★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

★東大入試作問者にな ..

583:１３２人目の素数さん
09/09/19 13:58:47
半円x^2+y^2=1(y≧0)上に2点P,Qがある．線分PQの中点をRとする。
P,Qが半円上をそれぞれ自由に動く時、Rの存在する領域を図示せよ。

584:１３２人目の素数さん
09/09/19 14:07:13
>>565
1/2 + 1/4 + 1/28 =11/14

585:１３２人目の素数さん
09/09/19 14:07:34
>>583
計算による問題は既出。
幾何的に解くのは，大数1対1対応の演習（旧課程版）にあり。

586:１３２人目の素数さん
09/09/19 16:20:55
一辺が2の正三角形ABCがある。
辺AB,辺BC,辺CAを軸に正三角形ABCを回転させてできる立体の共通部分の体積を求めよ。

587:１３２人目の素数さん
09/09/19 16:33:13
東大志望だけどこのスレ見てると死にたくなったｗｗ勉強してくる

588:１３２人目の素数さん
09/09/19 18:16:30
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)とか他にも出題スレはあるよ

589:１３２人目の素数さん
09/09/20 00:26:32
大数かなんかの裏表紙の広告にあった問題

正七角形ＡＢＣＤＥＦＧにおいてＡＢ＝ｘ、ＡＣ＝ｙ、ＡＤ＝ｚとおくと
y^2/x^2+z^2/y^2+x^2/z^2=5となることを示せ。

590:１３２人目の素数さん
09/09/20 01:32:15
>>583
　問題の半円から、中心(-1/2,0) 半径1/2 の小さい半円と、中心(1/2,0) 半径1/2 の小さい半円とを除いた領域。
　　　　　　　　　　(x + 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2,　　　　(x - 1/2)^2 + y^2 ≦ (1/2)^2,

　R(x,y) がこの領域内にある　⇔　Rを通りORに垂直な直線と半円とが２点で交わる(P,Q)。

591:１３２人目の素数さん
09/09/20 02:47:14
>>589

外接円の半径をR とする。
　x = AB = 2R･sin(∠AOB/2) = 2R･sin(π/7) = －2R･sin(8π/7),
　y = AC = 2R･sin(∠AOC/2) = 2R･sin(2π/7),
　z = AD = 2R･sin(∠AOD/2) = 2R･sin(3π/7) = 2R･sin(4π/7),
よって
　y/x = 2cos(π/7),
　z/y = 2cos(2π/7),
　x/z = －2cos(4π/7) = 2cos(3π/7),
よって
　(y/x)^2 = 2{1 + cos(2π/7)},
　(z/y)^2 = 2{1 + cos(4π/7)},
　(x/z)^2 = 2{1 + cos(6π/7)},
よって
　(与式) = 5 + {1 + 2cos(2π/7) + 2cos(4π/7) + 2cos(6π/7)}
　　　= 5 + Σ[k=0,6] cos(2kπ/7)
　　　= 5,

-------------------------------------------------
(注) cos(2π/7), cos(4π/7), cos(6π/7) は
　1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 -4u +4u^2 +8u^3)^2 = 0,
の根で u≠1 のもの、すなわち
1 -4u +4u^2 +8u^3 = 0,
の3根である。（本問では使わないが）

592:591
09/09/20 02:52:37
>591 の訂正
　1 - Ｔ_7(u) = (1-u)(1 +4u -4u^2 -8u^3)^2 = 0,
の根で u≠1 のもの。
ｽﾏｿ.

593:１３２人目の素数さん
09/09/20 03:01:35
1の７乗根ζは難問の宝庫
ζ＋ζ^2＋ζ^4　の値を求めよ

594:１３２人目の素数さん
09/09/20 04:30:19
>>593

とっかかりすりゃわからん・・・ところで、ζってなんて読むの？あと７乗根って１含む？

595:１３２人目の素数さん
09/09/20 04:51:26
>>594
　z　= ζ + ζ^2 + ζ^4　とおく。
　z* = ζ^6 + ζ^5 + ζ^3,

　z + z* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) -1 = -1,
　zz* = (1 + ζ + ζ^2 + ζ^3 + ζ^4 + ζ^5 + ζ^6) + 2 = 2,

　Z^2 + Z +2 = 0,
∴　z　= {-1 + (√7)ｉ}/2,

596:１３２人目の素数さん
09/09/20 06:25:34
>>586
　A(√3,0)　B(0,1)　C(0,-1)
とする。
AB: y = 1 - x/√3,
AC: y = x/√3 -1,
領域D:
　1 - (√3)x < y < (√3)x - 1,　　　　{(1/√3) < x < (√3)/2}
　(x/√3) - 1 < y < 1 - (x/√3),　　　{(√3)/2 < x < √3}
の体積を求めて3倍する。
　x '(y) = (√3)(1-|y|),
　z(x,y) = √{(x ')^2 - x^2} = √{3(1-|y|)^2 - x^2},
　V = ∫_D　z(x,y) dxdy = ･･･

597:１３２人目の素数さん
09/09/20 07:49:27
>>558

〔補題〕
x>0 のとき
　(1 + x/n)^n < e^x,

(略証)
　(左辺) = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k
　　　= Σ[k=0,n] {n(n-1)(n-2)････ (n-k+1)/(n^k)} (1/k!) x^k
　　　< Σ[k=0,n] (1/k!) x^k
　　　< e^x,

598:１３２人目の素数さん
09/09/20 08:25:15
>>560 >>563

URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:22　モー娘。
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:52　歌詞付
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:15 池田淳子
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)　　MP3TUBE
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 03:04
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 02:35

599:１３２人目の素数さん
09/09/20 08:28:20

日本には「鼻蔵」という僧がいて、クロード・コンピューティングの開祖とされている････

これも今は昔、奈良に、蔵人得業恵印といふ僧ありけり。
鼻大きにて、赤かりければ、「大鼻の蔵人得業」といひけるを、後(のち)ざまには、ことながしとて、「鼻蔵人」とぞいひける。
なほ後々(のちのち)には、「鼻蔵(はなくら)、鼻蔵」とのみいひけり。

