分からない問題はここに書いてね２９１

分からない問題はここ ..

237:１３２人目の素数さん
08/07/31 02:20:40
>>236
なるほど、了解

ちなみにこういう式は、複素数の偏角考えて
(n+i)(n+1-i) = n^2+n+1 + i
(p+i)(p+q-i) = p^2+pq+1 + iq
とかでも証明できる

マチンの公式は 5+i と 239+i のガウス素数への分解
5+i = (1+i)(3-2i)
239+i = -(1-i)(3-2i)^4
を見ると成立する理由がわかる

238:223
08/07/31 02:23:04
>>237

本当に勉強になります。
助かります。
ありがとうございました！

239:１３２人目の素数さん
08/07/31 02:24:19
|Ｆ1|　　|Zc cotβ 　　Zc cosecβ　h/ω　|　|　v1　|　|
|Ｆ2|　=　|Zc cosecβ　　Zc cotβ　h/ω　|　|　v2　|　}・・(1)　
|Ｖ3|　　|　　h/ω　　　　h/ω　　1/ωC0|　|　Ｉ3　|　|
という行列式を
Z1 = -Ｆ1/v1 ・・・(2)
Z2 = -Ｆ2/v2　・・・(3)
Z3 = V3/I3　　・・・(4)
として、行列式(1)に(2)(3)を利用して計算することで、Z3を求める
また、F1 F2 v1 v2 V3 I3
を含まない式にせよ。

(ーー゛)

240:１３２人目の素数さん
08/07/31 05:04:38
eのz乗（(e)^z）をu+ivの形にしろという問題で
解答が
eのz乗=e^(z*loge)=e^z*e^(2nπzi)
となっています

(e)^zとe^zってどう違うのですか？

241:１３２人目の素数さん
08/07/31 05:08:58
なめてんの？

242:１３２人目の素数さん
08/07/31 05:10:09
真剣です

243:１３２人目の素数さん
08/07/31 05:24:30
>>240

解答も間違っているし恐らく貴方の理解もどこかで間違っている。
正しい解答は
eのz乗=e^(z*loge)=(e^z)^(loge)=(e^z)^1=e^z
であって(e)^zとe^zは表記上の問題で
後者は前者の括弧を省略して書いているだけだ。
複素解析の本か何かでも最初から読み直した方が良い。
それにしても本当に問題集の解答が>>240のようになっていたのか？

244:１３２人目の素数さん
08/07/31 05:38:20
同じものと考えていいのですか

確かに>>240のように書いてました

245:１３２人目の素数さん
08/07/31 05:50:41
>>244

(e)^zとe^zは同じものだ。
で問題文も>>240の通りか？
多分>>240の
「e^z*e^(2nπzi)」
は
「e^z*e^(2nπi)」
の間違いだろう。
e^(2nπi)=cos(2nπ)+isin(2nπ)=1+i*0=1
だしな。
そう解釈すれば良い。

246:１３２人目の素数さん
08/07/31 05:56:08
z*loge=z[Loge+i(0+2nπ)]=z+2nπiz
じゃないの？

247:１３２人目の素数さん
08/07/31 05:56:12
>>240
+の記号と*の記号を間違えてないか？

248:１３２人目の素数さん
08/07/31 07:31:02
複素数ってどういう構造をしてるの？
i*i=-1と決めます。
(a+bi)*(c+di)が分配法則が成り立つと決めます。
θが実数のときe^(iθ)=cosθ+i*sinθと決めます。
こうすると、e^(a+b)=e^a*e^bが証明できます。
e^z=tについて、z=log(t)と決めます。

こんなふうでいいのかな

249:１３２人目の素数さん
08/07/31 08:27:50
次の問題を解いてみたのですが解答がないので自信がありません
これでいいかどうか教えてください

（問題）曲面S上の点（ｘ,y,z）はパラメータθとφを用いて次式で与えられる。
x=(a+bcosφ)cosθ
y=(a+bcosφ)sinθ
z=bsinφ
ただし、0≦θ＜2π,0≦φ＜2πであり、a,bはa>bを満たす正の定数である。
曲面Sの全表面積を求めよ。

（私の解答）
曲面Sはリング状の立体の表面であり、微小部分の面積ｄSは
(a+cosθ)dθ*bdφ=b(a+cosθ)dθdφ
よって求める表面積は
∬ｄS＝4π＾2ab

よろしくお願いいたします。

250:１３２人目の素数さん
08/07/31 09:05:28
>>249
dS = b{a+b*cos(φ)}dθdφ

251:１３２人目の素数さん
08/07/31 11:28:07
長方形の対角への斜距離を求めたいのですが
脳が退化して、わかりません。
公式及び電卓での計算の仕方、を教えて下さい。

252:１３２人目の素数さん
08/07/31 11:31:50
ピタゴラスの定理

253:１３２人目の素数さん
08/07/31 14:05:36
>Aはn*nの正則行列、A^tはAの転置行列。
>A^t Aの固有値はすべて正の実数であることを示せ。
>
>>>201
>Ａは複素係数でもいいのか？Ａ＝√iＥだと成り立たなくないか？

Aは実行列、ｎは正の整数でした。

254:１３２人目の素数さん
08/07/31 16:46:45
>>253
A^tAがエルミート行列だってことを言えばいい。
ちなみにエルミート行列Ｐの固有値aが実数だって言うのは
Ｐx=axの両辺の随伴（転置共役）とったり右からxかけたりすれば分かる。

255:１３２人目の素数さん
08/07/31 17:06:54
前スレで回答が得られなかったので再度。

URLﾘﾝｸ(eclypso.exblog.jp)
ここで紹介されている「泥んこの子供達」の解法（あるいは解法を説明する理論）はなんて呼ぶのかな。
囚人のジレンマみたいに何らかの名称があると思うんだけど。

256:１３２人目の素数さん
08/07/31 17:10:39
名前はないんじゃね？
似たようなのに階段の下の・・・とか
縦に繋がれた囚人が・・・とかあるよね。

