★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

★東大入試作問者にな ..

334:かえる
09/08/23 19:46:34
>>332の続き

よって、
ｎ偶数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n+(1/2)(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n

・・・（答）

335:１３２人目の素数さん
09/08/23 21:06:12
>>308

336:１３２人目の素数さん
09/08/23 21:20:30
>>312
もう少し詳しくお願いします

337:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:03:39
>>302の証明で
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} は整数
って言ってるけど、これ本当？

338:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:15:06
>>337
自分で検証できないのか？

339:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:31:13
1辺が1の正方形の中に，n個（n≧2）の点をどの2点もd以上離して置くときの
dの最大値を d_max(n) とする．

(1) d_max(2) を求めよ．
(2) d_max(3) を求めよ．
(3) d_max(4) を求めよ．

340:かえる
09/08/24 01:02:34
>>339
(1) 2^(1/2)
(2) 6^(1/2)-2^(1/2)
(3) 1

341:１３２人目の素数さん
09/08/24 01:36:09
>>340
答えの予測はつくが論証が難しい

342:１３２人目の素数さん
09/08/24 20:18:11
xyz空間において
z=0上に底面がx^2+y^2=1に接する正2n角形で頂点が(0,0,1)の正2n角錘Tとz=1上に底面がx^2+y^2=1に接する正n角形で頂点が(0,0,0)の正n角錘Uがある
この時、TとUの共通部分の体積のをV_nとする時、lim(n→∞)V_nのとりうる値の範囲を求めよ

343:１３２人目の素数さん
09/08/24 21:00:00
a(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n+(1/4)(1/r5)^n+(1/4)(-1/r5)^n.
b(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n+(r5/4)(1/r5)^n-(r5/4)(-1/r5)^n.
c(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n-(r5/4)(1/r5)^n+(r5/4)(-1/r5)^n.
d(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n-(1/4)(1/r5)^n-(1/4)(-1/r5)^n.

344:１３２人目の素数さん
09/08/24 22:20:02
(1) 常用対数 log7の値を小数第４位まで求めよ。ただし、第５位以降は切り捨てとする。
(2) 1以上の自然数Nと、その２進数表記が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第４位(第５位以降は切り捨て)まで求めるとき、乗算を可能な限り
　　少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。

345:かえる
09/08/25 08:04:40
>>344

（１）（７＾１００００の桁数－１）／１００００

（２）１００００乗を何回の乗算でできるかが問題
１００００＝2^12+2^10+2^9+2^8+2^4
より、１２＋１０＋９＋８＋４＝４３回・・・（答）

346:１３２人目の素数さん
09/08/25 22:07:18
誰か未解決問題まとめてくれ

347:344
09/08/26 02:58:31
>>345
えー。試験問題に誤りが見つかった為、(2)については受験者の回答を全て正解とし、
得点を加える処置といたします。
受験生の皆様に、お詫びいたします・・・。

・・・ごめん。(2)の問題を間違って、趣旨が変わってしまっていたようだ。
ついでに言うと、微妙に日本語が変だったみたい。（恥ずかしい）
折角回答してくれたのに、本当に申し訳ない。

訂正後の(2)は下記。

1以上の自然数Nとk(およびkの２進数表記)が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第k位(第k+1位以降は切り捨て)まで求めるものとする。
乗算を可能な限り少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。

ちなみに、回答は訂正前の問題についてはほぼ正解に近いと思いますが、
途中経過を覚えておけるものとして考えると、17回になりますね。

348:１３２人目の素数さん
09/08/26 21:51:33
>>347
どちらにしろ出題ミスじゃね？
3×3=3+3+3のようにすりゃ高々0回じゃん

349:１３２人目の素数さん
09/08/26 23:29:18
【問】
aを実数として
lim(n→∞)Σ[k=1,n]1/k^aについて
(1)a≦1の時の発散を示せ
(2)a＞1の時1になるべく近いaで収束するものを求めよ
ただし、この問題の点数は10/a点とする(小数第一位切り上げ)

350:１３２人目の素数さん
09/08/27 00:19:01
>>349
（1）略（易）
（2）は∀a＞1で収束するから（易）、
a=100/99とすれば10/a=9.9で10点

351:１３２人目の素数さん
09/08/27 00:59:33
>>284
0<sincos1≦f_1(sinx)=sincos(sinx)≦sin1<1
0<a≦f_n(sinx)≦b<1と仮定すると0<sincosb≦f_(n+1)(sinx)=sincosf_n(sinx)≦sincosa<1
ここで平均値の定理からsincosb-sincosa<c(b-a) (|c|<1)
よって帰納的にf_n(x)は定数に収束する
ダメだろうか？

352:１３２人目の素数さん
09/08/28 17:32:06
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径ｎ、高さrでxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通体積を求めよ。

353:１３２人目の素数さん
09/08/28 21:13:30
だから「共通体積」って何だよ。

共通部分の体積

って書けよ。

354:１３２人目の素数さん
09/08/28 21:36:34
353(笑)

355:１３２人目の素数さん
09/08/28 22:28:49
円柱の中心ってなあに？
わかりません

356:１３２人目の素数さん
09/08/28 23:24:09
共通体積の意味は推し量れるけども
普通は共通部分の体積だよな
共通測度などという言い方がないように共通体積という言い方はない

357:352
09/08/29 00:32:03
共通体積→共通部分の体積でおねがいします
>>355円柱の中心とは立方体の中心というように考えてもらえればわかってもらえると思いますが
これも言葉足らずですかね？

358:１３２人目の素数さん
09/08/29 00:42:16
>>351
|(sincosx)'|＜1ってことですかぁ…見事ですね。私の解答よりも本解っぽいです

【問】
半円:y=√(1-x^2),y=0(-1≦x≦1)上のある2点に内接して隣同士互いに外接するn個の円の半径を中心のx座標が小さい順にr_k[k=1,n]とする時Σ[k=1,n]1/r_kの最小値を求めよ

>>308は座標設定があからさまに不親切なので改題します…

359:１３２人目の素数さん
09/08/29 01:04:18
>>351をちょっと訂正
(sincosx)´<1から|c|<1, |sincosb-sincosa|<c|b-a| となるcが存在

