★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

★東大入試作問者にな ..

39:１３２人目の素数さん
09/05/25 21:20:10
〔問題〕k≧2 のとき
　{1 + 1/(k-1)}^k = {k/(k-1)}^k > e
を示してくださいです。

40:１３２人目の素数さん
09/05/25 21:21:09
>>39

2項定理より
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(k+1) = Σ[j=0,k+1] Ｃ[k+1,j] /(k^2 -1)^j > 1 + 1/(k-1) = k/(k-1),

∴　{k/(k-1)}^k > {(k+1)/k}^(k+1) > ･･･(単調減少)･･･ > lim[k→∞) (1 + 1/k)^k = e,

41:１３２人目の素数さん
09/05/26 04:59:36
〔問題〕k≧2 のとき
　{k/(k-1)}^(k-1) < e < {k/(k-1)}^k,
を示してくださいです。

42:１３２人目の素数さん
09/05/26 05:15:46
>>41

・左側
　{1,1,････,1,(k-1)/k} (k個) の相加･相乗平均から、
　{(1-k^2)/k^2}^k > (k-1)/k,　
∴　{k/(k-1)}^(k-1) < {(k+1)/k}^k < ････ < e,　　(単調増加)

・右側　>>40 または
　{1,1,･･・･,1,k/(k-1)} (k+1個) の相加･相乗平均から、
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(k+1) > k/(k-1),
∴　e < ････ < {(k+1)/k}^(k+1) < {k/(k-1)}^k,　　(単調減少)

43:１３２人目の素数さん
09/05/26 13:30:46
おぉ、書き間違いがあったよ。どうりで誰も解いてくれないわけだ……

0＜x＜1、xは10進数表記、小数点以下n桁以下の実数であるとする。
このとき、xは10^n-1通り考えられるが、これらの中から等確率に一つの数を選び、
選んだ数の小数点以下第ｋ位に初めて2009（小数点以下k位が2、k+1位が0……という意味）という数字が現れる確率P(n,k)とする。

lim[n→∞] Σ[k=1,n] k*P(n,k)

を求めよ。

－－－－

わかりにくいと思うので、念のため説明
p(5,1) は、0.00001、0.00002、0.00003、……、0.20090、0.20091、……
の中から0.2009Xとなるものが現れる確率。
なので、P(5,1) = 10/99999です。

44:１３２人目の素数さん
09/05/26 20:56:37
〔問題〕k≧2 のとき
　{k/(k-1)}^(k - 1/2) > e,
を示してくださいです。

45:40
09/05/27 22:32:12
>>44

2項定理より
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(2k+1) = {1 +1/(k^2 -1)}^(2k+1) = Σ[j=0,2k+1] Ｃ[2k+1,j] /(k^2 -1)^j
　> 1 + (2k+1)/(k^2 -1) + (2k+1)k/(k^2 -1)^2 + (2k+1)k(2k-1)/{3(k^2 -1)^3　　(今回はj=3まで残す)
　> 1 + (2k+1)/(k^2 -1) + (2k+1)k/(k^2 -1)^2 + k/(k^2 -1)^2　　　(← (2k+1)(2k-1)>3(k^2-1))
　= 1 + 2(k+1)/(k^2 -1) + (k+1)^2/(k^2 -1)^2
　= 1 + 2/(k-1) + 1/(k-1)^2
　= {1 + 1/(k-1)}^2
　= {k/(k-1)}^2,
平方根をとると
　{(k^2)/(k^2 -1)}^(k + 1/2) > k/(k-1),
∴　{k/(k-1)}^(k -1/2) > {(k+1)/k}^(k +1/2) > ･･･(単調減少)･･･ > e,

〔系〕n≧2 のとき
　n! < e･n^(n +1/2)･e^(-n),

(略証) 上式にkをかけて
　{k^(k +1/2)}/{(k-1)^(k -1/2)}　> ke,
k=2～n で辺々掛ける.
　n^(n +1/2) > n! e^(n-1),

なお、Stirling の公式によると、
　n! ～ c･n^(n +1/2)･e^(-n),　ただし、c = √(2π) = 2.506628･･･

46:１３２人目の素数さん
09/05/28 03:20:21
>>43
nが十分大きいとして
P(n,1)=P(n,2)=P(n,3)=P(n,4)=1/10000
P(n,5)=1/10000(1-P(n,1))
P(n,6)=1/10000(1-P(n,1)-P(n,2))
…
P(n,n)=1/10000(1-P(n,1)-P(n,2)-…P(n,n-4))
よって
Σ[k=1,n]P(n,k)=1/10000{n-Σ[1,n-4]((n-3-k)P(n,k))}
=1/10000{n-(n-3)Σ[1,n-4]P(n,k)+Σ[k=1,n-4]kP(n,k)}
ここでlim[n→∞]Σ[k=1,n]P(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]P(n,k)=1 (確率の和は1に収束)なので
lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)は収束し
lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]kP(n,k)
その極限値をαとおくと
1=(3+α)/10000
∴α=9997

47:１３２人目の素数さん
09/05/28 11:28:10
俺がやったら9996になったが……
＞ここでlim[n→∞]Σ[k=1,n]P(n,k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n-4]P(n,k)=1 (確率の和は1に収束)なので
＞lim[n→∞]Σ[k=1,n]kP(n,k)は収束し
ｋｗｓｋ

48:１３２人目の素数さん
09/05/28 14:41:39
>>47
ありゃまちがえたか？
実はlim[n→∞]n{1-Σ[k=1,n-4]P(n,k)}が不定形なんだけど適当に0にしたんだよねーアハハ

49:１３２人目の素数さん
09/05/28 17:06:37
アハハ

50:１３２人目の素数さん
09/05/28 19:51:01
〔問題〕
　c･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。ただし、c=√(2π),

できれば >>44-45 のように代数的に･･･

51:１３２人目の素数さん
09/05/28 23:27:21
いつから>>50の宿題をやってあげるスレになったんだ？
だいたいやってあげるやつがいるから図に乗るんだよ
質問スレいけや

52:１３２人目の素数さん
09/05/29 17:05:30
>>51
いやいや、コイツは自作自演してるんだよ。何がしたいのか意味不明ｗ

・数式の右側にカンマがついている
・数式の前に全角空白
・〔問題〕という変わった書き方(普通、〔なんていうマニアックなカッコは使わないｗ)

こういう独特な書き方からして、
30＝31＝39＝40＝41＝42＝44＝45＝50
と推測される。特に>>39と>>40は酷く、投稿間隔が59秒という神業ｗ
どう考えても自作自演。

