★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問 at MATH

425:１３２人目の素数さん
08/02/16 21:36:12
>>365
数行でサクッとは無理だが…

　n! = ∫[0,∞) exp(-x)･x^n dx = ∫[0,∞) f(x)dx,　　(オイラーの積分)
を使ったものを以下に示す。

まづ f(x) の極大点(x=n)の近くでは正確にしたいので、log(f(x))を x=n のまわりでテイラー展開する。
　log(f(x)) = log(f(n)) -(x-n) + n･log(1 + (x-n)/n)
　　　　= log(f(n)) -(√n)y + n･log(1 + (y/√n))　　　　　(← y=(x-n)/√n: normalize)
　　　　= log(f(n)) -(1/2)y^2 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 +……
　　　　= log(g(y)),
　n! = (√n)∫[-√n, ∞) g(y)dy,
ここに
　g(y)= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･exp{ (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 + ……}
　　　= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･{1 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 +[1/(18n) -1/(6n^2)]y^6 + …},

yの偶数乗の項は(-∞, ∞)の積分で近似し、yの奇数乗の項は無視しよう(*)。
　I_(2k) = ∫(-∞, ∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = 2∫[0,∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = (2k-1)!!･I_0,
　I_0 = I_2 = √(2π),　I_4 = 3I_0,　I_6 = 15I_0,
これを代入して、
　n! ≒ g(0)√(2πn)･{1 +1/(12n) +…} = n^(n+1/2)･√(2π)･exp(-n +1/(12n) +…),
　g(0) = f(n) = (n/e)^n,

(*) yの奇関数の積分では、[-√n, √n] の部分が消え、 [√n, ∞) の部分が残る。
　∫exp(-(1/2)y^2)･y^3･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^2 +2) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n+2) << 1,
　∫exp(-(1/2)y^2)･y^5･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^4 +4y^2 +8) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^2 +4n+8) << 1,
　∫exp(-(1/2)y^2)･y^7･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^6 +6y^4 +24y^2 +48) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^3 +6n^2 +24n+48) << 1,
これらは、nが大きくなると迅速に減衰するので、無視できると思うよ。

URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)スターリングの近似
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
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