★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

★東大入試作問者にな ..

641:１３２人目の素数さん
09/09/22 18:15:11
>>636は微分可能性を付け忘れたお馬鹿ｻﾝ

642:１３２人目の素数さん
09/09/22 19:33:02
半径１の球上に、無作為に２つの点をとる.この２点間の距離の期待値を求めよ.

643:１３２人目の素数さん
09/09/22 19:46:26
線積分すりゃいいよ

644:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:11:45
>>636
「原点を通ら(ない)・・・関数」

という表現は、

カス教師の作った問題やFランク大入試ならまだしも、

東大入試ではあるはずがない。

645:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:16:06
(0,1), (1,-1), (2,-1) を通る二次関数を求めよ、とかいう問題とかね。よくあるけどやめてほしいよな。

646:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:54:32
いやです。

647:１３２人目の素数さん
09/09/22 21:42:24
>>644
なぜ？

648:１３２人目の素数さん
09/09/22 21:54:12
>>647
「関数」と「関数のグラフ」を混同するような馬鹿なことは
しないってことだよ。

649:１３２人目の素数さん
09/09/22 22:01:40
>>645はどう書けば満足なんだ？
きちんとしたグラフの定義は高校ではやらない。
重箱の隅を突付いて嬉しいか？

650:１３２人目の素数さん
09/09/22 22:30:08
>>639
有体に言えばそういうことだ

651:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:10:05
>>649
きちんとしてるかどうかは別として、
高校数学においても関数とグラフは別物だろ。

「2次関数～～とx軸との交点の個数」といった表現も生徒の答案ではよく見るが、
教科書や入試問題ではそういう表現はされていないはずだから、
これでいいじゃないかと主張する高校生がいたら勉強不足だと言いたい。
そのへんは理解度が試されるところだと思うから、厳しくした方が受験生のためだ。

ただ、式とそのグラフを同一視するということはままあって、
「放物線y=x^2」というような書き方は珍しくないのだが。

652:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:11:51
まず教科書に定義を書いているかが問題だ

653:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:31:20
全実数で定義され、かつ微分可能な関数f(x)のグラフは、
原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということを示せ。
ただし、f(0)≠0である。

だったら正しい？
問題出したというより疑問として出したんだけど

654:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:44:16
＞問題出したというより疑問として出したんだけど

655:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:52:35
>>634
目から鱗です。。。

656:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 00:07:51
今日、来年理１受けることを決めたｗ

で、問題。

=========================================================================================

ある自然数の２乗で表すことのできる数を平方数と呼ぶ。
1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16・・・（中略）・・・2010^2=4040100,2011^2= 4044121,….であるので
平方数を小さい順に記述すると、
1,4,9,16・・・（中略）・・・,4040100,4044121,・・・・(以下永遠に続く)
である。
ある自然数nは、平方数であり、nを１０進法で記述したとき各桁の数字がすべて１である。
n を求めよ。

=========================================================================================

って、平方数かじったことある人なら楽勝かもしれないけど、
「東大入試」って考えれば、いいよね？（でもかんたんすぎる？解き方もいろいろあるし）

657:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 00:13:02
もひとつ。

=========================================================================================

ｘｙ座標平面上に、原点Ｏを中心とし半径１の円Ｃ、および、円Ｃの円周上に相異なる点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝aである。
また、△ＯＰＱの面積を２等分する直線lがある。
直線lと△ＯＰＱの交点を点Ｍ、点Ｎとするとき、線分ＭＮの長さの最小値を a を用いて表せ。

=========================================================================================

（実は数学から長らく離れてたので、東大入試の難易度、年々かんたんになってるということくらいしかあまり知らない・・・）

658:１３２人目の素数さん
09/09/23 00:17:16
2^X=X^2の実数解Xを求めよ。

こんなのどうだろう。
ちょっと逸脱気味だし、満点取るやついないだろうな…

659:１３２人目の素数さん
09/09/23 00:42:30
>>658
X^(1/X) = 2^(1/2),
X = 2,4

660:１３２人目の素数さん
09/09/23 01:30:23
>>656
条件より、ある正整数kを用いて、
n=(10^k-1)/9
とあらわせる。
これより、
9n=10^k-1……(※)
以下では法4で考える。
nは平方数なので、0,1と合同になるが、0と合同になるのはnが4の倍数のときである。
4の倍数の下一桁には1が現れないことから、nは1と合同となる。
9が1と合同であることとあわせて、(※)の左辺は1と合同になる。
したがって、
10^k-1≡1⇔10^k≡2⇔2^k≡2⇔2^(k-1)≡1
k-1≧2のとき、2^(k-1)は4の倍数になるから、
k-1=0,1⇔k=1,2
前者のときは、
n=1
後者のときは、
n=11
nは平方数なので、求める数はn=1である。

661:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:09:08
>>660
なるほどなあ　いい問題や

662:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:10:43
じゃあオレからも一題。

y=x^2 と x^2+y^2+z^2=1で囲まれる体積の、小さいほうの体積を求めよ。

663:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:11:27
どこがいい問題なんだか

664:１３２人目の素数さん
09/09/23 03:07:28
円C_a,C_b,C_cは互いに3点で外接する。
その三点を通る円の面積をS
C_a,C_b,C_cに囲まれた部分の面積をS'とする
この時S'/Sの最大値を求めよ

665:>>656=だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 03:13:11
>>660

あってます。
けど、「nは平方数なので、0,1と合同になる」の部分、東大入試的には説明不足で減点にならないのかなぁ・・・

あと、2^(k-1)≡1 がわかった段階で、そのあとは、
（mod 4の考えから少し（？）離れれば）
「k>=2 のとき2^(k-1)は２の倍数なので、題意を満たさない。また、k=1のとき、n=1。これは題意を満たす。答えは１」
で終わる。

たぶん、「正整数pについて、p^2≡0 または p^2≡1 (mod 4)」ってのを知ってたから、こう解いたのだと思いますが、
ちょっと実験すれば、回答は５行で書けます。

