【行列で】m次元ユークリッド幾何学【n単体の5心】

【行列で】m次元ユー� ..

2:１３２人目の素数さん
08/05/30 04:46:04
2ちゃんねる9周年おめでとー、という2get！

3:１３２人目の素数さん
08/05/30 05:26:27
糞スレ分類
A.　定義や基礎的な定理を疑うタイプ（1+1=2、負×負＝正など）
B.　問題自体はまともだが妙な事を言っている
C.　単発質問
D.　数学の存在意義を疑うタイプ（数学なんて社会で役に立たねーよ、など）
E.　よくわからんが私怨系？（対象は個人だったり組織だったりコテハンだったり）
F.　単調作業系（2進数で数える、など）
G.　数学と関係ない

C　単発質問
　1　宿題がわかりません＞＜
　2　僕は何が分からないんでしょうか　　　　　　← 判定ココ
　3　トリビアを僕の代わりに検索してください
　4　アンケート・面白いこと言ってください

4:１３２人目の素数さん
08/05/30 06:26:10
>>3 ある始点から線型独立なn本の方向ベクトルが出てるときに、
それによって作られるn次元単体（n+1点で囲まれる図形）の
重心・垂心・外心・内心・傍心への始点から方向ベクトルが美しい式で表せる気がしました。

そして、2次元単体（三角形）ではフェルマー心・シムソン線など様々な図形的性質が
あるので、それをn次元単体に拡張するといろいろ応用出来そうだし面白いと思ったんだ。
ということで、既存研究や行列演算でn次元幾何学やってらっしゃる先人の
お知恵やそのURIなどを教えていただけるとありがたいです。← ココ

社会へ出てからしばらく経ってますが、幾何学をふまえた行列演算の美しい関係式を
まとめたいと思ったので、どうかよろしくお願いします。

5:１３２人目の素数さん
08/05/30 06:41:12
>>4 3行目：始点から方向ベクトル→始点からの方向ベクトル

>>3 あえていうならCの単発質問で3かなーゴメンナサイ。
n次元単体の垂心が存在する条件とか、傍心は何個あるかとか、
僕が検索したところずばり答えみたいのは見つかりませんでした。
外接超球・内接超球・傍接超球の半径の比とか、
分かる人にはトリビアすぎて取り上げるまでもない問題なのか、とか感じてます。
でも、とても応用できると思うんだけど全然見つからなくて。

6:１３２人目の素数さん
08/05/30 08:01:46
>4
>フェルマー心・シムソン線など様々な図形的性質があるので、それをn次元単体に拡張する

じゃあ、まず三次元単体　つまり立体でやってみせてくれ

7:１３２人目の素数さん
08/05/30 11:22:32
3次元単体（四面体）の場合、正単体などじゃないと垂線が
1点で交わらなくなるみたいな？以後、n次元への拡張案ですが、

フェルマー心（等角中心・トリチェリ点）は、単体内部の点から
各辺を見込む角度が等しい（cos \theta = - 1/n）点と定義すれば、
あまりぺっしゃんこでない単体内部にはただ一つありそうな気がします。

シムソン線の拡張は、外接超球上の一点からn単体の各面に下ろした(n+1)個の
垂線の足を通る(n-1)次元超平面（1点は従属みたいな感じ？）とすれば、
一意に定まる気がします（いやむしろ定まるならすごい）。

考えてはいるのですが、式ではまだ解いてないのでごめんなさい。

8:１３２人目の素数さん
08/05/30 15:25:50
3次元にすら拡張できないのに　
以下略

9:１３２人目の素数さん
08/05/30 16:47:25
いや、3次元単体以上の垂心だけ存在する条件があるということで…
7などの方法でフェルマー心(5心)に関しては間違いなくn次元に拡張できると思うのですが…

たとえばn次元単体の各頂点をi点\bm{p}_i(i=0～n)とし、
i点に対面する(n-1)次元単体面をi対面とし、0点からi点への方向(列)
ベクトルを\bm{l}_iとし、i=1～nまで\bm{l}_iを行方向に並べた行列を\bm{L}とすれば、
重心=\bm{L} \bm{1} /(n+1)、垂心=\bm{L} (\bm{L}^T \bm{L})^{-1} \bm{1}（ただし、
\bm{l}_i^T \bm{l}_j (i ≠ j)が全て同じ値（\bm{L}^T \bm{L}が等内積行列）の場合に限る）
みたいな式になるみたいな。いや想像で書いてるのでたぶん違うんでしょうけど。

n次元単体には外接超球・内接超球・傍接超球があるらしいことは、
統計学のほうの多変量解析で調べてると出てくることがありますが、
n次元単体の5心・フェルマー心(三角形の場合でも存在する条件がある)
などを行列演算でずばり解いてある文献が私は見けられなかったし、
日本でこれについてやってる人が見つけられなかったので、
ぜひ知っていらっしゃったら教えていただきたいです。

10:１３２人目の素数さん
08/06/06 00:42:22
数学＠2ch掲示板用掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
URLﾘﾝｸ(members.at.infoseek.co.jp)

11:１３２人目の素数さん
08/06/06 03:24:15
>>1 のアットウィキに重心の項目など追加しました。

要素が全部1のベクトルは$$ \mathbf{1} $$と書いたけど、
アルファベットと違って数字は太字にならないようでした。

12:１３２人目の素数さん
08/06/07 01:59:36
がんばれ

13:１３２人目の素数さん
08/06/08 18:41:17
>>12 ありがとうございます！ざっと計算してみたので、今atwikiに書いています。
どうもうまく書けないので、意見などいただけるとありがたいです。

ところで、m次元空間内でn次元単体を作るn本の方向ベクトルを列記した行列 Lとし、
同様にn次元単体を作る(n+1)点への位置ベクトルを列記した行列 Pとすると、
n×n行列 (L^T L)の行列式det[L^T L]と、(n+1)×(n+1)行列 (P^T P)の余因子行列の
全ての要素の和1^T C[P^T P] 1が等しくなると思いました。

これを仮に余因子総和の定理とか呼んでみたいのですがどうでしょうか？
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

14:１３２人目の素数さん
08/06/08 23:44:06
>>1
↓おまえか

ｽﾚﾘﾝｸ(internet板:569番)
569 名前：192.168.0.774[sage] 投稿日：2008/06/08(日) 21:56:52 ID:kC905/vn0
糞記事を書いてきた。
[[三角形の中心]]

URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(最新版) (前の版) 2008年6月8日 (日) 12:54 60.45.13.173 (会話) （1,283 バイト） (なんとなく書いてみた)

