★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

★東大入試作問者にな ..

263:１３２人目の素数さん
08/01/29 11:58:50
>>261
じゃあ0であることを証明してみろよ

264:１３２人目の素数さん
08/01/29 12:22:37
複素数の範囲だと x^y=exp(2πk/t-(1+t^2)i) となって
k = -[t]t ていう風にとれば x^y → 0 にはなるんだよな。
こう考えていいもんかどうかは知らんけど。

265:261
08/01/29 12:30:35
>>263
0^1=0 と主張した覚えはないが？

266:１３２人目の素数さん
08/01/29 12:41:36
>>257
>普通に0であることが証明できるが。
>普通に0であることが証明できるが。
>普通に0であることが証明できるが。

まさか今さら別人だというつもりじゃないだろうな？

267:１３２人目の素数さん
08/01/29 13:08:01
複素数の範囲では |x| > 0 に対して x^y = e^(ylogx) と定義される
これは、指数関数の周期性より、log の多価性に依らず一意に定まる
でもこれは x = 0 の場合を含んでいないから、x = 0 の場合は別に定義しなくてはならない
n を正整数とすれば 0^n = (0をn回かけたもの) = 0 と解釈するのが自然な気がする

268:１３２人目の素数さん
08/01/29 13:10:12
任意の実数 p に対して
x(t) = exp(1/t+2π[t]i)
y(t) = 1 + i p/(2π[t])
と定義すると
lim[t→∞] x(t) = 1
lim[t→∞] y(t) = 1
x(t)^(y(t)) = exp((1/t + 2π[t]i)(1 + i p/(2π[t])))
= exp(1/t-p + i(2π[t]+p/( 2π[t]t)))
→ exp(-p)
で、1^1 が任意の値 p に収束するって言うのは ok?

269:１３２人目の素数さん
08/01/29 13:22:13
x^y の定義に極限持ち込むのは変だろ常考

270:１３２人目の素数さん
08/01/29 13:27:45
今のスレになって急に議論が増えたな

271:267
08/01/29 13:47:44
一意に定まらないよね、ごめんね

272:261
08/01/29 19:05:03
>>266
別人

273:１３２人目の素数さん
08/01/29 21:22:48
△ABC の外接円において、点 A の存在しない側の弧 BC の中点を D、
点 B の存在しない側の弧 CA の中点を E、点 C の存在しない側の弧 AB の中点を F とする。
△ABC と △DEF が合同となるための、 △ABC が満たすべき必要十分条件を求めよ。

274:１３２人目の素数さん
08/01/29 22:52:20
>>243
　(与式) = (x-a)^3 -3x-1 =0,
x=g(a) が正の実数解ならば、
　a = g(a) - {3g(a)+1}^(1/3) = h(g(a)),
ここに
　h(b) = b - (3b+1)^(1/3),
は g(a) の逆関数である。
h(b) は単調増加, h '(b) >0　　(b>0)
h(b) は下に凸, h "(b) >0　　(b>0)
∴g "(a) = h "(b) /{h '(b)}^3 > 0,

275:１３２人目の素数さん
08/01/29 23:11:38
>>180
cos の3倍角公式より
　4cos(π/9)^3 -3cos(π/9) = cos(π/3) = 1/2,
したがって
　a = 1 + 2cos(π/9) = 2.879385241572… は次式の根。
　x^3 -3x^2 +1 =0,
他の2根をb,c とすると
　b = 1 + 2cos(7π/9) = -0.532088886238…
　c = 1 + 2cos(13π/9) = 0.652703644666…
いずれも絶対値が1より小さい。nが大きいとき
　a^n ≒ a^n + b^n + c^n = S_n,
S_n は対称式だから、基本対称式の整係数の多項式である。
基本対称式は根と係数の関係から、
　s = a+b+c =3,　t = ab+bc+ca =0,　u = abc = -1,
　S_0 =3,　S_1 =s,　S_2 = s^2 -3t,　S_n = s*S_(n-1) -t*S_(n-2) +u*S_(n-3),
nについての帰納法により
　n≡0,1 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 3 (mod 9)
　n≡2,5 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 0 (mod 9)
　n≡3,4 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 6 (mod 9)
S_2008 ≡ 6 (mod 9)　より,
答え 5.

276:274
08/01/29 23:20:39
274の続き

　g "(a) = －h "(b)/{h '(b)}^3 < 0　…… 上に凸.
よって、Jensenの定理より求める式を得ますだ。

277:１３２人目の素数さん
08/01/30 00:12:36
g''(a)が存在することを示せれば、
g(a)^3-3ag(a)^2+3(a^2-1)g(a)-a^3-1=0をaで2階微分し
g(a)>a+1をつかって、直接g''(a)<0がでますね。

278:１３２人目の素数さん
08/01/30 06:50:08
放物線y=ax^2+cは準線に平行に入射してきた光を一点に集束させることを証明せよ
ただし入射角は反射角に等しいことは用いてよい。

279:１３２人目の素数さん
08/01/30 07:08:10
準線に平行に入射する方法が分からない。

280:１３２人目の素数さん
08/01/30 07:09:59
そうか準線に垂直に入射だな

281:１３２人目の素数さん
08/01/30 09:05:57
そんな有名問題を東大が出すわけがない。

282:１３２人目の素数さん
08/01/30 09:57:47
>>274
よくこんなの思いつくな。でもこんな問題が入試ででたら誘導つきそう

283:１３２人目の素数さん
08/01/30 10:32:00
陰関数の二階導函数使えば一発やがな

284:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/30 10:58:10
>>282
幾何的に解く方法もありますし，そこまで難問じゃないですよ．

285:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/30 15:39:20
平面上に正三角形ABCがある．3本の線分AP,BP,CPの長さを3辺にもつ三角形が存在するとき，Pの存在領域を図示せよ(どのような範囲か説明してください)．

286:１３２人目の素数さん
08/01/30 17:29:20
外接円の円周上以外

287:１３２人目の素数さん
08/01/30 21:52:03
>286
　外接円とその外部、と言いますだ。

288:１３２人目の素数さん
08/01/30 22:00:04
思いついたので書いてみます。どこかの大学で既出な気がしますが。

関数列f_n(x)を、次により定める。
f_0(x)=logx
f_n+1(x)=∫f_n(x)dx （ただし、積分定数は0とする）
f_nを求めよ。

289:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/30 22:31:43
nは正の整数とする．xy平面上にA(0,0),B(2^n,0),C(2^n,1),D(0,1)を4頂点とする長方形の紙がある．
この紙を直線x=2^(n-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる．
この新たにできた長方形を直線x=2^(n-2)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる．
このようにして，k回(k=1,2,…,n-1)折ってできた長方形をx=2^(n-k-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくっていく．
そして，n回折った後に紙を元通りに広げると，山型の折り目がついている箇所と谷型の折り目がついている箇所ができる．
(1) 谷型の折り目の個数をnで表せ．
(2) 3以上の任意のnにおいて，x=i,i+1,i+2,i+3(1≦i≦2^n-4)における折り目がすべて同じ形となるような整数iは存在しないことを示せ．

