★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問 at MATH

1:１３２人目の素数さん
08/01/07 20:54:04
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

2:１３２人目の素数さん
08/01/07 20:54:43
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3:１３２人目の素数さん
08/01/11 19:32:49
　_〕　　　　　　／/　　　　〔　　　　　　＼ー‐rｲ　　く ―┐
　{　　　　　／　/　　　　ｌ＼＿　　　　　l:::::::l　　　　|二二1
　つ　　　/　　,　　　 l　　|　　　]　　　　　l:::::::l　　ｲ〔V　 | |
　└‐t　 /　　 l 　　| l　　|　　l {　　　　　 l:::::::|　　　 | ∨/
　　　Ｌ. l !　　| 　　ｌ｜Ｎ　 l＿廴ィ　　 ,ィヱﾍ　匸.　| l
　　　　　| l　　l l　|　Ｎ　ﾅﾏ彡ャ‥Y|＿　〈ﾍ{そﾘ　　　|　l |
　　　　 !ｌ　　ﾄｌ,イ､.| jノ　　ﾊｒい　八　Ｌ.　ト-r'　 r イ　!| ヽ・・・
　　　　　 l|ヽ　ヽiYf:ﾊ　　　　ゞ‐'　　| ｲ　|/::::/ ＿ﾉ　|　l !ヽ|
　　　　　　　　　ｌiﾍり　　　　.:::::::::::. .ｌ |l　 !:::/ /／　 |　! |
　　　　　　　　　 l l.::::.ヽ _ ､　　　　　l l | 　!/／　　　 ! l　|
　　　　　　　　　 | ヽ、 ′　　　　＿//ｲ　 |´　　　　 | ｌ　l
　　　　　　　　　/　/| ｀　､　　r'´　//￣|　lﾌ　　　　 l l　 !
　　　　　　　　 /／| l　／￣, ｨ､　//:::::::l　|ｰｔ.　　　　 l｜　!
　　　　　　 //r'´￣:::::::::::{rｹｿ//::::::::/ /}　　＼　　 l |　｜
　　　　　　／´　l:::::::::::::／:ﾄこｿ{ {:::::::/　}::|　　　ヽ.　l/ 　 !
　　　　　　ヽ| ／＼:::::::::::::/:::::::＞'´￣／::j　|　　　 l　|　　 |

4:１３２人目の素数さん
08/01/11 20:22:07
冷静のポーズ

　　　　　　＿＿_
　⊂ｴｰ、　Ζ:.; へ:｀ヽ
　　　｀ヽ、＼./-‐　‐-ヾﾊ
　　　　　＼ゝ、　　 _つ:}
　　　　　　　ヽ:::｀i不ヽ: :,′
　　　　　.:´ﾍ:::｀V´:ヾ、
　　　　　　/: : :.ﾊ:::::::::::､:::＼
　　　　　 {:.ﾊ: : :.i::::::::::ﾍヾ､::`:ｧ､_
　　　　　　'´ Ⅵ/}::::::::::::ﾊ　｀ﾞー‐'
　　　　　　　　　 j::::::::::::::::!
　　　　　　　　　/::::::::::::::::}
　　　　　　/::::::::::::::::::j
　　　　　　　 /:::::::::::::::::::::!
　　　　　　／:::::::::::::::::::::::!

5:１３２人目の素数さん
08/01/11 20:28:39
前スレ>>987
1.偽　反例：y=√(1-x^2) 　0≦x≦1とか
2.偽　反例：g(x)=1/xとするとg(x)=-g(-x)は成立するがg(0)は定義されない
3.真

6:にょにょ ◆yxpks8XH5Y
08/01/11 21:38:53
６といえばロックマン

7:１３２人目の素数さん
08/01/11 23:44:27
　　　　　::|
　　　　　::|　　　＿＿＿_
　　　　　::|. 　.／|=|　　　ヽ. 　　≡三＜￣￣￣>
　　　　　::|.　/　|=|　　o 　|=ヽ　　　　 .≡￣＞／
　　　　　::|__〈　_＿＿　　＿__l　　　≡三／／
　　　　　::|､ヽ|.|┌--､ヽ|/,-┐|　　 ≡/　 <＿＿＿/|
　　　　　::|.|''''|.＼ヽ--ｲ.|ヽ-ｲ:| 　≡三|＿＿＿_＿_／
　　　　　::|.ヾ |.::. ..￣￣|￣　/
　　　　　::|　　';:::::┌===┐./
　　　　　::|　＿〉ヾヾ二ｿ./ 　
　　　　　::||ﾛ|ﾛ|　　｀---´:|＿＿__
　　　　　::|:|ﾛ|ﾛ|＿＿＿__/ﾛ|ﾛ|ﾛ,|｀ヽ
　　　　　::| |ﾛ|旦旦旦旦旦/ﾛ/ﾛ|旦,ヽ
　　　　　::|ﾛヽ旦旦旦旦旦./ﾛ,/|::旦旦)
　　　　　::|ヾ旦旦旦旦旦旦,,,/::::|､旦旦|

　売虎乃旦那乃丁髷取れて舛添。

8:にょにょ ◇yxpks8XH5Y
08/01/11 23:46:47
8 ：にょにょ ◆yxpks8XH5Y ：2008/01/01(火) 16:38:36
８と云へば　エイトマン

9:１３２人目の素数さん
08/01/12 00:40:48
前スレより
502 ：MASUDA ◆5cS5qOgH3M ：2007/12/20(木) 18:55:52
平面に一辺の長さ1の正6角形が敷き詰められており，各正6角形の頂点を格子点，各正6角形の辺を格子辺とよぶ．格子辺とは格子点のみでしか交わらないような円の半径の最大値を求めよ

が「√13」の即答で終わってるから解る人には解ったんだろうが
自分は問題自体が理解できないので詳細説明を請う

「敷き詰められており」とは隙のないハニカム状？不規則不可動？
「格子辺とは格子点のみでしか交わらないような円」がいま一つ理解できない。

答えの√13から直角三角形(残辺が2＆3)が関係すると推測しても適当な図形が思い浮かばない。

東大入試として適切である説明も請う

10:１３２人目の素数さん
08/01/12 01:00:30
>>9
残辺は1と√12だよ

11:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/12 01:47:17
>>9
少し書き直してみました．東大ならおそらくは格子の図もつけて出題するでしょうね．

平面に一辺の長さ1の正6角形が隙間なく敷き詰められており，各正6角形の頂点を格子点，各正6角形の辺を格子辺とよぶ．格子点以外で格子辺と交わらないような円の半径の最大値を求めよ．