15:１３２人目の素数さん
08/06/09 02:05:58
>>14 私はＷｉｋｉｐｅｄｉａのアカウント持ってない（なくても書けるようですがＩＰはブロックされてました）
ので別人なのですが、大変勉強になります！情報ありがとうございます！ジェルゴンヌ点・
ブロカール点・ド=ロンシャン点などは、atwikiに等角中心の項まで書いたら考えたいです。

私はよくWikipedia見たりするのですが、ＧＦＤＬのライセンスということで引用するのに
編集してる何人かのアカウントを表示する必要があるらしいと聞き気を付けて見てます。
あと、ウィキペディアには個人的な研究の内容は書いてはいけないとかあった気がしました。
しかし、atwikiの数式環境ではsmallmatrixやcasesが使えないようなのでうらやましかったり。

ちょっと調べたら、「三角形」のページ↓のが五心については詳しかったりしました。
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

16:１３２人目の素数さん
08/06/09 02:27:44
ちなみに、n次元単体において i点(i=0～n)からi対面への垂線ベクトルをh_iとすると、
\sum_{i=0}^n (h_i / (h_i^T h_i)) = 0（m次元ゼロ列ベクトル）となることを発見しました。

これを仮に逆垂線総和の定理とか呼んでみたいのですがどうでしょうか？
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

17:１３２人目の素数さん
08/06/09 19:49:04
内心について解きました。解が垂心の形（調和平均のような）に酷似してる！美しい！
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

18:１３２人目の素数さん
08/06/09 22:44:29
とりあえずおじさんに位置ベクトル p_i と方向ベクトル l_i の関係を教えてくれ
l_i = p_i - p_0 でいいの？高校の時には位置ベクトルと方向ベクトルというのが別にあったなぁという記憶があるような無いような。

19:１３２人目の素数さん
08/06/10 01:49:15
>>18 そうです！ご指摘のとおりです！atwikiの「n次元単体を表す行列」↓の
項に図入りで詳しく書こうと思いつつ、まだ放置中でした…ごめんなさい。

私は文中で、m次元空間の原点を始点とするm次元列ベクトルを位置ベクトルと呼び、
n次元単体の頂点の一つ0点を始点とするm次元列ベクトルを方向ベクトルと呼んでいます。

そして、m次元空間内の(n+1)点あるn次元単体の頂点を順番にi点(i=0～n)と名付け、
m次元空間の原点からそのi点(i=0～n)への位置ベクトルを p_i として、
0点から他のi点(i=1～n)への方向ベクトルを l_i = p_i - p_0 としています。

n次元単体の五心などを計算するときに、辺に対応するn本の方向ベクトル l_i (i=1～n)
の方で計算すると、線型独立ということを使ってうまく計算できる感じです。
一方、頂点に対応する(n+1)個の位置ベクトル p_i (i=0～n)の方で計算すると、
1次元過剰なので計算が大変ですが、0点を特別視しないので式が美しくなる感じです。

自分で調べて見つからなかったものなど、いろいろ私独自の用語を使ってしまっているので
他にもいろいろご指摘くださるとありがたいです。

atwiki「n次元単体を表す行列」（書き中…）
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

20:おじさん
08/06/10 08:58:57
おじさんは昔秋山仁訳、Ron Graham 著の離散数学入門を読んで
Heron の公式の高次元版(n次元単体の体積を辺の長さをつかってあらわす)
が書いてあって衝撃を受けたよ。あんまり離散数学じゃないけど。
まだ知らなかったら考えてみたら？Wikipedia をみたら答えが載ってるので見ないようにしましょう。

21:１３２人目の素数さん
08/06/10 15:12:33
>>20 マジっすか！？離散数学は集合とかグラフとかやった気がしますが、
その分野からは調べてませんでした。ありがとうございます！
秋山仁先生はNHKの高校数学か何かに出てらっしゃってお見受けしたことありますー

私的には、v^n = det[L^T L] = 1^T C[P^T P] 1 (C[X] は X の転置余因子行列)とすると、
（n次元単体の超体積） = \sqrt{ v^n } / (n !)となるとatwiki「n次元単体の体積と表面積」
の項 URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp) に書いてましたが、それは知りませんでした。

Heron の公式のn次元拡張ということで n(n-1)/2本の全ての辺の長さと媒介変数sを何個か
使うような気がしますが……思いつきません！安西先生、Wikipediaが見たいです！！

あと、離散数学入門の本を調べて組合せ幾何というのに辿り着きました。そういえば、
この前たけしのコマ大数学科でやってたシュタイナー点はグラフ理論＋幾何学っぽい
雰囲気ありました。俺は今までなぜ気付かなかったのかアッー

22:１３２人目の素数さん
08/06/10 16:04:45
この問題は分野的には、ルネ・デカルトに始まるとされる解析幾何学の中で
超立体解析幾何学とかの分野に入ると思た。

23:132人目の素数さん
08/06/10 19:14:07
>>20 Heron の公式のn次元拡張を考えました。i, j = 0～n とし、
i点からj点への辺の長さを x_ji (x_ii = x_jj = 0)として、
x_ji を j行i列の要素に持つ(n+1)×(n+1)行列を X （歪対称行列のような）とすると、

（n次元単体の超体積） = \sqrt{ 1^T C[ X ? X ] 1 } / ( 2^n )
（ ? は両側の行列のj行i列要素同士の積をj行i列要素に持つ行列を返す
二項演算子とする）となると考えました。ヘロンの公式っぽくなりませんでした。
ギブアップです。Wikipediaの答えを見てもうちょっと考えてみようと思います。

24:１３２人目の素数さん
08/06/10 23:18:36
Heron's formula： URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
正四面体の幾何学： URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp)
上を参考に、Heronの公式のn次元拡張（3次元はEuler・Tartagliaの公式？）は下記だと思います。

n次元単体のi点からj点への辺の長さ x_ji を要素に持つ(n+1)×(n+1)行列 X について、
（n次元単体の超体積） = \sqrt{ 1^T C[ X ⊙ X ] 1 / ( (-2)^n ) } / (n !)
（⊙ は両側の行列のj行i列要素同士の積をj行i列要素に持つ行列を返す
二項演算子、C{X}はXの転置余因子行列とする）となる。
（1・2・3次元単体ではだいたいあってそうですが、4次元以上の証明は難しそう…）

>>20 さんあってますか？ずばり答えみたいのが見つからなかったので、仮に超Heronの公式
と呼びますが、探しているうちに美しい公式がいろいろ見れました！ありがとうございます！
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp) にも追記しておきました。

