★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

★東大入試作問者にな ..

401:394
09/09/03 00:29:18
>>396

＞4点が同一平面上に存在しない場合
これがわからん。
ぐぐったけど、いまいちわからん。

402:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:30:55
>>398
問題の意味が全くわからない
p=13だとa_2=M(13)=3
じゃないの？

403:398
09/09/03 00:31:41
ごめ、p=311のとき、反例になるわ。。。おかしいな。ちとたんま

404:398
09/09/03 00:36:01
ごめ、最終行訂正。

pがいかなる値（ただし２桁以上の正整数）であっても、n=2のとき以外で、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。

405:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:41:12
>>398
中学生の時にそれ考えたことあるな。掛け合わせ続けるの。

406:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:50:00
２０の倍数＋１，３，７，９同士の積は２０の倍数＋１，３，７，９。

407:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:57:55
1+1=2

408:396
09/09/03 01:20:46
>>401
やる気はしないが、xy平面上において
O(0,0),A(0,a),B(b,c),C(d,e)
と置いて
aはOAの長さで
OB長とAB長から連立二次方程式でも解いてbとcを出して
同様に点Cの位置を出して、OA,OB,AB,AC,BCの長さからOCの長さを出す式を作って
そしたら、OA,OB,AB,AC,BCの長さに対しOCの長さがその長さになればOABCは立体にならなくなる。

多分整数解を持たんだろうけど。

409:393
09/09/03 01:24:21
>>399 >>400他
勿論l:y=1の時は面積など無いから0になるけど、そうならん場合ね。

原文には図が付いていたから言い忘れてしまった。すまない。

410:401
09/09/03 01:39:02
>>408

とてつもなく長い式になりそうな・・・

411:宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg
09/09/03 22:15:04
なんかおもろい問題浮かんだけど、正直答えはまだ出ていない。
＝＝＝
xy平面上の２つ長方形ABCD,PQRSがある。
AB=b,AD=d,PQ=q,PS=sとする。
(b,d,q,s>0)
また、b.d.q.sの中で最小の長さはbであるとする。
（ただし、bがd,q,sのどれかと一致する可能性もある）
そして、ABCDは第１象限に含まれ、A=(0,0),B=(b,0)とする。

ABCDは固定し、PQRSを自由にxy平面上で動かす場合、交点の数は当然配置によって異なるが、
その異なる交点の数の最大値をMとする。

b.d.q,sの条件で場合わけし、Mを求めよ。

※ABCDのいずれかの辺とPQRSのいずれかの辺が平行となる場合は除外する。

====
今気づいたけど、似た問題、たけしのコマ大数学なんとかの番組でにたようなのが
あったかも。

412:１３２人目の素数さん
09/09/04 00:30:00
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)

ＰＱ＝３，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝２，ＰＳ＝ＱＲ＝４。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝３，ＰＳ＝ＱＲ＝５。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝５，ＰＲ＝ＱＳ＝４，ＰＳ＝ＱＲ＝６。

413:１３２人目の素数さん
09/09/04 08:52:31
1円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉、１００円玉、５００円玉の組み合わせ（※全ての硬貨を使う必要はない）により、
ちょうど５００円を支払うとき、組み合わせは何通りあるか？

414:１３２人目の素数さん
09/09/04 22:11:38
x≧0,y≧0,z≧0,x+y+z=1のとき
f(x,y,z)=yx^2+zx^2+xy^2+zy^2+xz^2+yz^2の最大値とその時の(x,y,z)を求めよ

（出典：数検１級２次)

415:１３２人目の素数さん
09/09/05 00:43:22
f(x,y,z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3
=(x^2+y^2+z^2)
-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz
=(xy+yz+zx)-3xyz
y+z=1-xだから
((1-x)/2)^2≧yz≧0(∵相加相乗)でx固定すれば
=(1-x)x-3xyz+yz
=(1-3x)yz+(1-x)xより
x≦1/3ではyzが最大であればよく①
x≧1/3ではyzが最小②
②では
f≦(1-x)x≦1/4
(x=1/2,y=0,z=1/2)
①では
f≦(1-3x)(1-x)^2/4+(1-x)x
=(1-x)((1-x)(1-3x)+4x)/4
=(1-x)(3x^2+1)/4
4f'=6x(1-x)-(3x^2+1)
=-9x^2+6x-1で
=-(3x-1)^2よりx=1/3で最大よりf≦2/9(x=y=z=1/3)

比較して1/4で最大(x=1/2,y=0,z=1/2)(並び替え略)

416:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:35:36
2007!!+2008!!は2009で割り切れるか？

417:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:44:40
2009=7^2*41で
2007!!は
7と41と21とかで
2008!!は
14と28と82とかあるし割りきれる
二重階乗の定義が覚束ないから意味不明かもしれんのでスルーしてくれ

418:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:45:17
>>416
2007!!は41、49で割り切れる
2008!!は82、98で割り切れる

ちょっとレベル低すぎ

419:１３２人目の素数さん
09/09/05 03:01:49
2009=x^2+y^2を満たす自然数組(x,y)を全て求めよ

420:１３２人目の素数さん
09/09/05 11:16:50
>>419
これも2009=7^2*41を使う。41=4^2+5^2だから、
(x,y)=(4*7,5*7)=(28,35)と順番を入れ替えた(x,y)=(35,28)が解であることがわかる。

あとは上記以外の解がないことを示せばよい。まず、
(☆) x^2+y^2=2009のとき、x,yはともに7の倍数である
ことを証明する。

いまx=7m+k (mは0以上の整数,kは0≦k≦6の整数)とおくと、
x^2=49m^2+14mk+k^2 =7(7m^2+2mk)+ k^2だから
x^2を7で割った余りは、k^2を7で割った余りに等しく、
それはk=0,1,2,3,4,5,6に対してそれぞれ0,1,4,2,4,1である。
y^2についても、7で割った余りは0,1,2,4のいずれかであると言える。
ここで、(0,1,2,4)の中から重複を許して2つ選び、その和が7で
割り切れるのは0+0=0だけだから、x,yはともに7の倍数である。

