 02:51:23
学コンから

（√2）^（√2）を小数第１位まで求めよ

40:１３２人目の素数さん
09/06/24 03:02:46
a+b+c=0，1/4≦x≦y≦z≦1のとき
abx+bcy+caz≦0
を示せ

41:１３２人目の素数さん
09/06/24 04:36:39
>>26は高校範囲だとどう解くんだ．．．？

42:１３２人目の素数さん
09/06/24 05:07:09
x=-5-4√2
y=-1-√2
z=-1-√2

43:１３２人目の素数さん
09/06/24 08:32:03
>>42みたいに適当に-1より小さい2つの無理数で計算しやすい組とってきて代入してもうひとつの文字求めればいいだけじゃないの
思いついたのは
x=-3+√2,y=-3-√2,z=-7-2√7

なんでそんなにややこしく考えるのかわからん

44:41
09/06/24 13:08:17
>>43
ちょっと行き当たりばったりすぎな気もしたから，もうちょっとウマク平易に解きたかったんだ

先験的に解くと>>35みたいなのになり，それを元に>>34みたいな答えが出てくる

45:１３２人目の素数さん
09/06/24 13:17:14
(1)の結果と>>36から-1より小さい実数をx,yに代入してzを求めたらx+y+z<3は自ずと満たされる
別に行き当たりばったりでもないだろ

46:１３２人目の素数さん
09/06/24 13:21:45
このスレでオナニーの邪魔をするのは無粋というもの…

47:１３２人目の素数さん
09/06/24 19:32:38
>>26 (1)

（>>36 の解説）
題意より x-1 <-1, y-1 <-1 だから、>>36 より
　(x+1)(y+1) ≧0,
　x+1 と y+1 は同符号。
同じ様に
　x+1, y+1, z+1 は同符号。
一方、
　(x+1) + (y+1) + (z+1) = (x+y+z) +3 < 0,
　x+1, y+1, z+1 ≦ 0,

48:１３２人目の素数さん
09/06/24 19:52:02
お前らかっけー

49:１３２人目の素数さん
09/06/26 01:13:22
微分法を使わずに
x≧0におけるx^3-3xの最小値を求めることってできますか？

50:１３２人目の素数さん
09/06/26 01:47:24
x^3 - 3x = (x+2) (x-1)^2 - 2

51:１３２人目の素数さん
09/06/26 01:59:59
x^3+1+1≧3x⇔x^3-3x≧-2
じゃあ駄目？

52:１３２人目の素数さん
09/06/26 04:24:11
x^3+1+1に ( ﾟ∀ﾟ)つ AM-GM

53:１３２人目の素数さん
09/06/26 04:24:48
a>0,b>0のとき
(b^2/a^2)－a＋b^2－1＋(a^2/b^2)－b^2/a
の最小値を求めよ

54:１３２人目の素数さん
09/06/26 18:41:40
Canada 1997
1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44

55:１３２人目の素数さん
09/06/26 21:41:53
>>54
　(2i-1)(2i+1) = (2i)^2 -1 < (2i)^2　より,
(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)/(2i+1)} < √{(2i-1)/(2i+1)}

　(4i-1)(4i+1) = (4i)^2 -1 < 4(2i)^2　より,
　(2i-1)/(2i) = 1 - 1/(2i) = √{1 - (4i-1)/(2i)^2} > √{1 - 4/(4i+1)} = √{(4i-3)/(4i+1)},
すなわち
　√{(4i-3)/(4i+1)} < (2i-1)/(2i) < √{(2i-1)/(2i+1)}
k=2,･･･,n を掛けて
　√{5/(4n+1)} < Π[i=2,n] (2i-1)/(2i) < √{3/(2n+1)},

∴　(1/2)√{5/(4n+1)} < Π[i=1,n] (2i-1)/(2i) < (1/2)√{3/(2n+1)},

n=999 とおいて
　1/57 < (1/2)√(5/3997) < Π[i=1,999] (2i-1)/(2i) < (1/2)√(3/1999) < 1/51,

なお、近似値　0.017847935113411････

56:55
09/06/26 22:25:08
訂正ｽﾏｿ
　(2i-1)/(2i) < (2i-1)/√{(2i-1)＊(2i+1)} ＝ √{(2i-1)/(2i+1)},

ｉ= 2,･･･,n を掛けて

57:１３２人目の素数さん
09/06/26 22:33:48
>>54
(2i-1)2i ＞ (2i-1)/(2i+1) より
Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＞ Π[i=1 to 999] (2i-1)/(2i+1) = 1/1999

(2i-1)2i ＜ 2i/(2i+1) より
(Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)^2
＜ (Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i)(Π[i=1 to 999] 2i/(2i+1))
＜ Π[i=1 to 999] ((2i-1)/2i) (2i/(2i+1))
= 1/1999
よって, Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/√1999 ＜ 1/44
(∵ 44^2 = 1936 ＜ 1999 ＜ 2025 = 45^2)

