★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問

★東大入試作問者にな ..

263:１３２人目の素数さん
09/08/10 03:31:27
nは自然数とする
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ|
とΣ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
の大小を比較せよ

264:１３２人目の素数さん
09/08/10 08:32:02
>>263
n≧6でn！は360の倍数なのでsin(n！)゜=1-cos(n！)゜=0
だからn=1,2,3,4,5だけ考えたらいいだけだな
出かけるから細かく考える時間がないが後者の方が大きいと思う

265:１３２人目の素数さん
09/08/10 11:39:47
ひろいもの

1辺の長さが1の正四面体O-ABCがある．この正四面体の辺上を蟻が秒速1で移動し続ける．蟻は分岐点である頂点に辿り着くと，
辿って来たばかりの辺を除いて2つの方向から等確率で1つの方向を選択し，止まる事なく移動し続ける．辺上で進行方向を変える事はない．
頂点Oを出発したn秒後(n=3,4,…)に蟻が頂点Oにいる確率P[n]を求めよ．

266:１３２人目の素数さん
09/08/10 19:36:25
>>265
{P(n)}がn≧3で定義される理由がわからんが
P(0)から定義されるとして
P(0)=1,P(1)=0
P(n+2)={1-P(n+1)-P(n)}/2
になるのかな？
この漸化式から一般項求まる？

267:１３２人目の素数さん
09/08/10 21:25:41
\int^{1}_{-1} x/(2x+4) dx > -0.1を証明せよ。

268:１３２人目の素数さん
09/08/11 01:15:59
！

269:１３２人目の素数さん
09/08/11 04:30:12
どうせなら\frac あるいは \dfracで書けばよかったのに

270:267
09/08/11 08:12:03
追加: e=2.718...であることは証明なしに用いてもよい。

271:１３２人目の素数さん
09/08/11 19:56:18
>>265
　(A→O) +（B→O) + (C→O) = P_n,
　(O→A) + (O→B) + (O→C) = X_n,
　(A⇔B) + (B⇔C) + (C⇔A) = Y_n,
とおくと、
　P_(n+1) = (1/2)Y_n,
　X_(n+1) = P_n,
　Y_(n+1) = X_n + (1/2)Y_n,
　P_n + X_n + Y_n = 1,
これより XとYを消して
　P_(n+2) = {1 - P_(n+1) - P_n}/2,

272:１３２人目の素数さん
09/08/11 19:57:59
>>266
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根は -(1/√2)exp(±iα),
　P(n) = 1/4 + (-1/√2)^n･q(n),
とおくと、
　q_(n+2) = 2cosα･q_(n+1) - q_n,　cosα = 1/√8,
q_n は cos(nα)、sin(nα) の一次式と予測される。
　q_0 =　3/4,
　q_1 =　1/√8,
　q_2 = -1/2,
　q_3 = -1/√2,
　q_4 =　0,
よって
　q_n = (2/√7)sin((n-4)α),　sinα = √(7/8),

Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 数学・算数質問コーナー(制限版) [ No.034-035]

273:272
09/08/11 20:03:34
(修正)
特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根は
　{-1 ±(√7)i}/4 = -(1/√2)exp(±iα),　cosα = 1/√8,

274:１３２人目の素数さん
09/08/12 03:25:22
>>263だけど
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))
＞5√2*sin48
を証明せよ

に改題します(>>263より大雑把な)
ちなみに>>264の予想は正解です

275:１３２人目の素数さん
09/08/12 04:54:00
>>267,270
I = ∫[-1,1] x/(2x+4) dx = ∫[-1,1] {(1/2) - 1/(x+2)}dx
　= [(x/2) - log(x+2)](x=-1,1)
　= 1 - log(3),

x>0 のとき　e^x > 1 + x + (1/2)x^2　より
　e^0.1 > 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105
　e^1.1 = e*e^0.1 > 2.718*1.105 > 3.003
　1.1 > log(3)
　I > -0.1

276:267
09/08/12 06:56:13
>>275
正解です。東大の1999年理系6番の類題でした。

277:１３２人目の素数さん
09/08/12 19:08:56
>>263
　前者 = 1.4296424132676768103829574760386･･･
　後者 = 1.5926941248136387984119254841763･･･
　差　 = 0.1630517115459619880289680081377･･･

>> 274
　左辺 = 4.8369482884540380119710319918623･･･
　右辺 = 5.2548274549875885325330534402426･･･

278:１３２人目の素数さん
09/08/12 23:40:13
任意の実数xについて
sin(cosx)≦sin(cos(sinx))≦cos(sinx)を示せv

279:１３２人目の素数さん
09/08/13 01:53:03
sin(cosx)≦sin(cos(sinx))
⇔cosx≦cos(sinx) (∵y=sinxは[-1, 1]で増加関数)
両辺倶に偶関数で, 2πを周期に持ち, 更に[π/2, 3π/2]で
cosx≦0≦cos(sinx)から[0,π/2]で考えればよい。
このときy=cosxは減少関数とからsinx≦x
∴cosx≦cos(sinx)

sin(cos(sinx))≦cos(sinx)
⇔t=cos(sinx), sint≦t
0≦t≦1(∵-1≦sinx≦1)なのでsint≦tは成立

280:１３２人目の素数さん
09/08/13 14:11:51
>>277
数値計算して何になる?入試で電卓は使えないぞ

>>263
n=1,2,3,4,5でsin(n!)ﾟ>0,1-cos(n!)ﾟ>0より
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ| <Σ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
⇔Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)<5

y=sinxﾟ,y=cosxﾟは(0,90)で上に凸から、ジェンセンの不等式より
(sin1ﾟ+sin2ﾟ+sin6ﾟ+sin24ﾟ)/4<sin(33/4)ﾟ
(cos1ﾟ+cos2ﾟ+cos6ﾟ+cos24ﾟ)/4<cos(33/4)ﾟ

Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)
<4sin(33/4)ﾟ+4cos(33/4)ﾟ+sin120ﾟ+cos120ﾟ
=4√(1+sin(33/2))+√3/2-1/2 (∵(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x)
<4√(1+sin18ﾟ)+√3/2-1/2
=4√(1+(√5-1)/4)+√3/2-1/2
=√10+√2+√3/2-1/2<3.17+1.42+1.74/2-1/2=4.96<5

