★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十六問 at MATH

1:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:06:28
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

過去ログは>>2以降

2:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:07:37
　過去ログ
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3:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:26:23
過去ログ倉庫
URLﾘﾝｸ(briefcase.yahoo.co.jp)

4:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:49:01
自然対数の底をe、および自然数nについて
e/(2n+2)≦e-(1+1/n)^n≦e/(2n+1)
が成り立つことを示せ。

このスレで似たような問題出てたなかったっけ？
図書館で刷った大数の宿題で見つけたのだけど。

5:１３２人目の素数さん
08/08/31 02:50:09
このスレじゃなくて過去スレの間違い。

6:１３２人目の素数さん
08/08/31 03:55:03
>>5
不等式スレじゃろ。

7:１３２人目の素数さん
08/08/31 11:50:10
さっき道歩いてたら>>1がキモい顔して近寄ってきたでまじムッカついてボコボコにしたら
鼻血出て眼鏡割れて前歯折れて「あがああ！まえば！おれた」て叫んでうざかったで
口に牛肉ねじこんだら「んごごごごご」とか呻いてたでオメガ便器に顔突っ込んだら
鼻血まみれで「ばぶう」とか言ってて超絶笑えたでとどめにしねバーカとか罵声あびしたったｗｗｗｗｗ
ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ>>1悲惨ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

8:１３２人目の素数さん
08/08/31 14:15:33
放物線Ｐ：ｙ＝ａｘ＾2 と円Ｃ：ｘ＾2 ＋ｙ＾2 ＝ａ＾2 (ただしａ＞０)
が囲む面積をＳ(ａ)とする
Ｓ(ａ)の最大値を求めよ

9:１３２人目の素数さん
08/08/31 14:26:06
[前スレ.956]

3次元空間内で次の不等式で表される多面体の体積を求めよ
　|x+y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4,

10:１３２人目の素数さん
08/08/31 14:29:02
>>9

(略解)
場合分けすると、左辺は
　4|x|, 4|y|, 4|z|, 2|x+y+z|, 2|-x+y+z|, 2|x-y+z|, 2|x+y-z|,
となるので、14面体である。
6面が正方形、8面が正3角形である。（立方８面体と言うらしい.）
頂点は12個。 (x,y,z) = (±1,±1,0)、 (±1,0,±1)、 (0,±1,±1).
稜は24本で、長さは√2.

・正方形は、面積S=2、高さh=1, 体積 (1/3)Sh=2/3,
・正3角形は、面積S=(√3)/2、高さh=2/(√3), 体積 (1/3)Sh=1/3,　　(*)
よって、体積V = (2/3)*6 + (1/3) *8 = 20/3.

*) 正3角形の中心は (±2/3,±2/3,±2/3). よって高さh=2/(√3).

11:１３２人目の素数さん
08/08/31 15:15:07
>>6
そうか、ありがとう。
数オリスレで話題になったことがあった富永(理Ⅲ→同大医学部卒→オウム)について調べようと、この年の大数をコピーしてきたけど、本当に宿題正解者の常連だった。

逆行列をもつ任意の２次の正方行列Aについてつぎの命題が真であることを証明せよ。
命題：任意の角θ(0<θ<π)についてp↑、q↑のなす角がθで、Ap↑とAq↑のなす角もθとなるような0↑でないp↑、q↑が存在する。
(86' 6月)

は富永の解答レポートが掲載されてた。暇な時間で適当に書き上げてtexで答えうｐしときます。

12:１３２人目の素数さん
08/08/31 17:17:49
>>522
じゃあ質問
逆行列をもつ任意の２次の正方行列Aについてつぎの命題が真であることを証明せよ。
命題：任意の角θ(0<θ<π)についてp↑、q↑のなす角がθで、Ap↑とAq↑のなす角もθとなるような0↑でないp↑、q↑が存在する。
証明教えてくれ

13:１３２人目の素数さん
08/08/31 17:46:12
えらい長距離パスやなｗ

14:１３２人目の素数さん
08/08/31 18:06:30
>>11
存在するわけねーじゃん
p↑とq↑のなす角は一意なんだから、任意のθになるわけがない

15:１３２人目の素数さん
08/08/31 19:22:05
>>14
バカ？

16:１３２人目の素数さん
08/08/31 19:47:09
>>15
は？どこが間違いか指摘してみろクズ

17:１３２人目の素数さん
08/08/31 21:02:00
∀θと∃p↑、q↑　such that ～　を　∃p↑、q↑∀θ↑　such that と読んでいるようだ。

18:１３２人目の素数さん
08/08/31 21:40:36
>>11はかなり大雑把に書くと
任意のθについて～が成り立つようなベクトルp,qが必ず存在することを証明しろ
ってことだよな？
とくにおかしい点は無いと思うが

19:１３２人目の素数さん
08/09/01 02:52:03
x進法で表された方程式x^3-3x^2-x+3=0を
x-2進法で表せ。

20:１３２人目の素数さん
08/09/01 04:07:20
題意がよく分からん
もしかして、ただの組み立て除法？

21:１３２人目の素数さん
08/09/01 04:11:33
t=x-2とおいて与式をtの式にすればいいのか？

22:１３２人目の素数さん
08/09/01 07:41:08
x進法なんて出さないだろ

23:１３２人目の素数さん
08/09/01 08:52:45
>>12
成分計算すりゃいいんじゃないの？

24:１３２人目の素数さん
08/09/01 08:57:55
>>23
エレガントに解いてお

25:１３２人目の素数さん
08/09/01 09:38:09
実数列b[0],b[1],b[2],…はb[n＋2]－2b[n＋1]＋b[n]≦0 (n＝0,1,2,3,…)を満たすとする。
また、実数列a[1],a[2],a[3],…はΣ[k＝1～n]a[k]≧b[n] (n＝1,2,3,…)を満たすとする。
このとき、次が成り立つ。
Σ[k＝1～n]a[k]^2≧Σ[k＝1～n](b[k]－b[k－1])^2 (n＝1,2,3,…)
また、この不等式において、a[n]＝b[n]－b[n－1] (n＝1,2,3,…)のときのみ等号が成り立つ。

26:１３２人目の素数さん
08/09/01 10:11:27
>>25
ほうほう
それで？

27:１３２人目の素数さん
08/09/01 10:26:30
0＝b[0]≦b[1]≦b[2]≦…　も必要だった(´・ω・｀)

