【解析】誰かこの領域の体積を求めてくれ【積分】

【解析】誰かこの領域の体積を求めてくれ【積分】 at MATH

1:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/28 00:53:14
【問題】
0≦a[i]≦1,-1≦c[i]≦1のとき、以下の領域
1/√(c[1]^2+…+c[n]^2)≧1/√(c[1]^2/a[1]^2+…+c[n]^2/a[n]^2)+1
のa[1]…a[n]c[1]…c[n]空間（R^(2n)）における体積を求めよ。

という問題（自作）なんだけど、これまた激ムズｗ自分で解けなくなったｗｗ
でも、惜しいところまではいってると思うから俺の方針を以下に書いておくね。
もちろん、これとは違う方針を思いついたならぜひトライしてもらいたい。

【方針】
(1)a[1]…a[n]空間（R^n）における体積v[n]を求める
(2)c[1]…c[n]空間（R^n）においてv[n]を積分し、題意の体積w[n]を求める

【解析】
s[i]=|c[i]|(1/√(c[1]^2+…+c[n]^2)-1)
とおくと
v[1](s[1])=s[1]
v[n](s[1],…,s[n])=s[n]/√(1-s[1]^2-…-s[n-1]^2)+∫[s[n]/√(1-s[1]^2-…-s[n-1]^2),1]v[n-1](s[1]/√(1-s[n]^2/a[n]^2),…,s[n-1]/√(1-s[n]^2/a[n]^2)da[n]
w[n]=∫…∫[c[1]^2+…+c[n]^2≦1]v[n](s[1],…,s[n])dc[1]…dc[n]
=2^n∫…∫[c[1]≧0,…,c[n]≧0,c[1]^2+…+c[n]^2≦1]v[n](s[1],…,s[n])dc[1]…dc[n]
→極座標変換

この方法で
w[1]=1
w[2]=(5/4)π-8/3
w[3]=(7/15)π
w[4]=π((33/32)π-96/35)
という結果が得られたんだけど、めちゃくちゃ大変だったんだよね。n=5とかやる気が起きないｗ
ちなみにこの結果を得るためにv[1],v[2],v[3],v[4]を使ってるわけだけど、これがまた一般項を推定できないくせものｗ
こちらについての考察もＷＥＬＣＯＭＥ！

ということで、誰かw[n]を求めてくれ！！もしくは、このスレで一緒に考察していこう！！

2:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/28 01:06:49
v[n]の漸化式のda[n]の前に括弧閉じ「)」が無かった
スマン

3:１３２人目の素数さん
08/12/28 01:11:57
単発スレ立てるなよ～

4:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/28 01:14:45
>>3
いやさ、質問スレで聞くことも考えたんだが、スレ立ての価値はあると思ったんだよ
ぜひおまえも考えてくれ

5:１３２人目の素数さん
08/12/28 01:21:01
僕は中学生ですが、参加していいですか。

6: ◆27Tn7FHaVY
08/12/28 01:22:45
読む気→0

7:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/28 01:26:33
>>5
おう、あったりめーだ
ただ、三平方の定理ぐらいしか知らないんならちょっとつらいかもよ

>>6
俺の方針とか解析とかは読まなくてもいいよ
問題だけ読めば、あとは自分の世界

8:１３２人目の素数さん
08/12/28 02:23:02
基礎論の問題なら付き合ってやっても良かったんだがな
解析は畑違いだ

9:１３２人目の素数さん
08/12/28 04:32:56
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10:１３２人目の素数さん
08/12/28 06:50:00
うんち
こん
こん

11:１３２人目の素数さん
08/12/28 09:15:57
1/√(c[1]^2+…+c[n]^2)≧1/√(c[1]^2/a[1]^2+…+c[n]^2/a[n]^2)+1

(Sc^2)^-.5>(S(c/a)^2)^-.5+1

12:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/28 23:30:14
年末に数学してるやつなんて少ないよな
今は救世主を待つ、そんな気がしてます…

13:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/31 03:29:56
大晦日だって数学だ！

14:１３２人目の素数さん
08/12/31 04:55:59
単発スレを立てる事がどれだけ愚かな行為なのかを分かっておらん様だな

15:１３２人目の素数さん
08/12/31 05:12:51
そもそも２ｃｈはそれぞれの板の趣旨に沿って､
既にある程度は知識・経験を持っている者同士が話を
深めていくところなのであって、初心者の質問は板においてはオマケに過ぎない｡