>>274
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))<5√2*sin48だな
sin48ﾟ>sin45ﾟ=1/√2より明らか

sin48ﾟがどこから出てきたのか教えてほしいな。興味がある

281:狂介
09/08/13 22:24:20
>>280
274へのレスについてだけど、どういう意味？
sin(i)+cos(i)≦1とはならないけど

282:１３２人目の素数さん
09/08/13 22:37:52
>>281
せめて280を全部読んでからレスしようよ・・・

283:１３２人目の素数さん
09/08/14 02:29:05
>>279 >>280
正解です
向きの訂正ありがとうございます
sin48は
合成して
√2(sin46+sin47+sin51+sin69+sin15)＜5√2sin48を示すのは
左辺＜√2(3sin48+2sin42)(ジェンセン)
=√2(3sin48+2cos48)
=√2sin48(3+2/tan48)
＜5√2sin48(∵tan48＞1)
出題後にこっちの方が偶然まとまってくれたのでこっちも出してみました

284:１３２人目の素数さん
09/08/14 03:04:00
f1_(x)=f(x)=sin(cosx)
fn+1_(x)=f(fn_(x))とおく。
この時lim(n→∞)f_n((sinx))は定数関数であることを示せ

明日東大模試だし、早めに寝るか…

285:狂介
09/08/14 08:07:26
>>282
すいませんでした

>>284
f_n(x)は[sin(-1),sin(1)]にある。
g(x)=sin(cos(x))とすると、|g '(x)|≦r<1 （[sin(-1),sin(1)]について）

平均値の定理を使った定石より、
|f_n(x)-a|≦r|f_(n-1)(x)-a|≦…≦r^(n-1)|f_1(x)-a|
(a=g(a))

よってlim(n→∞)f_n(x)=a

286:280
09/08/14 23:42:15
>>283
すごくきれいに48ﾟが出てきたな、面白い。ただ、合成をつかって
√2(3sin48+2cos48)=√26sin(48+α)≦√26
とした方が強い評価ができていいと思う

a_k=p/(k^2+1)+q/(k^2+2)+r/(k^2+3)+s/(k^2+4)とおくと、
k=1,2,3,4でa_k=1/k^2となった。このとき、a_5を求めよ。

287:１３２人目の素数さん
09/08/15 09:03:10
↑パクリ問かよ

288:１３２人目の素数さん
09/08/15 11:13:41
>>286 下

通分すると、分母は (k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4), 分子は k^2 の3次式だから、
a_k = {(-1/3)(k^2 -4)(k^2 -9)(k^2 -16)a_1 + (28/3)(k^2 -1)(k^2 -9)(k^2 -16)a_2 + (-429/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -16)a_3 + (646/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -9)a_4}/{(k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4)}
これに a_1 = 1,　a_2 = 1/4,　a_3 = 1/9,　a_4 = 1/16 を代入する。
　a_5 = 15/377,

289:１３２人目の素数さん
09/08/15 18:01:28
次の性質を満たす正の実数 p がある．

任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p－1－1/1!－1/2!－．．．－1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．

このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．

290:１３２人目の素数さん
09/08/18 05:51:03

筑波大＞＞東大が証明されました！

筑波大が世界記録を更新＝２兆５０００億けた東大超え
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)

291:１３２人目の素数さん
09/08/19 00:39:38
>>284
分からない

292:１３２人目の素数さん
09/08/19 17:11:16
>>291

>>286

293:１３２人目の素数さん
09/08/19 17:29:03
>>289
q=1 ならできた。

294:284とか
09/08/19 19:06:00
fn_(x)の最大値をM_n最小値をm_nとすると
sincosx(m_n≦x≦M_n)について
0≦m_n≦M_n≦1に注意して
m_n≦m_(n+1),M_(n+1)≦M_nを示す
M_(n+1)=sincosm_n…①
m_(n+1)=sincosM_n…②で
M_(n+1)≦M_n
⇔sincosm_n≦sincosm_(n-1)
⇔m_n≧m_(n-1)
⇔sincosM_(n-1)≧sincosM_(n-2)
⇔M_(n-1)≦M_(n-2)より
M_1≧M_2≧M_3かつm_1≦m_2≦m_3を示せば十分で
M_1=sin1,M_2=sin1,M_3=sincossincossin1とm_1=0,m_2=sincossin1,m_3=sincossin1であるから示される。これと①,②より
M_(n+2)＜M_nとm_(n+2)＞m_nなので
M_nは大きくみて単調減少
m_nは大きくみて単調増加
またm_n≦M_nより十分大きなnに対してm_n=M_nである
以上よりfn(x)は最大値=最小値となり定数関数となる
よってxにsinxを入れてfn(sinx)も定数である
(やや周りくどいですが…)
補足でcos(sin(cos…sinx))=cos(sin(cos…cosx))＞sin(cos(sin…sinx))=sin(cos(sin…cosx))です

295:１３２人目の素数さん
09/08/19 19:07:12
>>289
ギブ

296:１３２人目の素数さん
09/08/19 21:17:45
>>293

p=e のとき
　0 < a_n = ∑[k=0,∞) (n+1)!/(n+1+k)!
　　= ∑[k=0,∞) (n+1)!/[(n+1)!(n+2)^k]
　　< ∑[k=0,∞) 1/[(n+2)^k)]
　　= 1/{1 - 1/(n+2)} = (n+2)/(n+1) ≦ 3/2,
p≠e ならば発散する。

いまeが有理数だと仮定すると e=k/n (k,nは自然数)
　n!e は自然数。
　 a_n/(n+1) も自然数。ところが
　0 < a_n/(n+1) < 3/(2(n+1)) < 1
となって矛盾。
∴ eは無理数。
∴ e^(1/m) も無理数。

297:１３２人目の素数さん
09/08/19 23:14:08
【問】
cos(x)=sin(1/x)を満たすxは無理数であることを示せ
(ただしx≠0)

他のと比べたらかなり簡単

298:１３２人目の素数さん
09/08/20 05:35:52
>>296
N.G.

それならすぐ回答レスがついたと思われ
ネピアのマクローリン展開なのはすぐに気が付くだろうし。

> p^q は無理数 ← ∴ e^(1/m) も無理数。

仮にpを無理数である√2と仮定するならば
p^2 = 2 よって有利数となる。

よってeが代数的包体でない、すなわち超越数
であることを示さなければならない。

299:１３２人目の素数さん
09/08/20 07:30:53
>>298
素朴な疑問なんですが、eが超越数なら任意の自然数mについてe^mが無理数に
なるのは分かりますが、逆も成り立つんでしょうか？

300:１３２人目の素数さん
09/08/20 08:12:45
>>298
これはありなのか？
スレとして

301:１３２人目の素数さん
09/08/20 09:13:12
e^2が無理数はいけたかも。

302:301
09/08/20 11:12:19
(e^2 が無理数であることの証明)