12:１３２人目の素数さん
08/01/12 08:02:10
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:913番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:918番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:951番)
の最後の
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:992番)
理由教えて

13:１３２人目の素数さん
08/01/12 10:47:31
50 名前：MASUDA ◆5cS5qOgH3M [] 投稿日：2007/11/20(火) 22:07:19
サイトの予想問題作成でもう頭使いきりましたからねぇ

サイトのURLを貼ってもらえませんか？

14:１３２人目の素数さん
08/01/12 11:20:54
URLﾘﾝｸ(83.xmbs.jp)

15:１３２人目の素数さん
08/01/12 11:22:19
ありがとうございます。

16:１３２人目の素数さん
08/01/12 18:44:44
前スレが消えないうちにコピペしておこう。

x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2=1の条件の下で
x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1の最大最小を求めよ

(x1x2+x2x3+...+xn-1xn+xnx1) - (x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2-1)
= (-1/2){(x1 - x2)^2 + (x2 - x3)^2+ ... + (xn-1 - xn)^2 + (xn - x1)^2} + 1
x_1 = ....... = x_n = 1/√n の時最大値 1

nが偶数のとき
　x1x2 + x2x3 + … + xnx1 = (1/2){(x1+x2)^2 + (x2+x3)^2 + … + (xn+x1)^2} - (x1^2 + x2^2 + x3^2 + … + xn^2)
　　 ≧ - (x1^2 + x2^2 + x3^2 + … + xn^2) = -1,
∴　xk = (-1)^k /√n または xk = (-1)^(k-1) /√n のとき最小値 -1.
　最大値は >>918
nが奇数のときは??

nが奇数のときは
　x1x2 + x2x3 + …… + x(n-1)xn + xnx1 ≧ -cos(π/n),
等号成立は xk = (-1)^k √(2S/n)*cos(α + kπ/n) のとき.

最後の所、何でなの？

17:１３２人目の素数さん
08/01/13 18:36:13
>16
ここら辺↓に解答いた･･･

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:442-443番)
線形代数/線型代数４

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:105-106番)
解析学スレ

18:１３２人目の素数さん
08/01/13 22:40:56
東大生専用スレです。

ｽﾚﾘﾝｸ(feti板)

19:１３２人目の素数さん
08/01/13 23:17:35
>>17
thx
線型代数スレにレス書いておいた。

20:１３２人目の素数さん
08/01/14 19:19:04
みんな成人式でも迎えてんのか・・・？
それともセンターの勉強で忙しいのか？

21:１３２人目の素数さん
08/01/14 20:33:11
俺は去年だったが
レポートで忙しかったことにして（実際そうだったんだが）
実は('A`)マンドクセだったから行かなかったな

22:１３２人目の素数さん
08/01/14 21:17:01
>>20
大学受験する人間が……成人式？

23:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/14 21:46:37
以下の条件をみたす2008個の異なる正整数a[1],a[2],…,a[2008]が存在することを示せ．
条件：『1≦i＜j≦2008をみたすすべての整数の組(i,j)において，(a[j]/a[i])-1がa[i]-1とa[j]-1の最大公約数になる』

24:１３２人目の素数さん
08/01/14 22:03:37
>>22
書き込みがなくて寂しかったんでしょ？

25:１３２人目の素数さん
08/01/15 00:40:19
>>24
　　　　　／　　　　　＼
　　　　　／　　／￣⌒￣＼
　　　　 /　　 / ⌒　　⌒　｜　　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　｜　／　 (・)　　(・) ｜　　　| あん？
　／⌒　 (6　　　　　つ　｜　　　|
　（　　｜　　／＿＿＿　｜　＜　もう一度言ってみろ！
　　－　＼　　　＼＿/　／　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　// 　,,r'´⌒ヽ＿＿_／　　　　　,ィ
　　／　　　　ヽ　　　　　　 ri/ 彡
　 /　　 i　　　　ト、　　　__,,,丿)／　　　　　　　ζ 　　　　　　　　　　
　|　　　 !　　　）｀Y'''"　ヽ,,／　　　　／￣￣￣￣＼　　　　　　　　
　 ! l　　|　　　く,,　　　,,,ィ'"　　　　　　/.　　　　　　　　＼　
　ヽヽ　ゝ　　　 !￣!~～、　　　　　　/ 　　　　　　　　　｜　　　　
　　ヽ　　／￣""'''⌒￣"^'''''ー--、 :::|||||||||||||||||||||||||||||||||　
　　Y'´　　　　　　　　　　／　　　 """''''～--、|||||||||||||||||）　
　　　（　　　　　　丿　　,,;;''　　....::::::::::: ::::r''''""￣""ヽ　｜
　　ゝ　　ー--、,,,,,___　　　　　::: ::,,,,,ー｀''''''⌒''ーイ　 .／
　　　　　ヽ　　　　　　＼　￣""'''""￣　　　＼＿＿＿_／-、
　　　　　ヽ　　　　　　ヽ　::::::::::::::::::::　／　　　　　　　　｀ヽ
　　　　　　ヽ　　丿　　　）　　　　　　 /　　　　ノ　　　ゝ　ヽ　,〉
　　　　　　　ゝ　　　　　!　　　　　　/　　　　　　　　　　　　∀
　　　　　　　　!　　　　　| 　　　　　/　　　人　　　　　ヽ　　　ヽ

26:１３２人目の素数さん
08/01/16 19:04:15
>>23
a[n] の一例

b[1] = 1
b[n] = (Σ[k=1,n] b[k])!　　(n≧2)
c[n] = Σ[k=2009-n, 2008] b[k]
a[n] = 2^c[n]
と定義する

c[n] の定義から、i＜j のとき、c[i] は c[j]-c[i] の倍数
これから、i＜j のとき、a[i]-1 は (a[j]/a[i])-1 の倍数 … (*)

gcd(a[i]-1, a[j]-1)
= gcd(a[i]-1, a[i]*((a[j]/a[i])-1) + a[i] -1)
= gcd(a[i]-1, a[i]*((a[j]/a[i])-1))
= gcd(a[i]-1, (a[j]/a[i])-1)
= (a[j]/a[i])-1

最後の等号で (*) を使った

27:１３２人目の素数さん
08/01/16 20:48:40
× b[n] = (Σ[k=1,n] b[k])!　　(n≧2)
○ b[n] = (Σ[k=1, n-1] b[k])!　　(n≧2)

