【行列で】m次元ユークリッド幾何学【n単体の5心】

【行列で】m次元ユー� ..

97:１３２人目の素数さん
08/10/25 19:48:21
>>92 最後に、「ｎ次元空間でオイラー数の式を作りなさい。」についてですが、
Wikipediaの「多胞体」のページがヨカッタのでリンク張ります。
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

超球と同相なn次元複体のオイラー標数χ について、そのn次元複体を単体分割して
得られるそれぞれの i次元単体(i=0～(n-1))の数を a_i とすれば、シュレーフリの
n次元公式より χ=Σ_{i=0}^(n-1) (-1)^i a_i = 2（nが奇数） or 0（nが偶数）だと思います。
超球と同相なというと4次元での exoticな多様体とか少し気になりましたが、関係ないよね。

>>92 さんありがとうございます！とても興味深い問題です。
今の私的には上記な感じですが、解答・ご意見・レスお待ちしております。。

98:１３２人目の素数さん
08/10/25 19:56:30
n次元超球の表面積および体積については、

URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)

が詳しかったです。

もうすぐ、100ですね。

99:１３２人目の素数さん
08/10/25 20:45:31
４次元立方体のとき
面(3次元立方体）＝４軸x2面＝８
角（3次元辺）＝４軸x２面x8(3次元）辺＝６４
辺（3次元面）＝４軸x２面x6（3次元）面＝４８
K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 として

χ(K) = V － E + F

角ー辺＋面＝６４ー４８＋８＝２４？

100:１３２人目の素数さん
08/10/25 20:57:08
４次元三角錐のき
面(3次元三角錐）＝４軸x2面＝８
角（3次元辺）＝４軸x２面x６(3次元）辺＝４８
辺（3次元面）＝４軸x２面x４（3次元）面＝１６
点（3次元角）＝４軸x２面x４(3次元）角＝１６
K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 ，点　C＝q３として

χ(K) = V － E + F－C

角ー辺＋面－立体＝４８ー１６＋８ー１６＝１４？

４次元立方体のとき
面(3次元立方体）＝４軸x2面＝８
角（3次元辺）＝４軸x２面x１２（次元）辺＝９６
辺（3次元面）＝４軸x２面x6（3次元）面＝４８
点（3次元角）＝４軸x２面x８(3次元）角＝６４

K が多面体であった場合、頂点数 V = q0, 辺の数 E = q1, 面の数 F = q2 ，点　C＝q３として

χ(K) = V － E + FーC

角ー辺＋面＝９６ー４８＋８ー６４＝ー８？

101:１３２人目の素数さん
08/10/25 21:00:52
一般に、n次元の図形（単体的複体）のm次元の辺の数を am とするとき交代和

Σ{m=0ー＞n-1} (-1)^m a_m = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + 。。。

をその図形のオイラー標数と呼び、この公式をシュレーフリのn次元公式という。

奇数次元の多胞体の場合はオイラー数は 2 で、偶数次元の多胞体の場合はオイラー数は 0 である。

102:１３２人目の素数さん
08/10/25 21:02:36
４次元トーラスのオイラー数は？　５点
４次元クラインの壷のオイラー数は？　１０点
４次元クラインの壷の展開図を作りなさい　５点

103:１３２人目の素数さん
08/10/25 21:21:52
４次元立方体のとき
０次元の辺＝４C０x2=２
１次元の辺＝４C１x2=４
２次元の辺＝４C2x2=１２
３次元の辺＝４C3x2=８

２ー４＋１２ー８＝２

104:１３２人目の素数さん
08/10/25 23:03:08
４次元トーラスのオイラー数は、トーラスって球よりも2個下がった記憶あるから、-2じゃないかな？
クラインの壷もトーラスが向き付け不可能になったぐらいの違いだからオイラー標数は同じじゃないかな？
いやまって、トーラスもクラインの壷も2次元閉曲面かそれに囲まれた（？）3次元体のことだったっけ？
え！？n次元のやつは直積するの！？やだーおいおい調べますわー。この分野って位相幾何学？

４次元立方体は偶数次元多胞体で４次元超球と同相（位相同相？）だと思うので、
オイラー標数 χ（４次元立方体）＝０だと思いますー単体分割めんどそうー

Wikipedia項目ﾘﾝｸ

URLﾘﾝｸ(www.google.co.jp)

5次元以上の正多胞体は 3種類ってのは、このスレでこの前教わったけど、
この一件で、それらを正単体（α体・regular simplex）・正軸体（β体・cross-polytope）・
正測体（超立方体・γ体・hypercube）と呼ぶことを改めてちゃんと覚えました。
４次元立方体は英語でtesseractっていうですか？めっちゃかっこいい！

とりあえず、100ゲットおめでとう！

105:１３２人目の素数さん
08/10/25 23:35:04
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)

106:１３２人目の素数さん
08/10/25 23:55:14
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)

107:１３２人目の素数さん
08/10/26 00:03:05
　　　Square Cube Tesseract
Vertices 4 8 16
Edges 　　　　4 12 32
Squares 1 6 24
Cubes 　　　　– 1 8
X　　　　　　　4-4=0 8-12+6=2 16-32+24-8=0

108:１３２人目の素数さん
08/10/26 00:31:50
>>105-107 ありがとうございます！すごい人いた！
β体は双対立方体とも呼ばれるようですね。
ポアンソって見た時、一瞬誤植かネタか頭をよぎりました。。
エキゾチックなミルナーの定理とか（怪）…代数幾何学…ムズイ

109:１３２人目の素数さん
08/10/26 00:59:59
URLﾘﾝｸ(www.daviddarling.info)

Σ＝ΣCni
T1ー＞T2->T3->T4・・・
Cn+1,i＝２Cn,i+Cn-1,i

110:１３２人目の素数さん
08/10/26 01:09:20
4,4,1
8,12,6,1
16,32,24,8,1
32,80,80,40,10,1
...