以上より 1/1999 ＜ Π[i=1 to 999] (2i-1)/2i ＜ 1/44

58:１３２人目の素数さん
09/06/26 22:40:14
素朴な疑問ですけど
簡単のため、x,f(x),g(x)>0として

f(x)-g(x)やf(x)/g(x)の最小値を求める問題で

f(x)≧g(x)+Kを導き出して
f(x)-g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3,g(x)=3x,K=-2）

f(x)≧Kg(x)を導き出して
f(x)/g(x)の最小値はKといったり
（ex：f(x)=x^3+2,g(x)=3x,K=1）

するのって等号成立条件を満たしさえすればokですか？

59:１３２人目の素数さん
09/06/26 22:47:11
>>58
問題ないと思いますよ

60:１３２人目の素数さん
09/06/26 23:03:15
>>59
ありがとうございます

61:１３２人目の素数さん
09/06/27 00:04:24
>>58
前者はおｋ

後者の場合はg(x)が正数値を取るか負数値を取るか，はたまたゼロかで違う．
安易に考えてはいけない場合だよ．
その例だと定義域が書いてないので，負・正0ではそれぞれ負・正無限大に発散するので，最小値無し．
定義域がx>0であれば最小値1(x=1)でおｋだけど

62:１３２人目の素数さん
09/06/27 00:08:26
>>61

>>58 には
『簡単のため、x,f(x),g(x)>0として』

と書いてあったので…

63:61
09/06/27 00:42:11
ごめん，読み飛ばしてた(爆)
orzorzorz

64:１３２人目の素数さん
09/06/27 21:27:03
>>53
　b/a + a/b -2 = (b-a)^2 /(ab) = x とおく。xの変域は x≧0,
　b/a + a/b +2 = (b+a)^2 /(ab) = x+4,
　(b/a)^2 + (a/b)^2 -2 = (b^2 - a^2)^2/(ab)^2 = (b-a)^2･(b+a)^2/(ab)^2 = x(x+4),
よって
　(与式) = x(x+4) -bx +(b-1)^2 = x^2 + (4-b)x +(b-1)^2 = (x+2 -b/2)^2 + (3/4)(b^2 -4) = F(x,b),
これはxの2次式で、軸のx座標は b/2 -2 である。

・0<b≦4 のとき
　F(x,b) ≧ F(0,b) = (b-1)^2 ≧0,
　等号成立は a=b=1 のとき,

・b≧4 のとき
　F(x,b) ≧ F(b/2 -2,b) = (3/4)(b^2 -4) ≧ 9,

-------------------------------------------------

>>24 の訂正
最後の2行
　極小値 g(π/4) = ････
　極大値 g(5π/4) = ････

65:１３２人目の素数さん
09/06/28 02:32:31
>>64
　F(x,y) = x(x+4) -xy +(y-1)^2
　　　= (x+2)^2 -(x+2)y +y^2 -3
　　　= (3/4)x(x+4) + {(x+2)/2 -y}^2 ≧ 0,　　　(x>0)

66:１３２人目の素数さん
09/06/28 21:26:57
情報

今年の群馬大の入試は関数方程式と不等式を絡めたやつが出たらしい
（問題知ってる人は頼みます）

月刊大数で毎月不等式の記事が出てるらしい

67:１３２人目の素数さん
09/06/29 02:56:31
p_iをi番目に大きい素数とする。
p_(n+1)と1+Π[i=1→n]の大小関係を答えよ。

(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。

sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。

n≧2の時
1^n×2^(n-1)×…×n^1＞(n・n!/2^n)^((n+1)/2)
を示せ。

1・2・2・3・3・3・4・4・4・4・5・…・n・n…・n
＜(e・n!/(n+1))^(n+1)

a,b,c,dは実数で
|a|≦2 ,|b|≦2 ,|c|≦2 ,|d|≦2
a+b=1,c+d=1を満たすとする。
このとき、ac+bdの最大値と最小値を求めよ。

f(x,y,z)=zy^2x^3+yx^2+x+1(-1≦z≦y≦0≦x≦1)の最大値,最小値を求めよ。

68:１３２人目の素数さん
09/06/29 03:33:26
>>67
> sin44°とsin46°の大小関係を答えよ。

ぽかーん…

69:１３２人目の素数さん
09/06/29 04:03:16
何も考えずに問題を貼ってしまった、すまない

元ネタ

NO.5-1　sin44°とsin46°～難易度☆☆★★★
問題
25:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします :2008/11/05(水) 02:07:27.33　　ID:zPq0YMmyO
>>22
(sin44°)/(sin46°)は1より大きいか
解答
<+> ...
小さい
解説
sin44°＜sin46°を示す。
加法定理を用いて
sin(45°+1°)-sin(45°-1°)
=sin45°cos1°+cos45°sin1°-sin45°cos1°+cos45°sin1°
=2cos45°sin1°=√2sin1°＞0
∴sin46°＞sin44°から
sin44°/sin46°＜1
大小比較を何をもってするかが、重要。
手によっては、相当大変かもしれない。

