代数的整数論 006
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758:Kummer ◆g2BU0D6YN2 07/08/22 01:59:23 定理(Gelfand-Mazur) A を Banach 代数(>>748)で必ずしも可換とは限らない体とする。 このとき A は複素数体 C と Banach 代数として標準的に同型である。 証明 x ∈ A と複素数 λ ≠ μ に対して x - λ ≠ x - μ だから 少なくとも x - λ と x - μ のどちらか一方は 0 でない。 よって、どちらか一方は可逆である。 よって、σ(x) は相異なる２点を含まない。 >>257 より σ(x) は空でないから１点のみからなる。 その点を λ(x) とする。 x - λ(x) は可逆でないから x - λ(x) = 0 である。 よって x = λ(x) である。 よって φ : C → A を標準写像、即ち φ(λ) = λ1 とすると、 φ(C) = A である。 >>695 より φ は位相体としての同型である。 |λ1| = |λ| だから φ は Banach 代数として同型である。 証明終 759:１３２人目の素数さん 07/08/22 04:10:00 98 760:１３２人目の素数さん 07/08/22 04:11:00 97 761:１３２人目の素数さん 07/08/22 04:12:00 96
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