すると、x=7m, y=7nとして、
x^2+y^2=2009よりm^2+n^2=41となり、
この自然数解が(m,n)=(4,5),(5,4)のみであることは
m=1,2,3,4,5,6を代入すれば直ちに分かる。

421:１３２人目の素数さん
09/09/05 13:13:52
>>420
正解です
D:x^p+y^p=1,x≧0,y≧0
のなす領域の面積をpを用いて求めよ

422:１３２人目の素数さん
09/09/05 13:18:28
>>421
誤爆ミス

423:１３２人目の素数さん
09/09/05 14:36:14
>>415
よくできました(･∀･)

424:１３２人目の素数さん
09/09/05 23:18:07
>>421
　x = t^(1/p),　
　y = (1-t)^(1/p),

　S(D) = ∫[0,1] y･dx
　= (1/p)∫[0,1] (1-t)^(1/p) t^(1/p -1) dt
　= (1/p)Ｂ(1 + 1/p, 1/p)
　= (1/p)Γ(1 + 1/p)Γ(1/p)/Γ(1 + 2/p)
　= Γ(1 + 1/p)^2 / Γ(1 + 2/p),

425:１３２人目の素数さん
09/09/05 23:39:22
>>412
はどの問題に対するレスですか？

426:１３２人目の素数さん
09/09/06 01:18:42
>>424
出題ミスのはずだったがガンマ関数とか出せば解けるのか…勉強不足でよく知らないですが

【問】
一辺1の正三角形ABCの内部に点Pをとる
この時AP,BP,CPの長さに等しい3辺をもつ三角形が作れるためのPの領域を求めよ

427:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:37:57
>>426
ミス
内部→内部,周上,外部のいずれか

428:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:44:43
Ｚ会の過去問乙

429:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:53:43
>>426
Ｚ会に通報します．

430:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:56:07
パクり問題持ってくる人大杉
オリジナリティのある良問を頼むよ

431:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:11:29
>>428
まじで？
オリジナルのつもりだったけど既出なんだな

432:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:31:22
308の改題
y=tanθx上を速さvでy軸正方向へ動く点Pを中心にもつ半径rの円Cと
長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分Lを考える
うまく円C,線分Lの初期位置を設定することで円Cとx軸の交点が常に線分Lに含まれるためのrの最大値とその時のcosθの値を求めよただしvは定数である

433:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:35:30
>>432
ただし円Cの初期位置のy座標は-r以下とする

434:１３２人目の素数さん
09/09/06 17:14:41
a,bは共に実数でa>0、b>0を満たすものとする。
点Ｐ(a,b)を通り、傾きが負である直線のx軸とy軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値をa,bを用いて表せ。

435:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:17:36
>>434
とりあえず傾きを-k(k>0)としてまともに計算すると
Q(a+b/k,0), R(0,ka+b)でQR^2 = a^2k^2 + 2abk + (a^2+b^2) + 2ab/k + b^2/(k^2)

微妙に対称性が崩れるので、別の方法を考えます。

436:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:24:18
>>434

直線の傾きを -m とおく。(m>0)
　PQ = (b/m)√(1+m^2),
　PR = a･√(1+m^2),
　(PQ)^2 = (PQ + PR)^2 = (1+m^2)(a + b/m)^2
　= a^2 + a(am^2 + b/m + b/m) + b{am + am + b/(m^2)} + b^2
　≧ a^2 + 3a^(4/3)^2･b^(2/3) + 3a^(2/3)･b^(4/3) + b^2　　(←相加･相乗平均)
　= {a^(2/3)^2 + b^(2/3)}^3,
等号成立は m = (b/a)^(1/3) のとき。

437:436
09/09/06 21:31:10
>>434
訂正
　ＱＲ^2 = (PQ + PR)^2 = (1+k^2)(a + b/k)^2
　= a^2 + a(ak^2 + b/k + b/k) + b{ak + ak + b/(k^2)} + b^2
　= ･･･

438:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:36:53
>>434 Sorry, the problem is very famous.

The prpblem has been posed in the entrance exam of Nippon University and Meiji University.

Super Solution: Holder kills it in 1 minute.

439:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:37:08
原点をOとして、∠POQ=α, ∠OQP=θとおくと、△OPQに正弦定理を用いて
　QP=OPsinα/sinθ…①がいえる。
また、∠POR=90°-α, ∠ORQ=90°-θだから、△OPRに正弦定理を用いると
　RP=OPsin(90°-α)/sin(90°-θ)= OPcosα/cosθ…②である。

QP,RPは正なので、相加平均と相乗平均の関係から
　QR= QP+RP ≧ 2sqrt(QP・RP) = 2・OP・sqrt(sin2α/sin2θ)…③

…駄目だ。相加・相乗の等号成立(QP=RP,すなわちθ=α)と
sin2θを最大にする条件(θ=45°)が一致しない。

440:１３２人目の素数さん
09/09/06 23:22:43
【問】
OA=OB=1の時、△OABの内接円の半径の最大値を求めよ

441:１３２人目の素数さん
09/09/06 23:58:28
∠AOB=2θとおいて△OAB=r(1+cosθ)=sinθcosθ
r=(sinθcosθ)/(1+cosθ), r^2=(1-cos^2θ)cos^2θ/(1+cosθ)^2
cosθ=tとおいてr^2=(1-t)t^2/(1+t), 0<t<1
微分して増減表　計算が正しけりゃt=(√5-1)/2のとき最大値r=(3-√5)/{(2+2√5)^(1/2)}
よくて地方旧帝下位レベル

442:435=439
09/09/07 00:28:51
>>436-438
参りました。

>>440
∠AOB=2θ(0≦θ≦π/2)とすると△AOB = (1/2)sin2θ, またOA+OB+AB=2+2sinθだから、
内接円の半径f(θ)=sin2θ/(2+2sinθ)である。

f'(θ)={2cos2θ・(2+2sinθ)-sin2θ・2cosθ}/(2+2sinθ)^2
=-{(sinθ)^3+2(sinθ)^2-1}/(1+sinθ)^2
=-{(sinθ)^2+sinθ-1}/(1+sinθ)

f'(θ)=0となるのは(sinθ)^2+sinθ-1=0すなわち sinθ=(-1+sqrt(5))/2で、
ここでf'(θ)は正から負に転ずる。つまりこのθでf(θ)は極大かつ最大。

