★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十二問 at MATH

1:１３２人目の素数さん
07/11/04 05:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

2:１３２人目の素数さん
07/11/04 05:02:00
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3:１３２人目の素数さん
07/11/04 08:26:13
The conjecture, first noted by the ancient Greeks, asserts that among all closed containers in three dimensions that have two chambers with equal volume, a pair of round bubbles that meet at a flat face has the least total surface area.

4:１３２人目の素数さん
07/11/04 08:32:58
ゴム板を引っ張ったときに蓄えられるポテンシャルエネルギーは？
バブルの形状は最小ポテンシャルエネルギーできまる。

5:１３２人目の素数さん
07/11/04 08:36:40
２個のバブルを接触させると、総ポテンシャルエネルギーは変わる。
平面にバブルを接触させるとＰＥは０になる。

6:１３２人目の素数さん
07/11/04 08:38:07
曲面のＰＥはｆｄＡ

7:１３２人目の素数さん
07/11/04 10:10:33
内圧がバブルの膜に均等にかかるので、膜の厚みは同じになるから、膜の体積が一定とすれば、
面積は最小になる。

8:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/04 10:57:05
pを3以上の素数とする．a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
　x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(m,n)の組の個数をpを用いて表せ．

9:１３２人目の素数さん
07/11/04 11:27:39
前スレを使い切れよアホ

10:にょにょ ◆yxpks8XH5Y
07/11/04 11:48:28
１０といえばジュード・ロウ

11:１３２人目の素数さん
07/11/07 17:19:43
前スレ1000到達あげ

12:１３２人目の素数さん
07/11/07 22:43:20
前スレ>>997 の残り問題↓
--------------------------------------------
a,b,cは素数で、次の3条件を満たす。
　 c＾b＋1 は a で割り切れる
　 a＾c＋1 は b で割り切れる
　 b＾a＋1 は c で割り切れる
これを満たす(a,b,c) の組を全て求めよ。
--------------------------------------------

13:１３２人目の素数さん
07/11/08 00:02:26
>>12
明らかに、a,b,cはどの二つをとっても異なる数である。

a,b,cの中で最小のものをaと置く。
明らかに、c^2b≡1 mod.a、c^b≡-1が成立し、c^(a-1)≡1 mod.aも成り立つ。
a,bの大小関係から、a-1はbを割り切らず、2bを割り切る事が分かる。
このため、a=2,3のいずれかが成立する。

a^c≡-1 mod.b、a^2c≡1 mod.b、a^(b-1)≡1 mod.bが成立する。
b,cは奇素数であるため、b-1とcは異なる数である。
また、a^x≡1 mod.bを満たす最小の自然数をmとおくこととする。
(1) b-1＜cの時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることと、m≦b-1＜c＜2cであることから、m=2が成立する。
ゆえに
(1-1) a=2の時
2^2=4≡1 mod.b 2＜bから、b=3が成立する。また、ここからc=5も導かれる。
(1-2) a=3の時
3^2=9≡1 mod.b 3＜bから、これを満たすbは存在しない。

14:１３２人目の素数さん
07/11/08 00:02:58

(2) c＜b-1＜2cの時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることと、m≦b-1＜2cであることから、m=2が成立する。以下略

(3) c＜b-1=2cの時
b^a=(2c+1)^a≡1 mod.cであることから、条件式に矛盾する。従ってｒｙ

(4) 2c＜b-1の時
mは2cを割り切り、cを割り切らない。また、2cの約数は1,2,c,2cであることから、m=2または2cが成立する。
m=2の時は略。
m=2cの時は、b-1=2cnなる自然数nが存在する。このとき
b^a=(2cn+1)^a≡1 mod.cとなり、条件式に矛盾する。

以上より
a=2,b=3,c=5

15:１３２人目の素数さん
07/11/08 11:40:38
場合分けのしかたを変えてみるというのは思いつかんか

16:１３２人目の素数さん
07/11/08 13:17:17
{1, 2, 3, ..., 2n-1, 2n} の2n個の自然数をｎ個ずつに分けて
下記のように一方は大きい順に、もう一方は小さい順に並べるとする。

a_1 > a_2 > a_3 > ... > a_n
b_1 < b_2 < b_3 < ... < b_n

このときa_i(i=1,2...n)の選び方によらず
|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2.
となることを証明せよ。

17:１３２人目の素数さん
07/11/08 16:25:05
kを適当なn以下の正整数として、a_kとb_kがともにn以下となったとする。
このとき条件の不等式より、b_1～b_kとa_k～a_nのk+1個の正整数はすべてn以下となることになり矛盾
同様にa_kとb_kがともにn+1以上となったとしても矛盾が生じるので
a_kとb_kは一方がn以下でもう一方がn+1以上。
したがって証明すべき式について
(左辺)=(n+1～2nの和)-(1～nの和)
となり、この値は確かにn^2になる。

18:１３２人目の素数さん
07/11/10 03:34:50

　　　　,.-‐‐v-､
　　　/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
　　 l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ
　　 .l;;;;;(ヽ￣`ｰ,>　　　　　　nを自然数とする。p[1],p[2],…,p[n]を異なる素数とするとき、
　　　ヾ;;l~ヽ　 -{　　　　　　　√p[1] + √p[2] + … + √p[n]が無理数であることを示せ。
　　　 /＼__,`,ｰ′
　　／ヽヽ /､,lヽ　　　　　/
,／-､　｀7ヽヽｷ｀ヽ、　　/
l　　ヽ　ヽヽl .l l　|　　/
l　　　∨　ヽヽ l　l　　/

19:１３２人目の素数さん
07/11/10 03:37:09
　　　　,.-‐‐v-､
　　　/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
　　 l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ　　　　　　　　　自然数a,b,cはa^2-2b^2=c^2をみたしている。
　　 .l;;;;;(ヽ￣`ｰ,>　　　　　　　　　(a + b√2)(3 - 2√2)^n = X[n] + Y[n]√2
　　　ヾ;;l~ヽ　 -{　　　　　　　　　　としたとき　　X[n]≦3c , Y[n]≦2c　　を同時にみたす自然数nが存在することを示せ。
　　　 /＼__,`,ｰ′
　　／ヽヽ /､,lヽ　　　　　/
,／-､　｀7ヽヽｷ｀ヽ、　　/
l　　ヽ　ヽヽl .l l　|　　/
l　　　∨　ヽヽ l　l　　/