290:１３２人目の素数さん
08/01/30 23:03:46
本番で出たら、問題冊子のメモ部分が蛇腹な人が続出だな

291:１３２人目の素数さん
08/01/30 23:33:57
>>289
東大っぽくて面白いけど問題用紙折ったら答え分かっちゃうね
論証難しそうだけど

292:１３２人目の素数さん
08/01/31 01:09:07
>>289
こういう問題が好きだ。
ただ、ケチをつけると、紙を何回も何回も折るというのは非現実的で、
「無理だろｗ」って突っ込みたくなる。

「ただし、紙の厚みは無視でき、紙は何回でも折ることができるものとする。」
みたいな注意書きがつきそう。

293:１３２人目の素数さん
08/01/31 08:51:58
>>285
一般の三角形で計算しようとしたらわけわからない３痔曲線の地獄が待っていただけだった

294:１３２人目の素数さん
08/01/31 21:39:57
>288
思いついたので解いてみます。どこかのスレで既出な気がしますが。

　f_n(x) = (1/n!)(x^n){log(x) - (1 +1/2 + 1/3 + …… + 1/n)},

295:１３２人目の素数さん
08/02/01 00:24:23
みんな新数学演習やってるか？

296:１３２人目の素数さん
08/02/01 12:50:14
やったけどやる必要なかった気がする

297:１３２人目の素数さん
08/02/01 14:41:23
sin【A（n）】＝A（n＋1）、A(1)＝sin【θ】とするとき
limA(n)　（n→∞）を求めよ。

298:１３２人目の素数さん
08/02/01 15:11:39
>>297
0
宿題？

299:１３２人目の素数さん
08/02/01 15:44:06
>298
証明は?

300:１３２人目の素数さん
08/02/01 15:49:28
Integrate[{30-5*exp(-t)}^(-1.5),t]
の積分の解法を教えて下さい。。。

301:１３２人目の素数さん
08/02/01 16:34:43
>>299
|x|≧|sinx|を利用
下に有界
簡単杉で東大じゃでねー

302:１３２人目の素数さん
08/02/01 18:53:27
極限値が存在するから x = sin x って高校の範囲でやっていいんだっけ？

303:１３２人目の素数さん
08/02/01 19:06:23
ほぼ黙認状態じゃね？
大数も堂々と使ってるし

304:１３２人目の素数さん
08/02/01 20:30:11
新数学演習の整数問題半分くらいじりきでとけないんだが(泣)

305:１３２人目の素数さん
08/02/01 20:38:14
>>304
慣れだ慣れ。知識が増えてそれが繋がって新しい結果が生み出せる

306:１３２人目の素数さん
08/02/01 20:57:43
>>289　ﾏﾀﾞｰ？

307:１３２人目の素数さん
08/02/01 21:49:23
ラマヌジャンの1729の証明って出来ますか？

308:１３２人目の素数さん
08/02/01 22:17:40
このスレの住人ができるはずがない・・・
　　　　　　　　　 Λ＿Λ . . . .: : : ::: : :: ::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::
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309:１３２人目の素数さん
08/02/01 22:35:38
1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 とかいう話？

310:１３２人目の素数さん
08/02/01 23:02:54
それですそれ!!
証明って出来ますか？
因みに二通りの二つの立法の和で表せる最初の数らしいです。

311:１３２人目の素数さん
08/02/01 23:32:29
計算オタクのラマヌジャンの証明をこの板のレベルに求めるかよ

312:１３２人目の素数さん
08/02/01 23:36:21
91 = 6^3 + (-5)^3 = 4^3 + 3^3　は？

313:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:23:37
>>310正のがぬけてた

314:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:31:23
いろんな奴からきくんだが新数学演習完璧にしたら東大八割はいけるのかな？
まだｾｸｼｮﾝ3と1と2と15だけやってないんだが1をきょうやってて失望した(笑)

315:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:38:36
完璧にしたらたぶん8割いけるよ～
逆に言えば、8割取れたら、それは完璧にしたという証だｗ

316:１３２人目の素数さん
08/02/02 00:43:34
>>314
俺も初めて見たときは泣きそうになった

317:１３２人目の素数さん
08/02/02 02:52:19
１＾２＋２＾２＋・・・＋ｎ＾２が平方数となる１以外の自然数ｎをすべて求めよ。

318:１３２人目の素数さん
08/02/02 19:09:36
新数演なんて難しいわけではないでしょ。
それに東大も後期はともかくとして前期はそれほど難しいわけではないだし、8割は余裕だろ

319:１３２人目の素数さん
08/02/03 02:09:22
『任意の自然数nがあるとき、それが奇数ならば2m-1（m≧1）をかけ1を足し、
偶数なら2で割る。この操作によって数列は有限回のうちに1に到達する。』
以上の命題がm≧3の時は成り立たないことを証明せよ。

320:１３２人目の素数さん
08/02/03 05:30:41
>>314
昔はもっと難しい新作理系なんらたってのがあった
当時新数学演習は標準レベル扱い

321:１３２人目の素数さん
08/02/03 13:55:14
>>300
　1 - (1/6)exp(-t) = v^2　とおくと dt ={2v/(1-v^2)}dv,
　(与式) = {1/(30√30)}∫2/{v^2(1-v^2)} dv
　　　= {1/(30√30)}∫{2/v^2 + 2/(1-v^2)} dv
　　　= {1/(30√30)}∫{2/v^2 + 1/(1+v) + 1/(1-v)} dv
　　　= {1/(30√30)}{-2/v + log|(1+v)/(1-v)| } +c,
ここに v = √{1-(1/6)exp(-t)}.