25:おじさん
08/06/10 23:19:51
べつにヘロンの公式の拡張が離散数学だというわけじゃないです
なぜか無関係に乗っていただけで。高校のときは秋山仁に流されて離散数学って
面白いのかなと思っていたけど結局やらなくなってしまった。

26:１３２人目の素数さん
08/06/10 23:23:55
ああ、それですそれです。
あんまり変な演算子は導入するのは止めて、単に X の i行j列要素は x_{ij} ^2 だ、といったほうがいいんでは ...
まあ頑張って証明してください。そこも面白いところだし、～心とか慣れた概念とは違う手法が証明に必要になるから勉強になると思います。

27:１３２人目の素数さん
08/06/11 02:27:38
X と演算子 ⊙ の定義で分母のマイナスを吸収しようとしたり、
X だけで何かすごいことができるとか、そんなふうに考えていた時期が俺にもありました。
証明には、位置内積行列 P^T P から x_{ij}^2 = (p_j - p_i)^T (p_j -p_i) を
要素に持つ行列（仮にBとします）へ変形していくと……って難っ！

全ての辺の長さを使うことやグラフ理論からのアプローチは言われなければ気付かなかったです。
しかし、こんなすごい公式が既に世の中にあるなら五心の方もありそうですね。
もし、この公式の名前とかご存知でしたら教えてくださるとありがたいです。

28:１３２人目の素数さん
08/06/12 03:50:53
n次元単体の外心できました。あまり美しい式にならなかった…
外心の計算から、辺の長さの自乗の半分が重要な値だと考え、0点から出る
辺についてこの値を列記したベクトルを b_0、原点とi点との辺について \tilde{b}_σ、
>>27 関係の全ての辺についてこの値を要素に持つ行列を \tilde{B}とすることにしました。

これより、-\tilde{B} = P^T P - 1 \tilde{b}_σ^T - \tilde{b}_σ 1^T と表せることから、
まだ証明できてない余因子総和の定理 1^T C[ X - a 1^T ] 1 = 1^T C[ X ] 1 より、
1^T C[ -\tilde{B} ] 1 = 1^T C[ P^T P ] 1 が示せて、n次元単体の超体積と同じ
と言えるので証明というかツジツマは解決できた気が個人的にしてます。

詳しくは、下記にまとめたいと思います。
n次元単体の体積と表面積： URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)
n次元単体の外心： URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)
あとは、この \tilde{B} で外半径と内半径を表せれば……（無理っぽい）

29:１３２人目の素数さん
08/06/13 01:07:56
n次元単体の(n+1)個ある頂点からの距離の比が一定値になる点を
仮に分点心と呼ぶことにします。1次元単体（線分）の場合をふまえて、
内分点・外分点に相当するものを内分点心・外分点心とします。
そして、アポロニウスの円に相当するものを仮に分点心補超球と
呼ぶことにします。ということを今日は書きました。↓

URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

30:１３２人目の素数さん
08/06/13 09:34:51
高次元ユークリッド幾何って、ベクトル使わずに
平面幾何/立体幾何みたいにほんとにユークリッドの公理みたいに出来ないの？

31:１３２人目の素数さん
08/06/13 16:13:58
>>30 さんありがとうございます！私は厳密なことについては苦手なのでアレなんですが、
やってて特に高次元が2次元・3次元と違うということはあまりないので、できると思います！

今は私の線型代数好きが講じて、ユークリッドの公理・公準などをふまえた空間上で、
行列演算によって問題を解くという解析幾何学的なアプローチ（？）しかできてませんが、

>>30 さんの意見から新しい視点が見つかりそうなので、例えば的な問題をいただけるとありがたいです。
例えば、角度の拡張とか、バラバラな(n+1)点を通るn次元超球がある（第3公準拡張）みたいなですか？

32:１３２人目の素数さん
08/06/13 19:37:58
外接超球の半径r_Oと、分点心補超球の半径的な値R_{T0}と、それらの
中心同士の距離的な値R_{TR}を、俺はまだ位置ベクトルで美しく表せないッ！

ということで、Google schoolerとか ci.niiとかで調べてて、下記を発見しました。
四面体の全ての辺の長さで外半径を無理矢理ひねりだした感がすげぇ！

これはあとで解読するとして、今日は等角中心（フェルマー点・トリチェリ点）を、
明日は超Simson対面（仮）をやろうと思た。

<研究論文>四面体の外接球の半径について
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp) の一番上

33:１３２人目の素数さん
08/06/13 19:48:16
>>32 R_{T0}とR_{TR}が逆だった…orz
あと、下記を発見したが有料だった…五十嵐さんにお会いしたい！

Simsonの定理の拡張に関する考察 : 「三角形幾何」と数式処理」
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp)

34:１３２人目の素数さん
08/06/14 11:04:52
多面体好きなら Coxeter の "Regular Polytopes" は持ってる？Dover で売ってるから是非買いましょう。高次元の正多面体を全部説明してあります。

とりあえずまずは三次元の正多面体の内接外接球の半径を一辺のながさであらわすとかやってみると面白いとおもいます

35:１３２人目の素数さん
08/06/14 11:11:17
あと、自分で新分野を開拓するのはいいことだけど、そのありあまる情熱でなんか高等数学を勉強したら良いんじゃないかなと思います。
高次元ユークリッド幾何がすきなら、Weyl 群とかルート系は気に入るんではないかとおもいます。
あとはもう大学生ならぜひ図書館で Conway-Sloane の Sphere packings をかりましょう。これはすごい。
以上おじさんのコメントでした。

36:１３２人目の素数さん
08/06/14 12:28:19
>>34-35 ありがとうございます！面白そうです！ぜひやってみたいと思います！

群論や代数系については昔挫折した感があり、（４次元接吻数より少し上の年齢です）
正多面体群や球充填問題など聞くと黒歴史ヨミガエルみたいな気持ちありますが、
がんばります！インターネッツと大きい本屋と昔の大学の図書館で調べます！

37:１３２人目の素数さん
08/06/14 17:28:06
>>34 とりあえず、1辺の長さを1としたときの 3次元正？面体の頂点の数(n'+1)と
内半径r_Iと外半径r_Oと中心から1辺を見込む角度の余弦 \cos \thetaを出しました！

？, (n'+1), r_I, r_O, \cos \theta
4, 4, √(6)/12, √(6)/4, -1/3
6, 8, 1/2, √(3)/2, 1/3
8, 6, √(6)/6, √(2)/2, 0
12, 20, √(250+110√(5))/20, √(18+6√(5))/4, √(5)/3
20, 12, √(42+18√(5))/12, √(10+2√(5))/4, √(5)/5

