1=0.999・・・その15.999・・・

1=0.999・・・その15.999・・・ at MATH

1:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:14:39
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました　>2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。

前スレ
1=0.999… その 9.999… ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1=0.999… その10.999… ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1=0.999… その11.999… ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1=0.999… その12.999… ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1=0.999… その13.999… ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1=0.999… その14.999… ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

2:KingMind ◆FMcOvuHCU.
08/08/23 10:15:36
Reply:>>1 乙。

3:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:16:25
Q1: 1=0.999… か?
A1 ｢前提条件｣により｢1=0.999…｣なり｢1≠0.999…｣なり変わる｡
しかし、通常はその様な前提条件を採用する事の利点や、過去の経緯を考えると
｢1=0.999…｣であるとした方が妥当である｡

Q2:｢1=0.999…｣は証明可能なのではないか｡
A2:A1の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
無意味である｡

Q3:1と0.999…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない｡
A3:分数の2/2と3/3も違う形だが、全く同じ数である｡

Q4:A1で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は一意に定まるのではないか?
A4:自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない｡
従って、｢1=0.999…｣が結論となる論理も｢1≠0.999…｣が結論になる論理も
無矛盾な限り、その正しさはその論理内で証明できない｡
更に言えばどちらの論理結果も独立に存在し得る｡

4:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:17:43
>>1 乙

5:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:17:45
Q5:A1の｢前提条件｣とは何か?
A5:通常は実数の範囲で考え、｢実数の連続性｣や｢0.999…が無限級数の
極限値である｣こと等を前提にする。しかし、説明は複雑になるが､
アルキメデス性を満たす数の範囲(例えば実数ではなく有理数)で
考える事も可能である｡

Q6:｢1=0.999…｣の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味になるのか?
A6:前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は
確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが
初等的証明には｢分かり易い｣という利点がある｡

6:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:19:08
⑤ 1≠0.999…だとすれば、その間に数がある事になるが､その様な数が
あるとし、各桁毎に比較する事でその値を考えてみても､
1の位は比較して0、小数第1位以降は比較して9、と、結局
0.999…を得る事になり、0.999…と1の間の数にならないので矛盾｡

⑥ 1と0.999…を足して2で割った数は
　1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、(1+x)/2=x
よって、x=1となる｡

7:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:19:21
>>1 新スレ乙

8:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:19:59
Q7:Q6の初等的証明とは具体的にどの様な物があるのか?
A7:
① 1/3=0.333…
2/3=0.666…
3/3=0.999…
∴ 1=0.999…

② x=0.999… と置いて
10x-x=9.999… - 0.999…
9x=9
x=1
∴ 1=0.999…

③ 0.999… は初項0.9公比0.1の無限等比級数だから、その値は
0.999… = 0.9/(1－0.1) = 1

④ n÷n を計算する際に商の一の位に0をたてると、0．999…が得られるから
1 = n÷n = 0．999…

9:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:20:17
>>2 乙

10:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:20:48
Q8:1≠0.999…となる数学モデルは具体的にどの様な物があるのか?
A8:違う表記の数を全て違う数と看す体系など幾つか挙げられる｡
但し、どれも実数の拡大体と言えなくなった体系ばかりになっている｡
例えば、減法が成り立たなくなる等した例がWikipediaに記されている｡

Q&Aは以上。以下、参考文献
Wikipedia - 0.999...
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

J.H.Conwayの超現実数を扱った単行本
至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語
原著=Donald E.Knuth, 翻訳=松浦俊輔,
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)

11:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:21:34
>>6 と >>8 は逆か？

12:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:21:38
Level.1
納得仕切れずも取り敢えず1=0.999…を認める
Level.2
1/3=0.333…は認めらるが1=0.999…は認められない
Level.3
1=0.999…を認められぬ余りに1/3=0.333…も否定し始める
Level.4
Level.3から更に悪化し、遂に循環小数は有理数ではないとする
Level.5
Level.4から更に進み、実数の連続性をも幻想だと言い始める
Level.6
ゼノンの逆理を持ち出して偉ぶりながら1=0.999…否定論説し始め
尚且つ人の言う事を聞かなくなってくる
Level.7
数学全体の不信任論を展開し始める
Level.8
トンデモ哲学者的に神だの仏だの言いながら数学を鼻で笑って貶すに至る

納得不全者 → ｢"無限桁目"の余り｣バカ → トンデモ無限説者

13:１３２人目の素数さん
08/08/23 10:22:42
以上、テンプレ終了

そして、１２．９９９９・・・・ゲット！

14:1
08/08/23 10:24:35
>>11
うわぁ、逆に張ってる。ゴメン

テンプレは順に、
>>1
>>3
>>5
>>8
>>6
>>10
>>12

です

15:１３２人目の素数さん
08/08/23 12:20:59
King

16:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/08/23 12:40:01
Reply:>>2 お前は誰だ。
Reply:>>15 私を呼んでないか。

17:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/08/23 13:42:29
>>1 >>14
乙だった!!

18:１３２人目の素数さん
08/08/23 13:45:55
丸囲み数字は使うなとあれほど

19:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/08/23 19:16:41
あースマン、改編したの儂。改編前からして丸囲い数字だったんじゃが､
数学板にそぐわぬ罠｡

20:１３２人目の素数さん
08/08/24 02:30:52
1=0.9999…　って対角線論法を使う上で必須なの？

21:できた
08/08/24 09:12:46
1=0.999･･･ならば
0.99=0.98999･･･であるよって
1+0.99=0.999･･+0.98999･･･が成り立たなければならない　しかし
1.99≠1.98999･･･である

22:１３２人目の素数さん
08/08/24 09:23:29
考えみると出来てない

23:１３２人目の素数さん
08/08/24 11:43:06
なにをやってる

24:１３２人目の素数さん
08/08/24 13:27:55
kingに中出しされたい

25:１３２人目の素数さん
08/08/24 16:11:34
>>21
>1.99≠1.98999･･･である

なんでだよｗ

２行目で
>0.99=0.98999･･･であるよって
って書いてるのにｗ

26:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/08/24 18:16:09
Reply:>>24 その後土地開発に協力してくれるか。それとも土地はもうあるのか。

