【解析】誰かこの領域の体積を求めてくれ【積分】

【解析】誰かこの領域の体積を求めてくれ【積分】 at MATH

1:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/28 00:53:14
【問題】
0≦a[i]≦1,-1≦c[i]≦1のとき、以下の領域
1/√(c[1]^2+…+c[n]^2)≧1/√(c[1]^2/a[1]^2+…+c[n]^2/a[n]^2)+1
のa[1]…a[n]c[1]…c[n]空間（R^(2n)）における体積を求めよ。

という問題（自作）なんだけど、これまた激ムズｗ自分で解けなくなったｗｗ
でも、惜しいところまではいってると思うから俺の方針を以下に書いておくね。
もちろん、これとは違う方針を思いついたならぜひトライしてもらいたい。

【方針】
(1)a[1]…a[n]空間（R^n）における体積v[n]を求める
(2)c[1]…c[n]空間（R^n）においてv[n]を積分し、題意の体積w[n]を求める

【解析】
s[i]=|c[i]|(1/√(c[1]^2+…+c[n]^2)-1)
とおくと
v[1](s[1])=s[1]
v[n](s[1],…,s[n])=s[n]/√(1-s[1]^2-…-s[n-1]^2)+∫[s[n]/√(1-s[1]^2-…-s[n-1]^2),1]v[n-1](s[1]/√(1-s[n]^2/a[n]^2),…,s[n-1]/√(1-s[n]^2/a[n]^2)da[n]
w[n]=∫…∫[c[1]^2+…+c[n]^2≦1]v[n](s[1],…,s[n])dc[1]…dc[n]
=2^n∫…∫[c[1]≧0,…,c[n]≧0,c[1]^2+…+c[n]^2≦1]v[n](s[1],…,s[n])dc[1]…dc[n]
→極座標変換

この方法で
w[1]=1
w[2]=(5/4)π-8/3
w[3]=(7/15)π
w[4]=π((33/32)π-96/35)
という結果が得られたんだけど、めちゃくちゃ大変だったんだよね。n=5とかやる気が起きないｗ
ちなみにこの結果を得るためにv[1],v[2],v[3],v[4]を使ってるわけだけど、これがまた一般項を推定できないくせものｗ
こちらについての考察もＷＥＬＣＯＭＥ！

ということで、誰かw[n]を求めてくれ！！もしくは、このスレで一緒に考察していこう！！

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