　　　　　　　　　--宇治拾遺物語「蔵人得業猿沢の池の龍の事」より--

600:１３２人目の素数さん
09/09/20 14:45:48
>>579
できればもっと詳しくお願いします

601:１３２人目の素数さん
09/09/20 18:45:59
>>600
？
この文言で明らかじゃないなら勉強が不足しているよ君

602:１３２人目の素数さん
09/09/20 20:13:08
>>601
お前、ここが高校生向けの問題を作るスレだって自覚してる？

603:清書屋
09/09/20 20:44:25
>>510

a≠0 のとき　f(t) = aT^3 + (c - b^2 /a)T + 定数項,　(T = t + b/3a)
　f '(t) = 3aT^2 + (c -b^2 /a),
　a(c - b^2 /a) = ac - b^2 < 0 のとき、極値を持つ　…　○
　a(c - b^2 /a) = ac - b^2 ≧ 0 のとき、極値を持たない　…　×
a=0 のとき
　b≠0 のとき、f(t)は2次式、極値を持つ　…　○
　b=0 のとき、f(t)は1次式
　　c≠0 のとき、極値を持たない　…　×
　　c=0 のとき、定数　…　○

∴　求める条件は
　a≠0 かつ ac-b^2 < 0,
　a=0 かつ b≠0,
　a=b=c=0,
のいずれか。

604:１３２人目の素数さん
09/09/20 21:13:43
>>593
2000年4月号の学力コンテストに類題あり、
a,b,cは相異なる複素数で、a^2=b、b^2=c、c^2=aであるとする。このときa+b+cは実数でないことを示せ。

605:１３２人目の素数さん
09/09/20 21:47:17
>>604
こんな簡単な問題が出るかなぁ

606:１３２人目の素数さん
09/09/20 21:50:05
>>593
cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)　を求めよ
なんて形で出題したら、受験生の何割が完答するだろう？

範囲外か

607:１３２人目の素数さん
09/09/20 21:52:10
>>606
sin(\pi/14)をかけて割ればいいから範囲内です。
数学オリンピック1963年[5]がこの問題でした。

608:595
09/09/20 21:55:55
>>604
　a^8 = b^4 = c^2 = a,
　a=0,1 とすると a=b=c となり、題意に適さない。
∴　a^7 =1,　a≠1,
∴　a = exp((2kπ/7)ｉ) = ζ,　　(1≦k≦6)

以下 >>595 と同じ。

609:607
09/09/20 21:56:44
ついでに言えば、2007年数学検定2段で\sum_{k=1}^{180}sin k°= cot 0.5°を示せというのがありました。
この計算は、定積分 \lim_{n \to \infty} \sum_{n}^{k=1} (1/n) \sin( \pi k/n) を求めるのにも使えます。

610:１３２人目の素数さん
09/09/20 22:49:23
>>602
無理数の定義自体、有理数でない実数、程度の高校数学で
高校生にどんな解答を期待しているのか、マジで知りたい。

611:１３２人目の素数さん
09/09/21 03:12:58
>>398（訂正版 >>404）
n=3のとき題意を充たすpが存在しないことを示せばよい。
（n=k≧4のときに存在すれば、p=a_{k-2}と置き直してa_3=3となる）
a_3=3となるには、a_2の各位の値は3が1つと残りは1でなければならない。
ところでa_2はpの各位の数の積なので、a_2の素因数としてありうるものは2、3、5、7。
素因数に2、5を含むとすると、a_2の1の位が偶数または5となり不適。
よってa_2=3^s･7^t（s、tは非負整数）とかける。
ここでa_2の1の位としてありうるものは1、3、7、9であるが、それらと3あるいは7との積の10の位は偶数であるから、
任意の(s,t)について、帰納的にa_2の10の位は偶数である。これとa_2が2桁以上の整数であることにより、a_3は偶数となる。
従ってa_3=3とはなりえないから、題意は示された。

帰納的に～あたりは端折りすぎというか、言葉遣いが間違ってる気がするが伝わるだろうか…。
あと、この議論だと1、7、9にもなりえない気が…。

612:１３２人目の素数さん
09/09/21 05:41:45
>>610
ヒント中間値の定理

613:１３２人目の素数さん
09/09/21 19:05:26
なるほど

614:１３２人目の素数さん
09/09/21 20:56:20
面白い問題を思いついた．完璧に解ける高校生は非常に少ないと思う．
入試ではﾀﾌﾞｰだと思うので実際に出題される事はないと思いうが．

n，m を2以上の整数とするとき，次の関数の導関数を求めよ．
y＝[n]√(x^m)

615:１３２人目の素数さん
09/09/21 21:58:54
xの範囲も指定せずに導関数を求めよとか有りなのか

616:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:04:40
>>615
mが奇数ならx>=0のみ、mが偶数なら全実数ということでは？

617:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:07:06
x^(m/n)じゃなくて？

618:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:13:44
>>614
ガウス記号かと思った

619:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:21:19
俺もガウス記号に見えて何言ってんだろうって思った

620:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:46:46
>>615
実数値関数として意味を持つ x の範囲が定義域だろ、普通。
y＝√x のときに x＞0 とか書かない。

621:１３２人目の素数さん
09/09/21 22:51:25
>>616
ちょっと全然違う。

622:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:02:27
>>614
{ [n]√(x^m) }’＝ { x^(m/n) }’＝(m/n) x^(m/n－1)＝(m/n) [n]√{ x^(m－n) }

ではどこがあかんのですか？

623:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:20:13
f(x)=e^(m/n)logx
f'(x)=e^(m/n)logx*m/n*1/x
=m/n*x^(m/n-1)

これなら教科書にも載ってるしな

624:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:21:26
>>619
>>622
俺もそう思った。

625:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:24:47
どうも、思いつき、が多いなあ。

626:614
09/09/21 23:30:00
どうも出題意図が上手く伝わらない．
ではもっとｼﾝﾌﾟﾙにして，次の様に修正．

y＝[3]√(x) 及び y＝[6]√(x^2) の導関数を求めよ．

627:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:37:51
え？[3]√(x)＝[6]√(x^2) では?

