高校生のための数学の質問スレPART215

高校生のための数学の質問スレPART215 at MATH

1:１３２人目の素数さん
09/01/11 22:13:55 BE:227210764-PLT(46020)
前スレ
高校生のための数学の質問スレPAT214
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

数学@2ch掲示板用掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
URLﾘﾝｸ(members.at.infoseek.co.jp)

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。（トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・マルチ（マルチポスト）は放置されます。
・950くらいになったら次スレを立ててください。

2:１３２人目の素数さん
09/01/11 22:14:41 BE:170408636-PLT(46020)
基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで。
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除）
　a+b　→　a 足す b　　　（足し算）
　a-b　→　a 引く b 　　　（引き算）
　a*b　→　a 掛ける b　　（掛け算）
　a/b　→　a 割る b　　　（割り算）

■ 累乗　^
　a^b 　　　　a の b乗
　a^(b+1)　　a の b+1乗
　a^b + 1　　（a の b乗）足す 1

■ 括弧の使用
　a/(b + c)　と a/b + c
　a/(b*c)　　と a/b*c
　はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください。

■ 数列
　a[n] or a(n) 　　　　→ 数列aの第n項目
　a[n+1] = a[n] + 1 　→ 等差数列の一例
　Σ[k=1,n]a(k)　　　 → 数列の和

■ 積分
　∫[0,1] x^2 dx
　∫[0,x] sin(t) dt

■ 三角関数
　(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1
　cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
　AB↑　a↑

3:１３２人目の素数さん
09/01/11 22:15:00 BE:142007235-PLT(46020)
主な公式と記載例

(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)

√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b　[a>0、b>0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a>b>0]

ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a　　[２次方程式の解の公式]

a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R　[正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A)　　　　　 [余弦定理]

sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)　　[加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)

log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
(log_{a}(x))^n=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a))　　[底の変換定理]

f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h　　[微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2)　[和差積商の微分]

4:前スレ717
09/01/12 02:49:16
前スレ>>718
返事遅れました。
なるほと、両辺に1をかけるのと同じですね。納得です。
ありがとうございました！

5:１３２人目の素数さん
09/01/12 02:55:53
どういたしまして

6:１３２人目の素数さん
09/01/12 12:18:11
答えがないので、解き方と答え教えてください。
【問題】
４枚のカードに1から4までの異なる数字が書かれている。この中から1枚を取り出し、もとに戻すという試行を３回繰り返す。取り出すカードに書かれた数を順にa、b、cとするとき、次の問いに答えよ
(1)積abcが偶数になる確率を求めよ
(２)２次方程式 ax(２乗)＋bx＋c＝0 の解が重解となる確率を求めよ
(３)２方程式 ax(２乗)＋bx＋c＝0の実数解の個数の期待値を求めよ
具体的な解き方まで教えていただけたら有難いです。よろしくお願いします。

7:１３２人目の素数さん
09/01/12 12:20:25
>>6
さんざんマルチ

8:１３２人目の素数さん
09/01/12 12:25:52
>>6
解き方教えてもらったんだからせめて自分の回答くらい晒せ
書き込めばなんでも答えが返ってくると思うな

9:１３２人目の素数さん
09/01/12 12:50:32
①　√ｘの導関数を答えて下さい
②　cosx-sinxをｒsin（ｘ±θ）の形を表して下さい
③cosx-2cos^2x=0を満たすｘを答えて下さい（２ｘでは無く２乗　ｘです）
何度もすいません・・やり方教えて下さい

あと、
④　地震の大きさはマグニチュードＭと地震のエネルギーＥ［Ｊ（ジュール）］は
log10E=4.8＋1.5M
の関係がある。２００４年に起きた新潟中越地震はＭ＝6.8であったそうです。
　　この地震のエネルギーを求めなさい。
　　広島に落とされた原爆の推定エネルギーは5.5×10^13[J]だったそうです

この問題も誰かお願いします　　

10:１３２人目の素数さん
09/01/12 13:05:03
いいから自分の考えを書けよ

11:１３２人目の素数さん
09/01/12 13:35:04
y＝(sinx)^n

０＜x＜π/２

ｎ＝２、３…

の変曲点の座標を(a_n、b_n)とする。

数列{a_n}、数列{b_n}の極限値を求めよ。

についてです。素直に解いていくと

{a_n}はπ/２に収束しました。

b_n＝(sina_n)^nだから

b_n→sinπ/２

よって{b_n}は1に収束する。

という間違えた結論が得られました。間違いの指摘と改善解説お願いします…

12:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:23:57
大きい√の中に13＋4√10が入ってる問題が解けません
だれか教えてください

13:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:27:51
>>11
問題で求めろといっている値は
lim[n→∞] (sin(a_n))^n であって、
lim[n'→∞](lim[n→∞] sin(a_n))^n' ではない。

これは1/n→0なので
lim[n→∞] (1/n)n = lim[n'→∞](lim[n→∞] 1/n)n' = 0
になるという議論と同じ誤り。
一般にlim[n→∞] f(n,n) ≠ lim[n'→∞](lim[n→∞] f(n,n'))。

正しくは、sin^2(a_n) = 1-1/n,
b_n = (1-1/n)^(n/2) = (1+(-1/2)/m)^m (m=n/2),
なので、a_n → π/2, b_n → e^(-1/2) (n→∞)

14:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:31:03
>>12
13+4√10
=13+2√40
=(√5 + √8)^2
すなわち答えは√5+2√２

15:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:32:31
∫sin(x^2) dx
はどうやって計算すればいいんでしょうか。

16:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:33:00
>>14
なんでそんなでたらめ言うの？

17:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:34:42
>>11
その問題だいぶ前に回答もらってなかったっけ？

18:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:45:12
>>15
区間[0,∞)の積分ならば、計算できる。

αを実定数、x≧0として、
f(x) = (∫[0,x]sin(t^2+α/2)dt)(∫[0,x]cos(t^2+α/2)dt),
g(x) = ∫[0,1]cos(x^2(1+t^2)+α)/(1+t^2)dt
とすると、
(d/dx)f(x) + (1/2)(d/dx)g(x) = 0
が成り立つので、f(x) + (1/2)g(x) = 定数で、x=0を代入して定数を計算すると
f(x) + (1/2)g(x) = (π/8)cosα
となる。

g(x)の積分区間を[0,1/√x]と[1/√x,1]の２つに分けて、絶対値を評価すると
|g(x)| ≦ 1/√x + |∫[1/√x,1]cos(x^2(1+t^2)+α)/(1+t^2)dt|
　＝ 1/√x + |∫[1/√x,1](d/dt)sin(x^2(1+t^2)+α)/(2x^2 t(1+t^2))dt|
　≦ 1/√x + 1/(4x^2) + 1/(2x√x) + 2/x
なので、
|g(x)|→0, x→∞。

α=0のときlim[x→∞]f(x)=π/8なので
(∫[0,∞]cos(t^2)dt)(∫[0,∞]sin(t^2)dt) = π/8
α=π/2のときlim[x→∞]f(x)=0なので、
(∫[0,∞]cos(t^2)dt)^2 - (∫[0,∞]sin(t^2)dt)^2 = 0
したがって、
∫[0,∞]cos(t^2)dx = ∫[0,∞]sin(t^2)dx = ±√(π/8)

∫[0,∞]sin(t^2)dx = ∫[0,√(π/2)]sin(t^2)dx + ∫[√(π/2),∞]sin(t^2)dx
　≧ ∫[0,√(π/2)]sin(t^2)dx + 1/√(2π) - ∫[√(π/2),∞](1/(2t^2))cos(t^2)dx
　≧ ∫[0,√(π/2)]sin(t^2)dx
　＞ 0
したがって、
∫[0,∞]cos(t^2)dx = ∫[0,∞]sin(t^2)dx = √(π/8)

19:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:50:03
>>18
sin(x^2)の原始関数は分からないということですか？

20:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:51:41
>>19
フレネル積分という特殊関数になります。

21:１３２人目の素数さん
09/01/12 14:52:43
っていうか前スレに出てなかったっけ
理解できなかったけど

22:１３２人目の素数さん
09/01/12 15:08:22
>>20
わかりました。どうもありがとうございました。

23:１３２人目の素数さん
09/01/12 15:17:53
僕がセンター試験数学で200点満点をとれるように応援して下さい
お願いします

24:１３２人目の素数さん
09/01/12 15:21:36
>>23
来年まで頑張れば必ず２００点とれるよ
ファイト！

25:１３２人目の素数さん
09/01/12 15:38:52
>>12です
>>14さんありがとうございます
>>16さんマジすか！？　できれば正しい答えお願いします

26:１３２人目の素数さん
09/01/12 15:40:59
f(x)=axe^-ax^2
ってどう微分するんですか？
参考書見てもよくわかりません。

27:14
09/01/12 15:50:32
>>25
いや、あってるよｗｗｗ
見ればわかるだろｗｗ

28:１３２人目の素数さん
09/01/12 15:51:30
>>26
式が全然わかんない>>2読んで

29:12
09/01/12 15:59:29
>>27さん失礼しました　ありがとうございます
>>12を簡単にせよって問題だったんですが答えに√5+2√2を書いたらいいんですか？

30:１３２人目の素数さん
09/01/12 16:01:44
>>26
知恵袋とマルチ

31:27
09/01/12 16:23:01
>>29
そう
よくわかんないなら二重根号でググったり参考書で探して

32:１３２人目の素数さん
09/01/12 16:41:38
数学の問題です。お願いします。

点Ｏを原点とする空間の2点Ａ（1，3，5）Ｂ（6，‐2，10）の位置ベクトルをそれぞれａﾍﾞｸﾄﾙ，ｂﾍﾞｸﾄﾙとし、直線ＡＢ上の点Ｐの位置ベクトルをｐﾍﾞｸﾄﾙとする。

①｜ｐﾍﾞｸﾄﾙ｜（ｐﾍﾞｸﾄﾙの大きさ）が最小となる点Ｐを求めよ。

② ①で求めた点Ｐに対して、△ＯＡＰの面積を求めよ。

33:１３２人目の素数さん
09/01/12 16:55:01
１　　　　　　　１　　　　　　　　　　　１
―　　　　－　　―　　　　　　　　－　　―
２Ｋ2乗　　　　２（ｋ＋１）2乗　　　　　（ｋ＋１）３乗

これを通分すると答えは何になりますか、お手数ですが宜しくお願いします。

34:１３２人目の素数さん
09/01/12 16:57:04
>>33
>>2-3読んで書いて
つーかただの計算じゃん
通分できないの?
だったら小学生からやり直せ

35:１３２人目の素数さん
09/01/12 16:59:26
>>32
O,A,Bを含む平面を考えれば方針はすぐ出る。
(1)図形的に、AB↑とp↑=OP↑が直交するとき。
OP↑=(1-s)OA↑+sOB↑と置いて成分表示して、内積考えればすぐにsが出せる。