このときcosθ=sqrt(2+2sqrt(5))/2となり、これとsinθをf(θ)の式に代入して
計算するとf(θ)=(3-sqrt(5))sqrt(2sqrt(5)-2)/4が最大値である。

(θ≒38°で、内接円の半径の最大値は約0.300。これはθ=30°(正三角形)のときの
sqrt(3)/6≒0.289やθ=45°(直角二等辺三角形)のときの(2-sqrt(2))/2≒0.293よりも
大きいことが確かめられる。)

443:435=439
09/09/07 00:36:39
>>441
負けました。三角関数のまま微分したのが時間ロスの原因か…。
ともあれ、今回もどうせ正三角形が答えだろうと思って計算したら
違ったので驚きました。

444:435=439
09/09/07 00:52:09
ではこちらも1問。非常に易しいですが、答えは意外なものになると思います。

(問題) 周の長さが一定の三角形のうち面積が最大のものは、正三角形です。
では、周の長さが一定の扇形で、面積が最大になるのは、中心角がいくらの
ときでしょうか。
　正三角形に近い扇形、つまり中心角がπ/3前後だろうと予想するかもしれませんが、
正解はこれとかけ離れています。

445:１３２人目の素数さん
09/09/07 00:56:25
これは、1985 中央大理工の問題です

446:１３２人目の素数さん
09/09/07 01:24:47
これも, 有名問題。中大, 防衛大に出題されている。

447:１３２人目の素数さん
09/09/07 01:46:11
>>441,442
正解です
本来下の問題を予定してたんですが結構しんどいので時間かかるかも

【問】
xy平面において
O(0,0),A(1,0),B(cosθ,sinθ)として、θを0＜θ＜2π(θ≠π)の範囲で動かした時にできる△OABの内心Iの軌跡と垂心Hの軌跡は線対称であることを示せ

448:１３２人目の素数さん
09/09/07 22:15:12
>>447
　便宜上 -π<θ<πとする。
　BからOAに下ろした垂線の足はK(cosθ,0)
　HはBKと半直線 y = tan(θ/2)･x の交点だから、
　OH = |cosθ|/cos(θ/2),
これと x= OH･cos(θ/2), y = OH･sin(θ/2) から垂心H(x,y)の軌跡は
　y = σx√{(1-x)/(1+x)},　σ = Sgn(θ),

　OI + |y| = OI{1 + |sin(θ/2)|} = cos(θ/2)　だから、
　OI = cos(θ/2)/{1+sin(θ/2)},
これと x= OI･cos(θ/2), y = OI･sin(θ/2) から内心I(x,y)の軌跡は
　y= σ(1-x)√{x/(2-x)},　σ = Sgn(θ),

これらは x ⇔ 1-x により入れ替わるから、直線x=1/2 について線対称。

449:１３２人目の素数さん
09/09/07 22:53:14
>>447
蛇足だが、
外心をO' とすると OO'= AO',
△OO'A は2等辺3角形だから
　O' = (1/2, (1/2)tan(θ/2))
∴ 直線 x=1/2 は外心O'の軌跡でもある。

450:１３２人目の素数さん
09/09/07 23:15:09
3問目の出題

lim(n→∞)Σ(k=0→n)〔｛(-1)^k｝2^k/k！〕を求めよ

451:１３２人目の素数さん
09/09/07 23:21:13
整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=∑(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。

452:１３２人目の素数さん
09/09/08 21:19:39
〔434の類題〕

a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき △QRS の面積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。

>>450
　e^(-2)

453:１３２人目の素数さん
09/09/08 22:01:52
>>452 正解　
こんなにあっさり解かれるとは思わなかった

もう一問　こっちのがメンドイ

lim(n→∞)〔(n+log(n!)-log(n^n))/logn〕

454:１３２人目の素数さん
09/09/08 22:09:51
>>453
　1/2

　すたーりんぐデ１コロ
　log(n!) ～ (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) - ････

455:１３２人目の素数さん
09/09/09 06:38:40
糞みたいな問題ばかり出題するなよ

456:１３２人目の素数さん
09/09/09 08:42:31
5^x=x^5を満たす有理数解を全て求めよ。

457:１３２人目の素数さん
09/09/09 11:26:44
>>456
これは実質的に
・5^xが有理数になるような有理数xは整数に限られる
・xが6以上の整数のとき5^x＞x^5
の二つを証明する問題と見てok?

458:１３２人目の素数さん
09/09/09 12:32:05
m×nの格子状のマス目でできた長方形がある。この長方形の右上がりの対角線
の2頂点をP、Qとして、PからQまで格子に沿って至る最短経路の集合をΓとする
(Γの要素の個数は(m+n)!/m!n!)。Γの各要素γに対し、m×nの長方形の内側で
経路γより左上の領域の面積をA(γ)で表す。
このとき
　　　　∑_{γ∈Γ} x^A(γ) ＝ (x)_(m+n)/((x)_m・(x)_n)

が成り立つことを証明せよ。ただし、
　　
　　　　(x)_k ＝ (x - 1)(x^2 - 1)・・・(x^k - 1)　　　とする。

459:１３２人目の素数さん
09/09/09 15:46:07
一辺の長さが1の正三角形Tが、
一辺の長さが1の正方形の周及び内部を動くとき、
Tの周(辺及び頂点)が動きうる領域の面積を求めよ。

460:１３２人目の素数さん
09/09/09 16:48:21
１

461:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:38:46
>>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…

ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。

462:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:46:58
>>461の続き
両辺の自然対数を取って整理して log5/5=logx/xを考えて
y=logx/xのグラフとy=log5/5の交点を考える
２つのグラフは1<x<eでただ１つの解、e<xでただ１つの解を持つことが分かる
x=5が明らかに解だからe<xで持っている一つの解は、5
x=5以外のe<xの解は存在しない（交点がただ一つだから）のでx=5が定まればx=10,15…は全て不適

463:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:56:17
5^x と x^5 のグラフから x が実数であれば 5^x = x^5 の交点は一点のみ
特に x = 5 は 5^x = x^5 を満たす
従って 5^x = x^5 を満たす有理数は x = 5 のみ

464:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:02:18
>>463
０点
x≒1.765でも交わる

465:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:07:00
>>463
出鱈目。

466:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:11:19
1.764921914525775882758723590911459101370103259294683808995374687821107721
00333954881401245241408917321376161507472704651465269967385415685401702516
28495329481094119289108128469998154461265068926800052611274579797681972213
12634608768395157996642156026636721864196751650122343143472447144146913303
73918502827891292987144557860123985265300771745815642023767530553835914900
54229055163682555674961682680591076061554853249876417007392791328889634257
18085475933402074557781713000087587410041482534764949835840330894237599785
04350487524054229790516943054767013692517404741930222592947426633313278983
45206525516639867469665798523484311096848508496845001985079565208699315796
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56318573302313642339128754911216787448274026997646059915214338725866192370
38617044751446527774252958341317408231587777969331131870158867670919016180
60569355376039600818749406572366184585496459568509269478610494515817885972
467265040764801028627430106480002504630569880500955048655884936

467:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:18:13
461,462に463あわせたら答えか

468:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:21:57
>>463 正解　です

469:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:29:06
a>2/5のとき、方程式x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0は少なくとも1つ虚数解をもつことを示せ。

470:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:03:45
f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0の5解が全て実数であるのはy=f(x)のグラフが極値を４つ持ち、xが小さい方から順に極値が正負正負となるときだけである
f'=5x^4+4x^3+3ax^2+2bx+c,f''=20x^3+12x^2+6ax+2b,f'''=60x^2+24x+6a
f'''=0の判別式D/4=4-10a<0つまりa>2/5のとき、f'''は全てのxに対して正だから
つまりf''は単調増加関数である
f''が単調増加関数だから,f''=0はただ一つの解を持ちその解をx=αとするとx<αでf''<0,α<xで0<f''である
つまりf'はx=αで１つだけ極小値を持つ関数である
（１）y=f'のグラフがx軸と２点で交わるとき
f'の符号は正、負、正と変わるからf(x)は極大値→極小値という風に極値を２つのみもつ関数である
（２）y=f'のグラフがx軸との共有点が１点以下の時
f'は常に負にならないからf(x)は単調増加関数である
（１）、（２）共にf(x)が山を４つもったグラフにはならないのでf(x)=0は少なくとも一つ虚数解を持つ

471:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:38:51
>>461
(q^(5q))*5^p = p^(5q) の両辺の q で割った余りを考えれば p^5q は q の倍数
p と q は互いに素だから q = 1 、では駄目なの？

472:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:56:52
>>470
じゅうかいの時があるだろ

473:１３２人目の素数さん
09/09/10 00:16:33
長さ2の線分ＰＱが次の2条件を満たして動く。
☆点Ｐはx=1上に存在する。
☆線分ＰＱは原点を通る。
このとき、線分ＰＱの通りうる領域の面積を求めよ。

474:413
09/09/10 09:13:09
>>413
をだれもといてないのは、簡単すぎるからなのか、計算がめんどいからなのか・・・。

硬貨の種類をもっとすくなくすればよかったかしらん。

475:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:15:29
よくある問題でオリジナリティーがまるでないから。

476:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:26:59
>>>473

※以下、答えではない。

====
☆点Ｐはx=1上に存在する。→ P=(1,p)とおく（pは変数）
●「長さ2の線分ＰＱ」→Q=(1 + 2Cosα,p + 2+Sinα)とおく
（αは変数）
☆線分ＰＱは原点を通る。→・・・？？？
線分PQ上の点をA=(a,b)とおくと、min(1,1 + 2Cosα)<=a<=max(1,1 + 2Cosα)

と、機械的におきかえてみて、a,b以外の変数を消しまくって・・・
と考えたけど、
＜☆線分ＰＱは原点を通る。＞の表し方が・・・、
いろいろ表し方あるけど、途中でつまる。

477:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:30:31
>>413

>>475
あぁ、いわれてみれば・・・。
「東大（京大？）っぽい」とは思ったんだけど、文系数学の易問レベルか。
すこしカスタマイズすれば、多少は難しくなるかもだけど。

478:476
09/09/10 11:10:17

>>473

内分点なんて、単語すら忘れてた・・・。力尽きたので、一行だけ。。。。
＜「点P」がx=1上に存在する＞は、＜点Ｐがx + y = √2上に存在する＞と置き換えたほうが、対称性により計算が楽になると思われ。。。
（点Ｐが直線上を動き、OPの最短距離が１だから）

479:１３２人目の素数さん
09/09/10 11:50:40
>>413と似てるけど問題内容は違うの問題です
【問】
1円玉～n円玉のコインが十分な枚数あり、このうちから何枚か使ってちょうどn円を支払うときのコインの組み合わせは何通りあるか？

480:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:00:00
>>469

最初だけ。

f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d とおくと、グラフより、f(x)=0は少なくとも１つの実数解を持つのでその実数解をpとおく。

f(p)=p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp+d=0により、d = - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp )
これを、f(x)=0に代入すると、
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp ) =0
変形すると、
(x^5-p^5) + (x^4-p^4) +a(x^3-p^3) +b(x^2-p^2) +c(x-p)=0
さらに変形。
//======================
(x-p) *
{
　　　 (x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
　　　 (x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
　　　c
}
　= 0

よって、g(x) =
　　　 (x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
　　　 (x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
　　　c
とおくと、g(x) = 0 が少なくとも１つ虚数解をもつことをしめせばいい。・・・
ってやってみたんだけど、無意味？

481:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:02:55
>>479

＞n円玉　？？？

２円玉？
１００００円記念硬貨？

482:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:21:37
>>481
イエス

483:あぼーん
あぼーん
あぼーん

484:１３２人目の素数さん
09/09/10 21:40:32
cos(α)=1/√(1+p^2)、sin(α)=p/√(1+p^2)で
OQ↑=OP↑+PQ↑=(1-2/√(1+p^2),　p-2p/√(1+p^2))
か？

