分からない問題はここに書いてね３０７

分からない問題はここに書いてね３０７ at MATH

760:１３２人目の素数さん
09/05/14 01:42:32
妙に気になるのでどなたか>>623を解いてみて頂けませんか？
おそらく高校レベルの公式を駆使すれば解けると思うのですが、ほとんどの公式が記憶の彼方で・・・

参考画像　URLﾘﾝｸ(sakuratan.ddo.jp)　

761:１３２人目の素数さん
09/05/14 01:54:37
>>760
相似図形の面積比は、相似比を a としたとき a^2になることを使うと
解ける。この扇型の面積を S として、オリジナルの半径 = 10, 移動後
の共通部分の半径 6だから、相似比 a = 6/10 = 3/5.
よって共通部分の扇型の面積 T = a^2・S = (3/5)^2・S.
はみ出した部分の面積は S-T = (1-(3/5)^2)S = (16/25)S.
あとは S = (1/6)π×10^2より上の値を数値化すればよい。

762:１３２人目の素数さん
09/05/14 02:04:11
>>761
共通部分の扇形に見えるところは、実際は扇形ではないのですが・・・
そこで悩んでるんです。

763:１３２人目の素数さん
09/05/14 02:04:23
>>761
相似にはならないだろ。

764:１３２人目の素数さん
09/05/14 02:05:42
>>761
中央の小さいのは扇形じゃないよ。
扇形ならもうちょっと弧が丸い。
あれは半径１０ｃｍの円の一部である扇形の弧だから

765:１３２人目の素数さん
09/05/14 02:24:48
>>762
ヒント：ラスター画像

766:１３２人目の素数さん
09/05/14 02:31:13
だから、
>>761みたいに勘違いしたバカ出題者が出した出題ミスか、釣りかのどっちかだろって。
あんなもん、逆三角関数とかぐじゃぐじゃ使った汚い答えしか出ねーよ。

767:１３２人目の素数さん
09/05/14 02:35:19
>>760
直線上の点を左からA,B,C,Dとする。
一番上の点を左からE,F
一番下の点を左からG,H
扇形AEGと扇形BFHの公転を上からP,Qとする。
△ABPの面積が分かれば、真ん中のエセ扇形の面積も分かり、
青い部分の面積が分かる。

Aを原点として座標入れてみる。
左の扇形
x^2 + y^2 = 100
と、BF
y = (x-4)/√3の交点を求めればok

768:761
09/05/14 02:38:01
>>762 ほかの皆様。失礼つかまつった。あらためて。
原点を移動後の扇型の中心におく。極座標(r,θ)で評価する。角度θの
ときのr 積分範囲はsから 10までで、この s は (s cosθ+ 4)^2 + (s sinθ)^2 = 100
より求める。s(θ) = -4 cosθ+ 2√(23+2cos2θ).
これより面積は S = 2∫[0,π/6]dθ∫[s(θ),10] r・dr
= 8√6-4√3+100arctan(1/(2√6)) ≒ 32.8.
さっきの間違った相似による解答では 33.5くらいになる。

769:１３２人目の素数さん
09/05/14 02:38:02
>>760
S = 2∫_[a, b] √(100 - x^2) dx + (5+c)(5-c)√3

c = 2(√6) - √3
a = 10√5
b = 4+(√3)c

・・・無理

770:769
09/05/14 02:51:56
すまん a=5√3 だった
S=32.80350679102301

771:１３２人目の素数さん
09/05/14 03:17:10
>>760
左側の扇型の中心をＰ、弧の両端を上からＡ，Ｂ
右側の扇型の中心をＱ、弧の両端を上からＣ，Ｄ
弧ＡＢと、線分ＱＣ，ＱＤとの交点をそれぞれＥ，Ｆとおく。
また、直線ＰＱにＥから降ろした垂線の足をＨとする。

EH=x、∠EPH=θとおくと、
扇型CQD = 50π/3
扇型EPF = 100π・(2θ/(2π)) = 100θ
四角形EPFQ = 4x
弧EFと線分QE,QFで囲まれた図形 = 100θ-4x
求める面積 = 50π/3-100θ+4x

で、xは直角三角形EPHで三平方の定理より
x^2+(√3x+4)^2=100
を満たし、解くと
x = 2√6-√3

θ = Arctan(x/(√3x+4)) = Arctan((25√3-8√6)/71)

求める面積 = 50π/3+8√6-4√3-100・Arctan((25√3-8√6)/71)
= 約32.8035

逆正接関数に抵抗感がなければ、別に難しいことは何もないが、
高校までの範囲ではないわな

772:１３２人目の素数さん
09/05/14 03:20:06
771だが、リロードせずに書いた。スマソ

773:１３２人目の素数さん
09/05/14 03:20:52
URLﾘﾝｸ(sakuratan.ddo.jp)
図の上半分のみを考える
補助線を1本ひく
①＋②＝③である
②は2辺と1角がわかっているので、余弦定理から右の辺の長さがわかる
10^2 = 4^2 + x^2 - 2*4*x*cos150°
x = 4√6 - 2√3
よって②の面積は
4 * (4√6 - 2√3) * sin30°/ 2
= 4√6 - 2√3

ここで別の補助線を引き④を見ると
平行線間の距離は2cmだとわかる

扇形①の内角をθとすれば、sinθ = 2/10 = 1/5
θ = arcsin(1/5)
よって①の面積は
10^2 * π * arcsin(1/5) / 2π
= 50 arcsin(1/5)

よって求める面積は
4√6 - 2√3 + 50 arcsin(1/5)

>>768と違うな・・・どっか違ったら教えてｗ

774:773
09/05/14 03:22:18
最後間違えた・・・半分で考えてたんだから
求める面積は
8√6 - 4√3 + 100 arcsin(1/5)

775:１３２人目の素数さん
09/05/14 03:28:38
グーグル先生による計算
(8 √(6)) - (4 √(3)) + (100 arcsin(1 / 5)) = 32.8035068
でした