今回もまた、>>50本人が後から「自分で」解答をつけるんだろうよ。

53:１３２人目の素数さん
09/05/30 01:02:31
>>52
なんか実力のともなわない理系願望でもあって
そんなことに気付かない少数のネット初心者やマヌケ相手に
見せかけの賢さを尊敬されたいんじゃないの？

出題のセンスからして理系とは思えないし、ましてスレタイには全然あってない

54:１３２人目の素数さん
09/05/30 03:05:43
こんな簡単な問題はどの旧帝大の入試にも出ないと思うが。
暇だったら解いてみて。

ａを実数の定数とする。すべての実数ｘに対して次の式が成り立つような多項式ｆ（ｘ）をすべて求めよ。
ｆ（ｆ（ｘ）＋ａ）　＝　｛ｆ（ｘ）｝^2

55:１３２人目の素数さん
09/05/30 03:47:48
>>54
マルチ

56:１３２人目の素数さん
09/05/30 04:08:02
>>55
書き込み時刻を見ればわかる。こっちの板に書いたのが先。

57:１３２人目の素数さん
09/05/30 04:15:56
だから？

58:１３２人目の素数さん
09/05/30 04:24:37
>>57
頭悪っ

59:１３２人目の素数さん
09/05/30 04:27:26
2箇所(以上)に投稿してしまった行為そのものが
批判されているのであって、どっちが先とかは
関係ないような気が。

60:１３２人目の素数さん
09/05/30 04:46:29
そもそも教えて欲しい奴がなんでここに書き込むんだ？

>>48
ちょwww

61:１３２人目の素数さん
09/05/30 06:47:30
春分の日に地面に垂直に長さ1の棒を立てた。
この日この地点での南中高度はπ/4であり、日の出は午前6時ちょうどで日の入りは午後6時ちょうどであった。
この日の午前10時から午後2時までに棒の影が地面に描いた部分の面積を求めよ。
ただし、太陽は見かけ上天球を一定の速さで動いているものとし、棒の先と影の先を結ぶ直線が地面となす角を太陽の高度と見なす。

…なかなかシンプルに書けないが意味は伝わるかな

62:１３２人目の素数さん
09/05/30 18:36:38
>>59
マルチ

63:１３２人目の素数さん
09/05/30 21:33:58
>>54
fをn次式とすると、題意より
　n^2 = 2n,
∴　n=0 または 2.　
・0次のとき、
　f(x)=0 または f(x)=1,
・2次のとき、題意より、
　f(y+a) = y^2,
が成り立てば十分。
　f(x) = (x-a)^2,

64:１３２人目の素数さん
09/05/31 02:37:03
>>61
自分で解いた？

65:１３２人目の素数さん
09/05/31 03:03:23
>>64
一応できたと思うよ、そんなに汚くない答えになった

わかってると思うけど一応条件として太陽は真東から出て真西に沈むこと
あと“太陽を空間の1点としたときそれと棒の根本を結ぶ直線に平行な光線で影ができる”としてね

66:１３２人目の素数さん
09/05/31 11:51:21
〔問題〕
　c･n^(n +1/2)･e^(-n) < n! ≦ e･n^(n +1/2)･e^(-n),
を示してくださいです。ただし、c=√(2π),

できれば >>44-45 のように代数的に･･･

67:１３２人目の素数さん
09/05/31 15:58:41
>>59
マルチ

68:１３２人目の素数さん
09/06/01 23:23:47
>>43は結局9997なのか9996なのか

69:１３２人目の素数さん
09/06/01 23:40:13
>>48をみるかぎり9997は間違いのようだぞ
9996の人ないし出題者の解答を見てないから9996が正しいかはどうかはわからん

70:47
09/06/02 09:35:10
すまん、もう一度やったら9997になった。
しかし、証明が間違ってることは事実なんだね……
今会社なんであれだが、あとで証明UPしてもいい……あとと言っても、最悪土日だが……

71:１３２人目の素数さん
09/06/02 20:24:50
>>48
lim[n→∞]n{1-Σ[k=1,n-4]P(n,k)}=lim[n→∞]10000*nP(n,n)=0

OK

72:１３２人目の素数さん
09/06/05 22:02:44
人いねーな

73:１３２人目の素数さん
09/06/06 21:45:58
>>70
まだか？

74:１３２人目の素数さん
09/06/08 22:07:50
578 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/02/24(火) 23:37:23
>>576-577
過去ログ倉庫の避難所を用意しました。
URLﾘﾝｸ(cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com)

75:47
09/06/11 15:55:23
はずいので読まないでくれ
----

明らかに
p(n,1)=p(n,2)=p(n,3)=p(n,4)=10^-4
p(n,k+4)={1-Σ[i=1,k]p(n,i)}/10^4
後者の式よりp(n,k+4)-p(n,k+3)+p(n,k)/10^4=0が成立。

以降、p(n,k)がnに依存しないことは明らかなので、単にp(k)と書く。

これは五項間漸化式なので、特性方程式x^4-x^3+10^(-4)=0の解をα、β、γ、δとすれば、ある定数A,B,C,Dを用いてp(k)=Aδ^k+Bδ^k+Cδ^k+Dδ^k。
-1＜α、β、γ、δ＜1より明らかに、
Σ[k=1,∞]kp(k)=Aα/(1-α)^2 + ……となる。

分母は明らかに特定方程式をf(x)=x^4-x^3+10^(-4)として、f(1)^2=10^(-8)となる。
分子を計算する前に、特性方程式の解α、β、γ、δの関係式
β+γ+δ=1-α
βγ+γδ+δβ=-α(β+γ+δ)=α^2 - α
βγδ=-α(βγ+γδ+δβ)=-α^3 + α^2
に注意して、Aα{(1-β)(1-γ)(1-δ)}^2=Aα^7を得ておく。
これと、p(k)=Aδ^k+Bδ^k+Cδ^k+Dδ^kから、分子はp(7)。