となりました。ざっとなので間違ってるかもしれませんが、美しい！
Coxeter"Regular Polytopes"はAmazonで1630円でした！結構安かったので巷で見つけたらゲットします↓
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)

n'次元正単体を3次元に正射影したとき、正？面体となるような方向を求めると面白いと思ったけど、難しかった

38:１３２人目の素数さん
08/06/15 00:46:45
URLﾘﾝｸ(www.nikonet.or.jp)
↑を見て、正12面体の外半径が√(18+6√(5))/4 = (√(15)+√(3))/4とできること、
中接球というのがあることを知りました。せっかくなので、atwikiにまとめたいと思います↓
3次元正多面体について URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

中接球をn次元単体に拡張すると、全ての辺に接するn次元超球ですか…
ありそうなので、これを仮に辺接超球と呼び、その中心を辺心と呼びたいと思います。
n次元単体の辺心 URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

39:１３２人目の素数さん
08/06/18 15:28:25
n次元単体の(k+1)個（k=0～n-1）の頂点で作られる全てのk次元平面との距離が等しい点を
k次元面心と仮に呼びます。（k=0のとき外心、k=1のとき辺心、k=n-1のとき内心）

ちなみに、n次元正単体の1辺の長さを1としたとき、n次元正単体のk次元面接超球の
半径は、r_{K_k} = √( (n - k) / (2 (n + 1) (k + 1)) ) と書けるらしいとこまで行きました。

辺心は今考えてますが、内心っぽい雰囲気で、式は外心に似てて、垂心のように存在する条件
がありそうという、今までの集大成的な感じがしてます。
n次元正単体について URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

40:１３２人目の素数さん
08/06/19 21:30:13
>>30 さん的な感じのサイトをハケーンしますた。三次元 Euclid 空間論↓
URLﾘﾝｸ(phaos.hp.infoseek.co.jp)
私的には、ここで言われている「Vectors を基礎とする立場」なのであります！Vectorsカコイイ

41:１３２人目の素数さん
08/06/20 10:26:47
>>40
3次元だからできてあたりまえなんでは？Euclid の原論も3次元までカバーしてあったはず。頑張って4次元をやってください。

42:１３２人目の素数さん
08/06/20 17:02:40
>>41 >>40の前の方はワイル（Weyl群の人）の公理だと思うのでWikipediaのアフィン空間のページ（定義の項）に説明ありました。
Wikipedia項目ﾘﾝｸ
>>40 の後の方は、三垂線の定理だと思うのでｎ次元でも p_y~T (\sum l_i k_i) = 0 とかで言えると思います。

私がユークリッド空間の定義について書かないまま（Vectorsだから？）、標準基底やユークリッド内積などを前提に
計算してるのがいけませんが、非ユークリッド幾何学とかにも応用していきたので、定義もちゃんと書こうと思ってます。
m次元ユークリッド空間 URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

43:１３２人目の素数さん
08/06/20 19:07:38
>>35 さん的なことを調べていて、URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)　URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

より、「ルート系とはある集合の要素に対して鏡映という写像を行っても
その集合のどれかの要素となるような（集合と演算（鏡映群）が定義された）代数系」と感じました。
ワイル群はユークリッド空間の鏡映群、コクセター群はCoxeterさん独自の拡張（鏡映⊂対合など）、ティッツ系は
さらに一般化しコクセター群をユークリッド空間における鏡映として捉えれることを言ったという感じですか？
この話から正多胞体について URLﾘﾝｸ(www.geocities.jp) が詳しいと思いました。

例えば、私的に書書き換えると、n次元ユークリッド部分空間 L を張る n本のベクトル l_{x_i} = L x_i (i=1～n)について、
l_{x_i} の直交補空間に対する l_{x_j} の鏡映がちょうど l_{x_k} となるすれば、
l_{x_k} = l_{x_j} - 2 l_{x_i} l_{x_i}^T l_{x_j} / (l_{x_i}^T l_{x_i}) と書けるので、
全ての i, j, k = 1～nにおいて x_k = x_j - x_i c_{ij} (c_{ij} = l_{x_i}^T l_{x_j} / (l_{x_i}^T l_{x_i}))
となるような互いに線型独立な n次元列ベクトル x_i の n個の組を求めれば、
ユークリッド空間内の鏡映によって不変な基底 l_{x_i} = L x_i が求まる　みたいな？（長文スマソ）
（ちなみに、c_{ij}を要素に持つ行列をカルタン行列と呼び、その行列に対応する平面グラフをディンキン図形と呼ぶらしい）

そして、その解は特定の解しかないことがわかっていて、*_*型（E8型など）みたいに名前が付いている
みたいな？す、すごすぎるぜッ！群論オソロシス！とりあえず、今はどの組織にも属してないので
個人的には見たことない美しい定理や公式の宝庫である n次元単体関係についてまったりとまとめてから、
そっち系の第一線的な研究や応用について考えたいと思ってます。しかし、最近は辺心あたりでもうダメポ状態です

44:１３２人目の素数さん
08/06/21 00:47:01
>>43
>群論オソロシス！
べつにルート系の分類には群論はたいして使わないよ。
ルート系の分類は 43 さんみたいにほぼ純粋にユークリッド幾何的にできます。
むしろルート系の分類が群論に応用されます

45:１３２人目の素数さん
08/06/22 04:59:14
>>43 c_{ij} = 2 (l_{x_i}^T l_{x_j}) / (l_{x_i}^T l_{x_i})でしたし、
しかも、x_k = x_j - x_i c_{ij}の時点で線型従属だった…

鏡映の計算の定義がまちがってるのかな…鏡映を行っても回転と並進で元に戻る
（合同）となる単体（仮にルート単体とする）と定義すればありそうなのですが…

>>44 さんお詳しそうなので、何か情報をいただけるとありがたいです。

46:１３２人目の素数さん
08/06/22 06:39:04
ルート系は線形独立性は課さなくていいんですけど。
単に、n 次元空間の中の、N 本のベクトル x_1 , ... x_N で、
かってな x_i と x_j にたいして、
x_j - x_i c_{ij} ただし c_{ij} = 2 (x_j , x_i) / (x_i, x_i)
というベクトルがまた x_1, ... x_N のなかのどれかになっている、
というのがルート系の定義です。(a,b) はベクトル a と b の内積ね。
a^T b と書きたかったらそれでもいいけど。

E8 は8次元空間のなかに240本あります。

47:１３２人目の素数さん
08/06/23 20:35:57
>>46 情報ありがとうございます！ベクトルの始点は固定とか考えてました…
例えば、A_n型ルート系と呼ばれるものは、n次元正単体の n(n-1)本の全ての辺について
0点から1～n点へ・1点から2～n点へ…と向き付けすることでようやく一つイメージできた気がします。