322:１３２人目の素数さん
08/02/03 19:06:40
実際問題理Ⅲでなければ半分も取れたら受かる（他が普通にできればの話だが）
東大に限っては数学はそこまで重要ではない

京大東工大などでは理系の最重要科目なんですが

323:１３２人目の素数さん
08/02/03 20:21:08
自分理科三類志望なんでwwちなみに国語がしんでますwww

324:１３２人目の素数さん
08/02/03 20:22:13
新作理系なんたらってのは今うってないのですか？

325:１３２人目の素数さん
08/02/03 20:29:31
>>319
それ、解決されている問題なのか？

326:１３２人目の素数さん
08/02/04 01:38:52
>>324
売ってません。

327:１３２人目の素数さん
08/02/04 11:23:08
>>307,309
fortranか何かでコードを書いて虱潰しに調べれば出来るのでは？
1から1728まで調べればいいのですから。

328:１３２人目の素数さん
08/02/04 18:17:53
悔しいけどそれで出来そうだね

329:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/04 18:30:03
n，p，qは正整数であり，p，q，pqは平方数ではないものとする．f(x)はxについてのn次の整数係数多項式であり，方程式f(x)=0は√p+√q+√(pq)を解にもつ．このとき，nの最小値を求めよ．

330:１３２人目の素数さん
08/02/04 21:26:03
>>327
自分の手でやってもたいして時間はかからない

331:１３２人目の素数さん
08/02/04 22:36:15
x^3+y^3 = z^3+w^3 の一般解を求めろっつうんじゃないの？
ラマンヌジャンはそこまでやってないだろうけど。

332:１３２人目の素数さん
08/02/05 00:49:50
>>329
4次。理由も容易。馬鹿大クラス。

333:１３２人目の素数さん
08/02/05 00:55:26
えー

334:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:30:00
>>329
x=√p+√q+√(pq)を根に持つ多項式の一つは
g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x-1)^2で与えられる
g(x)=0の解はx=√(pq)±|√p-√q|, -√(pq)±(√p+√q)であるが
p，q，pqは平方数ではないのでg(x)=0の解は全て無理数である
従ってg(x)は有理数係数の一次式を因数に持たない・・・(*)
他方、g(x)は整数係数の四次の多項式である・・・(**)
(*)と(**)からn<4の候補はn=2のみ
しかしg(x)=0の解の中で整数整数の二次方程式の解になるものはない
従ってn≧4となり、nの最小値は4である

335:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:30:41
>>332
実際東大ででたら今のゆとりは半数が論証できないと思われ

336:334
08/02/05 01:35:37
おっと、xの恒等式とみてf(x)=0とすればdeg f = 0 となるな（定義にも依るけど）
f(x)は任意の複素数αに対してf(α)=0となるから、nの最小値は0となるよ

337:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:39:55
>>336
方程式って書いてあるのに恒等式扱いってｗ

338:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:44:24
今月の問題　は返答くれないの？

339:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:47:21
>>337
恒等的に0って意味かとi.e.ゼロの多項式f

340:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:49:43
恒等式と多項式と方程式が文脈から判断できない337涙目ｗ

341:１３２人目の素数さん
08/02/05 01:52:56
おまいら
それ以前にnは正整数だぞ

342:334
08/02/05 01:58:05
>>341
見逃してましたありがとうございます
>>337
日本語が不自由でごめんなさい

343:１３２人目の素数さん
08/02/05 02:22:24
＞g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x-1)^2で与えられる

＞g(x)=0の解はx=√(pq)±|√p-√q|, -√(pq)±(√p+√q)であるが

間違い。

＞p，q，pqは平方数ではないのでg(x)=0の解は全て無理数である

＞しかしg(x)=0の解の中で整数整数の二次方程式の解になるものはない

証明が必要。（整数整数？）

344:１３２人目の素数さん
08/02/05 02:42:16
>>343
指摘ありがとうございます
正しくは
g(x)=(((x^2)+pq-p-q)^2)-4pq(x+1)^2
x=√(pq)±(√p+√q), -√(pq)±|√p-√q|
ですね。後半は、整数整数は整数係数の間違いで
証明は解と係数の関係から得られます

345:１３２人目の素数さん
08/02/05 04:18:33
普通、f(x-1)=0がx=(√p+1)(√q+1)を解にもつことを利用して解くんじゃないか。

346:１３２人目の素数さん
08/02/05 16:25:57
>>329
p=q=2の時、n=2

347:１３２人目の素数さん
08/02/05 17:18:14
pqは平方数じゃない

348:１３２人目の素数さん
08/02/05 18:34:52
問題読まないやつ多いな

349:１３２人目の素数さん
08/02/05 18:36:41
ゆとり

350:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/06 15:24:52
a，b，cを
　a=x+y+z
　b=x^2+y^2+z^2
　c=x^3+y^3+z^3
と定める．絶対値が1より小さい任意の実数の組(x,y,z)に対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
　|a^3+6a-3ab+2c|＜3|a^2-b+2|

351:アナーキストこん
08/02/07 02:18:12
ふつーに解と係数の関係とたんてんの条件ででできるんじゃ？
あと理系の掲示板でみたんだがこれは恐らく入試にでるかもです
δX／δt=９X＋10yかつ
δy／δt=-３X-2yであるとき X yの方程式をもとめよ

352:１３２人目の素数さん
08/02/07 02:34:13
>>302-303

B(n) = 1/{A(n)}^2 とおいて、B(n)→∞ を示す。
　|A(n)| < |A(n-1)| < …… < |A(2)| < |A(1)|≦1,　(狭義の単調減少),
ところで
　sin(x) < x -(1/6)x^3 +(1/120)x^5 < x -(19/120)x^3, (x>0)
　sin(x)^2 < x^2 -(19/60)x^4 +(1/30)x^6 < x^2 -(17/60)x^4,
よって A(n)=a とおくと
　B(n+1) - B(n) = 1/{sin(a)^2} -1/a^2
　　= {a^2 - sin(a)^2}/{a^2･sin(a)^2}
　　> {a^2 - sin(a)^2}/a^4
　　> 17/60,
　B(n) > B(1) +(17/60)(n-1) →∞　(n→∞)
∴ A(n) → 0　(n→∞)
でいいかな？

353:１３２人目の素数さん
08/02/07 10:09:02
>>352
マクローリン使った不等式持ち出した時点で
高校生らしくなくなっちゃうな

354:１３２人目の素数さん
08/02/07 10:15:47
>>351
京大ではでても東大はでないな

355:１３２人目の素数さん
08/02/07 17:56:04
>>352
ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r'ﾆ;v'ﾆ;､
　　　　　　　　　　　　ﾃﾞｯﾃｲｳ　　　　　　_,!ﾟ ) iﾟ ) .iヽ　ﾃﾞｯﾃｲｳﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
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　｀ﾞゝヽ､ヽー´　,,ノ::｀`､　 _.r（_　ﾉﾞ`ｰ. ヽ,.┬/　　 |　/7 ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
　　にｰ `ヽ､_　／::::::::ｨ"^ﾞﾘ-r _,,ﾉ　,. 　　lー'　　 /ﾆＹ二ヽ　ﾃﾞｯﾃｲｳ
　,.、　｀~iヽ､. ｀~`''"´　ﾞt　（,,￣,　frﾉ　　　｀ｧ-‐ /( ﾟ )( ﾟ　）ヽ
　ゝヽ、__l::::ヽ｀iー- '''"´ﾞi,　ヽ　ヽ,/　　　 /　／⌒｀´⌒　　　＼ﾃﾞｯﾃﾞﾃﾞｯﾃﾞ
　W..,,」:::::::::,->ヽi''"´::::ノ-ゝヽ､_ﾉｰ‐ﾃ-/　i　|　　　　　　（-、　 |
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356:１３２人目の素数さん
08/02/07 18:07:26
πのやつがでたしそろそろ
eが2.7より大きいことを示せ
が出てもいいころ