485:１３２人目の素数さん
09/09/11 22:10:40
正三角形8枚、正方形6枚から構成される多面体を考える。
この多面体について、以下を答えよ。

（１）辺の数はいくつか？
（２）頂点の数はいくつか？
（３）
この多面体の頂点の１つを点Pとする。
この多面体の辺上を移動するアリがいる。
点Pを出発点とし、途中で同じ点を通ることなく、
再度点Pへ戻るようにアリが動くとき、
このアリの動き方は何通りあるか？

486:１３２人目の素数さん
09/09/11 22:12:15
>>454 スターリング近似なんぞ受験生でできるやついるの？

もっと高校生レベルの解き方で解いて欲しかった・・・

487:１３２人目の素数さん
09/09/12 04:27:40
〔434の類題〕

a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき 4面体O-QRS の体積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。

>>453, 486
　それは確かにメンドイな…

488:１３２人目の素数さん
09/09/12 04:48:42
>>487

その平面に垂直な向き（法線）を (L,m,n) とすると、
　Lx + my + nz = La + mb + nc = h,
ここに、h は原点Oからこの平面に下ろした垂線の長さ。
ところで
　Q(h/L,0,0)　R(0,h/m,0)　S(0,0,h/n)
だから O-QRS の体積は
　(h^3)/(6Lmn) = (La+mb+nc)^3 /(6Lmn) ≧ 27abcLmn /(6Lmn) = (9/2)abc,　　　　(←相加･相乗平均)
等号成立は L = bc/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, m = ca/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, n = ab/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2} のとき。
　x/a + y/b + z/c = 3,

489:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:06:02
>>459
Tの頂点から対辺までの距離は 1/√3,

□の４頂点のいずれから見ても
　距離が 1/√3 より小さく策、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
　ただし、４頂点からの距離が 1/√3 より短い部分は、４頂角の中央30ﾟの内側部分を含んでいる。

４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂角の中央30ﾟの内側の部分は、
　(±(1/2){1 - (1/√3)}, 0)
　(±{1-(√3)/2}, ±{1-(√3)/2})
　(0, ±(1/2){1 - (1/√3)})
の8頂点をもつ等辺8角形で、面積は 3 - (5/√3) ≒ 0.11325…
□からこれを除いた部分の面積は (5/√3) -2 ≒ 0.88675…

490:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:33:10
>>459
Tの頂点から対辺までの距離は (√3)/2,

□の４頂点のいずれから見ても
　距離が (√3)/2 より短かく、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
　ただし、４頂角の中央30ﾟの内側部分は、４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分を含んでいる。

４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分は、
　S = (3/2)(β-α) -√2 +1 = 0.0955418…
　α = arctan(1/√2) = 0.6154797…
　β = arctan(　√2) = 0.9553166…
　
□からこれを除いた部分の面積は 0.904458･…

491:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:58:52
誰か>>380解いて

492:１３２人目の素数さん
09/09/12 19:04:39
初投稿です。簡単ですかね。

5^93の上2桁を求めよ。常用対数log2=0.3010を用いてよい。

493:１３２人目の素数さん
09/09/12 19:53:46
400以下まとめ(ミスあるかも)
>>17 >>29 >>54 >>61 >>76 >>79 >>123 >>144 >>187 >>190 >>191 >>216 >>236 >>261 >>329 >>342 >>358 >>370 >>378 >>380 >>384 >>398

494:１３２人目の素数さん
09/09/13 00:19:33
>>492
底は全部10
log(5^93)=93(log10-log2)=93(1-0.301)=65.007　
よって5^93=10^65.007=10^65・10^0.007
10^65の部分は5^93の上二桁に影響を及ぼさない（0をつける働きしかしない）ので
5^93の上二桁は10^0.007の上二桁
log1=0,log1.024=log(2^10)/(10^3)=10log2-3=0.01
0<0.007<0.01　→　log1<0.007<log1.024
0.007=log1.0…だから、10^0.007=1.0…
5^93の上二桁は10…答
類題経験があれば上1桁は余裕だが、log1.024を考えつかないと上２桁は求まらない

495:１３２人目の素数さん
09/09/13 05:20:00
0.01165/0.30095<1/10.
2^(1/10)<1+1/10.

496:１３２人目の素数さん
09/09/13 19:16:40
ｘ＝f(t)，y＝g(t) (a≦t≦b) で表わされる曲線を C とする．
ただし，f(t) 及び g(t) は微分可能で，
(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
(f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
このとき，曲線 C で囲まれる図形の面積 S は
S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる事を示せ．

497:496
09/09/13 19:18:18
× (f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
○ (f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．

498:492
09/09/13 19:52:11
>>494
完璧です。log1.024が考えついてもらえてよかったです。

499:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:17:45
完璧？
log2=0.30095…とかだとlog(5^93)>65.01になるのに？

500:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:41:27
500ゲト
【問】
(1)
y=sinxを原点を中心に45゜回転させたグラフはyがxの関数であることを示せ
(2)(1)のグラフをy=f(x),A_k=|f(k)-ax|としてlim(n→∞)Σ[k=1,n]A_k/nの最小値とその時のaを求めよ

501:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:44:35
Nは正の偶数とする。xの整式f(x)は次の式を満たす
f(x)-f(x-1)=x^(N-1)
f(0)=0
(1)正の整数nについて、次の式が成り立つことを証明せよ
f(-n)=0^(N-1) +1^(N-1)+……+(n-1)^(N-1)

(2)y=f(x)のグラフは直線x=-1/2に関して対称であることを示せ

(3)u=x(x+1)とする。f(x)はuの整式として表せることを示せ

(1)(2)はできたんですけど、(3)ができません
助けていただけないでしょうか

502:492
09/09/13 20:45:15
>>499
log2=0.3010としてよいと問題で書きましたが、log2は、log2=0.3010299…と続きます。
仮にlog2=0.3010299とみなすと、log5=1-0.3010299=0.6989701となり、
93*log5=65.0042193(<65.01)となり、結局正しい値が求まるでしょう。

503:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:47:14
「log2=0.3010としてよい」とは書いてない。
後付け乙。

504:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:59:23
>>500
A_k=|f(k)-ax| ?

505:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:08:50
>>504
あっ
A_k=|f(k)-ax|→A_k=|f(k)-ak|で

506:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:14:34
>>502
四捨五入して0.3010になるのは0.30095から0.30105まで。

507:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:28:45
>>506は釣り

508:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:35:13
>>500
aの値によっては発散するんじゃないの？

509:１３２人目の素数さん
09/09/14 22:33:52
x,yについての方程式
a(x^3-y^3)+b(x^2-y^2)+c(x-y)=0
がx≠yなる実数解をもつための実数定数a,b,cの満たすべき必要十分条件を求めよ。

510:１３２人目の素数さん
09/09/14 22:45:27
ax^3+bx^2+cx=ay^2+by+cyがx≠yの解を持てばいいので
f(t)=at^3+bt^2+ctとしたとき
f(t)が極値を持つことが必要十分
あとはa=0のときとa≠0のときで場合分けしてうんたらかんたら…
ちょっと前にコピペされてた問題を簡単にした感じかな

511:１３２人目の素数さん
09/09/15 00:02:37
次の性質をもつ関数 y＝f(x) が存在すれば例をあげ，存在しなければそれを示せ．

1．ある閉区間 [a，b] で連続
2．x∈[a，b] において x が有理数のとき，f(x) は無理数で，x が無理数のとき，f(x) は有理数．

# もちろん，大学以降の知識を使えば自明ですが，高校範囲で可能な限り厳密にお願いします．
# 誰でも考え付く問題なので，入試問題として既出であれば教えて下さい．

512:１３２人目の素数さん
09/09/15 12:23:30
無理数は有理数より多い。

513:１３２人目の素数さん
09/09/15 17:25:40
>>512
なんぞ

514:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:06:37
>>512
だからそれは自明だけど範囲外だって。

515:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:08:45
それを認めたとして、証明できるの？

516:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:13:44
↑ｱﾎ????????

517:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:15:29
できるから問題になっていると恩われ

518:１３２人目の素数さん
09/09/15 22:35:10
>>380 , >>491
　(4n-4)!!･(2n-3)!!/{(4n-1)!!･(2n-2)!!} = (4n-4)!!･(2n-2)!･(4n)!!/{(4n)!･(2n-2)!!^2} = 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!}

次のマクローリン級数を考える。
　f(x) = Σ[n=1,∞) 2^(2n)･{(2n-2)!/(n-1)!}^2･{(2n)!/(4n)!} x^(n-1)
　　= (1/3)Σ[n=1,∞) {(1/2)(3/2)････(n - 3/2)}^2 ／{(5/4)(9/4)･････(n - 3/4)・(7/4)(11/4)････(n - 1/4)} x^(n-1)
　　= (1/3)Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)/Γ(1/2)}^2 ／{Γ(n + 1/4)/Γ(5/4)・Γ(n + 3/4)/Γ(7/4)} x^(n-1)
　　= (1/3){Γ(5/4)Γ(7/4)/Γ(1/2)^2}Σ[n=1,∞) {Γ(n - 1/2)^2 ／Γ(n + 1/4)・Γ(n + 3/4)} x^(n-1)
　　= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; x),　　　　････　「一般化超幾何級数」とか言うらしい。

ここで x=1 とおく。 Whipple の恒等式より
　(与式) = f(1)
　= (1/3)･3Ｆ2(1/2,1/2,1; 5/4, 7/4; １)
　= (π/6)Γ(5/4)Γ(7/4)／{Γ(9/8)Γ(7/8)}^2
　= (π/6)(1/4)(3/4)Γ(1/4)Γ(3/4)／{(1/8)Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
　= 2πΓ(1/4)Γ(3/4)／{Γ(1/8)Γ(7/8)}^2
　= 2{sin(π/8)}^2／sin(π/4)
　= 2{sin(π/8)}^2／{2sin(π/8)cos(π/8)}
　= tan(π/8),

519:518
09/09/15 22:51:04
>>380 , >>491

〔Whipple 恒等式〕
　一般化超幾何級数 3Ｆ2(a,b,c; d,e; x) について
　3Ｆ2((1/2)+a', (1/2)-a', c; (1/2)+c+e', (1/2)+c-e'; 1)
　　　= {2^(1-2c)}πΓ((1/2)+c+e')Γ((1/2)+c-e')／{Γ((1+a'+c+e')/2)Γ((1+a'+c-e')/2)Γ((1-a'+c+e')/2)Γ((1-a'+c-e')/2)},

URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

〔系〕
　3Ｆ2(1/2, 1/2, 1; 3/2 +e', 3/2 -e'; 1)
　　　= (π/2)Γ((3/2)+e')Γ((3/2)-e')／{Γ((2+e')/2)Γ((2-e')/2)}^2

520:518
09/09/15 23:03:12
↑では
　Γ(k)Γ(1-k) = π/sin(kπ),　　　　　(0<k<1)
を使いますた。

521:１３２人目の素数さん
09/09/15 23:09:52
>>518-520
Chapeau!

522:１３２人目の素数さん
09/09/16 00:24:54
明らかに東大入試の問題には不適

523:１３２人目の素数さん
09/09/16 11:06:45
なんか一気につまんねースレになったな

524:１３２人目の素数さん
09/09/16 13:52:05
出題者が高校範囲で解ける解答を持っていなければスレ違い

525:１３２人目の素数さん
09/09/16 14:38:46
スレ違いとかどうでもいいよ
細かいこといちいち指摘してんじゃねぇ

526:１３２人目の素数さん
09/09/16 17:29:39
y=e^xとy=log(x+a)がただ1つの共有点をもつとき、2＜a＜3であることを示せ。

527:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/16 17:39:13
いやいや、この手の計算は確かにChapeauですよね。
こういう計算の中にもいい数学が一杯詰まっていますからね。