手間も費用もかけずにタダで知識をゲットしようなんて甘い､
初心者の質問は無視されても仕方が無い。それが2chの基本｡

でも､
「2chの人達ならばこの問題を解決してくれるかもしれない｣
と思って２ｃｈを訪れる善意の人たちの為に､
多くの板では飽く迄も《厚意で》質問専用スレを用意している｡
なのに､
「質問スレだと解答が遅い｣
「単発スレのほうがレスが早く着く｣
等のふざけた理由で単発スレを立てるヴァカが引きも切らない｡

もし、単発スレにいちいち解答していたとしたら、勘違い厨房が
「やっぱり単発スレの方が素早く解答を貰えるじゃないか｣
と感じて毎日毎日10個も20個も単発質問スレが立ってしまい､
5分前に立った似た様な単発スレすらも見付けられないだろう｡
そもそもこういう自己中なヴァカは過去ログなんか絶対チェックしない｡

その内に板内はその手の単発質問スレで埋め尽くされてしまうだろう｡
そうなればパート〇〇とか続いてる名シリーズスレもどんどんDAT落ちしてしまうだろう
という事ぐらい、5秒も考えれば分かりそうなもんだ｡

以上の様な思いを簡潔に纏めると【>>1は氏ね】と言う事になる｡

16:１３２人目の素数さん
08/12/31 06:01:59
補注。これはコピペ
ひろゆき氏の意と反する箇所が一点だけある｡
> 既にある程度は知識・経験を持っている者同士が話を
> 深めていく所なのであって、初心者の質問は板においてはオマケに過ぎない｡

ここだ。数板にも例外なく、こういう風潮がある事は否めない｡
2chは玄人衆の排他的閉鎖的意見交換所ではない｡
2ch創立時ひろゆき氏は素人玄人問わず、日常談話から専門知識まで
幅広く会話できる場の提供を目的としていた｡
別に、一般的には会社が社長の所有物ではないのと同様に､
2chもひろゆき氏の所有物ではないが､
玄人衆の排他的閉鎖的意見交換所の体裁はドグマ主義に発展してゆく｡
だから、ここはダウト｡

だがコピペが貼られた理由は、もう分かるだろう。単発出題スレの
設立などというサーバー負担迷惑行為は戒められるべきなのだ｡

17:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/31 07:17:59
単発スレの定義って何？
>>4にも書いたけど、最初は質問スレに書こうかとも思った。
しかしこの問題にはまだ答えが無い。つまり未解決問題。
未解決問題はスレッドとしてよく議題にあがる。

18:１３２人目の素数さん
08/12/31 08:05:59
しねよ

19:１３２人目の素数さん
08/12/31 08:16:08
>>17
まともなスレのある未解決問題って、
この問題が解ければ、新しい学問的進展があるっていう問題なんだよな。

少なくとも、お前が、この問題が解ける事（あるいは解法）に
目新しいものがあるっていう事は実証しないと駄目

単にややこしくした問題では、何の意味もないよｗ

20:１３２人目の素数さん
08/12/31 12:46:53
専用スレはべつにいいんだけど
問題の出所は書いといて欲しい
なんとなく思いついただけの自作問題って
解けないのが普通にあるから

21:１３２人目の素数さん
08/12/31 13:31:02
>>19
> まともなスレのある未解決問題って、
> この問題が解ければ、新しい学問的進展があるっていう問題なんだよな。

ダウト
このスレが当てはまらない
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

22:粋蕎<ｲｯｷｮｳ>
08/12/31 14:39:24
…そこまで奥行きありそうな問題かのう？

そのスレの9レス氏が言う様にするべきじゃが
シンプルで簡単な問題
のスレが無いな、必要じゃな

23:粋蕎<ｲｯｷｮｳ>
08/12/31 14:51:52
大体にして単に未解決問題と言えば
只単に未解決な問題という意味ではないのう｡
言葉を掻い摘んで「これも未解決問題」などと言って正当化したり
それ以前に「単発スレの定義って何？」と言うなど、目に余る｡