28:１３２人目の素数さん
08/01/16 21:52:55
益田のサイトにコラッツ予想が解けたって奴が現れたぞwww

29:１３２人目の素数さん
08/01/16 22:46:53
>23
p,q≧2 とし、a[k] = p^(q^k) とおくと、
　a[j]/a[i] -1 = p^(q^j - q^i) -1 = p^{(q^i)(q^(j-i)-1)} -1 = a[i]^(q^(j-i)-1) -1,
　指数は q^(j-i) -1 ≧ q-1 ≧1 だから a[i] -1 の倍数。
以下 >26 と同様。

30:１３２人目の素数さん
08/01/16 22:49:05
増田もいちいちキチガイの相手するなよ。
黙ってアク禁かければいい。

31:１３２人目の素数さん
08/01/16 22:53:12
>>益田氏
今週の問題、消しちゃったの???
あのまだ解けてなかった問題とか、おいおい見ていこうと思ってたのに・・・

32:29
08/01/16 23:10:35
>23
>29 を少し一般化…

p≧2, b[k]≧2 とし、
c[n] = Π[k=1,n] b[k],
a[n] = p^c[n],
とおく。
　a[j]/a[i] -1 = p^(c[j]-c[i]) -1 = p^{c[i](c[j]/c[i] -1)} -1 = a[i]^(c[j]/c[i] -1) -1,
　指数は c[j]/c[i] -1 ≧ 1 だから a[i] -1 の倍数。
以下 >26 と同様。

33:１３２人目の素数さん
08/01/16 23:26:59
16[益田]
さすがにひどいので>5>7>8>15のIPホストを公開・書き込み禁止としました．
07002110282904_vt.ezweb.ne.jp

a=2^m-1などという関係式はどこにもありません．問題からそういう結果が出たなら完全に勘違い．

2008-01-16 23:12

超受けるｗざまあｗ

34:１３２人目の素数さん
08/01/17 00:02:11
>>29
gcd(2^(2^1)-1,2^(2^3)-1)=3
≠(2^(2^3)/2^(2^1))-1=63

35:１３２人目の素数さん
08/01/17 10:37:46
名前はＬＩＡＭ

36:１３２人目の素数さん
08/01/18 15:49:36
益田が蒸発した！

37:１３２人目の素数さん
08/01/18 21:00:38
>>33
ケー番晒していいの？

38:１３２人目の素数さん
08/01/18 21:44:25
>>37
>>37

39:１３２人目の素数さん
08/01/18 23:49:36
>>37
IPを分かってない馬鹿ハケーン

40:１３２人目の素数さん
08/01/19 02:24:28
>>37
名前欄に「fusianasan」入れて書きこまないと
お前のもどっかに公開されることになるから
　気　を　つ　け　ろ　！

41:１３２人目の素数さん
08/01/19 02:29:26
益田更新さぼるなよ～
毎日の楽しみだったのに～＾＾；

42:１３２人目の素数さん
08/01/19 10:47:39
そーか
今の最新ケータイの番号は１３桁なのかー

ﾝﾅﾜｹｱﾙｶﾖｯ!

43:１３２人目の素数さん
08/01/20 12:33:15
>>33
ケー番晒していいの？

44:１３２人目の素数さん
08/01/20 12:52:31
>>43
２回目はさすがにわざとらしい
次の教科理科なんだろ
早くもどれ

45:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/20 14:58:32
>>26
御名答．予想外の解答でした．

46:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/20 15:02:27
常用対数をlog2=0.3010…，log3=0.4771…とする．
(1) 2^180の最高位の数を求めよ．
(2) 2^180の最高位より1つ下の位の数を求めよ．

47:１３２人目の素数さん
08/01/20 15:28:11
54<log2^180=180*0.301<55
よって、2^180=A*10^54と置く。
すると、logA*10^54=54+logA=54.18・・・
よって、1<A<2　∴最高位は1

2^180=10^54+B*10^53と置くと、
53+log(10+B)=54.18
log(10+B)=1.18
ここで、log5=0.699・・・よって、log15=1.17・・・
log16=1.2・・・　∴5＜B＜６
∴最高位よりひとつ下の位の数は5

48:１３２人目の素数さん
08/01/20 21:03:27
>>45
用意してた解答はどんなの？

49:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/20 22:09:03
>>48
略解で
1≦i＜j≦nをみたす任意の(i,j)に対して，b[n,j]-b[n,i]がb[n,i]とb[n,j]の最大公約数となるような，異なるn個の正整数b[n,1],b[n,2],…,b[n,n]の存在を示します．…(*)
n=3のとき2,3,4が(*)を満たす．
n=kのときb[k,1],…,b[k,k]が存在すると仮定し，これらの最小公倍数をL[k]とします．
n=k+1のとき
b[k+1,1]=L[k]
b[k+1,m]=L[k]+b[k,m-1](m=2,3,…,k+1)
とおけばb[k+1,1],…,b[k+1,k+1]は(*)を満たす．
よって帰納法から(*)は成立．
ここで，
a[k]=2^b[2008,k]とおいてやれば題意をみたす．