360:１３２人目の素数さん
09/08/29 02:30:21
0<c<1でよかったか

361:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/08/29 07:49:15
何だかビラソロ代数のセントラル・チャージみたいですな

362:１３２人目の素数さん
09/08/29 16:42:20
>>351
蛇足だが…
　r = sin(1) = 0.8414709848078965066525023216303…

　|f '(x)| = |cos(cos(x))･sin(x)| ≦ |sin(x)|
　|x| ≦ r　⇒　|f '(x)| ≦ sin(r) = c,
　f(a) = a とする。
n≧2 のとき、平均値の定理により次のξが存在。
　|f_n(x) - a| = |f(f_(n-1)(x)) - f(a)| = |f '(ξ)|･|f_(n-1)(x) - a|,
ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
　|ξ| ≦ r,
∴　|f '(ξ)| ≦ sin(r) = c,
∴　|f_n(x) - a| ≦ c･|f_(n-1)(x) - a| ≦ ･･･ ≦ c^(n-1)|f(x) - a| ≦ c^(n-1)|-sin(1)-a|,
∴　f_n(x) は一様収束。

　a = 0.69481969073078756557842007277519…
　cos(a) = 0.76816915673679597746208623955866…
　c = sin(r) = 0.74562414166555788889315107043038…

363:１３２人目の素数さん
09/08/29 22:23:09
ファッションとか音楽とかスポーツとか、その辺の話題で面接やりゃ２分で分かるだろ。頭の良さなんて。
わざわざ時間掛けて数学とかで試験やる意味がわからん。
ペーパーテストで勉強が得意かどうか調べたって頭の良さなんか全く分からないのに。
大学とかだと選ぶ側が雑談力ゼロのコミュ障だったりするからしょうがないけど。
だから日本の大卒って社会では全然使えないんだよ。

364:１３２人目の素数さん
09/08/29 22:28:10
>>363
釣りか？
それとも、そんな内容は低俗すぎて語るに足りないと面接で言えってことか？

365:１３２人目の素数さん
09/08/29 23:55:45
高学歴でも使えない奴は普通にいるが、それでも低学歴を
採用するより高学歴を採用したほうが統計的に見て
使える割合が高いと言う話を聞いたことがある

366:１３２人目の素数さん
09/08/30 01:24:33
>ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
>　|ξ| ≦ r
どうなってるのか教えてくれ

367:362
09/08/30 17:43:36
>>366

n-1≧1 から f_(n-1)(x) ∈ [-r,r]
また、明らかに　a ∈ (-r,r)
　
∴　ξ ∈ (-r,r)

368:１３２人目の素数さん
09/08/31 01:54:21
>>367
なるほどありがとう
うまいなあ

369:１３２人目の素数さん
09/09/01 00:09:49
m,n(1<m<n)を正の整数とする.1からmnまでの自然数から、異なるn個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.

370:１３２人目の素数さん
09/09/01 00:26:46
f(x)=-(x-a)^2+b-aとおく.ただし、aは実数で、bは実数定数とする.0<a<b,f(0)<0のとき、y=f(x)とx軸によって囲まれる
部分の図形を、y軸を軸にして一回転させたときにできる立体の体積をV(a)とする.
aを上記の条件で動かすとき、V(a)の値に最大値が存在するための定数bの条件を求めよ.

371:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/09/01 09:14:06
>>363
確かに「そういう感じ」はありますね。
尤も「頭が良い」ってのがどういう意味かにも依りますよね。
まあ幾ら知識があって回転が速くてもダメな人はダメですわな。

そもそも：
「数学や理論物理が出来る人が頭がいい」
てな認識は大間違いで、そうでなくても頭がいい人は
世の中に沢山居る訳です。ソレを数学や物理の成績だけで
頭の良さを測るなんて愚の骨頂っていうか超馬鹿げてます
わな。

数学者ってのはどちらかと言うと「馬鹿の集団」てな
感じさえしますけどね。コレが物理学者だったらどう
なんでしょうかね。

まあアホな事を書きましたが。

372:１３２人目の素数さん
09/09/01 16:21:25
以上残飯の独り言でした

373:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/01 16:52:33
新しい名前をどうも有難う御座いました。
今後も独り言ででも活躍したいと思いますので、
どうか宜しく。

374:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:15:29
ざんぱんにむらがるうじむしどもめ

375:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:30:15
未解決問題多いな

376:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:38:06
ざんぱんまん！

377:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/01 17:49:19
せっかく新しい名前に変えたので、
残飯ネタの話を沢山カキコして下さいな。
ちゃんと見て居りますんで。

猫

378:１３２人目の素数さん
09/09/01 22:32:06
四面体 OABC において、サイコロ1個を6回連続で振ったときに出た目を順に
OA、OB、OC、BC、CA、AB の長さとする四面体 OABC が存在する確率を求めよ。

379:１３２人目の素数さん
09/09/01 22:52:48
>>369
A_k=a+(k-1)dとして
1≦a≦mn
1≦a+(n-1)d≦mnを満たす整数(a,d)の組数を求めることに等しいdの値を固定する
①d≧0の時1≦a≦mn-(n-1)d
②d≦0の時1-(n-1)d≦a≦mn

①の時dの最大値は
d=mで右辺=mでd=m+1ではm-n+1≦0で不適だから
Σ[d=1,m]mn-(n-1)d=m^2*n-
(n-1)*m(m+1)/2
②の時は同様にd=-mで最小で
Σ[d=-m,-1]mn+(n-1)d
=①
d=0はmn
∴
2nm^2-m(m+1)(n-1)+mn
=nm^2+m^2+m
=m(mn+m+1)
かな？
検算してないから自身ないけど

380:１３２人目の素数さん
09/09/02 11:46:54
∑[n=1,∞]{(4n-4)!!*(2n-3)!!}/{(4n-1)!!*(2n-2)!!}=tan(π/8)を示せ．
ただし，!!は二重階乗である．

381:１３２人目の素数さん
09/09/02 15:41:20
p,q,p+q,p-qが全て素数であるような(p,q)の組を全て求めよ.