666:１３２人目の素数さん
09/09/23 03:45:46
>>656
難易度A*だな

667:１３２人目の素数さん
09/09/23 04:11:34
秒針、短針、長針をもった、正確に動いている時計がある。
この3本の針について、どの2本の針のなす角も120°である瞬間は存在するか。

668:１３２人目の素数さん
09/09/23 04:40:47
命題P,Qがある。P,Qは真か偽か不明だが少なくとも一方は真である。
続き作れ

669:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 05:05:50
>>667

それぞれの針は、なめらかに動くの？それとも、（たとえば秒針なら）１秒ごとに、2π*(1/60)だけ「カチっ」って、瞬間移動っぽく動くの？
(分針は必ずなめらかに動くんだっけ？いつもデジタル時計しか見てないからわすれた）

>>668

Ans,

命題「>>668」は真か偽か不明である。

670:１３２人目の素数さん
09/09/23 09:18:18
数列｛a[n]｝は
漸化式a[n+2]=(a[n+1]+a[n])/2とa[1],a[2] によって定まる数列である。
lim[n→∞]a[n]＝αとおくとき、
|a[1]-α|≧|a[2]-α|を示せ。

(☆漸化式を解かない方法てあるかな？)

671:１３２人目の素数さん
09/09/23 10:15:09
誰か>>658を解ける強者いない？
ちなみにコンピュータは使わないでね。
>>659は違います。実数解は全部で3つ存在してます。

672:１３２人目の素数さん
09/09/23 10:57:12
ま、どうでもいいけど、問題としてどんな面白みを感じてるのさ？

673:１３２人目の素数さん
09/09/23 12:21:55
X^2=(-X)^2=2^X
2^(-X)=(-X)^(-2)
2^(1/(-2))=(-X)^(-1/X)
1/√2=t^(1/t)

さて…?

674:１３２人目の素数さん
09/09/23 12:27:06
x＜0で片や単調増加、片や単調減少
中間地の定理から-0.5と-1の間に零が一個ある、程度でいいんじゃねえの

675:うんこ
09/09/23 14:05:12
-0.76あたりで３つめをとるな！
しかし、673のようにx乗根を取ったときその変形が同値なのかわからんな。

676:１３２人目の素数さん
09/09/23 17:45:30
任意の自然数k,mについて
a^n+b^n=c^(km+1)
が成立するような(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.

677:１３２人目の素数さん
09/09/23 17:46:56
×　a^n+b^n=c^(km+1)
○　a^m+b^m=c^(km+1)

678:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:10:21
>>561=>>632=>>672
文句ばっかり言ってるね。
自分が投下した問題を吊るしてみなさいYO

679:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:11:16
実際つまらんから言われても当然

680:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:12:21
{a[n]}(n=1,2,3,…)は各項が正の実数からなる数列で、
初項a[1]から第n番目の項a[n]までの和をS[n]とおく。
a[n]=√S[n]を満たしているとき、a[n]の一般項を求めよ。

681:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 18:19:45
>>656 で出題したやつのかんたんな解答例

nは題意により奇数。一般に偶数の２乗は偶数。ゆえに、∴n=(2k+1)^2 （kは非負整数）とおける
するとn=(2k+1)^2=4*(k^2)+4*k+1 ゆえにn-1=4*(k^2)+4k=4(k^2+k)
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
∴ n-1=0 ゆえにn=1 これは題意を満たす。よって答えは n=1

===============================

>>657
で出題したやつ、だれも解いてない。だれか解いてくれぇ。。

===============================

>>676 (>>677）

a^m+b^m=c^(km+1) ⇔c = (a^m+b^m)の(km+1)乗根
m,kの値がいくつであっても、a,bは変数であるので、a,bが実数全体を動くことを考えると、(a^m+b^m)は無限個の値をとる。
また、(km+1)は、a,bの値に依存しない。
ゆえに、c（ = (a^m+b^m)の(km+1)乗根）も、（a,bの値に依存するとはいえ）無限個の値をとる。
よって、題意を満たす(a,b,c）の組は無限個存在する。■
、

682:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:25:07
>>681
＞4*非負整数の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである

ダウト
例えば非負整数=5では？

683:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:37:10
>>680
大数の宿題かなんかだっけ？
その問題

684:681
09/09/23 18:39:42
>>681

の

====
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
====
これ、ウソだった。（4*40=160とか）

正しくは、たとえば、
＝＝＝
n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ。
しかしこのとき、n=(2k+1)^2=1ゆえnは１桁。よって矛盾し、題意を満たさない。
一方、n-1が１桁だと仮定すると、n=1である。これは題意を満たす。よって答えは1
＝＝＝

685:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:50:05
関数f(x)は任意の実数について定義され、実数値をとる関数であり、以下の2つの条件をともにみたす。
f(x)としてありうるものをすべて求めよ。

*任意の実数xについてf''(x)> 0(第2次導関数が常に正の値)である。
*任意の相異なる実数a,bに対してy=f(x)上の2点A(a,f(a)),B(b,f(b))を考えたとき、
線分ABとy=f(x)で囲まれる部分の面積は |a-b|^3 である。

686:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:53:26
>>684
＞n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ

意味不明。
そもそも>>656はnの桁数が2以上のときn=1...11≡3(mod4)で平方剰余にならないことからあっさり終了する。
東大にこんな知ってるか知ってないかの安易な出題はまずされない。

687:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:55:47
>>684
いや k^2+k ( =k*(k+1) )が５の倍数のとき、ダウトだ。。。
最初に解いた答え、どっかゴミバコにすてちった。。。５で割ったことはたしかなんだが。

688:687
09/09/23 18:57:33
>>686
n=1...11≡3(mod4)、知ってたけど、東大受験生的には常識？

689:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:01:02
4の倍数の判別法くらい中学生でも知ってるだろ・・・

690:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:27:21
>>679
多分おまえの方がつまらない