50:１３２人目の素数さん
08/01/21 04:02:53
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿ ......... __
　　　　　　　　　　　　　　 ,.ィ"／,. ィ'":.:.:.:＼:.:｀丶､
　　　　　　　　　　　　　／／ ,:":.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:ヽ:.:.:.:.:.＼
　　　　　　　　　　　／　./　/:.:./:.:.:.:.:.:.:.|:.:ﾄ;.:.:l:.:.:.:.:.ヽヽ
　　　　　　　　　　／　　/　/:.:./:.:.:.:.:.:.:.:/:.:| ',:.:ト､:.:.!:.:.ｌ:.',
　　　　　　　　　く　　　,'　 l:.:.:.:l:.:.:./:.:.://_/ .l:/ー-ヽ:.:| ',|
　　　　　　　　　　ヽ､.」　ｌ:.:.:.:.ｌ:.:.l_:／ﾌ '　/'　､,,,,,.ﾉ:./　′MASUDAセンター国語の点数酷過ぎﾜﾛﾀwww
　　　　　　　　　 /:.:.{　　!:.:.:.:.Vr　　 ,,ｨ ′　 ///ｲ}
　　　　　　　　 /:.:.:.:{　　ﾍ:.:.:.:＼=''"//　　 _　　ﾊ!　　
　　　　　　　 /:.:.:.:.:.{　　 ,ｲ_ヽT rr‐',　　＜ノ　 , '　}　　　　　　　　　 ,､
　　　　　　 /:.:.:.:.:.:..{ r-,.‐-.､＞､ヽヽヽ　..＿_／　 }　　　　　　　 //
　　　　　 /:.:.:.:.:.:.:.:{ </: : : : :ヽ} ヽ、　 ,ヽ,‐;.:.::{　　 }　　　　　　　　//
　　　　 /:.:.:.:.:.:.::.:.{　{l: : : : : :.:.!{,〃ﾞYﾆ - _ュく{.　　 }　　　　　　　//
.　　　 , ':.:.:.:／:.:.:.:{ /:|:.: : : : : :ヾ,ヽ='ｨ､ﾆ. r.ｲYヽ　　 }　　　　 _..rY､
　　　 , ':.:.:.／:.:.:.:.,ｲ/:.:.|:.:.',: : /: : : ＼/ !　　/　/{:ﾊ.　　}.　　／,_ィ_〉〉
.　　, ':.:.:／:.:.:.:.:./ /:.:.:.:!:.:.:.∨: :_:_: : /　l 　 '　.,'ｲ: : :!　　}.　,ｲ　　　　'ｰ- ._
　, ':.:.／:.:.:.:.:.:./ ./:.:.:.:.:.!:.:.:/: :/r =７　　　　　,'.ﾌ: :ヽl　　 }Y ﾌ '´￣｀二- '-'
,.':.:／:.:.:.:.:.:.:/　/:.:.:.:／ﾊ:/:.:.:.イ7/〈:､　　　 !'.):.:. : : ｀ヽ/'､ヽ二-ﾌ´
／:.:.:.:.:.:.:., '　 /:.:.／:./:./:.:.:.:/://:.:.:ヽ:＼　 |ﾍ:r,.-.､､／　　ﾞｰｧ'´
:.:.:.:.:.:.:.／　./:／／:.＼:.:.:.:/:.Ｖ:.:.:.:. : :〉:/　 l:.＼ﾆ/Yl　　　／
:.:.:.:.:.:.:.{　　/:':／_.. -‐'::::｀7:.:.:.:.:.:.:.:.:./:/ 　 /:.:.:.::|': :.ヽヽ／ヽ、

51:１３２人目の素数さん
08/01/21 11:05:19
>>50
お前AAの選び方が適当すぎる
台詞と合ってない

52:１３２人目の素数さん
08/01/21 12:15:37
　　(（　⌒ 　））＿☆ﾉﾉハヽ＿＿＿　　　
　（(　　（≡三（＿リﾉ‘ヮ‘ﾘ＿＿（）
　　（( ⌒ ））　　　（　ニつノ　　　　　　MASUDAセンター英語の点数酷過ぎﾜﾛﾀwww
　　(（　) 　　　　,‐（＿￣ｌ　　　　　
　　　　　　　　　し―（＿_）

53:１３２人目の素数さん
08/01/21 14:16:41
>>52
それもなんか違うｗ

54:1stVirtue ◆.NHnubyYck
08/01/21 16:17:10
他に笑う方法がないならもう笑わなくてよい。

55:１３２人目の素数さん
08/01/21 17:30:09
あれ？king逮捕されたんじゃなかったのか？

56:１３２人目の素数さん
08/01/21 21:24:19
>>49
b[k,1],…,b[k,k] の最小公倍数を L[k] とする代わりに、
b[k,k]! を L[k] とすれば >>26 になりますね

57:１３２人目の素数さん
08/01/22 00:49:41
MASUDAのHPの日本数学オリンピック本選予想模試より

【3】
0以上の全ての実数xについて定義される関数f(x)は以下の条件をみたす．
　f(0)=0
　f(x)=x-f(f(x-1))
　x≦y⇔f(x)≦f(y)
このとき，f(x)を求めよ．

58:１３２人目の素数さん
08/01/22 03:01:58
a=(√5-1)/2
n≦x≦n+1におけるf(x)は
・[(n+1)a]=[(n+2)a]のときf(x)=[(n+1)a]
・[(n+1)a]=[(n+2)a]-1のときf(x)=x+[(n+1)a]-n

59:１３２人目の素数さん
08/01/22 10:27:41
3つの条件を全て満たす関数fが存在したとする。
1番目の条件と2番目の条件から
　　f(1)=1-f(f(0))=1-f(0)=1
　　f(2)=2-f(f(1))=2-f(1)=1
すなわち
　　f(1)=f(2)=1
とくに
　　f(2)≦f(1)　　(何故ならば a=b⇒a≦b は真だから。a=f(2),b=f(1)としてみよ)
すると3番目の条件から
　　f(2)≦f(1)⇒2≦1
となり、不合理。したがって条件を満たすfは存在しない。

60:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:09:21
>>59
馬鹿か
f(1)とf(2)を持ち出した時点で1≦2は確定してるだろが
そこからなんでf(2)≦f(1)とかできるんだよ

61:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:16:41
(ﾟДﾟ )ﾊｧ?

62:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:36:55
>>57
xが自然数のときの点をいくつか取ってみたんだけどこんなの式で表せるの？

63:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:43:03
>>62
つ>>58

64:１３２人目の素数さん
08/01/22 13:58:33
>>60
俺も>>59馬鹿じゃねーの、と思ったが
問題の条件x≦y⇔f(x)≦f(y) を考えると正しいな
設問が間違ってる、x≦y⇒f(x)≦f(y) にしなくてはならない

65:１３２人目の素数さん
08/01/22 14:05:18
>>64
混乱してきた
xに具体的数値を代入した時点で条件からf(1)≦f(2)は確定すると思うんだが

66:１３２人目の素数さん
08/01/22 14:08:53
>>65
池沼

67:１３２人目の素数さん
08/01/22 14:42:54
>>60 >>65
f(2)≦f(1)は「x≦y⇔f(x)≦f(y)」から導き出されたのではない。

68:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:04:36
x≦y⇒f(x)≦f(y)じゃ解けなかったりしてｗ

69:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:14:23
欠陥多すぎるができないことはない

70:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:34:28
MASUDAへ
1/21のB問題間違えてると思うんだが。
十分小さいABを取れば速攻で証明されない？

71:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:38:24
お前ら益田のとこ行ってやれ
益田益田うるさい
いつから益田スレになったんだよ

72:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:40:47
じゃおめーが面白い問題だせよ、無能がｗ

73:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:41:53
>>70
半円を白、半円を黒って意味じゃないんだろたぶん

74:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:46:41
>>73　どんな塗り方してもAB小さくすれば条件満たすABCDが存在するだろ

75:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:48:35
黒と白が一点のみからなってるとするとそうはいかない

76:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:50:43
稠密分布ならどんな近辺にも黒白存在するからそれはそれで自明じゃね？
つーか稠密分布なんて明らかに高校生には範囲外だ。

77:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:52:00
どんな近辺にも黒白存在するからといってABCDが存在するか？

78:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:54:22
益田厨UZEEEEEEEEEEEEE

79:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:55:03
>>78
お前の方がうざぇよ

80:１３２人目の素数さん
08/01/22 15:59:42
>>79
日本語でおｋｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

81:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:14:09
馬鹿に馬鹿と言われた>59が不憫でなりません。

82:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:14:12
>>74
大学生には自明だが
高校生が自明とするのは無理だろ

83:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:16:38
なんで？

84:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:23:42
>>81
ホントそれ

このスレ馬鹿多すぎ

85:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:27:55
自分がその”馬鹿”である事に気づいていない、最高の馬鹿。

86:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:30:22
緻密性を説明できる一般の高校生なんてほとんどおらんさ

87:１３２人目の素数さん
08/01/22 16:45:28
半径1の円に内接する三角形 ABC の面積を S とする。
(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 の少なくとも1つは S より小さいことを示せ。

88:１３２人目の素数さん
08/01/22 17:47:58
>>87
一般に△ABCにおいて、その辺a,b,c,及び面積S,外接円の半径Rには以下の関係が成り立つ。
abc=4SR　　(1)

(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きいとすると
(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3
∴sinAsinBsinC＞S
∴(a/2)(b/2)(c/2)＞S　　(正弦定理より)
∴S/2＞S　　((1)より)
∴S＜0
これは不適。したがって(sin A)^3,(sin B)^3,(sin C)^3の少なくとも1つはSより小さい。　■

89:１３２人目の素数さん
08/01/22 18:47:52
f[1](x)を1次以上の実数係数多項式とする。
f[k+1](x)=f[k](x)+f'[k](x)　(k=1,2,3,・・・)
によってf[n](x)を定めるとき、
f[n](x)=0のすべての解が実数となる自然数nが存在することを証明せよ。

90:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/22 19:24:18
(1) f(x)でxの小数部分を表す．αは0＜α＜1をみたす無理数の定数である．nを正の整数として，
　f(α),f(2α),…,f(nα)
の中で最小のものをm(n)とするとき，m(n)＞f(a)をみたすnより大きい整数aが存在することを示せ．
(2) 常用対数log2は無理数であることを示せ．
(3) 2^nの最高位より1つ下の位から連続して0が2008個ならぶような正の整数nが存在することを示せ．

91:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/22 19:25:39
>>90の(3)ですが，2^nは2009桁以上の整数と考えてください．

92:１３２人目の素数さん
08/01/22 19:33:51
やだよ

93:93
08/01/22 20:09:36
√9=3

94:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:21:58
>>90
(1)問題文あってる？

95:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:30:33
masudaは出直しだな。

96:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:41:23
>>94
たぶんf(aα)だよな

97:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:46:07
稠密を緻密とか言ってる>>86みたいな馬鹿はこのスレに来なくていいよ。

98:１３２人目の素数さん
08/01/22 23:59:42
藁多

99:１３２人目の素数さん
08/01/23 00:01:07
今日は平日なのに、バカが大勢訪れたんだな。

100:１３２人目の素数さん
08/01/23 01:39:05
益田のサイト訪問者のセンター点数化け物揃いだな
東大行くにしてもあんなにいらないだろ

101:１３２人目の素数さん
08/01/23 02:38:03
>>87
面積と(sin A)^3の比較ってﾃﾞｨﾒﾝｼﾞｮﾝ的に違和感がある。
半径はＲとした方がいいよ。

さらに>>88を解答として想定したのなら
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きい】
【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】
が必要十分条件じゃないから欠陥問題なるよ。

102:１３２人目の素数さん
08/01/23 08:47:02
えっ？

103:１３２人目の素数さん
08/01/23 10:10:19
>>101
何で欠陥問題になるの？頭大丈夫？

104:１３２人目の素数さん
08/01/23 14:09:03
>>103
xy>z^2ならばx>zかつy>zとは限らない。
一部を否定しても全体を否定した事にはならない。
この場合、全否定ができなければ題意が満たされない。
A+B+C=πで仮に成立してもそれを示す必要がある。

背理法は騙されたような気がする時があるが
実際騙されている事もある。

105:１３２人目の素数さん
08/01/23 15:45:18
>>104
>>88は解答としては正しい。多分お前の勘違いだろう。
背理法を理解してないのではないかな？

106:87
08/01/23 16:31:29
>>101
むしろそのディメンジョンの違和感こそ出題の狙いなんだが。
ただ、このセンスはむしろ京大的かもしれんね。

>>88は想定していた解答の1つだけど、大きな間違いはないよ。
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きい】
【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】
が必要十分である必要はない。
強いて間違いを言うなら「どれも S より大きい」じゃなくて
「どれも S 以上」として以降の不等式を微修正する必要がある。

ちなみに別解も用意してある。

対称性から最小辺を BC として考えれば十分。
面積の公式より sin A = 2S/(AB*AC)
正弦定理より sin A = BC/2
∴ (sin A)^3 = (BC/2)^2 * 2S/(AB*AC)
=　(BC/AB) * (BC/AC) * S/2
≦ S/2 ＜ S

107:１３２人目の素数さん
08/01/23 16:31:47
>>104
頭ﾀﾞｲｼﾞｮｳﾌﾞ?

108:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/23 16:57:45
円周を8等分する8個の点のそれぞれに8個の文字A,a,B,b,C,c,D,dを無作為に配置する．同じ大文字と小文字(Aとa，Bとbなど)が隣り合わない確率を求めよ．

109:１３２人目の素数さん
08/01/23 18:20:40
m,nは自然数とする
(1)∑[k=0,n]C[m,k]C[n,k]を求めよ
(2)∑[k=0,n](-1)^(m+k)C[m,k]C[n+k,k]を求めよ

110:１３２人目の素数さん
08/01/23 18:47:27
>109 (1)
(与式)　= Σ[k=0,n] C[m,k]C[n,n-k] = {(1+x)^m･(1+n)^n の中のx^nの係数} = C[m+n,n].
　ただし k>m ⇒ C[m,k] =0 とした。

111:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:10:41
>>106
＞ただ、このセンスはむしろ京大的かもしれんね。
京大＝106、共に性格が悪いと言う事かｗ