382:１３２人目の素数さん
09/09/02 15:51:33
p+qは明らかに奇数なので一方は偶数→条件に合うのは q=2
p-2,p,p+2のうち一つは3の倍数なので条件に合うのはp-2=3のみ
ゆえにp=5,q=2

383:１３２人目の素数さん
09/09/02 18:45:09
>>379
惜しい。問題の読み取りミス。

「異なる」n個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.

384:352
09/09/02 19:30:38
352の問題があまりに面倒くさい為か解答者が誰もいないので問題を少し変更します
〔問題〕
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径１、高さ１でxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通部分の体積を求めよ。

385:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:28:55
高校時代に同級生が作った問題。母関数がどうとか言ってた。
そいつが言うには30分程度で解ける事を想定してるらしいが、俺は40分以上かかった。

a_{1}=1,a_{2}=7,a_{3}=32
a_{n+3}=6a_{n+2}-11a_{n+1}+6a_{n}
を満たす数列{an}がある。以下の問に答えよ。
(1) |x|<1を満たす実数について
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……
を証明せよ。
(2) 関数G(z)を、
G(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+……+a_{n}z^n+……
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
(1-6z+11z^2-6z^3)G(z)を求めよ。
(3) 数列{an}の一般項を求めよ。
(4) nが自然数の時、a_{n}≧1を証明せよ。

386:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:30:57
ミス。
誤
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
正
と定義する。但しzは実数で、|z|<1/3、z≠0

387:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:31:57
こんな問題に３０分も
かかるのか？

388:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:38:00
部分分数分解する時に3元連立方程式が出てくるから暇はかかるが

それにしたって30分はかからんだろうな

389:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:45:47
>>384
xyz平面って何だ？

390:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:47:02
>>389
それくらいのミスは見逃してやれよ……

391:１３２人目の素数さん
09/09/02 22:09:55
このスレの中（過去も含む）の問題で良問と言えるのはどれか.

392:１３２人目の素数さん
09/09/02 22:18:26
>>167とかかなあ
単に整数問題が好きなだけだけど

393:１３２人目の素数さん
09/09/02 23:05:07
2曲線C1:x^2+y^2=1、C2:y=αx^2+1に接する直線をlとする。
C1,C2,lで囲まれる範囲の面積をαで表せ。
ただしα>1/2

394:１３２人目の素数さん
09/09/02 23:43:35
>>378

四面体の成立条件がわからん。。。

395:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:19:10
>>393
囲まれる部分なんてある？

396:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:20:01
>>394
多分、4つの三角形が実在できて、かつ4点が同一平面上に存在しない場合
かと。

397:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:21:36
>>395
直線lが2曲線に接して、その2つの曲線も接してるから
囲まれる部分はあるはず。

398:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:24:02
やっぱ東大っていうと整数とか立体ってイメージがある。
で、整数の問題。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

２桁以上の正整数について、それぞれの位の数字をすべてかけ算する操作Ｍを、
以下のように記述する。

例：===========================
M(1234)=24 （∵1x2x3x4=24）
M(2589)=890　（∵2x5x8x9=890）
===============================

a_{1}=p（pは２桁以上の正整数）
a_{n+1} = M(a_{n})　（nは任意の正整数）

なる数列があり、
操作Ｍの結果が１桁の場合、操作Ｍの結果の値を数列の最後の値とし、数列はそこで終わる。

例：===========================
p=24321のとき、
a_{1}=24321
a_{2}=2x4x3x2x1=48
a_{3}=4x8=32
a_{4}=3x2=6
以上で数列終了。
===============================

p,nがいかなる値であっても、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。

399:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:25:21
>>397
lが y=1だとどうすんの

400:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:26:34
>>393

すごいむかしに、かなりにた問題やった記憶がある。でも計算より睡魔が・・・。

ちなみに、l:がy=1なる直線の場合もあるね

401:394
09/09/03 00:29:18
>>396

＞4点が同一平面上に存在しない場合
これがわからん。
ぐぐったけど、いまいちわからん。

402:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:30:55
>>398
問題の意味が全くわからない
p=13だとa_2=M(13)=3
じゃないの？

403:398
09/09/03 00:31:41
ごめ、p=311のとき、反例になるわ。。。おかしいな。ちとたんま

404:398
09/09/03 00:36:01
ごめ、最終行訂正。

pがいかなる値（ただし２桁以上の正整数）であっても、n=2のとき以外で、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。

405:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:41:12
>>398
中学生の時にそれ考えたことあるな。掛け合わせ続けるの。

406:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:50:00
２０の倍数＋１，３，７，９同士の積は２０の倍数＋１，３，７，９。

407:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:57:55
1+1=2

408:396
09/09/03 01:20:46
>>401
やる気はしないが、xy平面上において
O(0,0),A(0,a),B(b,c),C(d,e)
と置いて
aはOAの長さで
OB長とAB長から連立二次方程式でも解いてbとcを出して
同様に点Cの位置を出して、OA,OB,AB,AC,BCの長さからOCの長さを出す式を作って
そしたら、OA,OB,AB,AC,BCの長さに対しOCの長さがその長さになればOABCは立体にならなくなる。

多分整数解を持たんだろうけど。

409:393
09/09/03 01:24:21
>>399 >>400他
勿論l:y=1の時は面積など無いから0になるけど、そうならん場合ね。

原文には図が付いていたから言い忘れてしまった。すまない。

410:401
09/09/03 01:39:02
>>408

とてつもなく長い式になりそうな・・・

411:宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg
09/09/03 22:15:04
なんかおもろい問題浮かんだけど、正直答えはまだ出ていない。
＝＝＝
xy平面上の２つ長方形ABCD,PQRSがある。
AB=b,AD=d,PQ=q,PS=sとする。
(b,d,q,s>0)
また、b.d.q.sの中で最小の長さはbであるとする。
（ただし、bがd,q,sのどれかと一致する可能性もある）
そして、ABCDは第１象限に含まれ、A=(0,0),B=(b,0)とする。

ABCDは固定し、PQRSを自由にxy平面上で動かす場合、交点の数は当然配置によって異なるが、
その異なる交点の数の最大値をMとする。

b.d.q,sの条件で場合わけし、Mを求めよ。

※ABCDのいずれかの辺とPQRSのいずれかの辺が平行となる場合は除外する。

====
今気づいたけど、似た問題、たけしのコマ大数学なんとかの番組でにたようなのが
あったかも。

412:１３２人目の素数さん
09/09/04 00:30:00
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)