24:１３２人目の素数さん
08/12/31 15:17:21
> なんとなく思いついただけの自作問題って
> 解けないのが普通にあるから
そんなことないっしょ
e^(-x^2)の不定積分とかもっと複雑な関数の不定積分を求めなさいとか？
これらは確かに無理だけど、初等関数で表すのが無理なだけだったりする
あと、思いつきで解けない自作問題っていうとどんなのがある？
そうほいほい未解決問題が作れるんだったら論文ネタに困らないぜ

25:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/31 17:21:28
【出所】
以下の２つの楕円を考える。
①：(x-C)^2/A^2+(y-D)^2/B^2=1
②：(x-c)^2/a^2+(y-d)^2/b^2=1
①、②の中心をそれぞれＯ，Ｐとし、
半直線ＯＰと②の交点のうちＯから遠い方をＱ，
半直線ＯＰと①の交点をＲとする。
このとき、楕円の包含条件の近似としてＯＲ≧ＰＱ＋ＯＰを考えると
1/√((C-c)^2/A^2+(D-d)^2/B^2)≧1/√((C-c)^2/a^2+(D-d)^2/b^2)+1
①を単位円すなわち(A,B,C,D)=(1,1,0,0)とすると
1/√(c^2+d^2)≧1/√(c^2/a^2+d^2/b^2)+1
これを一般化すると>>1になる。

26:１３２人目の素数さん
08/12/31 20:14:21
>>24
>そうほいほい未解決問題が作れるんだったら論文ネタに困らないぜ

毎日何個の論文が世に出てるんだよｗ

27:１３２人目の素数さん
08/12/31 20:16:52
>>25
>これを一般化すると>>1になる。

・一般化する事の意味
・そもそもその元の問題の価値

せめて、これらについて、主張しないと。

シンポジウム発表とかで、
先生「それを一般化する意味は何ですか？」
>1 「・・・」
先生「ただ一般化しただけですか？」
>1 「・・・はい」
という情け無い事になるぞｗ

28:1 ◆O58eTyFUNE
08/12/31 21:01:37
数学やってるやつならとりあえず一般化したくなるよな？ｗ

29:粋蕎<ｲｯｷｮｳ>
08/12/31 21:10:10
で？シンポジウムに発表できる程、有意義かのう？

30:１３２人目の素数さん
09/01/03 06:35:43
なぜ問題を解くか・・・そこに問題があるから
問題を解く際にいちいち意義なんて考えない
意義はあとからついてくる（数学に限らず物理や工学で）

31:１３２人目の素数さん
09/01/03 11:05:20
研究に意味とか深みを求めるのは日本の数学者の悪弊だな。
本人が面白いと思ってやってるならそれで十分だ。

32:saikorodeka
09/01/04 23:47:58
〔問題〕
　f(a[1],a[2],a[3]) = ∫_{0<x[i]<a[i]} {1/(x[1]^2 + x[2]^2 + x[3]^2 + 1)^2} dx[1]･dx[2]･dx[3]
とおく。
　a[1], a[2], a[3] のいずれかが 0 のとき f=0.
a,b,c,d >0 のとき
　f(a/d, b/d,c/d) + f(a/c,b/c,d/c) + f(a/b,c/b,d/b) + f(b/a,c/a,d/a) = (1/8)π^2,
を示して下さいです。。。

〔系〕
　f(∞, ∞, ∞) = (1/8)π^2,
　f(1,1,1) = (1/32)π^2,

本年も宜しくおながいします。　(エレガントな解答をきぼん)

33:1 ◆O58eTyFUNE
09/01/05 01:36:52
>>32
君は誰？
そしてその問題は何？どこからきた？>>1に関係があるのか？

34:１３２人目の素数さん
09/01/05 01:56:56
全く質問スレ探してないなふざけやがって

35:１３２人目の素数さん
09/01/05 02:07:42
ったく馬鹿野郎が

くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(61桁略)3078
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

面白い問題おしえて～な十四問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

あー、スレ立てて質問した以上、質問し直しても『マルチポスト』だから
答えて貰えなくても僻むなよ
答えて欲しけりゃ詫び、且つ削除整理依頼した旨を添えて質問しろよな
そこまでしたって答えて貰えなくても僻むのは筋違いなんだからな
どちらにしろ削除整理依頼して来い