357:１３２人目の素数さん
08/02/07 18:33:09
e絡みは積分で何年か前の東大の第６問で出たな。2.7ではなかったけど

358:１３２人目の素数さん
08/02/07 20:58:10
マクローリンの式途中まで持ち出してやるしかないんじゃね
他になんか上手い方法あるの？

359:１３２人目の素数さん
08/02/07 21:40:09
>>350
示すべき不等式を整理すると
|xyz+x+y+z|<|xy+yz+zx+1|
を示せばよいことがわかる。
条件より(x^2-1)(y^2-1)(z^2-1)<0なので
{(x+1)(y+1)(z+1)+(x-1)(y-1)(z-1)}^2<{(x+1)(y+1)(z+1)-(x-1)(y-1)(z-1)}^2
よって(xyz+x+y+z)^2<(xy+yz+zx+1)^2となるので
問題の不等式も示される

360:１３２人目の素数さん
08/02/07 23:01:28
>>358
sin(sinx)≦sinxより下に有界だから
sinα=αよりα=0

361:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/07 23:11:21
私も>>360と同じ答案にしますね．マクローリン使って挟むのは高校範囲外ではありませんが，誘導がない限りは使いません(逆に言えばこの問題は入試では誘導をつけるべき)．

362:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/07 23:11:57
nを正の整数として，f(n)を以下のように定める．
(i) nが奇数のとき
　f(n)=n(n-2)(n-4)…*3*1
(ii) nが偶数のとき
　f(n)=n(n-2)(n-4)…*4*2
このとき，以下の極限値を求めよ．
　lim[n→∞]{f(3n)f(n)/(f(2n))^2}^(1/n)

363:１３２人目の素数さん
08/02/08 08:22:05
以下が正しければそれを証明し、誤っていれば反例を挙げよ。

a を正の実数として、関数 f:R→R が
f(0)=0,
0＜f(x)＜x (0＜x≦a)
を満たす。

数列 a[n] を
a[0]=a,
a[n+1]=f(a[n]) (n≧0)
で定義するとき、
lim[n→∞]a[n] = 0。

364:１３２人目の素数さん
08/02/08 09:47:19
>>363
f(x)を，
・0≦x≦1 のとき f(x)＝0
・1＜x≦2 のときは，1+2^(-n-1)＜x≦1+2^(-n) を満たす整数 n を用いて f(x)＝1+2^(-n-1)
・x＞2 のときは，f(x)＝2

と定義すると，f(0)=0，0＜f(x)＜x (x>0) を満たす。

a = 3/2（ = 1+2^(-1)）とおくと，
a[1] = 1+2^(-2)
a[2] = 1+2^(-3)
・・・
a[n] = 1+2^(-n-1)
となるので，lim[n→∞]a[n] = 1

365:１３２人目の素数さん
08/02/08 11:13:25
>>362
f(2k)=2^k k!、f(2k+1)=(2k+1)!/f(2k)

n = 2k の時
与式 = {(3k)!k!/(2k)!^2}^(1/(2k))
log(与式) = 1/(2k){Σ[i=1 to 3k] log(i) + Σ[i=1 to k] log(i) - 2Σ[i=1 to 2k] log(2i)}
→ 1/2 (∫[0,3]log x dx + ∫[0,1]log x dx + 2∫[0,2]log x dx)
= 1/2 log27/16
∴ 与式 = √27/4

nが奇数のときにも同様に計算。

こういう問題見るとStirlingの公式使いたくなるんだけど、
数行でさくっとStirlingの公式を導いて、答案で使うことってできないかなぁ。

366:１３２人目の素数さん
08/02/08 12:33:25
数行でサクッとは無理だな

367:１３２人目の素数さん
08/02/09 12:06:15
正五角形ABCDEの外接円の中心をOとする。
OP<OQ<OR<OS<OT<OAを満たす点P,Q,R,S,Tをそれぞれ
線分OA,OB,OC,OD,OE上のいずれかにとるとき、
五角形PQRSTの面積が最大になるのは
点P,Q,R,S,Tをどのように配置したときか。

368:１３２人目の素数さん
08/02/09 13:20:14
>>367
最大値は存在しないんじゃないの？

369:１３２人目の素数さん
08/02/09 14:26:55
高々30通りしかないから最大はあるだろ。

370:１３２人目の素数さん
08/02/09 16:34:22
等号成立がないから最大はないと思われ

371:１３２人目の素数さん
08/02/09 16:47:51
>>367
ゆ・と・り・お・つ

372:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/09 17:45:10
xyz座標空間に4点
　O(0,0,0)，A(0,-1,-1)，B(1,0,-1)，C(0,1,0)
があり，直線OA上を点Pが，直線BC上を点Qが動く．m,nを実数定数として，点P,Qのそれぞれのx座標p,qが
　m≦p≦m+1，n≦q≦n+1
をみたしながら動くとき，線分PQの動く領域の体積を求めよ．

373:１３２人目の素数さん
08/02/09 21:17:28
>>372
-1≦m≦0のとき∞
それ以外のとき0

374:１３２人目の素数さん
08/02/09 22:35:27
>>372
Pのx座標がpってPって直線OAはx=0のy-z平面上の点だからx=0じゃないのですか？
上記ｘ座標をｙ座標がっていうのならPQの動く図形は四面体になりますよね。
操作としては
１ Qを固定してPを動かすとPは長さ1の線分lとなり、端点をD,Eとする。
2 lとQを結ぶと△QDEとなりQを動かす。
あとは上記の設定したA,B,Cで計算して終わり。

375:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/10 00:15:56
失礼，x座標じゃなくy座標でした．