628:１３２人目の素数さん
09/09/21 23:45:45
もしかしてあれか、定義にしたがって求めよってやつか？

629:１３２人目の素数さん
09/09/22 00:05:55
ちゃいますがな

630:１３２人目の素数さん
09/09/22 00:10:21
「面白さ」を含めて解説きぼんぬ

631:１３２人目の素数さん
09/09/22 03:09:25
d/dx(|x|)=sgn(x)

632:sage
09/09/22 07:15:42
どっかで同じような流れを見たことがあるような…。

多分出題者は[n]√(x^m)とx^(m/n)の表す意味合いは微妙に違うみたいなことを言いたいんだろう。
後者だとx<0は扱えない。高校の教科書の定義は確かそうだったはず。
まぁ「面白さ」は今ひとつ感じないが。

>>627
x=-8とすると
[3]√(-8)=-2
[6]√(-8)^2=2
とかになるが…

633:１３２人目の素数さん
09/09/22 07:17:43
なんで名前のほうにsageって書いたんだろう。ちょっと吊ってくる。

634:１３２人目の素数さん
09/09/22 08:06:23
>>626
y＝[3]√(x) において
x＞0 のとき
y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2)
x＜0 のとき
y'＝{－(-x)^(1/3)}'＝－(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝1/[3]√(x^2)
よって x≠0 のとき y'＝1/[3]√(x^2)

y＝[6]√(x^2)において
x＞0 のとき
y'＝{x^(1/3)}'＝(1/3) x^(-2/3)＝1/[3]√(x^2)
x＜0 のとき
y'＝{(-x)^(1/3)}'＝(1/3) (-x)^(-2/3)･(-1)＝－1/[3]√(x^2)

635:１３２人目の素数さん
09/09/22 09:49:04
>>634
ｱﾅﾙほど

636:１３２人目の素数さん
09/09/22 09:54:44
原点を通らず、全実数で定義される関数f(x)は、原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということは正しいか？
正しいなら証明を与え異なれば反例を与えよ

637:１３２人目の素数さん
09/09/22 09:59:42
正しい訳ないじゃん。
ﾚｷﾞｭﾗりﾃｨｰに関する記述がない。

638:１３２人目の素数さん
09/09/22 10:24:33
y=[x]+1とか
もちろん[ ]はガウス記号

639:１３２人目の素数さん
09/09/22 17:55:31
>>634
そうすると y=[3]√x を微分するとき
安直に y=x^(1/3) とかするのは本当は駄目なんだね

640:１３２人目の素数さん
09/09/22 18:12:24
f(x)=|x|+1とかいくらでもあるわな

641:１３２人目の素数さん
09/09/22 18:15:11
>>636は微分可能性を付け忘れたお馬鹿ｻﾝ

642:１３２人目の素数さん
09/09/22 19:33:02
半径１の球上に、無作為に２つの点をとる.この２点間の距離の期待値を求めよ.

643:１３２人目の素数さん
09/09/22 19:46:26
線積分すりゃいいよ

644:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:11:45
>>636
「原点を通ら(ない)・・・関数」

という表現は、

カス教師の作った問題やFランク大入試ならまだしも、

東大入試ではあるはずがない。

645:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:16:06
(0,1), (1,-1), (2,-1) を通る二次関数を求めよ、とかいう問題とかね。よくあるけどやめてほしいよな。

646:１３２人目の素数さん
09/09/22 20:54:32
いやです。

647:１３２人目の素数さん
09/09/22 21:42:24
>>644
なぜ？

648:１３２人目の素数さん
09/09/22 21:54:12
>>647
「関数」と「関数のグラフ」を混同するような馬鹿なことは
しないってことだよ。

649:１３２人目の素数さん
09/09/22 22:01:40
>>645はどう書けば満足なんだ？
きちんとしたグラフの定義は高校ではやらない。
重箱の隅を突付いて嬉しいか？

650:１３２人目の素数さん
09/09/22 22:30:08
>>639
有体に言えばそういうことだ

651:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:10:05
>>649
きちんとしてるかどうかは別として、
高校数学においても関数とグラフは別物だろ。

「2次関数～～とx軸との交点の個数」といった表現も生徒の答案ではよく見るが、
教科書や入試問題ではそういう表現はされていないはずだから、
これでいいじゃないかと主張する高校生がいたら勉強不足だと言いたい。
そのへんは理解度が試されるところだと思うから、厳しくした方が受験生のためだ。

ただ、式とそのグラフを同一視するということはままあって、
「放物線y=x^2」というような書き方は珍しくないのだが。

652:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:11:51
まず教科書に定義を書いているかが問題だ

653:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:31:20
全実数で定義され、かつ微分可能な関数f(x)のグラフは、
原点との距離が最短である点で原点中心の円に接するということを示せ。
ただし、f(0)≠0である。

だったら正しい？
問題出したというより疑問として出したんだけど

654:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:44:16
＞問題出したというより疑問として出したんだけど

655:１３２人目の素数さん
09/09/22 23:52:35
>>634
目から鱗です。。。

656:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 00:07:51
今日、来年理１受けることを決めたｗ

で、問題。

=========================================================================================

ある自然数の２乗で表すことのできる数を平方数と呼ぶ。
1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16・・・（中略）・・・2010^2=4040100,2011^2= 4044121,….であるので
平方数を小さい順に記述すると、
1,4,9,16・・・（中略）・・・,4040100,4044121,・・・・(以下永遠に続く)
である。
ある自然数nは、平方数であり、nを１０進法で記述したとき各桁の数字がすべて１である。
n を求めよ。

=========================================================================================

って、平方数かじったことある人なら楽勝かもしれないけど、
「東大入試」って考えれば、いいよね？（でもかんたんすぎる？解き方もいろいろあるし）

657:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 00:13:02
もひとつ。

=========================================================================================