仮定より,

1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)! ...①

また簡単な微分演算により，

x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...②

②において x＝1 とし，①と挟み撃ちより p＝e．
②において x＝2 とおくと，

1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)･e^2/(n+1)!...③

e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)･N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
③において n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j･N(m) をかけると，

j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)...④

ここで j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができる．
これは④に矛盾する．

# e^m (m≧3) の証明はできない...

303:１３２人目の素数さん
09/08/20 11:26:30
>>297
cos(π/2-x)＝sin x とか使って、和積の公式＋背理法で簡単じゃあるまいか？

304:１３２人目の素数さん
09/08/20 13:20:50
>>303
実際の入試問題ならこのレベルで十分なのが現実だな。

305:284とか
09/08/21 20:56:18
【問】
xy平面において、(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を動く半径rの円(以下自機)と間隔1で線分の長さ1のx軸上に無限に連なり、速さ1でx軸正方向へ流れるワインダーを考える
この時自機が上手くワインダーを通り抜けることで、自機がワインダーにぶつかる(ワインダーと自機が周を除いて共有点をもつ)ことなくワインダーを通りぬけることができた
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ

某有名STGやってる時に閃いた問題だけど結構しっかり考えないと解けないと思われ

306:１３２人目の素数さん
09/08/22 00:04:44
問題文が理解不能

307:１３２人目の素数さん
09/08/22 00:53:33
ワインダーってなんだよ

308:１３２人目の素数さん
09/08/22 01:06:08
ワインダーは語義ミスぽいし、改題
【問】
xy平面において
(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を中心が動く半径rの円Cおよびx軸上にあり、長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…―　―　―　―　―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ

309:１３２人目の素数さん
09/08/22 11:27:26
高校生のための質問スレ669に東大の問題を真似た問題を作ってみました。溶けないのですが…ｗ
問題のせるとマルチ指摘されるのでそちらでといてみてください

310:１３２人目の素数さん
09/08/22 11:36:00
あとこれもどうでしょう。なかなかの良問です

ｘ(1)～ｘ(n)がそれぞれ1～nまでの自然数の値を取るとする(n≧2)

この時|ｘ(1)―ｘ(2)|＋|ｘ(2)―ｘ(3)|＋……＋|ｘ(n-1)―ｘ(n)|＋|ｘ(n)―ｘ(1)|の最小値を求め、そのような値を取るｘ(1)～ｘ(n)の組み合わせの総数を求めよ。

311:１３２人目の素数さん
09/08/22 12:00:34
>>302
何で e^3 とかになると急に無理数性の証明が難しくなるんでしょうな。

312:１３２人目の素数さん
09/08/22 12:20:27
>>311
e^2の無理性の本質は、テーラー展開と、eの無理性に帰着できる所、にあるから上手くいく
e^3以降だとテーラー展開の形から良い有理数近似が得られないから上手くいかない

313:１３２人目の素数さん
09/08/22 13:48:29
最小値は数直線で考えれば2(n-1)だけど組み合わせは結構だるいな…

314:１３２人目の素数さん
09/08/22 13:52:46
>>310はますのりで見たような気がする。
ま、よくある問題ではあるが。

315:１３２人目の素数さん
09/08/22 14:35:40
一応これ自作なのですが全く同じなのですか？

あることに気付けばすぐできます

316:１３２人目の素数さん
09/08/22 14:40:01
連続レスすみません

z＝cosx（0≦x≦π/2）
z＝Siny（0≦y≦π/2）
y＝Sinx（0≦x≦π/2）
でかこまれる共通体積を求めよ。

こちらに載せます。

317:１３２人目の素数さん
09/08/22 14:48:56
Sinはsinってことでおｋ？

318:１３２人目の素数さん
09/08/22 14:50:09
おけです

319:１３２人目の素数さん
09/08/22 18:58:12
>>316
東大入試作問者になったつもりなら、文章にも気を配ろうよ。
　>でかこまれる共通体積
なんて日本語になってないだろ。

　

320:１３２人目の素数さん
09/08/22 19:30:00
0.

321:１３２人目の素数さん
09/08/22 20:00:34
共通体積なんてないよな？
時間返せハゲ

322:１３２人目の素数さん
09/08/23 08:17:49
場合の数は2^(n-1)かなあ

323:１３２人目の素数さん
09/08/23 09:06:51
>>322おしいですね

324:かえる
09/08/23 10:25:36
>>310
厳密な証明がうまく書けませんが、

１からｎまで上りきってから、ｎから１まで下るのが最小
最小値は２（ｎー１）

最小値をとる場合の数は、１のとり方でｎ通り
２～ｎ－１の（ｎ－２）個の点について、上りで通るか下りで通るかなので、２＾（ｎ－２）通り
よって、ｎ＊（２＾（ｎ－２））通り

325:かえる
09/08/23 10:32:43
324の上段をもう少し丁寧に書けば、

１とｎの間を往復しなければならないので、最小値が２（ｎ－１）未満にはなりえない。
ａ（ｋ）＝ｋとすれば、実際に２（ｎ－１）をとる。
よって、最小値は２（ｎ－１）

326:１３２人目の素数さん
09/08/23 11:03:42
正解です

327:１３２人目の素数さん
09/08/23 13:56:11
>>323
そうか？
むしろ京大より東大だろ。もっとも京大と違って亀田みたいにあからさまな元ヤンはいないが。
官庁の役人なんて社会に出たらやって行けないような奴ばっか。
もっとも奴らが社会に出る時すなわち天下りなわけでそんな社会人一年生が赦されてしまうのが学歴社会日本クオリティ。

328:１３２人目の素数さん
09/08/23 14:17:23
意味不明

329:１３２人目の素数さん
09/08/23 17:53:42
出します。

一辺が４の立方体が二つあり、両方の中心をxyz座標における原点に固定する。
これらを自由に回転させるとき、二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
ただし最大値の存在があるものとして答えてはいけない。

330:１３２人目の素数さん
09/08/23 17:57:25
もう一問。以前東大スレでだしたのですが正解者がいなかったので

正12面体があり、ある面をAとおく。Aを床とくっつける。ここで一回の操作で床にくっついた面に続く5面うちのどれかに転がすという操作をする。このとき、n回目にAが床にくっついている確率を求めよ。

331:１３２人目の素数さん
09/08/23 17:58:55
>>329
二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
と言われましても、どんだけ回転させても二つの立方体の体積は変わりませんぜ

332:かえる
09/08/23 19:32:06
>>330

ｎ回目の操作後
Ａが床についている確率a(n)
Ａの隣の５面のいずれかが床についている確率b(n)
Ａから２つ離れた５面のいずれかが床についている確率c(n)
Ａから３つ離れた面が床についている確率d(n)

a(n+1)=(1/5)b(n)
b(n+1)=a(n)+(2/5)b(n)+(2/5)c(n)
c(n+1)=(2/5)b(n)+(2/5)c(n)+d(n)
d(n+1)=(1/5)c(n)