図形的に、というのが嫌なら、この成分表示から|OP↑|^2　を
sの2次関数の形で考えて、これが最小になるときのsを出す。

(2)(1)前半の方針でやれば、あるいは後半の方針でやってもAB↑⊥OP↑で
あることを改めて示せば、直角三角形だと分かってるから、AとPの座標から
（1/2）AP・OP計算して終了。

これを使わないなら、内積と長さから面積出す公式があるんでそれ使う。
OA↑=a↑、　|OA↑|=a、|p↑|=pとして
S=（1/2）√（a^2・p^2-(a↑・p↑）^2)
a↑・p↑=|a||p|cosθ（θはa↑とp↑のなす角）、1-（cosθ)^2=（sinθ）^2だから
この式は(1/2)ap・sinθに等しい。

36:１３２人目の素数さん
09/01/12 17:17:40
1/X・logxってさらに変形できますか？
あと０！＝０ですか？

37:１３２人目の素数さん
09/01/12 17:19:47
変形不可
0!=1

38:１３２人目の素数さん
09/01/12 17:21:24
真数の指数にできる

39:１３２人目の素数さん
09/01/12 18:05:43
みんな僕を応援して下さい

40:１３２人目の素数さん
09/01/12 18:09:28
>>39
がんばれ

41:１３２人目の素数さん
09/01/12 18:11:32
>>39
落ちろカス

42:１３２人目の素数さん
09/01/12 18:33:50
>>39
パソコンの電源を消して机に向かったほうがよい。

43:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:12:48
3機のジェット機A,B,Cはこの順に30分間隔でP地点からQ地点に向かって出発した。
Bは出発後1時間30分でAに追いつき、さらにその1時間後にCと同時にQ地点に到着した。
Aの速さは30km/h、B,Cもそれぞれ一定の速さで飛行したものとする。ただしA,B,CはP地点からQ地点までを最短距離で飛行したものとする。
次の問いに答えよ。

途中のある地点で、1機目のジェット機が通ってから2機目のジェット機が通るまでの時間と、
2機目のジェット機が通ってから3機目のジェット機が通るまでの時間が等しかったという。
このような地点は2つある。P地点とこれらの地点との距離をそれぞれ求めよ。

この問題が分かりません。教えてください。

44:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:35:17
2桁の自然数の中で、4でも6でも割り切れない数は何個あるか。

10～99まで90個あるから4で割れるのは22個、6で割れるのは15個、12で割れるのは7個。だから22+15-7=30,90-30=60

解答は61なのに60になってしまう･･
誰か間違ってるとこ教えてください。

45:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:37:12
12で割れるのは8個。

46:43
09/01/12 19:38:27
お願いします。

47:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:39:15
>>45
四捨五入するの忘れてた･･
お騒がせしました。

48:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:42:23
>>46
やってみます。

49:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:43:46
必要十分条件についての質問です。

【Ｑ1】
『Ａであるための必要十分条件がＢ』とは、『Ａ⇔Ｂ』と『Ｂ⇔Ａ』のどちらで表しても良いのでしょうか？

【Ｑ2】
『Ａ⇔Ｂ』と解答用紙に記入した上で、必要性とだけ言ったら『Ａ→Ｂ』と『Ｂ→Ａ』のどちらのことを指すのでしょうか？
「『Ａ→Ｂ』の証明」とか、「Ｂであるための必要性」とか書かないと判断が付かないのでしょうか？

よろしくお願いします

50:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:45:47
2次関数y=ax^2+bx+1はx=2のときの最大値になり、x=-2のときはy=-11になる。最大値はいくらか。

お願いします。

51:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:46:42
>>49
⇔は必要十分のときの略号。
Aであるための必要条件がB、の記号的な記述は　A⇒B　だ。

52:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:47:32
>>51
忘れてくれ。

53:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:50:08
>>49
1.どちらでもよい。
2.ちゃんと書かないとわからないからちゃんと書きなさい。

>>50
x=2のとき最大値なので、
ax^2-bx+1=a(x-2)^2+1-4a
あとはわかるな。

54:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:53:42
>>53
ごめんなさい
何でax^2-bx+1=a(x-2)^2+1-4aになったのかわかりません

55:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:54:44
>>54
平方完成しただけ。

56:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:54:59
>>44
90を割ってるのがそもそもの間違い。
常に1から数字は数えるべきなので，1～99までにいくつあるか，1～9までにいくつあるかを考える。
例えば4で割り切れるものは
[99/4]=24
[9/4]=2
24-2=22で22個となる。決して[90/4]ではない。

57:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:55:51
>>55
わかりました。ありがとうございました。

58:１３２人目の素数さん
09/01/12 19:59:01
>>56
勘違いしてました。ありがとうございます。

59:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:02:01
>>43
Aが出発してからt(時間)後のP地点からの距離をy(km)としてtとyの関係を調べる。
それでもわからなかったら、自分が考えたところまでを示そう。
投げやりは絶対だめだ。

60:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:04:27
ジェット機A 30km/h
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

61:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:10:25
△ABCの頂点A,B,Cの対辺をそれぞれa,b,cとすると
∠A=60°,2a=b+cのときこの三角形はどのような三角形になるか。

