代数的整数論 009 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 009 at MATH

1:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/20 21:01:45
代数的整数論 009
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

過去スレ
#001
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#002
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#003
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#004
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#005
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
#006
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
#007
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)l50
#008
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)

2:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/20 21:12:57
次の定義は(過去スレ008の554)の拡張である。

定義
K を実数体または複素数体とする。
K 上の分離的で局所凸(過去スレ008の513, 593)な位相線形空間 E は
距離付け可能(過去スレ007の96)で完備なとき Frechet 空間と言う。

3:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/20 21:31:24
定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
A を E の部分集合とする。
A の平衡包(過去スレ008の439)の凸包(過去スレ008の431)を
A の凸平衡包と言う。

4:１３２人目の素数さん
07/11/20 22:04:33
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5:１３２人目の素数さん
07/11/20 23:15:34
a

6:１３２人目の素数さん
07/11/21 00:56:24
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7:１３２人目の素数さん
07/11/21 18:33:44
b

8:１３２人目の素数さん
07/11/21 21:46:18
何故このスレでこの手の輩が湧くのか

9:１３２人目の素数さん
07/11/21 22:07:52
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10:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 03:45:48
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
A を E の部分集合とする。

A の凸平衡包(>>3)は Σ(λ_i)x_i の形の元全体である。
ここで (x_i) は A の元の有限列であり、
(λ_i) は K の元の有限列で Σ|λ_i| ≦ 1 となるもの。

証明
A の平衡包(過去スレ008の439)を B とする。
B = ∪{μA | |μ| ≦ 1, μ ∈ K } である。
B の凸包(過去スレ008の431)、即ち A の凸平衡包を Γ とする。
過去スレ008の433より
Γ = {Σ(λ_i)y_i | y_i ∈ B, i = 1, ..., n, λ_i ≧ 0, Σλ_i = 1}

λ_i ≧ 0, Σλ_i = 1, |μ_i| ≦ 1, μ_i ∈ K のとき、
Σ|(λ_i)(μ_i)| = Σ(λ_i)|(μ_i)| ≦ Σλ_i = 1
よって、Γ の元は Σ(ν_i)x_i, x_i ∈ A, Σ|ν_i| ≦ 1, ν_i ∈ K
と書ける。

逆に x = Σ(λ_i)x_i, x_i ∈ A, Σ|λ_i| ≦ 1, λ_i ∈ K のとき、
x ∈ Γ を示せばよい。
λ_i が全て 0 なら x = 0 だから x ∈ Γ である。
よって、各 λ_i ≠ 0 と仮定してよい。
h = Σ|λ_i| とおく。0 ＜ h ≦ 1 である。
x/h = Σ(|λ_i|/h)(μ_i)x_i である。
ここで μ_i = (λ_i)/|λ_i|
|μ_i| = 1 だから (μ_i)x_i ∈ B である。
Σ(|λ_i|/h) = 1 だから x/h ∈ B である。
B は平衡的だから x ∈ B である。
証明終

11:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 07:29:28
命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
E の 0 の閉近傍で平衡的なもの全体は 0 の基本近傍系となる。

証明
V を 0 の任意の近傍とする。
N = ∩μV とおく。ここで μ は |μ| ≧ 1 となる全ての μ ∈ K を
動く。
過去スレ006の631より N は V に含まれる最大の平衡的集合である。
即ち V の平衡核(過去スレ006の632)である。

(λ、x) ∈ K×E に λx ∈ E を対応させる写像は連続であるから
実数 α ＞ 0 と E の 0 の近傍 W が存在して |λ| ＜ α なら
λW ⊂ V となる。
| | は自明でない絶対値だから 0 ＜ |μ| ＜ α となる μ ∈ K が
ある。
|λ| ≦ 1 のとき |λμ| ≦ |μ| ＜ α だから
λμW ⊂ V である。
よって μW ⊂ N である。
μW は 0 の近傍だから N も 0 の近傍である。
V が閉なら N も閉である。
E は一様空間であるから過去スレ006の207より 0 の閉近傍全体は
基本近傍系である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

12:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 07:33:48
>>11 は簡単な事実だが位相ベクトル空間論の基本となるものである。
この命題が平衡的集合が位相ベクトル空間において重要になる理由の
一つである。

13:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 09:18:04
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の線形空間とする。
A を E の部分集合とする。
A の凸平衡包(>>3)は平衡的である。

証明
A の凸平衡包を B とする。
>>10 より B の任意の元 x は x = Σ(λ_i)x_i と書ける。
ここで (x_i) は A の元の有限列であり、
(λ_i) は K の元の有限列で Σ|λ_i| ≦ 1 となるもの。

μ ∈ K, |μ| ≦ 1 なら
μx = Σμ(λ_i)x_i であり、Σ|μλ_i| ≦ |μ|Σ|λ_i| ≦ 1
よって μx ∈ B である。
即ち、B は平衡的である。
証明終

14:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 09:23:16
次の命題は過去スレ008の454の拡張である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
A を E の平衡的(過去スレ006の630)な部分集合とする。
A の閉包 A~ は平衡的である。

証明
|μ| ≦ 1 に対して写像 f: E → E を f(x) = μx で定義する。
f は連続だから f(A~) ⊂ f(A)~ ⊂ A~ である。
よって、A~ は平衡的である。
証明終

15:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 09:41:44
次の命題は過去スレ008の514の拡張である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸な位相線形空間(過去スレ008の593)とする。
E の 0 の近傍で樽(過去スレ008の598)となるもの全体は
0 の基本近傍系となる。

証明
0 の任意の近傍 U をとる。
E は一様空間であるから過去スレ006の207より 0 の閉近傍全体は
基本近傍系である。
よって、0 の閉近傍 V で V ⊂ U となるものがある。
E は局所凸だから 0 の凸近傍 W で W ⊂ V となるものがある。
>>11 より 0 の閉近傍で平衡的な N で N ⊂ W となるものがある。
N の凸包を T とする。T の閉包を S とする。
W は凸だから T ⊂ W である。
V は閉だから S ⊂ V である。
N ⊂ S だから S は 0 の近傍である。
S が樽であることを示せばよい。

>>13 より T は平衡的である。
>>14 より S も平衡的である。
過去スレ008の434 より S は凸である。
過去スレ008の629 より S は吸収的(過去スレ008の628)である。
以上から S は樽である。
証明終

16:１３２人目の素数さん
07/11/23 16:24:09
ふむ

17:１３２人目の素数さん
07/11/23 16:25:23
前スレ容量オーバーしたの？

18:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 19:31:22
Bourbakiを真似て過去スレ008では、まず最初に実数体上の位相線形空間の
基礎的なことを述べた。
しかし、これはあまりいい方法ではなかった。
最初から K を実数体または複素数体として K 上の位相線形空間を扱えば
よかった。
そうすれば、２度手間を防げたし、参照にも便利だった。

19:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 19:50:30
次の命題は過去スレ008の511の拡張である。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のの位相線形空間とする。
B を E における樽(過去スレ008の598)とする。
このとき、半ノルム(過去スレ008の458) p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。

p が連続となるためには B が 0 の近傍であることが必要十分である。

証明
任意の x ∈ E に対して、p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αB } とおく。
過去スレ008の599より、p(x) は E の半ノルムである。

V(p, 1) = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } とおく。
p(x) ≦ 1 なら任意の ε ＞ 0 に対して x ∈ (1 + ε)B
よって、(1/(1 + ε))x ∈ B となる。
ε → 0 のとき 1/(1 + ε) → 1 だから
(1/(1 + ε))x → x となる。
B は閉集合だから x ∈ B である。
よって、V(p, 1) ⊂ B である。
逆の包含関係は明らかだから V(p, 1) = B
p の一意性は過去スレ008の510 より明らかである。

B が 0 の近傍なら 0 ⊂ U ⊂ B となる開集合 U がある。
任意の ε ＞ 0 に対して εU は 0 の近傍である。
x ∈ U なら p(εx) = εp(x) ≦ ε
よって、p は 0 で連続である。

逆に p が連続なら過去スレ008の474 より B は 0 の近傍である。
証明終

20:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 20:10:04
過去スレ008で実数体上の位相線形空間について述べた命題は
そのまま複素数体上の位相線形空間で成り立つ場合が多い。
証明もそのままか、あるいは自明なわずかの修正で成り立つ場合が多い。
よって、以後は特に説明を要する場合を除いて、複素数体上の場合の
命題とその証明を追加することは省略する。

21:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 20:38:30
定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を局所コンパクト空間とする。

X から E への連続写像全体を C(X; E) と書く。
X から E への連続写像でコンパクトな台(過去スレ007の671)を持つもの
全体を K(X; E) と書く。

A を X の部分集合としたとき、
{ f ∈ K(X; E) | Supp(f) ⊂ A } を K(X, A; E) と書く。
ここで、Supp(f) は f の台を表す(過去スレ007の671)。

R を実数体としたとき { f ∈ K(X; R) | f ≧ 0 } を K+(X) と書く。

22:１３２人目の素数さん
07/11/23 21:45:34
p-adic な位相線型空間論は無いの？

23:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 21:57:10
命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
X を局所コンパクト空間とする。
K を X のコンパクトな部分集合とする。

K(X, K; E) の元 f に f の K への制限 f|K を対応させる
写像は明らかに単射である。K(X, K; E) のこの単射による像は
{ f ∈ C(K; E) | f(K^b)= 0 } と一致する。
ここで K^b は K の X における境界、即ち K^b = K - int(K) である。
ここで、int(K) は K の内部である。

証明
任意の f ∈ K(X, K; E) に対して U = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } とおく。
U は X の開集合で U ⊂ K だから U ⊂ int(K) である。
よって、f(K^b) = 0 である。