28:１３２人目の素数さん
08/09/01 10:27:55
>>27
出題してんの？

29:１３２人目の素数さん
08/09/01 11:04:36
解く気がない奴にとっては、出題しようがしまいが、
そこに書かれているのは「定理」であり、逆に、
解く気がある奴にとっては、出題しようがしまいが、
そこに書かれているのは「問題」である。

出題か否かを問うのはナンセンス。

30:１３２人目の素数さん
08/09/01 16:11:00
なんだ結局>>14はただのゆとりだったのか

31:11
08/09/01 22:05:04
紹介のとこ以外は元の文一字一句をそのまま写した。
URLﾘﾝｸ(www36.atwiki.jp)

32:１３２人目の素数さん
08/09/01 22:15:22
>>10
　「立方８面体」は、立方体（稜の長さ2）から、頂点と3稜の中点を結んだ4面体（体積1/6)を除いたもの。
　V = (2^3) - (1/6)*8 = 20/3.

33:７７４３
08/09/01 23:06:20
>>32
明解な解答ですね。
対称性を利用して切断面を考えて積分でもできませんか？

34:１３２人目の素数さん
08/09/05 03:52:31
|{(-3)^n-(-1)^n}/n!|≦13/3

を示せ

35:１３２人目の素数さん
08/09/05 16:19:21
a[n]=|{(-3)^n-(-1)^n}/n!|=|{(-1)^n(3^n-1)}/n!|=(3^n-1)/n!
a[1]=2,a[2]=4,a[3]=13/3
n≧4でa[n]≦3^n/n!≦3^n/(3^(n-4)4!)=3^4/4!=27/8<13/3

36:１３２人目の素数さん
08/09/05 18:34:34
また糞問かよ

37:１３２人目の素数さん
08/09/06 01:03:07
前スレにまだ解かれてない面白そうな問題あったからそれでも解いて待ってなよ

38:１３２人目の素数さん
08/09/10 01:50:21
M 個の石の山と N 個の石の山がある。ただし M ≦ N である。
二人で交互に一度ずつ石を取っていき、最後の石を取ったほうが負けとなる。
片方の山から石を取るか、或いは両方の山から同数ずつ石を取れる。

a = (-1 + √5)/2, [x]を実数 x の整数部分として、

(M, N) = (0,1),(2,2), ([na], [na] + n)のときに後手必勝、その他のとき先手必勝となることを示せ

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:538-548番)

39:１３２人目の素数さん
08/09/12 00:50:04
Fn(x)=∑[k=1,n] x^(k-1)　とする。F5^(n-1)(x)≠0のとき、
F5^n(x)=0の解をそれぞれ2・5^(n-1)乗したものの総和を求めよ。
ただし重解の有無についての証明は無視してよく、N重解はN個の解として扱うものとする。

はじめ、持ち点を1とする。n個中1個が当たりのくじ引きを引き、当たりなら持ち点を倍にして戻し、
はずれなら何もせず戻すという動作をn回繰り返し、試行後の持ち点の期待値をXとする。
また、上記のようにして、当たりの時にa倍していったときの期待値をX'とする。
n→∞としたとき、X'がXの倍以上になるための最小の自然数aを求めよ。

An＝(2008^x)/{(k^a)x+k^b}^(k^c)　とし、F(x)＝A1*A2*A3*・・・*An　とする。
lim[n→∞] F'(0)/F(0)・n^m　＝α　が0<α<log2008　を満たすための、
整数a,b,cの関係式と実数mの値、またその時のαを求めよ。

正直小問つけたほうがいい気がするけど、その前に問題として成り立ってるかどうか怪しいのもあるから、
まぁまずお前らが解いてくれ。んで難易度調整とかしてみてくれ。

40:１３２人目の素数さん
08/09/12 23:50:46
最後の問題、An＝(2008^x)/{(k^a)x+k^b}^{-(k^c)} だった

41:１３２人目の素数さん
08/09/16 12:29:47
与えられた実数係数の整式f(x)について∫[0→1]f(x)dx=2、∫[0→1]xf(x)dx=3になるとする。
そのとき∫[0→1](f(x)-ax-b)^2dxの値を最小にする実数aおよびbの値を求めよ。

42:１３２人目の素数さん
08/09/16 22:36:01
>>8
PとCの交点をA,Bとする。
　A(√(b/a), b)　B(-√(b/a), b)
ここに b = {√(1+4a^4) -1}/(2a),
線分OAとPで囲まれた部分の面積は b^(3/2) / (6√a),
線分OBとPで囲まれた部分の面積は b^(3/2) / (6√a),
扇形OABの面積は (1/2)(a^2)(∠AOB) = (a^2)arccos(b/a),
　S(a) = b^(3/2) / (3√a) + (a^2)arccos(b/a),
aが大きくなるとき発散の予感

43:１３２人目の素数さん
08/09/16 22:53:49
>>41
　I(a,b) = ∫[0→1] {f(x)-ax-b}^2 dx,
とおくと、
　∂I/∂a = -2∫[0→1] {xf(x) -ax^2 -bx} dx -2{∫[0→1] xf(x)dx -a/3 -b/2},
　∂I/∂b = -2∫[0→1] {f(x) -ax -b} dx -2{∫[0→1] f(x)dx -a/2 -b},
I(a,b) が最小になるのは ∂I/∂a =∂I/∂b = 0 のとき。
　a=24, b=-10.

URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)最小二乗法
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

44:１３２人目の素数さん
08/09/25 16:10:15
2^a*3^b*5^c*7^dが2つの整数の平方の和になるときの
整数a,b,c,dの必要十分条件を求めよ

45:１３２人目の素数さん
08/09/25 16:24:23
辺の長さaの立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABを軸に立方体を回転させた体積V1、
辺ADを軸に立方体を回転させた体積V2、辺AEを軸に立方体を回転させた体積V3の
共通部分の体積をaを用いて表せ。

46:１３２人目の素数さん
08/09/25 19:18:31
pが素数,x1,…,xnが整数のとき
(x1+…+xn)^pをpで割った余りは
x1^p+…+xn^pをpで割った余りと等しいことを示せ

47:１３２人目の素数さん
08/09/25 19:41:50
>>45
a^3になったけど違うよな

48:１３２人目の素数さん
08/09/25 19:55:03
>>46

〔多項定理〕
　(x1+…+xn)^p = Σ[r1+r2+…+rn=p] {p!/[r1!*r2!*･････*rn!]} (x1^r1) (x2^r2) ････ (xn^rn),

ところで、ri>0, rj>0 (i≠j) ならば {p!/[r1!*r2!*･････rn!]} は分母にpを含まないから、pの倍数。

∴ Σ[i=1,n] xi^p が残る。

49:１３２人目の素数さん
08/09/25 20:52:08
a[1]=2,
a[n+1]はa[n]の各桁の10乗の和
とする。このとき同じ数字がでることを証明せよ。

50:１３２人目の素数さん
08/09/25 21:13:23
んなこたーない

51:１３２人目の素数さん
08/09/25 21:16:04
2008項の自然数からなる等差数列で各桁の和も等差数列であるものは存在するか？

52:１３２人目の素数さん
08/09/25 21:33:13
1,1,1,1,…,1,1　(2008個)

53:１３２人目の素数さん
08/09/25 21:43:20
公差＞0じゃないと問題にならないな

54:１３２人目の素数さん
08/09/25 22:16:48
>>49
a[n]は有界な整数列なので、鳩ノ巣原理より題意が従う

55:１３２人目の素数さん
08/09/25 22:27:14
>>47正解

56:１３２人目の素数さん
08/09/25 23:03:08
>>54
a[n]って有界とは限らないでしょ
ある数より小さいa[n]が無限個あることはわかるけど

57:１３２人目の素数さん
08/09/25 23:44:06
>>39誰か解かない？

58:１３２人目の素数さん
08/09/26 00:04:07
>>56
各位の数の10乗 < 10^10であることから、数列の作り方より
a[1] < 10 : 1桁
a[2] < 1 * 10^10 = 10^10 : 11桁以下
a[3] < 11 * 10^10 = 10^12 : 13桁以下
a[4] < 13 * 10^10 < 10^12 : 13桁以下
となり、全ての項が13桁以下であることが分かる

自明だと思って説明を入れなかったスマン

59:１３２人目の素数さん
08/09/26 00:20:19
賢いな～
俺の証明はこれを見たらウンコみたいなもんだわ

60:１３２人目の素数さん
08/09/26 00:22:33
>>59
別証明が思いつかないから教えてくれ
>>49の問題じゃなかったらスマン

61:１３２人目の素数さん
08/09/26 03:41:44
>>49
a[25374] = a[28338] = 19871647813

62:１３２人目の素数さん
08/09/26 05:00:35
>>49は東大模試の改変だな。2乗を10乗に変えただけ。

63:１３２人目の素数さん
08/09/26 18:51:09
郵便切手の問題でも出しておけば受験生パワーで誰か解いてくれそうだな

64:１３２人目の素数さん
08/09/26 21:49:41
>>60
定義から
a[n+1]≦9^10*(1+loga[n])
であり
x>10^11だと
9^10*(1+logx)<x
であるからa[n]>10^11のとき
a[n+1]<a[n]
これより
少なくともa[n]<10^11までは減少数列になる
よって
a[n]<10^11となるnは無限個あるので
a[m]=a[n]となることがある

65:１３２人目の素数さん
08/09/27 22:34:37
正二十面体のそれぞれの面に1,2,3のいずれかを1つずつ配置していく。

ある面とその面ととなりあう3つの面の数の積が奇数になる配置の仕方は何通りか。
また和が奇数になる配置の仕方は何通りか。
ただし使わない数があってもよいとし、回転して他のものと同じになる配置は考えない。

66:１３２人目の素数さん
08/09/28 00:58:59
>>65
ある面ってなんだよ

67:１３２人目の素数さん
08/09/28 08:19:16
>>66
普段はまじめなサラリーマンなんだけど、女装して近所の公園で野糞する趣味を持っているとか。

68:１３２人目の素数さん
08/09/28 17:14:40
>>67
女装して近所の公園で糞証明する趣味？　（>>59 みたいに）

69:１３２人目の素数さん
08/09/29 04:31:49
a[1],…,a[n]を正の実数としたとき
(a[1]^a[1])*…*(a[n]^a[n])≧(a[1]*…*a[n])^(a[1]+…+a[n])
が成り立つことを証明せよ

70:１３２人目の素数さん
08/09/29 04:34:38
↑間違えた

a[1],…,a[n]を正の実数としたとき
{(a[1]^a[1])*…*(a[n]^a[n])}^n≧(a[1]*…*a[n])^(a[1]+…+a[n])
が成り立つことを証明せよ

71:１３２人目の素数さん
08/09/29 06:40:47
>>70の不等式って成り立つ？

n=2,a_1=1/2,a_2=3/2 の時、成り立たないような気がする。

72:１３２人目の素数さん
08/09/29 10:31:29
>>70

y=log(x) は単調増加ゆえ, Σ同順序積 ≧ Σ乱順序積より
　n{a[1]･log(a[1]) + a[2]･log(a[2]) + ････ + a[n]･log(a[n])}
　≧ (a[1] + a[2] + ････ + a[n])･{log(a[1]) + log(a[2]) + ････ + log(a[n])},
両辺の真数をとる。

73:１３２人目の素数さん
08/09/29 21:01:27
>>71
成り立ってるわ

74:１３２人目の素数さん
08/09/29 21:58:50

　　　　　　　　　　　　　　,-─‐ ､
　　　　　　　　　　　　　/　iiii　i　ヽ､､
　　　　　　　　　　　／ゞ、i!llllliｉｉ川//ヽ、
　　　　　　　　　　 /ミ〃　　　　　　〃彡ヽ
　　　　　　　　　　lミミ　　　　　　　　彡彡｝
　　　　　　　　　　lミﾐ,ｒ‐-､　,,ｒ─､　彡彡ll|
　　　　　　　　　　ｉﾐﾐｨｪx　　 ,rｪt　　彳彡!
　　　　　　　　　　　',　　 .:　　　　　　9｝"
　　　　　　　　　　　! 　 ::,､,､　　　　l_丿
　　　　　　　　　　　 ',　＿,＿　　　/、
　　　　　　　　　　　 rゝ　 =　　　ノi!ヽﾄ、
　　　　　　　　　　-｛;ヽ` ー─ "　／;/: : ＼
　　　　　　　　／: : : |;;;＼　　／;;;;/: : :/: :＼
　　　　　　／: : : : : :│;;;;;;＼／;;;;;;;;/: : :/: : : : :＼

　　　　　　　　　　　成　田　テ　ル　（７４）

75:１３２人目の素数さん
08/09/29 22:50:20
a,bを実数とする
x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
が実数解を持つとき
a^2+b^2の最小値を求めよ

76:１３２人目の素数さん
08/09/30 00:39:55
a^2+b^2≧2

77:１３２人目の素数さん
08/09/30 03:03:27
それはない

78:１３２人目の素数さん
08/09/30 05:45:20
相反方程式→二次方程式→領域→糞問糸冬了

79:１３２人目の素数さん
08/09/30 06:38:47
nを自然数とし2^nの最上位の位の数をa[n]とする.
このとき(a[k],a[k+1],…,a[k+10],a[k+11])は何種類あるでしょう.