333:かえる
09/08/23 19:42:35
>>332の続き

（第１式）＋（第２式）と
a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=1
a(0)=1,b(0)=c(0)=d(0)=0に注意して、
a(n)+d(n)=(1/6)+(5/6)(-1/5)^n

（第１式）－（第４式）に（第２式）－（第３式）を代入して、
a(n+2)-d(n+2)=(1/5)(a(n)-d(n))
ｎ偶数：a(n)-d(n)=(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)-d(n)=0

334:かえる
09/08/23 19:46:34
>>332の続き

よって、
ｎ偶数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n+(1/2)(1/5)^(n/2)
ｎ奇数：a(n)=(1/12)+(5/12)(-1/5)^n

・・・（答）

335:１３２人目の素数さん
09/08/23 21:06:12
>>308

336:１３２人目の素数さん
09/08/23 21:20:30
>>312
もう少し詳しくお願いします

337:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:03:39
>>302の証明で
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} は整数
って言ってるけど、これ本当？

338:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:15:06
>>337
自分で検証できないのか？

339:１３２人目の素数さん
09/08/23 23:31:13
1辺が1の正方形の中に，n個（n≧2）の点をどの2点もd以上離して置くときの
dの最大値を d_max(n) とする．

(1) d_max(2) を求めよ．
(2) d_max(3) を求めよ．
(3) d_max(4) を求めよ．

340:かえる
09/08/24 01:02:34
>>339
(1) 2^(1/2)
(2) 6^(1/2)-2^(1/2)
(3) 1

341:１３２人目の素数さん
09/08/24 01:36:09
>>340
答えの予測はつくが論証が難しい

342:１３２人目の素数さん
09/08/24 20:18:11
xyz空間において
z=0上に底面がx^2+y^2=1に接する正2n角形で頂点が(0,0,1)の正2n角錘Tとz=1上に底面がx^2+y^2=1に接する正n角形で頂点が(0,0,0)の正n角錘Uがある
この時、TとUの共通部分の体積のをV_nとする時、lim(n→∞)V_nのとりうる値の範囲を求めよ

343:１３２人目の素数さん
09/08/24 21:00:00
a(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n+(1/4)(1/r5)^n+(1/4)(-1/r5)^n.
b(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n+(r5/4)(1/r5)^n-(r5/4)(-1/r5)^n.
c(n)=5/12-(5/12)(-1/5)^n-(r5/4)(1/r5)^n+(r5/4)(-1/r5)^n.
d(n)=1/12+(5/12)(-1/5)^n-(1/4)(1/r5)^n-(1/4)(-1/r5)^n.

344:１３２人目の素数さん
09/08/24 22:20:02
(1) 常用対数 log7の値を小数第４位まで求めよ。ただし、第５位以降は切り捨てとする。
(2) 1以上の自然数Nと、その２進数表記が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第４位(第５位以降は切り捨て)まで求めるとき、乗算を可能な限り
　　少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。

345:かえる
09/08/25 08:04:40
>>344

（１）（７＾１００００の桁数－１）／１００００

（２）１００００乗を何回の乗算でできるかが問題
１００００＝2^12+2^10+2^9+2^8+2^4
より、１２＋１０＋９＋８＋４＝４３回・・・（答）

346:１３２人目の素数さん
09/08/25 22:07:18
誰か未解決問題まとめてくれ

347:344
09/08/26 02:58:31
>>345
えー。試験問題に誤りが見つかった為、(2)については受験者の回答を全て正解とし、
得点を加える処置といたします。
受験生の皆様に、お詫びいたします・・・。

・・・ごめん。(2)の問題を間違って、趣旨が変わってしまっていたようだ。
ついでに言うと、微妙に日本語が変だったみたい。（恥ずかしい）
折角回答してくれたのに、本当に申し訳ない。

訂正後の(2)は下記。

1以上の自然数Nとk(およびkの２進数表記)が与えられたとき、常用対数logN
の値を小数第k位(第k+1位以降は切り捨て)まで求めるものとする。
乗算を可能な限り少ない回数で済ませる場合、乗算は高々何回行えばよいか。

ちなみに、回答は訂正前の問題についてはほぼ正解に近いと思いますが、
途中経過を覚えておけるものとして考えると、17回になりますね。

348:１３２人目の素数さん
09/08/26 21:51:33
>>347
どちらにしろ出題ミスじゃね？
3×3=3+3+3のようにすりゃ高々0回じゃん

349:１３２人目の素数さん
09/08/26 23:29:18
【問】
aを実数として
lim(n→∞)Σ[k=1,n]1/k^aについて
(1)a≦1の時の発散を示せ
(2)a＞1の時1になるべく近いaで収束するものを求めよ
ただし、この問題の点数は10/a点とする(小数第一位切り上げ)

350:１３２人目の素数さん
09/08/27 00:19:01
>>349
（1）略（易）
（2）は∀a＞1で収束するから（易）、
a=100/99とすれば10/a=9.9で10点

351:１３２人目の素数さん
09/08/27 00:59:33
>>284
0<sincos1≦f_1(sinx)=sincos(sinx)≦sin1<1
0<a≦f_n(sinx)≦b<1と仮定すると0<sincosb≦f_(n+1)(sinx)=sincosf_n(sinx)≦sincosa<1
ここで平均値の定理からsincosb-sincosa<c(b-a) (|c|<1)
よって帰納的にf_n(x)は定数に収束する
ダメだろうか？

352:１３２人目の素数さん
09/08/28 17:32:06
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径ｎ、高さrでxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通体積を求めよ。

353:１３２人目の素数さん
09/08/28 21:13:30
だから「共通体積」って何だよ。

共通部分の体積

って書けよ。

354:１３２人目の素数さん
09/08/28 21:36:34
353(笑)

355:１３２人目の素数さん
09/08/28 22:28:49
円柱の中心ってなあに？
わかりません

356:１３２人目の素数さん
09/08/28 23:24:09
共通体積の意味は推し量れるけども
普通は共通部分の体積だよな
共通測度などという言い方がないように共通体積という言い方はない

357:352
09/08/29 00:32:03
共通体積→共通部分の体積でおねがいします
>>355円柱の中心とは立方体の中心というように考えてもらえればわかってもらえると思いますが
これも言葉足らずですかね？

358:１３２人目の素数さん
09/08/29 00:42:16
>>351
|(sincosx)'|＜1ってことですかぁ…見事ですね。私の解答よりも本解っぽいです