111:１３２人目の素数さん
08/10/26 01:12:21
4,4,1 4-4=0
8,12,6,1 8-12+6=2
16,32,24,8,1 16-32+24-8=0
32,80,80,40,10,1 32-80+80-40+10=2
...

112:１３２人目の素数さん
08/10/26 01:19:26
T1=
8,12,4 8-12=-4
16,32,20,4 16-32+20=4
32,80,72,28,4 32-80+72-28=-4

113:１３２人目の素数さん
08/10/26 06:54:16
ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれています．

114:１３２人目の素数さん
08/10/26 06:55:14
４次元の場合はどうなるでしょうか？　２４個の面心立方格子状配置の接触点

1/√2（±１，±１，０，０）

1/√2（±１，０，±１，０）

1/√2（±１，０，０，±１）

1/√2（０，±１，±１，０）

1/√2（０，±１，０，±１）

1/√2（０，０，±１，±１）

で重ならないように置けるので，τ4≧２４は明らかです．また，τ4≦２５は示されていますが，現在でもτ4が２４であるか２５であるかは未解決です．

115:１３２人目の素数さん
08/10/26 06:58:49
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

116:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:01:39
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

117:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:10:42
４次元三角形のピタゴラスの定理を作りなさい　３点
４次元円でオイラーの公式をつくりなさい　５点
４次元での結晶構造をすべて分類しなさい　50点

118:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:14:44
その疑問に対して、ある化学者はひとつの考え方を持っている。つまり自然界には高次元図形のさまざ
まな投影があふれているかも知れないが、もしそうだとしても、特殊な分かりやすいもの以外は複雑す
ぎて3次元人には理解できず、もし理解できても今のところ何の役にも立たない、というのである。

その後、この問題に関わらないようにしていたところ、鉱物の結晶、放散虫の骨片、花粉、雪の結晶な
ど、自然界のいろいろな微小な構造体の中に、4次元図を見せるかたちを見つけた。簡単にいえば、1点
（あるいは多くて4点）から発散しながら幾何級数的に成長したり膨張したりする立体的な造形は、4
次元透視図を具現化しているといえる。

４次元投影GPSを作りなさい　20点

119:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:16:27

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120:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:17:55
４次元フラクタル次元を計算しなさい　25点

121:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:27:03

結晶学からみた4次元体の3次元体への投影 : 4次元空間の3次元空間ヘの線形変換的考察
Transformation of Four Dimensional Body to Three Dimensional One from View-point of Crystallography : Linear Algebraic Consideration of Four Dimensional Space to Three Dimensional One
満塩大洸 1 新関章三 2
MITUSIO Taikou 1 NIIZEKI Shozo 2
1高知大学理学部自然環境科学教室 2高知大学理学部数理情報科学教室

122:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:27:48
4次元結晶構造解析に基づく酵素・基質複合体の反応過程の追跡. データベース. 登録. 2006・7. 氏名他. 神谷信夫、理学研究科・物質分子系専攻、教授. ＜概要＞. 我々は SPring-8 に代表される高輝度放射光施設を利用して，蛋白質の結晶に適用可能な4 ...

123:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:31:35
上の論法を高次元に敷衍していくと，ＳＯ（４）の合同変換群は，
　　(1)巡回群とその裏返し
　　(2)正多面体群とその裏返し
　　(3)正多胞体群（４次元の場合は正２４胞体があるので，４系列）
　
　ＳＯ（５）の合同変換群は
　　(1)巡回群
　　(2)正多面体群とその裏返し
　　(3)４次元正多胞体群とその裏返し
　　(4)５次元正多胞体群（正１２面体，正２０面体に相当するものはなくなるので，２系列）
になると予想されるのだが，私の直観が正しいとはまず考えられない．落とし穴にはまっているだけかもしれないのである．

124:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:35:16
４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在

125:１３２人目の素数さん
08/10/26 07:41:50
C. J. Bradley and A. P. Cracknell, The Mathematical Theory of Symmetry in
Solids.
Clarendon Press, OXFORD ( 1972 )

126:１３２人目の素数さん
08/10/26 08:09:00
URLﾘﾝｸ(www.astro.uu.nl)

127:１３２人目の素数さん
08/10/26 08:17:46
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

128:１３２人目の素数さん
08/10/26 08:21:16
４次元メビウス変換をつくりなさい　8点

129:１３２人目の素数さん
08/10/26 09:44:34
>>109-128 寝て起きたら超展開ありがとうございます！一読した雑感としては、
このスレよりも位相幾何学スレの方が詳しく答えてもらえる気がします。
たぶん、この前代数幾何学スレはdat落ちしたようです。

位相幾何学/トポロジー/topology 2
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

僕もおいおいやりますー。今日はトレミーやってますー

130:１３２人目の素数さん
08/10/26 09:53:24
>>120 と言われてパッと思いついたのはカントール集合です。
log(2)/log(3)次元らしいから、4次元にしたら4倍で約2.5次元みたいな？
しかしこれ、フラクタルじゃないか…

Wikipedia項目ﾘﾝｸ

131:１３２人目の素数さん
08/10/26 11:34:05
>>114
τ_4=24はすでに示されてる。

132:１３２人目の素数さん
08/10/26 13:37:43
>>128 メビウス変換は複素数zに対し T(z)=(az+b)/(cz+d) (ad-bc=1) となる変換らしいので、
n次元メビウス変換は 1次元過剰な (n+1)×(n+1)行列 A （さらに m次元空間上でやるなら
対象とするn次元部分空間の正規直交基底をPとすれば P A P^T）で対象のベクトルを
かけてから同次系ベクトルのように過剰な成分で全部の成分を割る感じみたいな？
射影幾何学やってたとき合同式≡か相似っぽい～でつないでた気がする。
そして定義域は複素数体みたいな？いや、適当です。ゴメンナサイ

133:１３２人目の素数さん
08/10/26 13:44:53
>>131 あ、本とだ。。Wikipediaですが…↓

Wikipedia項目ﾘﾝｸ

日進月歩なんですね。。俺もよく見る人↓の記事とか

URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)