257:１３２人目の素数さん
08/07/31 17:47:10
nn対称行列A,Bが正値定値であれば、A+Bも正値定値であることを証明せよ。
お願いします。

258:１３２人目の素数さん
08/07/31 17:48:16
>>257
正値定値であることの定義を書いてみて

259:１３２人目の素数さん
08/07/31 17:48:50
>>257　定義より自明である。　////

260:１３２人目の素数さん
08/07/31 18:02:45
>>258 定義おしえてくだしあ＞＜

261:１３２人目の素数さん
08/07/31 18:11:12
>>260
起用箇所嫁

262:１３２人目の素数さん
08/07/31 18:15:05
定義も知らんで問題とこうとしてるとか、
アホなのか？

263:１３２人目の素数さん
08/07/31 21:25:20
高校入試の問題なんですが、

ある整数の約数をすべて加えると72になり、約数の逆数をすべて加えると12/5になる。
この整数を求めなさい。

264:１３２人目の素数さん
08/07/31 21:52:34
>>263
30。中学生の知識だけで証明するのは難しいが・・・

265:１３２人目の素数さん
08/07/31 22:27:08
■

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□■■□
□■■□
■□□■

■□□■□□□□□□□□■□□■
□■■□□□□□□□□□□■■□
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□□□□□□■■■■□□□□□□
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□□□□■■□□□□■■□□□□
□□□□■■□□□□■■□□□□
■□□■□□□□□□□□■□□■
□■■□□□□□□□□□□■■□
□■■□□□□□□□□□□■■□
■□□■□□□□□□□□■□□■
･･･
と、拡大するとどこまでも相似図形が現れる
フラクタル図形があって、この図形は

全体を 2 分の 1 に縮小した相似図形が 1 個と
4 分の 1 に縮小した相似図形 4 個で成り立っています。

この、図形の相似次元を教えてください。

266:１３２人目の素数さん
08/07/31 22:27:54
スキュース数
10^10^10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
というのは、無量大数(10^68)の何倍ですか？

267:１３２人目の素数さん
08/07/31 22:30:05
10^(10^10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000-68)倍

268:１３２人目の素数さん
08/07/31 22:46:07
複素関数の問題です
Res[exp(az)/1+exp(z);πi]を求めよ（aは実数）

の解法をどなたか教えてくれないでしょうか

269:１３２人目の素数さん
08/07/31 22:48:25
>>268
> 解法をどなたか教えてくれないでしょうか

exp(az)/(1+exp(z)) の z = πi での留数を求めたらよい。

270:１３２人目の素数さん
08/07/31 22:52:47
うーんそれはわかるんですが、もしよければ途中式から答えの導入までを
教えてほしいです。

271:１３２人目の素数さん
08/07/31 22:55:26
>>270
f(z) = exp(az)/(1+exp(z)) とおく。

(1) f(z) は z = πi で極を持つことを確認する。
(2) f(z) の z = πi で極の位数を求める。今の場合は 1 位。
(3) 一位の極であれば留数は lim_[z→πi] f(z) で求めれる。

272:１３２人目の素数さん
08/07/31 22:56:23
(3) を間違えた。

>>270
f(z) = exp(az)/(1+exp(z)) とおく。

(1) f(z) は z = πi で極を持つことを確認する。
(2) f(z) の z = πi で極の位数を求める。今の場合は 1 位。
(3) 一位の極であれば留数は lim_[z→πi] (z - πi) f(z) で求めれる。

273:１３２人目の素数さん
08/07/31 23:07:36
>>263
ある整数をnとすると
約数の逆数の和を通分したときに分母が5になるためには
nは5の倍数でなければならないし
約数の和が72ということは
71以下だから
これだけの条件でも候補がかなり絞られる。

274:１３２人目の素数さん
08/07/31 23:35:22
>>263
12/5

275:１３２人目の素数さん
08/07/31 23:35:55
>>263
(12/5)x=72
x

276:１３２人目の素数さん
08/07/31 23:39:25
>>263
単なる方程式の問題
(12/5)*x=72を解いておしまい
なんでそうなるかは初等整数論の本読むなりしてくれ

277:１３２人目の素数さん
08/07/31 23:49:23
a(n+3)=-a(n+2)+2a(n+1)+8a(n)、a(0)=a(1)=a(2)=1
で定義される数列a(n)について一般項を求めたいのですが、
どうすればよいでしょうか？
また、この数列は平方数になることも示したいのですが、
どうすればよいかどなたか教えてください。

278:１３２人目の素数さん
08/07/31 23:53:03
>>277
なんというなつかしい問題…
これは間違いなく数学オリンピック合宿関係者がネットに流した問題

279:１３２人目の素数さん
08/08/01 00:00:53
>>263です
大阪の某私立高校で出題された問題です、やっぱ1.5次の数学は難しい･･･
なぜそうなるのかが、あまり分からなかったので

280:１３２人目の素数さん
08/08/01 00:14:40
277です。
数学オリンピックと関係あるとは知りませんでした。
ネットで偶然見つけて少し考えていたのですが、わからなかった
ので、解答を教えていただけないでしょうか？

281:１３２人目の素数さん
08/08/01 00:16:40
痴女達の本気オナニー
URLﾘﾝｸ(avguy.blog61.fc2.com)

282:１３２人目の素数さん
08/08/01 01:31:11
n*sin(1/n)が1に収束する
の証明なのですがε-N論法で証明することは可能でしょうか？
可能であれば証明の仕方を教えてください　お願いします

283:１３２人目の素数さん
08/08/01 01:37:52
>>282　収束しなくね？

284:１３２人目の素数さん
08/08/01 01:41:36
出勤率が何パーセントかという問題が解けません
２３日中６日休んだ場合出勤率は何パーセントになるんですかね？
計算方法が分からないです