ＰＱ＝３，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝２，ＰＳ＝ＱＲ＝４。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝３，ＰＳ＝ＱＲ＝５。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝５，ＰＲ＝ＱＳ＝４，ＰＳ＝ＱＲ＝６。

413:１３２人目の素数さん
09/09/04 08:52:31
1円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉、１００円玉、５００円玉の組み合わせ（※全ての硬貨を使う必要はない）により、
ちょうど５００円を支払うとき、組み合わせは何通りあるか？

414:１３２人目の素数さん
09/09/04 22:11:38
x≧0,y≧0,z≧0,x+y+z=1のとき
f(x,y,z)=yx^2+zx^2+xy^2+zy^2+xz^2+yz^2の最大値とその時の(x,y,z)を求めよ

（出典：数検１級２次)

415:１３２人目の素数さん
09/09/05 00:43:22
f(x,y,z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3
=(x^2+y^2+z^2)
-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz
=(xy+yz+zx)-3xyz
y+z=1-xだから
((1-x)/2)^2≧yz≧0(∵相加相乗)でx固定すれば
=(1-x)x-3xyz+yz
=(1-3x)yz+(1-x)xより
x≦1/3ではyzが最大であればよく①
x≧1/3ではyzが最小②
②では
f≦(1-x)x≦1/4
(x=1/2,y=0,z=1/2)
①では
f≦(1-3x)(1-x)^2/4+(1-x)x
=(1-x)((1-x)(1-3x)+4x)/4
=(1-x)(3x^2+1)/4
4f'=6x(1-x)-(3x^2+1)
=-9x^2+6x-1で
=-(3x-1)^2よりx=1/3で最大よりf≦2/9(x=y=z=1/3)

比較して1/4で最大(x=1/2,y=0,z=1/2)(並び替え略)

416:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:35:36
2007!!+2008!!は2009で割り切れるか？

417:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:44:40
2009=7^2*41で
2007!!は
7と41と21とかで
2008!!は
14と28と82とかあるし割りきれる
二重階乗の定義が覚束ないから意味不明かもしれんのでスルーしてくれ

418:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:45:17
>>416
2007!!は41、49で割り切れる
2008!!は82、98で割り切れる

ちょっとレベル低すぎ

419:１３２人目の素数さん
09/09/05 03:01:49
2009=x^2+y^2を満たす自然数組(x,y)を全て求めよ

420:１３２人目の素数さん
09/09/05 11:16:50
>>419
これも2009=7^2*41を使う。41=4^2+5^2だから、
(x,y)=(4*7,5*7)=(28,35)と順番を入れ替えた(x,y)=(35,28)が解であることがわかる。

あとは上記以外の解がないことを示せばよい。まず、
(☆) x^2+y^2=2009のとき、x,yはともに7の倍数である
ことを証明する。

いまx=7m+k (mは0以上の整数,kは0≦k≦6の整数)とおくと、
x^2=49m^2+14mk+k^2 =7(7m^2+2mk)+ k^2だから
x^2を7で割った余りは、k^2を7で割った余りに等しく、
それはk=0,1,2,3,4,5,6に対してそれぞれ0,1,4,2,4,1である。
y^2についても、7で割った余りは0,1,2,4のいずれかであると言える。
ここで、(0,1,2,4)の中から重複を許して2つ選び、その和が7で
割り切れるのは0+0=0だけだから、x,yはともに7の倍数である。

すると、x=7m, y=7nとして、
x^2+y^2=2009よりm^2+n^2=41となり、
この自然数解が(m,n)=(4,5),(5,4)のみであることは
m=1,2,3,4,5,6を代入すれば直ちに分かる。

421:１３２人目の素数さん
09/09/05 13:13:52
>>420
正解です
D:x^p+y^p=1,x≧0,y≧0
のなす領域の面積をpを用いて求めよ

422:１３２人目の素数さん
09/09/05 13:18:28
>>421
誤爆ミス

423:１３２人目の素数さん
09/09/05 14:36:14
>>415
よくできました(･∀･)

424:１３２人目の素数さん
09/09/05 23:18:07
>>421
　x = t^(1/p),　
　y = (1-t)^(1/p),

　S(D) = ∫[0,1] y･dx
　= (1/p)∫[0,1] (1-t)^(1/p) t^(1/p -1) dt
　= (1/p)Ｂ(1 + 1/p, 1/p)
　= (1/p)Γ(1 + 1/p)Γ(1/p)/Γ(1 + 2/p)
　= Γ(1 + 1/p)^2 / Γ(1 + 2/p),

425:１３２人目の素数さん
09/09/05 23:39:22
>>412
はどの問題に対するレスですか？

426:１３２人目の素数さん
09/09/06 01:18:42
>>424
出題ミスのはずだったがガンマ関数とか出せば解けるのか…勉強不足でよく知らないですが

【問】
一辺1の正三角形ABCの内部に点Pをとる
この時AP,BP,CPの長さに等しい3辺をもつ三角形が作れるためのPの領域を求めよ

427:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:37:57
>>426
ミス
内部→内部,周上,外部のいずれか

428:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:44:43
Ｚ会の過去問乙

429:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:53:43
>>426
Ｚ会に通報します．

430:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:56:07
パクり問題持ってくる人大杉
オリジナリティのある良問を頼むよ

431:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:11:29
>>428
まじで？
オリジナルのつもりだったけど既出なんだな

432:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:31:22
308の改題
y=tanθx上を速さvでy軸正方向へ動く点Pを中心にもつ半径rの円Cと
長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分Lを考える
うまく円C,線分Lの初期位置を設定することで円Cとx軸の交点が常に線分Lに含まれるためのrの最大値とその時のcosθの値を求めよただしvは定数である

433:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:35:30
>>432
ただし円Cの初期位置のy座標は-r以下とする

434:１３２人目の素数さん
09/09/06 17:14:41
a,bは共に実数でa>0、b>0を満たすものとする。
点Ｐ(a,b)を通り、傾きが負である直線のx軸とy軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値をa,bを用いて表せ。

435:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:17:36
>>434
とりあえず傾きを-k(k>0)としてまともに計算すると
Q(a+b/k,0), R(0,ka+b)でQR^2 = a^2k^2 + 2abk + (a^2+b^2) + 2ab/k + b^2/(k^2)

微妙に対称性が崩れるので、別の方法を考えます。

436:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:24:18
>>434

直線の傾きを -m とおく。(m>0)
　PQ = (b/m)√(1+m^2),
　PR = a･√(1+m^2),
　(PQ)^2 = (PQ + PR)^2 = (1+m^2)(a + b/m)^2
　= a^2 + a(am^2 + b/m + b/m) + b{am + am + b/(m^2)} + b^2
　≧ a^2 + 3a^(4/3)^2･b^(2/3) + 3a^(2/3)･b^(4/3) + b^2　　(←相加･相乗平均)
　= {a^(2/3)^2 + b^(2/3)}^3,
等号成立は m = (b/a)^(1/3) のとき。

437:436
09/09/06 21:31:10
>>434
訂正
　ＱＲ^2 = (PQ + PR)^2 = (1+k^2)(a + b/k)^2
　= a^2 + a(ak^2 + b/k + b/k) + b{ak + ak + b/(k^2)} + b^2
　= ･･･

438:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:36:53
>>434 Sorry, the problem is very famous.

The prpblem has been posed in the entrance exam of Nippon University and Meiji University.

Super Solution: Holder kills it in 1 minute.

439:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:37:08
原点をOとして、∠POQ=α, ∠OQP=θとおくと、△OPQに正弦定理を用いて
　QP=OPsinα/sinθ…①がいえる。
また、∠POR=90°-α, ∠ORQ=90°-θだから、△OPRに正弦定理を用いると
　RP=OPsin(90°-α)/sin(90°-θ)= OPcosα/cosθ…②である。

QP,RPは正なので、相加平均と相乗平均の関係から
　QR= QP+RP ≧ 2sqrt(QP・RP) = 2・OP・sqrt(sin2α/sin2θ)…③

…駄目だ。相加・相乗の等号成立(QP=RP,すなわちθ=α)と
sin2θを最大にする条件(θ=45°)が一致しない。

440:１３２人目の素数さん
09/09/06 23:22:43
【問】
OA=OB=1の時、△OABの内接円の半径の最大値を求めよ

441:１３２人目の素数さん
09/09/06 23:58:28
∠AOB=2θとおいて△OAB=r(1+cosθ)=sinθcosθ
r=(sinθcosθ)/(1+cosθ), r^2=(1-cos^2θ)cos^2θ/(1+cosθ)^2
cosθ=tとおいてr^2=(1-t)t^2/(1+t), 0<t<1
微分して増減表　計算が正しけりゃt=(√5-1)/2のとき最大値r=(3-√5)/{(2+2√5)^(1/2)}
よくて地方旧帝下位レベル

442:435=439
09/09/07 00:28:51
>>436-438
参りました。

>>440
∠AOB=2θ(0≦θ≦π/2)とすると△AOB = (1/2)sin2θ, またOA+OB+AB=2+2sinθだから、
内接円の半径f(θ)=sin2θ/(2+2sinθ)である。

f'(θ)={2cos2θ・(2+2sinθ)-sin2θ・2cosθ}/(2+2sinθ)^2
=-{(sinθ)^3+2(sinθ)^2-1}/(1+sinθ)^2
=-{(sinθ)^2+sinθ-1}/(1+sinθ)

f'(θ)=0となるのは(sinθ)^2+sinθ-1=0すなわち sinθ=(-1+sqrt(5))/2で、
ここでf'(θ)は正から負に転ずる。つまりこのθでf(θ)は極大かつ最大。

このときcosθ=sqrt(2+2sqrt(5))/2となり、これとsinθをf(θ)の式に代入して
計算するとf(θ)=(3-sqrt(5))sqrt(2sqrt(5)-2)/4が最大値である。

(θ≒38°で、内接円の半径の最大値は約0.300。これはθ=30°(正三角形)のときの
sqrt(3)/6≒0.289やθ=45°(直角二等辺三角形)のときの(2-sqrt(2))/2≒0.293よりも
大きいことが確かめられる。)

443:435=439
09/09/07 00:36:39
>>441
負けました。三角関数のまま微分したのが時間ロスの原因か…。
ともあれ、今回もどうせ正三角形が答えだろうと思って計算したら
違ったので驚きました。

444:435=439
09/09/07 00:52:09
ではこちらも1問。非常に易しいですが、答えは意外なものになると思います。

(問題) 周の長さが一定の三角形のうち面積が最大のものは、正三角形です。
では、周の長さが一定の扇形で、面積が最大になるのは、中心角がいくらの
ときでしょうか。
　正三角形に近い扇形、つまり中心角がπ/3前後だろうと予想するかもしれませんが、
正解はこれとかけ離れています。

445:１３２人目の素数さん
09/09/07 00:56:25
これは、1985 中央大理工の問題です

446:１３２人目の素数さん
09/09/07 01:24:47
これも, 有名問題。中大, 防衛大に出題されている。

447:１３２人目の素数さん
09/09/07 01:46:11
>>441,442
正解です
本来下の問題を予定してたんですが結構しんどいので時間かかるかも

【問】
xy平面において
O(0,0),A(1,0),B(cosθ,sinθ)として、θを0＜θ＜2π(θ≠π)の範囲で動かした時にできる△OABの内心Iの軌跡と垂心Hの軌跡は線対称であることを示せ

448:１３２人目の素数さん
09/09/07 22:15:12
>>447
　便宜上 -π<θ<πとする。
　BからOAに下ろした垂線の足はK(cosθ,0)
　HはBKと半直線 y = tan(θ/2)･x の交点だから、
　OH = |cosθ|/cos(θ/2),
これと x= OH･cos(θ/2), y = OH･sin(θ/2) から垂心H(x,y)の軌跡は
　y = σx√{(1-x)/(1+x)},　σ = Sgn(θ),

　OI + |y| = OI{1 + |sin(θ/2)|} = cos(θ/2)　だから、
　OI = cos(θ/2)/{1+sin(θ/2)},
これと x= OI･cos(θ/2), y = OI･sin(θ/2) から内心I(x,y)の軌跡は
　y= σ(1-x)√{x/(2-x)},　σ = Sgn(θ),