【問】
半円:y=√(1-x^2),y=0(-1≦x≦1)上のある2点に内接して隣同士互いに外接するn個の円の半径を中心のx座標が小さい順にr_k[k=1,n]とする時Σ[k=1,n]1/r_kの最小値を求めよ

>>308は座標設定があからさまに不親切なので改題します…

359:１３２人目の素数さん
09/08/29 01:04:18
>>351をちょっと訂正
(sincosx)´<1から|c|<1, |sincosb-sincosa|<c|b-a| となるcが存在

360:１３２人目の素数さん
09/08/29 02:30:21
0<c<1でよかったか

361:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/08/29 07:49:15
何だかビラソロ代数のセントラル・チャージみたいですな

362:１３２人目の素数さん
09/08/29 16:42:20
>>351
蛇足だが…
　r = sin(1) = 0.8414709848078965066525023216303…

　|f '(x)| = |cos(cos(x))･sin(x)| ≦ |sin(x)|
　|x| ≦ r　⇒　|f '(x)| ≦ sin(r) = c,
　f(a) = a とする。
n≧2 のとき、平均値の定理により次のξが存在。
　|f_n(x) - a| = |f(f_(n-1)(x)) - f(a)| = |f '(ξ)|･|f_(n-1)(x) - a|,
ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
　|ξ| ≦ r,
∴　|f '(ξ)| ≦ sin(r) = c,
∴　|f_n(x) - a| ≦ c･|f_(n-1)(x) - a| ≦ ･･･ ≦ c^(n-1)|f(x) - a| ≦ c^(n-1)|-sin(1)-a|,
∴　f_n(x) は一様収束。

　a = 0.69481969073078756557842007277519…
　cos(a) = 0.76816915673679597746208623955866…
　c = sin(r) = 0.74562414166555788889315107043038…

363:１３２人目の素数さん
09/08/29 22:23:09
ファッションとか音楽とかスポーツとか、その辺の話題で面接やりゃ２分で分かるだろ。頭の良さなんて。
わざわざ時間掛けて数学とかで試験やる意味がわからん。
ペーパーテストで勉強が得意かどうか調べたって頭の良さなんか全く分からないのに。
大学とかだと選ぶ側が雑談力ゼロのコミュ障だったりするからしょうがないけど。
だから日本の大卒って社会では全然使えないんだよ。

364:１３２人目の素数さん
09/08/29 22:28:10
>>363
釣りか？
それとも、そんな内容は低俗すぎて語るに足りないと面接で言えってことか？

365:１３２人目の素数さん
09/08/29 23:55:45
高学歴でも使えない奴は普通にいるが、それでも低学歴を
採用するより高学歴を採用したほうが統計的に見て
使える割合が高いと言う話を聞いたことがある

366:１３２人目の素数さん
09/08/30 01:24:33
>ξ は f_(n-1)(x) と a の中間にあるから
>　|ξ| ≦ r
どうなってるのか教えてくれ

367:362
09/08/30 17:43:36
>>366

n-1≧1 から f_(n-1)(x) ∈ [-r,r]
また、明らかに　a ∈ (-r,r)
　
∴　ξ ∈ (-r,r)

368:１３２人目の素数さん
09/08/31 01:54:21
>>367
なるほどありがとう
うまいなあ

369:１３２人目の素数さん
09/09/01 00:09:49
m,n(1<m<n)を正の整数とする.1からmnまでの自然数から、異なるn個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.

370:１３２人目の素数さん
09/09/01 00:26:46
f(x)=-(x-a)^2+b-aとおく.ただし、aは実数で、bは実数定数とする.0<a<b,f(0)<0のとき、y=f(x)とx軸によって囲まれる
部分の図形を、y軸を軸にして一回転させたときにできる立体の体積をV(a)とする.
aを上記の条件で動かすとき、V(a)の値に最大値が存在するための定数bの条件を求めよ.

371:「猫」∈社会の屑 ◆ghclfYsc82
09/09/01 09:14:06
>>363
確かに「そういう感じ」はありますね。
尤も「頭が良い」ってのがどういう意味かにも依りますよね。
まあ幾ら知識があって回転が速くてもダメな人はダメですわな。

そもそも：
「数学や理論物理が出来る人が頭がいい」
てな認識は大間違いで、そうでなくても頭がいい人は
世の中に沢山居る訳です。ソレを数学や物理の成績だけで
頭の良さを測るなんて愚の骨頂っていうか超馬鹿げてます
わな。

数学者ってのはどちらかと言うと「馬鹿の集団」てな
感じさえしますけどね。コレが物理学者だったらどう
なんでしょうかね。

まあアホな事を書きましたが。

372:１３２人目の素数さん
09/09/01 16:21:25
以上残飯の独り言でした

373:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/01 16:52:33
新しい名前をどうも有難う御座いました。
今後も独り言ででも活躍したいと思いますので、
どうか宜しく。

374:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:15:29
ざんぱんにむらがるうじむしどもめ

375:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:30:15
未解決問題多いな

376:１３２人目の素数さん
09/09/01 17:38:06
ざんぱんまん！

377:猫は残飯 ◆ghclfYsc82
09/09/01 17:49:19
せっかく新しい名前に変えたので、
残飯ネタの話を沢山カキコして下さいな。
ちゃんと見て居りますんで。

猫

378:１３２人目の素数さん
09/09/01 22:32:06
四面体 OABC において、サイコロ1個を6回連続で振ったときに出た目を順に
OA、OB、OC、BC、CA、AB の長さとする四面体 OABC が存在する確率を求めよ。

379:１３２人目の素数さん
09/09/01 22:52:48
>>369
A_k=a+(k-1)dとして
1≦a≦mn
1≦a+(n-1)d≦mnを満たす整数(a,d)の組数を求めることに等しいdの値を固定する
①d≧0の時1≦a≦mn-(n-1)d
②d≦0の時1-(n-1)d≦a≦mn

①の時dの最大値は
d=mで右辺=mでd=m+1ではm-n+1≦0で不適だから
Σ[d=1,m]mn-(n-1)d=m^2*n-
(n-1)*m(m+1)/2
②の時は同様にd=-mで最小で
Σ[d=-m,-1]mn+(n-1)d
=①
d=0はmn
∴
2nm^2-m(m+1)(n-1)+mn
=nm^2+m^2+m
=m(mn+m+1)
かな？
検算してないから自身ないけど

380:１３２人目の素数さん
09/09/02 11:46:54
∑[n=1,∞]{(4n-4)!!*(2n-3)!!}/{(4n-1)!!*(2n-2)!!}=tan(π/8)を示せ．
ただし，!!は二重階乗である．

381:１３２人目の素数さん
09/09/02 15:41:20
p,q,p+q,p-qが全て素数であるような(p,q)の組を全て求めよ.