285:１３２人目の素数さん
08/08/01 01:49:11
ベクトルなんですけど、
三角形OABにおいてOPベクトル＝sOAベクトル+tOBベクトルで、
0≦s≦1、0≦t≦1としたときの点Pの存在範囲を求めよ。
って問題をお願いします。

286:１３２人目の素数さん
08/08/01 01:55:58
平行四辺形

287:１３２人目の素数さん
08/08/01 02:00:14
>>286
答えはわかるんですけど、ソの答えを導く解答の記述がわからないんです

288:１３２人目の素数さん
08/08/01 02:21:08
説明要るのかな。sを固定してtを動かせば明らかだと思うが。
要るとしたら平行四辺形の大きさくらいか。

289:１３２人目の素数さん
08/08/01 03:10:24
>>277
a[n+3]+3a[n+2]+4a[n+1]=2(a[n+2]+3a[n+1]+4a[n])
と変形して、
a[n+2]+3a[n+1]+4a[n]=8*2^n
としたあと、両辺を2^nで割りいの、
8を左辺の各項にいい感じで分配しいの、
置き換ええの、特性方程式を解きいのして求めてみますた。
合ってるかな？

平方数に関してはまたあとで考えてみよっと。

290:１３２人目の素数さん
08/08/01 03:15:55
>>282
a_n = n*sin(1/n)=sin(1/n)/(1/n)
sinx < x-(1/6)*x^3+(1/120)*x^5
sin(1/n)/(1/n) < ((1/n)-(1/6)*(1/n)^3+(1/120)*(1/n)^5)/(1/n)
=1-(1/6)*(1/n)^2+(1/120)*(1/n)^4…①
任意の正の数εに対して、ある自然数Nが存在してn>Nな任意のｎに対して
|a_n-1|<ε…②となればよい
①よりN=[((100+120ε)^(1/2)-10)/120ε+1]とすれば②の式はどんなεに対しても成り立つ
よってn*sin(1/n)が1に収束する
ただし[x]はxを超えない最大の整数を表すものとする
ロピタルの定理を使え糞ガキ

291:１３２人目の素数さん
08/08/01 03:17:41
>>290
頭悪すぎﾜﾛﾀｗ

292:１３２人目の素数さん
08/08/01 03:18:16
>>282
sinのテイラー展開使えばいいんじゃない？

293:１３２人目の素数さん
08/08/01 03:19:03
>>292
>>282
すでに使ってあるのが…

294:１３２人目の素数さん
08/08/01 03:20:43
>>292
>>290
アンカーミスりました

295:１３２人目の素数さん
08/08/01 03:36:12
>>289
どうでもいいけどなんかいけそうだな

296:１３２人目の素数さん
08/08/01 04:51:16
>>278
お前もネットで見たんだろ
見栄張ってみっともない

297:249
08/08/01 09:04:44
>>250
ご指摘ありがとうございます
その通りでした

298:１３２人目の素数さん
08/08/01 09:48:55
おねがいします
１の５乗根をｚとする。
ｚ＋（ｚインバース）をもとめよ。
またcos72°を求めよ。

299:１３２人目の素数さん
08/08/01 11:09:34
>>298
z は 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0 を満たす。
この式を w = z + z^{-1} とおいて書き換えると
w の二次式になるので、それを解けば前半は求まる。

後半は 1 の5乗根が z = exp(2πi/5) であることに注意して
cos(2π/5) = (z + z^{-1}) / 2 から求まる。

300:１３２人目の素数さん
08/08/01 11:14:17
向こうに書いてたんですが回答を得られないので…
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:625番)

301:１３２人目の素数さん
08/08/01 11:20:08
z=log(x^2+y^2)にラプラシアンを作用せよ

解き方がわからない

302:１３２人目の素数さん
08/08/01 11:25:49
>>300
これを１から全部解けってか？面倒くせえ。

あんたが作った解答があってるかどうか位ならチェックするが
自分で解くのは俺はパス

303:１３２人目の素数さん
08/08/01 11:50:11
~tは転置、~-1は逆行列として

Q~t=P~-1、P~t=Q~-1のとき、P~t Pを求めよ。

304:１３２人目の素数さん
08/08/01 13:37:37
ここに書くような奴じゃないけど、どこに書いたらいいかわからんからここにかく。

公務員用一般常識問題(数学)
ある自動車が一様な速さで走行するのに要するガソリンの量は速さの平方と走行距離に比例する。この車が時速50kmで260kmを走行するのに13ガロンのガソリンを要するとすれば、時速60kmで500kmを走行するのには何ガロンのガソリンを要するか。

答えみてもさっぱりわからん。中学生でもわかるように解説してくれると助かる。

305:１３２人目の素数さん
08/08/01 13:55:24
>>304
f = a v^2 l とする (v: 速さ, l: 距離, a: 比例定数)．
v = 50, l = 260 のとき f = 13 である．
v = 60, l = 500 のとき f はいくつか．

小学生でもわかるな．

306:１３２人目の素数さん
08/08/01 14:00:42
>>305
意外と単純だったんだな。
サンクス

307:１３２人目の素数さん
08/08/01 14:12:12
中国残留孤児の定理って日本人が考えたんですか？

308:１３２人目の素数さん
08/08/01 17:27:46
方程式b^2+c^2=xy,xb^2+yc^2=x+yは
点（x,y,b,c）=（1,2,1,1）の近傍で関数b（x,y）,c（x,y）を定義する。
bx（1,2）,by（1,2）,cx（1,2）,cy（1,2）を求めよ。
お願いします。

309:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:30:58
URLﾘﾝｸ(up2.viploader.net)

積分に前に書かれてあるp.v.ってなんですか？

310:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/08/01 21:32:47
Reply:>>309 Principal Value.

311:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:34:59
>>301 xとyでそれぞれ弐階偏微分してたすだけ。

312:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:36:43
>>310
ありがとうございます

313:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:45:38
kingがまともに答えたのは
久しぶりだね

314:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:48:19
a(x-y)-x+yの因数分解を教えて下さい。

315:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:49:17
やだ

316:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:50:18
-x+yを変形

317:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:50:49
うちもやだ。

318:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:52:09
もう少し詳しくお願いします。

319:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:53:14
x-y=bとすると
ab-b

320:１３２人目の素数さん
08/08/01 21:58:21
ありがとうございます。

321:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/08/01 22:04:58
Reply:>>313 お前は何をしようとしている。

322:１３２人目の素数さん
08/08/01 22:06:36
Reply:>>321 お前はナニをしようとしているの？

323:１３２人目の素数さん
08/08/01 22:19:18
308誰かお願いします！

324:１３２人目の素数さん
08/08/01 22:24:55
添削お願いします。

（問題）
任意の関数は、偶関数と奇関数の和で表わされ、その表し方はただ１通りであることを示せ。

（証明）
任意の関数をｆ（ｘ）とする。
ｆ（ｘ）が偶関数であるとき、ｆ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）
ｆ（ｘ）が奇関数であるとき、ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）

ｆ（ｘ）を偶関数と奇関数の和で表すと、
ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝２ｆ（ｘ）＝０＋０＝０

∴ｆ（ｘ）＝２ｆ（ｘ）＝０を満たすとき、ｆ（ｘ）＝０

よって任意の関数を偶関数と奇関数の和で表すことは可能であり、
なおかつその表わし方はただ１通りである。（終）

325:１３２人目の素数さん
08/08/01 22:27:16
>>324
滅茶苦茶すぎて話しにならない。

当然のことながら一般に
f(x) ≠ f(x) - f(-x) + f(x) + f(-x)

326:１３２人目の素数さん
08/08/01 22:33:55
>>325
じゃあ、どうすればいいの？

327:１３２人目の素数さん
08/08/01 22:54:23
>>326
偶関数g(x)と奇関数h(x)で
f(x) = g(x) + h(x)
と表されるとき、
f(-x) = g(-x) + h(-x) = g(x) - h(x)
であるから、
g(x) = (1/2){ f(x) + f(-x)}
h(x) = (1/2) {f(x) - f(-x)}
でなければならない。（一意性）

また、
f(x) = (1/2){ f(x) + f(-x)} + (1/2) {f(x) - f(-x)}
は常に成り立つので、
任意の関数f(x)は偶関数と奇関数の和で表すことができる。

328:１３２人目の素数さん
08/08/01 22:58:23
>>327
すげー

329:１３２人目の素数さん
08/08/01 23:06:46
これ解ける人いる？

aを定数とする。x≠nπ（nは整数）に対して、f(x)=sin(ax)/sin(x)を考える。
このとき、すべての自然数nに対して、x=nπで連続になるようにf(nx)を定めることが
できるためのaの条件は何か？またそのときのf(nπ)をどう定めたらよいか？

x=nπのときのf(x)の値は定義不可能だろ…０で割ってどうするのよ…この問題意味不明…

330:１３２人目の素数さん
08/08/01 23:13:58
>>329
a = 0 だったら f(x) = 0 (x ≠ nπ) だから
連続にするには f(nπ) = 0 と定義してやればいい。

a = 1 だったら f(x) = 1 (x ≠ nπ) だから
連続にするには f(nπ) = 1 と定義してやればいい。

a = 0.5 だったら lim_{x→π} f(x) が発散するので
どう定義しても連続にはできない。

...

もっと一般にどうしたらいいかを考える。
３つ目の例のように、発散してしまうのがまずいので、
sin(x) = 0 のときは sin(ax) = 0 になることが必要条件。

あとは、この条件を満たすときに f(nπ) を適当に定義してやって、
それで本当に連続になることを確認する。

331:１３２人目の素数さん
08/08/01 23:36:42
>>330
なるほど…
みんな頭いいですね…
オレがバカなだけかな…

332:１３２人目の素数さん
08/08/01 23:47:09
>>331
17世紀くらいだと
おまえさんみたいに、どんな関数も一つの「数式」で表されると
考えてる人だらけだったよ。

現代的には
x≧0のとき f(x) = x
x < 0のとき f(x) = x^3
とか
x≠0のとき f(x) = x^2
x=0のとき f(x) = 30
のように、関数は全区間で一つの「数式」では表されるとは限らない。

333:１３２人目の素数さん
08/08/01 23:51:42
U=x1^αx2^βx3^γ、1>α,β,γ>0、α＋β＋γ<1とする。x1,x2,x3はすべて>0である。
Uは凹関数であることを示せ。
ヒント：ヘッセ行列が負値定値であれば凹関数である。
誰かお願いします＞＜

334:１３２人目の素数さん
08/08/01 23:53:51
9%の食塩水500㌘に水を加えて6%の食塩水を作った。加えた水の量は何㌘か？解説付きでお願いします。

335:１３２人目の素数さん
08/08/01 23:53:53
>>333
マルチ乙

336:１３２人目の素数さん
08/08/02 00:35:22
あげっ

337:１３２人目の素数さん
08/08/02 02:25:04
n次元の球面座標変換
(x_1,x_2,x_3,...,x_{n-1},x_n)
=(rcosθ_1,rsinθ_1cosθ_2,rsinθ_1sinθ_2cosθ_3,...,rsinθ_1sinθ_2･･･sinθ_{n-2}cosθ_{n-1},rsinθ_1sinθ_2･･･sinθ_{n-2}sinθ_{n-1})

について、ヤコビアンを求めたいのですが行列式の展開の仕方が分かりません。よろしくお願いします。

338:sage
08/08/02 02:36:39
ムペンバ効果について教えて下さい。

339:１３２人目の素数さん
08/08/02 02:38:52
>>338
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

ついでにsageる方法
＿＿＿＿　　　　　＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　＿＿＿
|書き込む|　名前：|　　　　　　　　 |　E-mail(省略可)：　|sage　|
￣￣￣￣　　　　　￣￣￣￣￣￣　　　　　　　　　　　　￣￣￣　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿　　　　　　ゝ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,´ 　　ヽ　　　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　l ﾉﾘjji从〉　　∠　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　| (lﾘﾟ -ﾟﾉｌｉ　／　＜　ここに「sage」と入れるの。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 li / i ｿ†i つ> 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |l.l./ ＝ |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　　　〈/l_|_l_ゝ