27:１３２人目の素数さん
08/08/24 19:23:41
何が問題なの？
何か問題でも？

28:１３２人目の素数さん
08/08/24 23:23:17

あのね。これは"書き方"なの。

1/3＝0.333...とか書いて「無限に1/3に近づく（1/3になることはないが）」ってこと表すだろ？

その書き方だと、

1＝0.9999.....(無限に1に"近づく")　としてるわけ。

無限に近付ければ、
どんなに精度高くしても見分けつかないからこそ、
"同じ"ってことにしてやってるだけ。以上。

29:１３２人目の素数さん
08/08/24 23:36:47
＞1/3＝0.333...とか書いて「無限に1/3に近づく（1/3になることはないが）」ってこと表すだろ？

右辺はきっちり1/3ですが何か

30:１３２人目の素数さん
08/08/24 23:49:36
>>3
Q4の答えっておかしいよな
無矛盾であることが証明できないことと矛盾する論理結果が独立に存在しうることは別

31:１３２人目の素数さん
08/08/24 23:56:47
>>30
ひとつ聞いていい？

＞無矛盾であることが証明できない
これは何の話？

32:１３２人目の素数さん
08/08/25 02:53:16
>>28
そう、まさに書き方の問題。

「0.3，0.33，0.333，…という数列を眺めたとき、この数列は無限に□に近づく」

↑の文章の□に入る数字のことを「0.333…」という記号列で表す。これが
0333…という記号列の定義。これが0.333…という記号列の書き方。一方で、□には
1/3が入るから、0.333…＝1/3になる。寸分の狂いもなく0.333…＝1/3になる。

＞1/3＝0.333...とか書いて「無限に1/3に近づく（1/3になることはないが）」ってこと表すだろ？
表さない。そこが間違い。0.333…という記号列の定義は「無限に1/3に近づく」ではない。
「0.3，0.33，0.333，…という数列を眺めたとき、この数列は無限に□に近づく」
という文章における、□に入る数字のことを0.333…と書くのだ。

33:１３２人目の素数さん
08/08/25 03:20:24
ところで>>1は
1=0.999･･･が真だと証明したのか？
数式の証明で0.999･･･というあやふやな表記は使えないぜ

34:１３２人目の素数さん
08/08/25 05:34:25
テンプレをまともに読んでない厨丸出しのレスですね。

35:１３２人目の素数さん
08/08/25 06:45:45
>>33
テンプレに証明のってるだろ？

36:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/08/25 14:26:37
A4では前スレ初頭でも物議を醸しとる｡

29:１３２人目の素数さん 2007/04/09(月) 17:41:56 [sage]
ここのテンプレ引用したらこんな意見が｡
ゲーデルの不完全性定理により数学敗北
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

783:１３２人目の素数さん :2007/04/09(月) 02:47:31 [sage]
なんかA４の論理云々って無茶苦茶だよ｡
論理は古典述語論理で変わらないでしょ？
せいぜい「理論」だよ｡

0.999999.........の（もっと一般的に3.1415926535897932.........のような無限小数の）
指示対象をどうやって決めるか、という問題｡

785:１３２人目の素数さん :2007/04/09(月) 04:24:01 [sage]
A4が無茶だな。「公理が違えば結果は異なる」程度で十分じゃないか？

30:１３２人目の素数さん 2007/04/09(月) 18:31:47 [sage]
できたときから糞テンプレだと思ってました

31:１３２人目の素数さん 2007/04/09(月) 21:50:13
「論理は古典述語論理」って根拠はなんだｗ？
数学ってそう決まっているのか？

37:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/08/25 14:41:33
携帯からにつき作業停滞

32:１３２人目の素数さん 2007/04/09(月) 23:14:36 [sage]
>> 31
ここで愚痴ってないで
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
に直接書き込みに行けよクズ｡

33:１３２人目の素数さん 2007/04/10(火) 13:19:19
あおっても何も出ないよｗ

34:１３２人目の素数さん 2007/04/10(火) 18:55:45 [sage]
文句があるなら、遠吠えしないで直接書こう｡
テンプレ修正なら、いくらでも受け付けるぞ｡

35:１３２人目の素数さん 2007/04/10(火) 20:23:31 [sage]
>> 33
オマエすっからかんだもんな｡

38:１３２人目の素数さん 2007/04/10(火) 21:51:28 [sage]
確かにユークリッド幾何学の第５公準とまではいかない迄も口説いが､
改善案思い浮かばない。精々、Ｑ側の文｢論理は絶対なのではないか｣を
｢論理は一意的に定まる筈なのではないか｣みたいに変更する案ぐらい｡

>> 31
直観論理でも量子論理でもなかろうって意味では？

39:１３２人目の素数さん 2007/04/11(水) 20:32:43 [sage]
一意的に？
一様に、じゃね？

38:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/08/25 14:42:32
40:１３２人目の素数さん 2007/04/12(木) 00:48:21 [sage]
一意で良いんじゃないのか？一般的な用語じゃないから､
かみ砕いた表現の方が良い気もするが…｡

41:１３２人目の素数さん 2007/04/12(木) 01:45:25 [sage]
いや一般だろ・・・
一様のが聞かんぞ｡

42:１３２人目の素数さん 2007/04/13(金) 12:39:07 [sage]
｢真実は常に一つ！(by名探偵ｺﾅﾝ)｣ではないのね｡

43:１３２人目の素数さん 2007/04/13(金) 23:32:32 [sage]
定義によるだろ｡

44:１３２人目の素数さん 2007/04/16(月) 16:03:02 [sage]
>> 38-41
いや、意味的には
｢一所{ﾋﾄﾄﾞｺﾛ}｣にとか｢一点に｣とかの方が｡

>>42
いや、どちらか一方、だから一つで合ってる。パラレルセオリー｡

45:１３２人目の素数さん 2007/04/26(木) 23:54:23
>> 42
バーローｗｗｗｗｗｗｗ

これでいいのか？

39:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/08/25 14:44:28
やっとこさラスト

46:１３２人目の素数さん 2007/04/27(金) 00:20:35 [sage]
ネクスト・コナンズ・ひーんと

　げーでる

47:１３２人目の素数さん 2007/05/05(土) 02:49:13 [sage]
げーでる
1940年
ｹﾞｰﾃﾞﾙがZF集合論+選択公理(=ZFC)から
連続体仮説の否定証明をできない事を証明