376:１３２人目の素数さん
08/02/10 01:20:33
益田のサイトの雑談掲示板が面白いことになってるｗ

377:１３２人目の素数さん
08/02/10 02:57:08
>>375
1/6

378:１３２人目の素数さん
08/02/10 03:22:50
>>376
URLは何んだっけ？

379:１３２人目の素数さん
08/02/10 03:34:04
もうそのスレッド削除されたよ。

380:１３２人目の素数さん
08/02/10 03:50:52
どんな内容だったの？

381:１３２人目の素数さん
08/02/10 09:04:32
2^6897689786890

382:１３２人目の素数さん
08/02/10 09:42:27
>>380
斜め読みしかしてないけど

「数式が見づらいのでpdfとかで公開してくれ」
→携帯から見てる人も多いだろし、pdfだと見られない人がいるんじゃないかな。あと面倒そうだし。
「ドコモの新しいのはpdf対応してる」
→厚意で公開してるんだから、上から目線で要求しない方がいいよ
「おれは、早稲田志望で海外にそのうち移住するので、おまえらとは違うんだ」
→どん引き

こんなんだった

383:１３２人目の素数さん
08/02/10 09:58:36
>>382
ちょｗｗｗ
早稲田志望ごときで東大志望者を上から目線てどんだけｗｗｗ

384:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:14:58
結局 >>360 の証明は間違ってんの？
それとも >>363 より仮定の強い(有名な)定理があるの？

385:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:29:55
>>384
f(x)=sinxなら正解だろ
有界単調減少数列

386:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:39:12
>>383
その後は

他のサイト訪問者に失礼だ
→「ネットは現実じゃないから何を言ってもいいはずだ」
益田：これ以上そういう発言を続けるなら書き込み禁止とＩＰ公開させていただく
→「ＩＰ複数所持してるから無駄だ」
益田：禁止措置とりました　複数所持してても無駄ですよ　やってみな

以後早稲田君書き込みできず？
益田、何をした？

387:１３２人目の素数さん
08/02/10 10:46:50
>>386
> 以後早稲田君書き込みできず？
> 益田、何をした？

携帯オオギリの今田こうじの口調が頭に浮かんでしまった　＞スレ汚し御免

388:１３２人目の素数さん
08/02/10 11:02:55
>>385
>>364 の反例も有界単調減少だけど？

>>363 の別の反例
a=2
f(x)=x/2　　(x≦1)
f(x)=(x+1)/2　　(x>1)

389:１３２人目の素数さん
08/02/10 11:07:30
どちらの反例も不連続関数
sinxは連続関数

390:１３２人目の素数さん
08/02/10 11:50:16
＞sinxは連続関数
後出しにしても３テンポくらい遅い

>>303
大数は連続関数と断ってるの？

391:１３２人目の素数さん
08/02/10 12:02:26
後出しって
sinα=αをどうやって出したと思ってたんだ

392:１３２人目の素数さん
08/02/10 12:23:08
>>390
益田みたいな言い訳するなよｗ
事実の指摘に後出しも何もないだろｗ

393:１３２人目の素数さん
08/02/10 12:41:39
sin(2x)=i

394:１３２人目の素数さん
08/02/10 17:57:00
nを正の整数の定数とし、[0,1]でf(x)を以下のように定義する。
・f(0)=f(1)=0
・0<x<1ではf(x)を、表\が出る確率がxのコインを2n回投げて表\がn回出る確率とする。
このとき
lim[n→∞]x^(-1/2)*f(1/2)/∫[0,1]f(x)dx
を求めよ。

395:１３２人目の素数さん
08/02/10 18:05:00
x^(-1/2)?

396:１３２人目の素数さん
08/02/10 18:23:57
n^(-1/2)でした…

397:１３２人目の素数さん
08/02/10 19:40:19
>>394
∞？

398:１３２人目の素数さん
08/02/10 20:09:01
>>385 = >>389 だとしたら、間抜けが後出ししてるように見える

399:１３２人目の素数さん
08/02/10 22:59:28
sinxの場合についての指摘に答えない件ｗ

400:１３２人目の素数さん
08/02/10 23:19:44
＞sinxの場合についての指摘
詳しく

401:１３２人目の素数さん
08/02/11 11:41:15
【調査】「学歴ひけらかし」、ＯＬに嫌われる…「私の嫌いな大学ランキング」発表★７
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
１位．東京大学(176票)
２位．早稲田大学(138票)
３位．慶応義塾大学(89票)
４位．京都大学(29票)
５位．明治大学(25票)

東大・早慶のモテない度にワロタｗｗｗ

402:１３２人目の素数さん
08/02/11 12:28:54
>401
明治ってアンタ・・
どんだけＯＬって・・

403:１３２人目の素数さん
08/02/11 12:39:58
このスレのほとんどがＯＬに嫌われてるんだな…
まさか明治はおらんと思うがｗ

404:１３２人目の素数さん
08/02/11 14:09:18
ここに名前があがらない大学は歯牙にもかけないってことだろ。

405:１３２人目の素数さん
08/02/11 15:46:28
>>404
そんな負け惜しみはいらないってｗ

406:１３２人目の素数さん
08/02/11 15:51:48
東工大の方が絶対にもてないだろうに

407:１３２人目の素数さん
08/02/11 16:11:53
東工大はひけらかしたりはしない

408:１３２人目の素数さん
08/02/11 16:43:13
東工大って、どこだい

409:１３２人目の素数さん
08/02/11 16:56:50
>>408
中国にあるﾆﾀﾞ〈｀∀´〉

410:１３２人目の素数さん
08/02/11 17:02:02
>>394
f(x) = C[2n,n] x^n (1-x)^n,
∫[0,1] f(x)dx = ∫[0,1] x^(2n)dx　　　(← 部分積分をn回繰り返す)
　　= [ x^(2n+1) /(2n+1) ](x=0,1) = 1/(2n+1),
一方、スターリングより
　f(1/2) = C[2n,n](1/4)^n ≒ {1/√(πn)}･{1 - 1/(8n)} ≒ 1/√(πn),

∴ (与式) → 2/√π (n→∞)

411:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/02/11 17:12:24
ひけらかすかどうかは相手によるのだ。

412:１３２人目の素数さん
08/02/11 18:44:50
n,mは自然数で、また1≦m≦nとする

初め持ち点は0点で次の試行を行う
じゃんけんに勝ったら1点、負けたら-1点、あいこになったら0点をもらう試行を行う
ただし途中(0回目の時点での場合は除く)で
持ち点が0点になったら、その時点で試行を終了する
これを3n回繰り返していくとき
持ち点が3m点になる確率を求めよ