必要十分条件という表現は間違っていた。（表現自体が必要十分条件でなかったという自己矛盾OTZ）
しかし【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】であることは
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもS以上】であることの
必要条件であるが、十分条件ではない。
十分でない事を否定しても証明した事にはならない。
『√2を有理数n/mと仮定すると矛盾するから無理数』という代表的な背理法の例にすると
√2≠3/2だからといって√2が無理数である証明した事にはならない。

112:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:39:18
>>109訂正
(2)∑[k=0,m](-1)^(m+k)C[m,k]C[n+k,k]を求めよ

113:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:43:03
所詮受験数学なんて計算力とパターン暗記と記憶力だけで決まるのだろう。

114:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:43:28
>>111
キミはとことん頭が悪いんだね。
みんなスルーしてるのかな？

『√2を有理数n/mと仮定すると矛盾するから無理数』という代表的な背理法の例にすると
√2≠3/2だからといって√2が無理数である証明した事にはならない。

ここをもう一度よく読んでごらん。

115:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:51:24
超越数は無理数であることを証明しなさい。　１０点

116:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:53:50
有理数は一次方程式の解であるから

117:１３２人目の素数さん
08/01/23 22:55:13
>>115
大学入試不適切問題のため全員合格

118:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:04:50
ｚ軸が複素数の球体（ｘ，ｙ，ｚｉ）でガウス曲率を計算してくれ　５点

119:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:10:54
>>114
読んだがなにか？

120:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:36:35
>>119
背理法は必要条件が否定できりゃOKだろ。

121:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:38:50
>>89って問題正しい？

122:１３２人目の素数さん
08/01/23 23:52:48
>>120
それは
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもS以上】であることは
【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】であることの
必要条件。

123:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:14:34
けっきょく>>８８って正しいんですか間違いなんですかどっちなんですか

124:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:23:28
きょうも馬鹿襲来か

125:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:26:18
>>120
>>122
勢いでカキコしたから意味不明OTZ

ａが有理数である事はａ=3/2であることの「十分条件であるが、必要条件ではない」？「必要条件であるが、十分条件ではない。」？
ａ=3/2である事はａが有理数であることの「十分条件であるが、必要条件ではない」？「必要条件であるが、十分条件ではない。」？

余談ではあるが「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現は違和感ない？

126:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:28:28
この程度が分からないんなら正しいか正しくないか知ってもどうしようもないね

127:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:35:48
訂正
>>120
>>122は勢いでカキコしたから意味不明OTZ
改めて

ａが有理数である事はａ=3/2であることの「十分条件であるが、必要条件ではない」？「必要条件であるが、十分条件ではない。」？
ａ=3/2である事はａが有理数であることの「十分条件であるが、必要条件ではない」？「必要条件であるが、十分条件ではない。」？

それを踏まえ
　『√2を有理数n/mと仮定すると矛盾するから無理数』という代表的な背理法の例にすると
　√2≠3/2だからといって√2が無理数である証明した事にはならない。
と>>120を交えて返答請う。

余談ではあるが「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現は違和感ない？

128:１３２人目の素数さん
08/01/24 00:52:38
横からスマンが

それは一つの例を挙げて「確認」しただけであって一般化した「証明」はされてない。

129:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:09:30
>>128
それこそ背理法
１つの例でも否定されれば否定証明の「証明」

130:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:15:00
>>128
それこそ背理法
１つの例でも否定されれば「証明」

131:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:26:19
論理の勉強すれば済む話じゃねーか
ここでも読んで少しは頭冷やせ
URLﾘﾝｸ(www004.upp.so-net.ne.jp)

132:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:28:51
>>129
おいおい、落ち着けよ
例として挙げるが「フェルマー数は平方因子を持たない」ことをただ一つの例で証明する気かｗ

また、「オイラーの定数が、有理数であるか無理数であるかさえもわかっていない。」

↑のような未解決問題も「ただ一つの具体例」だけで証明できるとでも？

133:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:42:36
>>132
ややこしくて回りくどい市ねｗ

ただ>>129
log_3{5}≠3/2じゃないことは明らかだが
果たしてこれだけで「log_3{5}は有理数でない（＝無理数）」の証明になってると思うか？

134:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:48:53
>>88
と>>131-132が言ってるよ
【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもS以上】を否定することを
【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】を否定した事で証明する気かｗ

135:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:51:11
いい加減うざいぞ、そこのキチガイたち。

136:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:53:03
横からｽﾏｿ
半径aの円の内部の点をAとして円周上に二点p qを <pAq=90 度となるようにとるとき p qにおける円の接線のこうてんの軌跡をもとめよ

137:１３２人目の素数さん
08/01/24 01:53:24
>>88
√2が無理数の証明を√2≠3/2だけで証明する気かｗ

138:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:02:32
>>133
どっちがどっちの立場か解ってるかｗ
ぐじゃぐじゃになってきたから整理
>>128-130の抽象的言葉遊び消去
どっちがどっちの立場か解った上で具体的にいこう

139:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:05:02
>>88
>>133から
log_3{5}≠3/2じゃないことは明らかだが
果たしてこれだけで「log_3{5}は有理数でない（＝無理数）」の証明になってると思うか？

140:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:05:12
優越　したいんだ、優越。

アホとか市ねとか、　　　　　　　惨めだな。

淡々と行こうぜ。頭いいんだから。

141:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:09:14
>>140
「アホ」でスレ検索したが140のみだぞｗ

142:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:10:43
つうかさっきから>>88ｶﾜｲｿｽwwwwww

143:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:19:58
(P ⇒ Q) ≡ ￢(P ∧ (￢Q))　：　背理法の原理
P ≡ 「三角形ABC」
Q ≡ 「(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 の少なくとも1つは S より小さい」
￢Q ≡ 「(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 は全て S 以上」
P ∧ (￢Q) は>>88より偽、従って P ⇒ Q は真

144:１３２人目の素数さん
08/01/24 02:51:22
>>112
道具がちょっと大げさになってしまったけど……
URLﾘﾝｸ(image02.wiki.livedoor.jp)

145:１３２人目の素数さん
08/01/24 10:49:01
>>143
論点くらい嫁

146:１３２人目の素数さん
08/01/24 15:45:45
背理法は、数学が無矛盾の上に成り立っていることを担保にしたテクニック
背反である命題Ａ，Ｂがあるとする。
（ＡかＢの一方のみが成立する。共に成立、共に不成立と言うこともない。）
Ａが成立すると言うことを証明したいときは、仮にＢが成立するとし、理論
を展開し、矛盾が生じていることを示せばよい。
その際、『必要十分性を保って変形する必要は全くない。』　　　　（※）
理論が破綻していることを示せばよいだけなのだから。