382:１３２人目の素数さん
09/09/02 15:51:33
p+qは明らかに奇数なので一方は偶数→条件に合うのは q=2
p-2,p,p+2のうち一つは3の倍数なので条件に合うのはp-2=3のみ
ゆえにp=5,q=2

383:１３２人目の素数さん
09/09/02 18:45:09
>>379
惜しい。問題の読み取りミス。

「異なる」n個の自然数を用いてできる等差数列はいくつあるか.

384:352
09/09/02 19:30:38
352の問題があまりに面倒くさい為か解答者が誰もいないので問題を少し変更します
〔問題〕
xyz平面において、中心が原点にあり半径が１の球Cがある。
また半径１、高さ１でxy平面に底面が垂直になるように定められた円柱がある。
この円柱の中心が(x,y,z)＝(0,0,p)となっている時、球Cと円柱の共通部分の体積を求めよ。

385:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:28:55
高校時代に同級生が作った問題。母関数がどうとか言ってた。
そいつが言うには30分程度で解ける事を想定してるらしいが、俺は40分以上かかった。

a_{1}=1,a_{2}=7,a_{3}=32
a_{n+3}=6a_{n+2}-11a_{n+1}+6a_{n}
を満たす数列{an}がある。以下の問に答えよ。
(1) |x|<1を満たす実数について
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……
を証明せよ。
(2) 関数G(z)を、
G(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+……+a_{n}z^n+……
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
(1-6z+11z^2-6z^3)G(z)を求めよ。
(3) 数列{an}の一般項を求めよ。
(4) nが自然数の時、a_{n}≧1を証明せよ。

386:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:30:57
ミス。
誤
と定義する。但しzは実数で、|z|<1、z≠0
正
と定義する。但しzは実数で、|z|<1/3、z≠0

387:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:31:57
こんな問題に３０分も
かかるのか？

388:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:38:00
部分分数分解する時に3元連立方程式が出てくるから暇はかかるが

それにしたって30分はかからんだろうな

389:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:45:47
>>384
xyz平面って何だ？

390:１３２人目の素数さん
09/09/02 21:47:02
>>389
それくらいのミスは見逃してやれよ……

391:１３２人目の素数さん
09/09/02 22:09:55
このスレの中（過去も含む）の問題で良問と言えるのはどれか.

392:１３２人目の素数さん
09/09/02 22:18:26
>>167とかかなあ
単に整数問題が好きなだけだけど

393:１３２人目の素数さん
09/09/02 23:05:07
2曲線C1:x^2+y^2=1、C2:y=αx^2+1に接する直線をlとする。
C1,C2,lで囲まれる範囲の面積をαで表せ。
ただしα>1/2

394:１３２人目の素数さん
09/09/02 23:43:35
>>378

四面体の成立条件がわからん。。。

395:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:19:10
>>393
囲まれる部分なんてある？

396:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:20:01
>>394
多分、4つの三角形が実在できて、かつ4点が同一平面上に存在しない場合
かと。

397:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:21:36
>>395
直線lが2曲線に接して、その2つの曲線も接してるから
囲まれる部分はあるはず。

398:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:24:02
やっぱ東大っていうと整数とか立体ってイメージがある。
で、整数の問題。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

２桁以上の正整数について、それぞれの位の数字をすべてかけ算する操作Ｍを、
以下のように記述する。

例：===========================
M(1234)=24 （∵1x2x3x4=24）
M(2589)=890　（∵2x5x8x9=890）
===============================

a_{1}=p（pは２桁以上の正整数）
a_{n+1} = M(a_{n})　（nは任意の正整数）

なる数列があり、
操作Ｍの結果が１桁の場合、操作Ｍの結果の値を数列の最後の値とし、数列はそこで終わる。

例：===========================
p=24321のとき、
a_{1}=24321
a_{2}=2x4x3x2x1=48
a_{3}=4x8=32
a_{4}=3x2=6
以上で数列終了。
===============================

p,nがいかなる値であっても、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。

399:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:25:21
>>397
lが y=1だとどうすんの

400:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:26:34
>>393

すごいむかしに、かなりにた問題やった記憶がある。でも計算より睡魔が・・・。

ちなみに、l:がy=1なる直線の場合もあるね

401:394
09/09/03 00:29:18
>>396

＞4点が同一平面上に存在しない場合
これがわからん。
ぐぐったけど、いまいちわからん。

402:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:30:55
>>398
問題の意味が全くわからない
p=13だとa_2=M(13)=3
じゃないの？

403:398
09/09/03 00:31:41
ごめ、p=311のとき、反例になるわ。。。おかしいな。ちとたんま

404:398
09/09/03 00:36:01
ごめ、最終行訂正。

pがいかなる値（ただし２桁以上の正整数）であっても、n=2のとき以外で、a_{n}=3となることはあり得ないことを証明せよ。

405:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:41:12
>>398
中学生の時にそれ考えたことあるな。掛け合わせ続けるの。

406:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:50:00
２０の倍数＋１，３，７，９同士の積は２０の倍数＋１，３，７，９。

407:１３２人目の素数さん
09/09/03 00:57:55
1+1=2

408:396
09/09/03 01:20:46
>>401
やる気はしないが、xy平面上において
O(0,0),A(0,a),B(b,c),C(d,e)
と置いて
aはOAの長さで
OB長とAB長から連立二次方程式でも解いてbとcを出して
同様に点Cの位置を出して、OA,OB,AB,AC,BCの長さからOCの長さを出す式を作って
そしたら、OA,OB,AB,AC,BCの長さに対しOCの長さがその長さになればOABCは立体にならなくなる。

多分整数解を持たんだろうけど。

409:393
09/09/03 01:24:21
>>399 >>400他
勿論l:y=1の時は面積など無いから0になるけど、そうならん場合ね。

原文には図が付いていたから言い忘れてしまった。すまない。

410:401
09/09/03 01:39:02
>>408

とてつもなく長い式になりそうな・・・

411:宮川ダイスケ ◆jcXETTeIVg
09/09/03 22:15:04
なんかおもろい問題浮かんだけど、正直答えはまだ出ていない。
＝＝＝
xy平面上の２つ長方形ABCD,PQRSがある。
AB=b,AD=d,PQ=q,PS=sとする。
(b,d,q,s>0)
また、b.d.q.sの中で最小の長さはbであるとする。
（ただし、bがd,q,sのどれかと一致する可能性もある）
そして、ABCDは第１象限に含まれ、A=(0,0),B=(b,0)とする。

