★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

★東大入試作問者にな ..

751:１３２人目の素数さん
09/09/26 03:45:29
>>746

(1)
　tan(x)^n･{tan(x)^2 + 1} = tan(x)^n / cos(x)^2 = tan(x)^n {tan(x)} ',
∴　(与式) = ∫[0,π/4] tan(x)^n･{tan(x)} 'dx
　　= [ (1/(n+1))tan(x)^(n+1) ](x=0～π/4)
　　= 1/(n+1),

(2)　
　(右辺) = 4Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) = 4Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)/(2k-1) x^(2k-1) ](x=0,1)
　　= 4Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
　　= 4∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
　　= 4∫[0,1] {1 + (-1)^(n-1)･x^(2n)}/(1+x^2) dx
　　→ 4∫[0,1] 1/(1+x^2) dx　　　　　　　　　　　　　　(n→∞)
　　= 4[ arctan(x) ](x=0～1)
　　= π,

(3)
　Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･(1/k) = - Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)･(1/k)x^k ](x=0,1)
　　= Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
　　= ∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
　　= ∫[0,1] {1 - (-x)^n}/(1+x) dx
　　→　∫[0,1] 1/(1+x) dx
　　= [ log(1+x) ](x=0～1)
　　= log(2),
∴　lim(n→∞) e^{Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) 1/k} = 2,

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