691:297
09/09/23 19:29:58
>>670
　(a[n+1] + 2a[n+2])/3 = (a[n] + 2a[n+1])/3 = ･･････ = (a[1] + 2a[2])/3,
∴　α = (a[1] + 2a[2])/3,

　a[n+1] - α = (-1/2)(a[n] - α) = ･･････ = (-1/2)^n {a[1] - α},

692:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:50:19
>>685
y=6x^2+ax+b

693:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:52:52
>>685
任意の実数xについてf''(x)>0
は
任意の実数xについてf'(x) が存在
に弱められそうだだが。

694:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:56:38
>>693は勘違い
電電無視してくれ

695:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:59:31
でも確かに広義の凸性があれば、2回微分可能でなくてもいいな。

696:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:04:09
確かに
誰かギリギリの条件の模索頼む

697:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:07:37
>>658
x>0のとき。f(x) = log x/xとすると、f'(x) = (1-\log x)/x^2よりx=eで極大値を持ち、
x<eで単調増加、x>eで単調減少。
2^x=x^2は、logx/x=log 2/2より、x<eでは解はX=2のみ。x>eでは解はX=4のみ。

x<0のとき。y=-xとすると、y^2=2^{-y}よりlog y/y = - log 2/2。このようなyは、0<x<eでf(x)=log x/x
が単調増加するので、0<y<1の間に一意的に存在する。
y = - (2/log(2))*LambertW(log(2)/2)
(LambertW(x)はLambertのW関数で、y=xe^xの逆関数)

698:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:22:21
任意の自然数k,mについて
a^m+b^m=c^(km+1)
が成立するような自然数(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.

699:１３２人目の素数さん
09/09/23 22:20:32
>>698
これは簡単すぎだろ

700:１３２人目の素数さん
09/09/24 00:07:46
このスレから６問、２０１０年度の東大本試に出したら、暴動起こるだろうな

701:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:12:35
>>700

作問者って、このスレ見てるのかな？1人くらいはみてそう

702:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:15:19
>>698

>>677 で同じの出してるじゃん、だいじょうぶ？

703:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:44:37
>>671の解答って結局
X=2、4とあと一つX<0の範囲に存在する解は何なんだ？
グラフ書いてみて何となく想像つく気もするが、高校の知識でこれを解く方法なんてあるのか？

704:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:45:54
>>671じゃなくて>>658だた
訂正

705:１３２人目の素数さん
09/09/24 02:10:07
ニュートン法。

706:１３２人目の素数さん
09/09/24 05:49:12
>>703-705
　X = -0.7666646959621230931112044225103･･･

707:１３２人目の素数さん
09/09/24 06:02:36
>>685の解法おしえて

708:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:00:00
三角形（ａ，ｆ（ａ））（ｂ，ｆ（ｂ））（ｃ，ｆ（ｃ））の面積。

709:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:04:57
☆☆☆★最大級の注意を★☆☆☆☆☆

☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆

☆☆☆★世界の支配者ユダヤが地震兵器を使うのか★☆☆☆☆☆

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四川地震より大きいのが来る可能性があります。
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ワタスの予言では今月中に関東大地震だす３
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ほんとに大震災だったら犯人は特権階級全員だってことにwwwwwwww

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があるので情報を公開するように要請している
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

710:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:35:01
不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす実数x(0<x<1)に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。

※log_[x]（…)は底がxということです。

711:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:37:39
任意の実数xか有る実数xに対してかハッキリしてくれ

712:710
09/09/24 08:50:18
【訂正】
不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす全ての実数x（0<x<1）に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。

713:うんこ
09/09/24 12:52:27
>>712　かなり数が汚くなるなあ
一行目変換で 2x^2-10x+7≦0。よって(5-√(11))/2≦x<1。
f(x)=x^2-2ax-1としたとき、f(1)=-2a これが非負なのでa≦0.
よってf(x)の軸は負か0にあり、f( (5-√(11))/2 )≧0より- (9√(11)-25)/28≧a となる

714:１３２人目の素数さん
09/09/24 14:59:26
s<tのとき、以下の連立方程式からu, v, s, tを決定せよ。
u*s^3 + v*t^3 = 0　　①
u*s^2 + v*t^2 = 2/3　②
u*s + v*t = 0　　　　③
u + v = 2　　　　　　④

715:１３２人目の素数さん
09/09/24 18:02:13
u，vは複素でもいいんかい?

716:１３２人目の素数さん
09/09/24 18:05:01
いい加減誰か>>511の模範解答をを教えて呉

717:714
09/09/24 18:26:55
>>715
成立するなら、いいよ。

718:１３２人目の素数さん
09/09/24 19:19:25
>>714
us(t-s)(t+s)=0

簡単杉
宿題か?

719:714
09/09/24 19:28:24
>>718
実際、簡単杉なんだけど、一応、答えを書いて下さい。

720:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:02:57
>> 713 正解

721:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:15:19
次のような自然数の組(a,b)は存在しないことを示せ。
※全ての自然数pに対してap+bが素数となる。

722:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:27:18
>>721
b≠1 なら、p=b のときに ap+b = ab+b = b(a+1) は合成数。
b＝1 なら、p=a+2 のときに ap+b = a^2 + 2a + 1 =(a+1)^2 は合成数。

723:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:43:02
>>722
30点ぐらいかな

724:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:45:27
東大数学は1問20点です。

725:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:47:26
>>716
そういう関数fがあれば、集合｛f(x)：x∈[a,b]｝（これは幅をもった区間になる。）
に属する各無理数zに対し、中間値の定理によって、f(c)=zとなるc∈[a,b]が存在して
このcは有理数。すると　z|→cなる単射が作れたことになる。
さあ、高校数学の範囲でこの先矛盾を導けるのか？