逆に、g ∈ C(K; E) で g(K^b) = 0 とする。
f を K において g と一致し、X - K で 0 となる X から E への
写像とする。
f は閉集合 F = X - int(K) 上で定数 0 だから連続である。
f は K 上で g と一致するから勿論連続である。
X = K ∪ F だから f は X 上で連続である。
よって、 f ∈ K(X, K; E) である。
証明終

24:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/23 22:26:41
>>22

世の中に有るか無いかというなら有るでしょう（私はそれについて詳しくはないが）。
このスレシリーズにはあまりない。
しかし、過去スレ006で自明でない絶対値を持つ体上の位相線形空間
について非常に基礎的なことを述べた(例えば687)。
これは p-進数体を扱うところで使用される。

25:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/24 07:43:36
命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
X を局所コンパクト空間とする。
K を X のコンパクトな部分集合とする。
C(K; E) (>>21) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を入れる。

K(X, K; E) の元 f に f の K への制限 f|K を対応させることにより
K(X, K; E) を C(K; E) の部分集合とみなす。

このとき K(X, K; E) は C(K; E) において閉である。

証明
>>23 より K(X, K; E) = { f ∈ C(K; E) | f(K^b)= 0 } である。

x ∈ K に対して C(K; E) の元 f に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続である。
従って T(x) = { f ∈ C(K; E) | f(x) = 0 } は閉である。
よって、K(X, K; E) = ∩{T(x) | x ∈ K^b } は閉である。
証明終

26:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/24 09:04:23
定義
X を集合、Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ が次の性質をもつとき Σ を X 上の擬有界族(bornologie)と言う。

1) A ∈ Σ で A' ⊂ A なら A' ∈ Σ
2) A, B ∈ Σ なら A ∪ B ∈ Σ

27:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:03:54
やあ

クンまー

他にやることないの？

28:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:04:38

01 200 現　灘　数学オリンピック入賞（合宿参加）
"" """ 現　灘　大学への数学の常連
"" """ 現　灘　算数オリンピック入賞
"" """ 現　灘　数学オリンピック銀メダリスト
05 196 現　灘　数学オリンピック一次予選通過
"" """ 現　灘
07 194
08 192 現　高田　数学オリンピック金メダリスト
09 188 ②　洛南　数学オリンピック一次予選通過、化学オリンピック代表候補
"" """ 現　灘
"" """ 現　灘
"" """ 現　灘
"" """ 現　灘
"" """ 卒　灘
15 187 現　灘
16 186
17 """ 卒　愛知
18 185 卒　灘
"" """ 現　兵庫

70 173 現　大阪教育大学附属天王寺　数学オリンピック銀メダル

29:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:05:29
香川３人不明事件から１週間　「どこに」家族心労

　香川県坂出市でパート従業員の三浦啓子さん（５８）と、孫の山下茜（あかね）ちゃん（５）、
彩菜（あやな）ちゃん（３）姉妹が、多量の血痕を残したまま行方不明になってから、２３日で
１週間がたった。３人の安否につながる手がかりが得られず、晩秋の寒空の下、家族らから
悲痛な声が上がる。なぜ、襲われなければならなかったのか。事件の真相が見えない中で、
地元の不安だけが広がっている。

　「孫だから、頼まれたら断れん」。自転車で外出することが多かった三浦さんの傍らには、
いつも姉妹の姿があった。食品会社とスーパーの仕事をかけ持ちしながら、自宅隣に住む
４人の孫の面倒をみており、仲むつまじい様子が評判だった。中でも姉妹は「おばあちゃんっ子」
で、両親がうらやむほど三浦さんになついていたという。

　三浦さんは失跡前日の１５日朝、自転車のパンク修理のため、茜ちゃんと兄（１０）と
みられる２人を連れて近所の自転車店を訪れた。経営者の女性（６８）は「明るくて朗らかな人
だった。この寒い中、３人でどこにいるのか」と声を詰まらせた。

　「いてもたってもいられない」。姉妹の父、清さん（４３）は事件後、手がかりを求めて自ら車で
周囲を捜しているという。「ご飯をきちんと食べているのだろうか。１分１秒でも早く帰ってきて
ほしい」と、涙ながらに３人を気遣う。