20:１３２人目の素数さん
07/11/10 03:41:30

　　　　,.-‐‐v-､
　　　/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ　　　　　　　自然数のうち，各位の数に少なくとも1が1つでも含まれているものを小さいものから並べた数列を{a[n]}とする．
　　 l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ　　　　　　(1) mを正の整数とする．a[n]=10^(m-1)を満たすnをmで表せ．
　　 .l;;;;;(ヽ￣`ｰ,>　　　　　　(2) S[n],T[n]を以下のように定める．
　　　ヾ;;l~ヽ　 -{　　　　　　　　　　S[n]=a[1]+a[2]+…+a[n]
　　　 /＼__,`,ｰ′　　　　　　　　　T[n]=1+2+3+…+a[n]
　　／ヽヽ /､,lヽ　　　　　/　　　n→∞のときのS[n]/T[n]の極限値を求めよ．
,／-､　｀7ヽヽｷ｀ヽ、　　/
l　　ヽ　ヽヽl .l l　|　　/
l　　　∨　ヽヽ l　l　　/

21:１３２人目の素数さん
07/11/10 03:50:24
　　　　,.-‐‐v-､
　　　/;;;;;;;;;;;;;;;ﾊヽ
　　 l;;;;;;;,_;;ﾉﾊ,.-lヽ　　　　　　nを正の整数とし、k=1,2,…,n において数列{a[n]}、{b[n]} を
　　 .l;;;;;(ヽ￣`ｰ,>　　　　　　　　　a[k]=1/<n,k> 、b[k]=2^(k-n)
　　　ヾ;;l~ヽ　 -{　　　　　　　で定める。ただし、<n,k>は二項係数を表す。このとき、
　　　 /＼__,`,ｰ′
　　／ヽヽ /､,lヽ　　　　　/　　　　Σ[k=1,n](a[k]-b[k])/k　　
,／-､　｀7ヽヽｷ｀ヽ、　　/
l　　ヽ　ヽヽl .l l　|　　/　　の値を求めよ。
l　　　∨　ヽヽ l　l　　/

22:１３２人目の素数さん
07/11/10 19:31:14
>18

項数nについての帰納法による。
n=1 のとき
　√p[1] を根とする、Z上既約な整多項式は x^2 -p[1],
　2次だから無理数。
n=2 のとき
　√p[1] + √p[2] を根とする、Z上既約な整多項式は x^4 -2(p[1]+p[2])x^2 +(p[1]-p[2])^2,
　4次だから無理数。
n>2 のとき
√p[1] + √p[2] + ･･･ + √p[n-1] = a とおく。
　aを根とする、Z上既約な整多項式をf(x)とする。係数の最大公約数は1とする。
　帰納法の仮定より、f(x)は2次以上。
　f(x+y)f(x-y) は x,yの整多項式でかつ yの偶函数だから、F(x,y^2) と書ける。
　g(x) = F(x, p[n]) は a+√p[n] を根とする4次以上の整多項式。
　従って、p[k]が互いに素であることを用いて g(x)がZ上既約であることを示せばよい。

23:１３２人目の素数さん
07/11/10 21:17:12
>19

与式と共軛な式は
　(a-b√2)(3+2√2)^n = X[n] -Y[n]√2,
辺々掛けると
　a^2 -2b^2 = X[n]^2 -2Y[n]^2,
　c^2 = X[n]^2 - 2Y[n]^2,
　点(X[n], Y[n]) は双曲線H: x^2 -2y^2 =c^2 上にある。
漸化式
　X[n+1] =　3X[n] -4Y[n],
　Y[n+1] = -2X[n] +3Y[n],
H上の各点を、線分(0,0)－(X[n],Y[n]) の勾配Mで区別しよう。（parametrize）
　M[n] = Y[n] / X[n],
　M[n+1] = (-2+3M[n])/(3-4M[n]) = f(M[n]),
また、点(X[n],Y[n]) は上記の双曲線上にあるから、|M| < 1/√2,
　f(t) = (-2+3t)/(3-4t),
　|t| < 1/√2　⇒　f(t) = t - 2(1-2t^2)/(3-4t) < t,
∴ M[n] はnについて単調減少。
　M[n0+1] ≦ 0 ≦ M[n0]　をみたす n0 がある筈。
　f(t) ≦ 0 ≦ t　⇒　-2/3 ≦ f(t) ≦ 0 ≦ t ≦ 2/3,
なので、-2/3 ≦ M[n0+1] ≦ 0 ≦ M[n0] ≦ 2/3,
、-2/3 ≦ Y[n0+1]/X[n0+1] ≦ 0 ≦ Y[n0]/X[n0] ≦ 2/3,
一方、(X[n],Y[n])は双曲線上にあるから
　X[n]^2 -2Y[n]^2 = c^2,
これらより n0, n0+1 について求める式が成立つ。
（ |Y[n]| ≦ 2c ぢゃね？）

24:１３２人目の素数さん
07/11/11 00:53:49
>>21
URLﾘﾝｸ(proxy.f2.ymdb.yahoofs.jp)
より，0

25:１３２人目の素数さん
07/11/11 01:20:03
xyz空間内に点P(2,2,1)を取る。
原点Oと点Pを両方とも内部に含む、直径の長さが3であるような球の存在しうる範囲をＡとしたとき
Ａの体積を求めよ。

26:１３２人目の素数さん
07/11/11 01:23:21
半径の長さが3、でした

27:１３２人目の素数さん
07/11/11 04:19:24
>21

A[n] = Σ[k=1,n] 1/{k･C[n,k]}, B[n] = Σ[k=1,n] 1/{k･2^(n-k)} とおく。
　A[1] - B[1] = 1 -1 = 0,
　2A[n] - A[n-1] = (2/n) + Σ[k=1,n-1] {2/C[n,k] - 1/C[n-1,k]}/k
　　　= (2/n) + (1/n)Σ[k=1,n-1] {1/C[n-1,k-1] - 1/C[n-1,k]}
　　　= (2/n) + (1/n){1/C[n-1,0] - 1/C[n-1,n-1]}
　　　= 2/n,
　2B[n] - B[n-1] = 2/n,
初期値と漸化式が一致する。よって
　A[n] - B[n] =0,

28:１３２人目の素数さん
07/11/11 04:29:12
>24
見えないのはスルー

29:１３２人目の素数さん
07/11/11 05:19:58
>25

本問はOPのまわりに軸対称なので、OPをx'軸とし、x'軸からの距離をρとする。
球の中心Cの存在領域は OC≦3 かつ CP≦3 の点Cで、
　0≦x'≦3/2,　ρ ≦ √{9 -(3-x')^2},
　3/2≦x'≦3,　ρ ≦ √(9 -x'^2),
したがって、Ａの境界面は
　-3≦x'≦0,　ρ(x') = √{36 -(3-x')^2},
　0≦x'≦3,　ρ(x') = (3/2)√3 + √{9 -(x'-3/2)^2},
　3≦x'≦6,　ρ(x') = √{36 -(3+x')^2},
よって
V(A) = π∫[-3,6] ρ(x')^2 dx'
　= 45π + {65.25 + (9/2)(√3)π}π + 45π
　= {155.25 + (9/2)(√3)π}π
　= 179.736291･･･π,

30:１３２人目の素数さん
07/11/11 05:50:50
間違えた･･･
　3≦x'≦6,　ρ(x') = √(36 -x'^2),

31:23
07/11/11 06:51:13
>19 (補足)