70:１３２人目の素数さん
09/06/29 07:45:57
>大小比較を何をもってするかが、重要。
>手によっては、相当大変かもしれない。

そうやってる当人に言われると説得力があるな

71:１３２人目の素数さん
09/06/29 09:06:12
sinが[0,π/2]で単調増加という事実は知らないものとして答えよ
という問題だったんだろうか．．．

72:１３２人目の素数さん
09/06/29 10:50:17
>>69
え。。。

73:１３２人目の素数さん
09/06/29 12:36:48
元ネタ発見

> 102 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:06 ID:gZbowFD2O
> sin44°sin46°は1より大きいか
> 103 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:30:49 ID:gZbowFD2O
> >>102の右辺は1/2だった
> 104 ：名無しなのに合格[sage]：2008/11/15(土) 01:31:36 ID:gZbowFD2O
> 右辺てか１→1/2な
>
> 簡単な問題を出し合って息抜きするスレ
> URLﾘﾝｸ(unkar.jp)

そしてそのままVIPでネタにされたらしい
> 数学の問題集 in VIP@wiki - 12130005 URLﾘﾝｸ(www24.atwiki.jp)

74:１３２人目の素数さん
09/06/29 14:10:06
>>73
それでも三角関数バラすだけだな
2 sin(x-a) sin(x+a) = cos(2a) - cos(2x)
∴ 2 sin(45-1) sin(45+1) = cos(2) < 1

75:１３２人目の素数さん
09/06/29 22:23:14
>>67
　(0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係

〔補題〕　|h| <0 のとき
　(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h) ≧ 1,
(略証)
f(x) = x･log(x) とおく。(x > 0)
　f(x) = -x･log(1/x) = -x･log(1 - (1 -1/x)) ≧ -x･{-(1 -1/x)} = x-1,
　f(1-h) + f(1+h) ≧ (-h) + h = 0,
あるいは、y=f(x) は下に凸から、
　f(1-h) + f(1+h) ≧ 2f(1) = 0,　　(終)

----------------------------------------------------

線分(-1,2)～(2,-1) 上に2点 P=(a,b), Q=(c,d) をとる。
このとき ac+bd = OP↑・OQ↑ は････

76:１３２人目の素数さん
09/06/30 01:16:31
>>67
> (0.99)^99 と (1.01)^(-101) の大小関係を答えよ。

200個の相加相乗平均不等式より，

　1 = (1/0.99)×99 + (1/1.01)×101 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)

1/0.99 ≠ 1/1.01 より，相加相乗平均の等号成立条件は満たされない。ゆえに

　1 > (0.99)^(-99) (1.01)^(-101)
　∴ (0.99)^99 > (1.01)^(-101)　　（終）

77:１３２人目の素数さん
09/06/30 01:18:06
>>76の訂正
　1 = {(1/0.99)×99 + (1/1.01)×101} / 200 ≧ { (0.99)^(-99) (1.01)^(-101) }^(1/200)

78:１３２人目の素数さん
09/06/30 22:20:57
>>75の補足
　1-h : 1+h = m : n のとき
　2m/(m+n) = 1-h, 2n/(m+n) = 1+h,
相加相乗平均より
　1 = {(1/(1-h))*m + (1/(1+h))*n}/(m+n) ≧ {(1/(1-h))^m･(1/(1+h))^n}^(1/(m+n))
　　= (1/(1-h))^((1-h)/2)･(1/(1+h))^((1+h)/2)
　　= 1/√{(1-h)^(1-h) * (1+h)^(1+h)},

79:１３２人目の素数さん
09/07/01 02:53:21
F[n]はフィボナッチ数列とするとき
(F[n])^2≦F[2n]≦(F[n+1])^2

80:１３２人目の素数さん
09/07/01 06:34:40
F[n]を行列表示してF[2n]をF[n]などで表す式を出して、以下略

81:１３２人目の素数さん
09/07/01 17:15:08
行列表示？

82:１３２人目の素数さん
09/07/01 19:30:26
>>79
簡単な計算により
　F[2n] = 2 F[n+1] F[n] - F[n]^2
よって
　F[2n] ≧ 2 F[n]^2 - F[n]^2 = F[n]^2
　F[2n] ≦ F[n+1]^2 - (F[n-1] - F[n])^2 ≦ F[n+1]^2