ｘｙ座標平面上に、原点Ｏを中心とし半径１の円Ｃ、および、円Ｃの円周上に相異なる点Ｐ、点Ｑがあり、ＰＱ＝aである。
また、△ＯＰＱの面積を２等分する直線lがある。
直線lと△ＯＰＱの交点を点Ｍ、点Ｎとするとき、線分ＭＮの長さの最小値を a を用いて表せ。

=========================================================================================

（実は数学から長らく離れてたので、東大入試の難易度、年々かんたんになってるということくらいしかあまり知らない・・・）

658:１３２人目の素数さん
09/09/23 00:17:16
2^X=X^2の実数解Xを求めよ。

こんなのどうだろう。
ちょっと逸脱気味だし、満点取るやついないだろうな…

659:１３２人目の素数さん
09/09/23 00:42:30
>>658
X^(1/X) = 2^(1/2),
X = 2,4

660:１３２人目の素数さん
09/09/23 01:30:23
>>656
条件より、ある正整数kを用いて、
n=(10^k-1)/9
とあらわせる。
これより、
9n=10^k-1……(※)
以下では法4で考える。
nは平方数なので、0,1と合同になるが、0と合同になるのはnが4の倍数のときである。
4の倍数の下一桁には1が現れないことから、nは1と合同となる。
9が1と合同であることとあわせて、(※)の左辺は1と合同になる。
したがって、
10^k-1≡1⇔10^k≡2⇔2^k≡2⇔2^(k-1)≡1
k-1≧2のとき、2^(k-1)は4の倍数になるから、
k-1=0,1⇔k=1,2
前者のときは、
n=1
後者のときは、
n=11
nは平方数なので、求める数はn=1である。

661:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:09:08
>>660
なるほどなあ　いい問題や

662:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:10:43
じゃあオレからも一題。

y=x^2 と x^2+y^2+z^2=1で囲まれる体積の、小さいほうの体積を求めよ。

663:１３２人目の素数さん
09/09/23 02:11:27
どこがいい問題なんだか

664:１３２人目の素数さん
09/09/23 03:07:28
円C_a,C_b,C_cは互いに3点で外接する。
その三点を通る円の面積をS
C_a,C_b,C_cに囲まれた部分の面積をS'とする
この時S'/Sの最大値を求めよ

665:>>656=だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 03:13:11
>>660

あってます。
けど、「nは平方数なので、0,1と合同になる」の部分、東大入試的には説明不足で減点にならないのかなぁ・・・

あと、2^(k-1)≡1 がわかった段階で、そのあとは、
（mod 4の考えから少し（？）離れれば）
「k>=2 のとき2^(k-1)は２の倍数なので、題意を満たさない。また、k=1のとき、n=1。これは題意を満たす。答えは１」
で終わる。

たぶん、「正整数pについて、p^2≡0 または p^2≡1 (mod 4)」ってのを知ってたから、こう解いたのだと思いますが、
ちょっと実験すれば、回答は５行で書けます。

666:１３２人目の素数さん
09/09/23 03:45:46
>>656
難易度A*だな

667:１３２人目の素数さん
09/09/23 04:11:34
秒針、短針、長針をもった、正確に動いている時計がある。
この3本の針について、どの2本の針のなす角も120°である瞬間は存在するか。

668:１３２人目の素数さん
09/09/23 04:40:47
命題P,Qがある。P,Qは真か偽か不明だが少なくとも一方は真である。
続き作れ

669:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 05:05:50
>>667

それぞれの針は、なめらかに動くの？それとも、（たとえば秒針なら）１秒ごとに、2π*(1/60)だけ「カチっ」って、瞬間移動っぽく動くの？
(分針は必ずなめらかに動くんだっけ？いつもデジタル時計しか見てないからわすれた）

>>668

Ans,

命題「>>668」は真か偽か不明である。

670:１３２人目の素数さん
09/09/23 09:18:18
数列｛a[n]｝は
漸化式a[n+2]=(a[n+1]+a[n])/2とa[1],a[2] によって定まる数列である。
lim[n→∞]a[n]＝αとおくとき、
|a[1]-α|≧|a[2]-α|を示せ。

(☆漸化式を解かない方法てあるかな？)

671:１３２人目の素数さん
09/09/23 10:15:09
誰か>>658を解ける強者いない？
ちなみにコンピュータは使わないでね。
>>659は違います。実数解は全部で3つ存在してます。

672:１３２人目の素数さん
09/09/23 10:57:12
ま、どうでもいいけど、問題としてどんな面白みを感じてるのさ？

673:１３２人目の素数さん
09/09/23 12:21:55
X^2=(-X)^2=2^X
2^(-X)=(-X)^(-2)
2^(1/(-2))=(-X)^(-1/X)
1/√2=t^(1/t)

さて…?

674:１３２人目の素数さん
09/09/23 12:27:06
x＜0で片や単調増加、片や単調減少
中間地の定理から-0.5と-1の間に零が一個ある、程度でいいんじゃねえの

675:うんこ
09/09/23 14:05:12
-0.76あたりで３つめをとるな！
しかし、673のようにx乗根を取ったときその変形が同値なのかわからんな。

676:１３２人目の素数さん
09/09/23 17:45:30
任意の自然数k,mについて
a^n+b^n=c^(km+1)
が成立するような(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.