134:１３２人目の素数さん
08/10/26 19:57:46
>>102 について、ちょっと考えたんだけど、立方体の縦横奥行き方向に4本ずつある辺を
それぞれ同一視した（くっつけた）場合、４次元トーラスになりますか？クラインの壷は
どこを逆に付けるんだ…展開図が立方体って俺には単体分割も想像もしたくないけど…

135:１３２人目の素数さん
08/10/26 20:41:31
>>98 や前述あたりに基づいてトレミーの定理の拡張について考えているんですが、
四角形の4点の位置が固定であるからトレミーのあの式になるのであって、私的には
ベクトルや辺の長さのみで点の位置は固定せず関係式を導出したいと思ってます。

今回、あるn次元単体が存在するn次元部分空間内にある1点(以下、x点)について
そのn次元単体の外接超球の内部か球上か外部のいずれにあるのかいい式で出せる
気がしてます。

このn次元(n+2)点複体の外接超球があるときの式を「複体外接超球の定理」と仮に
呼びますが、既にこのような定理があることを知ってる方は情報いただけると
ありがたいです。まだ世の中に無いときは皆で名前とか付けたいです。

以下に、今日できたところまで書きますー

136:１３２人目の素数さん
08/10/27 01:12:37
0点から出るn本の互いに線型独立なm次元列ベクトル \bm{l}_i (i=1～n)と
それらn本のベクトルの線型結合で表される x点 \bm{l}_x を考え、
n本のベクトルが作る n次元単体の外接超球とx点との距離Fを求める。

n本のベクトル \bm{l}_i が作る n次元単体をm×n行列 \bm{L} = [\bm{l}_1, …, \bm{l}_n]で表すと、
0点からこのn次元単体の外接超球の中心（外心）へのベクトルは l_O=\bm{L} (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_0
（ただし、\bm{b}_0 = [(\bm{l}_1^T \bm{l}_1)/2, …, (\bm{l}_n^T \bm{l}_n)/2]^T）と書ける。

これより、外接超球とx点との距離を F= (l_x-l_O)^T (l_x-l_O) - l_O^T l_O= l_x^T l_x - 2 l_x^T l_O とする。

ここで、iとjは0～nまたはxとなるとし、i点と j点の距離の二乗を b_{ij} = (\bm{l}_i - \bm{l}_j)^T (\bm{l}_i - \bm{l}_j)
とおき、\bm{b}_x = [(b_{x0} - b_[x1})/2, …, (b_{x0} - b_[xn})/2]^T）として、このFの式を書き換えると
F= \bm{b}_x^T (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_x - \bm{b}_0^T (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{b}_0 となる。
（これを整理すると \det()-\det() の式になる。）

上記を用いて、x点についてこのFの値が負となる場合は x点はｎ次元単体の外接超球の内部にあり、
F=0でx点が外接超球上、F>0となるならx点は外接超球の外部にあることが言える。
これを仮に「複体外接超球の定理」と呼ぶ。

例えば、1次元のみで考えると、F=(b_{x0} - b{x1} - b_{01}) (b_{x0} - b{x1} + b_{01}) / b_{01}
となり、x点は0点と1点の間にある場合 F<0 で、0点1点上にあればF=0、それ以外でF>0となる。

2次元の場合を計算すると、F= (b_{01} (b_{2x} - b_{0x}) (b_{2x} - b_{1x}) ) + (b_{12} (b_{0x}
- b_{1x}) (b_{0x} - b_{2x}) ) + (b_{20} (b_{1x} - b_{2x}) (b_{1x} - b_{0x}) ) - b_{01} b_{12} b_{20}
というどこかで見た式になる。幾何学的に本当かどうかとトレミーの定理との関係はまだ謎。

今後は、x点が外接超球上にあるときはサイクリックとなることを利用してつめていきたいです。
という感じの今日（もう昨日か）でした。まだめちゃくちゃでゴメンナサイ。眠い…

137:１３２人目の素数さん
08/10/28 01:36:55
>>136 について解けた気がするので、↓にまとめました。
といっても、紙に手書きで書いてスキャンしたもの貼り付けただけですが…

URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

結局、n次元(n+2)点複体が外接超球を持つためには、全ての辺の長さに関する
(n+2)×(n+2)行列 [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [\tilde{\bm{b}}_x^T, 0]]
の余因子総和が 0になるということになりそうです。
サイクリックを考えると符号が怪しいですが…

138:１３２人目の素数さん
08/10/30 23:04:20
>>134 について、普通のトーラス（やクラインの壷）の展開図では、
正方形の対辺を同一視するので、じゃあ、立方体の3つの対面をそれぞれ
同一視したらいいかなと思って、思って、頭が、頭がアッー！

トーラスの表面を覆う厚みの内側と外側をくっつけたような3次元体が
4次元トーラスか！？って何を言ってるんだ俺は…

139:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:04:39
The flat torus is constructed by a very simple formula, namely

[u,v] -> [cos(u + v), sin(u + v), cos(u - v), sin(u - v)]/sqrt(2)

where u and v both run from zero to 2 pi. The sum of the squares of these four coordinates
is 1 so the object is completely contained in the hypersphere of radius 1 centered at the
origin in four-space.