776:１３２人目の素数さん
09/05/14 09:11:21
>>744
その文章の一部をぐぐれば出る。

777:１３２人目の素数さん
09/05/14 09:25:27
1.2つの写像f:　X->Y　,　g:Y->Z　の合成写像gof:　X->Zが全単射ならば、fは単射、gは全射であることを示せ。　　
2.写像f:　X->Yは全射でなく、g:Y->Zは単射でないが、合成写像gofが全単射となる例を一つ挙げよ。(X,Y,Zは空集合で無いとする)　　
3.X,Yを元の個数がそれぞれm,nの有限集合とする。XからYへの写像全体の集合F(X,Y)の元の個数を求めよ。　　
　また、F(X,Y)に属する写像の中で単射となるものの個数を求めよ。　　
4.自然数全体の集合Nと整数全体の集合Zは対等であることを示せ。　　
　また、Nと実数全体の集合Rは対等でないことを示せ。　　

お願いします。　　

778:１３２人目の素数さん
09/05/14 09:37:53
>>777
>>686

779:１３２人目の素数さん
09/05/14 10:10:46
スルーされてたからもう一度書いただけだろ。
マルチしてるわけでもないのにいちいち反応すんな雑魚

780:１３２人目の素数さん
09/05/14 10:15:02
↑いちいち反応すんな雑魚

781:１３２人目の素数さん
09/05/14 10:21:13
1.2つの写像f: X->Y , g:Y->Z の合成写像gof: X->Zが全単射ならば、fは単射、gは全射であることを示せ。
2.写像f: X->Yは全射でなく、g:Y->Zは単射でないが、合成写像gofが全単射となる例を一つ挙げよ。(X,Y,Zは空集合で無いとする)
3.X,Yを元の個数がそれぞれm,nの有限集合とする。XからYへの写像全体の集合F(X,Y)の元の個数を求めよ。
　また、F(X,Y)に属する写像の中で単射となるものの個数を求めよ。
4.自然数全体の集合Nと整数全体の集合Zは対等であることを示せ。
　また、Nと実数全体の集合Rは対等でないことを示せ。

お願いします。

782:１３２人目の素数さん
09/05/14 10:21:36
nより小さい正の整数の集合からそれ自身への、
数をm乗してnで割った余りをとるという規則で得られる写像が全単写であることを証明せよ

お願いします

783:１３２人目の素数さん
09/05/14 10:25:45
>>782
問題を正しく写していないのではないの?

784:１３２人目の素数さん
09/05/14 10:29:31
>>782
反例
n=3
m=2

785:782
09/05/14 10:37:53
すいません間違えました
RSA暗号に関するものでもっと条件がありました

nとmはnは2つの素数p,qの積でmは(p-1)(q-1)と互いに素な自然数です

786:１３２人目の素数さん
09/05/14 10:45:05
後出し条件あり杉･･･

787:１３２人目の素数さん
09/05/14 11:13:04
>>781
全部やるのは、いやだよ。

2について。X = Y = Z = N (自然数)とする。
f(x) = 2x, g(x) = (1/2)x とすれば g・f = I (恒等写像)で 1対1だ。
この f(x)は単射 (奇数の値はとらない)、g(x)は全射 (どのような自然数
値もとりうる)だ。

3.　について。X→Yの写像のつくり方は m^n通りある。うち、単写は
　n!/m! だけある。n≧mでなければならない。

4. 前半は n∈N が奇数なら -(n-1)/2, 偶数なら n/2という写像を作れば
　整数Zに全単射になって対応がつく。後半は、知らね。

788:１３２人目の素数さん
09/05/14 11:26:38
>>787
× 単写は　n!/m!だけある。
○ 単写は　n!/(n-m)!だけある。

789:７７７
09/05/14 12:07:04
>>787
ありがとうございます。
>>779と>>781は私じゃないです。

790:782
09/05/14 12:54:15
>>782 >>785なんですが

偶然>>781に合成写像が全単射ならfは単射とあったのを見て思ったんですが
782,785でm乗したあとm*k ≡ 1 mod (p-1)(q-1)になる数kを探してk乗するとm乗する前の数に戻ることは分かっているので、
m*k乗してnで割った余りを取るのが全単射ならm乗は単射になって、
元の数が同じ有限集合だから単射なら全単射になるってことでいいんですかね？

791:１３２人目の素数さん
09/05/14 13:44:07
>>790
考え方はそれでいいんじゃない？

792:１３２人目の素数さん
09/05/14 13:58:41
A=（左上a 左下ε 右上1 右下a）を実行列とする。
ここで、a?1（1に近い数）、ε?0（零に近い数）である。
このとき、適当に与えた初期ベクトルx0(≠0)に対して、漸化式xn=Axn-1(n=1,2,3…)
で定まる点列x0,x1,x2,…の挙動について議論せよ。

お願いします。

793:１３２人目の素数さん
09/05/14 15:14:22
文字化けキモチワルイ

794:１３２人目の素数さん
09/05/14 15:22:01
拡張互除法を勉強して
41 X + 15 Y = 1
のとき[-4,11]となったのですが、この式を満たすx,yの組は[-4,11]しかないのでしょうか？（[-4,11]で一意）
それとも拡張互除法はあくまでもこの式を満たす[x,y]の代表組を出すに過ぎないということなのでしょうか。

795:１３２人目の素数さん
09/05/14 15:30:05
y=√(x1 * x2)の全微分はどうやるんでしょうか？
(x1 * x2)1/2としてからさっぱりわかりません
よろしくお願いします

796:１３２人目の素数さん
09/05/14 15:32:39
69 名前：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 14:44:46
y=√(x1 * x2)の全微分はどうやるんでしょうか？
(x1 * x2)1/2としてからさっぱりわかりません
よろしくお願いします

70 名前：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 14:46:10
>69
マルチ

71 名前：69 ：2009/05/14(木) 14:54:01
>70
なんでもかんでもマルチって言うクズか…

72 名前：１３２人目の素数さん：2009/05/14(木) 14:54:50
↑クズか…

797:795
09/05/14 15:34:37
>>796
暇だなぁ…
ついてくんな(笑)

798:１３２人目の素数さん
09/05/14 15:36:46
次のマルチはどこ？(笑)