83:１３２人目の素数さん
09/07/01 19:31:11
>>82
最後の行のF[n-1]はF[n+1]の間違い

84:１３２人目の素数さん
09/07/01 20:54:48
>>81
F[n+1] F[n]
F[n] F[n-1]
という行列M[n]を作ると、(F[0]=0)
11
10
のｎ乗になるから M[2n]=M[n]^2 より簡単な関係式が出てくるちゅーこと。
かなり荒い評価であることも分かります。

85:１３２人目の素数さん
09/07/01 22:08:45
>>79
加法公式　F[m+n+1] = F[m+1]F[n+1] + F[m]F[n] により
　F[2n] = F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n],
よって
　F[2n] ≧ F[n]F[n] + F[n-1]F[n] = {F[n]+F[n-1]}F[n] = F[n+1]F[n],
　F[2n] ≦ F[n]F[n+1] + F[n-1]F[n+1] = {F[n]+F[n-1]}F[n+1] = F[n+1]^2,

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:011番) ,038
フィボナッチ数列の定理スレ

86:１３２人目の素数さん
09/07/01 23:24:35
>>67

　2^(n-1) ･ 3^(n-2) … (n-1)^2 ･ n^1 = 2!･3!････(n-1)!n! = m_n,
　2^2 ･ 3^3 ･･… (n-1)^(n-1) ･n^n = M_n,
とおくと、
　m_n・M_n = (n!)^(n+1),　　　　　　　　　　　　　　････････(1)
一方、補題↓ より
　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2),　　･･･････(2)
(1)､(2)より
　(n!)^((n+1)/2) / e^(n(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+2)/2) / e^(n(n-1)/4),
　(n!)^(n/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+1)/2)・e^(n(n-1)/4),

〔補題30〕k≧2 のとき
　k^k /e^(k-1) < k! < k^(k+1) /e^(k-1),
k=2～n とおいて辺々掛けると
　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < M_n / e^(n(n-1)/2),

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:030-031番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:039-042番)
東大入試作問者スレ１７

87:１３２人目の素数さん
09/07/02 00:19:45
>>84
なるほど。thx

88:１３２人目の素数さん
09/07/02 03:14:20

|x･y^2･z^3|/(1+x^2+y^2+z^2)^4≦K

89:１３２人目の素数さん
09/07/02 20:04:24
>>88
w=1 とおく。
w^2 = W, 2x^2 = X, y^2 =Y, (2/3)z^2 = Z とおく。
{W,W,X,Y,Y,Z,Z,Z} の8個で相乗･相加平均すると、
　(W^2･X･Y^2･Z^3)^(1/8) ≦ (W+W+X+Y+Y+Z+Z+Z)/8,
　(16/27)^(1/8)(w^2･x･y^2･z^3)^(1/4) ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)/4,
両辺を4乗して
　{4/(3√3)}|w^2･x･y^2･z^3| ≦ (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 /256,
よって
　|w^2･x･y^2･z^3| / (w^2 + x^2 + y^2 + z^2)^4 ≦ (3√3)/1024 = K,

等号成立は W=X=Y=Z, すなわち x={1/(√2)}w, y=w, z={√(3/2)}w のとき。

90:１３２人目の素数さん
09/07/02 20:09:25
問題仕入れてきた

91:１３２人目の素数さん
09/07/02 22:23:43
問1
1辺が1の正方形の各辺上に4点をとる
この4点を頂点とする四角形の周の長さは2√2以上であることを示せ

問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2AB<AC<3ABを示せ

問3
三角形ABCにおいてBCの中点をMとするとき
2AM>AB+AC-BCを示せ

問4
AB>ACの△ABCにおいてBCの中点をMとする
∠BAM<∠CAMを示せ

問5
0<x≦y≦z，1/10≦y，xyz=1のとき
(1+logx)(1+logy)(1+logz)≦1を示せ
ただしlogの底は10とする

問6
0<xで定義された連続関数f(x)が
0<x,yにおいて，f(xy)=f(x)+f(y)
任意の自然数nにおいて，f(n)<f(n+1)
を満たすとき
f((x+y)/2)≧(f(x)+f(y))/2を示せ