以上より、求める値は10^8*p(7)=9997

76:１３２人目の素数さん
09/06/11 20:31:06
解き方に漏れがありそうな気がしますが、一応・・・。

//-----------------------------------------------------------

xy平面上において、x 座標とy座標がともに整数であるような点を格子点を呼ぶ。

全ての格子点間を、x軸方向およびy軸方向にのみ線で結ぶと、
一片の長さが１である正方形を隙間無くタイル状に敷き詰めた図ができる。

このxy平面上に、１辺の長さが 1/2 である正三角形Ｔをランダムに置く。
（注：つまり、xy平面と平行に、向きや位置を全くランダムに、正三角形Ｔを置く）

この条件下で、前述の（１辺の長さ１の）正方形のうちちょうど４個が、正三角形Ｔと重なるような、確率を求めよ。

ただし、三角形Ｔとこれら正方形において、１点でも共有点がある場合、重なっているとみなす。
（辺や頂点同士でも重なっているとみなす）

//-----------------------------------------------------------

77:１３２人目の素数さん
09/06/17 07:12:44
もうこのスレ終わったな

78:１３２人目の素数さん
09/06/17 08:58:04
>>76
なにがしたいの？

79:１３２人目の素数さん
09/06/28 16:29:26
楕円C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a，bは実定数で，a>b>0) 上に第一象限内の点Pをとる．
点PでのCの接線をL[1]，法線をL[2]とし，原点を通りL[1]，L[2]に平行な直線をそれぞれL[3]，L[4]とする．
このときL[1]，L[2]，L[3]，L[4]で囲まれてできる図形が正方形となるように，a/bの値の範囲を求めよ．

80:べ
09/06/30 19:16:23
√{15-√6-√2}を簡単な形に直せ。
別スレで作ってみたんだが、２０分で解ける人いたら尊敬。

81:べ
09/06/30 19:20:24
ここで言う必要ないかもしれんが、
＊簡単な形とは、二重根号を用いず有理化した形。

82:１３２人目の素数さん
09/06/30 20:22:23
>有理化

意味不

83:１３２人目の素数さん
09/06/30 21:30:51
中学からやり直せ

84:１３２人目の素数さん
09/06/30 22:26:21
>>80
(a\sqrt{2}+b*sqrt{3}+c*sqrt{6}+d)^2=15-\sqrt{2}-\sqrt{6}としてa,b,c,dを求めようとしたが、
a=0.2251417501, b=-2.225751456, c=0.07538322136, d=0.01525049918
としか得られなかった…。

85:べ
09/06/30 23:43:28
>>84
スマソ。何を勘違いしたか…
√{15-2√6-2√2}を簡単な形に直せ。
だた…。

86:べ
09/06/30 23:49:42
>>84
これはこちらが、別スレで煽り相手に出したため点検を怠ったミスなので、
御詫びを兼ねて大ヒントを出します。つうか、このヒントなきゃ誰も２０分で解けないかも…。

根号の係数は全て１。

87:１３２人目の素数さん
09/07/01 00:00:09
ばかばかしい

88:べ
09/07/01 00:07:03
あ、違う√{27-2√6-2√2}だった…ｗ

89:１３２人目の素数さん
09/07/01 00:09:58
あ、じゃない何度も訂正スマソ。√{15-2√6-2√2}であってるあってる。

90:べ
09/07/01 00:14:32
>>89はオレね。何度も訂正スマソ

91:１３２人目の素数さん
09/07/01 00:41:58
>>84のように置いて a, b, c＝±1, d∈Z と仮定し展開，係数比較より4方程式得られる．
自乗和の式よりa=±2が得られるので，後は場合分け．
候補として±(2+√2＋√3ー√6) を得る．

2+√3＞√6に注意すると 2+√2＋√3ー√6 のみ適合．

都合7度もレスするのは頂けない．ちゃんと整理してから書くように

92:１３２人目の素数さん
09/07/01 00:42:43
>>91
自乗和の式よりd=±2が

と訂正

93:べ
09/07/01 00:44:28
>>91
スマソ。ただこのスレはレスした直後解いてる人間がいる可能性が高いので、
早めに間違いなら訂正しようとして、余計に長くなってしまった。

やるな…ヒントなしでも解けてたか…？さすがこの板でもレベルが高いスレ

94:１３２人目の素数さん
09/07/01 00:53:07
4+2+3+6=15だからな。

95:91
09/07/01 00:56:31
>>93
連立方程式が手強いと思ったのでヒント使ったｗ

しかしよく考えるとヒント無くても全然いけるな．場合分けが増えるだけで．
2a^2+3b^2+6c^2+d^2＝15
で全て整数と仮定したから(ちゃんと書けてなかったがそういうことで)，a～dのいくつかが0になる場合を除き，a^2, b^2, c^2＝１．
つまり根号の係数は±1(>>84は+1ともっと限定的だな)
どれかが0の場合，矛盾が出るんだろう．

96:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:00:06
スレにそぐわないアホがいるな
二重根号を独学で覚えた中学生くらいか
対象も高１文系程度かね

＞さすがこの板でもレベルが高いスレ
ギャグセンスだけはあるのかもな

97:べ
09/07/01 01:03:44
ま、入試に出るなら(1)で係数が１であること証明して…って感じだろうな。
煽り相手に短時間で作った問題だが。

98:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:05:37
高校入試か

二重根号は範囲外だろ

99:べ
09/07/01 01:07:11
>>96
誰でも解ける難問こそ深い

100:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:09:12
むしろその深さというかひねりというか、出す意義がなくね？
特に東大入試としてだと。

101:べ
09/07/01 01:09:35
別に根号の問題にする必要はない。式=n^2の形にしたときのnを求めよ、など。

102:べ
09/07/01 01:11:35
(3)で一次独立を題材にした(2)を用いる東大っぽい問題か何か出せばいい。（無茶振り

103:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:12:17
誘導問題にして，(2)は立方根外させればおｋかな
整数問題になるな

104:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:12:51
分かったから、東大の過去問を10年分くらい解いてからまたここに来い

105:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:15:26
>>102
でもそれがないわけだろ。単独でのひねりや工夫のポイントは特にない
係数比較を面倒にしただけの、手間の問題でしかない

106:べ
09/07/01 01:17:08
>>104
ま、ここにいる住人は明らか、今の東大受験生のレベルを越えてるだろうがね。

複雑にすれば、かなり面倒な整数問題になりそう。
分数とかにすると…

107:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:17:32
>>99
良いことを言うね
でも、誰でも解ける難問ってどれ？

そういうのは、解法見たら発見や感動があると思うんだ。

108:べ
09/07/01 01:21:10
>>105
次のうち根号を外せないものはどれだ？はどうだろう。
直感が必要になってきて、普通に解くより工夫もいりそうなんだが。

>>107
誰でも解けるって、解き方を習ってるって意味だぞ。
感動は確かにないかも。ありきたいと言えばありきたり。

109:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:21:28
東大は計算量が多くなるのを厭わないところだが，単なる計算問題は出さないからな