80:１３２人目の素数さん
08/09/30 19:32:14
めんどいけど数えたところ５２種類だった

81:１３２人目の素数さん
08/09/30 20:57:48
数学の問題ってどうやって作るんですか？

82:１３２人目の素数さん
08/09/30 21:31:57
天才は突然思いつく

83:１３２人目の素数さん
08/10/02 00:36:11
a^2+b^2=4/5

84:１３２人目の素数さん
08/10/02 00:54:22
一つの面が4マス(2×2)のルービックキューブは何通りあるでしょう。ただし回転して重なるのは同一とする。

85:１３２人目の素数さん
08/10/02 01:04:30
8！×(3^8)/(24*3)＝3674160

86:１３２人目の素数さん
08/10/02 08:29:59
「ルービックキューブは何通りあるでしょう」って訊かれてもなあ。
大きさの違い、色づかいの違い、材質の違い等、何を差異とするかによるからなあ。

87:１３２人目の素数さん
08/10/02 09:09:55
すべて異なるものとみなす。

88:１３２人目の素数さん
08/10/02 20:55:21
大学入試の組合せの問題だとよく
>>85みたいな答えを書く人居るけど、こういうの採点に困るよね。
塾とかだとほぼ 0 点になることが多いし、たぶん実際の入試でもそうだと思う。

組合せの問題って日本語能力のテスト的な側面があるから良いよね。

89:１３２人目の素数さん
08/10/02 22:22:36
ネイピア数(自然対数の底)の小数第1位の数字が7であることを証明せよ。

90:１３２人目の素数さん
08/10/02 22:40:07
>>88
大学入試の採点をしたことがあるんかい……
本職も交じってるんだな

91:１３２人目の素数さん
08/10/02 23:29:00
>>81

・既存問題の改良、拡張
・自分が疑問に思うことをそのまま問題にする
・適当な数学分野から題材をとってきて問題を作る

92:１３２人目の素数さん
08/10/03 01:40:02
良問作った時ってガッツポーズするの？

93:１３２人目の素数さん
08/10/03 02:06:40
むしろこのスレに投稿して誰かに解いてもらえたらガッツポーズ。

94:１３２人目の素数さん
08/10/03 02:07:29
(b[n])^2+1がa[n](a[n]+1)の倍数となるような
自然数からなる単調増加数列a[n],b[n]が存在することを示せ

95:１３２人目の素数さん
08/10/03 02:31:09
a,b,c,dを自然数とする
このとき(a^3+b^3)/(c^3+d^3)がすべての有理数を表すことができることを示せ

96:１３２人目の素数さん
08/10/03 02:31:59
訂正
有理数⇒正の有理数

97:１３２人目の素数さん
08/10/03 11:00:27
>>95
ある正の有理数pをとり、p=n/mとする。
(p/2)^(1/3)＜q＜(2p)^(1/3)となるような有理数qが存在する。
q=y/xとおくと、
2my^3＞nx^3、2nx^3＞my^3

a=nx^3*y+my^4
b=2nx^3*y-my^4
c=mxy^3+nx^4
d=2mxy^3-nx^4
とすると、a,b,c,dはいずれも自然数。

代入して計算すると
(a^3+b^3)/(c^3+d^3) = n/m = p

98:１３２人目の素数さん
08/10/03 11:08:01
ちなみに、
>>95でa,b,c,dが自然数ではなく整数ならば、
>>97のqに関するくだりは不要で、x,yを全部なくしてしまえばおｋ

99:１３２人目の素数さん
08/10/04 10:33:16
>>97どっから思いついたか説明して！突然思いつくとか卑怯だし！

100:１３２人目の素数さん
08/10/04 10:43:48
8!3^8/3*2=44089920

101:１３２人目の素数さん
08/10/04 10:57:56
a,b,c,d
(a^3+b^3)/(c^3+d^3)
q=k/s (k,s)=1
c=sj,d=st
a=kj,b=kt

102:１３２人目の素数さん
08/10/04 12:00:15
競馬板に書いたのですが、誰も解いてくれなくて悲しかったので
(ちょうど大学入試レベルでもありますし)ここに書きます。
nは2以上の整数です。
平面内に2n個の点があって、どの3点も同一直線上にないとする。
ここから、2点を選んで線分を何本か引く。(最大n(2n-1)本引けます)
n^2+1(nの二乗+1)本以上の線分を引けば、ある3点が存在して
その3点が互いに線分で結ばれていることを示して下さい。

解けた人はスプリンターズステークスの予想でもついでに書いといてください。

103:１３２人目の素数さん
08/10/04 12:27:11
競馬板に書いて、どうして解いてくれると思ったかが疑問だなｗｗｗ

104:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:20:19
>>99
卑怯って言われちまったｗ

えーと、最初は
(m+α)^3+(m-α)^3=2m(m^2+3α^2)
(n+β)^3+(n-β)^3=2n(n^2+3β^2)
という形を思いついたので、
m^2+3α^2=n^2+3β^2となるような整数の組α，βを作ることを考えたが、
3が邪魔だったので、
(3m+α)^3+(3m-α)^3=18m(3m^2+α^2)
(3n+β)^3+(3n-β)^3=18n(3n^2+β^2)
とおきなおし、
3(n^2-m^2)=α^2-β^2
3(n-m)(n+m)=(α-β)(α+β)
から、仮に
α+β=3(n-m)，α-β=n+m
と置くと、
α=2n-m，β=n-2mであり、
a=3n+β=4n-2m，b=3n-β=2n+2m
c=3m+α=2n+2m，d=3m-α=-2n+4m
とすれば、(a^3+b^3)/(c^3+d^3)=n/mとなることがわかった。
（実際には、a,b,c,dは半分にしても可）