528:１３２人目の素数さん
09/09/16 19:42:04
>>526
e^x=log(x+a)⇔e^(e^x)-x=a
f(x)=e^(e^x)-xとおくと
f'(x)=e^(x+e^x)-1
よってf(x)はx+e^x=0の解αで極大値をとりその値f(α)がaに等しい
ここでx+e^x=0はただひとつの解をもち
-1/2+e^(-1/2)>0…(1)
-2/3+e^(-2/3)<0…(2)
なので-2/3<α<-1/2また
a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
a=e^(-α)-α
ここでe^(-x)-xは明らかに単調減少であり
2<e^(1/2)+1/2<e^(-α)-α<e^(2/3)+2/3<3 …(3)

(3)より2<a<3
(1)(2)(3)の証明はここでは省いた

529:１３２人目の素数さん
09/09/16 20:25:34
一応 >>528の(1)(2)(3)について
(1)の証明
2>√e より1/2<e^(-1/2)
(2)の証明
e*(2/3)^(3/2)>4√6/9>1より
(2/3)^(3/2)>1/e
2/3>e^(-2/3)

(3)の証明
(3/2)^2<eより3/2<e^(1/2)であるから
2<1/2+e^(1/2)
また
(7/3)^(3/2)>3>eより
e^(2/3)<7/3なので
2/3+e^(2/3)<3

530:１３２人目の素数さん
09/09/16 22:37:08
>>528

　W･exp(W) = c,　c≧0,
の唯一の実根を W(c)と定義する。（Lambertの W-函数)
然らば、
　α = -W(1),
ここに
　W(1) = 0.56714329040978387299996866221036････
はオメガ定数。

∴　a = W(1) + 1/W(1) = 2.3303661247616805832251704391621 のとき
両曲線は (x,y) = (-W(1), W(1)) で接する。

URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
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531:１３２人目の素数さん
09/09/16 22:57:56
次の条件を満たす領域Ａの体積を求めよ。
☆領域Ａに含まれる任意の点Ｐはx軸、y軸、z軸までの距離がいずれもa(>0)以下。

532:１３２人目の素数さん
09/09/16 23:12:39
>>531
x^2+y^2≦a^2
y^2+z^2≦a^2
z^2+x^2≦a^2
で結局垂直三円柱の共通部分になる
んじゃね？

533:１３２人目の素数さん
09/09/16 23:34:06
>>528のf(α)は極小値だった

534:１３２人目の素数さん
09/09/16 23:53:49
>>532
です．
さすがに簡単すぎですかw

535:１３２人目の素数さん
09/09/17 00:40:19
>>534
2004年名市大に同一問題

536:１３２人目の素数さん
09/09/17 10:08:38
>>528
>a=e^(e^α)-αであるがe^α=-αより
>a=e^(-α)-α
a=e^(e^α)-α=e^(-α)-α=-1/α-α
までやればもっと楽だと思う
αの範囲も-1<α<-1/2まで絞るだけでいいし

537:１３２人目の素数さん
09/09/17 14:05:54
全ての自然数nに対して,|a[n]|<1ならば
lim[n→∞]a[1]a[2]…a[n]＝0
であるといえるか。
いえるなら証明し、いえないなら反例をあげよ。

538:１３２人目の素数さん
09/09/17 14:07:03
↑「対して」の後の「,」は不要でした。

539:１３２人目の素数さん
09/09/17 14:21:01
>>537
いえない
反例
a_n=(1/2)^{(1/2)^(n-1)}
のとき
積の極限は1/4

540:１３２人目の素数さん
09/09/17 14:30:19
>>537
全ての自然数nに対してb_n<0ならば
Σ[1,∞]b_n=-∞は常に成り立つか？

って問題と同値
成り立つ訳ない

541:１３２人目の素数さん
09/09/17 22:24:08
>>537
家ない。
判例
　a[k] = {(k+1)/k}{(k-1+α)/(k+α)},
のとき
　a[1]a[2]……a[n] = (n+1){α/(n+α)} → α,　　(n→∞)

542:541
09/09/17 22:35:14
>>537

　a[k] = 1 - (1-α)/{k(k+α)} < 1,
　-1/3 < α < 1 より
　|a[k]| < 1,

543:１３２人目の素数さん
09/09/18 01:37:32
f(x)=x^n/e^xとする．
全ての自然数nに対して、
lim[a→∞]∫[0,a]f(x)dx
が収束することを示せ。

544:１３２人目の素数さん
09/09/18 02:00:37
>>543
∫x^n*e^(-x)dx=-x^n*e^(-x)+n∫x^(n-1)*e^(-x)dx

帰納法で終了

545:１３２人目の素数さん
09/09/18 02:08:53
>>543 正解です。
あとは面倒なだけですねorz

3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の解が全て正の数であるとき、
ab/c>7を示せ。

546:１３２人目の素数さん
09/09/18 02:15:43
ab/c≧9に訂正をば。

547:１３２人目の素数さん
09/09/18 02:28:40
>>545
3つの正の解をα，β,γとすると
ab/c=(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)/αβγ=
(α+β+γ)(1/α+1/β+1/γ)≧(1+1+1)^2=9 (コーシ－シュワルツより)

548:１３２人目の素数さん
09/09/18 06:10:13
>>545
応用してみた。
x^3-ax^2+bx-c=0(a,b,cはともに実数)

(1)この方程式が正の解しか持たない時、ab/c≧9であることを示せ。
(2)いまサイコロを三回投げて、順に出た目をa,b,cに代入した。
この時、この方程式の解が正整数解しかもたない確率を求めよ。

549:１３２人目の素数さん
09/09/18 08:38:23
>>548
(1)>>547

(2)0<α≦β≦γとしておく
(1)よりab/c≧9なのでc≦4
c=1のとき、α=β=γ=1⇔a=3,b=3
c=2のとき、α=β=1,γ=2⇔a=4,b=5
c=3のとき、α=β=1,γ=3⇔a=5,b=7(不適)
c=4のとき、α=β=1,γ=4⇔a=6,b=9(不適)
または α=1,β=γ=2⇔a=5,b=8(不適)
求める確率は2/216=1/108