1963年
ｺｰｴﾝがZF集合論の無矛盾性を仮定すれば
ZFCから連続体仮説を証明できない事を証明｡

この２つより
ZF集合論の無矛盾性を仮定した上で
連続体仮説はZFCとの独立性が示された｡

…独立性？

40:１３２人目の素数さん
08/08/25 19:32:30
連続体仮説の前提となる、NとRの濃度が違うってのの証明に、対角線論法が使われていて、その
中に「１＝０．９９９…」があるんだっけ？

従って、「１≠０．９９９…」ならこの流れって全部崩れるの？

41:１３２人目の素数さん
08/08/25 21:21:01
>>40
1≠0.999…である数の体系をKとすると、KとRとは別の体系。崩れるもクソもない。問題外。
Kにどんな構造が入ろうが、Rは非可算集合のまま。

ちなみに、Rが非可算集合であることは、対角線論法を使わずとも証明できるようだ↓
URLﾘﾝｸ(www.iis.it-hiroshima.ac.jp)

42:１３２人目の素数さん
08/08/25 21:50:04
Q3に違和感
結局は同等になるが
1=1-0
0.999…
=lim[n→∞]Σ[k=1,n]{9*0.1^n}
=lim[n→∞]{1-0.1^n}
=1-0
と言う位の意味合いの差があり、やはり極限概念を要する

一方、2/2や3/3には極限概念を要さずに1とする事ができる

43:１３２人目の素数さん
08/08/25 21:58:18
お前が極限概念についてどんな思いを抱いているのかは知らんが、

結局は同等になるのだからいいじゃん。

44:１３２人目の素数さん
08/08/25 22:53:55
「形の違い」を根拠に否定する人用の反論テンプレなんだから今ので十分

45:１３２人目の素数さん
08/08/26 18:00:51
>>42
０．９９・・・と無限小数を考えている時点で極限が入っている。

２／２は、完全に代数で定義できるから極限の概念はいらない。

例えば、
Q_11とかいった代数系で考えると
２／２は１になる。
０．９９・・・は定義できない。（発散するかも）

46:１３２人目の素数さん
08/08/28 18:01:35
Q_11？フーム

47:１３２人目の素数さん
08/09/01 03:10:53
>>40
だからこれは"書き方"にすぎんと何度言えば（ry
別に、1/3>0.333....と言っても良いではあるよ。

だから、「無限に小さくなれば見分けつかんからさ、同じものになるってことにしようぜｗｗ」
っていう定義がなくなれば、
極限自体なりたたないんだって。

48:１３２人目の素数さん
08/09/02 00:44:27
2進法だと　1＝0.1111…　になりますか？

49:１３２人目の素数さん
08/09/02 01:02:12
うん

50:１３２人目の素数さん
08/09/02 01:04:59
１＝0.FFFFFFFFFFFF…

51:１３２人目の素数さん
08/09/04 23:33:22
今度は16進法かい

>>48-49
正にゼノンの逆理の二分法だな、主張に反して結局１で良いんだが

52:１３２人目の素数さん
08/09/09 05:10:20
回答テンプレにこれを入れたい。

Ｑ: 1=0.999…の意味は？　違いがわずかだから等しいとみなしているのか、それとも寸分の狂いなく等しいのか。
Ａ: 「寸分の狂いなく等しい」が妥当。他の解釈のしかたもないこともないが、
そのあたりの事情と判断基準はA1と同じである。

53:１３２人目の素数さん
08/09/14 10:02:46
age

54:１３２人目の素数さん
08/09/14 22:00:19
>>32の言っていることは正しいように思う。
＞これが0333…という記号列の定義。

１＝0.999…　は証明するものではなく定義だと思う。

55:１３２人目の素数さん
08/09/15 00:39:28
思うのは自由だけどそれを他の人に押し付けないでね

56:１３２人目の素数さん
08/09/15 00:47:42
押しつけも何も、>>32は無限小数の定義そのもの。

57:１３２人目の素数さん
08/09/16 22:57:16
>>54
何をもって定義とするかだけど、
極限を用いて定義した０．９９・・という数字についての性質だから定理だろう

58:１３２人目の素数さん
08/09/17 00:35:42
数学基礎論では、公理は証明可能だったような

59:１３２人目の素数さん
08/09/20 21:25:20
lim[a→1] a=1

60:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/09/24 22:54:14
>>58 達者な方が来て欲しいのう

61:デロリン
08/10/08 01:40:12
なんだこのスレは

62:１３２人目の素数さん
08/10/08 20:52:21
>>61
なんだとはなんだ

63:１３２人目の素数さん
08/10/08 22:32:17
インドのナンです

>>63 つまんね

64:１３２人目の素数さん
08/10/09 03:35:20
何だのかんだの壇家の旦那

65:１３２人目の素数さん
08/10/09 20:26:56
見事に良い乗りじゃ、ご両人
片や一人ボケ突っ込み、片や懐かしい響き

66:１３２人目の素数さん
08/10/13 21:48:30
通りすがりで悪いが
1=0,999・・・・=3/3なんだよな？
1の3条は1、3/3の3条は27/27でだが0,999・・・・の3条は1よりほど遠いよな？
だから１=0,999・・・・じゃないんじゃ。詳しく説明できる奴いるか？