これらは x ⇔ 1-x により入れ替わるから、直線x=1/2 について線対称。

449:１３２人目の素数さん
09/09/07 22:53:14
>>447
蛇足だが、
外心をO' とすると OO'= AO',
△OO'A は2等辺3角形だから
　O' = (1/2, (1/2)tan(θ/2))
∴ 直線 x=1/2 は外心O'の軌跡でもある。

450:１３２人目の素数さん
09/09/07 23:15:09
3問目の出題

lim(n→∞)Σ(k=0→n)〔｛(-1)^k｝2^k/k！〕を求めよ

451:１３２人目の素数さん
09/09/07 23:21:13
整数a,b及び虚数単位iを用いて表せる全ての複素数a+biに対し
・a+bi=∑(k=0→n) C(k)*(i-1)^k
・全ての非負の整数kについて、C(k)の値は、0又は1と等しい
を同時に満たす数列{Cn}が必ず存在する事を証明せよ。

452:１３２人目の素数さん
09/09/08 21:19:39
〔434の類題〕

a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき △QRS の面積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。

>>450
　e^(-2)

453:１３２人目の素数さん
09/09/08 22:01:52
>>452 正解　
こんなにあっさり解かれるとは思わなかった

もう一問　こっちのがメンドイ

lim(n→∞)〔(n+log(n!)-log(n^n))/logn〕

454:１３２人目の素数さん
09/09/08 22:09:51
>>453
　1/2

　すたーりんぐデ１コロ
　log(n!) ～ (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) + 1/(12n) - ････

455:１３２人目の素数さん
09/09/09 06:38:40
糞みたいな問題ばかり出題するなよ

456:１３２人目の素数さん
09/09/09 08:42:31
5^x=x^5を満たす有理数解を全て求めよ。

457:１３２人目の素数さん
09/09/09 11:26:44
>>456
これは実質的に
・5^xが有理数になるような有理数xは整数に限られる
・xが6以上の整数のとき5^x＞x^5
の二つを証明する問題と見てok?

458:１３２人目の素数さん
09/09/09 12:32:05
m×nの格子状のマス目でできた長方形がある。この長方形の右上がりの対角線
の2頂点をP、Qとして、PからQまで格子に沿って至る最短経路の集合をΓとする
(Γの要素の個数は(m+n)!/m!n!)。Γの各要素γに対し、m×nの長方形の内側で
経路γより左上の領域の面積をA(γ)で表す。
このとき
　　　　∑_{γ∈Γ} x^A(γ) ＝ (x)_(m+n)/((x)_m・(x)_n)

が成り立つことを証明せよ。ただし、
　　
　　　　(x)_k ＝ (x - 1)(x^2 - 1)・・・(x^k - 1)　　　とする。

459:１３２人目の素数さん
09/09/09 15:46:07
一辺の長さが1の正三角形Tが、
一辺の長さが1の正方形の周及び内部を動くとき、
Tの周(辺及び頂点)が動きうる領域の面積を求めよ。

460:１３２人目の素数さん
09/09/09 16:48:21
１

461:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:38:46
>>456
x<0の時正の数=負の数で矛盾、x=0の時1=0で矛盾、よってx>0
有理数解をx=p/q(p,qは互いに素である自然数）とおくと
5^(p/q)=p^5/q^5
5^p=(p^5q)/(q^5q)
p^5q=5^p・q^5q
p,qは自然数だから右辺は5の倍数、左辺が5の倍数になるにはpが5を素因数に持つことが必要なのでp=r・5^nとおける(rは5の倍数でなく、nは自然数）
左辺に代入して5^(5qn)・r^(5q)=5^p・q^5q…（１）
今pとqは互いに素でpが5の倍数だからqは5を素因数に持たない。
よってに（１）においてr^(5q)はrが5を素因数に持たないから5の倍数でないし、q^5qもqが5を素因数に持たないから5の倍数でない
（１）で5の指数を比較して5qn=p p/q=x=5n
よってx=5,10,15,…

ここまでで半分くらいかね、後は10,15…が不適なことを示せばよいが…。

462:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:46:58
>>461の続き
両辺の自然対数を取って整理して log5/5=logx/xを考えて
y=logx/xのグラフとy=log5/5の交点を考える
２つのグラフは1<x<eでただ１つの解、e<xでただ１つの解を持つことが分かる
x=5が明らかに解だからe<xで持っている一つの解は、5
x=5以外のe<xの解は存在しない（交点がただ一つだから）のでx=5が定まればx=10,15…は全て不適

463:１３２人目の素数さん
09/09/09 21:56:17
5^x と x^5 のグラフから x が実数であれば 5^x = x^5 の交点は一点のみ
特に x = 5 は 5^x = x^5 を満たす
従って 5^x = x^5 を満たす有理数は x = 5 のみ

464:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:02:18
>>463
０点
x≒1.765でも交わる

465:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:07:00
>>463
出鱈目。

466:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:11:19
1.764921914525775882758723590911459101370103259294683808995374687821107721
00333954881401245241408917321376161507472704651465269967385415685401702516
28495329481094119289108128469998154461265068926800052611274579797681972213
12634608768395157996642156026636721864196751650122343143472447144146913303
73918502827891292987144557860123985265300771745815642023767530553835914900
54229055163682555674961682680591076061554853249876417007392791328889634257
18085475933402074557781713000087587410041482534764949835840330894237599785
04350487524054229790516943054767013692517404741930222592947426633313278983
45206525516639867469665798523484311096848508496845001985079565208699315796
28379806655951398683059702049723511534793137370101503381640304489402293572
56318573302313642339128754911216787448274026997646059915214338725866192370
38617044751446527774252958341317408231587777969331131870158867670919016180
60569355376039600818749406572366184585496459568509269478610494515817885972
467265040764801028627430106480002504630569880500955048655884936

467:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:18:13
461,462に463あわせたら答えか

468:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:21:57
>>463 正解　です

469:１３２人目の素数さん
09/09/09 22:29:06
a>2/5のとき、方程式x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0は少なくとも1つ虚数解をもつことを示せ。

470:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:03:45
f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0の5解が全て実数であるのはy=f(x)のグラフが極値を４つ持ち、xが小さい方から順に極値が正負正負となるときだけである
f'=5x^4+4x^3+3ax^2+2bx+c,f''=20x^3+12x^2+6ax+2b,f'''=60x^2+24x+6a
f'''=0の判別式D/4=4-10a<0つまりa>2/5のとき、f'''は全てのxに対して正だから
つまりf''は単調増加関数である
f''が単調増加関数だから,f''=0はただ一つの解を持ちその解をx=αとするとx<αでf''<0,α<xで0<f''である
つまりf'はx=αで１つだけ極小値を持つ関数である
（１）y=f'のグラフがx軸と２点で交わるとき
f'の符号は正、負、正と変わるからf(x)は極大値→極小値という風に極値を２つのみもつ関数である
（２）y=f'のグラフがx軸との共有点が１点以下の時
f'は常に負にならないからf(x)は単調増加関数である
（１）、（２）共にf(x)が山を４つもったグラフにはならないのでf(x)=0は少なくとも一つ虚数解を持つ

471:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:38:51
>>461
(q^(5q))*5^p = p^(5q) の両辺の q で割った余りを考えれば p^5q は q の倍数
p と q は互いに素だから q = 1 、では駄目なの？

472:１３２人目の素数さん
09/09/09 23:56:52
>>470
じゅうかいの時があるだろ

473:１３２人目の素数さん
09/09/10 00:16:33
長さ2の線分ＰＱが次の2条件を満たして動く。
☆点Ｐはx=1上に存在する。
☆線分ＰＱは原点を通る。
このとき、線分ＰＱの通りうる領域の面積を求めよ。

474:413
09/09/10 09:13:09
>>413
をだれもといてないのは、簡単すぎるからなのか、計算がめんどいからなのか・・・。

硬貨の種類をもっとすくなくすればよかったかしらん。

475:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:15:29
よくある問題でオリジナリティーがまるでないから。

476:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:26:59
>>>473

※以下、答えではない。

====
☆点Ｐはx=1上に存在する。→ P=(1,p)とおく（pは変数）
●「長さ2の線分ＰＱ」→Q=(1 + 2Cosα,p + 2+Sinα)とおく
（αは変数）
☆線分ＰＱは原点を通る。→・・・？？？
線分PQ上の点をA=(a,b)とおくと、min(1,1 + 2Cosα)<=a<=max(1,1 + 2Cosα)

と、機械的におきかえてみて、a,b以外の変数を消しまくって・・・
と考えたけど、
＜☆線分ＰＱは原点を通る。＞の表し方が・・・、
いろいろ表し方あるけど、途中でつまる。

477:１３２人目の素数さん
09/09/10 09:30:31
>>413

>>475
あぁ、いわれてみれば・・・。
「東大（京大？）っぽい」とは思ったんだけど、文系数学の易問レベルか。
すこしカスタマイズすれば、多少は難しくなるかもだけど。

478:476
09/09/10 11:10:17

>>473

内分点なんて、単語すら忘れてた・・・。力尽きたので、一行だけ。。。。
＜「点P」がx=1上に存在する＞は、＜点Ｐがx + y = √2上に存在する＞と置き換えたほうが、対称性により計算が楽になると思われ。。。
（点Ｐが直線上を動き、OPの最短距離が１だから）

479:１３２人目の素数さん
09/09/10 11:50:40
>>413と似てるけど問題内容は違うの問題です
【問】
1円玉～n円玉のコインが十分な枚数あり、このうちから何枚か使ってちょうどn円を支払うときのコインの組み合わせは何通りあるか？

480:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:00:00
>>469

最初だけ。

f(x)=x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d とおくと、グラフより、f(x)=0は少なくとも１つの実数解を持つのでその実数解をpとおく。

f(p)=p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp+d=0により、d = - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp )
これを、f(x)=0に代入すると、
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx - ( p^5+p^4+ap^3+bp^2+cp ) =0
変形すると、
(x^5-p^5) + (x^4-p^4) +a(x^3-p^3) +b(x^2-p^2) +c(x-p)=0
さらに変形。
//======================
(x-p) *
{
　　　 (x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
　　　 (x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
　　　c
}
　= 0

よって、g(x) =
　　　 (x^4 + p * x^3 + p^2 * x^2 + p^3 * x + p^4) +
　　　 (x^3 + p * x^2 + p^2 * x + p^3) +
a * (x^2 + p*x + p^2) +
b * (x + p) +
　　　c
とおくと、g(x) = 0 が少なくとも１つ虚数解をもつことをしめせばいい。・・・
ってやってみたんだけど、無意味？

481:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:02:55
>>479

＞n円玉　？？？

２円玉？
１００００円記念硬貨？

482:１３２人目の素数さん
09/09/10 12:21:37
>>481
イエス

483:あぼーん
あぼーん
あぼーん

484:１３２人目の素数さん
09/09/10 21:40:32
cos(α)=1/√(1+p^2)、sin(α)=p/√(1+p^2)で
OQ↑=OP↑+PQ↑=(1-2/√(1+p^2),　p-2p/√(1+p^2))
か？

485:１３２人目の素数さん
09/09/11 22:10:40
正三角形8枚、正方形6枚から構成される多面体を考える。
この多面体について、以下を答えよ。

（１）辺の数はいくつか？
（２）頂点の数はいくつか？
（３）
この多面体の頂点の１つを点Pとする。
この多面体の辺上を移動するアリがいる。
点Pを出発点とし、途中で同じ点を通ることなく、
再度点Pへ戻るようにアリが動くとき、
このアリの動き方は何通りあるか？

486:１３２人目の素数さん
09/09/11 22:12:15
>>454 スターリング近似なんぞ受験生でできるやついるの？

もっと高校生レベルの解き方で解いて欲しかった・・・

487:１３２人目の素数さん
09/09/12 04:27:40
〔434の類題〕

a,b,c >0 とする。
点P (a,b,c)を通り "傾きが負" である平面の、x軸,y軸,z軸との交点をそれぞれQ,R,Sとする。
このとき 4面体O-QRS の体積の最小値をa,b,cを用いて表わせ。