　１９日には、娘たちが無事に戻ってくるよう願をかけて、自分で髪をそった。妻の佐智子さん
（３４）は心労が募って体調を崩し、姉妹の兄は小学校を休んでいるという。

30:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:06:15
　　　　　Ｏ
　　　　　　o　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と
　　　　　　　。 ,. -ー冖'⌒'ー-、　　　　　　　　　　思
　　　　　　　,ノ　　　　　　　　＼　　　　　　　　　　う
　　　　　　/　,r‐へへく⌒'￢、　ヽ　　　　　　　　灘
　　　　　　 {ノへ.._、 ,,／~`　　〉　｝　　　　,r=-、　工
　　　　　／プ￣`y'¨Y´￣ヽ―}j=く　　　　/,ミ=/ 　作
　　　　ノ　/レ'>-〈＿ュ`ー‐'　　リ,イ} 　　　〃　/　員
　　　/　_勺イ;；∵r;==、、∴'∵;　シ　　〃　/ 　　で
　　,/　└' ノ＼　こ¨｀　　　ノ{ー--、〃__/ 　　　あ
　人＿_/ー┬ 个-、＿_,,..　‐'´ 〃`ァーァー＼　　っ
. /　　　|／　|::::::|、　　　　　　　〃　/:::::/　　　ヽ　　た
/　　　｜　 |::::::|＼、_________／' 　 /:::::/〃

31:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:08:02
香川県坂出市で祖母と孫娘２人が行方不明になっている事件で、
県警坂出署捜査本部は室内に残された大量の血痕などから、３人が
自力で外に出た可能性は低く、比較的大型の車で連れ去られたとの
見方を強めている。祖母宅からなくなった自転車についても、自ら
出て行ったように見せかける偽装工作として持ち去られた疑いが強く、捜査本部は該当する不審車が現場周辺で目撃されなかったかなどを調べている。

　行方不明になっているのは、同市林田町の三浦啓子さん（５８）
と、隣に住む無職、山下清さん（４３）の長女茜ちゃん（５）、
次女彩菜ちゃん（３）。

　調べなどによると、自転車は２６インチ型で、前かごなどが
付いた一般的なタイプ。１６日午前２時ごろには三浦さん宅玄
関前にあったのを山下さんが確認しているが、同７時２０分ご
ろにはなくなっていた。当初は三浦さんが乗って出た可能性も
残っていたが、１９日に室内の血痕が３人のものと判明。自力
走行は無理だったとみられる。

　また、室内では洋服ダンスの引き出しが開けられる一方、
奪われたものが見当たらないなど、犯行目的を隠す偽装工作
とみられる状況があった。自転車を持ち去ったのもこの一環
とみられるが、３人と一緒に自転車を収容するのは軽乗用車
や普通車では困難で、ワゴンタイプなどが使われた可能性が
高い。

32:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:09:03
432 ：１３２人目の素数さん：2007/11/18(日) 08:20:06
373 名前：１３２人目の素数さん：2007/10/23(火) 07:52:39
だからさｗ

その糞雑誌とやらに

論文を載せてから、「俺の論文が載るなんて、確かに

糞雑誌だｗｗｗｗｗ」　と言ってみろよ。

俺はCrelle, Math. Zeit, Math. Ann. は制覇したｗ

33:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:09:49
172 ：１３２人目の素数さん：2007/11/20(火) 13:32:17
数学セミナーでの連載記事
URLﾘﾝｸ(www.nippyo.co.jp)

おいしい数学のつくりかた（谷川晴美）（1997年4月～1998年3月）

４月：　昼行灯の日常
５月：　星に願いを
６月：　アイドルを追え！
７月：　アイドルを追え！ PART 2
８月：　数学とお見合い
９月：　リベラル
10月：　白馬に乗った王子様
11月：　遠く離れた友達と
12月：　続　遠く離れた友達と
１月：　Livin' on a prayer
２月：　Prayer '98 吉本新喜劇バージョン
３月：　論文達の運命

アイドルとはThrstonのことでした

谷川晴美（1964年生，滋賀県出身）
　京大理・修士，東工大博士，名大多元助手

34:１３２人目の素数さん
07/11/24 12:17:21
嫌…何がどうなってるの？

このスレに何の関係があるの？

35:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/24 12:43:51
定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E の部分集合 A は 0 の任意の近傍 V により吸収(過去スレ006の628)
されるとき有界という。

即ち、E の部分集合 A は 0 の任意の近傍 V に対して、
ある実数 α ＞ 0 があり |λ| ≧ α なら A ⊂ λV となるとき
有界という。

36:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/24 13:02:34
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。

E の部分集合 A が有界であるためには 0 の任意の近傍 V に対して、
A ⊂ λV となる λ ∈ K が存在することが必要十分である。

証明
条件が十分であることを示せばよい。

V を 0 の任意の近傍とする。
>>11 より 0 の近傍 W で平衡的であり、W ⊂ V となるものがある。
A ⊂ λW となる λ ∈ K が存在するとする。
λ = 0 なら A = 0 となり A は有界である。
よって、λ ≠ 0 とする。
|μ| ≧ |λ| なら |λ/μ| ≦ 1 である。
W は平衡的だから (λ/μ)W ⊂ W である。
よって、λW ⊂ μW である。
よって、A ⊂ μW ⊂ μV である。
即ち、A は有界である。
証明終

37:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/24 13:28:27
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。