67:１３２人目の素数さん
08/10/13 22:08:58
＞0,999・・・・の3条は1よりほど遠いよな？

遠くないよ。なぜ遠いと思うのか書いてください。
そもそも３乗する意味がまるでわからない。

68:１３２人目の素数さん
08/10/13 22:43:49
>>66訂正

＞0,999・・・・の3条は1よりほど遠いよな？
0,999・・・・の3条は1よりほど遠いような気が根拠はないけど何となく感覚的にするよな？

69:１３２人目の素数さん
08/10/13 22:48:24
全くしない。
0.999...それ自体が1より小さいと思ってなければ

70:１３２人目の素数さん
08/10/13 22:50:10
3乗して感覚的に遠くなる気がする気がするなら
そもそも3乗する以前に差があると思ってるからだろ

71:１３２人目の素数さん
08/10/13 23:33:26
>>66
0.999…×0.999…
って具体的にどうやるんだよ
書けねえぞ

72:１３２人目の素数さん
08/10/14 09:32:52
上から書いてけ

73:１３２人目の素数さん
08/10/14 19:14:43
普通の乗法の筆算は下から計算するが、天文学とか工学とかだと上から筆算をする
流儀もあるんだよな。

上から筆算をして有効桁で止める…と。

74:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/10/14 21:51:50
あれは有効数字同士じゃ、案ずるな

75:１３２人目の素数さん
08/10/15 16:38:29
>>71
多分、
0.999・・・×0.999・・・
=(1-0.00・・・1)×(1-0.00・・・1)
=1^2 - (0.00・・・1)^2
ってするんじゃね？

後ろは小数点をずらすから余裕じゃん。ＪＫｗ

76:１３２人目の素数さん
08/10/16 13:16:43
0.999…≠0.99…9

77:１３２人目の素数さん
08/10/20 22:11:08
>>75
間違い

78:１３２人目の素数さん
08/10/21 20:14:24
75は、コテハン"king様の弟子"

79:１３２人目の素数さん
08/10/24 21:21:00
>>12 う～ん
どんなに迷い込もうともLevel.4で踏み止まって欲しいもんだ

80:１３２人目の素数さん
08/10/24 22:26:16
1=0.999…だと思っているし、初等的証明は納得できるのだが、
1/3＝0.333…の両辺を3倍して1＝0.999…になるという証明は不思議に感じる俺のレベルはどこですか？

これって証明なのかどうかよくわからない。
結論を使って証明しているように見える。
結論を3で割っていて、それを3倍したら結論になりました。
だから証明できました、に思えてしまう。

81:１３２人目の素数さん
08/10/24 22:45:19
>>80
あなたはまともです。

82:１３２人目の素数さん
08/10/24 23:20:45
1/3＝0.333…は認めるのに1＝0.999…は認めない人向けの説明と思えばよい

あと
＞結論を使って証明しているように見える。

ということはない。
「a=bならば3a=3bである」を証明するのに両辺3倍しているだけであって
別に結論を使って証明していることにはならない。
あまりにも見慣れた同値変形だからそう思えるだけ。

83:１３２人目の素数さん
08/10/29 01:08:51
Level.0って所｡
歯の溶け始めをE0と言い、0以上1未満を指す｡
と言うか、0以上1未満は普通だと思うが、0って人居るん？
そんな人じゃ、『疑問を持つ事に疑問を持つ』んじゃないかなぁ

84:１３２人目の素数さん
08/10/31 19:42:06
kingくらいになるとLevel.-8だぜ
全ての始まりは数学からだみたいなこといってるし

85:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/11/01 07:53:48
Reply:>>84 お前は何をしようとしている。

86:１３２人目の素数さん
08/11/01 09:12:14
>>85
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　 ,,∧ヽ　!-=ﾆ=- | │　　| .|
／＼..＼＼｀ﾆﾆ´ !,　{　　 .ﾉ.ﾉ
／　＼＼￣￣￣../　　 / .|

87:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/11/01 12:28:06
Reply:>>86 奇跡はそこにある。

88:１３２人目の素数さん
08/11/01 14:03:31
だーからさー …

89:１３２人目の素数さん
08/11/08 19:39:10
優柔不断なので１と４の２つのLevelでたゆたっております

90:１３２人目の素数さん
08/11/15 19:54:24
(・3・)

91:１３２人目の素数さん
08/11/17 01:32:41
>>6
＞1と0.999…を足して2で割った数は
＞1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、(1+x)/2=x
＞よって、x=1となる｡

これは変じゃないの？
ぜんぜんx=1の証明になってないじゃん。

x=0.999...として、
(1+x)/2=x　を考えると、
2=x*(1+x)　になり、
よって、0.999...=1であると言える。

てことじゃないの。

92:１３２人目の素数さん
08/11/17 08:24:35
なってるよ。君の方が変。
よーく見直してみよ。

93:１３２人目の素数さん
08/11/17 10:22:39
>>91
2=x*(1+x)になり

ならないから

94:１３２人目の素数さん
08/11/17 18:31:25
>>92
どういう事かよくわからないです。
この場合だと式として合っているけど
0.999...=1が前提条件での話しで0.999...がイコール１である証明になってないと思う。

>>93
まちがいました。

(1+x)/2=x　は、(1+x)=x*2　とイコールですね。

これって、0.999...が１でも0.999...でも同じ事だと思うんですけど。

95:１３２人目の素数さん
08/11/17 18:47:05
>>94
一次方程式に二つ解があると思うのか？

96:１３２人目の素数さん
08/11/17 20:07:21
>>95
あそっか、
0.999...でも１でもいいから、同じ値だと証明されているんですね。
失礼しました。。

97:１３２人目の素数さん
08/11/18 15:12:15
試験で、回答が1になる時、
例えば、2-1＝0.9999・・・・
と書いてみろ。多分不正解になる。

98:１３２人目の素数さん
08/11/18 15:20:35
>>97
そんなことは当たり前だ。
だが、
1=0.999・・・ではないという説明になっていない。
2/3 と書くところを 4/6 と書いたら○はもらえない。
だからと言って、2 /3 ＝ 4/6 ではないと言い出す者はいない。

99:１３２人目の素数さん
08/11/20 01:44:58
>>97
「2-1=?」には主たる目的に1がどのような値であり、2がどのような値であるかを説けというものではない
よって証明があろうがなかろうが2-1＝0.9999...は問いの製作者の意図にそぐわないので不当な解とされる
ただし問いの主たる目的が「2-1＝0.9999...」であればこの限りではない

だから正しかろうが誤っていようが意図にそぐわない解はすべてはねるだろってことさ
で、「2-1=0.9999...」かどうか考えていたら、解が「1.1111111...」な気がしたがそんなことはなかったか
ところで余りとなる「0.000000000000000000000....00000000001」という端数がどこにあるかどうかなんだが
これってどう考慮されるの？

100:１３２人目の素数さん
08/11/20 16:33:48
>>99
>ところで余りとなる「0.000000000000000000000....00000000001」という端数がどこにあるかどうかなんだが
>これってどう考慮されるの？

「...」というのは、具体的に何個？

101:１３２人目の素数さん
08/11/20 17:15:10
>>100
そりゃ「0.999...」とおなじように「0.000...」の部分も無限だろ？

何だろうな、
無限に続くが故に前者は限りになく1に近い値で後者は限りなく0に近い値じゃないかって感じてな
もちろん、無限に続くが故に限りなく1に近い値となるならば1と扱ってもいいんだろうが
だが、>>97を見ていたら

1-0.9999...=0.0000...