だから、>>101
> 【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きい】
> 【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】
> が必要十分条件じゃないから欠陥問題なるよ。
という指摘は、不当。

Ａ：(sinA)^3、(sinB)^3、(sinC)^3　のうち少なくとも一つはＳより小さい
Ｂ：(sinA)^3、(sinB)^3、(sinC)^3　のいずれもがＳ以上

Ａを証明したいが、背理法を利用するためＢを仮定、その理論展開の中で
「【(sinA)^3(sinB)^3(sinC)^3＞S^3 】」が持ち出された。
それが、【(sinA)^3,(sinB)^3,(sinC)^3がどれもSより大きい】という条件と
必要十分な関係でないからダメだ等というのは、（※）を理解していない。

147:87
08/01/24 16:16:34
なんでこんなに盛り上がってるんだｗ
前スレで行列の問題出したときもそうだけど、
俺の出す問題は意図しない所で盛り上がるな。

>>88の証明：
　1. 「(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 は全て S 以上」と仮定する。
　2. (sin A)^3 ≧ S, (sin B)^3 ≧ S, (sin C)^3 ≧ S ⇒ (sin A)^3 (sin B)^3
(sin C)^3 ≧ S^3
　3. 矛盾する
　4. 「(sin A)^3, (sin B)^3, (sin C)^3 の少なくとも1つは S 以下」
【2. において (sin A)^3 (sin B)^3 (sin C)^3 ≧ S^3 ⇒
(sin A)^3 ≧ S, (sin B)^3 ≧ S, (sin C)^3 ≧ S が正しくないので証明は誤り。】

√2が無理数であることの証明：
　1. 「√2は有理数 n/m」と仮定する。
　2. √2 = n/m ⇒ 2 = (n/m)^2
　3. 矛盾する
　4. 「√2は無理数」
【2. において 2 = (n/m)^2 ⇒ √2 = n/m が正しくないので証明は誤り。】

こうですか！？わかりません！

148:１３２人目の素数さん
08/01/24 16:56:43
nを自然数、xを実数とする
(1)∑[k=0,n](-1)^kC[n,k](x-k)^nを求めよ
(2)∑[k=0,n]C[2k,k]C[2n-2k,n-k]を求めよ

149:１３２人目の素数さん
08/01/24 17:13:34
>>148
それ、MASUDAのとこにあった問題まんまだな

150:１３２人目の素数さん
08/01/24 17:34:55
>>148
マルチ

151:１３２人目の素数さん
08/01/24 17:52:06
>>149
有名問題だからあっても不思議じゃないな
>>150
どこにあったか書けよ
ホントにあったとこで俺じゃないが

152:１３２人目の素数さん
08/01/24 17:55:11
↑お前のティムポに手をあてて聞いてみろ

153:１３２人目の素数さん
08/01/24 18:18:33
なんだ書けないのか嘘つき

154:１３２人目の素数さん
08/01/24 19:40:11
>>146
いまごろ何言ってんだｗ
後から来たなら
全部読んでから発言しろ

155:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/24 20:32:58
a,b,cは0≦a≦b≦c＜1をみたす実数とする．また，S,A,B,Cを以下のように定める．
　S=3(a+b+c+abc)/(1+ab+bc+ca)
　A=(3+a^2)a/(1+3a^2)
　B=(3+b^2)b/(1+3b^2)
　C=(3+c^2)c/(1+3c^2)
このとき，
　A+B+C≦S＜1
が成り立つことを示せ．

156:１３２人目の素数さん
08/01/24 20:35:17
MASUDAさんは上の議論に参加されないのですか？
予備校講師の意見というのはこういうときありがたい

157:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:01:13
MASUDAさんは馬鹿を相手にするほど暇じゃないんだよ。

158:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:02:22
>>147=87
今回のスレは
>>57（MASUDAのHPの日本数学オリンピック本選予想模試より）
>>59（↑の解答からの引用）
のように「論理」で盛りあがるな

＞【2. において 2 = (n/m)^2 ⇒ √2 = n/m が正しくないので証明は誤り。】
前提条件で「n,mは（互いに素の）素数である」とあるから
【2. において 2 = (n/m)^2 ⇒ √2 = n/m が正しいので証明は正しい。】

159:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:18:52
MASUDAは集合論理の問題とか苦手そうｗ

160:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/24 21:20:10
>>156
議論も何も>>88におかしいところは全くないと思いますが．
背理法は，『Ｐ⇒Ｑ』と同値の命題『(Ｐ∩Ｑ~)~』が真，つまり『Ｐ∩Ｑ~』が成り立たないこと(Ｑを否定すると矛盾が生じる)を示すことにより『Ｐ⇒Ｑ』が正しいとする論法と私は理解しています．
必要十分まで考える必要はないはずです．

161:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:23:35
>>136
こうゆう消防でも問題自体は解る問題好きなんだが（しかも文が短いし）
東大向き？
求めるのは軌跡？軌道の範囲きゃな？

162:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:25:28
素直に教えてほしいっていえよ

163:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:47:42
>>160
>>111以降嫁

164:１３２人目の素数さん
08/01/24 21:57:31
>>155
A+B+C≦S＜3の間違い？

165:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/24 22:15:18
>>164
そうですな．

166:１３２人目の素数さん
08/01/24 22:30:37
そもそも>>101が背理法を理解していなかったのが原因

167:１３２人目の素数さん
08/01/24 22:41:15
おまえらは数学板の住人なんだから、あんなくだらないことで
50もレス消費してはいけなかった。

168:１３２人目の素数さん
08/01/24 22:50:04
>>155
1-S/3=(1-a)(1-b)(1-c)/(1+ab+bc+ca)>0　よりS＜3
以下でA+B+C≦Sを示す。
f(x)={e^x-e^(-x)}/{e^x+e^(-x)}
g(x)=log√{(1+x)/(1-x)}
として、g(a)=s、g(b)=t、g(c)=uとすると
f(s)=a,f(t)=b,f(u)=c,f(3s)=A,f(3t)=B,f(3u)=C,f(s+t+u)=S/3　が言える。
またa,b,cが与えられた範囲を動くとき、s,t,uは0≦s≦t≦uのようになる。
したがって任意の非負実数s,t,uについて
f(3s)+f(3t)+f(3u)≦3f(s+t+u)　…①
が成り立つことを示せばよい。
ここで、二階導関数を求めることでf(x)が上に凸であることがわかるので
Jensenの不等式から①が示される。よってA+B+C≦S
以上から題意の不等式が示された。

169:１３２人目の素数さん
08/01/24 23:05:29
p,qを相異なる素数とする.{q^(p+q)-q}/{p^(p+q)-p} が整数となるような組(p,q)をすべて求めよ.