ただし、このままでは4n-2mと-2n+4mが自然数となるには1/2<n/m<2の条件が
必要なので、n/m=(y^3*x^3*n)/(x^3*y^3*m)と考えて、
1/n<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、
(x^3*n)/(y^3*m)=(a^3+b^3)/(c^3+d^3)なら
(y^3*x^3*n)/(x^3*y^3*m)=((ya)^3+(yb)^3)/((xc)^3+(xd)^3)になると考えた。

105:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:23:07
>>104の修正
誤：1/n<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、
正：1/2<(x^3*n)/(y^3*m)<2となるようにし、

106:１３２人目の素数さん
08/10/04 14:50:05
>>104なるほどなるほど！納得した！ありがとう！

107:１３２人目の素数さん
08/10/04 15:46:07
>>102
大学入試レベルの解答は思い付かないが、グラフ理論を使えば出来た。
2n個の頂点をもち条件(A)を満たす無向グラフG=(V,E)で、|E|が最大のものを求める。
(A)どの3点をとっても、辺で結ばれない2点が存在する
Gは2-連結(Gは連結で、Gから頂点を1つ取り除いても連結)としてよい。
なぜならGが非連結なら別の連結成分の間に辺を加えることにより、
Gから頂点vを除いたグラフが非連結なら、連結成分のどれかはvに隣接しない頂点を持つか、
さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=n-1)だからである。
Gが2-連結ならば各頂点を1回ずつ通る閉路が存在するので、この閉路に沿って
頂点にV={v[1],...,v[2n]}, (v[i],v[i+1])∈E, v[2n+i]=v[i]となるよう番号を付ける。
各頂点v[i]について、(v[i],v[j])∈Eと(v[i],v[j+1])∈Eは同時には成り立たないから、
v[i]の次数(v[i]に接続する辺の数)は高々nであるから|E|≦n^2となる。
なお、各v[i]がv[i+1],v[i+3],...,v[i+2n-3],v[i+2n-1]と接続するようなグラフを
任意のnに対して作ることができて(正2n角形を描いてみよ)、このときE=n^2を達成できる。

108:１３２人目の素数さん
08/10/04 15:47:46
×Gが非連結なら別の連結成分の間に辺を加えることにより、
○Gが非連結なら別の連結成分の間に辺を加えることが可能であり、
×さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=n-1)だからである。
○さもなくばGはE={(v,w)|w∈V＼{v}}なる放射状のグラフ(|E|=2n-1)だからである。

109:１３２人目の素数さん
08/10/04 19:52:04
　

110:１３２人目の素数さん
08/10/04 21:11:56
ある3点が存在してその3点が互いに線分で結ばれている

線がm本->点が2m個
線がn^2+1ー＞点が２n^2+２＞２n

ピジョンホール

111:１３２人目の素数さん
08/10/04 21:46:14
点と線を考える，点の色は白か黒

操作１：点に線を足してその新しい端を白点にし、もとの点のいろを逆転(例：白ー＞黒）する。
操作２：線の中間に白点をたし、その両端の点の色を逆転させる。

G1を単独の白点とする

G1:　白

１、白ー白ー白

２、
　　白　　　
　　｜
白ー白ー白
　　｜
　　白

３、

　　白　　　
　　｜
白ー白ー白　　　
　　｜
白ー白ー白
　　｜
　　白
　　｜
　　白

はG1から操作１、２を有限回やってできることを示しなさい。

112:１３２人目の素数さん
08/10/04 21:47:13
３、

　　白　　　
　　｜
白ー白ー白　　　
　　｜
白ー白ー白
　　｜
　　白

113:１３２人目の素数さん
08/10/04 21:53:36
４、

白

から

ｎ個の白の直線を作るとき、ｎはどんな数か。

白ー白ー・・・・ー白

５、

白からできるグラフのオイラー数を計算しなさい。

114:１３２人目の素数さん
08/10/04 22:48:36
>>107-108

すっげーカッケー答っすね。もうビンビンです。
一応僕が用意していた答です。n=2の時はまあできたとします。
nの時成り立っているとします。(数学的帰納法を使います)
さて、頂点が2n+2コある時ですが、少なくとも(n+1)^2+1本線分を引くわけですから
当然ある二点が存在してその二点は線分で結ばれています。
わかりやすいように、その2点をa1,a2とでもおいて、
残りの2n個の点をb1,b2…,b(2n)とおくことにします。

115:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:05:30
つづきです
b(i)どおしでn^2+1本線分を引くと仮定により線分で結ばれた3点が存在さますので
b(i)どおしでは多くてもn^2本しか線分を引いていないとします。
a1とa2は線分で結んでいますので少なくとも残り(n+1)^2+1-n^2-1=2n+1本線分を引かないといけません。
これはa(i)とb(i)を結ぶ線分ですので、あるb(i)が存在して
a1とa2とb(i)は線分で結ばれてしまいます。

明日はキセキ産駒がワンツースリーを決めて
アグネスタキオンファンを黙らせて欲しいですね(^o^)/

116:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:05:33
６、K色のボールをAjk個(k=色のインデックス）壺に入れて、N回引く、毎回引いたボールは同じ色の
追加のボール１個といっしょにすぐ壺に戻す。
このとき、Nを無限にしたとき、壺のなかの各色のボールの数の分布を計算しなさい。

117:１３２人目の素数さん
08/10/04 23:31:49
>>116

割合は始めと変わらないという答えであってますか？

118:１３２人目の素数さん
08/10/05 09:06:32
#
IRA: Interactive Real Analysis
Interactive Real Analysis is an online, interactive textbook for Real Analysis or Advanced Calculus in one real variable. It deals with sets, sequences, ...
web01.shu.edu/projects/reals/ - 3k - Cached - Similar pages
#

119:１３２人目の素数さん
08/10/06 00:17:02
>>116ポリアの壷？

120:１３２人目の素数さん
08/10/06 21:20:35
Suppose that f is an integrable function over a set E, and take any ε > 0. Show that

* There exists a simple function s such that

∫ E | f - s | dx < ε

* There exists a step function s such that

∫ E | f - s | dx <ε

* There exists a continuous function s such that

∫ E | f - s | dx <ε

121:１３２人目の素数さん
08/10/06 21:22:51
# If possible, find the Riemann and Lebesgue integrals of the constant function f(x) = 1
over the Cantor middle-third set.
# Show that the restriction of a bounded continuous function to a measurable set is Lebesgue
integrable.