お願いします

62:49
09/01/12 20:15:24
>>53
【Ｑ2】についてです。
『Ａであるための必要十分条件がＢ』と言うことを証明する問題で、『Ａ⇔Ｂと言うことを証明する』などと解答用紙に記入したとします。
記入した上で、解答用紙に『ｱ)必要性の証明』などと書いた場合、そこでは『Ａ⇒Ｂ』と『Ｂ⇒Ａ』のどちらの証明をすれば良いのでしょうか？
よろしくお願いします。

63:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:15:56
>>61
正三角形っぽいな。
三角形の形状問題は余弦定理とかで3辺の関係を出す。
それと与えられた条件を比較するんだが、やってみたか？

64:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:19:23
>>62
あ、そういう意味じゃなくて、「必要性の証明」では意味が通らないから、
ちゃんと「A⇒Bを示す」とかって書きなさいと言った。

65:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:21:22
>>63
やり方わかんないです

66:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:23:19
>>65
甘えるな
a^2を余弦定理であらわしてみよ

67:49
09/01/12 20:25:10
>>64
ありがとうございました。
すっきりしました。

68:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:26:36
>>66
a^2=b^2+c^2-2bc*cosθ
ここからどうやるんですか？

69:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:26:47
>>65
余弦定理くらい教科書読んでやってみろ。
あとはaを消去したらbとcの関係がでるだろ。

70:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:27:22
100個の製品を仕入れて２割の利益を見込んで60個売った。
その後、定価の２割引で40個売ったら利益は合計で8320円になった。
この製品の仕入れ値はいくらか。

この問題の解き方をどなたか教えてください…！

71:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:31:28
>>68
a=(b+c)/2を代入して整理するぐらいしてから聞け

72:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:32:51
>>43
>>70
お前ら本当に高校生かｗ

73:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:33:39
>>61です
解けました。ありがとうございます。

74:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:33:46
>>70
値引き前と値引き後はそれぞれ原価の何倍の値段で売ったんだろうかね

75:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:34:08
塾の問題なんだけどわかんないです…

76:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:39:46
>>70
君は計算云々よりまず、問題がどういうことを言いたいのかを理解するのが先だ
つまり日本語の理解から始めよう

77:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:42:57
>>75
小中学生の質問版があるからそっちに書き込めば？

78:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:45:40
>>43
灘中の過去問乙

79:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:53:06
俺>>75本人じゃないけど、代わりにここでの質問を撤回して小中スレに書き直すのはどうかな
普通に考ええりゃそんな理不尽な、と思うかもしれないが
どうせ本人はそんな気を利かせられないだろうさ

さあ、そんな醜態晒したくなかったら自分で行動を起こせ！

80:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:54:44
>>79
うっさいハゲ

81:１３２人目の素数さん
09/01/12 20:56:00
ぎくっ！なぜ俺がハゲだとバレたんだ

82:１３２人目の素数さん
09/01/12 21:07:57
3機のジェット機A,B,Cはこの順に30分間隔でP地点からQ地点に向かって出発した。
Bは出発後1時間30分でAに追いつき、さらにその1時間後にCと同時にQ地点に到着した。
Aの速さは30km/h、B,Cもそれぞれ一定の速さで飛行したものとする。ただしA,B,CはP地点からQ地点までを最短距離で飛行したものとする。
次の問いに答えよ。

途中のある地点で、1機目のジェット機が通ってから2機目のジェット機が通るまでの時間と、
2機目のジェット機が通ってから3機目のジェット機が通るまでの時間が等しかったという。
このような地点は2つある。P地点とこれらの地点との距離をそれぞれ求めよ。

PQ間の距離はわかったんですけど、これからがわかりません。

83:１３２人目の素数さん
09/01/12 21:09:56
>>82
じゃあ自分の解いたとこまで晒せ
お前がどの程度わかってるのかこっちもわからんから

84:１３２人目の素数さん
09/01/12 21:20:25
>>83
オマエがどれほどの回答者かもこっちはわかってねーしｗ

オマエがどの程度かわかってるのかこっちもわかってネーヨ。

一から解答晒して説明してみろよボケ！

最近、わかってもないのにえらそーに言ってるカスばかりだからなｗ

85:１３２人目の素数さん
09/01/12 21:21:52
>>84
また変なの沸いた
yahoo知恵袋（笑）君以来だな

86:１３２人目の素数さん
09/01/12 21:25:29
もうこういうのはスルーでいいだろ
俺のレスを最後に>>82 >>84はスルー

87:１３２人目の素数さん
09/01/12 21:28:40
以降、>>82と>>84はｽﾙｰだよｗ

88:43
09/01/12 21:40:30
ありがとうございます。
PQ間の距離を求めてからなにをすればいいかわかりません。

89:１３２人目の素数さん
09/01/12 21:54:19
よろしくお願いします。2重根号の計算をお願いします。

√( 80-32√2 ) です。40±8√17 がでてきてしまいました。

90:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:01:42
>>89
違うよ数字も複合がついていることも違う

91:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:02:23
>>90
すみません。答えをご教授願えませんか？

92:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:03:00
>>89　また君か
√( 80-32√2 )
=√{80-2√(2^9)}
=√{(√16 + √64)^2}
=√16 + √64
=4+8
=12

93:92
09/01/12 22:06:46
ごめん
間違えた

94:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:07:25
中学生の問題ですが、どなた様か解いてください。
お願いします。（答えまでの過程も教えていただけると幸いです。）
①URLﾘﾝｸ(www.dotup.org)
②URLﾘﾝｸ(www.dotup.org)
③URLﾘﾝｸ(www.dotup.org)

95:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:07:28
3機のジェット機A,B,Cはこの順に30分間隔でP地点からQ地点に向かって出発した。
Bは出発後1時間30分でAに追いつき、さらにその1時間後にCと同時にQ地点に到着した。
Aの速さは30km/h、B,Cもそれぞれ一定の速さで飛行したものとする。ただしA,B,CはP地点からQ地点までを最短距離で飛行したものとする。
次の問いに答えよ。

途中のある地点で、1機目のジェット機が通ってから2機目のジェット機が通るまでの時間と、
2機目のジェット機が通ってから3機目のジェット機が通るまでの時間が等しかったという。
このような地点は2つある。P地点とこれらの地点との距離をそれぞれ求めよ。

PQ間の距離はわかったんですけど、これからがわかりません。

96:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:08:10
3機のジェット機A,B,Cはこの順に30分間隔でP地点からQ地点に向かって出発した。
Bは出発後1時間30分でAに追いつき、さらにその1時間後にCと同時にQ地点に到着した。
Aの速さは30km/h、B,Cもそれぞれ一定の速さで飛行したものとする。ただしA,B,CはP地点からQ地点までを最短距離で飛行したものとする。
次の問いに答えよ。

途中のある地点で、1機目のジェット機が通ってから2機目のジェット機が通るまでの時間と、
2機目のジェット機が通ってから3機目のジェット機が通るまでの時間が等しかったという。
このような地点は2つある。P地点とこれらの地点との距離をそれぞれ求めよ。

PQ間の距離はわかったんですけど、これからがわかりません。

97:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:08:49
すいません、二重投稿してしまいました。

98:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:09:00
>>94
残念ながらここは冬休みの宿題を他人に丸投げするスレじゃないんだよ。

99:89
09/01/12 22:09:08
>92
違いますよね。これはややこしいですよね。

100:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:09:30
>>89
外せないんじゃないか？　4√（5-2√2）　とは変形できるが、
足して5、掛けて2になる2つの自然数はない。

外せるはずならそこに至る計算でミスってると思う。

101:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:10:52
なんで無視するんですか？

102:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:11:19
>>92

103:89
09/01/12 22:11:47
>>100
外せないのですね。ありがとうございます。

やり直してみたら、2重根号がまたまたでてきてしまいました（涙

104:92
09/01/12 22:12:31
ごめん
>>100の言うとおりだ

105:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:12:32
>>98
すみませんでした。説明不足でした。
これは期末テストの対策用に学校で配られたプリントです。
自分は図形が苦手でひらめきがないのでここのいる誰か様に教えていただこうと
思ったのです。

106:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:12:37
3機のジェット機A,B,Cはこの順に30分間隔でP地点からQ地点に向かって出発した。
Bは出発後1時間30分でAに追いつき、さらにその1時間後にCと同時にQ地点に到着した。
Aの速さは30km/h、B,Cもそれぞれ一定の速さで飛行したものとする。ただしA,B,CはP地点からQ地点までを最短距離で飛行したものとする。
次の問いに答えよ。

途中のある地点で、1機目のジェット機が通ってから2機目のジェット機が通るまでの時間と、
2機目のジェット機が通ってから3機目のジェット機が通るまでの時間が等しかったという。
このような地点は2つある。P地点とこれらの地点との距離をそれぞれ求めよ。

教えてください。PQの距離は100kmってわかったんですけど、ここからが分かりません。

107:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:17:11
>>106
時間と距離の関係のグラフはかいたか？

108:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:24:54
>>94　（長さはすべてcm）
(1)高校スレなんで高校生の道具を使う。
△OCBで三平方の定理を適用して、円の半径は2√5
tan∠OCBは、tan∠CBD=1、tan∠CBO=1/2だから
（対称性よりOはCDの中点）
（1-1/2）/（1+1・（1/2））=1/2　÷　3/2　=　1/3
従ってcos∠OBD=3/√（1^2+3^2））=　3/√10

△OBFは二等辺三角形なので、
FB＝2*OB*cos∠OBD=4√5　*　3/√10　=　6√2

109:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:25:35
グラフをかくというのがよく分かりません。

110:89
09/01/12 22:26:08
皆様、ご回答有り難うございました。

111:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:31:38
>>108
ご回答いただきありがとうございました。
高校の数学はレベル高すぎですね。

112:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:31:41
>>108
三角比を使ってやるなよｗｗ
まあ高校生のためのスレだからいいかも知れんが。

>>94
(1)∠FDE=45°、∠DFE＝90°（∵EBは直径)、AD=DE=4cmから、DF=4/√2=2√2
BD=4√2なのでBF=BD+DF=6√2

113:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:33:08
>>94
(3)ADの延長とBEの延長をの交点をFとする。
△ABF∽△DEFを使ってAFの長さが出せる。
三平方の定理でBFの長さも出る。

円の半径をｒとすると、
△ABFの面積=（1/2）AB・AF
一方、△ABFは△OAB+△OBF+△OFAと分割でき、
こう考えると△ABFの面積=（ｒ/2）（AB+BF+FA）
これからｒの方程式ができて、それを解けばよい。