413:１３２人目の素数さん
08/02/11 21:07:13
この四次元ヲタどもが

414:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/12 00:53:51
a,bはa＜bをみたす実数定数，f(x)，g(x)はxについての連続な関数である．このとき，以下のxについての方程式は，区間a≦x≦bに必ず実数解をもつことを示せ．
∫[a,b]f(x)g(t)dt=∫[a,b]f(t)g(x)dt

415:１３２人目の素数さん
08/02/12 02:35:50
>>414
∫[a,b]f(t)dt=p
∫[a,b]g(t)dt=qとする。
q*f(x)-p*g(x)=h(x)とすれば
∫[a,b]h(x)dx=qp-pq=0
なので平均値の定理？よりa≦c≦bでh(c)=0を満たす実数cが存在する。
つまり∫[a,b]f(c)g(t)dt-∫[a,b]f(t)g(c)dt=0となるので、題意は示された

416:１３２人目の素数さん
08/02/15 09:10:24
友達の友達はアルカイダ

417:１３２人目の素数さん
08/02/15 11:52:16
f(x)は連続で2を基本周期とする周期関数である.
f(a)=f(a+1)となる0≦a≦1をみたす実数aが存在することを示せ.

418:１３２人目の素数さん
08/02/15 12:42:43
>>417
宿題は宿題スレに

419:１３２人目の素数さん
08/02/15 12:45:17
【sin】高校生のための数学質問スレPART166【cos】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
こことかにどうぞ

420:１３２人目の素数さん
08/02/15 22:18:35
1からnまでかかれたカードが2枚ずつある
これを一列に並べるとき同じ数字が隣あう数の期待値を求めよ

421:１３２人目の素数さん
08/02/15 23:05:56
日本語でおｋ

422:１３２人目の素数さん
08/02/16 01:18:37
>>412
カタラン数？

423:１３２人目の素数さん
08/02/16 01:54:26
平均値の定理つかうだけだろ？
ぜんかしきたてて計算すると
P(n)=n＋1/2＾nだから
これにnをかける

424:１３２人目の素数さん
08/02/16 01:54:54
すまんかんちがい

425:１３２人目の素数さん
08/02/16 21:36:12
>>365
数行でサクッとは無理だが…

　n! = ∫[0,∞) exp(-x)･x^n dx = ∫[0,∞) f(x)dx,　　(オイラーの積分)
を使ったものを以下に示す。

まづ f(x) の極大点(x=n)の近くでは正確にしたいので、log(f(x))を x=n のまわりでテイラー展開する。
　log(f(x)) = log(f(n)) -(x-n) + n･log(1 + (x-n)/n)
　　　　= log(f(n)) -(√n)y + n･log(1 + (y/√n))　　　　　(← y=(x-n)/√n: normalize)
　　　　= log(f(n)) -(1/2)y^2 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 +……
　　　　= log(g(y)),
　n! = (√n)∫[-√n, ∞) g(y)dy,
ここに
　g(y)= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･exp{ (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 -(1/(6n^2))y^6 + ……}
　　　= g(0)･exp{-(1/2)y^2}･{1 + (1/(3√n))y^3 -(1/(4n))y^4 +(1/(5n√n))y^5 +[1/(18n) -1/(6n^2)]y^6 + …},

yの偶数乗の項は(-∞, ∞)の積分で近似し、yの奇数乗の項は無視しよう(*)。
　I_(2k) = ∫(-∞, ∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = 2∫[0,∞) exp(-(1/2)y^2)･y^(2k)･dy = (2k-1)!!･I_0,
　I_0 = I_2 = √(2π),　I_4 = 3I_0,　I_6 = 15I_0,
これを代入して、
　n! ≒ g(0)√(2πn)･{1 +1/(12n) +…} = n^(n+1/2)･√(2π)･exp(-n +1/(12n) +…),
　g(0) = f(n) = (n/e)^n,

(*) yの奇関数の積分では、[-√n, √n] の部分が消え、 [√n, ∞) の部分が残る。
　∫exp(-(1/2)y^2)･y^3･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^2 +2) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n+2) << 1,
　∫exp(-(1/2)y^2)･y^5･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^4 +4y^2 +8) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^2 +4n+8) << 1,
　∫exp(-(1/2)y^2)･y^7･dy = [ -exp(-(1/2)y^2)･(y^6 +6y^4 +24y^2 +48) ](y=√n, ∞) = exp(-n/2)･(n^3 +6n^2 +24n+48) << 1,
これらは、nが大きくなると迅速に減衰するので、無視できると思うよ。

URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)スターリングの近似
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

426:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:02:29
原点からの距離が最大、最小となる曲線x^2+xy+y^2=1上の点をそれぞれ求めよ

427:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:06:39
>>426
そんな単純な計算問題は東大は出さないだろう

428:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:07:08
>417
　g(x) = f(x+1) - f(x) とおく。
　g(x) + g(x+1) = f(x+2) - f(x) = 0,
題意より f(x)が連続なので g(x)も連続。
もし g(b)≠0, 0≦b≦1 なるbがあったとすると、g(b)g(b+1)<0.
中間値の定理から、g(b+θ) =0,　(0<θ<1)
b+θ =a とおく。
∴　f(a) = f(a+1) = f(a-1),

429:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:20:18
もっと東大らしいの頼む

430:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:40:00
n,kを正の整数とする. 正四面体OABCに対し,ある頂点にいる動点Pは,同じ頂点にとどまることなく,
1秒ごとに他の3つの頂点に同じ確率で移動する.はじめ点Pは頂点Aに存在する.
(1) n秒後に点Pが,頂点Oを1回だけ通って,頂点Aに戻る確率を求めよ.
(2) n秒後に点Pが,頂点Oをk回通って,頂点Aに戻る確率を求めよ. ただし,2k≦nとする.

431:１３２人目の素数さん
08/02/16 23:43:57
>>420
そんな数Ｃの確率やってたら簡単に解けるのに数Ａだけでは難問の問題は出ない

432:１３２人目の素数さん
08/02/17 02:47:32
∫[0,π](e^-cosx)cos(sinx)dxを求めよ

433:１３２人目の素数さん
08/02/17 17:20:45
>432
求めますた。π.

434:１３２人目の素数さん
08/02/17 19:45:57
e^(-z)/zのz=0の留数しか思いつかん。

435:１３２人目の素数さん
08/02/17 20:11:50
１辺の長さが２であるような正方形と３であるような正方形を合計で２００９個過不足
無く敷き詰めて、新たに正方形を作る。
それぞれの個数の差が最も小さくなるようにするとき、
それぞれ何個ずつ敷き詰めればよいか求めよ。

ちょっと数オリっぽいけど。

436:１３２人目の素数さん
08/02/17 20:21:44
5+4
5-4=1

437:１３２人目の素数さん
08/02/17 23:45:00
113+248=361.

