代数的整数論 006 - 暇つぶし2ch

代数的整数論 006 at MATH

758:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 01:59:23
定理(Gelfand-Mazur)
A を Banach 代数(>>748)で必ずしも可換とは限らない体とする。
このとき A は複素数体 C と Banach 代数として標準的に同型である。

証明
x ∈ A と複素数 λ ≠ μ に対して x - λ ≠ x - μ だから
少なくとも x - λ と x - μ のどちらか一方は 0 でない。
よって、どちらか一方は可逆である。
よって、σ(x) は相異なる２点を含まない。
>>257 より σ(x) は空でないから１点のみからなる。
その点を λ(x) とする。
x - λ(x) は可逆でないから x - λ(x) = 0 である。
よって x = λ(x) である。
よって φ : C → A を標準写像、即ち φ(λ) = λ1 とすると、
φ(C) = A である。

>>695 より φ は位相体としての同型である。
|λ1| = |λ| だから φ は Banach 代数として同型である。
証明終

759:１３２人目の素数さん
07/08/22 04:10:00
98

760:１３２人目の素数さん
07/08/22 04:11:00
97

761:１３２人目の素数さん
07/08/22 04:12:00
96

762:１３２人目の素数さん
07/08/22 04:13:01
95

763:１３２人目の素数さん
07/08/22 04:14:00
94

764:１３２人目の素数さん
07/08/22 04:15:00
93

765:１３２人目の素数さん
07/08/22 08:52:23
　　 ∩＿＿＿∩
　　 | ノ　　　　　ヽ
　　/　　●　　　● |　おはよう Kummer ---！！
　 |　　　　( _●_)　ミ
　彡､　　　|∪|　　､｀＼
/　＿＿　ヽノ　/´>　 )
(＿＿＿）　　　/　(_／
　|　　　　　　 /
　|　　／＼　＼
　|　/　　　 )　 )
　∪　　　（　＼
　　　　　　＼＿)

766:１３２人目の素数さん
07/08/22 09:12:35
　　　　　　　　　／＼
　　　　　　　／　　　＼
　　　　　　／　　　　　　＼
　　　　／　熱湯注意. 　＼
　　　／　　　　　　　　　　　　＼
　／　　　　　　〇∧〃　　　　＼
　＼　　　 | ∬　／ >∬｜　　　／
　　＼　　|～～＜＼～.|　　／
　　　＼└――‐┘／
　　　　　　＼日本ﾃﾚﾋﾞ／　　
　　　　　　　＼　　　／￣ﾞﾞ`∩
　　　　　　　　　＼／ノ　ヽ,　ヽ　　　　
　　　　　　　　　 |　|●　　　● i'ﾞ￣ﾞﾞﾞ`''､
　　　　　　　　　 |　|　(_●_)　　ﾐノ　　ヽヾつ
　　　　　　　　　 |　|　ヽノ　　ノ●　　 ● i
　　　　　　　　　 |　｛ヽ,__　　）´(_●_)　｀,ﾐ
　　　　　　　　　 |　| ヽ　　　 /　ヽノ　 ,ノ

767:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 10:36:21
補題
E を実数体 R 上のノルム空間とし、f : E → R を連続線形写像とする。
このとき任意の x ∈ E, y ∈ E に対して、次の不等式が成り立つ。

f(x) - |f||x - a| ≦ f(y) + |f||y - a|

証明
f(x) - f(y) = f(x - y) ≦ |f||x - y| ≦ |f|(|x - a| + |y - a)|
よって
f(x) - |f||x - a| ≦ f(y) + |f||y - a|
証明終

768:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 10:42:36
補題
E を実数体 R 上のノルム空間とし、F をその部分空間とする。
f : F → R を連続線形写像とする。
a ∈ E - F に対して L = F + Ra とおく。

連続線形写像 g: L → R で、f の拡張であり、|f| = |g| となる
ものが存在する。
ここで、|f|, |g| はそれぞれ f, g のノルム(>>690)である。

証明
>>767 より、任意の x ∈ E, y ∈ E に対して、
f(x) - |f||x - a| ≦ f(y) + |f||y - a|

よって、α = sup{f(x) - |f||x - a|} とおくと
f(x) - |f||x - a| ≦ α ≦ f(x) + |f||x - a|
即ち、|f(x) - α| ≦ |f||x - a|