ってのを想像しちまって、どこか気持ちの悪いものになってしまったんだよ
1=0.9999...は確かに成立するとわかるんだが、感覚的に許せないって話だ
頭が固いってことなんだろうか

102:１３２人目の素数さん
08/11/20 17:56:03
0.000…0001とは、「途中まで0で、最後の桁が1」という数。
0.000…とは、「どの桁も0」という数。

0.000…0001は「0ではない」が、0.000…は「ピッタリ0」である。

0.000…が「ピッタリ0」に感じられないのは、「…」の遥か向こうに
「1」があると勘違いしているからである。そういう数は0.000…0001と
表される数であって、0.000…とは別物。0.000…はどの桁も0であり、
どこを見ても「1」は出てこない。

103:１３２人目の素数さん
08/11/20 18:01:41
それは、こう考えるとよい。
0.000…000は「途中まで0」という数であり、明らかに「ピッタリ0」である。
これを、途中で止めないで「どの桁も0」にしたものが0.000…という数。
こう考えると、「…」の遥か向こうにあるのはやはり0だけであり、1なんぞ
どこにも出てこない。

104:１３２人目の素数さん
08/11/20 18:10:21
0.999…999とは、「途中まで9」という数。
0.999…とは、「どの桁も9」という数。

0.999…999は「1ではない」が、0.999…は「ピッタリ1」である。

0.999…が「ピッタリ1」に感じられないのは、1－0.999…＝0.000…0001
という幻想を抱いているからである。この式は成り立たない。成り立つのは
1－0.999…999＝0.000…0001 という式である。しかし、0.999…999と
0.999…は別物である。0.999…は「どの桁も9」なのだから、1－0.999…は
「どの桁も0」という数である。つまり1－0.999…＝0.000… である。
0.000…はピッタリ0なのだから、1－0.999…＝0になる。

105:１３２人目の素数さん
08/11/20 19:28:40
>>102-104
いや、何だろうな……抽象的すぎるから上手に説明できないんだが
よく考えると「0.0000...0001」ではないってなって便宜上「0.000...」と表記したんだよ
で、0.000...=0ではない。何だろうな、気持ち悪い表記になるから下の表記が正しいかな

x≠0.000...001
0.9999...＝1＋x
0.9999...＋x＝1

って感じに表記したいんだ。だが、俺にxを説明できない。つかxって何よってなってる

106:１３２人目の素数さん
08/11/20 20:37:32
>>105
それはもう、「お前の書く0.999…はどういう数なんだ？」って話になる。
君がxを説明できないのは、君が「0.999…」という数をどういう数なのか
あやふやにしているからだ。君はxを説明できないのではなく、
「0.999…」という数を説明できないのだ。

107:１３２人目の素数さん
08/11/22 00:20:53
>>105
たぶんあなたの言っている、
0.999...+0.000...1=???
の答えは、
1.000...0999...になるんだと思うよ。

108:１３２人目の素数さん
08/11/22 14:07:57
表現しきるに至ってらっしゃらないが
結局、>>42的な事を言ってらっしゃるんだろね

109:１３２人目の素数さん
08/11/26 20:32:57
うるさい。

110:１３２人目の素数さん
08/11/29 22:58:08
これは10進法ゆえに起こる表記矛盾、てか桁上がり表記による表記矛盾じゃないか

111:１３２人目の素数さん
08/11/30 10:15:42
矛盾でも何でもない。10進法という表記法の定義に従って計算すると0.999…＝1になる。

112:１３２人目の素数さん
08/11/30 10:45:17
・・･を極限記号として約束（定義）してるだけだな

113:１３２人目の素数さん
08/11/30 16:26:21
極限は１だけど数列はいつまでたっても1にならないもんねえ

114:１３２人目の素数さん
08/11/30 16:52:14
まあ、極限値だってのはテンプレの前提条件に明記されているけどね。

115:１３２人目の素数さん
08/11/30 17:53:10
>>110
矛盾じゃないぞ。

任意の実数は、一意に小数表記できる
という経験則からくる「思い込み」が間違っているだけの事。

116:１３２人目の素数さん
08/12/01 10:51:00
>>114あ、ほんとだ。ごめんちゃい。
>>115じゃあ、少数表記の限界ってことで・・・

117:１３２人目の素数さん
08/12/01 12:40:10
超準解析だと1=0.999…が成り立たないみたいなこと言う人いるけど
成り立ちますよ。　

さっきネットで超準解析って検索したら堂々と成り立たないとか書いてあるホームページ発見して
かなりびびったので念のため書いときます
ＲはＲ*のelementary substructureってことなので、それはいんですが
たとえば上限性質とかアルキメデス性は保存されてないですけどね（そこは注意が必要）

118:１３２人目の素数さん
08/12/01 15:15:36
>>116
矛盾だの限界だの、おバカなことを言う奴だな。
限界って何？何に対する限界なの？

1という実数に対しては、0.999…＝1，1.000…＝1という2通りの
無限小数展開が存在するというだけの話。それは、有理数で
言うところの1/2＝2/4に相当する事柄であり、限界とか
そういう話ではない。

119:１３２人目の素数さん
08/12/01 18:18:44
>>117

0.999…が成り立つ　⇔　アルキメデス性が成り立つ

ってはなしもあったような…。

120:１３２人目の素数さん
08/12/01 18:19:19
ごめんなさい。
大小比較するとき一桁余分に見ないといけないのは道具として使い勝手悪いな～と思って。