438:１３２人目の素数さん
08/02/18 01:40:47
いかなる自然数ｎに対しても、座標平面上の円で、ちょうどｎ個の格子点をその内部(周を含む)に含むようなものが存在することを証明せよ．

どっちかと言うと京大風か??

439:１３２人目の素数さん
08/02/18 01:45:50
サイコロをふって
一から六まですべてがでるときのふった回数の期待値をもとめよ

440:１３２人目の素数さん
08/02/18 01:56:50
>>439
×一から六まですべてがでるときのふった回数の期待値をもとめよ
○一から六まですべてがでるまでふった時の回数の期待値をもとめよ
日本語でおｋ

441:１３２人目の素数さん
08/02/18 02:44:30
440やっぱ日本語悪かったかな？カキコしてて違和感したけど

442:１３２人目の素数さん
08/02/18 02:53:19
更に
×違和感したけど
○違和感あったけど

443:１３２人目の素数さん
08/02/18 03:26:52
サイコロを1から6のすべての目が少なくとも1回出るまで繰り返し振るとき、振る回数の期待値を求めよ。

「振った回数の期待値」という日本語はやめたほうがいい。
もう結果出てるのに期待値というのはいかにも不合理。

あとうるさいこと言うと、「すべての目が出る」というと、
「一度に1個しか目が出ないのに、1～6まですべての目が出るなんてありえません！＞＜」
とかいうキチガイがいるかもしれないから、より正確に言えば、
「1から6までの目が書かれており、それらが等確率で出るサイコロがある。
このサイコロを振って、そのたびに出た目を記録するという試行を繰り返す。
1から6の目がすべて少なくとも1回記録されるまでに、サイコロを振る回数の期待値を求めよ。」
かな。

444:１３２人目の素数さん
08/02/18 03:32:31
「1から6までの目」なんて書くと
「1と6の間には実数が稠密に分布しているのに、それらが書かれたサイコロなんて製作不能です！＞＜」
とかいうキチガイがいるかもしれないから、
「1から6までの自然数が各面に1つずつ書かれた」としないとな。
「各面に1つずつ」って言葉もいれておかないと、また厄介なことに・・・。

実数が稠密に書かれたサイコロとか、各面にいくつも数字が書かれたサイコロを作れば、
斬新な問題ができるかも知れんが。

445:１３２人目の素数さん
08/02/18 13:13:54
うんにゃ訂正ありがとう(-_-;)
ところでとけました？

446:１３２人目の素数さん
08/02/18 16:16:11
147/10ですか？和の期待値＝期待値の和というのを知っていれば瞬殺できますが、入試としてはどうなのでしょうかね。

447:１３２人目の素数さん
08/02/19 02:30:24
わるいどうやるんだ？

448:１３２人目の素数さん
08/02/19 14:34:19
ますだどうした???

449:１３２人目の素数さん
08/02/19 17:40:18
>>447
一回あたりｋ種類の平均値が6/kだから6Σ[1,k]1/k=6(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)=147/10

450:１３２人目の素数さん
08/02/19 17:42:55
漸化式でもやってノート１ページ分表裏びっしり計算して147/10になったので間違いないかと

451:１３２人目の素数さん
08/02/20 00:27:17
nは自然数とする.
2^nの最高位の数字が1になる確率を求めよ.

452:１３２人目の素数さん
08/02/20 00:30:17
何が同様に確からしいか分からないからダメ。

453:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:04:07
一つ目が出る平均回数 6
二つ目が出る平均回数 6/5 (*注)
三つ目が出る平均回数 6/4=3/2
・・・
6(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6)=147/10

* 二つ目が出る確率は5/6
これは6回中5個でるから平均して6/5回
以下同様

454:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:37:15
>>452
じゃあ問題の書き方変えよう

nを自然数とする。n+1個の数

　1,2,2^2,…,2^n

のうち,その最高位が1であるものの個数をN(n)とおく
lim[n→∞]N(n)/nを求めよ

455:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:53:10
去年は的中問題ありましたか？

456:１３２人目の素数さん
08/02/20 01:59:59
>>454
log2使っていいのか？

457:１３２人目の素数さん
08/02/20 06:05:25
>>454
宿題スレにいけ

458:１３２人目の素数さん
08/02/20 11:57:54
>>443-444
(・∀・)ｲｲﾖ－ｲｲﾖ－

459:１３２人目の素数さん
08/02/20 13:25:39
>>456
はい

460:１３２人目の素数さん
08/02/22 16:24:16
コインを１５回投げて、オモテが３回以上連続しないパターンは何通りあるか。

461:１３２人目の素数さん
08/02/22 16:31:33
類題

１５段の階段を一歩１段もしくは２段で昇っていく。
一歩２段を３歩以上連続しない昇り方は何通りあるか。

462:１３２人目の素数さん
08/02/22 20:26:48
123

463:１３２人目の素数さん
08/02/22 22:33:22
コインを n 回投げて、オモテが３回以上連続しないパターンを a[n] 通りとすると、
a[0]=1, a[1]=2, a[2]=4,
a[n+3] = a[n+2] + a[n+1] + a[n]
が成立し、
a[15] = 10609

464:１３２人目の素数さん
08/02/23 01:55:09
>>463正解
階段の問題はどうかな？一歩２段を２歩以上連続しない昇り方、は京大か阪大で出たんだが、
これはそれに毛を生やした問題。

465:１３２人目の素数さん
08/02/23 02:07:29
A,B,C,D,E,Fの文字を次のルールに従い、左から右へ一列に並べて文字列を作る。
(1) A,B,C,D,Eはそれぞれ一回ずつ出てくる。
(2) A,B,C,D,Eは左から、この順番で出てくる。
(3) 作成する文字列は10文字の文字列である。
この時、作成可能な文字列は何通りあるか。

例）
ABFFCDFFFE
FAFBCFDFFE
など

466:１３２人目の素数さん
08/02/23 02:17:37
10C5=252通り

467:１３２人目の素数さん
08/02/23 06:08:30
>>465
さむっ

468:１３２人目の素数さん
08/02/23 13:34:20
任意の自然数nに対し、それが奇数の場合5倍して1を足し、偶数の場合2で割る。
このようにしてできる数列の中で、有限回の内に項が1に到達する数列は有限か、無限か？
証明を付けて答えよ。