両辺に |-λ| を掛けると
|f(-λx) + λα| ≦ |f||-λx + λa|

λ ≠ 0 のとき y を F の任意の元とし、x = -(1/λ)y とおくと
|f(y) + λα| ≦ |f||y + λa|

λ = 0 のときもこの不等式は |f(y)| ≦ |f||y| になり成り立つ。
よって g(y + λa) = f(y) + λα と定義すると
g: L → R は線形写像で |g| ≦ |f| である。
g は f の拡張であるから |f| ≦ |g| である。
よって |g| = |f| である。
|g| は有限であるから >>693 より、g は連続である。
証明終

769:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 11:12:40
命題(Hahn-Banach)
E を実数体 R 上のノルム空間(>>561)とし、F をその部分空間とする。

f : F → R を連続線形写像とする。
連続線形写像 g: E → R で、f の拡張であり、|f| = |g| となる
ものが存在する。
ここで、|f|, |g| はそれぞれ f, g のノルム(>>690)である。

証明
F を含む E の部分空間 M と線形写像 h: M → R で
f の拡大であり |h| = |f| となるものの対 (M, h) 全体を Ψ とする。
(M, h) ≦ (M', h') を M ⊂ M', h' は h の拡張と定義する。
これは明らかに Ψ の順序関係である。
Ψ_0 を Ψ の全順序部分集合とする。

(M, h) ∈ Ψ_0 となる M 全部の和集合を M~ とすると、
M~ は E の部分空間である。
x ∈ M~ のとき (M, h) ∈ Ψ_0 があり、x ∈ M だから
H(x) = h(x) により写像 H : M~ → R を定義する。
Ψ_0 は (M, h) ≦ (M', h') により全順序集合になっているから
H(x) は x ∈ M となる (M, h) ∈ Ψ_0 の選び方によらない。
H(x) は明らかに線形写像である。

x ∈ M~ で |x| ≦ 1 のとき (M, h) ∈ Ψ_0 で x ∈ M とすると、
|H(x)| = |h(x)| ≦ |h| = |f|
よって |H| ≦ |f| である。H は F で f と一致するから
|f| ≦ |H| である。
よって |H| = |f| となり、(M~, H) ∈ Ψ_0 である。
以上から Zorn の補題により Ψ には極大元 (M_0, h_0) が存在する。
E ≠ M_0 とすると、>>768 より (M_0, h_0) は極大元でなくなる。
よって E = M_0 であり、g = h_0 が求めるものである。
証明終

770:１３２人目の素数さん
07/08/22 11:33:29
　　　∩＿＿＿∩
　　　 | ノ　　　　　ヽ
　　　/　　●　　　● |_
　　 |　　　　( _●_) ⊂ ｀￣＼　俺もアホだけどコイツには負ける
　　彡､　　　|∪|　　　｀￣　ノ
　／＿＿　ヽノ　　 /￣￣
　(＿＿＿）　　　　 /

771:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 11:35:25
E を複素数体 C 上のノルム空間(>>561)とし、
f : E → C を連続線形写像とする。

Re(f(x)) = u(x) とおく。

u : E → C は E と C をそれぞれ実数体 R 上の線形空間とみたとき、
R-線形写像である。

z = a + bi を複素数としたとき Re(iz) = -b である。
よって z = Re(z) - iRe(iz)

Re(if(x)) = Re(f(ix)) = u(ix) であるから

f(x) = u(x) - iu(ix) である。

772:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 11:52:24
補題
E を複素数体 C 上のノルム空間(>>561)とする。
u : E → R を連続な R-線形写像とする。

f(x) = u(x) - iu(ix) により
f : E → C を定義する。

f は連続な C-線形写像であり、|f| = |u| である。

証明
x ∈ E, y ∈ E, α ∈ R のとき
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(αx) = αf(x)
は明らかである。

f(ix) = u(ix) - iu(-x) = u(ix) + iu(x) = if(x)

よって f は C-線形写像である。

V の元 x ≠ 0 に対して λ = |f(x)|/f(x) とおくと、
|λ| = 1 であり、λf(x) = |f(x)| である。

このとき f(λx) = λf(x) = |f(x)| は実数だから
f(λx) = u(λx) である。
よって
|f(x)| = f(λx) = u(λx) ≦ |u||λx| = |u||x|
よって
|f| ≦ |u| である。

