★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

★東大入試作問者にな ..

950:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:45:11
>>949

親が子を思う気持ちと同じぐらい、子が親を思ってると思う。
親に迷惑かけたくない、弱い自分見せたくないという思いから、
電話したり、田舎に帰る機会が少なくり、すれ違いが生まれるんでしょうね。

951:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:50:36
>>947
a_n=4(sin(θ_n))^2

a_[n+1]=2-2cos(θ_n)=4{sin(θ_n/2)}^2

∴θ_[n+1]=1/2*θ_[n]

952:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:53:03
やっぱり宿題だったんだ

953:１３２人目の素数さん
09/10/17 23:58:36
>>942-943
確かに便利で砂

954:１３２人目の素数さん
09/10/18 00:10:56
>>947
　a_n = 2(1-b_n) とおくと
　b_(n+1) = √{(1 + b_n)/2},
　2･b_(n+1)^2 -1 = b_n,　　　　(←cosの倍角公式と同じ形)
　b_1 = 0,
これを解いて
　b_n = cos(π/2^n),
　a_n = 2{1 - cos(π/2^n)},
　(4^n)a_n → π^2　　(n→∞).

>>941　(補足)

　P (x,y) = ((4/3)+(2/3)cos(2φ), (2/3)sin(2φ))
ただし
　φ = arctan(3･tan(θ/2)),

955:１３２人目の素数さん
09/10/18 02:24:36
【問】
nを自然数として
正方形のn×nマスのある1マスの上に駒を乗せ、それを以下の動きを交互に繰り返して動かす
①すぐ隣のマスへの移動
②一マス飛ばしの移動
ただし、駒は①と②のどちらからでも動かし始めてよいものとし、縦横にしか移動しないとする
この時、駒の初期位置と動かし方をうまく設定することでn×nの全てのマスを1回ずつ動くことが出来るためのnの必要十分条件を求めよ
ただし、n=1の時は駒を動かさないが成立すると考えてよい

956:１３２人目の素数さん
09/10/18 12:01:46
>>955
nを4で割った余りが2のときのみ出来ない。

証明：
nを4で割った余りが2でないときは、左上のマスに駒を置いて
②から始めることで題意の動かし方ができる。
詳細は省略するが、■の位置で②から始めて１～４の順に
移動すれば、4つの連続したマスが消えるので、これを
何度も使えばよい。

■□□□
１３２４

957:１３２人目の素数さん
09/10/18 12:05:01
nを4で割った余りが2のときは、n＝4k＋2とおいて、
n*n個のマスを次の4つのエリアL0,L1,L2,L3に分ける。

(n＝6の場合の分け方)
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○
□■□■□■
●○●○●○

L0＝(□全体)，L1＝(■全体)，L2＝(○全体)，L3＝(●全体)

L0のマスの個数は(2k＋1)^2であり、L1～L3でも同様に
(2k＋1)^2である。つまり、L0～L3のマスの個数は全て奇数である。
最初に駒があるエリアをLsとするとき、次のようになる。

①から始める場合：
Lsのマスは1個減る(←駒の初期位置にあるマス)。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。

②から始める場合：
Lsのマスが2個減る。その後は、
「いずれかのエリアLiのマスが2個減る」
を繰り返す。L0～L3のマスの個数は奇数なので、
題意の動かし方は不可能だと分かる。

958:１３２人目の素数さん
09/10/18 13:17:17
>>956正解
ただnが奇数の時は4連の動きにちょっと動きが加わるけど

959:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/10/18 17:01:31
Reply:>>888 そう思うなら何故お前がよそに行かない。