92:１３２人目の素数さん
09/07/03 00:45:51
(；´д｀) ﾊｧﾊｧ…

93:１３２人目の素数さん
09/07/03 06:30:53
問2
∠A=20ﾟ，AB=ACの二等辺三角形がある
2BC<AC<3BCを示せ
~~~~~~~~~~~~~~
ABじゃなくBC

94:１３２人目の素数さん
09/07/03 18:51:12
四面体のある1辺をとり、その辺をBCとし、BC=1とする。四面体A-BCDにおいて、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに1/2以上となる。
このような1辺がとれることを示せ。

お願いします。

95:１３２人目の素数さん
09/07/03 20:28:15
問題文書き直します。

任意の四面体について、ある1辺をとり、その辺をBCとする。このとき、四面体をA-BCDとすると、AからBCに下ろした垂線の長さとDからBCに下ろした垂線の長さはともに(1/2)*BC以上となる。
このようなある1辺(=BC)がとれることを示せ。

96:１３２人目の素数さん
09/07/03 22:52:38
>>91

問1
　(a+b)^2 > a^2 + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2)(a-b)^2 ≧ (1/2)(a+b)^2,
直角3角形の辺の長さを a,b,c とすると
　a+b > c = √(a^2 + b^2) ≧ (a+b)/√2,
4辺についてたす。
　(□の周長) > (◇の周長) ≧ (□の周長)/√2,
□が正方形ぢゃなくて長方形の場合も同様。
　
問2
　Aを中心として、△ABCと合同な三角形を18個並べる。→　この正18角形は、半径AB の円に内接する。
∴ 2π*AB > 周長 = 18*BC,
∴ AB /BC > 18/(2π) = 2.864789
　
問3
Mは線分BC上の点だから、三角不等式より
　AM > AB - MB,
　AM > AC - MC,
辺々たす。

97:１３２人目の素数さん
09/07/03 22:54:54
>>91
　
問4
題意より
　BM = CM,
　∠AMB + ∠AMC = 180ﾟゆえ sin(∠AMB) = sin(∠AMC),
よって正弦定理から
　AB･sin(∠BAM) = BM･sin(∠AMB) = CM･sin(∠AMC) = AC･sin(∠CAM),
　
問5
題意より　1+log(z) ≧ 1+log(y) ≧0,
・1+log(x) ≦0 のとき、　(左辺) ≦0 < 1,
・1+log(x) >0 のとき、相乗･相加平均より
　　(左辺) ≦ {[3+log(x)+log(y)+log(z)]/3}^3 = {[3+log(xyz)]/3}^3 = {[3+log(1)]/3}^3 = 1,
　
問6
　f(exp(u)) = g(u) とおくと、
　g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v),　････加成性
∴　g(u) = au,
∴　f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸.

ぬるぽ

98:96-97
09/07/03 23:19:42
>>91
問2
　この正18角形は、半径 √{AB^2 -(BC/2)^2} の円に外接するから、
　周長 = 18*BC > 2π√{AB^2 - (BC/2)^2},
　AB/BC < √{(18/2π)^2 + (1/4)} = 2.908095

99:１３２人目の素数さん
09/07/03 23:20:29
＞問6
＞　f(exp(u)) = g(u) とおくと、
＞　g(u+v) = f(exp(u+v)) = f(exp(u)exp(v)) = f(exp(u)) + f(exp(v)) = g(u) + g(v),　････加成性
＞∴　g(u) = au,
＞∴　f(x) = g(log(x)) = a･log(x),
＞題意より a>0, なので y=f(x) は上に凸.

＞∴　g(u) = au,
これはアリなのか？

ガッ

100:１３２人目の素数さん
09/07/03 23:26:50
>>94 >>95
それって締切前の問題じゃないか？
自分の頭で考えろよ

101:１３２人目の素数さん
09/07/03 23:40:14
>>100
なんか勘違いしてません？

102:１３２人目の素数さん
09/07/04 00:08:13
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。
このさいころを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、
1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。
(1)　P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ。
(2)　1/4≧Q≧(1/2)-(3/2)Pであることを示せ。

A=1/(21･1009)，B=[{1+(1/2009)}^(1/21)]-1，C=1-[{1-(1/2009)}^(1/21)]とする。
これらの中で最大のものと、最小のものを答えよ。

103:１３２人目の素数さん
09/07/04 02:03:19
ここを見ると格の違いを感じるorz

104:１３２人目の素数さん
09/07/04 13:28:02
>>91

問2
合同な三角形を3つ並べる. (頂点Aを重ねる.)