799:１３２人目の素数さん
09/05/14 15:41:50
>>794
41 X + 15 Y = 1
41*(-4) + 15*11 = 1
この２式の差をとる。
41(X+4) + 15(Y-11) = 0 ⇔
41(X+4) = -15(Y-11)
41 と 15 は互いに素だから k を任意の整数とすると
X+4 = 15k , Y-11 = -41k ⇔
X = -4+15k , Y = 11-41k　と表せる。

800:１３２人目の素数さん
09/05/14 16:07:15
>>794
座標平面上に　41x+15y=1　のグラフを書いてみろ。
求めたように（-4,11）を通り、傾きが-41/15の直線だ。
無数の格子点を通るだろ？

801:１３２人目の素数さん
09/05/14 16:08:43
y=(1+x)^(1/x)
の導関数を途中式込みで教えて下さい。
よろしくお願いします。

802:１３２人目の素数さん
09/05/14 16:09:42
対数微分

803:１３２人目の素数さん
09/05/14 16:16:52
伝統的にはそうやって導くのですか。
X= 11 + 15*(k-1)
Y= 11 - 41*k
でも同じなんです。

それで、
X = -4+15k , Y = 11-41k　
ですが、このとき与式を満たす[-4,11]は
任意整数のkが存在する場合においてのみ「一意」と考えるべきなのでしょうか。
つまり
X= 11 + 15*(k-1), Y= 11 - 41*k
などと[x,y]を導出するための式は容易に変形できますが、
その基本形
X = -4+15k , Y = 11-41k　
（この専門数学用語を知りませんが）は、
このX, Yの２式連立を解くための[-4,11]の組このときただ一つである、
つまり与式を満たす剰余[-4,11]の組はただ一つということを主張しているのでしょうか？

もしくは与式を満たす[x,y]の組が一意でないなら、その組の出し方が他にあるということなのでしょうか。
もう一つ -41*k となっていますが、41*(-k)ということでしょうか、
それともmod -41や割る数が負数でも可能なように拡張している(A ÷ -41)ということなのでしょうか。

804:１３２人目の素数さん
09/05/14 16:27:07
>>803
(-4,11)でなくても k = 1を入れた (11,-30)でもいいし
解ならなんでもいい。

x = 11+15k
y = -30 -41k
は、
x = -4+15k
y = 11-41k
と本質的に同じ。
kを変化させてできる解(x,y)の集合は一致するからね。

a x + b y = c
という方程式の解の1つを(p,q)としたとき
a p + b q = c
a(x-p) + b(y-q) = 0
で、aとbの関係から x-p と y-qが求まるということ。
見つけやすい解を1つだけ見つければ、解を求めるのは容易だということ。
こういうのは線型性と呼ばれる性質で、こういう方程式は線型方程式と呼ばれる。

なんでもいいから1つだけ見つけて、引き算すると、すっきりと求まる方程式。
これは（線型）微分方程式なんかでも用いられる方法。

805:まな
09/05/14 16:34:44
任意の正の整数に対し
１/１の３乗＋１/２の３乗＋･･･＋１/ｎの３乗＜５/４
が成り立つことを示せ。

という問題なんですけど、教えてください。

806:１３２人目の素数さん
09/05/14 16:46:10
5/4=1+1/2^3+∫[2,∞](1/x^3)dx

807:１３２人目の素数さん
09/05/14 16:47:40
一応少し正確に言うと、一般解（基本形）
X = -4+15k , Y = 11-41k　
じゃなくて、このk=0のときの組み合わせ[X,Y]が[-4,11]しかないのでしょうかということです。
グラフで書いてみても整数格子を通る組み合わせはこれしかないようなので（その他の点は実数などになる）、

この問題のように「組み合わせは一意である」というのは、たぶん何かの定理だと思うんですけど・・
つまり、a x + b y=1 (a=41,b=15などa,b互い素)をみたす整数の組[X,Y]で、一般解を作る組[x,y]は唯一しかない。

808:１３２人目の素数さん
09/05/14 16:54:45
質問です。

Acos(X)=1
-Awsin(X)=0

この二式から
　　　　　　　X=0
A=1
という事がわかるらしいのですが、どうやって考えてこのようになるのかわかりません。
どうやって考えて答えを導くのか、教えてください。お願いします。

809:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:00:45
>>807
何を言いたいのかさっぱりだが
kで書き下された式があったときに
k = 0を入れたらそれしかないのは当然のこと。
でも kというのは勝手なパラメータでしかないので
k=0 に (-4,11)が対応していようが (11,-30)が対応していようがどうでもいい。

唯一という言葉を何か別の意味で使ってたりしないか？

810:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:02:27
>>807
[X,Y]=[-4,11] は 41X+15Y=1 を満たす。
[X,Y]=[11,-30] は 41X+15Y=1 を満たす。
[X,Y]=[-19,52] は 41X+15Y=1 を満たす。
…

811:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:02:43
>>808
A cos(X) = 1から A≠0
-A w sin(X) = 0 から w sin(X) = 0
もし w ≠ 0なら sin(X) = 0

X = n π
あとは Xの定義域を確認する。

812:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:02:45
n>1のとき、1+1/2+1/3+…+1/nは整数でないことを証明せよ

813:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:09:27
>>809,810
その(11,-30)などを拡張互除法以外の方法で出せるんですか？
それをお聞きしてるんですが？

(-4,11)が分かって初めて、k=1などとしてその(11,-30)を導いたんじゃないんでしょうかね。

814:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:09:46
>>811
なるほど。ありがとうございました。

815:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:19:03
>>813
例えば虱潰し

816:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:19:32
>>813
山勘でもなんでもいいんだよ。

41x + 15y = 1
11x + 15(2x+y) = 1
11(3x+y) + 4(2x+y) = 1
3(3x+y) + 4(8x+3y) = 1

3x+y = 3
8x+3y = -2
は (11,-30) に対応するし

3x+y = -1
8x+3y = 1
は (-4,11)に対応する。

あらかじめ (-4,11)を知っている必要はなく (11,-30)も出る。

ある特定の方法を用いて、(-4,11)に定まることはあるかもしれない。
ほかの方法をとれば、ほかの解が出るかもしれない。
しかし、いずれの解であっても、それが解である以上
一般解の生成にまったく支障はない。

817:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:28:56
>>815,816
しらみつぶしとか山勘とかいった「試行錯誤」を回避して機械的に公式や構造に当てはめて解答が出るようにしたのですけど。
それが数学の本質じゃないでしょうかね。
その2x+yとかも山勘見たくて（数学的には天下り的とか言いますが）なんか胡散臭いんですよね・・
そういう人知を超えたひらめきとか、試行錯誤の結果だ！とかを回避したいと思いませんか？

818:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:37:19
しらみつぶしは機械的アルゴリズムだが？

819:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:39:14
>>817
根本的に会話がかみ合ってない。

ある方法で機械的に特定の解が求まることと
それを種として一般解を書き下せるようになるかどうかということは
まったく別の話であり、一意性というのは全くこの場にそぐわない言葉だ。

820:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:45:34
>>817
沢山の解の中から１つを選ぶ方法はいくらでもあるし
その時に選ばれる解は、使う方法に依存して変わる。
(-4,11)はx < 0だけれど、x > 0 となるものを探索する方法もある。
(-4,11)を特別視しなければならない理由は無い。

821:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:56:48
>>820
数値計算（整数）上ではgcdは楽なんですその解の組である[-4,11]は特別視するに値するんですけど。
その[-4,11]をseedsとして一般解の組を導く基本式が作れるわけでして…
結局合同式なんですけど、どうも合同式は人気ないんですね。
使ってあげないとガウス大先生がせっかく作ったのに泣いちゃいますよ？

>>816
その行列に還元する方法は面白そうですね。
行列だと２元以上に簡単に拡張できるので、もう少し考えてみます。
ただ、本質的にやってる式変形はgcdと同じなんですけど。

822:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:58:06
y=√(x1 * x2)の全微分はどうやるんでしょうか？
(x1 * x2)1/2としてからさっぱりわかりません
よろしくお願いします

823:１３２人目の素数さん
09/05/14 17:59:37
(1/2-2/3)÷3/4=-2/9がわかりません
解き方をご教示ください

824:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:02:53
数列x₁,x₂,...,xnが

x₁+x₂+...+xn=0・・・①

｜x₁｜+｜x₂｜+...+｜xn｜=1・・・・②

を満たすとする。

この時、a₁,a₂,...,anの最大値をM,最小値をmとすると,
x₁*a₁+x₂*a₂+...+xn*an≦M-m/2
であることを示せ

ぐちゃぐちゃとやったら示せたけれど、鮮やかな証明をみてみたいのでお願いします

825:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:04:25
実数a,b,cがf(a)＝b、f(b)＝c、f(c)＝aを満たすとき、a＝b＝cと結論できるか、次の二つの場合について、それぞれ調べよ。
(１)f(x)が増加関数の場合。
(２)f(x)＝{２x(x≦２)、－２x＋８(x＞２)}

手も足もでましぇんorz

826:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:19:56
>>821
> 使ってあげないとガウス大先生がせっかく作ったのに泣いちゃいますよ？

自分がやりやすい方法を選んだ。それだけのことで
数学とは無関係な部分で意味があるかもしれない。
でもそれは数学的に意味があるかどうかとは全く別の話。
個人的な好みの範疇でしかない。

827:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:22:02
>>822
dy/dx1 = (1/2) √(x2/x1)
dy/dx2 = (1/2) √(x1/x2)

dで書いたが実際は変微分∂

dy = { (1/2) √(x2/x1)} dx1 + {(1/2) √(x1/x2)} dx2

828:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:27:15
>>826
ただの勉強不足ってことを白状したらどうですか？
合同式は普通、高校ではやりませんからね

829:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:30:20
>>825
y = x を描く。
f(x)が
これより上の部分では f(x) > x
これより下の部分では f(x) < x
つまり y = f(x) が y = x と何度か交わる場合
fという写像は大きい値にも小さい値にも移しうるので
増加関数というだけでは、a = b = c は結論できないのでは。
b = f(a) > a
c = f(b) > b
a = f(c) < c
というような曲がらせ方があると思われる。

830:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:32:18
>>828
もうちょっと、数学の言葉で質問を書けるようになってから
またおいで。
高校がどうとかどうでもいい。
所詮、日本のゆとり教育制度の話でしかない。

831:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:33:52
>>823

832:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:38:06
>>823
とりあえず通分
(1/2) - (2/3) = (3/6) - (4/6)
= (3-4)/6 = -(1/6)

分数の割り算は、逆数の掛け算ということで
÷ ( 3/4) は
× (4/3) に直す。

{ (1/2) - (2/3) } ÷ (3/4)
{ (1/2) - (2/3) } × (4/3)
= -(1/6) × (4/3) = - 2/9

833:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:49:53
・－1＝√－1√－1＝√（－1）（－1）＝√1＝1
この式の誤りを教えてください

834:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:50:50
>>833
√－1√－1
ここ

835:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:54:58
>>833
－1＝√－1√－1がですか？√－1√－1＝√（－1）（－1）がですか？
どうおかしいのか教えてください

836:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:55:04
>>829
なるほど。テーマに写像ってあって意味がわからなかったがそういうことか。
関数で区切られた各領域の点についてかんがえるのか。

ありがとうございます。

837:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:57:18
>>835
ルートの定義を調べて来い

838:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:57:31
>>825
(1) a<b と仮定する。
f は増加関数だから f(a)<f(b) ⇒ b<c
さらに f(b)<f(c) ⇒ c<a
b<a となり矛盾。a>b と仮定しても同様。よって a=b
まったく同様にして a=b=c と結論できる。

839:１３２人目の素数さん
09/05/14 18:58:33
数学というか算数なんですけど……
「２」二つ、「８」二つを四則計算のみを使用して２４を作って下さい

840:１３２人目の素数さん
09/05/14 19:01:22
>>839
2*2*8-8

841:１３２人目の素数さん
09/05/14 19:02:21
すみません
「２」じゃなくて「３」でした

842:１３２人目の素数さん
09/05/14 19:06:31
>>837
調べました。自己解決しました

843:１３２人目の素数さん
09/05/14 19:07:31
>>825
(1)
a<=b<=cとしても一般性は失われない
f(x)が増加関数なので
a<=bより
f(a)<=f(b)
⇔b<=c
∴f(b)<=f(c)
⇔c<=a
∴a<=b<=c<=a
∴a=b=c

