★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問 at MATH

352:１３２人目の素数さん
08/02/07 02:34:13
>>302-303

B(n) = 1/{A(n)}^2 とおいて、B(n)→∞ を示す。
　|A(n)| < |A(n-1)| < …… < |A(2)| < |A(1)|≦1,　(狭義の単調減少),
ところで
　sin(x) < x -(1/6)x^3 +(1/120)x^5 < x -(19/120)x^3, (x>0)
　sin(x)^2 < x^2 -(19/60)x^4 +(1/30)x^6 < x^2 -(17/60)x^4,
よって A(n)=a とおくと
　B(n+1) - B(n) = 1/{sin(a)^2} -1/a^2
　　= {a^2 - sin(a)^2}/{a^2･sin(a)^2}
　　> {a^2 - sin(a)^2}/a^4
　　> 17/60,
　B(n) > B(1) +(17/60)(n-1) →∞　(n→∞)
∴ A(n) → 0　(n→∞)
でいいかな？

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