F(X, E) に Σ-収束の位相(過去スレ007の150)を入れる。

H を F(X, E) の部分集合とする。
H に対して F(X, E) の Σ-収束の位相から誘導された位相を
Σ-収束の位相と言う。

38:Kummer ◆p5Ne5aK0Lg
07/11/24 14:41:04
　　 ∩＿＿＿∩
　　 | ノ　　　　　ヽ
　　/　　●　　　● |　Kummer 頑張れ─！！
　 |　　　　( _●_)　ミ
　彡､　　　|∪|　　､｀＼
/　＿＿　ヽノ　/´>　 )
(＿＿＿）　　　/　(_／
　|　　　　　　 /
　|　　／＼　＼
　|　/　　　 )　 )
　∪　　　（　＼
　　　　　　＼＿)

39:１３２人目の素数さん
07/11/24 15:31:57
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ああああああああああああああああああああああああああああああああ

40:１３２人目の素数さん
07/11/24 16:20:45
　　　　　　　　　　,r'"／／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼
　ﾌﾟﾙﾝ　　　　　 i -‐''"ノ　　　　　　　　　　　　　　　　　＼　　　　　　　　＼
　　　　　　 ,-‐'´　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　入　　　　　　　　＼
（（　　　,, -''　　　　 /　　　　　　　　　　　　　　　 i　　　　 /　＼　　　　　　　　＼
　　／　　　　　　 l　　　　ﾟ::ﾉ　　　　　　　　　　l　　　　/ 　　＼　　　　　　　　ヽ
　　l　ﾉ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　/　　　/ 　　　＼　　　　　　　ﾞ､
　　.i　　　　　　　　',　　　　　　　　　　　　　　　/　　　 /　））　　　　＼　　　　　　　ヽ
　　 ',　　　　　　　　ヽ　　　　　　　　　　　　　／　　　 /　　　　　　　　＼_,,　　　　　　'､
　　　ヽ　　　　　　　　＼　　　　　　　　　,;‐'"　　　　 /　　ﾌﾟﾙﾙﾝ　　　／　　　　　　　ヽ

41:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 01:00:39
補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
F(X, E) は K 上の線形空間である。
H を F(X, E) の線形部分空間とする。
X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。

(1) V が平衡的(過去スレ006の630)なら T(M, V) も平衡的である。

(2) V が凸(過去スレ008の424)なら T(M, V) も凸である。

(3) f ∈ H, λ ∈ K, λ ≠ 0 に対して f ∈ λT(M, V) であるためには
f(M) ⊂ λV が必要十分である。

証明
(1) |λ| ≦ 1, f ∈ T(M, V) のとき、λf(M) ⊂ λV ⊂ V

(2) λ ≧ 0, μ ≧ 0, λ + μ = 1, f ∈ T(M, V), g ∈ T(M, V)
のとき、x ∈ M に対して λf(x) + μg(x) ∈ V である。
よって、λf + μg ∈ T(M, V) である。

(3) f = λg, g ∈ T(M, V) なら f(M) ⊂ λV である。
逆に f(M) ⊂ λV なら (1/λ)f(M) ⊂ V である。
即ち (1/λ)f ∈ T(M, V) である。
よって、f ∈ λT(M, V) である。
証明終

42:１３２人目の素数さん
07/11/25 01:34:53
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
　　　　　　　{　　　　!　　　　 _,, -ｪｪｭ､　　|
ｨ彡三ﾐヽ　　｀ヽ　　　　　,ｨﾊミﾐミﾐﾐﾐﾐﾐﾐヽ､|
彡'⌒ヾﾐヽ　　　｀ー　　/ililﾊilﾐilミliliミliliﾐliliﾐ|
　　　　　ヾ､　　　　 /iiiｉｲ!ヾヾﾐ､ﾐﾆ=ー-ﾐ|
　　＿　　　　｀ー―'　i!ﾊ:.:.＼＼_::::::::::::::／:.|　このスレは
彡三ミﾐヽ　　　　　　 i! ヽ:.:.:.:冫': : :::／,,∠|
彡'　　　ヾ､　　　＿ノ i!:::￣二ー:: : ::::ｿ・ ,|　クマーさんの前妻さんに
　　　　　　｀ー '　　　　{ﾍラ' ・_＞ｼ;ﾃﾂ"''''"|
　,ｨ彡三ﾆﾐヽ　　＿_ノヽﾍ｀" 彡' 〈　　　　 |　監視されて
彡'　　　　｀￣　　　　｀＼　　ｰ-=ｪっ　|
　　　　　　＿　　＿＿ノ　 {ﾐ;ヽ､　 ⌒　　 |　います
　　　,ｨ彡'　　￣　　　　　ヾミﾐミﾐﾄ-- '　 |
ﾐ三彡'　　　　　　　　／⌒　/￣￣ | : ::::::::::|
　　　　　　ｨﾆﾆ=- ' 　　　/　i　　　｀ー-（二つ
　　　 ,ｨ彡'　　　　　　　　 {　ﾐi　　　　　（二⊃
　　 //　　　　　　　　／　 l　ﾐii　　　　　ト､二)
　彡' 　　　＿＿,ノ　　　|　ﾐｿ　　　　　:..｀ﾄ-'
　　　　／　　　　　 |　ﾐ{　　　　　:.:.:..:|
　　　　　　　　　　　　ノ　/　ヾ＼i､　　 :.:.:.:.:|
　　　　　　ｨﾆ=-- '"　　/　　ヾヾiiヽ､ :.:.:.:.::::|
　　　　／　　　　　／　｀/￣￣7ﾊヾヾ : .:.:.|
　　ノ　　　＿／　　　/　　　/　 |:. :.:.:.:.:.:.:|

43:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 01:47:16
命題
X を集合、Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ に属す集合の有限個の和集合の部分集合全体 Σ' は Σ を含む
最小の擬有界族(>>26)である。

証明
自明である。

44:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 01:51:53
定義
X を集合、Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ を含む最小の擬有界族(>>26) Σ' を Σ から生成された
擬有界族という。

45:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 02:31:20
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。
Σ' を Σ から生成された擬有界族(>>44)とする。

F(X, E) の Σ-収束の位相(過去スレ007の150)と
Σ'-収束の位相は一致する。

証明
F(X, E) を F と略す。
X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して
W(M, V) = {(f, g) ∈ F×F | 任意の x ∈ M に対して f(x) - g(x) ∈ V}
とおく。

M が Σ の元を動き、V が 0 の近傍を動いたとき W(M, V) の有限個の
共通部分全体が Σ-収束の一様構造の基本近縁系となる
(過去スレ007の155)。

N ⊂ M のとき W(M, V) ⊂ W(N, V)
W(M, V) ∩ W(N, V) = W(M ∪ N, V)
よって、F(X, E) 上の Σ-収束の一様構造と Σ'-収束の一様構造は
一致する。
証明終

46:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 08:18:52
命題
K を可換とは限らない体とし、| | を K の自明でない絶対値
(過去スレ006の414, 422)とする。
E を K 上の左加群とする。

E の部分集合の集合 Φ が以下の条件を満たすとき
Φ が 0 の基本近傍全体と一致するような E の位相が
唯一つ存在し、その位相により E は K 上の位相線形空間となる。

1) Φ は E のフィルター基底(過去スレ006の77)である。

2) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V

3) 任意の V ∈ Φ と任意の K の元 λ ≠ 0 に対して λV ∈ Φ

4) 任意の V ∈ Φ は吸収的(過去スレ006の628)である。

5) 任意の V ∈ Φ は平衡的(過去スレ006の630)である。

証明
Φが生成するフィルターを Φ' とする。
Φ' を過去スレ006の636に適用すれば明らかである。

47:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 08:56:19
訂正

>>15
>過去スレ008の629 より S は吸収的(過去スレ008の628)である。

過去スレ006の629 より S は吸収的(過去スレ006の628)である。

48:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 09:13:00
命題
K を可換とは限らない体とし、| | を K の自明でない絶対値
(過去スレ006の414, 422)とする。
E を K 上の左加群とする。

A を E の平衡的(過去スレ006の630)な部分集合とする。
任意の x ∈ E に対して x ∈ λA となる λ ∈ K が存在するなら
A は吸収的(過去スレ006の628)である。

証明
任意の x ∈ E に対して x ∈ λA となる λ ∈ K, λ ≠ 0 が
存在するとする。

A は平衡的だから 0 ∈ A である。
x = 0 なら λ = 1 としてよい。
x ≠ 0 なら λ ≠ 0 である。
いずれの場合も |λ| ＞ 0 である。

|μ| ≧ |λ| なら |μ^(-1)λ| ≦ 1 である。
A は平衡的だから (μ^(-1)λ)A ⊂ A
よって、λA ⊂ μA
よって、x ∈ μA
即ち、A は平衡的である。
証明終

49:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 10:08:25
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
F(X, E) は K 上の線形空間である。
H を F(X, E) の線形部分空間とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。

任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ H に対して f(M) が有界(>>35)であれば
H 上の Σ-収束の位相(>>37)により H は K 上の位相線形空間となる。

さらに E が局所凸(過去スレ008の513と593)であれば H も局所凸である。

証明
>>45 より Σ は擬有界族(>>44)と仮定してよい。

X の部分集合 M と E の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。

0 の平衡的な近傍全体を Ψ とおく。
M として Σ の元を動かし、V として Ψ の元を動かしたときの
T(M, V) の全体を Φ とおく。

M ∈ Σ, N ∈ Σ とし V ∈ Ψ, W ∈ Ψ とする。
T(M, V) ∩ T(N, W) ⊃ T(M, V ∩ W) ∩ T(N, V ∩ W) = T(M ∪ N, V ∩ W) であり、
V ∩ W は平衡的である。
M ∪ N ∈ Σ だから Φ はフィルター基底(過去スレ006の77)である。