36:１３２人目の素数さん
09/01/05 02:21:28
>>33
　>>32 は数セミ１月号の「エレガントな解答･･･」ぢゃね？
　直方体サイコロの「目」の出る確率に関係するらしい･･･

37:粋蕎<ｲｯｷｮｳ>
09/01/05 16:26:32
言い方を変えよう…
>>35にある様なスレを使わずにスレを立てる程の意義はあるのか？

38:１３２人目の素数さん
09/01/08 01:05:23
>>1しぼう

39:１３２人目の素数さん
09/01/09 00:07:26
>>33
　藤田岳彦氏の連載ぢゃね？
　2008/12, p.56-59 「直方體のサイコロと多次元化逆正接函數」
　2009/01, p.62- 　「地球サイコロ」

40:１３２人目の素数さん
09/01/11 05:42:50
>>36,39
その記事中の
　Areatan(tanα, tanβ) = arcsin(sinα･sinβ),
らしいよ。

ついでに
A+B+C=π, a'=sin(A/2), b'=sin(B/2), c'=sin(C/2) とおくと
　a'/(a'+b'c') + b'/(b'+c'a') + c'/(c'+a'b') = 2,

　tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1,
　1/{tan(A)tan(B)} + 1/{tan(B)tan(C)} + 1/{tan(C)tan(A)} = 1,

41:１３２人目の素数さん
09/01/13 04:41:44
>>32
f(1,1,1) = π^2/32 の証明

f(1,1,1) = ∫[0,1]^3 dxdydz/(x^2+y^2+z^2+1)^2
= 2∫[0≦x≦1, 0≦y≦x, 0≦z≦1] dxdydz/(x^2+y^2+z^2+1)^2
　　y = xu と置換
= 2∫[0,1]^3 x/(x^2+x^2u^2+z^2+1)^2 dxdudz
= ∫[0,1]^2 {1/(z^2+1) - 1/(z^2+u^2+2)}/(u^2+1) dudz　　…(1)
　　前の項を積分
= π^2/16 - ∫[0,1]^2 dudz/{(z^2+u^2+2)(u^2+1)}　　…(2)

一方 (1) の { } の中を通分すると
∫[0,1]^2 dudz/{(z^2+u^2+2)(z^2+1)}　　…(3)

(2)=(3) で、(2),(3) の積分の部分が同じ値になることから
f(1,1,1) = (1) = (2) = (3) = π^2/32

42:１３２人目の素数さん
09/01/14 22:11:34
>>41
　㌧クス

43:1 ◆O58eTyFUNE
09/01/15 21:04:12
>>41
またなんで系の証明なんかしてるんだ？
問題が解ければ自動的に得られる事実だろ、系って。

しかし>>41はその解法のひらめき力が天才的とみた。
おまえこそ救世主、>>1をお願い！！

44:１３２人目の素数さん
09/01/17 00:31:53
>>32,>>36,>>39,>>40,>>41
すいません、この問題の答えが知りたいんですが、
エレガントな解答求むじゃないのであれば、
すでにもう答えは掲載されているということですか？
解答をうｐしてもらえませんか？
もしくは概略・方針でも結構です。

45:１３２人目の素数さん
09/01/17 01:18:53

　 ●●
　(*^-^)<偏微分方程式
　(つ旦O
　と__)_)　旦~旦~

46:１３２人目の素数さん
09/01/17 02:37:16
とりあえず問題をTeXで打ってpdfであげてくれるかな

47:１３２人目の素数さん
09/01/17 23:24:16
>>45
「偏微分方程式」だけでは、どうしていいか見当もつきません＞＜
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

48:１３２人目の素数さん
09/01/18 00:57:55
>>1のことか？>>32のことか？
いずれにせよ問題自体はシンプルだろ
>>1の解析は別にして

49:１３２人目の素数さん
09/01/18 00:59:11
おっと、>>48は>>46に対して

50:１３２人目の素数さん
09/01/19 13:57:24
いいですか、「積分」とはただの面積です。
絵を描いて小さなブロックに分ければ近似値は簡単に出せます。
だから「大学への算数」では、何の実用性もない「変数」を入れて誤魔化すわけです。
少し考えてみてください。「式が先に有る」のではなく、例えば「面積」という地理的実在物・
「速度×時間＝距離」という数値的実在物がまずあって、その合計として
「面積計算」が必要になるわけです。