そして、この n(n-1)本の有向辺ベクトルを無理矢理1つの始点から出るように移動すれば、
この始点を中心とするn次元半超球上にベクトルの終点となる n(n-1)点が均等に
配置されることがイメージできて、正のルート系という用語も理解できそうです。

しかし、x_j - x_i c_{ij}を再帰的に満たすことから c_{ij} が整数となることや、
これより x_iと x_jの成す角が30・45・60・90・120・（135・150？）度になると言えても、
確実に分類することは私には皆目検討もつかない状態なので、
世の中にはすごい人いるんだなぁとつくづく思った今日この頃です。

そういえば、34氏的な正多胞体のリスト発見しました→ URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)

48:１３２人目の素数さん
08/06/23 21:22:12
>>46 ま、まさか、8次元接吻数 240 は E8 からキテるんですか(((( ;ﾟДﾟ))))ｶﾞｸﾌﾞﾙ

49:１３２人目の素数さん
08/06/23 23:42:27
>>47 n次元正単体の辺の数はn(n+1)/2だった…3回も間違っとる…orz

50:１３２人目の素数さん
08/06/24 10:25:03
>>48
そうですよ。E8 格子が最密のはず。
とにかく図書館が使えるなら、Conway-Sloane の Sphere packings を借りましょう。これはすごい。

51:１３２人目の素数さん
08/07/05 14:03:04
>>50 すごい！今後の日程として、7月中旬に県一大きい本屋に行って、
前学期が終わる7月31日頃に大学の図書館に行こうと思てます。
それまでに、LaTeXでPDF形式も作れたらうｐしたいと思います。

52:１３２人目の素数さん
08/07/05 15:22:26
>>51
県一大きい本屋にも Conway-Sloane があるとは限らないきがする...
洋書の専門書って本屋の注文担当の人がランダムに決めてるとしか思えない、
東京大阪中心部の大型書店でも。
お金が余ってるなら Amazon で買うのをおすすめします

URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)

これは格子、球の充填に興味のある人は1万3千円出して絶対損はない本です

53:１３２人目の素数さん
08/07/05 16:18:56
最近は、URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp) のatwikiをいじったりしていて、
JavaScriptなしで誰でも編集できるように「このページを編集」リンクを付けたりしてました。
アクセス解析の機能はatwiki的には提供してないらしいので気軽にお願いします。

あと、URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)'s_formula のGeneralizations項の
ルートの中身の行列式に-1かけないと間違ってる気がしました。
私的に余因子総和を行列式にするなら、URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp) のように
1だけの列を-1だけの列に変えるといいと思いました。

54:１３２人目の素数さん
08/07/05 16:43:16
>>52 早速レスありがとうございます！12,595円高いけど何かめちゃくちゃ欲しいです。
この前秋葉原のヨドバシカメラ7階くらいで少し欲しかった岩波数学大辞典とかいうのが、
昔第3版くらいは5,000円くらいだったのに第4版くらいで文字が大きくなって
CDかDVDがついたらしく15,000円になってたような感じを思い出しました。

懸念事項は、私が英語不得手なこと・10年前発売なこと・ネットショッピング怖いこと・金額面という感じですが、
来週からバイト始めようと思ってた矢先なので、ちょうど買い時という自分の流れが逆に怖いです。

55:１３２人目の素数さん
08/07/06 00:09:45
>>54
本が10年前でなぜだめなの？自分の知ってる内容が50年前ぐらいの状況だったら何の問題もないでしょう。
あとアマゾンはネットショッピング最大手なので大丈夫だと思うよ。

ただやっぱり高いので、図書館でちょっと読んでからというのをおすすめしますが。

56:１３２人目の素数さん
08/07/06 15:25:19
>>55 私の新物好きや、ネットで匿名活動は、IT系から来る特殊な性癖なのだぁ（謎）
また、50年前どころか読んで理解する上での前提知識も自分は乏しい気もするので、
おすすめのように、大学の図書館に3日ぐらい引きこもってきてから、今後の応用の主軸をどこにおいて
いくか決める方向でいきます。正多胞体・充填問題・英語論文を目指すなら間違いなく買いであります！

見てくるにあたって、格子や球充填の本丸の他に、全てのルート系の例えば的な全てのベクトルの値とか、
正多胞体を形作るベクトル l_i を再帰的に l_{i+1} = X l_iのように生成する変換行列 X (X^n = E) とか、
超立体角をうまく表すためのきっかけとか、n次元単体を絡めた応用のきっかけとか得たいと思てます。
また、自分なりに調べたりわかったり思うところなど書いていきたいと思ってまう。

あと、今日中に外心のページ・今週中にk次元面心のページなどを書けば、
一応n次元単体の五心ネタは出し切れる感じしてますが、
これから動くにあたってもっと情報が欲しい的なこともあり、
近々線型代数スレかどこかでお力添えを頂けないか頼もうか考える今日このご(ry

57:１３２人目の素数さん
08/07/07 00:05:11
n次元単体の(n+1)個の頂点からのベクトルの長さの自乗和 F_G が最小となる点は重心であり、
その自乗和の最小値をベクトルの数で割った値の平方根を重均半径 r_G = √(min[F_G]/(n+1)) とすると、
ｊ点からi点への辺の長さの自乗の1/2をji成分に持つ行列（仮に辺乗行列と呼ぶ） \tilde{B} を用いて、
r_G = √(1^T \tilde{B} 1) / (n+1) と書けるような気がしてます。
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

58:１３２人目の素数さん
08/07/07 00:10:54
>>56
IT 系は dog year だから、2年前に出た本を買う人は馬鹿だというのは納得しますが、数学の発展なんて遅々としてますから、10年前の本でも全然古くないですよ。

59:１３２人目の素数さん
08/07/07 03:37:30
>>58 そういわれてみると、全くそのとおりな感じします。
数学系は著名な人や系統的にまとめられた名著は何年前のでも参照される感じします。
例えば、関孝和さんとかユークリッド原論とか思いつきました。

IT系は例えばC言語だと昔の創始者（？）のカーニハン＆リッチーとか見る人もいるけど、
実務的にはANSI Cとか新しい規格や仕様に準拠してる方を見たい感じですし。
月刊誌的にもIT系は結構買いますが、数学系は数学セミナー4月号のみ…ってそれは私の趣味か

60:１３２人目の素数さん
08/07/07 04:21:14
>>59
カーニハン=リッチーはANSI対応版も出てると思うけど ...