URLﾘﾝｸ(www.geom.uiuc.edu)

140:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:10:02
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
<x,y,z,w> = <Rcos u, Rsin u, Pcos v, Psin v> where R and P are constants determinging the aspect ratio.
<x,y,z> = <(R + Psin v)cos u, (R + Psin v)sin u, Pcos v>

141:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:24:14
URLﾘﾝｸ(www.foundalis.com)
URLﾘﾝｸ(cgg-journal.com)

４次元空間での３次元重力曲面を書きなさい　（バリエーショナル）

142:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:36:09
URLﾘﾝｸ(images.google.co.jp)
/JPG/torus.jpg&imgrefurl=URLﾘﾝｸ(www.math.brown.edu)
100&w=125&sz=8&hl=ja&start=72&um=1&usg=__jQ2xnZkOLDfsS58T9N5Tx-Cv39M=&tbnid=SbKQW1ZQIF6u5M:
&tbnh=72&tbnw=90&prev=/images%3Fq%3D4%2Bdimensional%2Bflat%2Btorus%26start%3D60%26ndsp%3D20%
26um%3D1%26hl%3Dja%26lr%3D%26sa%3DN

143:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:43:16
URLﾘﾝｸ(www.research.ibm.com)

144:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:46:32
URLﾘﾝｸ(www.uwec.edu)

見えているものは高次元からの埋め込み

145:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:51:21
URLﾘﾝｸ(www.essentia.com)

146:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:53:25
URLﾘﾝｸ(www.enm.bris.ac.uk)

147:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:55:04
URLﾘﾝｸ(www.tony5m17h.net)

148:１３２人目の素数さん
08/10/31 01:58:59
URLﾘﾝｸ(webuser.hs-furtwangen.de)

149:１３２人目の素数さん
08/10/31 02:00:57
URLﾘﾝｸ(www.valdostamuseum.org)

150:１３２人目の素数さん
08/10/31 02:08:36
URLﾘﾝｸ(www.valdostamuseum.org)

151:１３２人目の素数さん
08/10/31 02:18:36
URLﾘﾝｸ(www2.le.ac.uk)

152:１３２人目の素数さん
08/10/31 07:18:31
>>139-151 ありがとうございます！いつもお世話になっております！
今から、仕事行ってくるので帰ったらがんばります！という（以下同文）
この土日は、複体外接超球の定理をトレミーの定理にこじつけたり、
方向ベクトル L と位置ベクトル P できれいに書いたりしたく思てます。

153:１３２人目の素数さん
08/10/31 20:08:11
家帰って来ましたー >>139-140 あたりのリンク先などを読んで、
Three Sphere→ 3つの球→ サンキュー！とかいって、
一人で小声で凍えてました。今日は寒いっすねー。

154:１３２人目の素数さん
08/10/31 20:45:04
高次元の射影が低次元の複雑さに関係があるって、マルデンブロートってそうかもしれない。

155:１３２人目の素数さん
08/10/31 21:16:57
AC.BD=AD.BC+AB.DC
BD=BC+CD
AC=AD+DC
AC.BD=AD.BC+AD.CD+DC.BC+DC.CD=AD.BC+AD.CD+DC.BC-DC.DC
AD=AC+CD
AD.CD=AC.CD+CD.CD
AD.BC+AC.CD+CD.CD+DC.BC-DC.DC=AD.BC+AC.CD+DC.BC=AD.BC+AC.CD+CB.CD
=AD.BC+AB.CD

156:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:03:03
>>155 トレミーっぽい！ありがとうございます！

さっき、長風呂から出ました！

>>144 さん同感です！日常の生活もいろいろな要素に関係してて高次元ですが、
見えるのは一瞬一瞬の時間で切り取られた現実の3次元空間を網膜に透視投影した2次元だけ、みたいな？
>>154 さんマルデンブロートでググったけどわかりませんでした。図形の一種？

正射影なら何次元でも落とせるけど、透視投影は光学中心に向かって1次元しか
落とせない気がする。そこで、弱透視投影の出番ですよ、みたいな？

そんな感じの第一感（適当）

157:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:19:57
>>141 さん、重力曲面っていう言葉が私的に初耳だったので、
Google先生で調べたところ、一件、2次超曲面っぽいこと書いてありました。気がします。

重力というと万有引力やクーロン力のように距離の逆二乗に比例する力のように思いますが、
ベクトル解析でスカラー場 φ（\bm{x}）に関して \grad φ のような気もします。

またしても個人的な希望的観測で、m次元ユークリッド空間内におけるn元2次超曲面の話
（例えば、2次超曲面上のある点 \bm{p}_x の接線方向 \bm{d}_i における曲率半径など）
についてかと予想しますが、今回の複体外接超球の定理に絡んで面白そうな感じしてるので、
再来週あたりまとめたいです。

158:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:31:04
>>145 ５次元と聞くと、ランドール博士を思い出しますw
なんか最近、超弦理論とかM理論とか１１次元とかすごすぎ！
僕的には、現実に則さないといけない物理学より、
頭の中だけで後は応用し放題の数学のがいいと思てる、とか言ってみたり

159:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:55:21
トレミーはｎ次元でも円なら成立するよ。
４次元なら距離は普通のベクトルの内積。
ミンコフスキーならテンソル積

160:１３２人目の素数さん
08/10/31 22:58:36
重心は位置ベクトルを体積積分して体積で割る。ｎ次元でもおなじ。

161:１３２人目の素数さん
08/10/31 23:01:08
曲率を体積積分するとオイラー数になってしまう。
これ証明は未解決？

162:１３２人目の素数さん
08/10/31 23:10:44
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

163:１３２人目の素数さん
08/10/31 23:15:59
URLﾘﾝｸ(planetmath.org)

164:１３２人目の素数さん
08/10/31 23:37:03
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

165:１３２人目の素数さん
08/10/31 23:39:01
曲率を面積分することは構造と群に関係してる。ラプラシアンは交換子。

166:１３２人目の素数さん
08/10/31 23:45:44
３次元の体積積分を４次元で記述すると？
スムースな多様体の曲率の面積積分は反対側の側面とキャンセルしあうので、結局、ひものトポロジーと
同相になってしまう。
３次元のトーラスを２次元に埋め込むと２つ穴の平面になる？

167:１３２人目の素数さん
08/10/31 23:48:58
４次元の中の３次元のトーラスは内側と外側がつながっている。
３次元に４次元の中の３次元トーラスを展開すると、メビウスみたいに裏と表がつながったトーラスになる？

168:１３２人目の素数さん
08/10/31 23:58:55
４次元で３次元のトーラスを見るとメビウスにみえる。
４次元で３次元の球を見ると、４軸上に移動することで球の内と外に移動できる。
４次元のなかで３次元球を見ると円にみえる。
４次元で３次元のトーラスを見ると２つの円にかこまれた形にみえる。
４次元でクラインのツボを見るとメビウスにみえる。
４次元トーラスは３次元で見ると時間とともに円に閉じてしまうクラゲ？
４次元クラインのツボは３次元で見ると、おなじように時間とともに円に閉じてしまうクラインのツボ？

