代数学総合スレッド P ..
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258:１３２人目の素数さん 08/02/15 10:04:07 >>257 何を聞いているのか理解できないんだけど． > Q(a)はQにaを添加してできる最小の体ですね。 YES > Q(a)が体になるには、Q(a)の逆元(逆数)もQ(a)の元になるはずですが、 > そのへんがよく理解できません。 「そのへん」とは？ Q(a) は a を含む最小の体だから 1/a も Q(a) の元． これは定義から直ちに出ること． > aが√2などの簡単な例で説明されると分かるのですが、 > aがべき根と四則演算で表せない場合、どうやってそれを理解すればいいのでしょうか？ それは代数的でない元を添加したということ？ 259:１３２人目の素数さん 08/02/15 10:24:41 おそらく正しいと思うのですが もなにも、全く分かってないんじゃね？ 260:１３２人目の素数さん 08/02/15 11:31:18 >>257 しゃあねえなあ。207 を書き下してやる。 k を非負整数として (a+b)^k を考える。a, b 代数的だから、 a^n や b^m はそれよりも小さな次数の元たちで書き直せる。 よって、(a+b)^k は 1, ..., a^{n-1} b^{m-1} の、nm 個の項の Q 係数の線型結合で書ける。つまり，(a+b)^k は Q 上 nm 次元のベクトルだと考えられる （基底は a^i b^j）． ところで 1, a+b, ..., (a+b)^{nm} を考える。これらはどれも Q 上 nm 次元の ベクトルで、nm 本よりたくさんあるのだから、これらは線型従属。 つまり、ある Q 係数の関係式 γ_0 + γ_1 (a+b) + ... + γ_{nm} (a+b)^{nm} = 0 が成立。これは (a+b) が代数的と言っているのと同じ。
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