110:べ
09/07/01 01:25:00
じゃ、
二重根号→√の和
で、出てきた一次独立の和の結果を、ベクトルの一次独立と繋げて、
ベクトルの問題を出す。

二重根号と、ベクトルで描かれる図形の間に相関関係が！

111:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:29:16
>二重根号と、ベクトルで描かれる図形の間に相関関係
例えば．．？

112:べ
09/07/01 01:30:43
それはしらん

113:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:34:49
√(a+b－2√ab)＝|√aー√b|
程度ではちょっと．．．

114:べ
09/07/01 01:41:29
ま、なかなかいい計算練習になるな。問題作成は。
√関連で、
√(a+i)^n
が整数となる整数nが存在するのは、a=1の時に限る事を証明せよ。
って高校の範囲で解ける？無理だよね？

115:べ
09/07/01 01:43:48
あ、違う。違ってもいないけどすまそ。
(a+i)^nが整数となる整数nが存在するのは　ね。

116:１３２人目の素数さん
09/07/01 01:48:54
これがゆとりか

117:べ
09/07/01 01:50:42
みたか、ゆとりの本領を！
じゃ、寝る！

118:１３２人目の素数さん
09/07/01 21:18:34
久々に伸びてると思ったらこれか

119:１３２人目の素数さん
09/07/05 00:52:34
高一に相手にふんぞり返って
√√(-2401)
を出題しておきながら複素数の説明無しなのに√√(-1)の未処理に
減点判定していたβさんじゃないですか

120:べ
09/07/05 00:56:31
×高１に相手に
○高１相手に
答えたのは高１じゃない
（つうか数学９点のスレ主がまともに答えられるわけねーだろ…）
君が来るスレじゃないんで戻りなさい。

121:１３２人目の素数さん
09/07/05 01:21:17
大学で学ぶ内容を元ネタに大学入試問題を作る場合、作問者のセンスが問われる
元ネタの選び方が素晴らしければ良問になり得るが、選び方が悪ければただのオナニー
更に、選び方が素晴らしくても問題の作り方が悪いと寒い問題になる

非実数な複素数の1/2乗は一意に定まらないってのが面白い点だと思う
でも入試に出すには不適切かと。課外研究の良いテーマではあると思う

122:１３２人目の素数さん
09/07/05 11:45:16
β恥録
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:30番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:226番)

123:１３２人目の素数さん
09/07/05 17:38:56
D＝{(x,y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1} ，定点 A(a,b) ∈ D とする．
また点Aを通る任意の直線と D との共通部分の長さの最小値を L(a,b) とする．
L(a,b) ≧ 1 となる点(a,b)の存在範囲を求めよ．

124:123
09/07/05 17:41:39
× L(a,b) ≧ 1
○ L(a,b) ＝ 1

125:べ
09/07/05 17:42:59
>>121
確かに一意的に定まらないことを題材として、良い問題が作れそう。
まぁ不適切かもしれんが。

つか煽りのつもりで出した問題が意外と評価されてるｗ

126:１３２人目の素数さん
09/07/05 18:29:11
>>123
定点 A(a,b)に対して L(a,b)＝1じゃないの？常に．
軸と平行な直線でね．傾きをちょっとでも変えると共通部分は大きくなるから．
だからDと一致．

問題文おかしくね？俺がおかしいのか．．．？

127:１３２人目の素数さん
09/07/05 18:32:01
>>126
あふぉ？

128:１３２人目の素数さん
09/07/05 18:40:05
>>126
落ち着け

129:べ
09/07/05 18:56:55
スマソ。オレにつられてやってきたアホスレの、
連中かも知れん。
ただオレを煽ってるヤツほどバカではない。
なぜならそいつらは、オレの訂正した問題を全て問題だと勘違いするほど、
イカれてるからな…

130:べ
09/07/05 18:58:18
ヤツ「ラ」ほど　ね

131:１３２人目の素数さん
09/07/05 19:34:29
βはさっさと数学板から聞いて下さい

132:１３２人目の素数さん
09/07/05 20:07:15
>>129
関係ねーよ。何で俺１人が「ら」になるんだ？
俺１人がやった事を場の人間全部に当てはめる癖…

あ、そう言えば前から１人のやった事を
全てに当てはめる様な事やってるよなお前は

と言うかあれは７回も問題訂正レスしてる事を含みを持たせたんだが

133:１３２人目の素数さん
09/07/05 20:51:36
>>50

　a_n = n!(e^n)/n^(n +1/2),
とおくと、>>44-45 より
　a_k / a_(k-1) = e･{(k-1)/k}^(k -1/2) <1,
∴ a_n は単調減少。
lim[n→∞) a_n = c,
とおけば、
　c < a_n ≦ e,　　　　(等号成立は n=1)

次に c=√(2π) を示す。
　b_m = (a_m)^2 /{a_(2m)} = (4^m)(√2)/{Ｃ[2m,m] √m},
とおくと
　lim[m→∞) b_m = c,

ところで、I_n = ∫[0,π/2] (sinθ)^n dθ とおくと、
　I_n = {(n-1)/n}I_(n-2),　I_0 = π/2,　I_1 = 1,　
より
　I_(2m-1) = (4^m)/{2m･Ｃ[2m,m]} = b_m /√(8m),
　I_(2m) = (π/2)Ｃ[2m,m] / (4^m) = π/{b_m･√(2m)}
　I_(2m+1) = {2m/(2m+1)}I_(2m-1),
明らかに
　I_(2m+1) < I_(2m) < I_(2m-1),
∴　√(2π) < b_m < √{2π(2m+1)/(2m)},
∴　c = lim[m→∞) b_m = √(2π), 　(終)

ちっとも代数的ぢゃねぇが･･･

134:１３２人目の素数さん
09/07/05 21:38:24
βは荒らすな

135:べ
09/07/05 22:18:18
>>132
１行目：いや、お前一人を「ら」にしてないぞ？
２行目：一度もやってない。
３行目：×を含みを　○に含むを

136:１３２人目の素数さん
09/07/05 22:35:07
>と言うかあれは７回も問題訂正レスしてる事を含みを持たせたんだが

やっぱり、あのスレの住人のようです

137:１３２人目の素数さん
09/07/05 22:47:49
>>135
A「私は正直である」
さて、Aは正直者か嘘つきか？

138:１３２人目の素数さん
09/07/05 22:53:26
>>136
あー違う逆
誰がβを褒めに言ってるのか見に行ったんだよ
あそこに７回とか書いてあったからまんま鵜呑みしてた
このスレで何回だったか数えたわけではなくて