169:１３２人目の素数さん
08/11/01 00:08:02
>>160 体積内で密度が違うところある場合、その方法すごく有用だと思います！ありがとうございます！
俺は気付かなかったので、天下り的に重心ベクトル＝（各頂点へのベクトルの合成）÷（頂点の数）とやりました。

>>161 閉曲面での話！？ 2次超曲面なら…うーん…接線方向によって曲率って変わりそう…
曲率って曲率半径の逆数でいいんだっけ？ガウス曲率とかいう名前だっけ？なんかすごそう。
>>162 が解？ポアンカレ予想とペレルマンさんの件かもしれないけど私よく知らない…

英語…もよくわからない！勉強します！私は日本語もうまく書けませんが…（欝）

170:１３２人目の素数さん
08/11/01 07:23:32
寝て起きた！ >>163 Pfaffianキター！！！こういうのが欲しかったんやー！
余因子総和の式とどういう関係か急激に調べ中！めちゃくちゃありがとう！

171:１３２人目の素数さん
08/11/01 13:12:54
パフィアン調べてたら二度寝してた。そして起きた！
>>166 私的には2次元への像と考えて、アニュラスか円板になると想像してます。

>>167 4次元内で3次元トーラスを考える場合などの向き付け可能性は、
3次元の体に沿っていったら辻褄が合わなくなるというか体の内部から外部に出ちゃうというか
だと今想像したので、3次元トーラスは普通に射影したらメビウスに見えることはない気がしてます。

>>168 のことに関連して、これから私見で２つの想像図↓、
分点心補超球（仮）を用いた m次元ユークリッド空間内におけるn次元超球の概念図、および、
3次元トーラスと3次元クラインの壷の展開図（立方体）、を書いてみたいと思います。

私は、位相幾何学とか代数幾何学とか今は全く無知なので悪しからずでお願いします。

172:１３２人目の素数さん
08/11/01 15:01:25
位相幾何学について、わかりやすいPDF発見した！イイ！

URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hokudai.ac.jp)

ｎ次元複体のオイラー標数はn次元単体も数えるんか… >>97 間違ってた！
n次元トーラスのオイラー標数は 0らしい。 >>104 で完全に間違えてました。
今、3次元トーラスの展開図？としての立方体を単体分割してオイラー標数だしたら 0になった感じ

173:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:18:45
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

ビッグバングはブラックホールにむかう？　トロイダルウニバース

174:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:22:33
まず、>>134 >>138 についての、3次元トーラスと3次元クラインの壷の
概念図・立方体への展開図・オイラー標数について書きました↓

URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

3次元クラインの壷は、3次元トーラスの展開図である立方体において
くっつける3つの面の全てを逆向き（上下か左右反転）にくっつければ
よいと思いましたが、考えづらいので、一つの面だけ反転させて付ければ
後の面は同相な変換によって逆向きに付けたものと同相になると信じてます。。

175:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:24:15
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)

4d torus cross section

176:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:27:24
URLﾘﾝｸ(www.dr-mikes-maths.com)

177:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:30:53
コンフォーマルマッピングは４次元トーラスではどうなるの？

178:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:37:51
やばい、3次元クラインの壷の展開図としたものでは、
3次元トーラスの展開図で使った単体分割ではおかしい！
でも、おなじだよね。。そう信じることにした。

3次元の立方体の単体分割を探してるときに、多面体の「表面（2次元）の」
オイラー標数は「球面（2次元）と」同相なので同じく 2という記述はよく見かけたけど、
3次元体のオイラー標数については見つけられなかった。あと、単体分割は
めんどくさいので胞体分割という手法があるらしい。初耳ー

>>173 さんありがとうございます！ようつべ見れないのでアレですが、
それはどこまで本気でどこまでネタなんでしょうか？みたいな

179:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:37:55
クリフォードトーラスを２次元に埋め込むと、パイナップル
４次元からクリフォードトーラスを見るとやっぱりパイナップル
それか、円にむすんだテープ
球は円盤、クラインのツボはメビウス
４次元トーラスは４次元球面の２点を同一視すること。
４次元クラインのツボは４次元球の裏面と表面をつなぐこと。５次元のメビウス。

180:１３２人目の素数さん
08/11/01 21:42:36
URLﾘﾝｸ(www.arthuryoung.com)

181:１３２人目の素数さん
08/11/01 22:58:49
10. PS]
CONFORMAL MAPPING OF RIEMANN SURFACES AND THE CLASSICAL THEORY OF ...
File Format: Adobe PostScript - View as HTML
is naturally and closely connected with the theory of conformal mapping (cf. ...... to study the change of modulus of the torus under the conformal sewing. ...
www.emis.de/journals/PIMB/089/n089p217.ps.gz - Similar pages
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182:１３２人目の素数さん
08/11/01 23:13:01
URLﾘﾝｸ(books.google.com)

トーラスはラプラシアンが使えるからにんきもの：

183:１３２人目の素数さん
08/11/01 23:19:11
Conformal Mapping on Riemann Surfaces
By Harvey Cohn

184:１３２人目の素数さん
08/11/01 23:22:23
Conformal Representation
By Constantin Caratheodory

185:１３２人目の素数さん
08/11/01 23:25:13
Quadratic Differentials
By Kurt Strebel

186:１３２人目の素数さん
08/11/01 23:31:36
URLﾘﾝｸ(everything2.com)

187:１３２人目の素数さん
08/11/01 23:52:27
>>171 で言ってた分点心補超球（と外接超球）の私的な概念図書きました↓
最初は、↓のページの内容全部をノートに書き直そうかと思ってたけど、
そんな時間は無かったので概念図だけ書いて↓の末尾に追加しました。

URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

↑のようなことも考えているため、個人的には超球を三日月が2つくっついた形で書きたいこともあります。
しかし、この図を客観的？に見たら、俺そうとう頭いかれてるなぁーと思った（自画自賛）

188:１３２人目の素数さん
08/11/02 01:13:30
>>175 からたくさんありがとうございます！
位相幾何学・物理学・微分幾何学あたりの話ですか？
私の頭では難しくてほとんど理解できませんですた。
パフィアンもまだよくわかってません。

ということで、今日は起きてから >>152 やりますー。

189:１３２人目の素数さん
08/11/02 11:35:35
>>187 言い忘れましたが、分点心補超球とは、2次元内の1次元で2点間の
内分点と外分点を通るアポロニウスの円と呼ばれてるものを一般化し、
m次元内のn次元で(n+1)点からの距離が一定の比にある点
（そのn次元内にある点は私的に内分点心・外分点心と呼んでる）
の軌跡のことについて仮に俺が勝手に呼んでる名前です。

まとめ：　分点心補超球とはアポロニウスの円を m次元に拡張したときの仮の名前として使ってます。

>>187 の図では内分点心がn次元単体の0対面上にあるように見えますが、
本来、内分点心はn次元単体の内部、外分点心は外部にあり、内分点心と
外分点心が一致する場合はn次元単体のどこかの対面上になると思ってます。
計算式からまだそこまで証明とかできてませんが…

190:１３２人目の素数さん
08/11/02 20:52:49
穴の数って・・・表面上の群に影響するから面積分に現れる。　幾何化予想になるのかな。

ｎ次元の幾何化予想ってあるのかな？

191:１３２人目の素数さん
08/11/02 20:53:48
お万個は穴になるのか？

192:１３２人目の素数さん
08/11/02 21:13:01
z=c+z^2
x=+-(+-(+-(z-c)^.5-c)^.5-c)^.5....

193:１３２人目の素数さん
08/11/02 21:19:24
とりあえず三次元でやってみては
これじゃ相手にされんよ

194:１３２人目の素数さん
08/11/03 00:02:20
URLﾘﾝｸ(www.elesoft.com)

195:１３２人目の素数さん
08/11/03 13:53:08
Möbius Transformations in Dimension <Emphasis Type="Italic">n ...
The general n-dimension MObius transformation is conjugate ..... The table indicates the conjugacy classes of Yn for n -- 1, 2, 3, 4. The ...
www.akademiai.com/index/7V3877P846521032.pdf - Similar pages
by JB Wilker - 1983 - Cited by 1 - Related articles

196:１３２人目の素数さん
08/11/03 13:59:54
URLﾘﾝｸ(www.math.ucr.edu)

197:１３２人目の素数さん
08/11/03 19:00:56
pa:pb=n:m
(p-a)*(p-a)m^2=(p-b)*(p-b)n^2
p*pm^2-2a*pm^2+a*am^2=p*pn^2-2b*pn^2+b*bn^2
p*p(m^2-n^2)-2(m^2a-n^2b)*p+a*am^2-b*bn^2=0
(p-(m^2a-n^2b)/(m^2-n^2))^2-(m^2a-n^2b)^2/(m^2-n^2)^2+(a*am^2-b*bn^2)/(m^2-n^2)=0

198:１３２人目の素数さん
08/11/03 21:18:19
(p-a)*(p-a)=(p-b)*(p-b)c^2 c=n^2/m^2
p^2-2(a-bc^2)p/(1-c^2)+(a^2-b^2c^2)/(1-c^2)=0
(p-(a-bc^2)/(1-c^2))^2=-(a^2-b^2c^2)/(1-c^2)

199:１３２人目の素数さん
08/11/03 22:34:46
URLﾘﾝｸ(klein.math.okstate.edu)

200:１３２人目の素数さん
08/11/04 00:25:36
自分で200ゲトッ戦記ー >>152 についてやってたけど、うまくできんなぁー
全ての辺の長さを使って書くと >>137 のようにいい式になるのになぁー
そして、３連休が終わってもーた…

>>190-199 ありがとうございます！
>>193 なるほど、僕は相手にされてなかったわけか…（笑）

m次元ユークリッド空間内での n次元単体の五心を
行列演算を駆使して出してみました。どうですか？では、
ネタ的に足りないのかと思って、分点心補超球の案とかを
私的に出してみたりしてました。恥ずかしいー

n=1,2 次元の平面幾何とかでいろいろ成り立つことまでは確認してる気がしますが、
n=3 代入すればいい 3次元の立体幾何とか以上の資料が
あまり見つからないので答え合わせも出来ないことから、
mとnを一般化して計算した結果だけでも同じかなと思って油断してた！

時間をとって、3次元（や2次元や1次元）で例示しながら、わかりやすくまとめたいと思ってます。
その前に、この分野の先人の知恵（わかりやすい著書やURLや書き方）などをもし教えて頂けるか
自分で見つけたなら引用して、自分は其処の所を手抜きしようとしてました。ゴメンナサイ。
じゃあ、俺、この分野、新規性はあると見た！ということで、ガンバリマス。
まぁーこのスレ見る限り、俺の言葉や書き方では、まとめたとしても伝わらない気がしますが…

>>197 アポロニウスの円っぽい！>>198 2次元？重ね重ねありがとうございます！

201:１３２人目の素数さん
08/11/04 20:31:46
>198 ベクトルだからね、ｎ次元でもつかえるよ。

202:１３２人目の素数さん
08/11/08 16:46:38
>>197 >>198 >>201 などをふまえて、m次元空間内での
内分点・外分点・アポロニウスの円の導出を、例によって紙に書いてうｐしますた↓

なお、同じ手法で m次元空間内の n次元単体の各頂点との
距離の比が一定になる軌跡（分点心補超球）についてもやりました↓

どちらも、m次元空間内で i点(i=0～n)との距離の比 t_i が一定となる点
（分点心） l_T の軌跡について (l_T -l_{TO})^T (l_T - l_{TO}) = R_T^2 となる
(m-n+1)次元超球の（分点心）中心 l_{TO} と（分点心）半径 R_T を導出した感じです↓

URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

↑について、式がダメとか、字汚いとか、図が意味不明とか、いろいろ
おかしいことあると思うので、相手にしていただけるとありがたいです（￣ー￣）ニヤリッ

この土日はどうしようか今考えてます。とりあえず、昨日の夜から↑やってて疲れた。
やってる間にも、複体外接超球の定理は(m-n)次元直交補空間の方向も考えると、
n次元単体にとりあえず外接するm次元超球上の点で成り立ってしまうという罠、
とか少し考えてた（謎）

203:１３２人目の素数さん
08/11/08 17:04:46
>>202 の文の最後の段落で「n次元単体にとりあえず外接するm次元超球」って
言ったけど違った！「n次元単体の外接超球（n次元）の中心と半径が同じm次元超球」
じゃないと成り立たないス。前提条件で F_X = (l_x - l_O)^T (l_x - l_O) - l_O^T l_O = 0 だから、
m次元超球を n次元部分空間で切った小円（以後、小超球）としての n次元超球がその
n次元単体に外接してる場合、>>202 じゃおかしいもんね。という間違いだらけの人生。

204:１３２人目の素数さん
08/11/08 17:30:48
>>202 の計算結果を見るに、0点からの距離と1点からの距離の比が
t_0 : t_1 となる点の軌跡であるアポロニウスの円の中心は、
距離の比が t_0^2 : t_1^2 となる 0点と1点の外分点となるっすか？

すごくね？

205:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:03:18
アポロニウスの円（座標編）
「定点A,Bがあり、
　点Pが、AP:BP=m:nを満たすように動く時の
　点Pの軌跡を求めよ。（ただし、mとnは異なる複素数とする）」

206:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:06:07
１　アポロニウスの円の面積を求めなさい。
２　タイトル : 写真から撮影位置を予測する(2) : アポロニウスの円の発見とその利用 (数学科授業研究会記録(2)) (数学科)

207:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:09:12
アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列
ポンスレーの定理
フースの定理

208:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:12:06
パップス・ギュルダンの定理
デザルグの定理
パップスの中点定理
パスカルの共線定理
ニュートンの定理
パスカルの定理
ブリアンションの定理

209:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:13:52
球面定理とは、「適当な条件を満たすRiemann多様体は球面と（微分）同相である」

210:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:14:28
有限性定理

211:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:15:10
#
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チャーン／チャーン特性類トム／コボルディズム理論、カタストロフィー理論小林昭七／小林双曲的多様体の理論ヒルツェブルッフ／リーマン‐ロッホの定理の解決スメール／双曲型力学系ミルナー／微分位相幾何学、異種球面の発見クリンゲンバーグ／ ...
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212:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:15:49
書籍案内：ピタゴラスの定理でわかる相対性理論 ―時空の謎を解く双曲 ...
ピタゴラスの定理がわかれば，球面幾何学の意味がすっきりし，双曲幾何学が手に取るようにわかります。さらにピタゴラスの定理見方を変えて再度吟味してみると，球面幾何学の意味がすっきりし，双曲幾何学が手に取るようにわかります。 ...
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213:１３２人目の素数さん
08/11/11 20:16:46
トレミーの定理の球面バージョン

214:１３２人目の素数さん
08/11/11 23:29:44
会社から帰って…＿…　キター（◎∀◎）ー！！

>>205-213 を書いてくれた聡明な御方、すごく重要で貴重な情報超ありがとうございます！
俺の頭の中でいろいろ超展開しそうな予感であります！明日休みてームリorｚｚｚ

しかし、>>205-213 に答えが載ってそうで、直視できない自分がいるｗｗｗ
>>137 の式に n=2 次元単体（三角形）を代入して因数分解したら、
トレミーの式が零因子として出てくると俺は信じたいんだッ。

>>213 トレミー自体が \bm{1}_1, \bm{l}_2で作られる三角形の外接円上の \bm{l}_x に対して
\bm{l}_x = a_1 \bm{l}_1 + a_2 \bm{l}_2 (a_1, a_2>0)のような制約の下での式だと思いますので、
3次元の球面上の5点に拡張しようとするとその5点の位置によってそれぞれ結ぶ
辺の長さ(10本)の性質（どこが対角線となるかなど）が変わってきて難しいと思います。
しかし、点がどこにあるか固定しないでベクトルを用いて >>137 の式に n=3 を代入した式が
トレミーの定理の3次元バージョンのような気が、今は僕はそう思てる。

先日、別に円に内接してなくても、四角形（2次元4点複体）の辺と対角線のそれぞれの長さ（6本）の間には、
何かしら制約式（チェバメネラウスの定理みたいな？）があるような気がしまして、それを拡張すれば
n次元(n+2)点複体のそれぞれの全ての辺の長さに対して何かしらの制約式となる気がしまして、
それを用いれば >>137 の式を因数分解できると今は考えておりますので、この件はしばしお待ちください。

それでは、一旦CM…もとい、寝まーす

215:１３２人目の素数さん
08/11/12 23:35:49
>>214 の後半で言及した何かしら制約式の計算は金曜の夜からやるとして、
>>205-206 あたりを今日から明日の夜にかけてやることにした！

>>207 について、アルベロスの定理とサリノンの定理を見ました！↓

URLﾘﾝｸ(thaler.blog.so-net.ne.jp)

すげぇ！ってアルベロス違いか…円列やボンスレーやフースは

URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)

でちらっと見ましたが、大円小円基線という用語に途惑いよくわかりませんでした。しかし、
「『ポンスレーの閉形問題』（ポンスレーの定理）ー２つの定円に内外接する三角形の問題ー」

という所で図とか見て→ URLﾘﾝｸ(horibe.jp)