121:１３２人目の素数さん
08/12/01 19:06:40
>>120
コンピュータプログラミングでも実数同士を比較する場合、直接比較は普通しないよな。

誤差を考え差の絶対値が特定の値より小さいかってので、「同じ値」かを判断するわけだ。

122:１３２人目の素数さん
08/12/01 23:06:11
はい、了解しますた！

糞して寝ます。

123:１３２人目の素数さん
08/12/01 23:07:52
>>119
それはたぶん超準解析における極限概念の定義の問題じゃない？
自然数ｎ∈Ｎってのが与えられた時にそれをどうみるかによってかわるからね
自然数の集合ってのがはたして構造（Ｒ、＋、×、０、１）で考えたものなのか
それともそれからはみだしたメタな意味でのＮなのかってのがあるからね
たとえばｎを、１をｎ個たしたものと、とらえたときにはそれはＲ*にトランスファーできないってことで、
これがアルキメデス性が保存されない原因なわけだけど極限概念では普通
ｎは１をｎ個たしたものなんて考え方しないと思うけど。
もしそういう考え方するのであればたしかに0.999…が成り立つ　⇔　アルキメデス性が成り立つ
っていう話になるのかね？？　
超準解析に詳しい訳ではないのでなんともいえませんが。

124:１３２人目の素数さん
08/12/02 03:46:58
>>110 矛盾と言うよか不具合と言うべきじゃ？
あい矛盾する対象がある訳でもないし｡
>>113 和の極限

125:１３２人目の素数さん
08/12/02 03:59:00
>>124
不具合でもなんともなくて、
>115,118の言ってる様に「思い込み」なだけ。

「任意の実数は、高々２通りの方法で小数表示できる」
という風に考えれば何の問題もおきないでしょう？

126:１３２人目の素数さん
08/12/02 04:52:23
じゃあ、0.33333...はそれ以外にどんな値なの？

127:１３２人目の素数さん
08/12/02 05:12:11
>>126
「任意の実数は、　高　々　２　通　り　の　方　法　で　小数表示できる」

高々2通りとは、「多くても2通り」ということであり、「必ず2通り」と言っているのでは無い。

128:１３２人目の素数さん
08/12/02 08:44:54
そうですか、他に表現のしようがないんですね。
って事は上で誰かが言っている様にやっぱり少数表記には限界があり、
0.999...=1であると言えるのは例外的なものでたまたま3/3が1であるから
それを根拠に言い換えているだけってことになりますね。
でもそれは1という値がどんな値かを初めから知っているから言える事で、
0.333...を３倍した0.999...だけ１であると決めつけるのはどうかと思います。
例えば0.111...を9倍したって0.999...になるわけで、
なんで1.111.../10を9倍したものが1.000...と等価になるといえるのでしょうか？
あと1/7や√２などはいったいどんな明確な数なのか。

129:１３２人目の素数さん
08/12/02 09:22:50
>>128
実数の定義とか勉強するといいと思うよ

130:124
08/12/02 09:49:44
>>125
それは承知の上、110がしようとしてたの表現は矛盾ではなく精々不具合と言った所だったから

131:１３２人目の素数さん
08/12/02 09:52:43
誰かの言葉を借りれば
お前は大局を見ていない
お前は肝心な所を見ていない
となるな

132:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:02:17
それに少数表示の限界と言うが、たった表示が２通りっきりにしか分かれないんだから無問題だし
１に限らず全ての有限少数に言える事｡
最下桁を１減らしてその次から無限９続きになる｡

133:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:34:48
>>129
ほう、
では実数とはなんですか？
あなたに答えてもらいましょう。
そしてそのものいいなら、√２や1/7の実数解についても答えてもらう。

134:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:35:08
>>128
＞0.333...を３倍した0.999...だけ１であると決めつけるのはどうかと思います。
決めつけているのではなく、無限小数展開という概念の定義に従って
計算した結果、0.999…＝1という式が成り立つことが言える。

＞なんで1.111.../10を9倍したものが1.000...と等価になるといえるのでしょうか？
無限小数展開という概念の定義に従って計算すると、等価であることが言える。

＞あと1/7や√２などはいったいどんな明確な数なのか。
ペアノの公理系に従って自然数を構成し、そこから整数を構成し、そのあと有理数を
構成し、最後にデデキントの切断あるいは有理コーシー列を用いて実数を構成すると、
明確な数として認識される。お前がそれを知らないだけ。要するに

実数の定義とか勉強するといいと思うよ

ということだ。

135:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:52:52
自然数、正数、実数...の概念なんて数学やってれば誰でも知ってるよ、
そんな事を自分だけ知ってるとしたり顔でほざけば自分の平凡な頭脳を高等化できるとでも思ってるの？

＞最後にデデキントの切断あるいは有理コーシー列を用いて実数を構成すると、
＞明確な数として認識される。お前がそれを知らないだけ。要するに

うん、それは知らないな。でも実数について勉強する気にはなれない。
あなたはそれをすでに理解しているんだから、
早く√２の実数解を教えてください。

136:１３２人目の素数さん
08/12/02 10:59:12
>>135
＞自然数、正数、実数...の概念なんて数学やってれば誰でも知ってるよ、
普通の人は、それらを「言葉として」知っているだけ。お前もそうだ。
自然数が何であるのか、実数が何であるのか、そういうことは高校までの
数学では出てこない。大学に入って数学科へ進学した人のみが勉強する。
もちろん、数学科へ行かなくても、独学でも勉強できるが、普通の人は
そんなことしない。案の上、お前も
＞うん、それは知らないな。でも実数について勉強する気にはなれない。
こんなことを言っている。

＞そんな事を自分だけ知ってるとしたり顔でほざけば自分の平凡な頭脳を高等化できるとでも思ってるの？
知ってるのは俺だけでは無いが、しかし普通の人は知らない。

＞早く√２の実数解を教えてください。
「√2の実数解」という言い回しは意味が通っていない。日本語になっていない。
だから答えようが無い。実数解という言葉は、方程式とセットでしか使わない。
「方程式x^3－1＝0の実数解を教えてください」などと聞かれれば