結局、評価されたのは最近だから前後関係おかしいし
逆に非難の方が強かったな

139:１３２人目の素数さん
09/07/05 23:03:51
Paradox

140:べ
09/07/05 23:05:34
問題文読み間違えて質問してたようだけど、解けたのかな？？

141:１３２人目の素数さん
09/07/05 23:18:56
>>133

　b_m = {(2m)!!/(2m-1)!!}√(2/m),
　I_(2m-1) = (2m-2)!!/(2m-1)!!,
　I_(2m) = (π/2){(2m-1)!!/(2m)!!},
　I_(2m+1) = (2m)!!/(2m+1)!!,

142:１３２人目の素数さん
09/07/06 00:53:18
なんかβ自己弁護に躍起だけど

数々の恥の歴史は事実なんだよね

143:126
09/07/06 05:08:06
>>127-128
理解した．読み違えてた．．．(というか完全に都合良く解釈してた)
「正方形の2辺上に端点を持つ長さ1の線分を動かしたときに出来るアステロイド曲線」
が題材ってことね

計算はまだしてないが．．．

144:１３２人目の素数さん
09/07/10 21:41:47
次の性質を満たす数列 {a_n}，{b_n} の例を一つ挙げよ．

(1) lim[n→∞] (a_n/b_n) ＝ 1
(2) lim[n→∞] (a_(n+1)/b_n) ＝ 0
(3) lim[n→∞] (a_n/b_(n+1)) ＝ ∞

簡単すぎ？

145:１３２人目の素数さん
09/07/10 21:46:27
これでいいの？

a_n = b_n = 1/(n!)

146:144
09/07/10 21:53:58
(4) 任意のnで a_n ≠ b_n

を忘れてました．すんません．

147:べ
09/07/10 22:14:07
>>144
a[n]=x^-n + x^-(n+1)
b[n]=x^-n
とか？

148:１３２人目の素数さん
09/07/10 22:36:53
x って？

149:１３２人目の素数さん
09/07/10 22:40:49
>>148
アホがうつるぞ

150:べ
09/07/10 22:53:41
a[n]=n^-n + n^-(n+1)
b[n]=n^-n

だったｗ
なぜかx使ってた。

151:べ
09/07/10 22:57:25
eになる。無視してｗ

152:１３２人目の素数さん
09/07/10 23:01:45
なにこいつ・・

153:１３２人目の素数さん
09/07/10 23:02:22
>>152
バカは黙っとけ

154:１３２人目の素数さん
09/07/10 23:04:15
もうこのスレ誰も興味持たないからいらないんだよな
βの好きにさせときなよ

155:べ
09/07/10 23:38:00
>>144
nが偶数の時、
a[n]=2+(-2)^n
b[n]=2-(-2)^n
nが奇数の時、
a[n]=2+(-2)^(n+1)
b[n]=2-(-2)^(n+1)
これは？

156:べ
09/07/10 23:39:11
ついでに本気で解いてないｗ
本気で解いたらできるけど、
まぁ問題の核心が分かったんでミスしててもいいでふ

157:１３２人目の素数さん
09/07/11 07:51:11
>>144
a_n = 1/(n!)
b_n = 1/(n!+1)

158:１３２人目の素数さん
09/07/15 08:09:16
a,b,cは自然数である。
a は奇数である。
a,b は互いに素である。
a^2 + b^2 = c^2 が成立する。
//-----------------------------------------------------------
以上が全て成り立つとき、
d = √{(a + c)/2} なる d　を考える。

dが自然数となる場合があることを示せ。

159:１３２人目の素数さん
09/07/15 19:56:37
>>158
a=3,b=4,c=5のときd=2

160:１３２人目の素数さん
09/07/15 21:48:17
>>158
m、nが自然数のとき
(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2=(m^2 + n^2)^2　だから
mを偶数、nをmと素な奇数に選らび　a=m^2 - n^2、　b=2mn、 c=m^2 + n^2　とすれば
D=(a + c)/2=m^2 だから　d=√D=m　は自然数

161:158
09/07/16 03:29:21
>>159

あう・・・問題文工夫すればよかった

>>160
てか、大学入試の整数問題で難問つくるのむずかしいか・・・

162:１３２人目の素数さん
09/07/17 00:01:37
564:べ 2009/07/08(水) 20:39:35
>> 1　への練習問題
x>3を満たすxとして適切なものを次のうちから全て選べ｡
（つまり、３より大きいと言い切れるものを全て選べ。)
-3　√10　0　99999/33332　2.99　3　π　√√26　∞
3!/2!　10sin17° log20　√7+0.3541　e　i　[x→3]x

＊とりあえず、分からないものは飛ばして、そうだと思うものだけ全部選んで見る｡
＊電卓禁止。余裕があれば理由も添える事｡

一応あげとく｡

ちょｗｗ数学テスト９点、誰か助けてくれー！
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

注意：このスレの“１”は高一

163:１３２人目の素数さん
09/07/17 00:06:41

　　　　640:べ 2009/07/09(木) 01:20:01
　　　　>> 639
　　　　∞は一番大きいという概念だから３より大きいだろ。数とかの次元じゃない｡

164:１３２人目の素数さん
09/07/17 06:33:26
>>163
「∞は一番大きいという概念」
そうなんですか？ｂｙリアル高校生

「１番大きい数」というのは、定義できないけど（ですよね？)
「１番大きい」というのもなんか・・・単に言葉のあやで、数学の世界では、別に問題ない表現なんんでしょか？

165:１３２人目の素数さん
09/07/17 11:32:00
>>164
∞は数字じゃなくてただの記号

166:１３２人目の素数さん
09/07/17 18:47:09
>>164
これ>>163は糞コテの恥レスを晒したものです
アホが伝染するので真面目に受け取らぬ様にお願い致します

167:１３２人目の素数さん
09/07/17 22:32:53
3･2^a-1=b^c
は任意の2以上の自然数a,b,cで成立しないことを示せ

168:べ
09/07/18 02:00:13
>>167
１分ぐらいで、しかもちゃんと解いてないから間違ってるかも

mod 4,12での合同式より、b^cが3,11の倍数であることを証明して、
b^c=33kとして与式に代入、
左辺が3の倍数-1、右辺が3の倍数となって、不成立。

とかか？

169:１３２人目の素数さん
09/07/18 02:05:21
4の倍数-1は3の倍数
12の倍数-1は11の倍数
とかいわないよな
いくらβでも

170:べ
09/07/18 02:05:33
あ、途中から訳わかんない事やってるｗ
でも眠いんで寝るわ。

171:べ
09/07/18 17:53:07
とりあえずmodを使って、
（まぁ使わなくとも即出せるが）
b^cが12の倍数-1にはならないことを証明する。という所まではいけたが、
証明がなかなかできそうにないので、諦めた