340:１３２人目の素数さん
08/08/02 06:48:23
>>334
4500/(500+x)=6
x=250g

341:１３２人目の素数さん
08/08/02 07:21:02
ありがとうございます。

342:１３２人目の素数さん
08/08/02 08:32:36
>>339
ついでに言うと
質問スレは単発質問スレを立てられないようにするためにあるので
目に付くようにageてください。

343:１３２人目の素数さん
08/08/02 10:46:13
I=(a,b](a<b)とする。I上の連続関数f(x)について次の命題を示せ。

f(x)はI上一様連続⇔lim(x→a+0)f(x)が収束

これをよろしくおねがいします。

344:１３２人目の素数さん
08/08/02 11:51:11
URLﾘﾝｸ(up2.viploader.net)
赤い丸で囲った等式の前後で何がおきてるのかよく分からないので解説してもらえないでしょうか

345:344
08/08/02 12:11:50
すいません、質問を撤回します

346:１３２人目の素数さん
08/08/02 12:51:18
z=0 から z=1　の範囲で下の線積分ってどうやりますか？

∫2z*exp[iz]

zの取り扱い方が分かりません。

347:１３２人目の素数さん
08/08/02 12:57:36
失礼。上、間違えました。1じゃなくってiです。
そもそも、z=e^iθ=r(cosθ+isinθ) r:任意
と、置き換えた場合にz=0 から z=iの範囲が何に変わるのかがちょっとよく…
isinθ=0でないと、z=0にはならないと思うのですが、そうすると、cosθが0になりません。
極座標の原点から、θ=π/2と考えればよいのでしょうか？
でもそうすると、極座標の原点はθで表すことが出来ないですし、、、

348:１３２人目の素数さん
08/08/02 13:44:38
z=e^iθ=r(cosθ+isinθ) r:任意
rはどこからでてきた

349:１３２人目の素数さん
08/08/02 13:49:51
というかなぜ
z=e^iθなどとおいた

350:１３２人目の素数さん
08/08/02 14:58:00
ｚが複素関数だからなんですが…。
もしかして、置かないで普通にｘだと思って解けば良いんでしょうか？

351:１３２人目の素数さん
08/08/02 15:03:43
> ｚが複素関数だからなんですが…。

?

352:１３２人目の素数さん
08/08/02 15:04:44
>>350
> 普通にｘだと思って解けば良いんでしょうか？
いいよ。

353:１３２人目の素数さん
08/08/02 15:12:04
え。いいんですか？？
コレずっと複素積分の問題だと思って、…じゃ、ないんですか？？？
z=x+iyっていう。
だからずっとθで微分するのかと思って、積分範囲は意味分からないし、
留数があるわけでもないし、無限大に発散するから補助定理も使えないし…。
でも正則関数だしって、困ってたんですが…。

354:１３２人目の素数さん
08/08/02 15:20:26
>>353
z=e^iθ
のどこにrが？

355:１３２人目の素数さん
08/08/02 15:32:22
いや、rはなんか任意にとって最終的に消しちゃうんですけど、
この問題線積分なので、円の半径ｒは要らないかも知れないです。
全部=でつなげていったのがちょっと悪かったですね。すみません。

ところで、コレ一応大学院試の問題なのですが…。
どう考えても、ｚ=ｘと見て解く問題ではないように思うのです。

356:１３２人目の素数さん
08/08/02 15:40:00
f(z)=exp(az)/1+exp(z)をｚ平面上のy=0,2π,x=±rによって囲まれた長方形のまわりに
沿った線積分を考えて、∫[-∞→∞]exp(ax)/1+exp(x)dx=π/sinaπを示せ。

どなたかわかりませんか？もしよければ解法を教えてください

357:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:03:43
>>355
最終的に消しちゃうかどうかはいいんだけど

>z=e^iθ=r(cosθ+isinθ) r:任意

真ん中にrが無くて、最後にrが出るのは何なの？

358:337
08/08/02 16:07:05
>>337
解けてしまいました。
ありがとうございました。

359:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:13:53
>>356
特異点がiπ,3iπ...といくつも出てきます。

問題文、…y=0,2iπと思うんですけど、まぁ、それと、ｘ軸上に-r,rを通る
なんていうか上半分の長方形の図を考えて、
その中に入る特異点はiπのみ。
後は周回積分を考えるんですけど、
ｒから2iπ、y=2iπ上、2iπから-rと-rからr、あと留数で解いていけば答えになります。
後はちょっと面倒なんで頑張ってください。

360:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:16:56
>>353
> コレずっと複素積分の問題だと思って、…じゃ、ないんですか？？？

どっからどうみても複素積分だが？
普通に積分できますけど何か？

361:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:18:05
>>357
や、ソレは自分なりに以前解いた問題でzの置き換えしてきたときに書いてあったものを
使うのかなって、書いていっただけで、
実際にz=e^iθともおけるし、ｒを任意にとってr(cosθ+isinθ)とも置くことが可能だって話です。
オイラーの公式に勝手にrつけて拡張させただけ。

実際に解き方を教えて欲しいというか考えて欲しいのは、
∫2z*exp[iz] z=0からz=i
です。

362:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:19:36
>>355
> ところで、コレ一応大学院試の問題なのですが…。
> どう考えても、ｚ=ｘと見て解く問題ではないように思うのです。

因子だかどうだかは知らんが、
どう考えても、原始函数もすぐに分る函数だし
どう考えても普通に線積分するだけの問題。
つか、線積分するのに極座標が必要だとか
お前の言ってる事は理屈にあわない。

363:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:22:13
与えられた問題に使う道具すら選べないで
>>353のようなことを言ってる奴が院試ですか。

364:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:23:29
俺には
>>350の
> 置かないで普通にｘだと思って解けば良いんでしょうか？
の意味がわからない。
積分変数の文字なんて何に変えたって同じだろ。

365:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:26:21
> どう考えても、ｚ=ｘと見て解く問題ではないように思うのです。

どう考えてもって、なにをどう考えた結果がその結論？

366:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:29:10
う、うーん…。
過去問でずっと留数定理の問題ばかりが出てきたのでずーっとその系列の問題だと思ってたのですが、
単に線積分するだけなんですね。
わかりました。ありがとうございます。

あ、極座標がしつこく出てたのは、単に過去問の複素積分でよく使ってたからです。
すみません。色々と妙な誤解を与えてしまって…。
何かと=で結びつけるのもよくなかったですね;;
すっきりしました。ありがとうございます。

367:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:32:00
積分路上をはしる弧長パラメータで見れば
見慣れたただの一次元の積分なのに、
なんだこの大騒ぎは……

368:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:37:26
私がとんちんかんな返答を皆さんに返していたからです。
すみません。

369:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:42:24
まあ、なんだ
z=e^iθとおけるしとか言ってるけどz=0のときはどうするの？ってことを考えてみるんだ

370:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:52:55
z=0+it(0≤t≤1)

371:１３２人目の素数さん
08/08/02 16:54:35
まー、混乱したら一番最初に戻れってだけだね。

372:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:06:51
>>370
？？？

373:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:10:44
>>372
>>361

374:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:21:48
>>373
>>361の問題のことを言ってたのね
突然変換の式が出てきてわからんかった

375:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:44:03
∫2z*exp[iz]
=2z*(exp[iz]/i)-∫2*exp[iz]
で、
>>370さんが教えてくれたように、z=0+it (0≤t≤1)とおく。

=2(it)*(exp[-t]/i)-∫2*exp[-t] (0≤t≤1)

…で、解き進めたんですが、良いでしょうか？
結局、答えが、=2+2(i+1)exp[-i]
と、なりました。

376:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:45:45
…！ちょ、待って。
dz直すの忘れてました。

377:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:47:52
∫2z*exp[iz]
=2z*(exp[iz]/i)-∫2*exp[iz]

おいおい、なにやってんだよしっかりしろよ・・・

378:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:51:30
とめすう　ですか　りゅうすう　ですか？

379:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:52:06
>>375書き直し。記号が見つからないからコピペして積分範囲も間違えた;
∫2z*exp[iz]
=2z*(exp[iz]/i)-∫2*exp[iz]
で、
>>370さんが教えてくれたように、z=0+it (0≤t≤i)とおく。

=2(it)*(exp[-t]/i)-∫2*exp[-t] idt (0≤t≤i)
=2t*exp[-t] -2i∫exp[-t]dt (0≤t≤i)
=4iexp[-i]-2i
以上です。

380:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:53:10
>>378
索引ひくと
「と」のところに「留数」があるテキストと、
「り」のところに「留数」があるテキストがある。

どっちでもいい。

381:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:55:36
>>377
あれ、もうそこから違う？？
部分分数の積分って、
∫f'(z)g(z) = f(z)g(z) -∫f(z)g'(z)
で、f'(z)=exp[iz] g(z)=2z　と、おいたんですが…。

382:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:55:37
>>379
まぁ、なんだ。根本的に間違えまくってるががんばれや・・・
これ以上教えても時間の無駄と判断。

383:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:57:28
いや、待って、確かにもう脳みそ死んでるのは自分でも分かってるけど、
高校の時の知識なんか遙か彼方に飛んだし。
今更使う必要性があるとか思いもしなかったから、死にそうだけど。
一応拙いながらも努力してるので、ちょっと、まだ見捨てないで。

384:１３２人目の素数さん
08/08/02 17:57:58
まぁいいや。
>>381だけ一言いっておく

f'(z)がe^(iz)だ。じゃあf(z)は何よ？

385:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:01:24
えーっと、根本的に違うって事は、線積分のやり方がおかしいんだよね。
多分。
じゃぁ、部分積分なんて使わずに、最初の式がそのまま変わってく？
z=0+it dz=idt
∫2(it)*exp[i(it)] idt (0≤t≤i)
= -2∫exp[-t] dt (0≤t≤i)
で、計算していく？？

386:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:04:30
>>384
微分したら exp[iz]になるもの。
だから、(exp[iz])'やったら、i*exp[iz]になったので、iで割って、exp[iz]/i
もしや…この考え方から実はおかしい？

387:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:06:11
すきなほうほうでやればよい

388:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:10:08
>>387
はい。そうします。

…って、また間違い見つけた。orz
もう嫌だ。折角教えて貰ってるのに。変換したら積分範囲も変わるから、
(0≤t≤1)で良いんだ。うわ、ほんと、すみません。

389:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:10:38
だいたいあってるよ
計算ミスがあったり基本がわかってなかったりそんな気がしただけだよ

390:１３２人目の素数さん
08/08/02 18:16:29
>>389
本当ですか？全然ダメじゃなくて良かった…。
ということは、部分関数直して、変わった積分範囲を考慮して計算したら
あの式で答えにたどりつけますか？

391:１３２人目の素数さん
08/08/02 19:20:01
>>335
他のスレで気づいたんなら解けよ

392:１３２人目の素数さん
08/08/02 19:24:23
[問]x^2+2xy+y^2+2x+2y-3 を因数分解せよ。

という問題の解答に次を書いた女生徒がいるんだが
どう採点したらいいでしょうか？

A:(与式)=(x+y)^2+2(x+y)-3
　　　　=(x+y+3)(x+y-1)
　　　　=x^2+xy-x+xy+y^2-y+3x+3y-3
　　　　=x^2+2xy+y^2+2x+2y-3