726:１３２人目の素数さん
09/09/24 22:29:27
>>658

〔類題〕
　g(X) = (2^X - X^2)/{[2^X - e^(-2W(log(2)/2))](2-X)(4-X)}　
とおくとき、次を示せ。
　2^X ≠ X^2　⇒　0 < g(X) < e^{2W(log(2)/2)} = 1.70133199790････

727:１３２人目の素数さん
09/09/24 22:54:44
Wて？

728:１３２人目の素数さん
09/09/24 23:56:15
>>725
以下背理法による略解

ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする
a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在
[c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在
g(x)＝(M－m)(x-c)/(d－c)＋m－f(x)とおく
中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0

729:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:19:56
>>707
x≠0 のとき (f(x)/x)'＋f(0)/(x^2)＝6
微分方程式みたいなもん。

730:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:28:22
>>728
よく思いつくな

731:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:28:44
>>721
p＝a(a+2)

732:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:30:53
>>730
有理数係数の1次関数がf(x)を横切れば矛盾が出るという単純な発想を
数式化しただけ

733:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:33:28
>>729
よくわからん

734:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:34:51
>>732
その発想が上手いと思った
今日は良い夢が見れそうだ

735:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:38:58
>>734
ここであまり誉めらえる事はないんで有り難う

736:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:40:41
>>733
>>685において a=0，b=x とおいて両辺をxで微分して整理

737:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:43:35
>>736
なるほど、変数とみて微分するとは気付かなかったｻﾝｸｽ

738:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:47:54
>>728
細かいが訂正

× 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0
○ 中間値の定理よりあるα∈(c,d)があって，g(α)＝0

739:１３２人目の素数さん
09/09/25 01:34:21
>>728
ほう
なるほどな
褒美にメロンパンをやろうつ（＃）

740:１３２人目の素数さん
09/09/25 01:39:16
上半期一番の作問だね。
年度賞の第一候補。

741:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:32:37
それはない

742:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:34:46
これは有名問題だから作問とは言えないね・・・

743:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:40:02
上半期？

744:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:58:50
Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。
A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。
1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。

745:１３２人目の素数さん
09/09/25 17:46:38
>>742
あまり見た事ないけど。
解法も有名なやつ？

746:１３２人目の素数さん
09/09/25 22:07:35
(1)
∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ
(2)
π=lim(n→∞)4*Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)を証明せよ
(3)
e=lim(n→∞)2^(Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/k)を証明せよ

747:ゆう
09/09/25 22:10:22
ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分解せよ

748:１３２人目の素数さん
09/09/25 23:10:43
>>746訂正
nは非負整数

749:１３２人目の素数さん
09/09/26 02:39:21
∫[0,1](sinθ-√(x^2-1))dxをθを用いて表せ。

750:１３２人目の素数さん
09/09/26 03:25:13
√(x^2-1)が虚数になるんだが

751:１３２人目の素数さん
09/09/26 03:45:29
>>746

(1)
　tan(x)^n･{tan(x)^2 + 1} = tan(x)^n / cos(x)^2 = tan(x)^n {tan(x)} ',
∴　(与式) = ∫[0,π/4] tan(x)^n･{tan(x)} 'dx
　　= [ (1/(n+1))tan(x)^(n+1) ](x=0～π/4)
　　= 1/(n+1),

(2)　
　(右辺) = 4Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) = 4Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)/(2k-1) x^(2k-1) ](x=0,1)
　　= 4Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
　　= 4∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
　　= 4∫[0,1] {1 + (-1)^(n-1)･x^(2n)}/(1+x^2) dx
　　→ 4∫[0,1] 1/(1+x^2) dx　　　　　　　　　　　　　　(n→∞)
　　= 4[ arctan(x) ](x=0～1)
　　= π,

(3)
　Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･(1/k) = - Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)･(1/k)x^k ](x=0,1)
　　= Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
　　= ∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
　　= ∫[0,1] {1 - (-x)^n}/(1+x) dx
　　→　∫[0,1] 1/(1+x) dx
　　= [ log(1+x) ](x=0～1)
　　= log(2),
∴　lim(n→∞) e^{Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) 1/k} = 2,

752:１３２人目の素数さん
09/09/26 06:19:48
>>496-497って直感的には明らかだが論証がめんどくさい。
この事実を公式的に扱えば、例えば、2008年の6番は増減を調べる必要はなく簡単。
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)

753:１３２人目の素数さん
09/09/26 11:34:04
>>751
そういう方法もあるのか～

一応(1)使う方針は
S_n=∫(0→π/4)(tanx)^ndxとおくと(1)よりS_(n+2)+S_n=1/(n+1)…①
(2)nが偶数の時
S_0=∫(0→π/4)dx=π/4
①より
π/4=1-1/3+1/5…1/(n-1)(+-S_n)
=Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)
+-S_n
n→∞でS_n→0より(∵0≦x＜π/4においてtanx→0)
π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k+1)/(2k-1)が示される
(3)はnが奇数の時を考えたら方針は同じです

754:ゆう
09/09/26 21:25:52
ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分数せよ

755:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:07:19
>>754
方程式を因数分解とか死んだ方がいいよ

756:ゆう
09/09/26 22:29:02
もう他のところでおしえてもらったんでいいです!

757:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:34:35
無限に対するあなたの考えを4000字以内で示せ

758:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:36:12
A
無限は無限だと思います。

759:１３２人目の素数さん
09/09/26 23:15:42
無限って、何？

760:１３２人目の素数さん
09/09/26 23:41:11
無毛

761:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:40:23
>>755
yはxの関数ってことだろ。
=が入ってれば何でもかんでも方程式って…

762:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:44:24
2元方程式でしょ。

763:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:45:50
>>761

764:１３２人目の素数さん
09/09/27 01:00:43
683 名無しさんと大人の出会い 2009/09/26(土) 23:35:56 ID:/v9Anlx90
ラメ入りいうてもヒラヒラついてる
V系のコがきてそうな奴やで？
なんやアソコまでバラバラやとティバッグはいてても
紐にウンコついてそうやからスル～したぞ！！
前見た時はポッチャリしてたんやけど？スリムなってすぐって
こんなんやろか？普通だれもいらんで！

765:１３２人目の素数さん
09/09/27 02:08:56
451はどうやるの？
解いた人いないかしら。

766:１３２人目の素数さん
09/09/27 02:30:52
スレが進むごとに東大入試に適さない出題が増えている気がする。

767:１３２人目の素数さん
09/09/27 03:53:53
>>759
もちろん、HONDA | 無限 MUGEN　だが。

URLﾘﾝｸ(www.mugen-power.com)

URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 01:32 FORZA Z
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 03:21 INSIGHT

768:１３２人目の素数さん
09/09/27 03:58:19
>>757

　2000年にBARと組んで復帰したホンダは、シーズンが始まるとすぐに同スペックのエンジンをジョーダンに供給するという形になった。
　そうなっては無限はただホンダエンジンのメンテナンスのためにいるようなモノで、そんな活動に意味はないだろうと考えて当然だった。
　結果的にはホンダ本社が無限をF1から追い出し、身内同士の醜い争いという結果になった(?)のは残念で仕方ない。

　　中ry)

　F1参戦を目標にマシン開発を行っていた童夢、そのマシンには無限のV10エンジンが搭載されていた。
　マシンそのものはそこそこの完成度を誇っていたように見え、雑誌などでスポンサーとなる企業などを募っていたし、ワコールなどはそれに名乗りを上げていた。

　　中ry)

　ホンダや無限と深い関係にあった童夢だけにもしかしたらホンダや無限と組んでF1に参戦するのではという噂もあった。
　実現したらすごい事ではあったが所詮は噂にすぎなかったようだ。

　トヨタのフルワークス参戦というのも確かにすごく魅力的だけど、ホンダ、無限、童夢、BSの4社が団結した日本連合軍のF1参戦というものが実現していたら、それはF1にとっても新鮮な事であり、日本のレース界にとっても大きな意味があったはずなのだがね。

URLﾘﾝｸ(www5f.biglobe.ne.jp)

769:１３２人目の素数さん
09/09/27 04:08:15
>>761
因数分解するのは函数じゃなくて多項式。

>>754
因数分数って何。

770:１３２人目の素数さん
09/09/27 14:15:21
>>768
考えというかただの感想じゃん

771:１３２人目の素数さん
09/09/27 15:14:54
>>757

あなたが無限(むげん)を無碍(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、
間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無碍にする事は出来ません。

無碍に　… 思った通りに

あなたが無限(むげん)を無下(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、
間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無下にする事は出来ません。

無下にする … それより下はない事をする。お話にならないことをする。

772:１３２人目の素数さん
09/09/27 18:18:06
《問題》
体積の等しい立方体と球がある。
この立方体と球を動かして、立方体のなるべく多くの辺が球の内部と共通点をもつようにしたい。
最大何個の辺が共通点を持つようにできるか。

773:１３２人目の素数さん
09/09/27 21:13:28
感覚的には、球が立方体の辺を透過して移動できるというのは無理がある。

774:765
09/09/28 01:07:31
少し前の春分の日の棒の影の問題、√6/3でしょうか。
解いて欲しそうだったので解いてみました。

>>451さん、解答を教えてもらえませんか。

775:１３２人目の素数さん
09/09/28 04:30:24
>>772

5?

776:１３２人目の素数さん
09/09/28 14:05:43
【問】
y=e^xを原点中心にθ回転させたグラフがy=f(x)のようにyがxの関数として表されるためのθの条件を求めよ

777:１３２人目の素数さん
09/09/28 15:45:18
>>776
　y･cosθ - x･sinθ = e^(x･cosθ + y･sinθ)
　　　　　= e^(x/cosθ + (y･cosθ - x･sinθ)tanθ),

　-(y･cosθ- x･sinθ)tanθ･e^(-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ) = -tanθ･e^(x/cosθ),

　-tanθ･e^(x/cosθ) ≧ -1/e すなわち x/cosθ ≦ -1 -log(tanθ) に対してyが存在し、
　-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ = W(-tanθ･e^(x/cosθ)),
W は Lambert-W函数。
　y = x･tanθ -(1/sinθ)W(-tanθ･e^(x/cosθ)),
と表わされるが....

778:１３２人目の素数さん
09/09/28 16:54:39
>>777
関数はyがxにより一意的に定まるものだから常識的に考えて全範囲はあり得ないはず
【問】
(2)y=f(x)を原点中心にθ回転させた時にできるグラフは任意のθについてyがxの関数としてy=g(x)のように表せるf(x)は存在しないことを示せ

779:１３２人目の素数さん
09/09/28 17:26:36
△ABCをその重心を通る直線で2つの部分に分ける。
このとき､小さい方の面積が最小となるのはいつか。

780:１３２人目の素数さん
09/09/28 22:44:58
>>779
AB↑=b↑ ,AC↑=c↑
重心を通る直線がAB、AC(端点含む)を通るとしそれぞれの交点をP、Qとする
AP↑=p*b↑,AQ↑=q*c↑とし(1/2≦p≦1,1/2≦q≦1)
重心をsp*b↑+(1-s)q*c↑とすると
b↑,c↑が一次独立なので
sp=(1-s)q=1/3
p≠0,q≠0なので
1/p+1/q=3
相加相乗より
pq≧4/9
等号はp=q=2/3で成立
すなわち…(略)

駅弁レベルだとリアルに出るかもね

781:１３２人目の素数さん
09/09/29 02:12:19
>>778の補足
f(x)は連続で、全実数xにたいして定義される関数

782:１３２人目の素数さん
09/09/29 22:09:39
>>772
大阪大学乙

783:１３２人目の素数さん
09/09/29 22:26:57
>>782　その通り　なかなか良問ですよね　これ

784:１３２人目の素数さん
09/09/30 00:14:40
動点Pを(t-a,(t-a)^2),動点Qを(0,t)で定める.
a>0のとき、tを0≦t≦aの範囲で動かす.線分PQの通過する領域の面積S(a)を求めよ.