　M[n] はnについて単調減少であるが、もう少し詳しく見ると,
また f(t) = 1/{4(3-4t)} -3/4 は下に凸ゆえ
　M[n+1]/M[n] = f(M[n])/M[n] < f(M[0])/M[0] = f(b/a)/(b/a) = r,
　b/a < 1/√2　より r < 1,
　M[n+1] ≦ M[0]*r^n,
∴ M[n] は（遅くとも）指数函数的に0に近づく。
∴ M[n0] < 2/3, M[n0+1] ≦0 を満たす n0 が存在する。

32:24
07/11/11 13:44:35
>>28
すまん。

>>21の問題は，
URLﾘﾝｸ(briefcase.yahoo.co.jp)
の「不等式スレ2.html」の>>58の【問題D】(7)で既出の問題で，
解答はそのスレの494に挙がっていると言いたかったんだ。

元はハンガリー数学コンテストの問題のようです。

33:１３２人目の素数さん
07/11/11 19:19:42
>31

等比数列
　L[n] = (X[n]+Y[n]√2)/(X[n]-Y[n]√2) = L[0]{(3-2√2)/(3+2√2)}^n,
使えば簡単ぢゃね?

公比 (3-2√2)/(3+2√2),　初項 L[0] = (a+b√2)/(a-b√2) >1 だお.

34:Zenw(トリップ忘れたー)
07/11/11 22:06:54
S[n]=1+a*cos(t)+a^2*cos(2*t)+…+a^k*cos(k*t)+…+a^n*cos(n*t)
とします。このときいかなるa,tをとっても limit[n,∞](S[n])=1/2 とは成りえないということを示して下さいな。

35:１３２人目の素数さん
07/11/12 03:31:19
>34
　a･exp(it) = r (a≧0) とおく。
　0≦a<1 のとき |r|<1,
　　Σ[k=0,n] r^k = [1-r^(n+1)]/(1-r) → 1/(1-r) より　S[n] → Re{1/(1-r)}　(n→∞)
　　ところで　Re{1/(1-r)} -1/2 = {1/(1-r) + 1/(1-r~) -1}/2 = (1-|r|^2)/(2|1-r|^2),
　　Re{1/(1-r)} = 1/2　⇔　|r|=1, r≠1 より不適。
　a=1 のとき
　　t＝2mπ のとき S[n] = n+1 で発散。
　　t≠2mπ のとき S[n] = {sin((n+1/2)t) - sin(-t/2)}/{2sin(t/2)}, により振動。
　a> 1 のとき　S[n]の各項はtの値の如何によらず発散するので、S[n]も発散。

36:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/12 22:27:43
半径1の球面S上に3点A，B，Cがあるとき，AP*BP*CP≧2√2をみたす点PをS上にとれることを示せ．

37:１３２人目の素数さん
07/11/12 23:35:27
>>36
球の中心をOとし、Oを通り線分OA,OBの両方と垂直である直線(の一つ)をｌとする。
ｌと球面の交点二つをQ,Rとしたとき、線分AQ,AR,BQ,BRの長さは全て√2であり
線分QRは球の直径で長さは2となる。

(a)CがQまたはRと一致する場合
一致しないほうの点をPとすれば、AP*BP*CP=4となり題意を満たす。
(b)CがQともRとも一致しない場合
三角形CQRは線分QRを斜辺とする直角三角形なので、CQ^2+CR^2=QR^2=4
よってCQ^2とCR^2の少なくとも一方は2以上になるので、
Q,Rの内、Cとの距離の二乗が2以上になる方の点をPとすれば
CP≧√2よりAP*BP*CP≧2√2となり題意を満たす。
以上から条件を満たす点PをS上から取れることが示された。

38:１３２人目の素数さん
07/11/13 16:08:56
Σ[n=0,∞]Σ[k=0,∞]{1/2^(kn)}を求めよ

39:１３２人目の素数さん
07/11/13 21:41:31
テスト

40:１３２人目の素数さん
07/11/13 22:35:04
pが素数、nが2以上の自然数であるとき
　　　　　(n^p-n)/p
が自然数となることを示せ。

41:１３２人目の素数さん
07/11/13 22:51:23
>>40
フェルマーの小定理を証明して終了
そんな問題が東大ででるわけないだろ

42:１３２人目の素数さん
07/11/13 23:18:44
>>41
俺は二項展開と帰納法で解いた。
でもそっちが普通だな。
スレ汚しスマソ。。

43:１３２人目の素数さん
07/11/16 23:44:46
>>38

Σ[n=1,∞) Σ[k=1,∞) (1/2)^(kn) = ∑[j=1,∞) #(Div_j) * (1/2)^j,
ここに Div_j = {i∈N; i|j} ････ jの約数全体の集合。

とりあえず小数点以下1300桁まで･･･ (n≧4320)

∑[j=1,n] #(Div_j) * (1/2)^j =
1.6066951524 1529176378 3301523190 9245804805 7967150575 6435778079 5536914184 2074348669 0565711801 6701555758
　9704542906 3154413100 0905473205 0088619136 3162159598 9057099678 0731760334 6256346194 4121692714 7114387587
　7005193100 8956417580 9164849488 0166136371 5771752977 8403281088 9796524656 7784762221 2339864747 1544551530
　1807174540 3371224954 1188738074 1750277266 1691995085 5065362156 9266825419 8671854867 7094187723 2912300105
　4754429354 9570799498 2855449593 7721328133 7880503447 1937248821 1788014451 2910386486 1412790295 7644018473
　4626025794 6556679421 1866869210 3208760055 3859969659 4226232037 8135463745 9768663965 1836864973 5187266977
　8689793827 7043447647 5719866503 4980184709 9711403207 2724203387 6544745083 6560451452 4850766198 8607647520
　1723280505 7468943598 0233105785 9906645521 0311859824 2705010154 8067354670 5382305016 9058073602 1366065471
　3624379559 3656218199 6499910622 9274370686 2401518286 4421747541 1749422319 3218244976 4238732222 6326994856
　5866107727 8107675247 2383656368 9670654851 5143593606 6265493806 5480371471 9302294253 0536720456 8041283791
　4863140938 7888919313 8579925461 1986244990 5318227203 9452532438 0805640846 7219399728 9902924487 2319144891
　3588548279 0323024440 6785717022 1106725811 6469278702 6402061686 5214966881 5435415472 4698404504 3978572491
　2018729197 1228065579 8250658840 6885877838 4655293838 8939978391 7703884034 9801837007 8873502484 8662923954
　････

44:１３２人目の素数さん
07/11/19 22:20:52
>38
　だからそんな問題出すなと何度言えば…… 後(ry

45:１３２人目の素数さん
07/11/20 09:30:00
>>44
一度も言ってないだろｗ

46:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/20 15:28:56
xy平面上の楕円Ｃ：x^2/4+y^2=1を，原点のまわりに反時計まわりに回転して得られる楕円をＤとする．ただし，回転角度は鋭角とする．
ＣとＤの第１象限における交点をPとし，PにおけるＣとＤの接線をそれぞれlとmとする．lとmのなす鋭角の最大値をθとするとき，tanθの値を求めよ．