>>453, 486
　それは確かにメンドイな…

488:１３２人目の素数さん
09/09/12 04:48:42
>>487

その平面に垂直な向き（法線）を (L,m,n) とすると、
　Lx + my + nz = La + mb + nc = h,
ここに、h は原点Oからこの平面に下ろした垂線の長さ。
ところで
　Q(h/L,0,0)　R(0,h/m,0)　S(0,0,h/n)
だから O-QRS の体積は
　(h^3)/(6Lmn) = (La+mb+nc)^3 /(6Lmn) ≧ 27abcLmn /(6Lmn) = (9/2)abc,　　　　(←相加･相乗平均)
等号成立は L = bc/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, m = ca/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2}, n = ab/√{(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2} のとき。
　x/a + y/b + z/c = 3,

489:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:06:02
>>459
Tの頂点から対辺までの距離は 1/√3,

□の４頂点のいずれから見ても
　距離が 1/√3 より小さく策、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
　ただし、４頂点からの距離が 1/√3 より短い部分は、４頂角の中央30ﾟの内側部分を含んでいる。

４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂角の中央30ﾟの内側の部分は、
　(±(1/2){1 - (1/√3)}, 0)
　(±{1-(√3)/2}, ±{1-(√3)/2})
　(0, ±(1/2){1 - (1/√3)})
の8頂点をもつ等辺8角形で、面積は 3 - (5/√3) ≒ 0.11325…
□からこれを除いた部分の面積は (5/√3) -2 ≒ 0.88675…

490:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:33:10
>>459
Tの頂点から対辺までの距離は (√3)/2,

□の４頂点のいずれから見ても
　距離が (√3)/2 より短かく、頂角の中央30ﾟの内側の部分
にはTの辺が来ない。
　ただし、４頂角の中央30ﾟの内側部分は、４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分を含んでいる。

４頂点を (±1/2, ±1/2) とする。
４頂点からの距離が (√3)/2 より短い部分は、
　S = (3/2)(β-α) -√2 +1 = 0.0955418…
　α = arctan(1/√2) = 0.6154797…
　β = arctan(　√2) = 0.9553166…
　
□からこれを除いた部分の面積は 0.904458･…

491:１３２人目の素数さん
09/09/12 09:58:52
誰か>>380解いて

492:１３２人目の素数さん
09/09/12 19:04:39
初投稿です。簡単ですかね。

5^93の上2桁を求めよ。常用対数log2=0.3010を用いてよい。

493:１３２人目の素数さん
09/09/12 19:53:46
400以下まとめ(ミスあるかも)
>>17 >>29 >>54 >>61 >>76 >>79 >>123 >>144 >>187 >>190 >>191 >>216 >>236 >>261 >>329 >>342 >>358 >>370 >>378 >>380 >>384 >>398

494:１３２人目の素数さん
09/09/13 00:19:33
>>492
底は全部10
log(5^93)=93(log10-log2)=93(1-0.301)=65.007　
よって5^93=10^65.007=10^65・10^0.007
10^65の部分は5^93の上二桁に影響を及ぼさない（0をつける働きしかしない）ので
5^93の上二桁は10^0.007の上二桁
log1=0,log1.024=log(2^10)/(10^3)=10log2-3=0.01
0<0.007<0.01　→　log1<0.007<log1.024
0.007=log1.0…だから、10^0.007=1.0…
5^93の上二桁は10…答
類題経験があれば上1桁は余裕だが、log1.024を考えつかないと上２桁は求まらない

495:１３２人目の素数さん
09/09/13 05:20:00
0.01165/0.30095<1/10.
2^(1/10)<1+1/10.

496:１３２人目の素数さん
09/09/13 19:16:40
ｘ＝f(t)，y＝g(t) (a≦t≦b) で表わされる曲線を C とする．
ただし，f(t) 及び g(t) は微分可能で，
(f(a)，g(a))＝(f(b)，g(b)) で，さらに，任意の a≦s＜t≦b なる s，t に対して
(f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
このとき，曲線 C で囲まれる図形の面積 S は
S＝|∫g(t) f’(t) dt | となる事を示せ．

497:496
09/09/13 19:18:18
× (f(s)，g(s))＝(f(t)，g(t)) が成り立つとする．
○ (f(s)，g(s))≠(f(t)，g(t)) が成り立つとする．

498:492
09/09/13 19:52:11
>>494
完璧です。log1.024が考えついてもらえてよかったです。

499:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:17:45
完璧？
log2=0.30095…とかだとlog(5^93)>65.01になるのに？

500:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:41:27
500ゲト
【問】
(1)
y=sinxを原点を中心に45゜回転させたグラフはyがxの関数であることを示せ
(2)(1)のグラフをy=f(x),A_k=|f(k)-ax|としてlim(n→∞)Σ[k=1,n]A_k/nの最小値とその時のaを求めよ

501:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:44:35
Nは正の偶数とする。xの整式f(x)は次の式を満たす
f(x)-f(x-1)=x^(N-1)
f(0)=0
(1)正の整数nについて、次の式が成り立つことを証明せよ
f(-n)=0^(N-1) +1^(N-1)+……+(n-1)^(N-1)

(2)y=f(x)のグラフは直線x=-1/2に関して対称であることを示せ

(3)u=x(x+1)とする。f(x)はuの整式として表せることを示せ

(1)(2)はできたんですけど、(3)ができません
助けていただけないでしょうか

502:492
09/09/13 20:45:15
>>499
log2=0.3010としてよいと問題で書きましたが、log2は、log2=0.3010299…と続きます。
仮にlog2=0.3010299とみなすと、log5=1-0.3010299=0.6989701となり、
93*log5=65.0042193(<65.01)となり、結局正しい値が求まるでしょう。

503:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:47:14
「log2=0.3010としてよい」とは書いてない。
後付け乙。

504:１３２人目の素数さん
09/09/13 20:59:23
>>500
A_k=|f(k)-ax| ?

505:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:08:50
>>504
あっ
A_k=|f(k)-ax|→A_k=|f(k)-ak|で

506:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:14:34
>>502
四捨五入して0.3010になるのは0.30095から0.30105まで。

507:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:28:45
>>506は釣り

508:１３２人目の素数さん
09/09/13 21:35:13
>>500
aの値によっては発散するんじゃないの？

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