61:１３２人目の素数さん
08/07/07 04:55:16
n次元単体のi点(i=0～n)からi対面（i点以外のn頂点によって作られる(n-1)次元単体）
への垂線（i垂線と呼ぶ） h_i の長さは、辺乗行列 \tilde{B}・余因子行列 C・
余因子総和行列 \tilde{C}・（(n+1)列）標準基底 e_i (i=0～n)を用いて、

√(h_i^T h_i) = √((1^T C[ -\tilde{B} ] 1) / (e_i^T \tilde{C}[ -\tilde{B} ] e_i)) と書ける
ような気がします。URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

62:１３２人目の素数さん
08/07/07 05:16:23
>>60 僕的にカーニハン=リッチーといえば関数の引数を宣言と実装の間に列記する感じします。
UNIX系の昔のX Window systemの本とかで古そうなソースコードとか見たりして
生じた先入観かも。今はもっぱら流行ってないC89や難しいC++に興味ありますが、
何分私は仕事もしてない適当な人間なので。しかし今週からバイト始まるかもみたいな

63:１３２人目の素数さん
08/07/07 05:19:02
>>62 3行目「流行ってないC89」→「流行ってないC99」

64:１３２人目の素数さん
08/07/07 05:52:20
n次元単体の内接超球の半径は$$ r_I = 1/(Σ_[j=0,n] 1/√(h_i^T h_i)) $$となることから、
辺乗行列 \tilde{B}・余因子行列 C・余因子総和行列 \tilde{C}・行列 X の全ての成分
を平方根した行列 √(X)・行列の対角成分の総和（トレース） tr を用いて、

r_I = √(1^T C[ -\tilde{B} ] 1) / tr[√( \tilde{C}[ -\tilde{B} ] )] と表せると思います。
URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

なお、n次元単体の傍心は 2^n 個（内心を含む）定義できるような気がしてます。

65:１３２人目の素数さん
08/07/07 06:08:45
>>62
C++0x いいよね。
function( [&](){return 0} ):
みたいなかんじ。

66:１３２人目の素数さん
08/07/07 06:35:41
>>65 C++0x キターー（・∀・）ーー！！
いつのまにこんなすごいものできてたんですか…全然知りませんでしたよ…
やりてー

67:１３２人目の素数さん
08/07/07 06:35:59
>>65
>　function(　[&](){return　0}　):　

なにこれ？

68:１３２人目の素数さん
08/07/07 07:13:31
Closure というか λ 式というか、C++ 的には無名局所関数オブジェクトです。
URLﾘﾝｸ(www.open-std.org)

69:１３２人目の素数さん
08/07/08 04:24:50
>>68 ざっと見てポカーンでした！クロージャやラムダ式は敬遠ッ敬遠です！
無名シリーズといい、やっぱり、C++って難しいスね。。
IT系は、gcc4とかHTML5とかしばらく見ないうちに超展開しててびっくり人間。

70:１３２人目の素数さん
08/07/08 05:03:57
今日は角心、明日は外心、週末にk次元面心について書くことにした、うん。
そこで、ある点からn次元単体の1辺を見込む角度の余弦が等しく - 1 / n となる点を
n次元単体の角心（等角中心・特に2次元ではフェルマー点とも呼ばれる）と仮に呼びます。

URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp) のような計算により、n次元単体の0点から角心
への方向ベクトルを解くことは、n次元単体を作るn本の方向ベクトルのうち2本 l_i, l_j を使った
n次元単体の0点から角心への自乗距離 R_F についての4次方程式を解くことに帰着できそうです。

特に、その2本のベクトルの長さが等しい場合は、式が2次(1次)^2=0の形に因数分解できるし、
また、n=2の三角形の場合には、R_Fについての3次方程式になりそうです。
n=2でその2本のベクトルの長さが等しい場合について、当たってそうなことを確認しました。
あと、もう1回ぐらいブレイクスルー起きればいい式に書ける気がしてます。

71:１３２人目の素数さん
08/07/08 06:10:04
一番上から読み返してましたが、超わかりづらい…
でも、この分野はけっこう新規性があるものが眠ってる気が個人的にするんだ…

例えば、n次元単体の外接超球の半径 r_O は、
n次元単体のｊ点とi点(j,i=0～n)との距離の自乗値の 1/2 を
ji成分に持つ行列（仮に辺乗行列と呼ぶ） \tilde{B} を用いて、

r_O = 1 / √(1^T \tilde{B}^{-1} 1) と書けると個人的に予想していて、
ちゃんと証明できたらすごいことだと個人的には思ってるんだ…

72:１３２人目の素数さん
08/07/09 05:58:37
外心について少し書きました URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

>>32 の論文（？）にある地道な計算式からは、どうも >>71 の予想に持っていけないので、
n次元単体の体積を外心とi対面で作られる(n+1)個のn次元単体の体積の和差と
関連付けて成り立つ関係式（仮に外心分積定理と呼ぶ）でなんとかしようとしてます。

73:１３２人目の素数さん
08/07/09 06:20:34
外心のページの外心分積定理の項で出てる、外心から i対面への垂線 h_i \alpha_i
について \sum_{i=0}^n \alpha_i = 1 となるという関係式は、分面心座標
（2次元の場合、三線座標と呼ばれるもの）関係の何かの総和みたいなのが
常に 1となるとかを先に言って、それを用いればはしょれるしわかりやすいと思った。

74:１３２人目の素数さん
08/07/11 06:27:37
>>72 の外心分積定理において p_i の係数についてだけ考えれば、
\alpha_i = (\tilde{c}_i^T \tilde{b}_\sigma) / (\tilde{c}_i^T \tilde{e}_i h_i^T h_i)
と書けると思った。

75:１３２人目の素数さん
08/07/13 10:51:44
k次元面心について少し書きました URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

* n次元単体のk次元面心の定義

n次元単体の(k+1)個（k=0～n-1）の頂点で作られる全てのk次元平面との距離が等しい内部点をk次元面心と呼ぶ。
n次元単体においてk次元面心から(k+2)個の頂点で作られる(k+1)次元単体面への垂線の足は
その(k+1)次元単体の内心となる。逆に言えば、n次元単体の内部にある(k+1)次元単体面についてその内心を通る
(n-k-1)次元直交補空間の$$ {}_{n+1} C_{k+2} $$通り全てが一点で交わるとき、そこがk次元面心となる。

どんなn次元単体でもk次元面心が存在すれば唯一であり、
(n-1)次元面心は内心として常に求まり、0次元面心は後述の外心として常に求まるが、
k=1から k=n-2までの k次元面心が存在する n次元単体は特別な場合に限られる。
例えば、n次元正単体の場合はk=0から k=n-1までの k次元面心が全て同じ点として唯一求まる。