677:１３２人目の素数さん
09/09/23 17:46:56
×　a^n+b^n=c^(km+1)
○　a^m+b^m=c^(km+1)

678:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:10:21
>>561=>>632=>>672
文句ばっかり言ってるね。
自分が投下した問題を吊るしてみなさいYO

679:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:11:16
実際つまらんから言われても当然

680:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:12:21
{a[n]}(n=1,2,3,…)は各項が正の実数からなる数列で、
初項a[1]から第n番目の項a[n]までの和をS[n]とおく。
a[n]=√S[n]を満たしているとき、a[n]の一般項を求めよ。

681:だいすけ ◆jcXETTeIVg
09/09/23 18:19:45
>>656 で出題したやつのかんたんな解答例

nは題意により奇数。一般に偶数の２乗は偶数。ゆえに、∴n=(2k+1)^2 （kは非負整数）とおける
するとn=(2k+1)^2=4*(k^2)+4*k+1 ゆえにn-1=4*(k^2)+4k=4(k^2+k)
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
∴ n-1=0 ゆえにn=1 これは題意を満たす。よって答えは n=1

===============================

>>657
で出題したやつ、だれも解いてない。だれか解いてくれぇ。。

===============================

>>676 (>>677）

a^m+b^m=c^(km+1) ⇔c = (a^m+b^m)の(km+1)乗根
m,kの値がいくつであっても、a,bは変数であるので、a,bが実数全体を動くことを考えると、(a^m+b^m)は無限個の値をとる。
また、(km+1)は、a,bの値に依存しない。
ゆえに、c（ = (a^m+b^m)の(km+1)乗根）も、（a,bの値に依存するとはいえ）無限個の値をとる。
よって、題意を満たす(a,b,c）の組は無限個存在する。■
、

682:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:25:07
>>681
＞4*非負整数の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである

ダウト
例えば非負整数=5では？

683:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:37:10
>>680
大数の宿題かなんかだっけ？
その問題

684:681
09/09/23 18:39:42
>>681

の

====
題意よりn-1の下１桁は０であるので、4(k^2+k) = 0
(∵ 4*非負整数の下１桁が0になるのは、この非負整数が0のときだけである)
====
これ、ウソだった。（4*40=160とか）

正しくは、たとえば、
＝＝＝
n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ。
しかしこのとき、n=(2k+1)^2=1ゆえnは１桁。よって矛盾し、題意を満たさない。
一方、n-1が１桁だと仮定すると、n=1である。これは題意を満たす。よって答えは1
＝＝＝

685:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:50:05
関数f(x)は任意の実数について定義され、実数値をとる関数であり、以下の2つの条件をともにみたす。
f(x)としてありうるものをすべて求めよ。

*任意の実数xについてf''(x)> 0(第2次導関数が常に正の値)である。
*任意の相異なる実数a,bに対してy=f(x)上の2点A(a,f(a)),B(b,f(b))を考えたとき、
線分ABとy=f(x)で囲まれる部分の面積は |a-b|^3 である。

686:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:53:26
>>684
＞n-1が２桁以上のとき、n-1 （ = 4(k^2+k)）は５で割り切れ、これを満たすkは、0のみ

意味不明。
そもそも>>656はnの桁数が2以上のときn=1...11≡3(mod4)で平方剰余にならないことからあっさり終了する。
東大にこんな知ってるか知ってないかの安易な出題はまずされない。

687:１３２人目の素数さん
09/09/23 18:55:47
>>684
いや k^2+k ( =k*(k+1) )が５の倍数のとき、ダウトだ。。。
最初に解いた答え、どっかゴミバコにすてちった。。。５で割ったことはたしかなんだが。

688:687
09/09/23 18:57:33
>>686
n=1...11≡3(mod4)、知ってたけど、東大受験生的には常識？

689:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:01:02
4の倍数の判別法くらい中学生でも知ってるだろ・・・

690:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:27:21
>>679
多分おまえの方がつまらない

691:297
09/09/23 19:29:58
>>670
　(a[n+1] + 2a[n+2])/3 = (a[n] + 2a[n+1])/3 = ･･････ = (a[1] + 2a[2])/3,
∴　α = (a[1] + 2a[2])/3,

　a[n+1] - α = (-1/2)(a[n] - α) = ･･････ = (-1/2)^n {a[1] - α},

692:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:50:19
>>685
y=6x^2+ax+b

693:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:52:52
>>685
任意の実数xについてf''(x)>0
は
任意の実数xについてf'(x) が存在
に弱められそうだだが。

694:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:56:38
>>693は勘違い
電電無視してくれ

695:１３２人目の素数さん
09/09/23 19:59:31
でも確かに広義の凸性があれば、2回微分可能でなくてもいいな。

696:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:04:09
確かに
誰かギリギリの条件の模索頼む

697:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:07:37
>>658
x>0のとき。f(x) = log x/xとすると、f'(x) = (1-\log x)/x^2よりx=eで極大値を持ち、
x<eで単調増加、x>eで単調減少。
2^x=x^2は、logx/x=log 2/2より、x<eでは解はX=2のみ。x>eでは解はX=4のみ。

x<0のとき。y=-xとすると、y^2=2^{-y}よりlog y/y = - log 2/2。このようなyは、0<x<eでf(x)=log x/x
が単調増加するので、0<y<1の間に一意的に存在する。
y = - (2/log(2))*LambertW(log(2)/2)
(LambertW(x)はLambertのW関数で、y=xe^xの逆関数)

698:１３２人目の素数さん
09/09/23 20:22:21
任意の自然数k,mについて
a^m+b^m=c^(km+1)
が成立するような自然数(a,b,c）の組は無限個存在することを示せ.