ABCDは固定し、PQRSを自由にxy平面上で動かす場合、交点の数は当然配置によって異なるが、
その異なる交点の数の最大値をMとする。

b.d.q,sの条件で場合わけし、Mを求めよ。

※ABCDのいずれかの辺とPQRSのいずれかの辺が平行となる場合は除外する。

====
今気づいたけど、似た問題、たけしのコマ大数学なんとかの番組でにたようなのが
あったかも。

412:１３２人目の素数さん
09/09/04 00:30:00
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)

ＰＱ＝３，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝２，ＰＳ＝ＱＲ＝４。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝４，ＰＲ＝ＱＳ＝３，ＰＳ＝ＱＲ＝５。
ＰＱ＝４，ＲＳ＝５，ＰＲ＝ＱＳ＝４，ＰＳ＝ＱＲ＝６。

413:１３２人目の素数さん
09/09/04 08:52:31
1円玉、５円玉、１０円玉、５０円玉、１００円玉、５００円玉の組み合わせ（※全ての硬貨を使う必要はない）により、
ちょうど５００円を支払うとき、組み合わせは何通りあるか？

414:１３２人目の素数さん
09/09/04 22:11:38
x≧0,y≧0,z≧0,x+y+z=1のとき
f(x,y,z)=yx^2+zx^2+xy^2+zy^2+xz^2+yz^2の最大値とその時の(x,y,z)を求めよ

（出典：数検１級２次)

415:１３２人目の素数さん
09/09/05 00:43:22
f(x,y,z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-x^3-y^3-z^3
=(x^2+y^2+z^2)
-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz
=(xy+yz+zx)-3xyz
y+z=1-xだから
((1-x)/2)^2≧yz≧0(∵相加相乗)でx固定すれば
=(1-x)x-3xyz+yz
=(1-3x)yz+(1-x)xより
x≦1/3ではyzが最大であればよく①
x≧1/3ではyzが最小②
②では
f≦(1-x)x≦1/4
(x=1/2,y=0,z=1/2)
①では
f≦(1-3x)(1-x)^2/4+(1-x)x
=(1-x)((1-x)(1-3x)+4x)/4
=(1-x)(3x^2+1)/4
4f'=6x(1-x)-(3x^2+1)
=-9x^2+6x-1で
=-(3x-1)^2よりx=1/3で最大よりf≦2/9(x=y=z=1/3)

比較して1/4で最大(x=1/2,y=0,z=1/2)(並び替え略)

416:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:35:36
2007!!+2008!!は2009で割り切れるか？

417:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:44:40
2009=7^2*41で
2007!!は
7と41と21とかで
2008!!は
14と28と82とかあるし割りきれる
二重階乗の定義が覚束ないから意味不明かもしれんのでスルーしてくれ

418:１３２人目の素数さん
09/09/05 01:45:17
>>416
2007!!は41、49で割り切れる
2008!!は82、98で割り切れる

ちょっとレベル低すぎ

419:１３２人目の素数さん
09/09/05 03:01:49
2009=x^2+y^2を満たす自然数組(x,y)を全て求めよ

420:１３２人目の素数さん
09/09/05 11:16:50
>>419
これも2009=7^2*41を使う。41=4^2+5^2だから、
(x,y)=(4*7,5*7)=(28,35)と順番を入れ替えた(x,y)=(35,28)が解であることがわかる。

あとは上記以外の解がないことを示せばよい。まず、
(☆) x^2+y^2=2009のとき、x,yはともに7の倍数である
ことを証明する。

いまx=7m+k (mは0以上の整数,kは0≦k≦6の整数)とおくと、
x^2=49m^2+14mk+k^2 =7(7m^2+2mk)+ k^2だから
x^2を7で割った余りは、k^2を7で割った余りに等しく、
それはk=0,1,2,3,4,5,6に対してそれぞれ0,1,4,2,4,1である。
y^2についても、7で割った余りは0,1,2,4のいずれかであると言える。
ここで、(0,1,2,4)の中から重複を許して2つ選び、その和が7で
割り切れるのは0+0=0だけだから、x,yはともに7の倍数である。

すると、x=7m, y=7nとして、
x^2+y^2=2009よりm^2+n^2=41となり、
この自然数解が(m,n)=(4,5),(5,4)のみであることは
m=1,2,3,4,5,6を代入すれば直ちに分かる。

421:１３２人目の素数さん
09/09/05 13:13:52
>>420
正解です
D:x^p+y^p=1,x≧0,y≧0
のなす領域の面積をpを用いて求めよ

422:１３２人目の素数さん
09/09/05 13:18:28
>>421
誤爆ミス

423:１３２人目の素数さん
09/09/05 14:36:14
>>415
よくできました(･∀･)

424:１３２人目の素数さん
09/09/05 23:18:07
>>421
　x = t^(1/p),　
　y = (1-t)^(1/p),

　S(D) = ∫[0,1] y･dx
　= (1/p)∫[0,1] (1-t)^(1/p) t^(1/p -1) dt
　= (1/p)Ｂ(1 + 1/p, 1/p)
　= (1/p)Γ(1 + 1/p)Γ(1/p)/Γ(1 + 2/p)
　= Γ(1 + 1/p)^2 / Γ(1 + 2/p),

425:１３２人目の素数さん
09/09/05 23:39:22
>>412
はどの問題に対するレスですか？

426:１３２人目の素数さん
09/09/06 01:18:42
>>424
出題ミスのはずだったがガンマ関数とか出せば解けるのか…勉強不足でよく知らないですが

【問】
一辺1の正三角形ABCの内部に点Pをとる
この時AP,BP,CPの長さに等しい3辺をもつ三角形が作れるためのPの領域を求めよ

427:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:37:57
>>426
ミス
内部→内部,周上,外部のいずれか

428:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:44:43
Ｚ会の過去問乙

429:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:53:43
>>426
Ｚ会に通報します．

430:１３２人目の素数さん
09/09/06 10:56:07
パクり問題持ってくる人大杉
オリジナリティのある良問を頼むよ

431:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:11:29
>>428
まじで？
オリジナルのつもりだったけど既出なんだな

432:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:31:22
308の改題
y=tanθx上を速さvでy軸正方向へ動く点Pを中心にもつ半径rの円Cと
長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分Lを考える
うまく円C,線分Lの初期位置を設定することで円Cとx軸の交点が常に線分Lに含まれるためのrの最大値とその時のcosθの値を求めよただしvは定数である

433:１３２人目の素数さん
09/09/06 11:35:30
>>432
ただし円Cの初期位置のy座標は-r以下とする

434:１３２人目の素数さん
09/09/06 17:14:41
a,bは共に実数でa>0、b>0を満たすものとする。
点Ｐ(a,b)を通り、傾きが負である直線のx軸とy軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
このとき線分QRの長さの最小値をa,bを用いて表せ。

435:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:17:36
>>434
とりあえず傾きを-k(k>0)としてまともに計算すると
Q(a+b/k,0), R(0,ka+b)でQR^2 = a^2k^2 + 2abk + (a^2+b^2) + 2ab/k + b^2/(k^2)

微妙に対称性が崩れるので、別の方法を考えます。

436:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:24:18
>>434

直線の傾きを -m とおく。(m>0)
　PQ = (b/m)√(1+m^2),
　PR = a･√(1+m^2),
　(PQ)^2 = (PQ + PR)^2 = (1+m^2)(a + b/m)^2
　= a^2 + a(am^2 + b/m + b/m) + b{am + am + b/(m^2)} + b^2
　≧ a^2 + 3a^(4/3)^2･b^(2/3) + 3a^(2/3)･b^(4/3) + b^2　　(←相加･相乗平均)
　= {a^(2/3)^2 + b^(2/3)}^3,
等号成立は m = (b/a)^(1/3) のとき。

437:436
09/09/06 21:31:10
>>434
訂正
　ＱＲ^2 = (PQ + PR)^2 = (1+k^2)(a + b/k)^2
　= a^2 + a(ak^2 + b/k + b/k) + b{ak + ak + b/(k^2)} + b^2
　= ･･･

438:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:36:53
>>434 Sorry, the problem is very famous.

The prpblem has been posed in the entrance exam of Nippon University and Meiji University.

Super Solution: Holder kills it in 1 minute.

439:１３２人目の素数さん
09/09/06 21:37:08
原点をOとして、∠POQ=α, ∠OQP=θとおくと、△OPQに正弦定理を用いて
　QP=OPsinα/sinθ…①がいえる。
また、∠POR=90°-α, ∠ORQ=90°-θだから、△OPRに正弦定理を用いると
　RP=OPsin(90°-α)/sin(90°-θ)= OPcosα/cosθ…②である。

QP,RPは正なので、相加平均と相乗平均の関係から
　QR= QP+RP ≧ 2sqrt(QP・RP) = 2・OP・sqrt(sin2α/sin2θ)…③

…駄目だ。相加・相乗の等号成立(QP=RP,すなわちθ=α)と
sin2θを最大にする条件(θ=45°)が一致しない。

440:１３２人目の素数さん
09/09/06 23:22:43
【問】
OA=OB=1の時、△OABの内接円の半径の最大値を求めよ

441:１３２人目の素数さん
09/09/06 23:58:28
∠AOB=2θとおいて△OAB=r(1+cosθ)=sinθcosθ
r=(sinθcosθ)/(1+cosθ), r^2=(1-cos^2θ)cos^2θ/(1+cosθ)^2
cosθ=tとおいてr^2=(1-t)t^2/(1+t), 0<t<1
微分して増減表　計算が正しけりゃt=(√5-1)/2のとき最大値r=(3-√5)/{(2+2√5)^(1/2)}
よくて地方旧帝下位レベル

442:435=439
09/09/07 00:28:51
>>436-438
参りました。

>>440
∠AOB=2θ(0≦θ≦π/2)とすると△AOB = (1/2)sin2θ, またOA+OB+AB=2+2sinθだから、
内接円の半径f(θ)=sin2θ/(2+2sinθ)である。

f'(θ)={2cos2θ・(2+2sinθ)-sin2θ・2cosθ}/(2+2sinθ)^2
=-{(sinθ)^3+2(sinθ)^2-1}/(1+sinθ)^2
=-{(sinθ)^2+sinθ-1}/(1+sinθ)

f'(θ)=0となるのは(sinθ)^2+sinθ-1=0すなわち sinθ=(-1+sqrt(5))/2で、
ここでf'(θ)は正から負に転ずる。つまりこのθでf(θ)は極大かつ最大。

このときcosθ=sqrt(2+2sqrt(5))/2となり、これとsinθをf(θ)の式に代入して
計算するとf(θ)=(3-sqrt(5))sqrt(2sqrt(5)-2)/4が最大値である。

(θ≒38°で、内接円の半径の最大値は約0.300。これはθ=30°(正三角形)のときの
sqrt(3)/6≒0.289やθ=45°(直角二等辺三角形)のときの(2-sqrt(2))/2≒0.293よりも
大きいことが確かめられる。)

443:435=439
09/09/07 00:36:39
>>441
負けました。三角関数のまま微分したのが時間ロスの原因か…。
ともあれ、今回もどうせ正三角形が答えだろうと思って計算したら
違ったので驚きました。

444:435=439
09/09/07 00:52:09
ではこちらも1問。非常に易しいですが、答えは意外なものになると思います。

(問題) 周の長さが一定の三角形のうち面積が最大のものは、正三角形です。
では、周の長さが一定の扇形で、面積が最大になるのは、中心角がいくらの
ときでしょうか。
　正三角形に近い扇形、つまり中心角がπ/3前後だろうと予想するかもしれませんが、
正解はこれとかけ離れています。

445:１３２人目の素数さん
09/09/07 00:56:25
これは、1985 中央大理工の問題です

446:１３２人目の素数さん
09/09/07 01:24:47
これも, 有名問題。中大, 防衛大に出題されている。

447:１３２人目の素数さん
09/09/07 01:46:11
>>441,442
正解です
本来下の問題を予定してたんですが結構しんどいので時間かかるかも

【問】
xy平面において
O(0,0),A(1,0),B(cosθ,sinθ)として、θを0＜θ＜2π(θ≠π)の範囲で動かした時にできる△OABの内心Iの軌跡と垂心Hの軌跡は線対称であることを示せ

448:１３２人目の素数さん
09/09/07 22:15:12
>>447
　便宜上 -π<θ<πとする。
　BからOAに下ろした垂線の足はK(cosθ,0)
　HはBKと半直線 y = tan(θ/2)･x の交点だから、
　OH = |cosθ|/cos(θ/2),
これと x= OH･cos(θ/2), y = OH･sin(θ/2) から垂心H(x,y)の軌跡は
　y = σx√{(1-x)/(1+x)},　σ = Sgn(θ),

　OI + |y| = OI{1 + |sin(θ/2)|} = cos(θ/2)　だから、
　OI = cos(θ/2)/{1+sin(θ/2)},
これと x= OI･cos(θ/2), y = OI･sin(θ/2) から内心I(x,y)の軌跡は
　y= σ(1-x)√{x/(2-x)},　σ = Sgn(θ),

これらは x ⇔ 1-x により入れ替わるから、直線x=1/2 について線対称。

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