　△ABC ≡ △ACD ≡ △ADE,
　∠BAE = 3∠A = 60ﾟ,
　AB = AE,
∴　△ABE は正三角形.
　AB = BE < BC + CD + DE = 3BC,

BEとACの交点をC',BEとADの交点をD'とおく.
　∠CBC' = ∠B - ∠ABE = 20ﾟ = ∠A,
∴　∠BC'C = 180ﾟ - ∠A - ∠C = ∠C,
∴　△BCC' は二等辺三角形.
　BC'= BC,
同様に D'E = DE,
∴　AB = BE > BC' + D'E = BC + DE = 2BC,

>>98 は牛刀････

105:１３２人目の素数さん
09/07/04 15:34:28
ｶｳｶﾞｰﾙが通ります
　　ﾊ,,ﾊ　　　　ﾓｫ
　　||ﾟωﾟ||ﾚ　　　_)_, ―‐ 、
　　/(Ｙ (ヽ＿ /・ヽ　　　￣ヽ
　　∠＿ゝ　｀ ^ヽ　ﾉ.::::::__( ノヽ
　　　_/ヽ　　　　/ヽ￣￣/ヽ

106:１３２人目の素数さん
09/07/04 15:41:57
>>102 (下)

　n = 21, h = 1/2009, とおく。
　A = h/n,　B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n),

　(1+A)^n - (1+B)^n = (1 + h/n)^n - (1+h) = ∑[k=2,n] Ｃ[n,k] (h/n)^k >0,
　(1-A)^n - (1-C)^n = (1 - h/n)^n - (1-h) = ∑[k=2,n] Ｃ[n,k] (-h/n)^k
　　　≧ ∑[j=1,[(n-1)/2]] {Ｃ[n,2j] - Ｃ[n,2j+1](h/n)} (h/n)^(2j)
　　　≧ ∑[j=1,[(n-1)/2]] Ｃ[n,2j] (1-h) (h/n)^(2j) >0,　　　　　　　(*)

よって C > A > B,

※　Ｃ[n,2j+1](1/n) = ((n-2j)/n)(1/(2j+1))Ｃ[n,2j] ≦ Ｃ[n,2j]

107:１３２人目の素数さん
09/07/04 21:18:31
>102 (下)

　n = 21, h = 1/2009, とおく。
　A = h/n,　B = (1+h)^(1/n) -1, C = 1 -(1-h)^(1/n),

　x^n - {1 + n(x-1)} = (x-1){Σ[k=1,n-1] x^k - n} = (x-1)^2･{Σ[k=0,n-2] (n-1-k)x^k } ≧ 0.
に x = 1±(h/n) を代入。

108:１３２人目の素数さん
09/07/04 22:14:28
>>101
勘違い？してないと思うが。
件の問題の一過程だろ？

109:101
09/07/04 22:16:13
もっと言うと、この前別のところに
「三角形の内部の点に対して3頂点からの積が云々」
という質問も見かけたが君ではないのかな？

110:１３２人目の素数さん
09/07/04 23:20:37
奉納

実数x［i］，a［i］，b［i］，c［i］（i＝1，2，3）は，以下の条件（い）～（に）を満たすものとする。

（い） x［1］≦x［2］≦x［3］
（ろ） i＝1，2，3に対してa［i］≧0，b［i］≧0，c［i］≧0
（は） i＝1，2，3に対してa［i］＋b［i］＋c［i］＝1
（に） a［1］＋a［2］＋a［3］＝b［1］＋b［2］＋b［3］＝c［1］＋c［2］＋c［3］

実数y［i］（i＝1，2，3）を
y［1］＝a［1］x［1］＋a［2］x［2］＋a［3］x［3］
y［2］＝b［1］x［1］＋b［2］x［2］＋b［3］x［3］
y［3］＝c［1］x［1］＋c［2］x［2］＋c［3］x［3］
により定義する。

y［1］＋y［2］≧x［1］＋x［2］を示せ。

111:１３２人目の素数さん
09/07/05 00:16:06
実数c（0＜c＜1）と，実数x，y，a，bの間に
｜x－a｜＜c，｜y－b｜＜c
という関係があるとき，
｜xy－ab｜＜（c＋｜a｜＋｜b｜）c
が成り立つことを証明せよ。

112:１３２人目の素数さん
09/07/05 01:38:20
『x^2+y^2+z^2=1のとき、2x+2y+2zの最大値を求めよ』
A君はこの問題を次のように解いた

「x,y,z≧0のとき考えれば十分である
4
=(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1)
≧2x+2y+2z
等号成立条件よりx=y=z=1のとき最大値4」

さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？

113:１３２人目の素数さん
09/07/05 02:21:16
>>112
x=y=z=1 は x^2+y^2+z^2=1 に矛盾

114:１３２人目の素数さん
09/07/05 02:48:37
>>112
最大値の求め方について、ろくに考えずに
図形的解法、シュワちゃん殺法くらいしか思いつかんけど、
他にもありますか ( ﾟ∀ﾟ)？

115:１３２人目の素数さん
09/07/05 03:16:31
x,y,z≧0のとき考えれば十分である
6
=(3x^2+1)+(3y^2+1)+(3z^2+1)
≧√3(2x+2y+2z)
等号成立条件よりx=y=z=1/√3のとき最大値2√3

これだと矛盾が生じないんだよな・・・

116:１３２人目の素数さん
09/07/05 03:39:00
>>112

3 = 3(x^2 + y^2 + z^2)
　= (x+y+z)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 + (x-y)^2