172:べ
09/07/18 17:53:50
方針違ってたらスマソ

173:１３２人目の素数さん
09/07/18 17:55:46
気のせいかどうか知らないけど
11^1 = 12 - 1
12^3 = 12*111 - 1

まー、俺はべ様ほど頭良くないんで間違ってると思うが

174:１３２人目の素数さん
09/07/18 18:01:07
>>173

175:１３２人目の素数さん
09/07/18 18:07:09
ここは馬鹿であることを遠慮なく告白するスレなのか？

176:べ
09/07/18 18:41:07
>>173
それを利用すればできるじゃね？
まぁ、また気が向いたら。その頃には解かれてるかもだけど。

>>175
それは君だけだろう

177:べ
09/07/18 18:47:20
>>713
まず、上は2以上なんだからc=1は間違い。
下は、一致しないぞーい。

やっぱ利用できそうにないか…

178:１３２人目の素数さん
09/07/18 19:46:34
>>177
11^3 = 12*111 - 1

179:べ
09/07/19 00:14:00
あ、違うｗ
12の倍数じゃなくて、12*2^nだった…。
111は2^nじゃないと…
合ってる式なんだしそりゃ解けんわな…。
これなら解けそうだな…気力がある時にやってみる。

180:１３２人目の素数さん
09/07/19 00:23:29
a＝2のときは11＝b^c となって、これを満たすb,cは無い。

a≧3のときは、mod 8で考えて－1≡b^c となるから、もし
c＝2mだとするとb^c≡0,1,4 となり(∵b^2≡0,1,4 (mod 8)しか起こりえない)、
－1≡b^c は起こりえない。

よってc＝2m＋1 (m≧1)ということになる。bが偶数だとすると
b^c≡0となってしまうので、bは奇数となる。最初の式に戻って
3*2^a＝1＋b^c＝(b＋1)(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1) となるが、
bは奇数だから(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1)も奇数であり、よって
2^a｜(b＋1) ということになる。よってb＋1＝2^a，3*2^a を得る。

b＋1＝3*2^a のときは、3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(3*2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝3*2^a (≧12)
と置いて、x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－3x＋2≦0となり、
よって1≦x≦2となる。しかしx≧12だから矛盾。

b＋1＝2^a のときは、同様に3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝2^a (≧4)
と置いて3x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－5x＋2≦0となる。
これを満たす自然数xはx＝1,2,3,4しか無いので、x≧4と合わせて
x＝4を得る。よってa＝2となるが、a＝2の場合は既に見た。

181:べ
09/07/19 00:32:14
mod使う事と、bが奇数なのはすぐ分かったが、
1+b^cを展開して解くというのはなかなか…。

182:１３２人目の素数さん
09/07/19 00:53:19
>>180
b^c+1が3の倍数⇔b+1は3の倍数かつcは奇数
だからb+1=2^mは外せる

183:１３２人目の素数さん
09/07/19 00:56:55
>>181
この操作は因数分解って言って展開とは逆操作なんだよ

184:べ
09/07/19 01:11:22
>>183
二項展開のような意味で使ったんだが・・

185:べ
09/07/19 01:16:30
まぁ、丁寧な返答ありがとう。
ここには質問者をバカにする連中もいるからな。

186:１３２人目の素数さん
09/07/19 01:21:06
ニ項展開の展開も普通の展開と同じ意味なんだけど

187:１３２人目の素数さん
09/07/24 14:14:23
1辺の長さが１の立方体を平面で切るとき、断面図の最大値、最小値を求めよ

188:１３２人目の素数さん
09/07/24 15:59:08
【炎上】彼氏が通報者の車に醤油かけて仕返しした
ｽﾚﾘﾝｸ(kankon板)l50

189:見方によってはかなりインチキ臭い国際大会
09/07/24 16:18:15

>2009年：1位-中国、2位-日本、3位-ロシア、4位-韓国、5位-北朝鮮、6位-アメリカ

>国際数学オリンピックの引率の先生がラジオで言ってたんだけど、問題は前日に配られて、
>それを言語のできる " その国の引率の先生 " が各自翻訳するらしいです。
>だからと言って生徒に、問題や解答が事前に漏れてるとは言ってませんでしたよ。

前からこの辺りが胡散臭いと思っているんだけど、見方によってはかなりインチキ臭い国際大会。

190:記憶馬鹿には絶対解けない数学問題集
09/07/24 16:21:23

4角柱の問題　→　URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
球体から反射された光線が到達する地点　→　URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
反転ゲームの最短回数　→　URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
( 縦横とも2n個の時の一般解も出して頂けると、すごいと思います )

アリの戦争　→　URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
立方体の通路　→　URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
( 頂点から頂点までの通路は、他の通路と交差している交差点があっても直進する )

回転する光の通過速度　→　URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
入れ子になった回転リングの軌跡　→　URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)

191:なるべく予備知識無しで解いて欲しい数学難問
09/07/24 16:24:47

問題 : ミサイル曲線
ｘｙ平面の原点に地対空ミサイルが設置されている。　時刻ｔ＝０に上空（０，ｈ）を敵戦闘機が速さｖでｘ軸に平行に
ｘの負の向きに一定の速さｖで飛行している。　このミサイルは常に目標をめがけて一定の速さＶで飛行する。　時刻ｔ＝０で発射されたミサイルの
(１）軌道を表す曲線の方程式を求めなさい。 (２）戦闘機が撃墜される時間はいくらか。
ただし　ｖ＜Ｖ　とする。　　　戦闘機もミサイルも点と考えてよい。

問題 : 伸びるゴムひも上を移動する虫
1mのゴムひもの左端を固定します。左端に虫をおきスタートと同時に虫がゴム上を5cm/sで歩き、
ゴムひも自体を右端を5cm/sで引き延ばした場合に虫が右端に到達する時間を求めなさい。

問題 : 蛇口から流れ落ちる水流の曲線
水道の蛇口から少量の一定の水を流すと落下につれて水流が細くなってきます。
蛇口の中心から下方へｘ軸、それと垂直方向にｙ軸をとった場合、落下水流の形を示す方程式ｙ＝ｆ（ｘ）を求めなさい。ただし粘性率＝０
Ｓ：蛇口の断面積、　　ｖ0：蛇口での流速、　　　ｇ：重力加速度とします。また水は自然落下するとします。