実数解は1です

と答えるのだがな。

137:１３２人目の素数さん
08/12/02 11:51:31
>>135
たとえばQ[x]/(x^2-2)における[x]（xを元にもつ同値類）が√２ってことになるし
あとデデキントカットで考えるなら「｛x∈Q:x^2<2｝∪Qの負の部分」が√２にあたる

面白い話だから>>135は勉強するといいと思うよ。

138:１３２人目の素数さん
08/12/02 14:01:55
乱暴な言い方をしている>>135に対して
アドバイスしている親切な>>136と>>137に感動した

139:１３２人目の素数さん
08/12/02 15:12:55
勉強になった。中卒の俺にはテンプレでも難しかったよ。むずかしーでも概念とか面白そう。
でも色んなとこの数論の解説みてたら頭痛がしてきたので寝ます。

140:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
08/12/02 19:33:29
>>137氏乙
>>139
実を言うと>>89は儂なんじゃが、此処迄説明してた学生？学者？の言う通りという訳じゃ
仮に1≠0.999…とする公理系を作っても、我々が日常扱う数学体系とは違い、減算の整合性が
取れなくなって来たり、他、どの様にしても我々が日常扱う数学体系の様な整合性は
得られぬらしい｡

専門家ブロ仕様とかそんなんじゃなくて、原理的にも日常では使う用途無いとの事｡

数学科卒の同輩に聞いた話で済まんが（高卒の儂には分かりません)

141:１３２人目の素数さん
08/12/02 20:07:16
仮に0.999…≠1としても、減算の整合性が取れぬらしい｡
普段信用ならぬWikipediaだが、0.999…の項のWikipediaを信用して良い｡

1≠0.999…とすると減算の整合性が取れぬ様じゃ｡

1≠0.999…をつくる公理系のやり方が悪いとかそんなんじゃなくて原理的に駄目らしい｡

一方…1=.999…はその様な事は無い…

物理学に於いても数学的厳密性を最優先する向きでも、1=0.999…は正しい｡
増してや日常、工学に於いては、尚の事、正しい｡

1=0.999…と疑うは杞憂だと言う事が出来る｡

142:１３２人目の素数さん
08/12/08 21:55:14
0.999…って、なんかの計算とかで出てくるんですか？

143:１３２人目の素数さん
08/12/08 22:05:55
対角線論法とかでよく使われるな。

144:１３２人目の素数さん
08/12/09 04:23:55
そもそも1/3＝0､3333･･･なのか？
1/3は３倍したら１になる数ってことじゃね？
だから１＝0､999･･･じゃないと思う

145:１３２人目の素数さん
08/12/09 05:08:39
こんな事で揉めるなんて。
無限の概念さえなければ0.999…も、いつかどこかで終わる筈だった。
おわるなら、1＞0.9999999な感じで済んだのに。
だから今揉めてるのもヒルベルトのせい。ヒルベルトが全部悪い。

ちなみに、1と0.999…は表記の違いと聞いてソロバン思い出しました。
昔のソロバンは五を表す玉が２列だったとか。２個動かしてから次の桁行く。
今、１列ですよね？手間が少なく次の桁行っちゃう。そんな違い？

146:１３２人目の素数さん
08/12/09 05:51:26
>>144
無限小数展開の定義に従って計算すると0.333…＝1/3であり、
0.999…＝1であることが言える。

147:１３２人目の素数さん
08/12/09 08:02:47
＞そもそも1/3＝0､3333･･･なのか？

はい。

まだあなたの個性が発揮されていません。
今のままではこのスレで遊んでもらえませんので
出直してきてください。

148:１３２人目の素数さん
08/12/09 11:55:46
1/3＝0､3333が正しいならそりゃ1＝0､9999じゃねぇの？

149:１３２人目の素数さん
08/12/09 20:55:42
その通りです。

ところが1/3=0.333... は認めても
1=0.999... は認められない人が大勢いるのです。

納得できた貴方は幸せですね。

150:１３２人目の素数さん
08/12/14 00:07:17
“筋”という理性的になり切れなくて悪いながら、この表現を使うと
.999…≠1とするなら、筋として.333…≠1/3としなければならない
　0+1=.9+.1=.99+.01=.999+.001=…
の極限の辺の第二項目を意識するのだから、筋から言えば
0+1/3=.3+.1/3=.33+.01/3=.333+.001/3=…
（数学的に普通は
0+1/3=.3+1/30=.33+1/300=.333+1/3000=…
と記すべきだが間違いは無い)
の極限の辺の第二項目も意識しなくてはならない事になる
　後から後から涌いてくる者が絶えぬこのスレ
結局、筋が通った.999≠1なる構成が確立される他は終焉を見ないな
有る事の証明と違い無い事の証明は困難
特に変哲者に対しての証明の説明は至難
　さて…結局、「ねーよｗ」らしいんだが
　Wikipedia - 0.999... - によれば
1≠.999…なる構成作ってみたら
減算の復元性を有してなかったらしいし　前スレによれば
1≠.999…ながら1=.333…なる構成も作り得るらしいし
　何より1≠.999…なる構成は連続性や順序性が保たれないらしいし
…等とどうも上手くいかない
　だが結局、俄かには突き詰めた所は理解できん、マジで学ばないと
何て言ったっけ
『学んで思わざれば則（すなわ）ち罔（くら）し
思うて学ばざれば則ち殆（あやう）し』

151:１３２人目の素数さん
08/12/15 07:06:09
もうもはや理解じゃ足らんか？悟り得るしか無いか？
哲学的に言うと理性と悟性か

悟性と言っても認識力っていうレベルな、それも飽く迄も数学的にな
新しい無定義述語を知覚化する時とかみたいに
数学でさえも欠かす事ができないな認識力、勘って意味で

執濃いが、悟性や勘と言っても、飽く迄も超感覚�%

152:１３２人目の素数さん
08/12/15 07:11:44
（サーバーエラーにつき再レス
orzメニューのサーバーは改善されたし)