　≧ (x+y+z)^2
　= (1/4)(2x+2y+2z)^2,

これでも矛盾しないでつ･･･

117:１３２人目の素数さん
09/07/05 03:44:07
むかしむかし、きびだんごが一つありました
イヌとサルが食べなければ、キジがだんごを食べられます
サルとキジが食べなければ、イヌがだんごを食べられます
キジとイヌが食べなければ、サルがだんごを食べられます
みんなきびだんごを食べることができました。めでたしめでたし

さてこれはなぜ間違ってるのだろうか？

118:１３２人目の素数さん
09/07/05 04:01:13
何か混乱してきたぜ
求めることは示すことより難しい

119:１３２人目の素数さん
09/07/05 04:53:13
>>117 もしかして、「が」と「は」の違い、という日本語論でしょうか？

120:猫⊂社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/07/05 09:38:47
ちょっと腹が減ったんだけどサ、吉備団子っちゅう気はせんわな
そやけど、また蕎麦屋に行ってもジジ臭いしなァ

121:１３２人目の素数さん
09/07/05 19:27:22
Q1
nを6以上の自然数とする
(n+1)*C(n,[n/2])＞2^(n+1)
となることを示せ

Q2
nを7以上の自然数とする
lcm(1,2,…,n)＞2^n
となることを示せ

122:86
09/07/05 21:35:17
>>67
　>>86 の訂正、ｽﾏｿ.

　M_n / e^(n(n-1)/2) < m_n < n!･M_n / e^(n(n-1)/2),　　　･･････ (2)

123:１３２人目の素数さん
09/07/05 21:56:48
>>67
　
m_n, M_n を >>86 のようにおくと、
　m_n･M_n = (n!)^(n+1),　　　　　　　　　･･････････ (1)
一方、補題↓より
　c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2),　　　　･･･････(3)
(1),(3) より
　c^((n-1)/2)(n!)^((n+1.5)/2) / e^((n+2)(n-1)/4) < m_n < (n!)^((n+1.5)/2) / e^(n(n-1)/4),
　(n!)^((n+0.5)/2)・e^(n(n-1)/4) < M_n < (n!)^((n+0.5)/2)・e^((n+2)(n-1)/4) / c^((n-1)/2),

〔補題50〕
　c･k^(k +1/2) / e^k < k! < k^(k +1/2) / e^(k-1),　　　c=√(2π),
k=2～n とおいて辺々掛けると
　c^(n-1) √(n!) M_n / e^((n+2)(n-1)/2) < m_n < √(n!) M_n / e^(n(n-1)/2),
　
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:050番) , 133
東大入試作問者スレ１７

124:１３２人目の素数さん
09/07/06 03:25:21
>>121
とりあえずQ1だけ･･･

題意より [n/2] = m ≧ 3,
　(左辺)/(右辺) = (n+1)Ｃ[n,m]/2^(n+1) = {(n+1)!/m!(n-m)!}/2^(n+1) = {(2m+1)!/(m!)^2}/2^(2m+1) = {(2m+1)!!/(2m)!!}/2 ≧ (7!!/6!!)/2 = (105/48)/2 >1,

125:１３２人目の素数さん
09/07/06 20:06:54
>>123
＞〔補題50〕

なんの50なんだ？

126:１３２人目の素数さん
09/07/07 18:19:45
[問題]
a_0, a_1,,,a_N ≧0 のとき次の不等式を示せ：

Σ_[n,m=0]^{N} {a_n a_m}/{n+m+1} ≦ π Σ_[n=0]^{N} (a_n)^2　

127:１３２人目の素数さん
09/07/08 01:10:05
実数x,yがx≧y≧1を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ
(x+y-1){log[2](x+y)}≧(x-1)(log[2]x)+(y-1)(log[2]y)+y

a,b,cを正の数とするとき,不等式
2[{(a+b)/2}-(ab)^(1/2)]≦3[{(a+b+c)/3}-(abc)^(1/3)]
を証明せよ.また等号が成立するのはどんな場合か

(1)0≦α＜β≦π/2であるとき,次の不等式を示せ
∫[α,β]sinxdx+∫[(π-β),(π-α)]sinxdx＞(β-α){sinα+sin(π-β)}
(2)Σ[k=1,7]sin(kπ/8)＜16/π

n個(n≧3)の実数a[1],a[2],…,a[n]があり,各a[i]は他のn-1個の相加平均より大きくはないという
このようなa[1],a[2],…,a[n]の組をすべて求めよ。

すべては0でないn個の実数a[1],a[2],…,a[n]があり
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]かつa[1]+a[2]+…+a[n]=0を満たすとき
a[1]+2a[2]+… +na[n]＞0
が成り立つことを証明せよ

nを2以上の整数とする.実数a[1],a[2],…,a[n]に対し,S=a[1]+a[2]+…+a[n]とおく
k=1,2,…,nについて,不等式-1<S-a[k]<1が成り立っているとする