192:１３２人目の素数さん
09/07/25 03:21:56
167の解答
3･2^a-1=b^c
についてcを奇数としても一般性を失わない
また左右の偶奇を考えてbは奇数3･2^a=(b+1)(b^(c-1)-…+b^2-b+1)と因数分解され、
(b^(c-1)-…+b^2-b+1)は奇数よりb+1は3･2^a,2^aのどちらかでこの時
b^(c-1)-…+b^2-b+1=3,1
b(b^(c-2)-…+b-1)=2,0
bは3以上で左辺整数だから右辺2は不適。これより
b^(c-2)-…+b-1=0だけだが
b(b^(c-3)-…+1)=1を満たすものは上と同様に考えて存在しない //
出典はVIPの数学wiki

193:１３２人目の素数さん
09/07/25 03:47:02
なんで最後で照れてんだよ

194:１３２人目の素数さん
09/07/25 12:14:14
>>187
最小値は 0

195:１３２人目の素数さん
09/07/25 12:53:11
>>187
六角形の時が最大か？

196:１３２人目の素数さん
09/07/25 13:19:30
>>195
ダウト

197:１３２人目の素数さん
09/07/25 20:00:00
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
【３】高次元の球と立方体の断面の体積

（１）ボールの不等式

　ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．

　１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，
その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．
対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．

　また，（３次元）単位立方体の断面は，
３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，
辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．

　２次元・３次元での問題は，
４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，
ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
　　１≦Ｖ≦√２
であることが，ボールによって証明されています（1986年）．

　ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．
ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，
こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，
高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．

198:１３２人目の素数さん
09/07/26 01:13:53
>>197
3次元の場合，最小値が1はおかしい
なので何か切り方の条件があるんだろ

199:１３２人目の素数さん
09/07/26 01:28:17
＞ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，

200:１３２人目の素数さん
09/07/28 14:35:46
>>197

201:１３２人目の素数さん
09/08/01 01:01:25
ロイヤルストレートフラッシュができる確率を求めなさい

202:１３２人目の素数さん
09/08/01 01:35:47
いやです。

203:１３２人目の素数さん
09/08/01 02:05:09
誰か>>61やってくれよ
悲しくなるよ

204:１３２人目の素数さん
09/08/01 08:59:44
m,nを正の整数値とする。2^nが3^m - 1を割り切るとき、nの最大値をmであらわせ(そのnが最大値であることを証明せよ)。

例 3^960 - 1 を割り切る 2^n の最大値 → n=8

＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で…
私は４～５時間かかりましたが現役なら２５～５０分かと。

205:１３２人目の素数さん
09/08/01 11:36:19
>>204
解いてて，mの奇偶で分けるだけで意外と楽だなーと思ったが偶の場合がめんどくさく1.5～2時間ぐらいかかったかなｗ
ちょっとミスしても得意だったら，50分以内に解けるか．．．

取り合えず答えだけ
――――――――――――――――――
題意を満たすようなnをn(m)と表記する．

(1) m＝1,3 (mod4)
n(m)＝1

(2) m＝2 (mod4)
n(m)＝3

(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^l)・k (k∈Z odd)
と表示したlを用いて
n(m)＝l+2

206:１３２人目の素数さん
09/08/01 12:14:02
>>205
答えは正解です。
やっぱり証明は長くなりましたか？

>>all
素朴な方法で証明できるので挑戦してみてね！

207:１３２人目の素数さん
09/08/01 12:41:14
>>206
今清書してるが，A4 2枚には収まるかな．．．
(3)の場合がちょっとね

ちなみに
3^a-1＝(3-1){3^(a-1)+3^(a-2)+…+3+1}
を用いて示した

208:１３２人目の素数さん
09/08/01 14:09:37
(3)の表現がおかしかった
――――――――――――――
正しくは以下：
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^2l)・k (l∈N, k∈N odd)
と表示したlを用いて n(m)＝2l+2
――――――――――――――
l＝0の場合は(1)だし，2kの場合は(2)だから(4^l)kに訂正
kはZ oddでも問題ない(m>0なので)が，一応正の奇数なので．

次から解答

209:１３２人目の素数さん
09/08/01 14:11:25
(1) m＝1,3 (mod4)
m＝2k-1 ( k∈N ) とおけて，
3^m-1＝3^(2k-1)-1＝(3-1){3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k-1項，つまり奇数項あることに注意しておく．
続けて 3^m-1＝2・{3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1＝{3^(2k-3)}{(3+1)+{3^(2k-5)}(3+1)+…+3(3+1)+1}
＝{3^(2k-3)}・4+{3^(2k-5)}・4+…+3・4+1＝1 (mod2)
したがって2でのみ割り切れる ∴ n(m)＝1

(2) m＝2 (mod4)
m＝2k ( k∈N odd) とおけて，
3^m-1＝3^(2k)-1＝(3-1){3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k項，つまり偶数項あることに注意しておく．
続けて
3^m-1＝2・{3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1＝{3^(2k-2)}{(3+1)+{3^(2k-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+(3+1)}
＝{3^(2k-2)}・4+{3^(2k-4)}・4+…+3・4+4
＝4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
∴ 3^m-1＝2・4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
＝(2^3)・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
そして，〔2つめの括弧内〕＝1 (mod2)

∴ n(m)＝3

210:１３２人目の素数さん
09/08/01 14:12:25
(3) m＝0 (mod4)
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表せられる

以下，n(m)＝2l+2 であることを帰納法で示す
(i) l＝1
m＝4kより
3^m-1＝3^(4k)-1＝(3^(2k)-1){(3^(2k)+1}

3^(2k)-1＝(2^3)・(奇数) (∵ (2) )
3^(2k)+1＝{3^(2k)-1}+2＝(2^3)・(奇数)+2＝2{(2^2)・(奇数)+1}

∴ 3^m-1＝{(2^3)・(奇数)}×2{(2^2)・(奇数)+1}
＝(2^4)・(奇数)・{(2^2)・(奇数)+1}
∴ n(m)＝4

(ii) 一般のl, l+1のとき
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表示出来，過程よりn(m)＝2l+2
l+1のときは, 2m＝{2^(2l+2)}k で

3^2m-1＝(3^m-1)(3^m+1)

3^m-1＝2^(2l+2)(奇数)
3^m+1＝(3^m-1)+2
＝(3-1){3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+2＝2・[{3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+1]
同様に2項ずつ組にして
3^m+1＝2・[{3^(m-2)}(3+1)+{3^(m-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+1+1]
＝(2^2)・(奇数)