もうもはや理解じゃ足らんか？悟り得るしか無いか？
哲学的に言うと理性と悟性か

悟性と言っても認識力っていうレベルな、それも飽く迄も数学的にな

新しい無定義述語を知覚化する時とかみたいに
数学でさえも欠かす事ができないな認識力、勘って意味で

執濃いが、悟性や勘と言っても、飽く迄も超感覚の事では無い事を約束

153:１３２人目の素数さん
08/12/15 20:21:12
栞がかなり改善された。これをやってたんだな。

154:１３２人目の素数さん
08/12/18 21:24:19
有理数の切断を勉強して、それを実数の定義として受け入れたら納得できた。

ああすっきりした。

155:１３２人目の素数さん
08/12/20 19:43:17
A={a|a>=1} , B={b|b<1}として

A∋1 , B∋0.999…

なんじゃないのって粘着してた人がいた記憶が…。

156:154
08/12/21 21:45:48
すっきりついでに証明やってみるお．
1＜0.999…ではないのは当然として，0.999…＜＝１で考えるお.
表記の簡単のためα＝0.999･･･とおくお．

有理数の数列
a_n＝0.999･･･（9がn個，n＜∞）
を考えると
a_n＜α＜＝１．

１とαは，両方とも実数なので，有理数の切断で定義され，
α＝＜A,A'＞
１＝＜B,B'＞
とすると，a_n∈A，１∈A’．
また，α＝１⇔A＝B．

157:154
08/12/21 21:50:40
さあここからが本番，α≠1を仮定して，背理法で証明するお．

仮定よりα＜１，つまりA⊂≠Bなので，
ｒ∈Bかつｒ∈A'なる有理数ｒが存在する．

ｒ∈Bということは，つまりｒ＜１⇔１－ｒ＞０なので，
１－ｒ＞10＾(-n)
なる自然数ｎが存在．

両辺にa_nを加えて
a_n＋１－ｒ＞a_n＋10＾(-n)＝１

両辺から１引いて
a_n－r＞０
∴a_n＞ｒ
a_n∈Aなのでｒ∈A'，これはｒ∈A'に矛盾
つまり仮定α≠1は偽である．よってα＝１が証明された．

158:154
08/12/21 21:56:54
う～ん、ところどころ書き直したいところが・・・orz

159:１３２人目の素数さん
08/12/27 21:26:35
実数 1 は実数 lim[n→∞]∑[k=1...n]9(1/10)^k に等しい。
単純 10 進展開表現 1.000… は単純 10 進展開表現 0.9999… と異なる。

X9999… は必ず (X+1)0000… に繰り上げる、
「正規化 10 進展開表現」を考えると、
正規化 10 進展開表現 1.000… は存在する。
正規化 10 進展開表現 0.999… は存在しない。

正規化 10 進展開表現を考えて初めて実数との簡単な１対１対応がつく。

実数と単純 10 進展開表現も別に１対１対応がつかないわけじゃないが
ほんとにやろうとすると少し複雑になる。
実数 0≦x＜0.1 あたりに X999… か (X+1)000… かどちらかの
重複している方に対応させる実数領域を確保しておいて、
その分、曖昧性を持たない展開表現の実数対応領域を
0≦x<1 じゃなくてちょっと詰めてもらって 0.1≦x<1 に対応させればよい。
これじゃ明らかに使いにくいので割り切って
正規化 10 進展開表現を省略して 10 進展開表現と言うことにして、
「0.9999…だって？それは文法間違いだよ。数として存在しない」
と言うのが正しい行動です。

160:１３２人目の素数さん
08/12/28 15:17:23
1対1である必要はないだろ。
{10進展開表現全体}∋0.a1a2a3… → Σak/10^k∈[0,1]
は全射だ。それで十分。

161:１３２人目の素数さん
08/12/29 19:25:09
みゅ？纏めて下さい

162:１３２人目の素数さん
09/01/02 19:04:16
1=1.000…=0.999…
という二通りの無限小数表現があるってこった。

163:１３２人目の素数さん
09/01/03 17:07:45
みゅ～…>>159-160が全然わからなかった…どんな作業してるんだろー…

164:１３２人目の素数さん
09/01/20 22:01:33
内容：
⑥ 1と0.999…を足して2で割った数は
　1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、(1+x)/2=x
よって、x=1となる｡

証明

1≠0.999…(1>0.999…)おくと、
1,0.999…はどちらも実数であるので、
1>x>0.999…─①
となる実数xが無数に存在するはずである。
このxが存在するかを調べるためにここではa,bの平均値を求める。
1+0.999…=1.999…
1.999…/2=0.999…=x
①に代入すると、
1>0.999…>0.999…
となり、不等式が成立せず、
①を満たすxは存在しない。
よって、
1≠0.999…
ではない。
従って
1=0.999…
である。

証明終わり？

165:１３２人目の素数さん
09/01/20 22:46:15
⑥は暗黙のうちに0.999=1と同値の式1.999…=2
を前提を用いているから
どうやって正当化しようとしても無効だな。
次スレでは消しておけ。

166:１３２人目の素数さん
09/01/21 00:00:38
晒しあげ

167:粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI
09/01/21 12:32:34
> ⑥ 1と0.999…を足して2で割った数は
> 　1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、(1+x)/2=x

あら？しまった、小数点抜けとった

168:粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI
09/01/21 12:40:02
懸念の丸囲い数字の代替の試案
〇一二三四五六七八九十百千万零壱弌弐貳参參肆伍陸漆捌玖拾陌阡萬

>>165
寧ろ６は５の一例と思う｡

169:１３２人目の素数さん
09/01/21 21:46:03
>>165
前提にしてないし消す必要もなし。
つまんねえタイプのバカしか現れなくなったな・・・

170:１３２人目の素数さん
09/01/21 22:11:35
(・3・)

171:１３２人目の素数さん
09/01/22 00:16:46
>>169
前提にしてるんじゃないかな

0.999…と1が等しくない場合でも1.999…/2=0999…となると思う

172:１３２人目の素数さん
09/01/22 00:31:52
>>171に対して、>>169の出番なわけだが。

173:１３２人目の素数さん
09/01/22 07:53:21
>>171
>0.999…と1が等しくない場合でも1.999…/2=0999…となると思う

そう。だからこそ前提にしていないといえる。

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