代数的整数論 009 at MATH

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109:Kummer ◆g2BU0D6YN2 07/12/15 12:22:38 Hahn-Banachの定理(>>104)を局所凸位相線形空間に適用するには 局所凸位相線形空間の間の連続写像を半ノルムで特徴付ける必要がある。 これについて述べる。 110:Kummer ◆g2BU0D6YN2 07/12/15 14:12:22 命題 K を可換とは限らない体とする。 | | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。 E と F を K 上の左位相線形空間とし E の位相は半ノルムの集合 Γ で 定義され(過去スレ008の469) F の位相は半ノルムの集合 Γ' で 定義されるとする。 f : E → F を線形写像とする。 f が連続であるためには 任意の q ∈ Γ' に対して Γ の元の有限列 p_i, i = 1, ... , n と 実数 α ＞ 0 が存在し任意の x ∈ E に対して q(f(x)) ≦ αsup{ p_i(x) | i = 1, ... , n} となることが必要十分である。 証明 条件の十分性： 任意の γ ＞ 0 に対して p_i(x) ＜ γ/α, i = 1, ... , n であれば、q(f(x)) ＜ γ であるから f は 0 で連続である。 従って、 a ∈ E と任意の γ ＞ 0 に対して p_i(x - a) ＜ γ/α, i = 1, ... , n であれば、q(f(x) - f(a)) = q(f(x - a)) ＜ γ であるから f は a で連続である。 (続く)

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