844:１３２人目の素数さん
09/05/14 19:11:25
>>825
(2) a=8/9 , b=16/9 , c=32/9 ととればいい。
f(f(f(x))) = x の解の一つが x=8/9

845:１３２人目の素数さん
09/05/14 19:13:47
行列A=(1 1 1 1)　
(-1 1 3 1)
(0 2 4 2)　の(3,4)行列の時
Ker（A)の正規基底を求めてください

846:１３２人目の素数さん
09/05/14 19:21:44
任意の行列Aについて、detA^t＝detAが成り立つ。
これを用いてdet(AB)＝det(BA)を示せとあるんですが、わかりません
違うのを用いると示せるんですが、これを用いるのが・・

あと

一般線形行列のうち、直交行列の全体、およびユニタリ行列の全体はそれぞれ部分群になっていることを示せ。
またエルミート行列はどうか？
というのは全くわかりません・・

847:１３２人目の素数さん
09/05/14 19:26:31
>>805
n > 1 のとき
1/n^3 < 1/{(n-1)n(n+1)} = (1/2){1/((n-1)n) - 1/(n(n+1))}

848:１３２人目の素数さん
09/05/14 20:19:45
>>829 >>838 >>843 >>844
遅くなったが色々な考えありがとう。
すごくタメになった。

849:１３２人目の素数さん
09/05/14 20:20:06
n!≦2(n/2)^n (n＝1,2,3,……)を示せ。

お願いします……。

850:１３２人目の素数さん
09/05/14 20:28:53
>>841
8 / (3 - (8/3))

851:１３２人目の素数さん
09/05/14 20:30:11
Nの直積集合の要素(m,n)に対応するNの要素を示せ。

お願いします

852:１３２人目の素数さん
09/05/14 20:40:53
>>839 >>841 さんざんマルチ
「誰か知恵を貸してくれ」の113
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:113番)

853:１３２人目の素数さん
09/05/14 20:41:37
>>850
ありがとうございました

854:792
09/05/14 22:16:47
A=（左上a 左下ε 右上1 右下a）を実行列とする。
ここで、a≒1（1に近い数）、ε≒0（零に近い数）である。
このとき、適当に与えた初期ベクトルx0(≠0)に対して、漸化式xn=Axn-1(n=1,2,3…)
で定まる点列x0,x1,x2,…の挙動について議論せよ。

文字化け修正しました
今度こそお願いします

855:１３２人目の素数さん
09/05/14 22:22:12
>>849

k!≦2(k/2)^k と仮定し両辺に(k+1)をかける
(k+1)! ≦ 2 { (k/2)^k } (k+1)

右辺 ≦ 2 { (k+1)/2)^(k+1) を示せばよいが
比べてみると
2 k^k ≦ (k+1)^k
を示せということか。
2 ≦ (1+(1/k))^k
なんだか見覚えのある式がでてきた。
(1+x)^m = 1 + mx + … + x^m であることを考えると

(1+(1/k))^k ≧ 1 + k (1/k) = 2

856:１３２人目の素数さん
09/05/14 22:25:39
平面上のC^1級関数P,Q∈C^1(R^2)に対して
　　　ux(x,y)=P(x,y), uy(x,y)=Q(x,y)
をみたすu(x,y)が存在するための必要十分条件は
　　　　　　Py(x,y)=Qx(x,y)
であることを示せ。

という問題なんですけど、教えてください。

857:１３２人目の素数さん
09/05/14 22:27:31
>>851
決め方による

858:１３２人目の素数さん
09/05/14 22:33:55
集合A上の2項関係は直積集合A×Aの部分集合として表される
以下の問いに答えよ
(1) R1,R2をA上の同値関係とするとき、R1∩R2もA上の同値関係であることを示せ
(2) R1,R2をA上の同値関係とするとき、R1∪R2は必ずしもA上の同値関係にならないことを
　　 A={a,b,c}の場合の例で示せ

よろしくお願いします。

859:１３２人目の素数さん
09/05/14 23:08:16
>>855
ありがとうございます！

860:１３２人目の素数さん
09/05/14 23:20:30
>>856
URLﾘﾝｸ(www.scc.u-tokai.ac.jp)

861:１３２人目の素数さん
09/05/14 23:25:12
>>856
必要性
P_y = u_{xy} = Q_x

十分性
u(x,y) = ∫P(x,y) dx とおくと
u_y = ∫P_y dx = ∫Q_x dx = Q

862:１３２人目の素数さん
09/05/15 00:11:04
>>854
x(n) = A x(n-1) = A^2 x(n-2) = … = A^n x(0). よって A^n の形により
x(0), x(1), … , x(n) の挙動を議論できる。そう思って A^n を導いたんよ。
( A の固有ベクトルを使って対角化すればよい) ここに書き写すには少し面倒
だけど、でもまとまった式にはなる。で、n→∞にすれば、a が 1に近いとか
εは０に近いとかの性質で、どこかに収束すると期待したんだけど、どうも
そうならない。n>100くらいにすると
x(0) = (p,q) として、x(n)→(1/6)a^(n-2)εq(n^3, 3n^2)となる傾向はあるけど

863:１３２人目の素数さん
09/05/15 00:14:50
>>858
(1)同値関係の定義をチェックするだけ。
たとえば対称律なら、
(x,y)∈R1∩R2 ⇒ (x,y)∈R1かつ(x,y)∈R2 ⇒
(y,x)∈R1かつ(y,x)∈R2 ⇒ (y,x)∈R1∩R2

(2)
R1={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)}
R2={(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}
これらの和は(a,b)(b,c)を含むが(a,c)を含まないので
同値関係にならない。