47:１３２人目の素数さん
07/11/20 18:43:24
>>46
24/7

48:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/20 20:56:48
御名答

49:１３２人目の素数さん
07/11/20 22:04:13
MASUDAも最近調子悪いな

50:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/20 22:07:19
サイトの予想問題作成でもう頭使いきりましたからねぇ．というより良問をポンポンは作れません．>>8なんか見向きもされてませんが．

51:１３２人目の素数さん
07/11/20 22:14:16
ある条件内で、並んで品物を購入する時、それを購入できる確率を教えて下さい。

大人気商品の５個カバンがあります。
カバンの名前はそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ。
カバンの人気順はＡ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ＞Ｅ
それを求めて５０人が並んでいます。
購入方法は、抽選方式。
１番～５０番と書いてあるクジを、並んだ先着順にＢＯＸから順々に引いていきます。
１番のクジを引き当てた人は、１番目にカバンを購入できます。
２番のクジを引き当てた人は、２番目にカバンを購入できます・・・
６番以降のクジを引いてもカバンは買えませんが、当然優先的に他の商品を買うことができます。

このような条件の中・・・・

① １人で並んで５番目までのクジを引ける確率は？
② ２人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
③ ２人で並んで、２人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
④ ３人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑤ ３人で並んで、その内２人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑥ ３人で並んで、３人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑦ ４人で並んで、その内１人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑧ ４人で並んで、その内２人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑨ ４人で並んで、その内３人が５番目までのクジを引き当てる確率は？
⑩ ４人で並んで、４人とも５番目までのクジを引き当てる確率は？

長いですが、どなたか教えて下さいm(_ _)m

52:１３２人目の素数さん
07/11/20 22:33:28
>>51
スレ違いだドアホ
質問スレに逝け

53:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/20 23:20:08
(1) x＞0のとき，√x＞logxを示せ．
(2) nは正の整数とする．{3^(n!)-1}/(2^m)が整数になるような整数mの最大値をMとする．
lim[n→∞]M/nを求めよ．

54:１３２人目の素数さん
07/11/21 00:58:02
>>8は前にp=13の場合で出されていた気が。

55:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 01:10:26
>>54
確かに私が13でだいぶ前に出しました．まあそれを一般化に改変してみただけですからね．

56:１３２人目の素数さん
07/11/21 01:15:57
>>55
前解いたときはひたすらしらみつぶす感じだったから、一般化のいい方法が思いつかない。
答えはちょうど半分の個数だと思うけど。

57:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:19:28
>>8
>>50
意味不明

58:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:22:08
>>57
国語力ないボクチンは帰って寝てなってｗ

59:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:23:06
また名無しになったか

60:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:54:39
やっぱMASUDAが来るとどっかからかアンチがわいて荒れるなｗ
問題アップはコテハンしない方が無難

61:１３２人目の素数さん
07/11/21 02:57:58
間違いの指摘がなんでアンチになるんだ

62:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:01:49
自分(MASUDA)に対する間違いの指摘はアンチによる荒らしだから

63:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:06:01
>>60
問題がおかしいことにコテハンかどうかは関係ないが
なんでコテハンであることに結び付けようとするの？

64:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:41:57
粘着だからさ…

65:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:50:44
どこが？

66:１３２人目の素数さん
07/11/21 03:56:44
　　ー-= 、　 ,,...、／:;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ
　　 ,::-''￣`:Y,,,、Y::::::::::::::::::∧:::::::i;:::::::::::::::i;::::::::::::::::::::::::::＼
　/　 ...:::::::::i"　 Y:::/::::::::::::/　ヽ;::::iヽ;;:::::::::::!;::::::::::i::::::::..i, 　';
.i　..:;::::::::;;;/ `'='":/:::::::;i::::/　　　ヽ:::!,ヽ;;:::::::::::i;:::::::::|;::::::::|:::::::!,
.|::::;i:::::;//　　|::::::!:::::::;/::/　　　　ヽ;::i　＼;;::::::!ヽ;:::::|;;:::::::|::::::::|
. i;:;|::;/ !　　 |::::::|::::::;/!::i　　　　　　ヽ:!,　＼;:::::|ヽ:::::|!;;::::::|:::::::|
　＼/　'　　!:::::;|::::;/ |:|　　　　　　　ヽ!　　ヽ;::| ヽ::| 'i;:::::|:::::::|　等面四面体は東大生には大事だから覚えとかないといけないんだかんねっ
　　　　　　 |::i::;;!;;:::i ｀|!' -ｰ ,,＿　　　 '!,　　 _,,>::!-'!:|´ |::::|::::::|
　　　　　　ﾉ1;;!;!;;;;!　 !　,-'',´o::,`　　　 `　`=''o:',ヽ、!　 i:::i:::;::|
　　　　　　　|/`!r-!,　./　i::::::::::::i　　　　　　i:::::::::::i. `,　 !::i;;;;i;:|
　　　　　　　'　 |　`)i '　　ヽニノ　　　　　　ヽニノ　　! /|!`i/V
　　　　　　　　　ヽ `,} .::::::::..　　　　　　　　　　　 .::::::.. !)　/
　　　,,、　　　　 `Ti ::::::::　　　　　　'　　　　　:::::::::: i,,=i7
　　ヽ　ヽ　　　　 Vヽ　　　　　　　　　　　　ｲ/　'
　　　 `,　`,　　　　　　 `_へ.、　　　 rﾆｭ　　 _,. t7 "
　　　　 i　ヽ　　　　 ,-i':ヽ`''"ﾆi-ｰ .,,,,,,,. -t'´''''ﾌ⌒iヽ
　　　 ,./-´｀'r-ｰ、r-'　ヽ: ヾ´　'　　　　 ' ｀=/: :/　`、
　　　 !　- '''ヽ=- }　　　ヽ:.ヽ　　　　　　　／: :/　　　 'ヽ
　　　 }　 -'''｀Y　 |ヽ　　　 `:、`-ｰ、　　,.-': :／　　　　_,,イ
　　　 >、-t-´` .ｲ: :'! ＼　　　 `''+; ;'i ./: :／　　 _,.-'''´ /: :i
　　　.|:.iゝ、　　/i|: : :'!,　｀' ----┴-!--'ー-- ´　 i　 /: : : |
　　　 |: Y　　　|ﾉ:i: : : :!　　　　　　　　 /⌒'- .,,/''ヽ| /: : : : :.!

67:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 09:39:58
>>60-61
指摘も何も，どこも間違ってませんが何か？

68:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 09:52:42
>>56
ちょうど半分とはどういうことですか？

69:１３２人目の素数さん
07/11/21 09:56:51
>>67
よく出題ミスするくせによく言うよ。
>>60-61の文脈では、
「MASUDA」が出題するとアンチがいつも現れる。
↓
現れているのはアンチではなく、単に間違いを指摘しているだけだ。
という流れだから、今回の出題に限ったことではなく、一般的な話ですよ。
MASUDAさんってほんと国語力低いよね。
問題文の日本語もいつも変だし。用語を間違って使うし。サイトの文章も下手くそだし。

70:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 10:02:35
>>69
ですから，>>8やら>>50やらに間違いがあるというなら指摘してくださいと言ってるんですよ．

71:１３２人目の素数さん
07/11/21 10:08:36
>>69
益田にとっちゃあ数学は道楽でしかないっぽいもんね。数学を専門にしてないしもう予備校講師じゃないし。
現役時のセンター国語が80台とかサイトで言ってたから国語力のなさはお墨付きｗ

72:１３２人目の素数さん
07/11/21 10:17:43
誰々の国語力がどうだとか言ってるお前ら低レベルすぎwww
文系のおれから見たらお前ら全員国語力は馬鹿www

73:１３２人目の素数さん
07/11/21 10:31:43
>整数m,nが存在するような(m,n)の組

74:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 10:36:43
pを3以上の素数とする．あっ，それは間違えてますね，見落としてました…．以下訂正

a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
　x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組の個数をpを用いて表せ．

75:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 11:06:05
>>74
なんか間に文章入って変なことに…再度

pを3以上の素数とする．a,bが，0≦a≦p-1，1≦b≦p-1を満たす整数とするとき，xについての方程式
　x^2+(pm+a)x+(pn+b)=0
を整数係数で因数分解できる整数m,nが存在するような(a,b)の組の個数をpを用いて表せ．

76:１３２人目の素数さん
07/11/21 11:22:27
>>72
>国語力は馬鹿
?

77:１３２人目の素数さん
07/11/21 12:44:38
>>76
文系電波君の相手するなって

78:１３２人目の素数さん
07/11/21 16:23:10
>>75
x-1,x-2,…,x-(p-1)から
重複を許して2つ選ぶ方法の数と同数で
p(p-1)/2個。

79:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 17:42:33
>>78
不正解です

80:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 17:44:17
>>78
失敬、見間違えました，正解です．

81:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 19:00:54
x≧π/2をみたす実数xについての関数f(x)を
　f(x)=∫[π/2,x]sint/t dt
とおく．このとき，f(x)≦f(π)を示せ．

82:１３２人目の素数さん
07/11/21 20:48:57
>>81
f'(x)=sinx/xであることから、f(x)はx=(2k-1)π（kは正整数）で極大値を取る。
したがってf{(2k-1)π}≧f{(2k+1)π}が示されれば、題意は示される。
つまり∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt≦0を示せばよい。
　∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt＝∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[2kπ,(2k+1)π]sint/t dt
≦∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[2kπ,(2k+1)π]sint/(t-π) dt
＝∫[(2k-1)π,2kπ]sint/t dt +∫[(2k-1)π,2kπ]sin(s+π)/s ds (t-π=sとした)
＝0
よって∫[(2k-1)π,(2k+1)π]sint/t dt≦0が言えるのでf(x)はx=πで最大値を取る。
∴f(x)≦f(π)

83:Zenw ◆nQAc.NZenw
07/11/21 21:37:14
四面体OABCがあります。OA=a,OB=b,OC=cだし、∠AOB=α,∠BOC=β,∠COA=γ なんです。
このときの四面体OABCの体積をV1とします。
さて、四面体OA'B'C'があります。OA'=OA,OB'=OB,OC'=OCなんですが、∠AOB=β,∠BOC=γ,∠COA=αなんです。
このときの四面体OA'B'C'の体積をV2とします。
このときV1/V2を求めて下さい。

も　し　く　は

四面体OABCがあります。OA=1,OB=2,OC=4,で↑OA.↑OB=1, ↑OB.↑OC=2, ↑OC.↑OA=-1です。
このときの四面体の体積を求めて下さい。

まいどまいど、しょーもない問題ですみません。

84:１３２人目の素数さん
07/11/21 21:59:36
>53 (1)

x≦1 のときは明らか。
x>1 のとき
　log(y) = ∫[1,y] (1/y')dy' ≦ ∫[1,y] dy' = y-1,
y = (1/e)√x とおくと
　√x> (e/2)log(x) > log(x),

85:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 22:13:23
>>82
御名答

86:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/21 22:58:09
>>84
御名答．そういう解き方されるとは思ってませんでしたが．
ちなみに(1)は(2)の部分的な誘導です．

87:１３２人目の素数さん
07/11/22 16:27:12
>>53
(2)
n≧2ではMの値は｢(n!/2^kが整数となる整数kの最大値)+2｣
になって、求める極限値はたぶん1なんだろうけど、不等式評価の使いどころがわからん

88:１３２人目の素数さん
07/11/22 17:57:16
そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ

89:１３２人目の素数さん
07/11/22 17:58:31
そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ

90:１３２人目の素数さん
07/11/22 20:34:56
そこまで分かっててなぜ解けんｗ
ガウス記号と対数で評価すりゃ終わるだろ

91:88 ◆D24s65nhoU
07/11/22 20:53:58
>>90
おい、リフレインするな偽者

92:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/22 21:22:50
a,bは正の実数，tは正の実数とする．このとき，いかなるa,bに対しても以下の不等式が成り立つようなtの最小値を求めよ．
log√(ab)≦{(a+b)/2}^t

93:１３２人目の素数さん
07/11/22 22:15:42
>>92
a=b=e^eとすれば、(左辺)=e,(右辺)=e^(et)　となるので、与不等式が成立するためには
et≧1、すなわちt≧1/eでなければならない。
次に、t=1/eで不等式が成立することを示す。
y=logx上の点(e,1)での接線がy=x/eであり、y=logxのグラフが上に凸なので
x/e≧logxが言え、この式からx≧log(x^e)が導かれる。
このときx^e=zとすることでz^(1/e)≧logzとなる……①
また相加相乗平均の不等式から{(a+b)/2}^(1/e)≧(√ab)^(1/e)となる……②
①でz=√abとして②と組み合わせることで{(a+b)/2}^(1/e)≧log√abが示される。
以上から、求めるtの最小値は1/e。

問題文の左辺をloga+logbとした方が解きづらい問題になりそう。

94:１３２人目の素数さん
07/11/22 22:46:51
>92
相加相乗平均より、(左辺) ≦ log((a+b)/2) = log(A),
　>84 の式で y=(1/e)A^t とおく。
　t*log(A) ≦ (1/e)A^t,
与式成立条件は、t≧1/e,

95:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/22 23:21:40
>>93-94
御名答

96:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/22 23:27:07
xy平面上にある△ABCがあり，形を変えずに以下の条件を満たしながら動く．
(i) AB=1
(ii) 点Aはx軸上を(0,0)から(1,0)へ動く
(iii) 点Bはy軸上を(0,1)から(0,0)へ動く
このとき，点Cがある定点で動かないような△ABCは存在しないことを示せ．

97:１３２人目の素数さん
07/11/22 23:43:21
益田さん、自作模試のアーカイブ作ってくださいな。
解答つきで。

98: ◆nQAc.NZenw
07/11/23 00:26:21
問題を変えてみました。てか、こっち出そうとしてたら間違えたんですけどね。

四面体OABCに対してOA=1,OB=2,OC=4で、cos∠AOB=1/2、cos∠BOC=x、cos∠COA=y　のとき、
この四面体の体積が１となるｘ、ｙの関係式を求めよう。

99:１３２人目の素数さん
07/11/23 11:37:59
>96
パラメータtをを次のようにおく。
　A=(sin(t),0),　B=(0,cos(t)), 0≦t≦π/2
△ABC上の各点の座標(x,y)は
　x(t) = x(0)cos(t) + {1-y(0)}sin(t),
　y(t) = x(0)sin(t) + y(0)cos(t),
∴　これらを一定にすることは不可能。

100:１３２人目の素数さん
07/11/23 12:59:03
>98
OA方向をy軸、△OABをxy-平面とする。
　OA↑=(0,1,0),　OB↑=(√3,1,0),　OC↑=(X,Y,Z)
とおく。題意により
　X√3 +Y = OB↑･OC↑ = 8x,
　X = (8x-4y)/√3,
　Y = OA↑･OC↑ = 4y,
　Z = 3V/(△OAB) = 6V/{OA･OB･sin(∠AOB)} = (6/√3)V,
これらを
　X^2 +Y^2 +Z^2 = OC^2 = 4^2,
に代入しる.

101:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/23 17:55:20
x,y,zは正の実数とする．
√x+√y+√z≦k√(2x+y+z)
が常に成り立つような実数kの最小値を求めよ．

102:１３２人目の素数さん
07/11/23 19:29:17
>>101
コーシーシュワルツを使って、√10/2

103:triclinic
07/11/24 02:13:21
>98
　|OA|=a, |OB|=b, |OC|=c, cos(∠BOC)=x, cos(∠COA)=y, cos(∠AOB)=z とおくと
　V = (1/6)abc√(1-x^2 -y^2 -z^2 +2xyz),

>101
　(5/2)(2x+y+z) - (√x+√y+√z)^2 = 4x +(3/2)y +(3/2)z -2√(xy) -2√(yz) -2√(zx)
　= {2x +y/2 -2√(xy)} + {2x +z/2 -2√(xz)} + {y +z -2√(yz)}
　= (1/2)(2√x -√y)^2 + (1/2)(2√x -√z)^2 + (√y -√z)^2 ≧0,
等号成立は 4x=y=z.

104:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/24 03:55:57
座標がすべて整数であり，かつすべての座標の和が奇数となる点をＫ点とよぶ．
xyz座標空間に一辺の長さが2の立方体があるとき，この立方体の内部にはＫ点が少なくとも1つ存在することを示せ．

105:１３２人目の素数さん
07/11/24 10:11:35
>>104
半径1の球の内部にＫ点が少なくとも1つあることを示せばよい。
球の中心の座標を(a,b,c)とし、整数l,m,nが
l≦a＜l+1,m≦b＜m+1,n≦c＜n+1　を満たすようにする。
(Ⅰ)l+m+nが奇数のとき
球の内部に点(l,m,n),(l,m+1,n+1),(l+1,m,n+1),(l+1,m+1,n)のうち少なくとも1つが含まれる。
(Ⅱ)l+m+nが偶数のとき
球の内部に点(l+1,m,n),(l,m+1,n),(l,m,n+1),(l+1,m+1,n+1)のうち少なくとも1つが含まれる。
したがって一辺の長さが2の任意の立方体に対して、その立方体に内接する半径1の球がＫ点を含むので、題意は示された。

106:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/24 11:28:12
素数を小さいものから並べた数列を{p[n]}とする．このとき，以下の不等式を示せ．
Σ[k=1,n](1/p[k])＜{5+log(9n^2/2-9n/2+1)}

ちょっと前に作った失敗作です(極めて不親切な問題)．まあこーゆーのがお好きな方はどうぞ．

107:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/24 11:29:32
>>106を訂正

素数を小さいものから並べた数列を{p[n]}とする．このとき，以下の不等式を示せ．
Σ[k=1,n](1/p[k])＜{5+log(9n^2/2-9n/2+1)}/6

108:１３２人目の素数さん
07/11/24 21:24:17
>>107
うまいこと方針が立たないけど、n=1,2は明らかとして
5以上の素数の逆数の総和を、6で割った余りが±1の整数の逆数の総和で上から押さえて
log表示に持ち込むんかね？

109:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/25 01:50:11
>>108
その通りです．

110:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/25 01:50:53
nは正整数とする．1からnまでの整数が書かれたカードが2枚ずつ，計2n枚あり，これらをすべて用いて2枚ずつの組をつくったとき，すべての組で以下の条件をみたすものができる確率をP[n]とする．
条件『組になったカードに書かれた数a，bについて，|a-b|≦1』
このとき，
lim[n→∞]n(P[n])^(1/n)
を求めよ．

111:１３２人目の素数さん
07/11/25 10:08:17
215 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2007/11/25(日) 09:04:09
n≧k≧2における自然数kについて、9^kと9^(k－1)の桁数が等しいときのkの個数をa_nで表す。
lim[n→∞]a_n/nを求めろ。

112:１３２人目の素数さん
07/11/25 10:55:15
>>111
log{10}9

113:１３２人目の素数さん
07/11/25 11:12:59
>>112
まちがえてるよ

114:１３２人目の素数さん
07/11/25 11:25:30
>>111
これ、神戸大学の問題そのまんまだよ

115:112
07/11/25 11:40:25
間違えた
1-log{10}9だな

116:１３２人目の素数さん
07/11/25 17:26:21
>107

p[1] = 2,
p[2] = 3,
p[2k+1] ≧ 6k-1,
p[2k+2] ≦ 6k+1,
1/p[2k+1] + 1/p[2k+2] ≦ 1/(6k-1) + 1/(6k+1)
　=　12k/(36k^2 -1)
　≦ 12k/(36k^2 -k)
　=　(1/3){1/(k -1/36)}
　<　(1/3)∫[k-1/2-1/36, k+1/2-1/36] (1/x)dx,
n=2m+1 または n=2m+2 とすると
(左辺) ≦ 1/2 + 1/3 + Σ[k=1,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
　<　5/6 + (1/3)∫[1/2 -1/36, m+1/2 -1/36] (1/x)dx
　≦ 5/6 + (1/3)∫[1/2 -1/36, n/2 -1/36] (1/x)dx
　=　5/6 + (1/3)log{ (n/2 -1/36)/(1/2 -1/36)}
　=　5/6 + (1/3)log{C(n-1/18)}, C=18/17,