469:１３２人目の素数さん
08/02/23 13:46:15
1マスが1cmの正方形な方眼紙の上に適当な閉曲線を書く
この閉曲線の面積をマス目の数を数えることによって測定する。
線がマスにかぶっている場所においては、
　・見た目半分以上閉曲線に含まれているマスを0マス
　・半分以上閉曲線の外に出ているマスを1マスとして数えることとします

この1と0に振り分ける数え方で面積をカウントしていき、最終的に発生する
誤差の大きさを相対でも絶対でも良いので見積もって根拠を述べよ

470:１３２人目の素数さん
08/02/23 13:51:48
>>468
題意の数列を {a[n]} とおけば
任意の自然数 n に対して a[1] = 2^(n-1) なる数列に対して a[n] = 1 だから
題意を満たす数列は無限個ある。

471:１３２人目の素数さん
08/02/23 16:40:40
>>470
a[1] = 2^(n-1) に対して >>468 により数列{a_k} を決めると、
　a[k] = 2^(n-k),　　　　(k=1,2,…,n)
　a[k] = 16, 　　　{k=n+7m-11, mは自然数}
　a[k] = 8,　　　　{k=n+7m-10, mは自然数}
　a[k] = 4,　　　　{k=n+7m-9, mは自然数}
　a[k] = 2,　　　　{k=n+7m-8, mは自然数}
　a[k] = 1,　　　　{k=n+7m-7, mは自然数}
　a[k] = 6,　　　　{k=n+7m-6, mは自然数}
　a[k] = 3,　　　　{k=n+7m-5, mは自然数}

とくに
　a[n] = a[n+7] = a[n+14] = … = 1.
だから有限回で1に到達する。ってことですね。

472:１３２人目の素数さん
08/02/23 22:52:12
>>454
底が何でも答かわらにょね

473:１３２人目の素数さん
08/02/24 05:34:08
点と直線の距離の公式d=～を導け

474:１３２人目の素数さん
08/02/24 06:47:58
点から直線に垂線を下ろして、
その線分のベクトルを直線の単位法線ベクトルに正射影すればいい。

475:１３２人目の素数さん
08/02/24 21:52:16
明日の本番
このスレから出ますように

476:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:29:35
いよいよ明日か。
じゃあ問題投下。

半径1の円 O に周の長さが L であるような三角形の集合を T[L] とする。
次の条件を満たすような L の満たすべき必要十分な条件を求めよ。

【条件】
O 内のどんな点 P を選んでも P を辺上（頂点含む）にもつ T[L] の要素が選べる。

477:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:30:33
>>476
受験生はもう寝ると思うぞ

478:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:39:14
>>476
なんかミスってる？

479:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:52:12
>>476
日本語が著しく破綻している。
お前には問題作りは無理だ。

480:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:53:37
すまん、日本語がおかしい上に問題が間違っていた。

半径1の円 O に内接した、周の長さが L であるような三角形の集合を T[L] とする。
T[L] が次の条件を満たすような L の満たすべき必要十分な条件を求めよ。

【条件】
O 内のどんな点 P を選んでも P を辺上（頂点含む）にもつ T[L] の要素が選べる。

481:１３２人目の素数さん
08/02/24 22:53:43
わざわざ集合とか言う必然性がなさそうだし

482:１３２人目の素数さん
08/02/24 23:05:51
中心通る場合考えると１辺が直径で
2<L≦2+2√2
どんな点でもそれとおる直径を１ッﾍﾟﾝにしてしまえば
上の範囲は実現される

483:１３２人目の素数さん
08/02/24 23:06:37
4<L≦2+2√2
か

484:１３２人目の素数さん
08/02/24 23:20:22
明日試験なのに見てる俺は・・・

485:１３２人目の素数さん
08/02/24 23:21:44
未来の後輩か、頑張れ

486:１３２人目の素数さん
08/02/25 00:06:28
男が5人と女が5人がいる。
各人が異性からランダムに1人選ぶとき、
互いに相手を指名するような男女が
少なくとも1組できるような確率を求めよ。

487:１３２人目の素数さん
08/02/25 00:33:04
1400149/1953125かな

488:１３２人目の素数さん
08/02/25 00:48:20
>>487
正解。

489:１３２人目の素数さん
08/02/25 00:56:46
入試なら４人ずつで十分かもね
あるいはｎ人としてやらせるか

490:１３２人目の素数さん
08/02/25 19:08:54
問題はアップされてるね
URLﾘﾝｸ(www.yozemi.ac.jp)

491:１３２人目の素数さん
08/02/25 19:32:05
解いてみるかな

492:１３２人目の素数さん
08/02/25 20:26:57
パッと見の独断と偏見。
【1】 B
【2】 C
【3】 B ((1)に配点をやるつもりなのか!?)
【4】 B
【5】 A
【6】 B

493:１３２人目の素数さん
08/02/25 20:30:26
益田の予想惜しかったな
正四面体じゃなくて正八面体の回転体積だ

494:１３２人目の素数さん
08/02/25 21:01:21
総じて最近東大の問題が全体的に易化している。
益田氏のは過去の難しかったころのと同じくらいだと思われ。

495:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/25 21:07:17
前期一本化で難化すると読んでましたが大はずれでした．
私でも150分で全問答え出せたので（計算ミスで1題落としましたが），受験生の平均も高いでしょうな．

496:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/02/25 21:08:58
第１問
　座標平面の点(x,y)を(3x+y,-2y)へ移す移動fを考え，点Pが移る行き先をf(P)と表す。fを用いて直線l[0]，l[1]，l[2]，…を以下のように定める。
　・l[0]は直線3x+2y=1である。
　・点Pがl[n]上を動くとき，f(P)が描く直線をl[n+1]とする(n=0，1，2，…)。
以下l[n]を1次式を用いてa[n]x+b[n]y=1と表す。
(1)　a[n+1]，b[n+1]をa[n]，b[n]で表せ。
(2)　不等式a[n]x+b[n]y＞1が定める領域をD[n]とする。D[0]，D[1]，D[2]，…すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。

第２問
　白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき，次の操作(A)を考える。
　(A)　手持ちのk枚の中から1枚を，等確率1/kで選び出し，それを違う色のカードにとりかえる。
次の問(1)，(2)に答えよ。
(1)　最初に白2枚，黒2枚，合計4枚のカードをもっているとき，操作（A)をn回繰り返した後に初めて，4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2)　最初に白3枚，黒3枚，合計6枚のカードをもっているとき，操作（A)をn回繰り返した後に初めて，6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

第３問
(1)　正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。
(2)　正八面体の互いに平行な2つの面をとり，それぞれの面の重心をG[1]，G[2]とする。G[1]，G[2]を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし八面体は内部も含むものとし，各辺の長さは1とする。

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