864:１３２人目の素数さん
09/05/15 00:29:59
>>860
>>861
ありがとうございます！

865:１３２人目の素数さん
09/05/15 00:46:49
>>863
ありがとうございます。やってみます。

866:１３２人目の素数さん
09/05/15 02:11:49
>>849
相乗･相加平均より
√{1*(n-1)} ≦ n/2,
　√{2*(n-2)} ≦ n/2,
　√{3*(n-3)} ≦ n/2,
　　　･･････
　　　･･････
　√{(n-2)*2} ≦ n/2,
　√{(n-1)*1} ≦ n/2,
　　　　　　n = 2*(n/2),
辺々かける。

867:１３２人目の素数さん
09/05/15 08:41:07
>>854
とりあえずa=1, ε = 0のときの
変化を描いてみる。
a = 1.01や0.99などにして変化を描いてみる。
εも同様にずらす。
最後にaとεを同時にずらす。くらいの図を用意して考察書いておけば。

868:１３２人目の素数さん
09/05/15 11:33:27
>>863
(2)の方はR1やR2が同値関係を表してないような気がする。

869:１３２人目の素数さん
09/05/15 12:24:38
関係だけしか見てなかったのだろうな。

870:812
09/05/15 12:43:31
>>812は難しいでしょうか？

871:増田哲也氏２ちゃん降臨
09/05/15 12:49:32
◆ghclfYsc82 ＝数学者・増田哲也（専門：置換・左様素環）元筑波大学助教授

ここ数ヶ月　猫関係のＨＮで数学板で荒らしまわる
四六時中書き込みしているので、関わりにならないように注意されたし

徳島の事件については謝罪の石がないようだ

872:１３２人目の素数さん
09/05/15 13:20:40
東大と京大相手に犯罪予告してたな、そいつ。

873:１３２人目の素数さん
09/05/15 13:29:36
>>812
違うかもしれないけど
通分すると

Σ_{k=1 to n} (n!/k)/n!

分子はk番目の項はkを除いた階乗の意味
pがn以下の最大の素数としたとき
2p > n の場合
k ≠ pならば(n!/k) は pの倍数

(n!/p) だけが分子で残るが
pの倍数にはならずpで約分できないことになる。

みたいにやっていくんだろうか？

874:あ
09/05/15 13:31:57
２の１００乗÷１００の余りを教えて下さい。

875:鳥獣戯画氏２ちゃん降臨 ◆ghclfYsc82
09/05/15 13:40:48
◆ghclfYsc82 ＝不良中年・鳥獣戯画（専門：猥褻行為・管理職へ反抗）元国家へ服従大学用務員

ここ一ヶ月　動物関係のＨＮで数学板で説教を垂れる
四六時中書き込みしているので、精々叩いてやって下さい

旧蝕刃での狼藉については瀉剤の医師は休診中

876:１３２人目の素数さん
09/05/15 14:35:46
>>874
2^100 = 1267650600228229401496703205376

877:ねこ君 ◆ghclfYsc82
09/05/15 14:48:21
そやから７６やと言うてるやろ～

878:１３２人目の素数さん
09/05/15 15:02:04
>>874
2^n (n=1,2,3,…) の下二桁
02
04 08 16 32
64 28 56 12
24 48 96 92
84 68 36 72
44 88 76 52
04 以下繰り返す

2^(20*k), k=1,2,3,… は全部下二桁が76

879:１３２人目の素数さん
09/05/15 16:37:16
>>816
少し数式いじってみましたが、

3 1=行列Aとおいて
8 3

A^-1 . [2, -5/4](=U) => [29/4, -79/4](=X)
となり、この組Xは与式41x + 15y = 1 を満たすので、
一度有理数を介すことが出来るなら、[-4, 11]にこだわる必要はなく一意というのは言いすぎでした。

A^-1 . [-1,1] => [-4,11]
A^-1 . [3,-2] => [11,30] これも与式を満たす

さらに、偶然にU=[-1, 1], U=[63,178]など整数の組が出ればいいのですが、
有理数の組[2,-5/4]などでもいいのでこの行列による方法は思ったより制約がなかったので
有理数を会してもよいなら機械的だと思います。
でも、PCだと浮動少数演算がサポートされていないくて整数しか駄目というのもあるんで…
ただ、この行列による方法はいろいろ技が詰め込まれていて面白かったですが、何か名前がついた有名な解法なのでしょうか？

880:１３２人目の素数さん
09/05/15 16:38:04
さらに、偶然にU=[-1, 1], U=[3,-2]など

881:１３２人目の素数さん
09/05/15 17:28:13
2arctan(x)+arctan(2x)=π
と
arcsin(x)+2arcsin(2x)=π
xの符号の決め方がわかりません

882:１３２人目の素数さん
09/05/15 17:29:39
p､qを異なる素数とするとき、整数ａとｂ(ａ＜ｂ)の間にあってpqを分母とする規約分数の和を求めよ。

だれか助けて

883:１３２人目の素数さん
09/05/15 18:04:34
>>881
arctan については x=0 のほかに x=±√2を得たんだね? それはプラスの
解をとらなければいけない。さもないと arctan xはマイナスになって、
加えたものも -πになる。
arcsinも同じ。x = ±(√5)/8 のうち、正のほうをとる。

884:１３２人目の素数さん
09/05/15 18:08:14
>>883
理解できました！
ありがとうございます

885:１３２人目の素数さん
09/05/15 18:09:51
>>882
a(pq)+1 から b(pq)-1までの整数を加える。つぎにこの範囲の pの倍数を引く。
この範囲の qの倍数を引く。pqの倍数を加える。以上をpqで割って、おしまい。

886:１３２人目の素数さん
09/05/15 18:18:04
>>882
nとn+1の間の和を求めて、さらにそれをn=a～b-1でΣをとる方が考えやすいかな。

で、nとn+1の間の和については、
k/pq (npq＜k≦(n+1)pq)
の総和から、既約でない物の和を引けばよい。

887:１３２人目の素数さん
09/05/15 18:32:35
x≧0,y≧0,2x+y=3のとき,x^2+y^2は
x=0,y=3のとき最大値9
x=6/5,y=3/5のとき最小値9/5