117:116
07/11/25 17:43:42
>116 を訂正
　p[2k+2] ≧ 6k+1,
だった… ｽﾏｿ

ついでにCも改良…
　Σ[k=1,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
　=　1/5 + 1/7 + Σ[k=2,m] {1/p[2k+1] + 1/p[2k+2]}
　<　1/5 + 1/7 + (1/3)∫[3/2 -1/72, m+1/2] (1/x)dx
　≦ 1/5 + 1/7 + (1/3)∫[3/2 -1/72, n/2] (1/x)dx
　=　1/5 + 1/7 + (1/3)log{(n/2)/(3/2 -1/72)}
　= (1/3)log(Cn)
　< (1/3)log(n),
　C = exp(3(1/5 +1/7))/(3 -1/36) = 0.941069327… <1,

118:１３２人目の素数さん
07/11/25 19:13:53
>110

　(k-1,k) と (k,k+1) とは共存しない。　（← k-1以下のカード、k+1以上のカードが何枚残るか考える.)
ということは、
　(k,k)　か　(k,k+1) 2組
のいずれかということ。

119:１３２人目の素数さん
07/11/25 20:36:51
>>110
2n枚を2枚ずつn組に分ける場合の数をA(n)、その中で条件を満たすものの数をB(n)とすると
A(1)=B(1)=1,A(2)=B(2)=2
A(n+2)=(n+1)*A(n+1)+A(n),B(n+2)=B(n+1)+B(n)
が成り立つ。
こっから先はわからん。(√5+1)/2e　とか？

120:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/25 20:40:44
>>118
nに具体的値が与えられていたらそのやり方でもいけますが，一般化されたこの問題ではかなりきついかと思います．

121:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/26 18:20:08
>>110について
P[n+2]とP[n+1],P[n]の関係式を出すと見通しがよくなります．

122:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/26 18:21:02
平面上に異なる5つの円がある．
　半径2の円C[0]
　半径1の円C[1]
　半径pの円C[2]
　半径qの円C[3]
　半径rの円C[4]
この5つの円は以下の条件を満たす．
(条件1)C[1]はC[0]に内接する．
(条件2)C[2],C[3],C[4]はC[0]に内接かつC[1]に外接する．
(条件3)C[3]はC[2],C[4]に外接する．
(1) qをp,rを用いて表せ．
(2) p+rの最大値を求めよ．

123:１３２人目の素数さん
07/11/26 18:37:42
>>120
>>121
意味不明

124:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/26 18:47:37
>>123
どのあたりが意味不明と？

125:１３２人目の素数さん
07/11/26 18:58:51
>>124
だからいちいち日本語読めない奴の相手をするなと何度も言ってんだろが
いい加減スルーってもんを学習しろ

126:１３２人目の素数さん
07/11/26 19:19:40
>>121
P[n+2]=P[n+1]/(2n+3)+2P[n]/(4n^2+7n+3)
となったんだけど、この漸化式解けるの？

127:１３２人目の素数さん
07/11/26 21:15:23
>>122
円Ｃ[k]の中心をO[k]とし、円Ｃ[0]とＣ[1]の接点をＴとする。
∠O[1]ＴO[3]=αとして3*tanα=tとおく。反転を用いると
q=8/(t^2+8)、p,r=8/{(t±2)^2+8}　となる。
(1)2/q=1/p+1/r-1を整理。
(2)t^2=8√3-12のときに最大値(√3+1)/2を得る。

受験では余弦定理からソディを導いてひたすら計算になりそうだけどムズすぎじゃね？

128:１３２人目の素数さん
07/11/26 22:57:07
>126
　P[n] = Q[n]/{(2n-1)!!} を代入して
　Q[n+2] = Q[n+1] + 2Q[n],
　Q[n] = (1/3){2^(n-1)･(Q[1]+Q[2]) - (-1)^(n+1)･(Q[2]-2Q[1])} = (1/3){2^(n+1) - (-1)^(n+1)},
　P[1]=P[2]=1, Q[1]=1, Q[2]=3.

129:128
07/11/27 01:26:37
>126
　ぢゃないな……orz

130:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/27 02:08:24
>>126
解けますよ．

>>127
御名答．
座標平面持ち出せば計算量は増えますが，そこまで難しくはありませんよ．

131:１３２人目の素数さん
07/11/27 15:04:06
ｆ（ｘ）＝｜ｘ＾ｎ＋a１ｘ＾（ｎ-1）＋．．．＋aｎ｜とするとき、
｜ｘ｜≦１で maxｆ（ｘ）≧（1/２）＾（ｎ-1）を示せ。

132:１３２人目の素数さん
07/11/27 15:51:45
logW=-0.2556
W=?
さあおまいらに解けるか

133:１３２人目の素数さん
07/11/27 19:24:49
>>132
常用対数ならW=10^(-0.2556)
自然対数ならW=e^(-0.2556)
くだらん

134:１３２人目の素数さん
07/11/27 21:27:29
>>131
チェビシェフの定理そのまんま

135:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/27 21:30:17
nを正の整数とする．xについての関数f[n](x)を以下のように定める．
　f[1](x)=1-|2x-1|
　f[n+1](x)=f[1](f[n](x))
このとき，方程式f[n](x)=x^3の解すべての総和をS[n]として，
lim[n→∞]S[n]/n^2を求めよ．

136:Zeus（ゼウス）
07/11/27 21:46:03
「数列の最大・最小に関する問題を創り、解け」
「不等式と領域に関する問題を創り、解け」
「数列の連立漸化式に関する問題を創り、解け」
「空間内での点の軌跡に関する問題を創り、解け」
「ベクトルの線形計算に関する問題を創り、解け」

137:Zeus（ゼウス）
07/11/27 21:50:46
きみたち、数学オリンピックで金メダルとった人たちでしょう？

138:１３２人目の素数さん
07/11/27 22:02:34
金メダルとった人間なんかこのスレどころか数学板にすらほとんどいないよ
いても１人か２人程度

139:１３２人目の素数さん
07/11/27 22:40:10
>>137
予選Bランク止まりでした

140:１３２人目の素数さん
07/11/27 22:49:31
>>136-137
自分の巣へ帰れ！
レスしてもらえないからって他スレに来るんじゃねぇ！

141:１３２人目の素数さん
07/11/27 23:13:22
>>139
お前すげえな
俺はCだったぜｗ
こんな俺でも旧帝数学科でやってけるんだよな

142:１３２人目の素数さん
07/11/27 23:43:51
>>135
最終行の分母はn^2ではなく2^nでは？

143:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/28 00:22:16
失礼，訂正しました

nを正の整数とする．xについての関数f[n](x)を以下のように定める．
　f[1](x)=1-|2x-1|
　f[n+1](x)=f[1](f[n](x))
このとき，方程式f[n](x)=x^3の解すべての総和をS[n]として，
lim[n→∞]S[n]/2^nを求めよ．