393:１３２人目の素数さん
08/08/02 19:57:03
>>392

1. 二行目の下に線を引いて、「ここまで」と書き、マルをあげる。
2. 下2行を見え消ちして、「何を問われているか、よく考えましょう」と書く。

併用をオススメ。

394:１３２人目の素数さん
08/08/02 19:58:55
フーリエ積分とはフーリエ変換を二回したものですよね？
本によってはフーリエ変換をフーリエ積分と同一なものとして扱っているものが多いんですが？

395:１３２人目の素数さん
08/08/02 20:09:08
>>392
どこまで習っているのかは知らないが、
必要性と十分性について変な解釈をしているように見える
(x+y+3)(x+y-1)を展開したらちゃんとx^2+2xy+y^2+2x+2y-3になることも示さないといけない
と勘違いしているように見える

俺は、下二行を消して「ここまで」と書いて1点減点ぐらいがいいんじゃねーかなーと思う

396:１３２人目の素数さん
08/08/02 20:09:59
>>394
君の言うそれぞれの概念は何に対して
どのような形で与えられている？
それと「本」は君がそう思っているものと
本当に同じ？

397:１３２人目の素数さん
08/08/02 20:35:58
>>396
これをf(x)のフーリエ積分またはフーリエ変換と呼ぶ。
見たいに同列に書いてあったんですが・・・

398:１３２人目の素数さん
08/08/02 20:41:28
>>397
それで訊かれた人間が何か判断できると思う?
エスパー募集ならよそでやってくれないか。

399:１３２人目の素数さん
08/08/02 20:50:45
>>397
>>396はお前の理解しているものと本の記述のずれが
どこから来ているのか説明するには、双方が
「何を扱っているか」という細かい点の確認が必要だ
ということを言ってるのだから、ちゃんと確認してみるといい。
少なくとも>>397が省略した「これ」はちゃんと
ここにかくことが必要だろうね。

ま、確認すれば事故解決するかもしれんが。

400:１３２人目の素数さん
08/08/02 21:03:14
四面体ＯＡＢＣにおいて
ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝１
∠ＡＯＢ＝３０°
∠ＢＯＣ＝４５°
∠ＣＯＡ＝６０°
のとき体積を求めよ。

よろしくお願いします。

401:１３２人目の素数さん
08/08/02 21:06:06
何度もすみません。

関数f(x)が実軸全体で定義され、絶対値f(x)のｘに関する-∞から∞までの積分が∞よりも小さいとき
f^(t)=1/√(2π)∫f(x)exp(-itx)dx　（積分範囲は-∞から∞）

これをf(x)の（複素系）フーリエ積分、またはフーリエ変換という。

402:１３２人目の素数さん
08/08/02 22:13:03
すいません、どなたか>>400お願いします。

それともトライしてるけど解けないんでしょうか（笑）

403:１３２人目の素数さん
08/08/02 22:14:09
数学板の解答者のレベルってこんなもんなの？

404:１３２人目の素数さん
08/08/02 22:21:03
>>401
で、二回したってのはどこに書いてあったの？

405: ◆27Tn7FHaVY
08/08/02 22:21:59
不満かね？

406:１３２人目の素数さん
08/08/02 22:48:43
v1↑=cos^2(x), v2↑=sin^2(x), v3↑=cos(2x)
によって張られる空間をVとするとき、次の問いに答えよ。
(1) S = {v1, v2, v3} はVの基底にならないことを示せ。
(2) Vの基底を求めよ。

どなたかお願いします。
関数がベクトルになるというところから、既に良くわからないのですが…

407: ◆27Tn7FHaVY
08/08/02 23:44:13
計算百遍、意自ずから通ず

408:１３２人目の素数さん
08/08/02 23:50:38
>>402
パッと見た感じ、自分には解けそうに無いです
・・・コレで満足でしょうかな？
相手の実力が自分より劣ると感じたら
別のスレへ行けばいいじゃない

こういうの見下し厨って言うらしいなあ
そもそも解けない、または嫌いな問題なら誰だって
手を付けたがらないのは当然のことさね

その点、修行少女とかはある意味すがすがしいと思える

409:１３２人目の素数さん
08/08/02 23:57:38
フーリエ変換するのにつかう道具（公式）がフーリエ積分なんですね！！！

お手数おかけしました。

410:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:00:54
>>400
√｛（√６）－２｝ / １２
あってるといいな

411: ◆27Tn7FHaVY
08/08/03 00:04:03
僕チンからの挑戦！ in SUMMER だったのか

412:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:21:43
>>410
ｋｗｓｋ

413:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:28:13
周の長さLの２等辺三角形の面積の最大値を求めよ。

微積の授業を習っている大学生なんですが、教えていただけないでしょうか？

414:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:32:05
>>410
俺もそうなった

415:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:34:43
>>414
通りすがりですが気になったので詳しくおながいしまつ
∠ＡＯＢ＝６０°
∠ＢＯＣ＝６０°
∠ＣＯＡ＝６０°
だったら中学でやった覚えがあるのに、
パラメータが変わると大学生でも解けなくなるんですね

416:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:43:44
>>412
Oを原点、直線OAをx軸（Aがある側を正とする）
平面OABに含まれｘ軸と直交する直線をy軸（Bがある側を正とする）
ｘ、ｙ軸に直交する直線をz軸（Cがある側を（ｒｙ）
と定めると
OA↑＝（1,0,0）
OB↑＝（cos30°,sin30°,0）　となり、
OC↑＝（X,Y,Z)　とおくと
｜OC↑｜＝１、OA↑・OC↑＝cos60°、OB↑・OC↑＝cos45°から
X＝1/2
Y=（√２）－｛　（√３）/２　｝
Z＝√｛（√６）－２｝
求める体積Vは
V＝（1/3）*△OAB*Z
　＝√｛（√６）－２｝　/　１２

見づらくてごめん

417:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:45:17
>>415
×大学生でも解けなくなる
○大学生でも解けなくなる奴がいる（例：俺）

418:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:52:30
>>416
ありがとうございます。すっきりしました。
図形だけで解こうとせずに面倒でも座標系を設定すればいいんですね。