なお、△ABFは３辺の比が3：4：5になるから、現在高１でやるような
分母の有理化は発生しない、と思う。

114:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:35:31
>>109
お前しつけーよ死ね

115:94
09/01/12 22:40:32
>>112、113
ありがとうございます。
ちなみに皆さんからしたらこれらの問題のレベルはどれくらいですか？

116:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:43:11
>>115
高校数学なら基本問題

117:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:44:32
死にません。

118:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:45:04
>>94
(2)　△OEBを考えるtと∠OEB＝90°（ABがEを通る接線、
円の接線は半径と直交）
∠Bが共通なので△ABC∽△OBE
円の半径をｒとするとOB=（5/3）ｒになるからCB=4=ｒ+（5/3）ｒで
ｒが求められ、BEの長さも出せる。
EからBCに垂線下ろしてその足をHとすると、
△EBCがまた△ABCと相似なので、EBの長さを使ってEHの
長さが出る。あとは、ていへんかけるたかさわるに。

119:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:46:23
>>115
俺は結構てこずったw
幾何は苦手なのよ

120:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:46:29
>>118
しつこい

121:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:49:46
>>118
×：△EBCがまた△ABCと相似　→　○：△EBHが…　に訂正。

>>115　このくらいなら、じっとにらんで2,3分ってとこかも。>>108みたいに
中学範囲の発想内で解けないことも往々にしてあるが。

122:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:51:44
幾何は高校数学を使ったほうが楽だよ。
中学生のうちは難しいのはしかたない。素手だからね。

123:１３２人目の素数さん
09/01/12 22:53:42
>>115
3分で解いておきたいレベル。

>>94
(2)
これとABに関して折り返した対称な図形を描くと、(3)と同じ方法（後述)でBEの長さが出る。
Eに対応する点をE'とするとEE'の長さが△BEE'∽△BAA'から出せる。
円の半径OCの長さは△OEB∽△ACBから出す。
面積はEE'*DC/2

(3)ADとBEの延長の交点をFとおく。
AD,AB,BEと円の接点をそれぞれG,H,Iとすると、AGOHが正方形であることを考えるとAG=OGであるので
OG=xとおく。
三角形の合同からHB=BI,IF=FG,GA=AHが分かるので、AFの長さをxで2通りで表して解く。

124:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:01:18
放物線とその接線で囲まれた面積の求め方教えて。

125:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:02:05
初等幾何の知恵って、どんな形でどんな分野に発展していくのかねぇ？

126:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:02:31
一応、2通りで表す方法。
AH=xからBH=8-x=BI
BI=8-xからIF=BF-8+x=GF
AF=AG+GF=2x+BF-8
これにAF,BFの値を代入。

127:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:03:00
>>124
∞

128:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:03:03
曲線
ｙ=√x+1(x＞1)
の法線で原点を通るものの方程式を求めよ。

これをどなた様か解いていただけませんか？よろしくお願いいたします。

129:94
09/01/12 23:03:23
>>116、118、121、122、123
ご丁寧にありがとうございます。
僕は文系なので数学がとても苦手なんですが、このような問題には
やはりひらめきの才能が必要ですか？（中学数学だけで解く場合）

130:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:05:41
>>128
括弧のつけ方ちゃんとして
微分して法線立てて原点の座標入れれば簡単にもとまるよ

131:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:10:47
>>129
まったくの素人なら才能の差がものをいう。
でも使う定理、補助線のパターンなんて限られてるから中学数学では経験のほうが重要。

俺は試験に出る幾何の問題は嫌い。クイズとしての問題なら好き。

132:94
09/01/12 23:17:05
>>131
ありがとうございます。自分もしっかりと努力して生いきたいと思います。

133:128
09/01/12 23:17:39
曲線の式をきちんと打ててなかったみたいです。すみません
ｙ=√(x+1)
(x ＞ -1)

>>130さん
ありがとうございます。
微分まではわかるのですが、それからが解りません…

134:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:20:16
>>133
法線ってのは、接線と直交する線のこと。

135:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:20:39
>>133
教科書ちゃんと読めよ
法線の傾きaは接線の傾きbを用いて
a=-1/bとかける

136:128
09/01/12 23:31:23
>>134、>>135
ありがとうございます。
きちんと方程式を書けていなかった上に、
教科書に書いてあることを聞いてしまってすみませんでした。

ちゃんとやれば解ける問題でした。本当にありがとうございました。

137:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:44:50
解法について教えていただけませんか？よろしくお願いいたします。

三つのさいころA,B,Cを同時に投げて出る目の数を、それぞれa,b,cとして、百の位の数字がa,十の位の数字がb,一の位の数字がcである三桁の自然数xを考える。
このとき、xが3で割り切れる確率を求めよ。ただし、3で割り切れることとは、a+b+cが3で割り切れることである

138:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:48:00
>>137
足して3で割り切れればいいんだから、
i)全部3で割り切れる
ii)全部3で割って1余る
iii)全部3で割って2余る
iv)ひとつは3で割り切れ、ひとつは3で割って1あまり、ひとつは3で割って2余る
のどれか。

139:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:53:00
>>138
回答ありがとうございました

140:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:54:50
f(x)を区間0≦x≦1において0≦f(x)≦1を満たす二次関数とする。
a[n+1]=∫[0,a[n]]f(x)dx
と定めるとき、lim[n→∞]a[n]を求めろ。

という問題なんですが、わかりません・・・。
0≦f(x)≦1から0<a[n+1]<a[n]はわかるんですが・・・。

141:１３２人目の素数さん
09/01/12 23:57:33
0≦a[1]≦1です。すいません。

142:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:03:20
>>140
実際にf(x)=ax^2+bx+cとおいて
0≦x≦1において0≦f(x)≦1という条件からa,b,cを使った不等式作ってみたら?

143:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:07:00
>>138
すいません
（1/3）^3*4
でやったんですが答えと違います
何がいけないんでしょうか

144:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:08:38
>>143
>>138のiv)の確率は(1/3)^3ではない。

145:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:10:37
>>142
二次関数ってのはフェイクでどうでもいい条件じゃないかとにらんでたんですが・・・。

使えそうな条件はf(0)のときとf(1)のときの0≦c≦1、0≦a+b+c≦1くらいでしょうか？

0<a[n+1]<a[n]から即座にlim[n→∞]a[n]=0とは言えないですよね？
厳密に証明しないと・・・。

146:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:18:23
３次関数f(x)=2x^3-3ax^2+2a^2-6がある。ただしaは正の実数とする。
1≦x≦2におけるf(x)の最小値をg(a)とする。aが1≦a≦3の範囲で変化するとき、g(a)の最大値。

極値出してどうしたらいいかわかりません。。。
よろしくお願いします。

147:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:19:25
>>145
もうちょっと踏み込んでもらえるとおじさんうれしかったな
おき方ややこしかったからp,q,rにするね
実際に積分してみると
a_[n+1]={p*(a_n)^3}/3+{q*(a_n)^2}/2+c*a_n=a_n[{p*(a_n)^2}/3+{q*(a_n)}/2+c]<(a_n)*(p/3+q/2+r)
p/3+q/2+r<p+q+r≦1だから後は挟み撃ち

148:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:20:23
>>146
とりあえず自分でやったところまで書きな。

149:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:22:25
微分してやると6x^2-6axなのでx=0で2a^2-6 x=aで-a^3＋2a^2-6まで出ました

150:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:23:34
>>144
i)全部3で割り切れる
これはｃが３か６
ii)全部3で割って1余る
ｃが１か４
iii)全部3で割って2余る
ｃが２か５

ってことで本当にいいんでしょうか？

で、
iv)ひとつは3で割り切れ、ひとつは3で割って1あまり、ひとつは3で割って2余る
これは3！かければOKですかね？

151:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:28:37
>>149
そしたらグラフの概形をイメージすれば、「1≦x≦2におけるf(x)」がどこでの値かはわかるよね

>>150
全部「cが」じゃなくて、「a,b,cともに」
それから、最後はなんで3!をかければいいかはわかっている？

152:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:34:11
>>151
すいません
「cだけで解ける！」といわれたもので。。。

3!は(i)、(ii)、(iii)に順列が存在するってことでいいんでしょうか

153:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:36:19
>>152
ん？誰に言われたの？

＞3!は(i)、(ii)、(iii)に順列が存在するってことでいいんでしょうか

いまいち不明瞭な言い方だけど、まぁ、わかってるのかな？日本語が変だから判断できない。

154:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:38:53
>>151 すいません、いまいちよくわからないのですが。。。
とりあえず1≦x≦2なのでg(a)はf(2)かf(a)の-a^3＋2a^2-6ってことですか?

155:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:40:48
>>154
うん、そう。

156:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:42:13
>>153
わかってないに100万ジンバブエドル

>>154
ｘ=2とx=aではどちらで極小を取ってどちらで極大を取るかはわかるか？

157:156
09/01/13 00:43:11
なんか勘違いして変なこと言った、無視してくれ

158:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:43:14
>>147
なるほど、ありがとうございました！
さっき思いついた方法なんですが、
f(x)の原始関数をF(x)としたとき、
a[n+1]=F(a[n])-F(0)
平均値の定理より{F(a[n])-F(0)}/(a[n]-0)=f(c[n])　（0≦c[n]≦a[n])を満たす実数c[n]が存在。
よってa[n+1]=a[n]*f(c[n])で、0<a[n+1]<a[n]から0<f(c[n])<1。
a[n]=f(c[n-1])*f(c[n-2])*・・・*f(c[1])*a[1]で、f(c[i])(i=1,2,3・・・n-1)のうち最大のものをf(c[j])とすると、0<f(c[j])<1であるので、
0<a[n]<f(c[j])^(n-1)*a[1]から
lim(n→∞)a[n]=0

とできますか？
一般化してみたつもりなんですが・・・。

159:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:43:33
>>156
x=2は極値じゃないんだが。

160:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:44:13
xについての2次方程式ax2+3x+1=0の実数解の個数を求めよ。
ただし、aは実数の定数とする。
ax2の2は2乗の意味です。

161:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:44:30
>>160
判別式

162:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:45:50
>>160
ただしa≠0とa=0で場合分けを忘れるな。

163:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:46:03
>>153
あ、
a、b、cそれぞれに(i)、(ii)、(iii)を入れる？っていうかそんな感じです

164:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:50:31
>>158
なるほどね
アイデアは面白いと思った
ただしf(x)=1のときは明らかに問題成り立たないよね
そう思って俺は二次関数に着目したんだ
ところで{F(a[n])-F(0)}/(a[n]-0)=f(c[n])から
a[n+1]=a[n]*f(c[n])が導かれるのはなんでかにゃ？
f(x)=e^xとかあるよ

165:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:51:33
>>164
あ、ごめん最後の3行は無視して
よくみてなかったｗ

166:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:53:51
>>165
0<f(c[n])<1がおかしいんだ
0≦f(c[n]≦１
だね
0≦f(x)<1だったら成り立つんだろうね
すばらしいです

167:１３２人目の素数さん
09/01/13 00:55:26
>>158
c_jはnに依存するからn→0で0に収束するとは限らんぞ
たとえば(1-1/n)^n