550:１３２人目の素数さん
09/09/18 09:10:42
東工大に類題あるな

551:１３２人目の素数さん
09/09/18 10:02:44
あまり(1)と(2)に関連がないような気もする

552:１３２人目の素数さん
09/09/18 14:55:23
3点P(0,0,1),Q(0,1,0),R(0,0,1)を頂点とする正三角形の板Sを考える。
(1)Sをz軸のまわりに1回転させたとき､Sが通過する点全体のつくる立体Tの体積を求めよ。
(2)Tをy軸のまわりに1回転させたとき､Tが通過する点全体のつくる立体Uの体積を求めよ。

553:１３２人目の素数さん
09/09/18 15:57:53
n,m,l,kを正の整数とする。
以下の式を満たすn,m.l.kの組を全て求め、
それが全てであることを示せ。

(n!)^k+(m!)^k=(l!)^k

554:１３２人目の素数さん
09/09/18 16:13:10
誰か >>511 をお願い

555:１３２人目の素数さん
09/09/18 16:53:52
>>553
n≦m<lで考える
n<m<lのとき
(n!)^k+(m!)^k=(l!)^k の両辺(n!)^kでわると
1+(P(m,m-n))^k=(P(l,l-n))^k …(1)
(1)の左辺はn+1で割って1余り右辺はn+1で割り切れるので不適

ゆえに m=nとなり
2(n!)^k=(l!)^k
両辺 (n!)^kで割って
2=(P(l,l-n))^k
これを満たす組み合わせは
k=1, m=n=1,l=2のみ

556:１３２人目の素数さん
09/09/18 17:10:02
>>555
正解、簡単すぎかな
スマートな面白さを求めたつもりだったけど・・・

557:１３２人目の素数さん
09/09/18 17:21:11
とりあえず回答が出てある程度時間経ったら出題者は自分の用意した回答だしてくれ

558:１３２人目の素数さん
09/09/18 22:23:53
>>543
　f(x) = (x^n)･e^(-x),
は x=n で最大値 f(n) = (n/e)^n をとる。
y>0 のとき
　f(2n+y) = f(2n)･(1 + y/2n)^n･e^(-y) < f(2n)･e^(y/2)･e^(-y) = f(2n)･e^(-y/2),
a>2n のとき
　(与式) = ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[2n,a] f(x)dx
　　= ∫[0,2n] f(x)dx + ∫[0,a-2n] f(2n+y)dy
　　< ∫[0,2n] f(n)dx + f(2n)∫[0,a-2n] e^(-y/2)dy
　　= 2n･f(n) + 2･f(2n){1 - e^(-(a-2n)/2)}
　　→ 2n･f(n) + 2･f(2n),　　　　(a→∞)

559:558
09/09/18 22:28:54
>>543
　>558 より与式は有界。
　また、与式はaについて単調に増加するから、収束する。

560:１３２人目の素数さん
09/09/18 23:57:00
>>554
>>511は簡単すぎて誰もﾄﾅｶｲ

561:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:01:35
簡単とか難しい以前に解こうかなって思わせる要素が全くない、面白くない
あれだったら自分の用意してた答え書いてみ

562:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:04:16
と解けない人が回答を欲しがっています

563:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:05:14
>>560
トナー買うなら･･･
URLﾘﾝｸ(www.tonakaibin.com)

564:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:06:47
>>563
ﾄﾅｶｲの便w

565:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:16:06
２/３＝１/２＋１/６

１１／１４＝

566:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:17:44
>>552 (1)
　Rを頂点とする2つの円錐と、xy-平面とで囲まれた部分。→ T
　外側の円錐は、RP,RQを通り、底半径1,
　内側の円錐は、PQの中点を通り、底半径1/√2,
　V(T) = (1/3)π- (1/6)π = π/6,

567:１３２人目の素数さん
09/09/19 00:18:26
>>561の面白い問題投下に期待

568:１３２人目の素数さん
09/09/19 02:04:03
確かに解答者の解答が示されないと面白みが半減するな

569:１３２人目の素数さん
09/09/19 02:04:27
一辺が10の立方体がある。
この中に半径1/√5の球を立方体からはみださないようにいれていく。
立方体に詰めることができる球の最大の個数を求めよ。

570:１３２人目の素数さん
09/09/19 08:45:57
>>569
秋山仁乙

571:１３２人目の素数さん
09/09/19 10:03:36
>>568
解けていないのに,解いて欲しいが為に出題する奴が多いから無理

572:１３２人目の素数さん
09/09/19 10:13:21
>>511の出題者は、「問題」を思いついただけで、
高校課程の知識での解等例はおろか
「もちろん，大学以降の知識を使えば自明」な解答すら実は書けないのではないか。

573:511
09/09/19 11:23:26
高校範囲内の解答はもちろん用意していますが、
誰もﾄﾅｶｲのでお蔵入りです。

574:１３２人目の素数さん
09/09/19 11:46:09
そりゃ残念だったな

575:１３２人目の素数さん
09/09/19 11:48:47
真っ赤なIDのトカナイさん

576:１３２人目の素数さん
09/09/19 11:55:38
有理数と有理数の間には必ず無理数が存在し、
無理数と無理数の間には必ず有理数が存在することをいえばよいのかな？

577:１３２人目の素数さん
09/09/19 11:59:41
↑スルーしてくださいorz

578:１３２人目の素数さん
09/09/19 12:06:31
>>512がといてるやん

579:１３２人目の素数さん
09/09/19 12:11:25
無理数はいくらでも有理数で近似できることを用い、連続性の定義を振り返ればよい

580:１３２人目の素数さん
09/09/19 12:37:26
>>578
>>512は範囲外だろ。

581:１３２人目の素数さん
09/09/19 12:50:21
どいつもこいつも歯切れが悪くてイライラするぜ

582:１３２人目の素数さん
09/09/19 13:26:03
>>570はげ山仁がだしてたの？
研究室で結晶格子みながらこのスレみたから投下してみた

583:１３２人目の素数さん
09/09/19 13:58:47
半円x^2+y^2=1(y≧0)上に2点P,Qがある．線分PQの中点をRとする。
P,Qが半円上をそれぞれ自由に動く時、Rの存在する領域を図示せよ。

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