要するに積分とは「綺麗に絵が描けるかどうか」の問題でしかないんですよ。
大体、自然界・人間界において綺麗に「数式」で表記できる自然現象の方が「稀」なのは
自明の話でしょうが、どこまで愚かなんですか、積分君は。
重積分でラーメンのドンブリに入れる「お湯の量」を測るんですかね？エイ？
おたまとかメモリ付きのカップを使いませんか？普通はそういう「小さな測定ブロック」を
使うんですよ。これが真の実用の知＝プラグマティズムなんですね。大丈夫ですか？（＾笑＾）

51:１３２人目の素数さん
09/01/19 15:14:58
>>50
スパはニュー速に帰れ
ここの崩れ共はお前が太刀打ちできる相手じゃない

52:１３２人目の素数さん
09/01/21 01:57:50
>>46
ご要望にお応えして。
URLﾘﾝｸ(www15.atwiki.jp)

>>50
数値積分の有効性は十分理解してるよ。
しかし高次元になると精度と時間の問題が出てくる。
あと、厳密解が得られるとn→∞の極限がとれるのもうれしいんだ。
これは0になると予想してるんだよね。
それと、任意のnに対しての計算方法を確立してるから、
絶対にnの式で表せるよ。

53:1 ◆O58eTyFUNE
09/01/21 02:00:25
トリップ入れ忘れたけど>>52は俺ね^^;

54:１３２人目の素数さん
09/01/21 19:44:42
そもそもｎ次元球の体積求められる実力をもったやつはかなりレア
理系でも１％はいないだろう
この問題はｎ次元球の体積求めるよりも難しいだろうから、
そもそもスタートラインに立てる人の絶対数が少ない

たしかKingは解析を専攻してたような・・・・・・

55:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/01/22 00:24:11
Reply:>>54 しかし解析学の解説書には載っている。

56:１３２人目の素数さん
09/01/22 00:28:28
>>55
じゃあ解いてくれ

57:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/01/22 01:08:05
Reply:>>56 ディリクレ積分からするか。

58:１３２人目の素数さん
09/01/22 22:25:38
Kingが問題に解答しているのをみたことがない
ディリクレ積分とやらで解答までいってみせろ

59:KingGold ◆3waIkAJWrg
09/01/22 23:15:18
Reply:>>58 球体内の定数関数の積分を変数変換してディリクレ積分にする。

60:１３２人目の素数さん
09/01/23 00:54:07
わかったわかった、で解答はいくつになるわけ？

61:25個の染色体
09/01/25 03:08:02
重積分の問題なのですが、ちょっとわからなくてもしわかったなら教えてもらいたいです。

(1)∬D x^2dxdy D:(x/a)^2+(x/b)^2≦1
(2)∬D (x+y)^4dxdy D:x^2+2xy+2y^2≦1

適当な変数変換を用いて計算するらしいです。

62:１３２人目の素数さん
09/01/25 04:20:32
どう変数変換すればいいか問題に書いてあるようなもんだろ、それ。

63:25個の染色体
09/01/25 13:49:36
それが書いてないんですよね(>_<)

64:１３２人目の素数さん
09/01/25 13:51:48
D:(x/a)^2+(x/b)^2≦1
D:x^2+2xy+2y^2≦1

この辺見て
＞適当な変数変換
がわからないのならあきらめろ。

65:１３２人目の素数さん
09/01/26 00:07:05
D:(x/a)^2+(x/b)^2≦1
↑なにこれ、問題はきちんと写そうね
２個目のxがyとして話を進めると

x=racosθ,y=rbsinθ
x+y=rcosθ,y=rsinθ

で逝けると思われる。

66:１３２人目の素数さん
09/01/26 02:34:21
>>52
山梨県と静岡県の面積を答えよ

浅間神社領域を加味せよ

67:1 ◆O58eTyFUNE
09/01/26 18:22:46
>>66
知るかよｗｗｗ

どうでもいいが、県境の長さは無限大だとフラクタルの先生が言ってた

68:１３２人目の素数さん
09/01/28 21:54:58
変数変換するときはヤコビアンを忘れないこと
短径x長径π