785:１３２人目の素数さん
09/10/01 22:11:34
数列｛a(n)｝を次のように定める.

a(1)=1 a(n)=［√a(n-1)］^2+k

このとき、どのような自然数kについても、a(m+1)=a(m+2)　となるような自然数mが存在することを示せ.

簡単過ぎ？

786:785
09/10/01 22:12:30
ちなみに、［x］はxを超えない最大の整数を表す.

787:１３２人目の素数さん
09/10/01 23:38:17
>>785
√a(n-1)のルートはn-1の部分にまでかかっているわけ？

788:１３２人目の素数さん
09/10/02 00:00:12
>>787
それa_(n-1)だと思うぞ
文脈からして

789:１３２人目の素数さん
09/10/02 00:25:40
>>784
まづ、線分PQが通過する領域を求める。
直線群PQ を F(t;x,y) = 0 とおく。
　F(t;x,y) = {(a-t)^2 -t}x + (a-t)(y-t)
　　　　　= (x+1)t^2 -{a(x+1) + (ax+y) + x}t + a(ax+y),
その包絡線は、
　F(t) =0, (∂F/∂t) =0　
からtを消去したものであり、F(t) =0 が重根をもつ条件である。
本問では F(t) は2次式だから、判別式を使って
　D(x,y) = {a(x+1) + (ax+y) + x}^2 -4a(ax+y)(x+1)
　　　　= (y-a)^2 ＋2x(y-a) +x^2 -4a(-x)(x+1)
　　　　= (y-a+x)^2 -4a(-x)(x+1)
　　　　= 0,
∴ y = a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　　　　(････楕円の一部)
これと直線PQ との接点は
　( a/{(a-t)^2 +a} - 1, a - (a^2 -t^2)/{(a-t)^2 +a} ),
特に t=0 のときは ( -a/(a+1), (a^2)/(a+1) ),
よって PQ の通過する領域は
　x^2 ≦ y ≦ -ax,　　　　(-a ≦ x ≦ -a/(a+1))
　x^2 ≦ y ≦ a-x -2√{a(-x)(x+1)},　　(-a/(a+1) ≦ x ≦ 0)

790:１３２人目の素数さん
09/10/02 00:57:39
正方形ABCDの辺BCの中点をMとする。△ACDの周または内部に任意の点Pをとる。
△APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる確率を求めよ。

791:１３２人目の素数さん
09/10/02 09:11:03
座標平面において、A(0, 3) とし、またPとQを単位円x^2+y^2=1 上の動点とする。
三角形APQの面積の最大値を求めよ。

792:１３２人目の素数さん
09/10/02 09:18:11
よくそんなつまらん問題思いつくな

793:１３２人目の素数さん
09/10/02 10:52:44
>>785
簡単の為、b(n)^2 = a(n) と表す（このとき b(n+1)^2 = [b(n)]^2 + k）
漸化式から数列 {b(n)^2} は全て正整数であり、
b(n+1)^2 - b(n)^2 = [b(n)]^2 - [b(n-1)]^2 = ([b(n)] + [b(n-1)])([b(n)] - [b(n-1)])
であるので、数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である

今、全ての n で b(n+1) > b(n) だと仮定する（このとき lim[n→∞]b(n) = +∞）
m を [b(n)] ≦ k なる最大の n とすると
[b(m+1)]^2 ≦ b(m+1)^2 = [b(m)]^2 + k ≦ k^2 + k < (k+1)^2
∴[b(m+1)] ≦ k
これは m の最大性に反する
∴ある整数 m が存在して b(m+1) = b(m)

ぬるぽ

794:１３２人目の素数さん
09/10/02 10:58:10
>>793
二点修正

×b(n)^2 = a(n)
○b(n) = √a(n)

×数学的帰納法から数列 {b(n)} は単調増加である
○数学的帰納法から数列 {b(n)^2} は単調増加である

795:１３２人目の素数さん
09/10/02 12:36:13
>>746
(1)
∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ

(π/4)/(tan^(n+2)+tan^n)

796:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/10/02 13:41:50
>>790
これ、本来、高校数学の理系の範囲でとくもの？

自分、高校数学の理系の範囲、かなりわかってないんで、
文系数学の範囲でゴーインにといてみた。

てか、見にくくてスマソ

↓
URLﾘﾝｸ(docs.google.com)

ま、たんに、xy座標平面で、
p=(m,n)とおいて、
△ACDの周または内部に任意の点Pをとる＞＞＞m,nについての条件を求めて、・・・（１）
△APMの面積がもとの正方形の面積の1/3以上になる＞＞m,nがどういう条件か、をもとめて、。。。（２）
両者をmn座標平面で図解して、（１）の領域にしめる（２）の領域の割合を求めただけ。

797:１３２人目の素数さん
09/10/02 14:03:35
>>790
Pが動く領域の面積を求めたらいいことを教えてやれば
偏差値65以上の中学生でも解ける

798:796
09/10/02 14:25:43
>>797

あ・・・そりゃそうだ。。。あせって、解き方思いついたらひたすら書きまくってしもた。
題意を吟味する習慣がそういえば最近欠けている。。。

799:785
09/10/02 19:22:42
>>785
に追加問題

あるkの値について、a(m+1)=a(m+2)となるとき、この値をf(k)とおく.
例えば、f(2)=3　f(3)=7である.

lim(n→∞)Σ（2≦k≦n）：1/f(k)
を求めよ.

800:１３２人目の素数さん
09/10/02 21:13:16
>>799
f(2k-1) + 1 = f(2k) = k^2 + 2k
勘だけど

801:１３２人目の素数さん
09/10/02 21:32:28
>>800

そんな予想は誰でもできます.
その証明が問題なんです.