76:１３２人目の素数さん
08/07/14 07:10:29
>>74 にあるように \alpha_i = (\tilde{e}_i \tilde{C}[P^T P] \tilde{b}_\sigma) / v^n
としか考えられないけど、\sum_{i=0}^n \alpha_i = 0 \neq 1 だと思うので、うーん…
今日は分面心とi対面によってn次元単体の体積を(n+1)個に分けたときを考えたいと思います。

あとできるとしたら(n-2)次元面心と1次元面心の存在する条件と解を求めるくらいで、
ここら辺が今の俺の限界ラインなので、今週は図とPDFに力を入れたいけど、
バイト暇なし的な感じで萎えー線型代数スレも過疎ってるなぁー

77:１３２人目の素数さん
08/08/14 17:37:41
リアルで真面目に働いてて放置プレイしてました。
そして、久々に大型連休キターと思ったら、図書館も休みだった…

とりあえず、このスレやまとめサイトがGoogle検索では結構上に出てくるー
しかし、過疎ってるー17日までにいろいろがんばろうっと… という保守。

78:１３２人目の素数さん
08/09/11 15:04:21
元気？

79:１３２人目の素数さん
08/09/14 15:35:42
元気じゃないよー最近はmixiを試したりしてた（謎）
早くレポート的なものを作って大学や図書館に行きたいぉ

あと、i点・○心を通る直線とi対面の交点（i○足）が作る単体（仮に○足単体と呼ぶ）や、
(n+1)通りあるi対面の○心で作られる対面○心単体（仮）の諸性質を考えると、
あと2倍は楽しめると思ったけど、難しいし時間がないしなぁー

まず、もっとちゃんとまとめるべきか、拡張させるか、新しい方向に行くか、迷ってる。
とりあえず、今は垂足単体の内心が元の単体の外心になるような気がして、気になってる。

80:１３２人目の素数さん
08/09/14 17:51:04
例えば、重足単体は対面重心単体であり、元の単体がひっくり返って相似比ｎ：１
となるような単体となり、位置行列Pで表すとP (1 1^T - E) / n となる図形であるとか。

また、垂心がある単体（等内積単体）の垂足単体は等内積単体となるのか？
など、アイディアや考え方によって興味あるネタ満載な気がするのですが、
誰かやってくれないですか？私もおいおいやっていきますので…

81:１３２人目の素数さん
08/09/14 18:28:42
>>79 の○足単体の定義では、垂心が定義できない単体では
垂足単体が定義できなくなる気がしるなぁ。

i垂線とi対面の交点をi垂足としたいので、重線・内線・傍線・外線を定義するとか…
傍線とか○心が単体の外側にある場合、まだ想像できないなぁー

●心から i○線方向に行って i対面と交わる点を i●○足とすれば、
●○足単体が定義できそうな気もするけど、今はまだ考えちゃダメな気がする。うん。

82:１３２人目の素数さん
08/10/15 23:04:59
えーもう1ヶ月かーはやいなぁー（汗）

シムソン超平面については正四面体で考えてたら
ならなさそうなことがわかりました。けど、何かあるとしたら
外接超球上の点の関係だよなぁーと思ってますぅ…

バイトとかやってる暇じゃねー、レス付くのが早いか、辞めるのが速いか（謎）という保守。

83:１３２人目の素数さん
08/10/16 09:14:38
すごい

84:１３２人目の素数さん
08/10/16 22:28:15
やべぇ、83さんレス速すぎッ（汗
僕はバイト辞めるんだ、ゼッタイ辞めるんだ…

85:１３２人目の素数さん
08/10/17 19:13:56
>>82 について、n次元単体にその外接超球上の1点を加えて作られる複体を考えると、
トレミーの定理関係の拡張とかで、超球内接複体定理みたいなのができる気がする。。

n次元単体 P の外心 p_O と外半径 r_O および外球点 p_X について成り立つ
(p_X - p_O)^T (p_X - p_O) = r_O^2 という式をトレミーっぽく変形していくと…
つまり、辺乗行列Ｂの式で表すように持ってけばいいのか…むずい… やりてー！

86:１３２人目の素数さん
08/10/18 00:14:21
i=0～n, j=0～n, b_{ij}=(p_i - p_j)^T (p_i - p_j), b_{(n+1)(n+1)} = 0,
b_{i(n+1)}=b_{(n+1)i}= (p_X - p_i)^T (p_X - p_i) としたとき、
b_{ij}（i=0～(n+1), j=0～(n+1)）をi行j列の成分に持つ
(n+2)×(n+2)行列を拡大辺乗行列 \tilde{ \tilde{B} } と呼ぶ。

これをふまえて、>>85 の感じで考えると、n次元単体と
その外接超球上の1点で作られる拡大辺乗行列について、
\det[ \sqrt[ \tilde{ \tilde{B} } ] ] = 0 みたいになると予想できる。

っていう、我ながら激しく怖ろしい発想をしてしまった…
符号さえあわせれば、トレミーの定理にはなる気がする。
3次元以上はまだ想像すらできないけど… っていうか何かあるならすげぇ

87:１３２人目の素数さん
08/10/19 02:04:11
¥det ¥sqrt って ¥sqrt ¥det と等価だとおもうんだけど。
ふつうの数学の定義では。
¥sqrt A = B なら A = B.B 、行列のかけ算として、なので。
成分毎に ¥sqrt するということ？

88:１３２人目の素数さん
08/10/19 20:19:33
>>87 さん、レスありがとうございます！

行列のルートは、私的に成分毎のルートと言う意味で定義なしに使ってしまいました。
構想段階だったのと、↓の内接・傍接超球の半径のページで使っていたので、
配慮無くすいません。URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)

使った理由としては、行列にルートかけた式を個人的に見たことなかったし、
行列式やトレースかける前に成分毎にルートかける需要が私的にあったので、
ここでは行列にルートかけると成分毎のルートするということにしたいのですが
いかがでしょうか？個人的に他にいい書き方が思いつかなかった…

89:１３２人目の素数さん
08/10/19 20:43:49
しかも、>>86 なんかは、二乗して\tilde{ \tilde{B} }の成分になればいいという意味で
配慮無く\sqrtを使い、+か-か成分ごとの符号は後でコジツケようとしていましたが、
いろいろ符号変えてトレミーの定理の式にしようとしたけど出来ませんでした。

ここは視点を変えて、>>85 の式が (l_X - l_O)^T (l_X - l_O) = r_O^2 = l_O^2 とも書けて
l_X^T l_X = 2 l_X^T l_O であることから、b_{i(n+1)}=b_{(n+1)i}= (l_X - l_i)^T (l_X - l_i) で
この式を b について書き換えることで、きれいなＢの式に持って行きたいと思っています。