699:１３２人目の素数さん
09/09/23 22:20:32
>>698
これは簡単すぎだろ

700:１３２人目の素数さん
09/09/24 00:07:46
このスレから６問、２０１０年度の東大本試に出したら、暴動起こるだろうな

701:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:12:35
>>700

作問者って、このスレ見てるのかな？1人くらいはみてそう

702:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:15:19
>>698

>>677 で同じの出してるじゃん、だいじょうぶ？

703:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:44:37
>>671の解答って結局
X=2、4とあと一つX<0の範囲に存在する解は何なんだ？
グラフ書いてみて何となく想像つく気もするが、高校の知識でこれを解く方法なんてあるのか？

704:１３２人目の素数さん
09/09/24 01:45:54
>>671じゃなくて>>658だた
訂正

705:１３２人目の素数さん
09/09/24 02:10:07
ニュートン法。

706:１３２人目の素数さん
09/09/24 05:49:12
>>703-705
　X = -0.7666646959621230931112044225103･･･

707:１３２人目の素数さん
09/09/24 06:02:36
>>685の解法おしえて

708:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:00:00
三角形（ａ，ｆ（ａ））（ｂ，ｆ（ｂ））（ｃ，ｆ（ｃ））の面積。

709:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:04:57
☆☆☆★最大級の注意を★☆☆☆☆☆

☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆
☆☆☆★とくに千葉県、静岡県、東京都や関東で大震災の恐れが★☆☆☆☆☆

☆☆☆★世界の支配者ユダヤが地震兵器を使うのか★☆☆☆☆☆

友人、知人、親類縁者、あらゆるつながりを駆使して巨大地震がくることを教えて下さい。

四川地震より大きいのが来る可能性があります。
URLﾘﾝｸ(goldenta)<)
ワタスの予言では今月中に関東大地震だす３
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e-PISCO Part11
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ほんとに大震災だったら犯人は特権階級全員だってことにwwwwwwww

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カナダの世界的科学者ロザリー・バーテルはハープが地震兵器や脳を損傷させる兵器の疑い
があるので情報を公開するように要請している
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

710:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:35:01
不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす実数x(0<x<1)に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。

※log_[x]（…)は底がxということです。

711:１３２人目の素数さん
09/09/24 08:37:39
任意の実数xか有る実数xに対してかハッキリしてくれ

712:710
09/09/24 08:50:18
【訂正】
不等式log_[x](3x^2-10x+7)≧2を満たす全ての実数x（0<x<1）に対して、
x^2-2ax≧1が成り立つaの範囲を求めよ。

713:うんこ
09/09/24 12:52:27
>>712　かなり数が汚くなるなあ
一行目変換で 2x^2-10x+7≦0。よって(5-√(11))/2≦x<1。
f(x)=x^2-2ax-1としたとき、f(1)=-2a これが非負なのでa≦0.
よってf(x)の軸は負か0にあり、f( (5-√(11))/2 )≧0より- (9√(11)-25)/28≧a となる

714:１３２人目の素数さん
09/09/24 14:59:26
s<tのとき、以下の連立方程式からu, v, s, tを決定せよ。
u*s^3 + v*t^3 = 0　　①
u*s^2 + v*t^2 = 2/3　②
u*s + v*t = 0　　　　③
u + v = 2　　　　　　④

715:１３２人目の素数さん
09/09/24 18:02:13
u，vは複素でもいいんかい?

716:１３２人目の素数さん
09/09/24 18:05:01
いい加減誰か>>511の模範解答をを教えて呉

717:714
09/09/24 18:26:55
>>715
成立するなら、いいよ。

718:１３２人目の素数さん
09/09/24 19:19:25
>>714
us(t-s)(t+s)=0

簡単杉
宿題か?

719:714
09/09/24 19:28:24
>>718
実際、簡単杉なんだけど、一応、答えを書いて下さい。

720:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:02:57
>> 713 正解

721:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:15:19
次のような自然数の組(a,b)は存在しないことを示せ。
※全ての自然数pに対してap+bが素数となる。

722:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:27:18
>>721
b≠1 なら、p=b のときに ap+b = ab+b = b(a+1) は合成数。
b＝1 なら、p=a+2 のときに ap+b = a^2 + 2a + 1 =(a+1)^2 は合成数。

723:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:43:02
>>722
30点ぐらいかな

724:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:45:27
東大数学は1問20点です。

725:１３２人目の素数さん
09/09/24 20:47:26
>>716
そういう関数fがあれば、集合｛f(x)：x∈[a,b]｝（これは幅をもった区間になる。）
に属する各無理数zに対し、中間値の定理によって、f(c)=zとなるc∈[a,b]が存在して
このcは有理数。すると　z|→cなる単射が作れたことになる。
さあ、高校数学の範囲でこの先矛盾を導けるのか？

726:１３２人目の素数さん
09/09/24 22:29:27
>>658

〔類題〕
　g(X) = (2^X - X^2)/{[2^X - e^(-2W(log(2)/2))](2-X)(4-X)}　
とおくとき、次を示せ。
　2^X ≠ X^2　⇒　0 < g(X) < e^{2W(log(2)/2)} = 1.70133199790････

727:１３２人目の素数さん
09/09/24 22:54:44
Wて？

728:１３２人目の素数さん
09/09/24 23:56:15
>>725
以下背理法による略解

ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする
a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在
[c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在
g(x)＝(M－m)(x-c)/(d－c)＋m－f(x)とおく
中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0

729:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:19:56
>>707
x≠0 のとき (f(x)/x)'＋f(0)/(x^2)＝6
微分方程式みたいなもん。

730:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:28:22
>>728
よく思いつくな

731:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:28:44
>>721
p＝a(a+2)

732:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:30:53
>>730
有理数係数の1次関数がf(x)を横切れば矛盾が出るという単純な発想を
数式化しただけ

733:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:33:28
>>729
よくわからん

734:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:34:51
>>732
その発想が上手いと思った
今日は良い夢が見れそうだ

735:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:38:58
>>734
ここであまり誉めらえる事はないんで有り難う

736:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:40:41
>>733
>>685において a=0，b=x とおいて両辺をxで微分して整理

737:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:43:35
>>736
なるほど、変数とみて微分するとは気付かなかったｻﾝｸｽ

738:１３２人目の素数さん
09/09/25 00:47:54
>>728
細かいが訂正

× 中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0
○ 中間値の定理よりあるα∈(c,d)があって，g(α)＝0

739:１３２人目の素数さん
09/09/25 01:34:21
>>728
ほう
なるほどな
褒美にメロンパンをやろうつ（＃）

740:１３２人目の素数さん
09/09/25 01:39:16
上半期一番の作問だね。
年度賞の第一候補。

741:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:32:37
それはない

742:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:34:46
これは有名問題だから作問とは言えないね・・・

743:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:40:02
上半期？

744:１３２人目の素数さん
09/09/25 08:58:50
Oを原点とする座標平面上に、相異なる2点A,Bがある。
A,BはいずれもOと異なるものとし、O,A,Bは一直線上にはないとせよ。
1次変換fは、f(OA↑)=2*OB↑，f(OB↑)=3*OA↑を満たすという。
線分ABを直径とする円上の動点Pをfによって写した点をQとすると、
動点Qはどのような軌跡を描くか。 OA↑，OB↑を用いて答えよ。

745:１３２人目の素数さん
09/09/25 17:46:38
>>742
あまり見た事ないけど。
解法も有名なやつ？

746:１３２人目の素数さん
09/09/25 22:07:35
(1)
∫(0→π/4)(tan^(n+2)+tan^n)dxの値をnを用いて表せ
(2)
π=lim(n→∞)4*Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)を証明せよ
(3)
e=lim(n→∞)2^(Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/k)を証明せよ

747:ゆう
09/09/25 22:10:22
ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分解せよ

748:１３２人目の素数さん
09/09/25 23:10:43
>>746訂正
nは非負整数

749:１３２人目の素数さん
09/09/26 02:39:21
∫[0,1](sinθ-√(x^2-1))dxをθを用いて表せ。

750:１３２人目の素数さん
09/09/26 03:25:13
√(x^2-1)が虚数になるんだが

751:１３２人目の素数さん
09/09/26 03:45:29
>>746

(1)
　tan(x)^n･{tan(x)^2 + 1} = tan(x)^n / cos(x)^2 = tan(x)^n {tan(x)} ',
∴　(与式) = ∫[0,π/4] tan(x)^n･{tan(x)} 'dx
　　= [ (1/(n+1))tan(x)^(n+1) ](x=0～π/4)
　　= 1/(n+1),

(2)　
　(右辺) = 4Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1) = 4Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)/(2k-1) x^(2k-1) ](x=0,1)
　　= 4Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
　　= 4∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) x^(2k-2) dx
　　= 4∫[0,1] {1 + (-1)^(n-1)･x^(2n)}/(1+x^2) dx
　　→ 4∫[0,1] 1/(1+x^2) dx　　　　　　　　　　　　　　(n→∞)
　　= 4[ arctan(x) ](x=0～1)
　　= π,

(3)
　Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･(1/k) = - Σ[k=1,n] [ (-1)^(k+1)･(1/k)x^k ](x=0,1)
　　= Σ[k=1,n] ∫[0,1] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
　　= ∫[0,1] Σ[k=1,n] (-1)^(k+1)･x^(k-1) dx
　　= ∫[0,1] {1 - (-x)^n}/(1+x) dx
　　→　∫[0,1] 1/(1+x) dx
　　= [ log(1+x) ](x=0～1)
　　= log(2),
∴　lim(n→∞) e^{Σ[k=1,n] (-1)^(k+1) 1/k} = 2,

752:１３２人目の素数さん
09/09/26 06:19:48
>>496-497って直感的には明らかだが論証がめんどくさい。
この事実を公式的に扱えば、例えば、2008年の6番は増減を調べる必要はなく簡単。
URLﾘﾝｸ(www.densu.jp)

753:１３２人目の素数さん
09/09/26 11:34:04
>>751
そういう方法もあるのか～

一応(1)使う方針は
S_n=∫(0→π/4)(tanx)^ndxとおくと(1)よりS_(n+2)+S_n=1/(n+1)…①
(2)nが偶数の時
S_0=∫(0→π/4)dx=π/4
①より
π/4=1-1/3+1/5…1/(n-1)(+-S_n)
=Σ[k=1,n](-1)^(k+1)/(2k-1)
+-S_n
n→∞でS_n→0より(∵0≦x＜π/4においてtanx→0)
π=4Σ[k=1,∞](-1)^(k+1)/(2k-1)が示される
(3)はnが奇数の時を考えたら方針は同じです

754:ゆう
09/09/26 21:25:52
ｙ=ｘ^2-3ｘ-4を因数分数せよ

755:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:07:19
>>754
方程式を因数分解とか死んだ方がいいよ

756:ゆう
09/09/26 22:29:02
もう他のところでおしえてもらったんでいいです!

757:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:34:35
無限に対するあなたの考えを4000字以内で示せ

758:１３２人目の素数さん
09/09/26 22:36:12
A
無限は無限だと思います。

759:１３２人目の素数さん
09/09/26 23:15:42
無限って、何？

760:１３２人目の素数さん
09/09/26 23:41:11
無毛

761:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:40:23
>>755
yはxの関数ってことだろ。
=が入ってれば何でもかんでも方程式って…

762:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:44:24
2元方程式でしょ。

763:１３２人目の素数さん
09/09/27 00:45:50
>>761

764:１３２人目の素数さん
09/09/27 01:00:43
683 名無しさんと大人の出会い 2009/09/26(土) 23:35:56 ID:/v9Anlx90
ラメ入りいうてもヒラヒラついてる
V系のコがきてそうな奴やで？
なんやアソコまでバラバラやとティバッグはいてても
紐にウンコついてそうやからスル～したぞ！！
前見た時はポッチャリしてたんやけど？スリムなってすぐって
こんなんやろか？普通だれもいらんで！

765:１３２人目の素数さん
09/09/27 02:08:56
451はどうやるの？
解いた人いないかしら。

766:１３２人目の素数さん
09/09/27 02:30:52
スレが進むごとに東大入試に適さない出題が増えている気がする。

767:１３２人目の素数さん
09/09/27 03:53:53
>>759
もちろん、HONDA | 無限 MUGEN　だが。

URLﾘﾝｸ(www.mugen-power.com)

URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 01:32 FORZA Z
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 03:21 INSIGHT

768:１３２人目の素数さん
09/09/27 03:58:19
>>757

　2000年にBARと組んで復帰したホンダは、シーズンが始まるとすぐに同スペックのエンジンをジョーダンに供給するという形になった。
　そうなっては無限はただホンダエンジンのメンテナンスのためにいるようなモノで、そんな活動に意味はないだろうと考えて当然だった。
　結果的にはホンダ本社が無限をF1から追い出し、身内同士の醜い争いという結果になった(?)のは残念で仕方ない。