802:１３２人目の素数さん
09/10/03 03:00:17
>>785

【有界性】a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,
(略証)
nについての帰納法による。
　a(1) = 1 < 2 ≦ (右辺),
また、
　a(n-1) ≦ {(k+1)/2}^2 + k = {(k+1)/2 + 1}^2 - 2 < {(k+1)/2 + 1}^2,　(k:奇数)
　a(n-1) ≦ (k/2)^2 + k = (k/2 + 1)^2 - 1 < {(k/2) + 1}^2, (k:偶数)
いづれの場合も
　√a(n-1) < [(k+1)/2] + 1,
∴　[√a(n-1)] ≦ [(k+1)/2],　
∴　a(n) ≦ [(k+1)/2]^2 + k,　　(終)
じゅうぶん大きいnについて等号成立。

【単調性】a(n-1) ≦ a(n),
(略証)
nについての帰納法による。
　a(2) - a(1) = k ≧ 1,
　a(n) - a(n-1) ≧ 0,
とすると、f(x) = [ √x ]^2 + k は広義の単調増加函数だから
　a(n+1) - a(n) = f(a(n)) - f(a(n-1)) ≧ 0,　　(終)

→　a(n) は有界な単調列だから、収束する。

803:802
09/10/03 03:15:30
>>799
・kが偶数のとき
　f(k) = (k/2)^2 + k = (1/4)k(k+4),
　1/f(k) = (1/k) - 1/(k+4),
･ｋが奇数にとき
f(k) = {(k+1)/2}^2 + k = (1/4)(k^2 +6k+1) = (1/4){(k+3)^2 -8},
　1/f(k) = 4/{(k+3)^2 -8},　　むむ…

804:１３２人目の素数さん
09/10/03 05:47:00
>>802
(有界性) は
　k = [k/2] + [(k+1)/2] ≦ 2[(k+1)/2] = 2L,
　a(n-1) ≦ L^2 + k ≦ L^2 + 2L < (L+1)^2,
　√a(n-1) < L+1,
　[√a(n-1)] ≦ L,

805:１３２人目の素数さん
09/10/03 07:06:14
>>784

S(a) = S_1(a) + S_2(a) - S_3(a),
S_1(a) = ∫[-a, -a/(1+a)] (-ax)dx = [ (-1/2)ax^2 ](x=-a, -a/(1+a)) = (2+a)(a^4)/{2(1+a)^2},
S_2(a) = ∫[-a/(1+a),0] { a-x-2√{a(-x)(x+1)} } dx
　　= [ ax -(1/2)x^2 -(x +1/2)√{a(-x)(x+1)} + (1/4)(√a)arccos(2x+1) ](x=-a/(1+a),0)
　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} -(1-a)a/{2(1+a)^2} -(1/4)arccos((1-a)/(1+a))
　　= (2a^2 +4a-1)a/{2(1+a)^2} - (1/2)arctan(√a),
S_3(a) = ∫[-a,0] x^2 dx = [ (1/3)x^3 ](x=-a, 0) = (1/3)a^3,

806:805
09/10/04 11:30:32
訂正、ｽﾏｿ

S_2(a) = ･･････
　　= (2a+3)(a^2)/{2(1+a)^2} ＋(1-a)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/4)arccos((1-a)/(1+a))
　　= (2a^2 +２a＋1)a/{2(1+a)^2} -((√ａ)/2)arctan(√a),

807:805-806
09/10/04 11:43:59
これが正解だとしたら、ひたすらマンドクセだけの問題だなｗｗ

808:１３２人目の素数さん
09/10/04 17:01:57
>>744はどうやるだ？

809:１３２人目の素数さん
09/10/04 22:01:19
>>808
OA=(a1,a2)、OB=(b1,b2)とおいて写像fを求めるのはいいと思う？
どっちにしろ(|PA|^2)+(|PB|^2)=|OA-OB|^2、(PA↑)*(PB↑)=0だけじゃ
Qを求めたところで詰む

810:１３２人目の素数さん
09/10/05 03:09:16
>>805-807
まとめると
　S(a) = (1/6)a^3 + (1/2){a - (√a)arctan(√a)},
　　　 = (1/6)a^2 + (1/15)a^3 + (1/14)a^4 - (1/18)a^5 + ……
だが。

811:１３２人目の素数さん
09/10/06 00:51:05
f(x) がx＝0 の近くで定義された関数とするとき，
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．

(1) 極限値 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(2) (1) の逆命題
(3) 極限 lim[x→0]f(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(4) (3) の逆命題

ただし，
極限 lim[x→0]f(x) が存在
⇔ 極限値 lim[x→0]f(x) が存在，または lim[x→0]f(x)＝∞，または lim[x→0]f(x)＝－∞
とする．

812:811
09/10/06 00:58:22
訂正．

f(x) がx＝0 を含む開区間で連続で，その区間内で x≠0 のとき f’(x) が存在するとき，
次の命題が真であれば証明し，偽であれば反例を示せ．

(1) 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(2) (1) の逆命題
(3) 極限 lim[x→0]f’(x) が存在 ⇒ f’(0) が存在
(4) (3) の逆命題

ただし，
極限 lim[x→0]f’(x) が存在
⇔ 極限値 lim[x→0]f’(x) が存在，または lim[x→0]f’(x)＝∞，または lim[x→0]f’(x)＝－∞
とする．

813:１３２人目の素数さん
09/10/06 00:58:56
>>811
何これ？反例ならf(x)=|x|でしょ。
逆とかは微分可能であれば連続だからおｋ。

814:１３２人目の素数さん
09/10/06 01:35:53
(1)
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ)　（ξ：0とhの間、平均値の定理）
より、f'(0)=lim[x→0]f'(x)･･･(*)
(2)f(x)=x^2sin(1/x)　（x≠0），0　（x=0）　が反例。
(3)基本的に(1)と同じ。f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし、
認めなければ成り立たない。((*)は常に成り立つ。)
(4)(2)が反例。