他方、|u(x)| ≦ |f(x)| だから |u| ≦ |f| である。
よって |f| = |u| である。
証明終

773:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 12:06:44
定理(Hahn-Banach)
E を複素数体 C 上のノルム空間(>>561)とし、F をその部分空間とする。

f : F → C を連続線形写像とする。
連続線形写像 g: E → C で、f の拡張であり、|f| = |g| となる
ものが存在する。
ここで、|f|, |g| はそれぞれ f, g のノルム(>>690)である。

証明
x ∈ F のとき、u(x) = Re(f(x)) とおく。
u : F → R は R-線形写像で |u(x)| ≦ |f(x)| だから
|u| ≦ |f| である。
f(x) = u(x) - iu(ix) だから >>772 より |u| = |f| である。

>>769 より u は U : E → R に拡張される。
ここで |U| = |u| である。

g(x) = U(x) - iU(ix) により
g : E → C を定義する。

>>772 より g は連続な C-線形写像であり、|g| = |U| = |u| = |f|
である。

x ∈ F のとき g(x) = u(x) - iu(ix) = f(x) だから
g が求めるものである。
証明終

774:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 13:01:57
K を可換体とする。
| | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
A を K 上のノルム環とする。

K の完備化(>>475)を K^ とし、
A の位相アーベル群としての完備化を A^ とする。

A は位相環だから A^ も位相環である(>>371)。

>>577 より A^ は K^ 上のノルム空間となる。

等式延長の原理(>>265)より
任意の λ ∈ K^, x ∈ A^, y ∈ A^ に対して
(λx)y = x(λy) = λ(xy) となる。

不等式延長の原理(>>473)より
任意の x ∈ A^, y ∈ A^ に対して
|xy| ≦ |x||y| となる。

以上から A^ は K^ 上のノルム環となる。

775:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 13:10:22
>>774 の補足。

>>577 より A^ の位相は A^ のノルムから定義されたものと一致する。

776:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 13:31:14
補題
K を可換体とする。
| | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
A を K 上のノルム環で必ずしも可換とは限らない体とする。

A - {0} における写像 f(x) = 1/x は
任意の δ ＞ 0 に対して、
|x| ≧ δ において一様連続である。

証明
任意の x ∈ A - {0}, y ∈ A - {0} に対して
|1/x - 1/y| = |(1/x)(y - x)(1/y)| ≦ |x - y|/(|x||y|)
である。

δ ＞ 0 に対して、
|x| ≧ δ
|y| ≧ δ
とする。

任意の ε ＞ 0 に対して、|x - y| ＜ (δ^2)ε なら

|1/x - 1/y| ≦ |x - y|/(|x||y|) ＜ ε

従って写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。
証明終

777:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 13:36:19
命題
K を可換体とする。
| | を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
A を K 上のノルム環で必ずしも可換とは限らない体とする。

>>774 より A^ は K^ 上のノルム環となる。
このとき A^ は必ずしも可換とは限らない体になる。

証明
>>382 より分離位相体 A の完備化環 A^ が位相体であるためには
A^* に含まれ、0 に収束しない (A の加法群に関する)
Cauchy フィルター Φ の基底 Φ_0 の写像 f(x) = 1/x による像が
(A の加法群に関する) Cauchy フィルターの基底であることが
必要十分である。

Φ_0 は 0 に収束しないから δ ＞ 0 と A ∈ Φ があり
x ∈ A なら |x| ≧ δ となる。

>>776 より、任意の δ ＞ 0 に対して、
写像 f(x) = 1/x は |x| ≧ δ において一様連続である。

Φ_1 = { B ∈ Φ_0 ; B ⊂ A } は Φ の基底である。
>>240 より f(Φ_1) は Cauchy フィルターの基底である。
従って f(Φ_0) も Cauchy フィルターの基底である。
これで A^ が位相体であることが証明された。
証明終

778:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/22 13:46:01
定理(Gelfand-Mazur)
A を複素数体上の(必ずしも完備とは限らない)ノルム環で
必ずしも可換とは限らない体とする。

このとき A は複素数体に標準的に同型である。

証明
>>777 より A の完備化 A^ は Banach 代数(>>748)で
必ずしも可換とは限らない体となる。

>>758 より A^ は複素数体に標準的に同型である。
よって A も複素数体に標準的に同型である。
証明終