(続く)

50:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 10:09:09
>>49 の続き。

>>11 より Ψ は 0 の基本近傍系となる。
よって任意の V ∈ Ψ に対して W + W ⊂ V となる W ∈ Ψ がある。
任意の M ∈ Σ に対して T(M, W) + T(M, W) ⊂ T(M, V) である。

>>41 の (3) より任意の T(M, V) ∈ Φ と任意の K の元 λ ≠ 0 に
対して λT(M, V) = T(M, λV) である。
λV は平衡的だから λT(M, V) ∈ Φ である。

>>41 の (3) と >>48 より Φ の各元は吸収的である。
>>41 の (1) より Φ の各元は平衡的である。

以上から Φ は >>46 の条件をすべて満たす。
従って、>>46 より Φ が 0 の基本近傍全体と一致するような E の位相が
唯一つ存在し、その位相により E は K 上の位相線形空間となる。
この位相は明らかにΣ-収束の位相である。
証明終

51:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 10:12:06
>>50 の補足。

>>41 の (2) より E が局所凸であれば H も局所凸である。

52:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 12:30:28
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
f: E → F を連続な線形写像とする。
M が有界(>>35)な E の部分集合であれば f(M) も有界である。

証明
V を F の 0 の近傍とする。
f^(-1)(V) は E の 0 の近傍である。

M は有界だから M ⊂ λf^(-1)(V) となる λ ∈ K がある。
従って、x ∈ M に対して x = λy となる y ∈ f^(-1)(V) がある。
f(x) = λf(y) ∈ λV である。
よって、f(M) ⊂ λV である。
>>36 より f(M) は有界である。
証明終

53:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 12:40:35
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
Σを E の部分集合の集合で Σ の元はすべて有界(>>35)とする。

Σ-収束の位相(>>37)により L(E, F) は K 上の位相線形空間となる。
さらに F が局所凸(過去スレ008の513と593)であれば L(E, F) も
局所凸である。

証明
Σ の元はすべて有界であるから、
>>52 より、任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ L(E, F) に対して
f(M) は有界(>>35)である。
よって、>>49 より本命題の主張が得られる。
証明終

54:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 17:28:24
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸(過去スレ008の513と593)な位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
F(X, E) は K 上の線形空間である。
H を F(X, E) の線形部分空間とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。
任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ H に対して f(M) が有界(>>35)である
とする。

>>49 より Σ-収束の位相により H は K 上の局所凸な位相線形空間
となる。

過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
E の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
Σ_1 を Σ に属す集合の有限個の和集合全体とする。

p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 と f ∈ H に対して
p_M(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ M } とおく。
p_M は H 上の半ノルムである。

Ω = { p_M | p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 } とおく。
H の位相は Ω により定義される。

証明
p_M が半ノルムであることは明らかである。
E の部分集合 M と F の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。

(続く)

55:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 17:29:09
>>54 の続き。

任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおく。

M ∈ Σ_1 に対して
T(M, V(p, α)) = { f ∈ H | p_M(f) ≦ α } である。

過去スレ008の471 より p_1, . . ., p_n を Γ の有限列、
α_i ＞ 0, i = 1, . . . , n としたとき、
∩V(p_i, α_i) 全体は Γ により定義される位相に関して
0 の基本近傍系である。

明らかに ∩V(p_i, α_i) は平衡的である。

M ∈ Σ_1, N ∈ Σ_1 に対して
T(M, ∩V(p_i, α_i)) = ∩T(M, V(p_i, α_i))
T(M, V(p_i, α_i)) ∩ T(N, V(p_i, α_i)) = T(M ∪ N, V(p_i, α_i))
である。
従って、H の位相は Ω により定義される。
証明終

56:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 17:53:33
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間で、F は局所凸(過去スレ008の513と593)
とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
Σを E の部分集合の集合で Σ の元はすべて有界(>>35)とする。

>>53 より Σ-収束の位相により L(E, F) は K 上の局所凸な位相線形空間
となる。

過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
F の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
Σ_1 を Σ に属す集合の有限個の和集合全体とする。

p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 と f ∈ L(E, F) に対して
p_M(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ M } とおく。
p_M は L(E, F) 上の半ノルムである。

Ω = { p_M | p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 } とおく。
L(E, F) の位相は Ω により定義される。

証明
Σ の元はすべて有界であるから、
>>52 より、任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ L(E, F) に対して
f(M) は有界である。
よって、>>54 より本命題の主張が得られる。
証明終

57:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 20:24:49
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。

Σ_s を E の有限部分集合の全体とする。
L(E, F) のΣ-収束の位相(>>37)は単純収束の位相と呼ばれる。

Σ_b を E の有界部分集合の全体とする。
L(E, F) のΣ-収束の位相は有界収束の位相と呼ばれる。

58:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/25 20:49:37
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間で、E の位相は半ノルムの集合 Γ により
定義される(過去スレ008の469)とする。