815:１３２人目の素数さん
09/10/06 07:06:07
>>814
(3)でにおいて f’(0) は実数なので，±∞まで認める事はない．
認めないと，証明は自明ではない．
(*)はいつも成り立つとあるが，成り立つのは f’(x) が x＝0 で連続のときだけ．

816:１３２人目の素数さん
09/10/06 07:11:32
また，(1) で f’(0)=lim[x→0]f’(x) とあるが，これは
f’(0)=lim[h→0]f’(ξ) で lim[x→0]f’(x) が存在するので，
結果的に f’(0)=lim[h→0]f’(ξ)=lim[x→0]f’(x) となる事を明記しないと，
あらかじめ f’(0)=lim[x→0]f’(x) となる印象を受ける．

817:１３２人目の素数さん
09/10/06 08:40:48
>>812に追加．

(5) f’(0) が存在 ⇒ f’(x) が有界 ( |f’(x)|≦M )

818:１３２人目の素数さん
09/10/06 13:12:00
>>814
＞f'(0)の存在を±∞まで認めれば成り立つし

これは間違い。

819:１３２人目の素数さん
09/10/06 13:43:38
自然数Nにたいして、F(N)=10^Nで定める.

(1)F(N)-1が２００９で割り切れるような自然数Nをすべて求めよ.
(2)Mが７以上の整数のとき、a^2009+b^2009=c^f(M!)　をみたす自然数の組（a,b,c)は無限に存在することを示せ.

820:１３２人目の素数さん
09/10/06 17:17:35
×　無限に存在する
◎　無数に存在する

821:１３２人目の素数さん
09/10/06 21:17:01
>>816
書き方が悪かったのか？
(1)は極限の定義よりlim[h→0]f'(ξ)=lim[x→0]f'(x)は(lim[x→0]f'(x)が存在すれば)明らかだ。

(3)は
(f(h)-f(0))/h=f'(ξ)
なんだから、lim[x→0]f'(x)=∞のときは
∀K＞0に対して∃δ＞0　s.t.　|x|＜δ⇒f'(x)＞Kが成り立っている。
このKに対して、|h|＜δを任意に取れば、0＜|ξ|＜|h|よりf'(ξ)＞K
すなわち|h|＜δ⇒(f(h)-f(0))/h＞K
これよりlim[h→0](f(h)-f(0))/h=∞である。よってf'(0)は存在しない。-∞も同様。
(1)より、lim[x→0]f'(x)∈Rのときは成り立つ。

これで問題ないんじゃない？
ちょっと書き方悪いけど、収束とf'の値に±∞まで許せば
f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
は常に正しいと書いた。

(3)の反例としては、f(x)=√x　（x≧0），-√(-x)　（x＜0）

822:１３２人目の素数さん
09/10/06 21:49:30
>>821
物理屋じゃないんだから，f'(0)＝∞ はないだろ．
lim[x→0]f(x)＝∞ の「＝」は形式的に書いているだけで，本来の意味の等号ではない．
∞ を実数とすれば実数の公理から矛盾が出る．

823:１３２人目の素数さん
09/10/06 21:57:05
>>822
だから書き方が悪かったって。お前の言うとおり形式的といえばそうなるな。
でも間違ってはないだろ？
てか測度論・ルベーグ積分論では可測関数の値域に±∞を認めて議論するのが普通じゃないか。

824:１３２人目の素数さん
09/10/06 22:39:15
無限遠点を加えて議論した方がすっきりするしな

825:１３２人目の素数さん
09/10/07 00:08:58
そんないい訳では f'(0)=lim[h→0](f(h)-f(0))/h=lim[x→0]f'(x)
の二つの「＝」の説明はつかないぞ。値域云々じゃなくて「表記」の問題。
δ関数も本当の関数だと言ってるようなものだよ。
しかもここは工房相手の作問スレ。

826:１３２人目の素数さん
09/10/07 00:14:40
そもそもあれは工房向けの問題じゃないしな

827:１３２人目の素数さん
09/10/07 00:52:01
>>721-722
少し発展させた次の問題なら、東大入試程度になるかな？

問：与えられた実数a,bについて、直線l: y=ax+b を定める。
l上のすべての格子点(座標が整数である点)が、x座標・y座標ともに素数であるとき、
aは無理数であることを示せ。

828:１３２人目の素数さん
09/10/07 01:04:05
>>819
(1) 根性で1/49の循環節が42であることを求め、1/41の循環節が5であることとあわせて
1/2009の循環節は42*5=210、よってN=210n (nは自然数)という結果が出たが…
(2)は皆目見当がつきません。

829:１３２人目の素数さん
09/10/07 02:20:32
>>828
(2)の問題は、以前出した>>698の応用。

(1)
1/41の循環節が５であることはすぐ分かる.
ここで、各桁が１である、m桁の自然数をf(m)と書くことにしよう.
たとえば、f(4)=1111である.
f(m+1)=10f(m)+1であることから、f(m)が７で割り切れるようなmは6の倍数であることがすぐにわかる.
よって、f(m)が４９で割り切れるのも、mが６の倍数のときである.
f(6m+6)=1000000・f(6m)+111111
　　　　≡8・f(6m)+28　(mod49)
で、f(6)≡28(mod49)から
計算していくと、
f(12)≡7(mod49)
f(18)≡-14(mod49)
f(24)≡14(mod49)
f(30)≡42(mod49)
f(36)≡21(mod49)
f(42)≡0(mod49)
よって、1/49の循環節は42である.
以上より、N=210n（nは自然数）

(2)
(1)により、M!は210の倍数であることから,f(M!)-1は２００９で割り切れる.
したがって、(f(M!)-1)/2009=Zとおけば、Zは整数である.
a=x・(x^2009+y^2009)^Z
b=y・(x^2009+y^2009)^Z
とおくと、正の整数（x,y）の組は無数に存在するから、(a,b)の組も無数にあると考えてよい.
a^2009+b^2009=(x^2009+y^2009)^f(M!)=c^f(M!)
∴c=x^2009+y^2009

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