★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問 at MATH

26:１３２人目の素数さん
08/01/16 19:04:15
>>23
a[n] の一例

b[1] = 1
b[n] = (Σ[k=1,n] b[k])!　　(n≧2)
c[n] = Σ[k=2009-n, 2008] b[k]
a[n] = 2^c[n]
と定義する

c[n] の定義から、i＜j のとき、c[i] は c[j]-c[i] の倍数
これから、i＜j のとき、a[i]-1 は (a[j]/a[i])-1 の倍数 … (*)

gcd(a[i]-1, a[j]-1)
= gcd(a[i]-1, a[i]*((a[j]/a[i])-1) + a[i] -1)
= gcd(a[i]-1, a[i]*((a[j]/a[i])-1))
= gcd(a[i]-1, (a[j]/a[i])-1)
= (a[j]/a[i])-1

最後の等号で (*) を使った

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