3^2m-1＝2^(2l+2)(奇数)・(2^2)・(奇数)＝{2^(2l+4)}・(奇数
∴ n(m)＝2l+4＝2(l+1)+2

よって示された□

211:１３２人目の素数さん
09/08/01 16:00:02
>>208

>>205の表現が正解だと思います。
>>208だと、例えばm=8の時、(l、k)を上手く設定できないことになります。

ついでに言うと、(2)と(3)は一緒にしてOKだと思います。
その方が帰納法も楽になるし。

212:１３２人目の素数さん
09/08/01 16:17:48
S[k]=Σ[i=0、k-1]3^i
L(p)=(2^Lがpを割りきるような最大のL)
とする。
以下証明の準備
①L(p*q)=L(p)+L(q)②pが偶数の時
3^p +1=9^(p/2) +1
≡2(mod8)
∴L(3^p +1)=1
③pが奇数の時
3^p +1=9^{(p-1)/2}*3 +1
≡4(mod8)
∴L(3^p +1)=2
で、こっからが本題。
S[2k]=S[k](3^k +1)
より
L(S[2k])=L(S[k])+L(3^k +1)
∴L(S[2k])=L(S[k])+1(kが偶数)
L(S[2k])=L(S[k])+2(kが奇数)
従ってn=2^l*p(pは奇数、l≧1)の時
L(S[n])=l+1+L(S[p])
S[p]=Σ[i=0、p-1]3^i
は、奇数個(p個)の奇数(各3^i)の和なので、奇数
∴L(S[p])=0
以上より
L(S[n])=0(nが奇数)
L(S[n])=l+1
∴L(3^m -1)=L(2)+L(S[m])
=1(mが奇数)
=l+2(mが偶数)

213:１３２人目の素数さん
09/08/01 16:22:00
>>212は、字数の都合で幾つかはしょったり、
書くの忘れてるところがあったり、
改行してなかったりで見にくいと思うけど、こんな感じでどうでしょう。

214:204
09/08/01 17:03:56
nを2より大きな整数、pを奇数としたときp=1mod.2^nを満たすnの最大値をf(p)=nとすると
①f(p^2)=n+1,②奇数qにおいてf(p^q)=nとなることから3^2=1 mod.2^3から出発して帰納的
にもとまります。

①と②の証明は2^nがp-1を割り切る最大値だからp=r*2^n+1 (rは奇数)と置いて
① p^2 = (r*2^n+1)^2 = 1 は mod.2^(n+1) で成立 mod.2^(n+2) で不成立
② p^q = (r*2^n+1)^q = 1 は mod.2^n で成立 mod.2^(n+1) で不成立
※それぞれ二項係数展開して各項を2^n～2^(n+2)で割ればわかります。

mが奇数の場合、3=-1 mod.2^2 → 3^m=(-1)^2 mod.2^2 となって2^2以上で割り切れないため、
2^1が最大。m=奇数 → n=1

mが2の場合、3^2=1 mod.2^3 は明らかで①と②より帰納的に3^(q*2^d)=1 mod 2^(d+2)となり
m=q*2^d → n=d+2

でつ。。。

215:205
09/08/01 17:21:16
おおーすっきり

解答してる最中に段々いろいろ思い出したｗ

>>205で
>偶の場合がめんどくさく
と書いたが，どうも勝手に勘違いしてめんどくさがってたようでｗ

>>209-210でなぜ4の倍数に拘ったかはよく思い出せんが
2＾16-1＝(2^8-1)(2^8+1)＝(2^8-1){(2^8-1)+2}
といった関係をみて，まず偶数は別ということで，その後なんか思いついたんだろう

>>211
m=8が入らないことに気付けないとは我ながら．．．
さらにmodの扱いも酷い．まあよくこの手の問題でミスしてたから恐る恐る使ってしまったｗ

216:１３２人目の素数さん
09/08/01 22:35:18
球面(x+7)^2+(y+9)^2+(z+7)^2=9がある。中心軸がＡ(3,-2,-1)B(-9,0,3)を通る直線に含まれる直円錐を球が円錐に含まれるようにとる。このとき円錐の表面積の最小値を求めよ。

217:１３２人目の素数さん
09/08/02 23:06:15

実数x≧0 に対して、数列{x_n}を以下で定めます。

x_1=x
x_(n+1)=(x_n)^x

極限lim[n→∞]x_nを求めてください。

218:１３２人目の素数さん
09/08/02 23:08:22
求めました(^_^)V

219:１３２人目の素数さん
09/08/02 23:39:31
>>217
logx_n=y_nとおくとy_1=logx
y_(n+1)=x*y_n
よりy_n=x^(n-1)*logx
・
0<x<1のときlim[n→∞]y_n=0
・x=1のときlim[n→∞]y_n=0
・x>1のとき
logx>0なのでlog[n→∞]y_n=∞
以上より

・0<x≦1のとき
lim[n→∞]x_n=1
・1<xのとき
lim[n→∞]x_n=∞
・また、x=0のとき
lim[n→∞]x_nはx_2以降が定義されない
すげえつまんねーけど問題これであってる？

220:１３２人目の素数さん
09/08/02 23:49:55
x_1=x
x_(n+1)=x^(x_n)
ならもう少し興味深かったかもしれん
いずれにしてもxの範囲から0は外さないと駄目だろ

221:１３２人目の素数さん
09/08/04 15:07:27
2cosα+3cosβ+4cos(α+β)の最小値を求めよ。
ただし0≦α+β≦2πとする

なかなか難問だと思いますが・・・

222:１３２人目の素数さん
09/08/04 15:37:24
864π

223:１３２人目の素数さん
09/08/04 22:15:31
>>221
3つのベクトルa↑,b↑,c↑を次のようにとる
・｜a↑|=a、｜b↑|=b、｜c↑|=c、ただしa,b,cは正でab=1,bc=3/2,ca=2
・a↑とb↑のなす角はα、b↑とc↑のなす角はβ
このとき2cosα+3cosβ+4cos(α+β)=2(a↑・b↑+b↑・c↑+c↑・a↑)
=|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)

またa=2√3/3,b=√3/2,c=√3
a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
a↑,b↑,c↑をとることができる

以上から求める最小値は0-(2√3/3)^2-(√3/2)^2-(√3)^2=-61/12

224:223
09/08/04 22:31:15
＞a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
＞a↑,b↑,c↑をとることができる

を具体的に補足しておくと
α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑となるのでc↑=-(a↑+b↑)となるようにとれば
|a↑+b↑+c↑|=0

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