170:136です
08/01/24 23:13:15
答えは点Aをつかいます
ちなみに俺は現役なんですが同じ高校せいにとかせても誰もとけませんでした
新数学演習とかやってる人ならとけるかも？
てか今年理科一類足ぎりかも(笑) 今ひたすら信じて英数理やってます

171:１３２人目の素数さん
08/01/24 23:14:13
ちなみに<は角度をあらわしています

172:１３２人目の素数さん
08/01/24 23:29:31
>>170
お前の学校レベルって…

173:１３２人目の素数さん
08/01/24 23:29:50
そもそも>>88が背理法を理解していなかったのが原因

174:１３２人目の素数さん
08/01/25 03:34:14
>88　は正しい証明です。

175:１３２人目の素数さん
08/01/25 03:42:19
>>127
> 余談ではあるが「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現は違和感ない？
この余談も、書き手の必要条件、十分条件に対する理解の無さをしめしている。
この書き手は次を理解できないであろう。
x=-1 は　x^2=1の「十分条件であるが、必要条件ではない」

176:１３２人目の素数さん
08/01/25 05:12:42
結局>>114が間違ってたのか？

177:１３２人目の素数さん
08/01/25 14:31:59
>>175
釣りのための余談に今更ひっかられても…逆に釣りか？

「数学的」理解と「直感的」違和感は違う。
「e^(iπ)=-1」は理解できても改めて式を見れば不思議である。
この場合、「不思議＝違和感＝数学の魅力」であるが
「十分条件であるが、必要条件ではない」という表現はﾏｰｸｼｰﾄ試験用の造語であって数学的魅力は感じない。
数学的魅力は個人の好みであって、数学に限らず一般的に
「得意不得意」と「好き嫌い」と違う。

嗜好（思考）盗聴ネタはこれにて終了

178:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/25 18:38:58
nは正の整数とする．1または-1を並べた項数2nの数列a[1],a[2],…,a[2n]があり，
　Σ[k=1,2n]a[k]=0
をみたす．このとき，1≦i≦2n-1，a[i]+a[i+1]=0をみたす整数iの個数の期待値をE[n]として，
極限値lim[n→∞]E[n]/n=1を示せ．

179:１３２人目の素数さん
08/01/25 21:49:05
>>178
E[n]=nですからわざわざ極限なんてとらないでもよくないですか？

180:１３２人目の素数さん
08/01/26 00:50:28
(1+2cosπ/9)^2008の整数部分を9で割った余りを求めよ

181:１３２人目の素数さん
08/01/26 13:59:45
>>148
(1)n!
(2)4^n
予想して帰納法でやればいい

182:１３２人目の素数さん
08/01/26 17:29:31
>>148
細かいことだが、C[0,0] を問題文の中で定義しとかないと入試範囲外。

183:１３２人目の素数さん
08/01/26 19:11:34
そうなの？

184:１３２人目の素数さん
08/01/26 19:42:23
0!=1は習うんじゃなかった？これを習えば
C[0,0]=0!/0!0!=1

185:１３２人目の素数さん
08/01/26 20:21:54
>>148 (1) 再掲

0≦m≦n かつ m≦k≦n とする。
　C[n,k] k(k-1)…(k-m+1) = C[n,k] {k!/(k-m)!} = {(n!)/(k!･(n-k)!)}{k!/(k-m)!} = {n!/(n-m)!} C[n-m,k-m],
より
　∑[k=0,n] (-1)^k･C[n,k] k(k-1)…(k-m+1)
　= ∑[k=m,n] (-1)^k･C[n,k] k(k-1)…(k-m+1)
　= {n!/(n-m)!} Σ[k=m,n] (-1)^k･C[n-m,k-m]
　= {n!/(n-m)!}(-1)^m Σ[k'=0,n-m] (-1)^k'･C[n-m,k']
　= {n!/(n-m)!}(-1)^m･(1-1)^(n-m)
　= (-1)^n･n!δ_(m,n),　
よって 0≦m≦n のとき
　∑[k=0,n] (-1)^k･C[n,k] k^m = (-1)^n･n!δ_(m,n),

186:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
08/01/26 21:15:10
0!は扱いますが，高校範囲ではC[0,0]は扱いません．パスカルの三角形も２段目から．

187:アナーキストコン
08/01/26 21:58:09
もっかい
書きます
半径一の円の内側の定点をAとする。円周上に二点P,Qを/_PAQ=90度となるようにするとき P Qにおける円の接線のコウテンの軌跡をもとめよ。

188:１３２人目の素数さん
08/01/26 21:59:58
>>49
　L[k] = b[k,1]*b[k,2]* …… *b[k,k]　にして見ますた…

〔補題〕
　1≦i<j≦n　⇒　B[j]-B[i] = gcd(B[i], B[j]) 　(最大公約数)　
となるn個の自然数 B[1] < B[2] < …… < B[n] が存在する。

漸化式
　B[k-1] = B[k] - Π[j=k+1,n] {B[j] - B[k]},　　(1<k≦n) …… (*)
　B[k] - B[1] | B[1],　　　　　　　　　　　　　(1<k≦n) …… (**)
を考える。
はじめに B'[n] =0 等とおき、 B'[n-1], … ,B'[1] を順次(*)で定める。
しかし、これは一般に条件(**)を満たさない。
ところで B[k] を或る定数だけ「平行移動」しても (*)には影響ないので
　B[k] = B'[k] - B'[1] + Π[k=2,n] {B'[k] - B'[1]},
とおく。これは
　B[1] = Π[k=2,n] {B[k] - B[1]},
により (*),(**) を満たす。
　B[k]-B[k-1] = Π[j=k+1,n] {B[j] - B[k]},　　(1≦k≦n)
　B[n]-B[n-1] | … | B[i]-B[i-1] | …… | B[2]-B[1] | B[1],
したがって
　B[i] = {B[i]-B[i-1]} + {B[i-1]-B[i-2]} + …… + {B[2]-B[1]} + B[1]
　　= P * {B[i]-B[i-1]}
　　= PQ* {B[j]-B[i]},　　　　　　　　　← (*)
　B[j] = (PQ+1){B[j]-B[i]},

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