168:１３２人目の素数さん
09/01/13 01:11:30
>>167
定数じゃないとだめなんですか・・・。
じゃあやっぱり2次関数ってことを利用して>>147さんのようにやらなきゃだめですね。
ありがとうございました。

169:１３２人目の素数さん
09/01/13 01:24:39
あれ？ところで
p/3+q/2+r<p+q+r≦1
これはどうやって示すんですか？

170:１３２人目の素数さん
09/01/13 01:26:54
>>169
ありゃ、示せないね
間違ってたか
へたれ回答者ですまん

171:１３２人目の素数さん
09/01/13 01:32:23
あ,でも絶対値とれば
-1<p/3+q/2+r<1が示せそうです
ありがとうございました

172:１３２人目の素数さん
09/01/13 01:34:42
どういたしまして

173:１３２人目の素数さん
09/01/13 02:07:13
>>162
有難うございます。
解けました。

もう一つ質問ですが、
円x2+y2=a2(ただし、a>0)が、直線y=x+1から切り取る線分の長さが√14であるとき、aの値を求めよ。
(x2、y2、a2の2は2乗の意味です。)

174:１３２人目の素数さん
09/01/13 02:12:00
>>173
切り取る長さが√14になるとき、円の中心と直線のキョリがいくつになればいいか考えるんだ。

あと次から質問するときは正しい表記を使うように.(x^2+y^2=a^2など)

175:１３２人目の素数さん
09/01/13 02:12:12
>>173
ちゃんと>>2-3見て書き込んで

連立させて出した二つのx座標の差の絶対値割るcos(π/4)が切り取る長さ
なぜならば直線の傾き1=tan(π)だから

176:147
09/01/13 02:56:44
>>171
絶対値とっても示せないと思う
そこで今頃だがひらめいた
0≦∫[0.1]f(x)dx≦1より
0≦p/3+q/2+r≦1だ

177:１３２人目の素数さん
09/01/13 03:01:03
この問題の場合、>>174の方針のほうが数段速い。

まず図を描く。弦の両端と中心を結び、さらに原点と弦の中点を結べば、
等辺aの二等辺三角形の中線の長さが1/√2、底辺が√14という
構図が見える。あとは三平方。

178:１３２人目の素数さん
09/01/13 03:17:41
a>0とする。
命題｢|xｰa|+|yｰa|≦aならばx^2+y^2＜5^3である｣が真であるような整数aのうち、最大のものを求めよ。

179:１３２人目の素数さん
09/01/13 03:18:53
いやです

180:１３２人目の素数さん
09/01/13 03:42:17
>>178
　　　| x - a | + | y - a | ≦ a　・・・(i)
　　　x^2 + y^2 ＜ 5^3　・・・(ii)
x-y平面上で、(i)の表す領域をＣ、(ii)の表す領域をＤとおくと
　　　｢ | x - a | + | y - a | ≦ a ならば x^2 + y^2 ＜ 5^3 ｣
⇔｢Ｃ ⊂ Ｄ｣
ＣとＤの形を考える。

181:１３２人目の素数さん
09/01/13 10:51:13
>>9
すいません、①②③はできました。
けど下の④はＥ＝１５
⑤はｘ＝１/2
となったのですが自信がないです。誰か解いてください

④　地震の大きさはマグニチュードＭと地震のエネルギーＥ［Ｊ（ジュール）］は
log10E=4.8＋1.5M
の関係がある。２００４年に起きた新潟中越地震はＭ＝6.8であったそうです。
　　この地震のエネルギーを求めなさい。
　　広島に落とされた原爆の推定エネルギーは5.5×10^13[J]だったそうです

⑤2^(2x)-2^(x＋１）＋1=0を満たすｘ

お願いします

182:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:01:55
>>181
散々マルチしてたやつに答えたくないけど少しはといたみたいだから
4
とりあえず表記法は>>2-3みて書いて
まあ、俺も結構適当に書いてるけど
log[a]b=cのときb=a^c
5
2^x=yとした時2^(2x)=y^2,2^(x+1)=2y

183:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:07:45
すみませんが(x+y)^5は
x^5 +5x^4y +9x^3y^2 +9x^2y^3 +5xy^4 +y^5　でよろしいでしょうか？
文字を入れた計算はgoogleでやってくれないのでお願いします

184:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:09:38
>>183
真ん中の二つの項の係数が違う
ていうかx=y=1とか入れてみたら違うことわかるだろ
二項定理とか知らないの?

185:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:15:01
>>182
ありがとうございます。
では④は１５で合ってますよね？
⑤は・・・最初から分からないのですが、
何故２^（２ｘ）＝y^2
2^(x＋１)＝２ｙとなるのですか？

186:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:17:56
>>184
パスカルの三角形？は知っていたのですが、対応関係が分からなかったので……
間違いが分かりました。回答してくださりありがとうございました

187:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:19:33
>>185
４
指数はね
５
教科書嫁カス
値代入したら成り立つことぐらいわかるだろうが
少しは自分で考えろ

188:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:23:50
>>187
理解しました。
あの２^x=1ってでたんですけど、ｘ＝０で良いのですか？
あと２^(1/2)はなんぼになるのですか？

189:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:26:17
>>188
だからさ、答えでただったら代入してみりゃいいじゃん
2^(1/2)は、、、って教科書読めよ
{2^(1/2)}^2=2がヒント

190:１３２人目の素数さん
09/01/13 11:32:35
>>189
ありがとうございます。
わかりました！色々と教えてもらってありがとうございました

191:１３２人目の素数さん
09/01/13 12:23:01
>>190
どういたしまして。

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