　　中ry)

　F1参戦を目標にマシン開発を行っていた童夢、そのマシンには無限のV10エンジンが搭載されていた。
　マシンそのものはそこそこの完成度を誇っていたように見え、雑誌などでスポンサーとなる企業などを募っていたし、ワコールなどはそれに名乗りを上げていた。

　　中ry)

　ホンダや無限と深い関係にあった童夢だけにもしかしたらホンダや無限と組んでF1に参戦するのではという噂もあった。
　実現したらすごい事ではあったが所詮は噂にすぎなかったようだ。

　トヨタのフルワークス参戦というのも確かにすごく魅力的だけど、ホンダ、無限、童夢、BSの4社が団結した日本連合軍のF1参戦というものが実現していたら、それはF1にとっても新鮮な事であり、日本のレース界にとっても大きな意味があったはずなのだがね。

URLﾘﾝｸ(www5f.biglobe.ne.jp)

769:１３２人目の素数さん
09/09/27 04:08:15
>>761
因数分解するのは函数じゃなくて多項式。

>>754
因数分数って何。

770:１３２人目の素数さん
09/09/27 14:15:21
>>768
考えというかただの感想じゃん

771:１３２人目の素数さん
09/09/27 15:14:54
>>757

あなたが無限(むげん)を無碍(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、
間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無碍にする事は出来ません。

無碍に　… 思った通りに

あなたが無限(むげん)を無下(むげ)と同じと考えるのは自由ですが、
間違っているかも知れないと指摘する人の意見も無下にする事は出来ません。

無下にする … それより下はない事をする。お話にならないことをする。

772:１３２人目の素数さん
09/09/27 18:18:06
《問題》
体積の等しい立方体と球がある。
この立方体と球を動かして、立方体のなるべく多くの辺が球の内部と共通点をもつようにしたい。
最大何個の辺が共通点を持つようにできるか。

773:１３２人目の素数さん
09/09/27 21:13:28
感覚的には、球が立方体の辺を透過して移動できるというのは無理がある。

774:765
09/09/28 01:07:31
少し前の春分の日の棒の影の問題、√6/3でしょうか。
解いて欲しそうだったので解いてみました。

>>451さん、解答を教えてもらえませんか。

775:１３２人目の素数さん
09/09/28 04:30:24
>>772

5?

776:１３２人目の素数さん
09/09/28 14:05:43
【問】
y=e^xを原点中心にθ回転させたグラフがy=f(x)のようにyがxの関数として表されるためのθの条件を求めよ

777:１３２人目の素数さん
09/09/28 15:45:18
>>776
　y･cosθ - x･sinθ = e^(x･cosθ + y･sinθ)
　　　　　= e^(x/cosθ + (y･cosθ - x･sinθ)tanθ),

　-(y･cosθ- x･sinθ)tanθ･e^(-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ) = -tanθ･e^(x/cosθ),

　-tanθ･e^(x/cosθ) ≧ -1/e すなわち x/cosθ ≦ -1 -log(tanθ) に対してyが存在し、
　-(y･cosθ - x･sinθ)tanθ = W(-tanθ･e^(x/cosθ)),
W は Lambert-W函数。
　y = x･tanθ -(1/sinθ)W(-tanθ･e^(x/cosθ)),
と表わされるが....

778:１３２人目の素数さん
09/09/28 16:54:39
>>777
関数はyがxにより一意的に定まるものだから常識的に考えて全範囲はあり得ないはず
【問】
(2)y=f(x)を原点中心にθ回転させた時にできるグラフは任意のθについてyがxの関数としてy=g(x)のように表せるf(x)は存在しないことを示せ

779:１３２人目の素数さん
09/09/28 17:26:36
△ABCをその重心を通る直線で2つの部分に分ける。
このとき､小さい方の面積が最小となるのはいつか。

780:１３２人目の素数さん
09/09/28 22:44:58
>>779
AB↑=b↑ ,AC↑=c↑
重心を通る直線がAB、AC(端点含む)を通るとしそれぞれの交点をP、Qとする
AP↑=p*b↑,AQ↑=q*c↑とし(1/2≦p≦1,1/2≦q≦1)
重心をsp*b↑+(1-s)q*c↑とすると
b↑,c↑が一次独立なので
sp=(1-s)q=1/3
p≠0,q≠0なので
1/p+1/q=3
相加相乗より
pq≧4/9
等号はp=q=2/3で成立
すなわち…(略)

駅弁レベルだとリアルに出るかもね

781:１３２人目の素数さん
09/09/29 02:12:19
>>778の補足
f(x)は連続で、全実数xにたいして定義される関数

782:１３２人目の素数さん
09/09/29 22:09:39
>>772
大阪大学乙

783:１３２人目の素数さん
09/09/29 22:26:57
>>782　その通り　なかなか良問ですよね　これ

784:１３２人目の素数さん
09/09/30 00:14:40
動点Pを(t-a,(t-a)^2),動点Qを(0,t)で定める.
a>0のとき、tを0≦t≦aの範囲で動かす.線分PQの通過する領域の面積S(a)を求めよ.

785:１３２人目の素数さん
09/10/01 22:11:34
数列｛a(n)｝を次のように定める.

a(1)=1 a(n)=［√a(n-1)］^2+k

このとき、どのような自然数kについても、a(m+1)=a(m+2)　となるような自然数mが存在することを示せ.

簡単過ぎ？

786:785
09/10/01 22:12:30
ちなみに、［x］はxを超えない最大の整数を表す.

787:１３２人目の素数さん
09/10/01 23:38:17
>>785
√a(n-1)のルートはn-1の部分にまでかかっているわけ？

788:１３２人目の素数さん
09/10/02 00:00:12
>>787
それa_(n-1)だと思うぞ
文脈からして

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