122:１３２人目の素数さん
08/10/06 21:23:45
* Is the function f(x) = x Lebesgue integrable over [0, 1]? If so, find the integral.
* Is the function f(x) = x2 Lebesgue integrable over the rational numbers inside [0, 2]? If so, find the integral.
* Is the Dirichlet function restricted to [0, 1] Lebesgue integrable? If so, find the integral.
* Is every bounded function Lebesgue integrable?

123:１３２人目の素数さん
08/10/06 22:15:09
ｽﾚﾘﾝｸ(voiceactor板:13番)
13 ：名無しさん＠お腹いっぱい。：2008/09/19(金) 18:11:05 ID:sWdchyr40
Fラン私大工学部での微積分の授業のテストらしいが、金朋はこういうの解けるのだろうか？
・101次方程式　51 x^{101} - 2323 x^{100} - 45 x + 1035 = 0が区間[45^{1/100},46]の中に少なくとも一つ実数解を持つことを、Rolleの定理を使って証明せよ。
・不定積分 \int (x^{30} + x^{20} + x^{10}) (2x^{20} + 3x^{10} + 6)^{1/10} dx　を求めよ。
・定積分 \int^{2}_{0} dx (2x+1)/ \sqrt{x^2+4}　を求めよ。

124:１３２人目の素数さん
08/10/06 22:44:50
>>123

(中)
　(被積分函数) = (x^29 + x^19 + x^9)*(2*x^30 + 3*x^20 + 6*x^10)^(1/10) = (1/60)f '(x)*f(x)^(1/10),
これを積分すると
　(1/66)*f(x)^(11/10) + c，

(下)
　∫ x/√(x^2 +4) dx = √(x^2 +4) -2,
　∫ 1/√(x^2 +4) dx = log(x+√(x^2 +4)) - log(2),
∴ 4(√2 -1) + log(1+√2),

125:１３２人目の素数さん
08/10/06 23:33:53
URLﾘﾝｸ(web01.shu.edu)

ぬこでもわかるルベグ積分　

126:１３２人目の素数さん
08/10/07 01:14:47
>>123
まあ工学部っても学科によって全然違うし。

127:１３２人目の素数さん
08/10/08 12:08:05
逆行列をもつ2次正方行列Aにより表される平面上の1次変換f を考える。
このとき、長方形Dで、Dのfによる像がDと相似になるものが存在することを示せ。

128:１３２人目の素数さん
08/10/08 21:08:05
>>127
>>31により，直交する２つの単位ベクトル↑p,↑qで，A↑pとA↑qも直交するものが存在する。
A↑p, A↑q それぞれの長さをa, b(>0)とおき，k=√(a/b) とおく。
D={ ↑p + t↑q | 0≦t≦k } とおくと，Dは２辺の長さが 1 と k の長方形である。
このとき，f(D)={ A↑p + t A↑q | 0≦t≦k } も長方形であり，２辺の長さは a と bk である。
a : bk = a : √(ab) = √(a/b) : 1 = k : 1 であるので，f(D) は D と相似である。■

129:１３２人目の素数さん
08/10/09 19:31:20
188:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 08:33:37 ID:AQ7gcWuF0
>>186
あほ！！
そりゃあ、おれが、別のスレッドに書いた
解答だ。
君自身で、独創的な問題を作れるのかと
きいているのだ。

190:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:01:29 ID:AQ7gcWuF0
>>189
中学生の脳みそで解く問題だぞ。
難しいに決まっているだろうが。

191:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:05:38 ID:AQ7gcWuF0
高校生用には、こういう問題を
用意してある。

「２球面の交わりによってできる円に関する問題を作り、解け」

「連立方程式と線形性に関する論証問題を作り、数式を使わず論証せよ」

★★★★★茨城の高校★★★★★ part18
ｽﾚﾘﾝｸ(ojyuken板)

130:１３２人目の素数さん
08/10/09 19:37:09
>>129
ﾜﾗﾀ

131:１３２人目の素数さん
08/10/10 03:34:18
どこが面白いのか分からなくて悲しい。

132:１３２人目の素数さん
08/10/12 00:12:44
フジタキスレに俺の書き込み張った奴でてこいやwww

133:１３２人目の素数さん
08/10/12 01:11:58
晒し者にされたのか？

134:１３２人目の素数さん
08/10/25 02:59:40
>>132
さっさとアフリカいけやｗ

135:１３２人目の素数さん
08/10/25 05:11:58
(1)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 －a^2)
(2)　Σ[n=1,∞) 1/(n^4 －a^4)
(3)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2)

の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか?　a≠整数です。

136:１３２人目の素数さん
08/10/25 10:00:00
>>135
解析概論。

137:135
08/10/26 14:01:17
(4)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 －a^2) * (-1)^(n-1),
(5)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 + a^2) * (-1)^(n-1),

の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか?　a≠整数です。

>>136
高木:「解析概論」改訂第3版, 岩波書店(1962) 第5章,§64 ?

138:１３２人目の素数さん
08/10/30 21:39:17
>>89と並んで如何にも東大がやりそうな問題

log_{10} 2の小数第3位が1であることを証明せよ。

139:138
08/10/30 21:59:57
そういえば1968年にもう一回り簡単な問題、
0.3<log_{10} 2 < 0.302を示せというのがありました。
URLﾘﾝｸ(www.j3e.info)

140:１３２人目の素数さん
08/10/30 22:34:01
3 次方程式x3 . nx + 1 = 0 の解がすべて無理数となるような整数n を求
めよ．

141:１３２人目の素数さん
08/10/30 22:34:48
3 次方程式x＾3-nx + 1 = 0 の解がすべて無理数となるような整数n を求
めよ．

142:１３２人目の素数さん
08/10/30 22:59:29
x＾3-nx + 1 = 0
(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0
c=-a-b
ab-(a+b)^2=n
ab(a+b)=1
ab-(ab)^-2=n

143:１３２人目の素数さん
08/10/30 23:01:11
ab-(a+b)^2=-n
ab(a+b)=1
ab-(ab)^-2=-n

144:１３２人目の素数さん
08/10/30 23:28:26
f(x)=xe^{-x}のとき、f(0.99), f(1.00), f(1.01)の大小を調べよ。

145:１３２人目の素数さん
08/10/31 00:19:03
毎度のごとくe^x>1+x+x^2/2を示してe^0.02を評価すれば終わり。

146:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:34:38
exp(x)>x+1だけで十分です

147:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:42:38
Your solution doesn't make sense at all.

148:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:43:31
ごめんなさい十分じゃありませんでしたごめんなさい

149:１３２人目の素数さん
08/10/31 06:29:48
>>144
これは大昔の大学への数学の「模試」の転載ですか？

150:１３２人目の素数さん
08/10/31 08:29:48
いいえ, 埼玉工大の入試問題です。

151:１３２人目の素数さん
08/10/31 20:49:51
1/7<a/b<1/6でa,bは整数で最小のaのときa+bをもとめなさいって、
a,bがマイナスなら解梨じゃないの？

152:１３２人目の素数さん
08/10/31 20:59:38
>>143
ｎが整数であることの証明は？

153:１３２人目の素数さん
08/11/01 17:30:47
n両編成の電車の車両をそれぞれ赤青黄のいずれかの色で塗ってゆく。
赤の車両が隣り合わないような塗り方は何通りあるか。

154:１３２人目の素数さん
08/11/01 17:39:31
赤い車両が連続しない塗り方ね。

155:１３２人目の素数さん
08/11/01 18:17:20
((1+√3)^(n+2)-(1-√3)^(n+2)) / (4√3)通り

156:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:08:52
>>155正解。

157:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:12:36
3項間漸化式か？

158:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:22:00
京大の過去問の改変？

159:１３２人目の素数さん
08/11/01 22:20:08
>>158そうです。このように改変した方がちょっと難しいと思います。

160:１３２人目の素数さん
08/11/01 23:59:07
>>153
数セミのパクリ

161:１３２人目の素数さん
08/11/02 07:35:14
>>160
>>153は俺だが、数セミなんか参考にしてません。
あくまでも京大の2色の問題を3色に改変してみただけです。隣接３項間漸化式を立てられるかどうかの問題。
コツさえ知っていれば誰でも簡単に立てられるんだけどね。

162:１３２人目の素数さん
08/11/02 08:04:39
では京大が数セミを下敷きにしたとか。

163:１３２人目の素数さん
08/11/02 09:50:57
いいサイトみつけた
htURLﾘﾝｸ(www.surprise002.co.nr)
ソフトの確認もできたし、低価格でいいよ
ソフトの確認はネットカフェで一度インストール試したら
いいと思う、正常なら自分のPCに

164:１３２人目の素数さん
08/11/02 17:03:58
たぶん最初に考えたのは日本人じゃなくて外国の人で、
それを数セミの出題者の先生と京大の先生が二人とも
元ネタにした、とかそんな感じだと思うぞ。

というか数セミの出題者は京大関係者じゃないんだよね？

165:１３２人目の素数さん
08/11/02 18:51:57
こんな単純な設定の問題、パクるも何もないだろｗｗ

166:１３２人目の素数さん
08/11/03 20:17:28
aを 0<a<1 であるような有理数とするとき、自然数n≧3に対して
(1-a^n)^(1/n) が無理数であることを示せ

167:１３２人目の素数さん
08/11/03 21:08:31
>166
　(1-a^n)^(1/n) =b とおくと
　a^n + b^n =1,
　a∈Q, 0<a<1, n∈N, n≧3,
bが有理数ならば、フェルマーの最終定理(A.Wiles)と矛盾する。

168:１３２人目の素数さん
08/11/04 12:19:28
数セミの出題者は安田亨だった

169:１３２人目の素数さん
08/11/04 13:46:26
長さNメートルの紐の端と端を結んでできる輪の面積で一番大きい
面積はどれくらいか？

170:１３２人目の素数さん
08/11/04 14:54:22
>>168
ああ、じゃあ数セミのは京大の改変だね。

171:１３２人目の素数さん
08/11/05 20:01:52
>>169 N^2/4π

172:１３２人目の素数さん
08/11/05 21:52:49
どこのクズだこんなひどい問題だしてるのは

173:１３２人目の素数さん
08/11/09 16:06:23
>>169
結び目の大きさは考慮しなくていいのか？
あと、紐はどれぐらい曲げられるの？　硬い紐だと意外と曲がらないよ

174:１３２人目の素数さん
08/11/09 17:55:53
数列{a_n}は、次の漸化式で与えられる。
a_(n+3) = -a_(n+2) + 2a_(n+1) + 8a_n
a_1 = a_2 = a_3 = 1
この時a_nのすべての項は平方数であることを証明せよ。

175:１３２人目の素数さん
08/11/09 17:57:10
またパクリ問かよ

176:１３２人目の素数さん
08/11/09 21:26:23
>>174

数列{b_n}を
　b_(n+2) = b_(n+1) -2*b_n,
　b_1 = b_2 = 1, b_3 =-1,
で定義すると b_n は明らかに整数で、a_n = (b_n)^2.

注) b_n = (2/√7)･2^(n/2)･sin(nβ),　ここに β = arcsin(√(7/8)).

177:１３２人目の素数さん
08/11/10 03:10:45
>>176
おお！どうなってのか教えて！

178:１３２人目の素数さん
08/11/11 11:50:53
パクリだなこれ
何回も見たことある

新作問題キボンヌ

179:１３２人目の素数さん
08/11/11 14:45:56
残念ながら無理

180:１３２人目の素数さん
08/11/12 01:06:14
>>178
誰も解いてくれないから>>39解いてくれ

181:１３２人目の素数さん
08/11/12 01:23:09
>>180
やってみるお

182:１３２人目の素数さん
08/11/14 08:49:56
写像aは整数から整数への写像であり、
・ a(1)=1
・ a(n+2)=a(n+1)+a(n)
・ 1≦i＜jならばa(i)＜a(j)
・任意の整数mに対して、ある整数nが存在し、a(n)はmの倍数
を満たす。
このとき、写像aを求めよ