うわぁ、めっちゃ「あるn次元部分空間内で2つのn次元超球に内外接するn次元単体の問題」
へのm次元拡張を考えたくなってきた。。外接超球の半径 R_O、内接超球の半径 R_I、
外接超球と内接超球の中心（n次元単体の内心と外心）間の距離 d_{IO}に対して、
「d_{IO}^2 = R_O^2 - 2 R_O R_I となるとき（に限り？）、この外接超球に内接し、かつ、
この内接超球に外接するような n次元単体が無数に存在する」とかが成り立っちゃうのかなぁ？

いや、まさか、そんなことは、うそだろ、えっ、でも、どう導出や証明すればいいのか全くわからないッ！
さて、複素数でアポロニウスの円を考えつつ…　寝まーす

216:１３２人目の素数さん
08/11/14 23:51:25
>>205 について昨日から考えてましたが、>>202 の全ての要素について複素数体上に拡張して考えれば答えは同じ
様に書ける（？）と思ってますが、m次元ユークリッド空間内の各点との距離の比だけ複素数比となるとするなら、
実数比の場合でも3点以上であると思われる分点心半径の自乗がマイナスになってしまう場合と同じように、
複素数比に分ける点の軌跡は虚数の方向にある双曲線のような形の(m-n+1)元2次超曲面（下図参照）となると思います。

URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp) の上から3つ目の画像↓
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

これは、まだちゃんと計算してないのでたぶん間違ってます。でもあえて「虚分点心補超球」の問題と呼びたいです。
そして、この問題は置いといて、これから複体の全ての辺の長さについて、何かしら制約式があるか考えますー。

217:１３２人目の素数さん
08/11/15 03:55:27
>>216 単純に(n+2)点がn次元におさまってる複体では(n+1)次元超体積が0になるということで、
\det( [\bm{L}, \bm{l}_x]^T [\bm{L}, \bm{l}_x] ) = \bm{1}^T \bm{C}[ [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [-\tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] ] \bm{1} = 0
なら x点がn次元単体と同じn次元部分空間内にある、というのが前述の何かしら制約式の正体だった感じです。

さらに、>>214 より、>>137 の式 \bm{1}^T \bm{C}[ [[-\tilde{\bm{B}}, -\tilde{\bm{b}}_x], [ \tilde{\bm{b}}_x^T, 0]] ] \bm{1} = 0
は x点がn次元単体の外接超球の中心から外接超球の半径と等しい距離にあるときに成り立つという感じです。

つまり、上の2式とも成り立つとき、x点がn次元単体の外接超球上にある（x点とn次元単体が作る複体に外接超球が存在する）
ことになる感じです。特にn=2とすると、四角形に外接円が存在する場合の式となり、上の2式からトレミーの定理が導出でき、
特にn=3を代入すれば、四面体ともう1点で作られる3次元5点複体に外接球が存在する >>213 の場合に満たすべき2式が求まる、

ということに帰着できたと思うので、寝て起きてから、1と2次元で確認して、複体外接超球の定理としてまとめますー

218:１３２人目の素数さん
08/11/16 15:37:40
ダメだ！トレミー出てこない！↓を見て余因子総和はdetの２乗になる予感…パフィアン？
URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
佐藤郁郎さんすごすぎ！メールで何か聞いてみようかな…

219:１３２人目の素数さん
08/11/17 03:15:56
今気付いたトレミー！四角形に円が外接しているということで、円周角が同じ事を使って、
4点の位置を固定した上で、その円周角における余弦の式を用いて>>137を式変形すれば、
トレミーの定理の式が出てきそうです。4点の位置を固定しない場合やn次元では、一応
きれいな式になる >>217 の方法の計算式で止めといていいと思った。しかし、2次元のトレミーと
>>213 の3次元の場合（5点あって10辺の関係式になると思う）は確認します。

あと、>>207 >>208 >>210 >>211 は応用的過ぎてまだ手が出せませんが、
>>205と>>206の１は虚分点心補超球（と2次超曲面）に絡めてやってみたいと思ってます。

さらに >>206 の２は、「n次元単体とその重心（またはn次元超球とその中心）という物体を、直交補空間を含む方向にある
ある光学中心に向かってある像面に射影（撮影）してできるn次元像と1点の情報（遠方短縮の写真）を用いて、
その物体から光学中心へのm次元方向ベクトル（相対的な撮影位置）を求める」という問題に置き換えてやってみたいです。
具体例としては、「n次元単体とその重心」ではなく「長方形」を用いて m=3, n=2の時について例示したいです。

ところで、デザルグの定理は個人的に消失線のことを言ってるような気がしますが、n次元透視投影でも、
n次元単体の重心と各頂点 i点(i=0～n)を結ぶ直線方向の無限遠点（n+1個）を撮影してできる(m-1)次元
像面内の(n+1)点が(n-1)次元部分空間内におさまる（1点過剰みたいな）感じだと思いますので、後々…

220:１３２人目の素数さん
08/11/22 22:30:30
>>219 のように円周角の定理を代入してはダメで、与式だけから円周角の定理（および
トレミーの定理）などを導出しなければいけないことは木曜あたりに気付きました。
そこで、四角形（2次元4点複体）に外接円が存在する場合は、>>217 の n=2 のときの2式を足した
式を整理したもの、およびその点の位置を入れ換えたとき（サイクリックで）成り立つ式を用いて、
円周角の定理およびトレミーの定理（のようなもの）が導出できることを確認しました↓

まとめると、私案の n次元(n+2)点複体に外接超球が存在する場合に満たすべき式
「複体外接超球の定理」と、n=1, n=2, n=3 の次元の場合における例示（トレミーの定理も含む）
を例によって紙に書いてまとめてみました、ということです↓

URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp) の上から2番目の画像
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

1次元（直線上3点）でも2次元（四角形）でもうまくいく事が↑で確認できたと思うし、
>>213 の人も言及していた3次元（3次元5点複体）の場合でもこの等式以上にするのは
難しいと思うので、3次元以上もこの複体外接超球の定理で間違いないと思うんですが、
どうですか？

個人的にはこの問題はこれで解決したと思うので、ちょうどこれらを始めて半年になる11月30日
までにPDFのレポート的な総括的な何かを公開したいと思って、今がんばってますー

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