で、なぜx=0のときに最大値を取るかがわかりません。

888:１３２人目の素数さん
09/05/15 18:37:03
>>887
2x+y = 3 ということは、y = -2x + 3 の直線を書いてごらん。そして
x>=0, y>=0 だから、この直線が x-y軸の第一象限で切られる部分を
考える。x^2+y^2というのは、この直線上の点の原点からの距離(の2乗)その
ものだから、x=0で最大というのは、直線の切片 3というのが、もっとも
離れた場所なのだろう。

889:１３２人目の素数さん
09/05/15 19:28:41
T、O、H、O、K、U、U、N、I、V、E、R、S、I、T、Y
の16個の英字を一列に並べる
同じ文字が隣り合わないような並べ方は何通りか

890:１３２人目の素数さん
09/05/15 19:33:41
院生が自殺するという1通り

891:１３２人目の素数さん
09/05/15 19:50:50
888>>距離の二乗･･･なるほど！！
わかりました。
丁寧な解説ありがとうございます。

892:１３２人目の素数さん
09/05/15 19:54:17
>>889
まず同じ文字がどれでいくつあるかチェックだ

893:１３２人目の素数さん
09/05/15 19:56:56
>>892
T、O、U、Iが2つずつです
計算しようとしましたが諦めました

894:１３２人目の素数さん
09/05/15 19:57:56
諦めるなよ！
やれる　できる　できる

895:１３２人目の素数さん
09/05/15 20:01:25
｛16!/(2!×4)｝－｛12!/(2!×4)｝
でできるのかな・・・
どうだろうなぁ・・・

896:１３２人目の素数さん
09/05/15 20:06:07
>>895
それはTT,OO,UU,IIで全て隣り合ってる場合だけを考えた臭くないか？

897:１３２人目の素数さん
09/05/15 20:16:43
>>896

｛12!/(2!×4)｝が12!
ならOKですか？

898:１３２人目の素数さん
09/05/15 20:29:34
全体‐(TTが隣り合う*4)+(TT,HHが隣り合う*6)-(TT,HH,UUが隣り合う*4)+(TT,HH,UU,IIが隣り合う)
16!/2!2!2!2!-15!/2!2!2!*4+14!/2!2!*6-13!/2!*4+12!
ではだめかな？

899:854
09/05/15 21:27:43
返答ありがとうございます！
大変参考になりました

900:１３２人目の素数さん
09/05/15 21:55:55
>>898
これでよさそうだ。プログラムを書いて検証した (16文字の順列だと
メモリーにおさらまらないので、11文字中4文字種をダプらせる形に
縮小したが）。ここにある式の形で、正しい結果を得た。

901:863
09/05/15 22:37:13
>>868
なんで？

902:812
09/05/15 23:11:34
ガウス式割り算なるものを最近知ったのですが、
これは有名なものなのですか？

903:１３２人目の素数さん
09/05/15 23:30:38
>>898 >>900
ありがとうございます。

904:１３２人目の素数さん
09/05/15 23:35:57
>>902
どんなもの？

905:１３２人目の素数さん
09/05/16 00:15:40
>>902
なんぞそれ？

906:714
09/05/16 01:38:34
>>719
ありがとうございます
できれば、求め方を教えてください

907:１３２人目の素数さん
09/05/16 02:31:48
>>906
>>719ではないがその問題は
少なくとも2個は空けておく確率→C(n,2){(n-2)/n}^n
少なくとも3個は空けておく確率→C(n,3){(n-3)/n}^n
ちょうど2個空く確率は
C(n,2){(n-2)/n}^n-C(n,3){(n-3)/n}^nだと思います

908:１３２人目の素数さん
09/05/16 08:28:48
>>902
ﾅﾆｿﾚｵｲｼｲﾉ?

909:１３２人目の素数さん
09/05/16 08:35:02
ガウス式わり算 - Google 検索
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)

ガウスのわり算 - Google 検索
URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)

何か色々出てきた

910:719
09/05/16 08:57:31
>>714
>>906

これについてだが、>>748 と >>750 で修正回等した。箱の数ｎが 7個まで
シミュレーションしたが、式と合致するのでだいじょうぶと思う。(それ以上は
場合の数が爆発して、プログラムにおさまらない). n=0, 1, 2では解のないこと
が式の上で自動的に出てきたのは面白い。

式の導きかたは、一つの箱に 3個はいる形で空きが 2箇所できる場合の数
C(n,2)・C(n,3)・(n-2)・(n-3)!　(2箇所空席のつくりかた、3個組のつくり
かた、3個組の場所の置き方、残り n-3の配分のしかた)

と 2個入りの箱が 2個できるかたちでの分配の場合の数
C(n,2)・(C(n,2)・C(n-2,2)/2)・C(n-2,2)・(n-4)! （空き箱のとりかた、
2個組を2つのつくり方、2個組の置き方、残りの並べかた)

を加えて全体の場合 n^nで割ったのではなかったかと思うが、詳細はわすれた。

911:１３２人目の素数さん
09/05/16 11:15:39
f(x)=(-x^4+x^2)(1/2-cos(2π/x))　　(x≠0)
x=0で極小値を取らないことを示せ。

微分を何回かやったんですが検討がつきません。。。
何か調べ方はあるんでしょうか？どなたか教えてください

912:812
09/05/16 11:26:59
例えば1÷23を考えると、0.043478まで普通に筆算する。
ここで余り6が出てくるのですが、これは2段階前の余り18の1/3倍であることに着目。
以降の商は1/3倍になるので、7を3で割って2(商の続きに書く)、その余り1と次の8で18(ここの部分は暗算する)、
それを3で割って6(商の続きに書く)、その余り0と次の2で2(暗算)、それを3で割って0(商の続きに書く)、
その余り2と次の6で26(暗算)、それを3で割って8…

という、有理数の割り算を高速化するものなのですが、何故これでいいのか理解出来ません(∋_∈)

913:１３２人目の素数さん
09/05/16 12:42:13
>>912
f(x)は x=0 は定義域でないので、極小もへったくれもないのであるが、別途 f(x)=0の
定義を補えば連続になって議論は進行する。
こうすると (d/dx)f(x) = 0 (停留点)だが、まだ極大でも極小でもない。
極小を言うには小さな h をとって f(0±h) >= f(0) を証明することに
なるが、1/2-cos(2π/x)は正負に振動するので、こうはならない。ということ
で OK? この部分 1-cos(2π/x)なら極大かな。