419:１３２人目の素数さん
08/08/03 00:56:11
ベクトル知ってれば解けるから高校レベル

ってことで>>400は難しい問題考えたぞ解いてみろっていう弘法とみた

420:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:05:07
i arg(-e)ってなにか教えてください

i arg(e) ＝ 2nπiだからマイナスつけるだけでしょうか？

421:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:16:19
Ｇをアーベル群、Ｈ１とＨ２をその部分群とするとき
Ｈ１＋Ｈ２：＝｛ｈ１＋ｈ２｜ｈ１∈Ｈ１、ｈ２∈Ｈ２｝はＧの部分群であることを証明せよ。

自分なりに考えてＨ１＋Ｈ２が　Ｈ１∪Ｈ２　→　これがＧの部分群を表せばいいと思ったんですがどうでしょうか？

違っている場合、詳しく解説していただけると助かります。

422:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:24:00
>>421
一般に、h1+h2はH1∪H2に入ってない。

423:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:28:29
確率変数Xの確率密度関数が
f(x)=cx(3-x) (0<=x<=3),0 (その他)

cをもとめよ(cは正の定数)。

すいません。お願いします。

424:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:31:53
>>423
とりあえず全区間で積分しようか。

425:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:34:47
>>421
G を群、H_1 と H_2 をその部分群で
H_2 が G において正規とするとき、
H_1*H_2 := ｛h_1*h_2 | h_1 ∈ H_1, h_2 ∈ H_2｝
は G の部分群であることを証明せよ。

426:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:35:23
横槍を入れて申し訳ないが
>>422の文だと
全てのh1+h2はH1∪H2に入ってない
のか
中にはh1+h2がH1∪H2に入っているものがある
のか
どっちなのかわからない

手元の教科書を見ると行列の積について
一般にはＡＢ＝ＢＡとはならないことに注意
とあった

427:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:38:34
>>426
そう、それはよかったね

428:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:44:32
>>426
？？？

429:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:48:09
一般に、分かスレ解答者はバカではない
一般には、分かスレ解答者はバカではない

430:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:51:55
>>425
これを証明すればよろしいのでしょうか？

431:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:53:39
>>421　普通に部分群の公理を満たすかどうか調べるだけでしょ。
　ちなみにH1+H2≠Ｈ1∪Ｈ2
　てのはたとえば(R^2,+),H1=<e1>H2=<e2>とすれば
　H1,H2はそれぞれ部分群であるがH1+H2=R^2≠Ｈ1∪Ｈ2
　など、簡単に反例は挙げれる。

432:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:53:48
一般に、分かスレ解答者はバカとは言えない
一般には、分かスレ解答者はバカと言えない

433:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:54:04
前者：全ての分かスレ解答者はバカではない
後者：中にはバカな分かスレ解答者がいる

正しいのは後者

434:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:54:19
>>430
はいそうです

435:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:55:31
前者：「全ての分かスレ解答者はバカ」ではない
後者：中にはバカな分かスレ解答者がいる

両者は等しい。

436:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:56:04
>>424
最終的に
a/3+3a/2=1で　a=6/11　でいいんでしょうか

437:１３２人目の素数さん
08/08/03 01:59:55
後者の典型例が>>435 by >>433

438:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:01:16
>>424

aでなくcでした

439:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:05:01
∀x￢P(x)
なのか
￢(∀xP(x))
なのか
を日本語で使い分けるのは難しいってことでしょ

440:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:13:13
ま、>>421は誰も助けてやらない、ということだな
いや、助けてやれないのか（笑）

441:１３２人目の素数さん
08/08/03 02:13:34
すいません。ものすごく初歩的な質問なんですが部分群の場合は例えば部分群同士の足し算Ｈ１＋Ｈ２＝Ｈ１＊Ｈ２になるということでよろしいでしょうか？
本を読んでもいまいちわからなくて・・・・

442:１３２人目の素数さん
08/08/03 08:50:14
j,k,q は（ゼロを含まない）任意の自然数。　
j > q^(4k+4)が成り立つとし、以下の数式が成り立つ i が存在することを示せ。

(j^(i*i))/(q^(8*(ik+2i-4)+16)) > q^((ik+2i-2)*(ik+2i-2)-i*i*k*k)

簡単なはずなのにどうしても解けません。
お願いします。

443:１３２人目の素数さん
08/08/03 08:54:27
>>441
記号の定義を書いてみて
H1＋H2
H1＊H2
はそれぞれどのような集合なのか？

444:１３２人目の素数さん
08/08/03 10:33:26
1/x+1/2y+1/3z=4/3のときのxの値を求めなさい。

よろしくお願いいたします

445:406
08/08/03 10:36:33
どなたか>>406お願いします

446:１３２人目の素数さん
08/08/03 10:43:25
>>444
条件が足りない。
問題は全て一字一句正確に書き写してくれ。
それと分数はどこからどこまでが分子で分母で分数なのか
かっこを沢山つかって書いてくれ

447:１３２人目の素数さん
08/08/03 10:49:18
すみません
x.y.zは全て正の整数である
このとき
(1/x)+(1/2y)+(1/3z)=4/3
のxの値を求めよ
です

448:１３２人目の素数さん
08/08/03 10:56:54
>>406
ベクトル空間の定義に戻る。
関数だろうとなんだろうと線形性などが満たされていれば
幾何学的なベクトルと同じような演算が使えることになり
同じ問題と捉えることができるようになる。

v1+v2 = 1 ∈V
に注意しとく。

v3 = cos(2x) = 2 v1 -1
v1-v2-v3 = 0
だから、3つのベクトルは一次独立ではなく、SはVの基底にはならない。

基底はいろいろな取り方があるが
{1,v1}などが分かりやすいかな。

1とv1は一次独立
つまり
a + b v1 = 0　⇔ a = b = 0
で、
v2 = 1-v1
v3 = 2 v1 -1
も生成できるからね。

1を使わないのなら
{v1,v2}という組も基底になる。

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