手がかりは、0点から外接超球上の一点（外球点と呼びたい）へのベクトル l_X と、
0点から n+1個あるn次元単体の i番目の点（i点）へのベクトル l_i を交換しても、
同じ式になる（個人的にはサイクリックになるとか呼んでる）ことなので、使いたいです。

90:１３２人目の素数さん
08/10/19 21:35:24
あと、行列のトレースは今 \tr で書いていますが、正方行列 X の対角成分以外を0にした
対角行列を \Sigma[ X ] で表すとすれば、成分が 1 のみのベクトル \bm{1} に対し、
\tr[ X ] = \bm{1}^T \Sigma[ X ] \bm{1} とよくある形で書きたいと考えています。

これは、内接・傍接超球の半径などで対角成分に符号を付けてからトレースする需要
があるのですが、上記を用いると、成分が +1 か -1 の符号ベクトル \delta に対し、
\tr[ X \Sigma[ \delta ] ] = \bm{1}^T \Sigma[ X ] \delta とうまく書けるからです。
（ここで、\Sigma[ \delta ] は、\deltaの成分を対角成分に持つ対角行列とする）

あと、>>87-88 についてですが、正方行列 A, B に対して
A A = A^2 = B となるときは A = B^{1/2} で表そうとしてました。

私的な知識不足もあり、標準の記号からいろいろ紆余曲折あって記号を
変えてしまったりしてしまっていますが、逆にわかりづらくてすいません。

91:１３２人目の素数さん
08/10/25 12:37:37
今思いついた感じでは、行列式 \det のi行j列の各項ごとに付く符号
\delta_{ij} = (-1)^{i+j} を変えて、歪対称行列のように対角成分をはさんで
上三角部分が＋で下三角部分が－となる符号が付く変形行列式を
仮に \sdet とでもすれば、\sdet[ \sqrt[ \tilde{ \tilde{B} } ] ] = 0 が成り立つと思た。

しかし、仮に1次元でトレミーの定理ッぽいものを考えるとすれば、
一直線上に3点あるときの式と思うので、でそれそれの辺の長さをa, b, cとすると、
一般式が1次元の場合において(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=0 という式になる
とも考えられます。1次元の場合は球じゃないから除外でいいのかなぁー

あれっ、今更だけど普通トレミーの定理ってどうやって出すんだっけ…？
この土日で 89の方法とかで3次元以上もちゃんと詳しく理論付けしたいです。

92:１３２人目の素数さん
08/10/25 13:17:07
ｎ次元サイコロのまわりに最短直線を描いたとき、その展開図を書きなさい。　１０点
ｎ次元円錐の体積を求めなさい。　５点
ｎ次元空間でオイラー数の式を作りなさい。　3点

93:１３２人目の素数さん
08/10/25 13:41:56
１→シュタイナー木の問題？（ｎ次元単体サイコロなら角心関係）
２→ｎ次元超球とその外の１点で作られる図形（ｎ次元超球錘と呼びたい）として
∫_0^(超球の中心とその点の距離 x) （ｎ次元超球の体積（半径は適に）） dx みたいな？
３→超球体と同相なn次元複体なら（n次元単体の数）-（(n-1)次元単体面の数）+…（頂点の数）＝２？忘れたー

今から仕事行って来るから、後で詳しくやるわーっていう逃げ

94:１３２人目の素数さん
08/10/25 18:06:10
>>92 まず、「ｎ次元サイコロのまわりに最短直線を描いたとき、その展開図を書きなさい。」についてですが、
正n次元単体の(n-1)次元対面や2次元面（正三角形）を展開した図が私的に思い浮かびませんが、
「n次元単体の表面において0点から出発して0対面の重心を通りまた0点に戻ってくる最短距離を求めよ」
とか「n次元単体をその0点と0対面の重心を通る超平面で切った切り口の超体積について最小最大値を求めよ」
とかなら少し興味あるかも。。

希望的観測で題意を意訳して、「n次元単体を作る(n+1)点を結ぶ最短経路を求めよ」という問題だとすると、
そのn次元単体のi点（i=0～n）からそのn次元単体の角心へ引いた(n+1)本の線分がその答えと思う。
まだ証明できんし角心も4次方程式を解く所まで URLﾘﾝｸ(www7.atwiki.jp)
しか出してないっス。その時の合計の最短距離は↑をふまえると、全ての角が cos \theta < -1/n
となるとき \sqrt{R_F} (1 + Σ_{i=1}^n t_i) でいいと思うが、角が cos \theta ≧ -1/n となるものが
ある場合どうなるかわかりません。先は長いなぁー

95:１３２人目の素数さん
08/10/25 18:08:26
>>94 cos \theta ≧ -1/n の所の不等号逆でした。

96:１３２人目の素数さん
08/10/25 18:53:42
>>92 次に、「ｎ次元円錐の体積を求めなさい。」についてですが、
半径 r の n次元超球とその中心から n次元超球があるn次元部分空間ではない
方向へ距離 d の所にある1点で作られるn次元超球錘の体積 V_{rd} は、

V_{rd} = ∫_0^d (π^(n/2)/Γ(n/2 + 1)) (x r/d)^n dx = (π^(n/2)/Γ(n/2 + 1)) r^n d/(n+1)

であり、元の n次元超球の d/(n+1) 倍となる（一瞬で気付けなかった俺って…）。

半径 r の n次元超球とその中心から n次元超球があるn次元部分空間のどこかの
方向へ距離 d の所にある1点で作られるn次元アイスクリーム型の体積も求めたいな。
後々、n次元単体角みたいな超立体角を定義するとき必要となりそうだなぁー

97:１３２人目の素数さん
08/10/25 19:48:21
>>92 最後に、「ｎ次元空間でオイラー数の式を作りなさい。」についてですが、
Wikipediaの「多胞体」のページがヨカッタのでリンク張ります。
Wikipedia項目ﾘﾝｸ

超球と同相なn次元複体のオイラー標数χ について、そのn次元複体を単体分割して
得られるそれぞれの i次元単体(i=0～(n-1))の数を a_i とすれば、シュレーフリの
n次元公式より χ=Σ_{i=0}^(n-1) (-1)^i a_i = 2（nが奇数） or 0（nが偶数）だと思います。
超球と同相なというと4次元での exoticな多様体とか少し気になりましたが、関係ないよね。

>>92 さんありがとうございます！とても興味深い問題です。
今の私的には上記な感じですが、解答・ご意見・レスお待ちしております。。

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