144:１３２人目の素数さん
07/11/28 09:30:17
重さｚグラムの立方体（縦１０ｃｍ・横１０ｃｍ・縦１０ｃｍ）がある。
その立方体の重さを、積分法で求めなさい。
（大学入試問題）

145:１３２人目の素数さん
07/11/28 10:13:38
>>138
そうか？
大学への数学では、毎年のように、灘高校から数学オリンピックで
金メダル取る人がいるけど。

146:１３２人目の素数さん
07/11/28 11:00:35
>>145
はぁ？それとこのスレに金メダルがいるかいないかとどう関係あるんだ？

147:１３２人目の素数さん
07/11/28 11:05:45
>>144
ゼウス持ってくんなカス

148:１３２人目の素数さん
07/11/28 11:21:09
灘高校工作員乙ｗｗｗ

149:１３２人目の素数さん
07/11/28 16:35:19
{n(n+1)/4}^2＝n!
を満たす自然数ｎは存在しないことを証明せよ

150:１３２人目の素数さん
07/11/28 16:47:32
すみません　間違いです↑　　正しくは
『{(n+1)/2}^ｎ＝n! を満たす自然数ｎは存在しないことを証明せよ』
です。

151:１３２人目の素数さん
07/11/28 17:01:28
>>143
細かい論証は省くと
x<0ではf[n](x)=x^3の解はx=-2^(n/2)
x≧1ではf[n](x)≦0＜x^3で解なし。
0≦x＜1ではf[n](x)=x^3はk/(2^n)≦x＜(k+1)/(2^n) (kは0≦k≦2^n-1)を満たす整数)
の2^n個の範囲にそれぞれ一つずつ解を持つ。
∴-2^(n/2)+Σ[k=0_2^n-1]k/(2^n)≦S[n]＜-2^(n/2)+Σ[k=1_2^n]k/(2^n)
よって-2^(-n/2)+(2^n-1)/2^(n+1)≦S[n]/(2^n)＜-2^(-n/2)+(2^n+1)/2^(n+1)
以上から求める極限値は1/2

152:１３２人目の素数さん
07/11/28 17:02:45
>>145
意味不明

153:１３２人目の素数さん
07/11/28 17:12:23
>>150
つn=1

154:１３２人目の素数さん
07/11/28 17:12:31
>>150 n=1の時成り立つ。よって仮定は誤り。

155:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/28 17:54:58
>>151
御名答

156:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/28 18:01:16
　各成分が0または1である3次の正方行列全体の集合をU，0または1または2である3次の正方行列全体の集合をVとする．
　集合Uから重複を許して2つの要素A,Bを選んだとき，AB∈UかつBA∈Uとなる確率を求めよ．

157:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:02:18
>>110
答えまだー

158:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/28 18:02:26
また間違えました…訂正．

　各成分が0または1である3次の正方行列全体の集合をU，0または1または2である3次の正方行列全体の集合をVとする．
　集合Uから重複を許して2つの要素A,Bを選んだとき，AB∈VかつBA∈Vとなる確率を求めよ．

159:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:04:23
Ａ、Ｂ、Ｃの3人がそれぞれａ，ｂ，ｃ枚の白紙のカードを持っている。
（ａ，ｂ，ｃはすべて異なる自然数）これを初期状態と呼ぶことにする。
《3人の内、持っているカードが最も多い人が、残りの2人のうちどちらかに
　自分の持っているカードを１枚渡す》・・・（※）
試行（※）をｎ回行ったとき

（1）初期状態と同じ状態になる確率を求めよ

（2）3人の持っているカードすべて（ａ＋ｂ＋ｃ枚）が元の所有者の手から
　　少なくとも一度は他に渡っている確率を求めよ。

160:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:13:58
>>159
枚数が同じになったらどうするんだ？

161:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:21:10
スマン
枚数が同じになっても、常に最高枚数の人がカードを配るという意味
例えばＡ、Ｂ、Ｃが3,3,2枚のカードを持っているとすると
ＡＢの両方が試行を行い、まとめて一回の試行と数える

162:１３２人目の素数さん
07/11/28 18:30:11
>>157
つP[n]={2^(2n+1)+(-1)^n}/{3*(2n-1)!!}
あとは区分求積ででるはず
計算面倒だからあとは任せた

163:１３２人目の素数さん
07/11/29 01:45:59
誰か過去ログをhtml化してくれ

164:１３２人目の素数さん
07/11/29 02:30:21
>>163
URLﾘﾝｸ(briefcase.yahoo.co.jp)

165:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/11/29 11:56:30
半径1の球面S上に4つの点A,B,C,Dがある．S上を点Pが動くとき，AP*BP*CP*DPの最大値をmとする．mの最小値を求めよ．

166:１３２人目の素数さん
07/11/29 22:46:43
>>158
どちらか少なくとも一方の積の成分に
3があるものの個数を求めて全体から引けばよい。
これは「縦に3つ1が並んでいる列がある要素」と「横に3つ1が並んでいる行がある要素」
の選び方の個数を求めればよいことになる。

↑の方針だと思うけど、確率の値がかなり汚くなるのは仕様？

167:１３２人目の素数さん
07/11/29 22:57:53
>>166
AB∈VかつBA∈Vだから条件それだけだと間違ってないか？
縦にも横にも1が並んでるやつを考える必要あるえ

168:166
07/11/29 23:22:53
>>167
いや、補集合の方をカウントしようとしてるから
ドモルガンの法則で「または」かなと。

169:１３２人目の素数さん
07/12/01 00:40:23
1 ：名無しにかわりましてVIPがお送りします。：2007/11/29(木) 21:49:20.57 ID:KzHMp3d0O
俺＝コンビニ店員なｗ
まず自分好みのお客様が来たら
俺「温めますか？」
客「はい」
俺「お箸お付けしますか？」
客「はい」
俺「袋一緒でもよろしいですか？」
客「はい」
俺「ポイントカードお持ちですか？」
客「はい」
俺「僕と付き合って頂けますか？」
客「はい……え？」
俺「はい、って…言ったよね？」
客「…もぉ、しょうがないなぁ///」
俺「ｳﾋｮｰｗｗｗｗ」

170:１３２人目の素数さん
07/12/01 18:56:58
益田さんはいろいろな大学の予想模試を公開してますか
各大学の傾向教えて下さい

171:MASUDA ◆5cS5qOgH3M
07/12/01 22:34:37
各大学の傾向…どの大学も一言ではとても説明しきれません．感覚的なものですから．あえて言い表すなら
東大：教育的
京大：発展的
といった感じですね．

172:１３２人目の素数さん
07/12/01 22:49:28
>>165
細かい論証は省くと　
ABCDが正4面体のとき
　m = 16/(3√3) ≒ 3.0792014356 7800407738 2126829343 8…

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