914:１３２人目の素数さん
09/05/16 12:50:09
>>912
1/3だから3で割ってるだけなのでは？

915:１３２人目の素数さん
09/05/16 13:34:07
>>912
その手順で2608…を求めるところは、0.2608… = 78/(3×100-1)
つまり (78/300)/(1-1/300) を求めているものと解釈できる。3とか
78とか 100　とかはどこから出てきたか、わかるだろう。
つぎに (78/300)/(1-1/300)は等比級数の和と思えば、
78/300 + 78/300^2 + 78/300^3 + …　だが、例の手順はまず 78/300
を 0.26 + 0/300と計算しておいて、余りの部分を足しこみながらあら
ためて商を 300で割ることで 78/300^2を計算して…、とこの
級数の計算をしていることがわかる。

916:１３２人目の素数さん
09/05/16 14:08:15
>>912
18÷23＝0.78abcdefg……とすると、18÷23＝0.78あまり0.06だから、18÷23＝0.78+0.06÷23。
従って、0.06÷23＝0.00abcdefg……なので6÷23＝0.abcdefg……。
一方、6÷23＝0.78abcdefg……÷3だから、0.abcdefg……＝0.78abcdefg……÷3。
長ったらしく書いたけど、要するに>>914。
0.78abcdefg……÷3を実際に計算していくと、最初は78÷3までしか計算出来ないが、
7÷3をやった時点でaがわかり、18÷3でbがわかり……となっていくということ。

917:１３２人目の素数さん
09/05/16 14:27:47
加速計算の一種かな。

918:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:13:21
>>909
ガウス消去法（ピボット使ったアルゴリズム）がでてくるけど、これじゃないの？
ピボットを1にするように割り算するから似てなくもないけど。
もしくはwikiとかちょっと興味あるからある程度体系的に書いてあるところないかな（英語でもいいよ）。

919:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:38:47
既に書かれているのに
今更、異を唱えるってどういうこｔ

920:１３２人目の素数さん
09/05/16 15:48:13
正解が書かれてから予想大会in数学板

921:１３２人目の素数さん
09/05/16 16:36:23
>>919-920
よく読んでみたら等比数列と有理数の関係のことか。
加算加速とか書いてあったからエイトケン加速と間違えた。悪かった。
とこで、グーグル先生に聞いても知らないみたいだったけど、それがガウス割り算の仕組みなの？

922:１３２人目の素数さん
09/05/16 16:45:39
そういえば最近グーグル先生は盗撮影（グーグルマップ）したり
著作権無視で強引に無断引用したり（グーグルブック）して、
あまりほっとくと情報は十分たちのものとか勘違いして調子乗っちゃうんじゃないの？
そもそもグーグルはITバブルの虚像企業だし、ここまで調子乗るともう信用できないな。
東大・早稲田のODINとかもよかったけど、グーグルはそろそろ落ち目なのかもね。

923:１３２人目の素数さん
09/05/16 16:53:39
盗撮のことを盗撮影と書く人なんて
めずらしいな^^

924:１３２人目の素数さん
09/05/16 17:25:51
>>923
とうさつを変換できないのは俺だけ？

925:１３２人目の素数さん
09/05/16 17:31:39
盗撮

変換一発で出る

926:１３２人目の素数さん
09/05/16 17:39:06
盗撮出るなあ。

927:１３２人目の素数さん
09/05/16 17:49:12
俺だけか・・・
グーグル雑魚に文句言うからもういい（＞＜＃

928:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:05:15
かな漢字変換とgoogle関係ないじゃん。

929:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:05:47
自分を十分と書く人もめずらしいw

930:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:10:56
lim ａn=α、lim ｂn=βのとき

lim(ａn-ｂn)=α-β
と
lim cａn=cα

cは定数。limはn→∞を示す。
エロい人お願いします

931:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:15:38
ε-N法で一発

932:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:16:26
>>930
URLﾘﾝｸ(aozoragakuen.sakura.ne.jp)

933:１３２人目の素数さん
09/05/16 18:41:46
>>929
これはただの誤字脱字。
数学の定義や条件をうるさく言うのは分からないでもないけど、これはちょっとね・・・・そんなにヒマなの？

934:猫不動産 ◆ghclfYsc82
09/05/16 19:06:15
アパートやったらエエのがありますよ、駅からたった「十分」でっせ

935:１３２人目の素数さん
09/05/16 19:27:30
>>934
一応それ、「じっぷん」な

936:１３２人目の素数さん
09/05/16 19:36:06
じってをじゅってというのは何時から？

937:１３２人目の素数さん
09/05/16 19:36:30
俺「五十歩百歩」をずっと「ごじゅっぽひゃっぽ」と読んでいたよ

938:１３２人目の素数さん
09/05/16 19:38:05
十人十色　を　じっじんじっしょく　で読んでいたよ。

939:１３２人目の素数さん
09/05/16 19:54:32
f(x) = ∫g(x)dx
ただしg(x)はf(x)の関数

この場合のf(x)を求めるのに必要な道具は何ですか?
何を手がかりにしていいのか、さっぱりわかりません。

940:１３２人目の素数さん
09/05/16 19:55:48
十歩は不可能だろう。
将棋盤は縦横9こまでしかマス無いよ。

941:１３２人目の素数さん
09/05/16 19:56:31
>>939
g(x)はf(x)の関数という条件が意味不明過ぎるので
なんともいえない。

942:１３２人目の素数さん
09/05/16 19:57:09
> ただしg(x)はf(x)の関数

の意味がわからん。

943:１３２人目の素数さん
09/05/16 20:05:19
>>940
十歩は常に二歩であることを証明せよ

944:939
09/05/16 20:07:29
たとえば
g(x) = 1/f(x)
などです。

実際にやりたい計算は、もう少し複雑で、変数がもっと多いのですが・・・

945:１３２人目の素数さん
09/05/16 20:21:09
>>944
つまり
y = f(x)として
g(x) = p(y) とする。

y' = p(y)
{1/p(y)} y' = 1
∫{1/p(y)} dy = x + c
この左辺の積分が分かればいい。