183:１３２人目の素数さん
08/11/15 00:00:52
誰も解いてくれないから>>89と>>138解いてくれ

184:１３２人目の素数さん
08/11/15 02:22:52
頑張って数値計算するだけだからなあ。

185:１３２人目の素数さん
08/11/15 19:00:17
円周率πが3.15未満であることを示せ

186:１３２人目の素数さん
08/11/16 02:26:23
糞つまらん問題ばっかだな最近

187:１３２人目の素数さん
08/11/16 11:34:23
>>182解いて

188:１３２人目の素数さん
08/11/16 15:29:22
>>182
N→Nじゃなくて
Z→Zでいいの？

189:182
08/11/17 00:18:36
>>188
うん

190:１３２人目の素数さん
08/11/17 00:43:08
0や負の数に大して定義されてないんじゃない？

191:１３２人目の素数さん
08/11/17 01:04:46
a[n]がn>0で定義されてれば、漸化式から0≧nに対してa[n]が求まるだろ

192:１３２人目の素数さん
08/11/17 21:20:00
ａ（－１）＝０。

193:１３２人目の素数さん
08/11/17 22:52:58
>>192
それの証明が重要なんじゃないのか？

194:１３２人目の素数さん
08/11/17 22:55:36
nを10進数表記したとき、奇数桁目に出てくる奇数の個数をa(n)とする。
例） a(111)=2、a(232)=0、a(1234)=0、a(2345)=2
∑[k=1,n] a(2^k)/2^k　(n→∞)
の極限値を求めよ

195:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:00:36
>>193
フィボナッチ数列を一個ずらした数列を考えれば良い
最後の性質は、フィボナッチの場合を示せばよい（良く知られた証明）

全く以って入試に不向きな問題だな

196:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:02:49
>>195
いやだから、フィボナッチ数列しかないことを証明しろってことなんじゃないの？

197:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:04:17
×フィボナッチ数列しか
○フィボナッチ数列をずらした数列しか

a(1)=1で、a(2)=2ならフィボナッチで、条件を満たすけど
a(1)=1、a(2)=3ならリュカで条件を満たさない。条件をみたすaが、a(2)=2のみに限ることを言わないと証明じゃないのでは……

198:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:08:10
>>196
具体的に写像aを求めろって問題だろ
一意性を示せとはどこにも書いてないと思うが

199:１３２人目の素数さん
08/11/17 23:10:43
求めろとしか書いてないんだから、「全部」求めろって意味だと思ってたんだが……
んで、あくまでもおれの予想としてフィボナッチをずらしたものしかなさそうなので、メインは一意性の証明かなぁと。
単に求めろだから、やっぱ「全部」じゃね？

200:１３２人目の素数さん
08/11/18 00:30:00
ｍ＝０。

201:１３２人目の素数さん
08/11/18 00:45:30
任意のｍ

202:１３２人目の素数さん
08/11/18 06:17:14
任意の正の整数nに対して不等式

|sin1|+|sin2|+|sin3|+･･･+|sin(2n)|＞ 4n/5

を証明せよ。
ただしπ=3,1...sin1=0.84...,cos1=0,54...sin2=0.90...cos2=-0.41...
は証明なしで使ってもよいものとする。

203:修正
08/11/18 13:11:13
写像aは整数から整数への写像であり、
・ a(1)=1
・ a(n+2)=a(n+1)+a(n)
・ 1≦i＜jならばa(i)＜a(j)
・任意の正整数mに対して、ある整数nが存在し、a(n)はmの倍数
を満たす。
このとき、写像aを全て求めよ

204:１３２人目の素数さん
08/11/18 13:56:58
1より大きい実数a_[2]を求めよでいいじゃん

205:１３２人目の素数さん
08/11/18 13:58:25
実数じゃなくて整数、の間違い

206:１３２人目の素数さん
08/11/18 22:40:20
通常の１から６までの目のサイコロをｎ回振る。
ｎ回目までの出た目の和が素数である確率を求めよ。

207:１３２人目の素数さん
08/11/18 23:06:04
nを飛ばすの忘れてるぞ

208:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:00:34
久しぶりに来たけどあんま賑わってないね
とりあえず>>39と>>182あたりが解かれてないのか

209:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:03:56
>>202
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:653番)
不等式スレ３

の式に a=1, m=2n を代入すると、
　(左辺) > n + (1/4) - 1/(4sin(1)) > n -0.0471

210:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:07:03
>>208
自作問題が解かれてないからって気を落とすなよ

お前が作ってないなら、糞問なんだからスルーしてやれよ

211:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:20:37
>>194も

212:１３２人目の素数さん
08/11/19 00:21:09
>>182
a(2)≧3のとき条件を満たさないことを示す
まずa(k)とa(k+1)は互いに素なのはユークリッドの互除法的に明らか
次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる
したがって、a(k)がt^2-t-1の倍数だとa(k+1)もt^2-t-1になるがこれは矛盾
a(2)=2はフィボナッチの性質から解ける感じ
ということでa(2)=2となるときだけ

>>39はスルーされて当然だったな
一個目:-1
煮込め:X=e,X'=e^(a-1)よりa=3
三個目:対数微分とか使わせるにしてもあまりに糞問

213:１３２人目の素数さん
08/11/19 01:22:19
>>212
多分39の一個目違う

214:１３２人目の素数さん
08/11/19 08:02:11
a,bを2^a+3^bが平方数となるような正の整数とする。

(1)a,bはともに奇数であるか、ともに偶数であることを示せ。
(2)(a,b)としてありうるものをすべて求めよ。

215:１３２人目の素数さん
08/11/19 17:07:25
＞次にa(2)=tとするとa(k)+(t^2-2t)a(k+1)は常にt^2-t-1の倍数となる
どうやって気づいたのかｋｗｓｋ

216:212
08/11/19 18:04:06
>>215
実はその部分は敢えてどう解いたのかばれないような表記にしてました
実際の思考の順序は
・おそらくa(2)≧3だとある数を法としたときに0を含まない循環にできるはず
・漸化式の形から、pa(k)+qa(k+1)が常に何かを法として不変になるはず
・その「何か」と上の「ある数」を自分で作ればよいはず
・a(1)=1,a(2)=tのとき、p=t,q=-1とすればta(1)-a(2)=0で何かよさそう。このときta(2)-a(3)=t^2-t-1
・t^2-t-1が上の「何か」になるはず、実験して確認・あとはp=1,q＞0になるように工作
みたいな感じでした

217:１３２人目の素数さん
08/11/19 18:38:54
>>216
勉強になります

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