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]のとき,すべてのkについて|a[k]|<2が成り立つことを示せ

実数a,b(0≦a<π/4,0≦b<π/4)に対し,次の不等式の成り立つことを示せ
√{(tana)(tanb)}≦tan{(a+b)/2}≦(tana+tanb)/2

f(x)=1-sinxに対し
g(x)=∫[0,x]{(x-t)f(t)}dtとおく
このとき,任意の実数x,yについて
g(x-y)+g(x+y)≧2g(x)
が成り立つことを示せ

128:１３２人目の素数さん
09/07/08 01:13:35
入試ばっかやな
つまらん

129:１３２人目の素数さん
09/07/08 04:04:21
>>111

|xy-ab|
＝|(x-a)y+a(y-b)|
≦|(x-a)y|+|a(y-b)|
＜c|y|+|a|c
＝c|(y-b)+b|+|a|c
≦c(|(y-b)|+|b|)+|a|c
＜(c+|a|+|b|)c

130:１３２人目の素数さん
09/07/08 17:54:33
f（x）が下に凸のとき
Σ［k＝0→n］f（2k）／（n＋1）＞Σ［k＝1→n］f（2k－1）／n
ってどう解いたらいい？？

131:１３２人目の素数さん
09/07/08 21:27:47
>>130
nについての帰納法による。まづ
　F_n = nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1)Σ[k=1,n] f(2k-1),
　g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1),
と置く。
・n=1 のとき
　F_1 = f(0) -2f(1) +f(2) = g(1) >0,
・n>1 のとき、
　F_n = F~_(n-1) + nΣ[k=1,n] g(2k-1)
帰納法の仮定により
　F_(n-1)　= (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k)　- nΣ[k=1,n-1] f(2k-1) >0,
　F~_(n-1) = (n-1)Σ[k=0,n-1] f(2k+1) - nΣ[k=1,n-1] f(2k)　>0,
また、題意により
　g(n) = f(n-1) -2f(n) + f(n+1) >0,

132:１３２人目の素数さん
09/07/08 22:08:24
∑_[n=1->∞] 1/n^3 が無理数であることを示せ。

133:１３２人目の素数さん
09/07/08 23:23:14
>>127 (2)
　√(ab) = d とおくと
　(左辺) - (右辺) = {a+b+c -3(abc)^(1/3)} - {a+b -2√(ab)}
　　　= c + 2d - 3(cdd)^(1/3)
　　　≧ 0,　　　　　　　　　　　　　　(相加･相乗平均)
等号成立は c=√(ab) のとき

>>127 (4)
　a[1] + a[2] + ･･･････ + a[n] = S とおく。
　a[i] ≦ (S-a[i])/(n-1),
　a[i] - S/n ≦ 0,
i=1,2,････,n の総和をとると
　Σ[i=1,n] {a[i] - S/n} = S - S = 0,
∴ a[i] - S/n = 0,

>>127 (5)
　題意により、a[k-1] < 0 ≦ a[k]、または a[k] ≦ 0 < a[k+1] を満たすkが存在する。
(与式) = (1-k)a[1] + (2-k)a[2] + ････ + (-1)a[k-1] + 0 + a[k+1] + ････ + (n-k)a[n] >0,

>>127 (7)
右側:
　{tan(a) + tan(b)}/2 = sin(a+b)/{2cos(a)cos(b)} = sin(a+b)/{cos(a-b)+cos(a+b)},
　tan{(a+b)/2} = sin(a+b)/{1+cos(a+b)},
左側:
　tan(a)･tan(b) = 1 - {tan(a)+tan(b)}/tan(a+b),
　tan{(a+b)/2}^2 = 1 -2tan{(a+b)/2}/tan(a+b),
と右側から

>>132
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

134:131
09/07/09 02:40:24
>>130 (補足)

F_n - F_(n-1) = ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] g(j),
F_n ≡ n∑(k=0,n) f(2k) - (n+1)∑(k=1,n) f(2k-1)
　　= ∑(j=1,2n-1) [1+(j-1)/2] [n-(j-1)/2] g(j),

・参考
　[初代スレ.128, 132-135] 　Ingleby不等式, f(x)=a^x,

135:１３２人目の素数さん
09/07/09 02:50:44
過去スレのミラー見れないの俺だけ？

136:131
09/07/09 03:16:56
>>135

初代スレ.128

128 ：１３２人目の素数さん：04/05/15 09:31
「数学しりとりスレ 232-233」より

【Inglebyの不等式】
a>0 のとき、{1+a^2+a^4+…+a^(2n)}/{a+a^3+…+a^(2n-1)} ≧ (n+1)/n,

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