A を E の部分集合とする。
A が有界(>>35)であるためには、任意の p ∈ Γ が A で有界である
ことが必要十分である。

証明
任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおく。

A が有界なら任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
λ ∈ K で A ⊂ λV(p, α) となるものが存在する。
x ∈ V(p, α) なら p(λx) = |λ|p(x) ≦ |λ|α
よって p は A で有界である。

逆に任意の p ∈ Γ が A で有界であるとする。
任意の p ∈ Γ に対して、A ⊂ V(p, β) となる β ＞ 0 が存在する。
任意の α ＞ 0 に対して、V(p, β) = (β/α)V(p, α) である。
よって、>>36 より A は有界である。
証明終

59:１３２人目の素数さん
07/11/27 15:20:29
よかった　kummer相変わらず　ホッ

60:１３２人目の素数さん
07/11/27 15:21:50
あああああああああああああああああああああああああああああ
あああああああああああああああああああああああああああああ
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ああああああああああああああああああああああああああああああああ

61:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/28 21:43:00
次の命題の証明は過去スレ008の462で述べたように過去スレ006の562の
証明とまったく同じである。
しかし、その証明は計算的で少し不透明なので別証明を述べる。

命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K-左加群とし、p を E の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
p により定義される一様構造(過去スレ008の461)により
E は K 上の位相線形空間になる。

証明
実数 α ＞ 0 に対して V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおく。
1) α ＞ 0, β ＞ 0 に対して
V(p, min(α, β)) ⊂ V(p, α) ∩ V(p, β)

2) α ＞ 0 に対して V(p, α/2) + V(p, α/2) ⊂ V(p, α)

3) 任意の α ＞ 0 と任意の K の元 λ ≠ 0 に対して
λV(p, α) = V(p, |λ|α)

4) 任意の x ∈ E と任意の α ＞ 0 に対して
|λ| ≧ p(x)/α, λ ≠ 0 なら x ∈ (1/λ)V(p, α)
即ち V(p, α) は吸収的である。

5) 任意の α ＞ 0 に対して、|λ| ≦ 1 で p(x) ≦ α なら
p(λx) = |λ|p(x) ≦ α であるから λV(p, α) ⊂ V(p, α) である。
即ち、V(p, α) は平衡的である。

以上から過去スレ006の636より V(p, α) 全体を 0 の基本近傍系と
する位相により E はK 上の位相線形空間となる。
証明終

62:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/11/28 22:14:27
訂正

>>61
>4) 任意の x ∈ E と任意の α ＞ 0 に対して
>|λ| ≧ p(x)/α, λ ≠ 0 なら x ∈ (1/λ)V(p, α)
>即ち V(p, α) は吸収的である。

4) 任意の x ∈ E と任意の α ＞ 0 に対して
|λ| ≧ p(x)/α なら x ∈ λV(p, α)
即ち V(p, α) は吸収的である。

63:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/12/01 10:06:14
定義
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K-左加群とし、p を E の半ノルム(過去スレ008の458)とする。
>>61 から p で定義される位相により E は K 上の位相線形空間になる。
この位相線形空間 E を半ノルム空間と言う。

64:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/12/01 10:52:46
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の半ノルム空間(>>63)とし、p, q をそれぞれ E, F の
半ノルムとする。L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
f ∈ L(E, F) に対して r(f) = sup{q(f(x))|x ∈ E, p(x) ≦ 1} とおく。
r は L(E, F) の半ノルムであり r が定める位相は
有界収束の位相(>>57)と一致する。

証明
>>58 より M が有界であるためには、p が M で有界である
ことが必要十分である。

実数 α ＞ 0 に対して
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α }
V(q, α) = { x ∈ F | q(x) ≦ β } とおく。
E の部分集合 M が有界なら
ある実数 α ＞ 0 に対してM ⊂ V(p, α) となる。

E の部分集合 M と F の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ L(E, F) | f(M) ⊂ V } とおく。
L(E, F) の有界収束の位相は M を E の任意の有界な部分集合を動かし
V を F の 0 の任意の近傍を動かしたときの T(M, V) 全体を 0 の
基本近傍系とする。
よって、実数 α ＞ 0, β ＞ 0 に対して
T(V(p, α), V(q, β)) の全体が L(E, F) の 0 の基本近傍系である。
T(V(p, α), V(q, β))
= { f ∈ L(E, F) | p(x) ≦ α なら q(f(x)) ≦ β }
= { f ∈ L(E, F) | p(x/α) ≦ 1 なら (1/α)q(f(x)) ≦ β/α }
= { f ∈ L(E, F) | p(x/α) ≦ 1 なら q(f(x/α)) ≦ β/α }
= { f ∈ L(E, F) | r(f) ≦ β/α }
よって L(E, F) の位相は r で定義される。
証明終

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