代数的整数論 006
at MATH
1:１３２人目の素数さん
07/07/25 20:37:41
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
過去スレ
＃００１
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
＃００２
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
＃００３
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
＃００４
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
＃００５
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
2:１３２人目の素数さん
07/07/25 20:41:57
クメール
3:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/25 20:49:19
過去スレ５の974で判別式 D が負の場合の類数公式として
h = ((√|D|)/π)L(1, χ) が得られた。
L(1, χ) の計算が残っているが、これは後回しにすることにして、
今度は判別式 D が正の場合を扱うことにする。
4:１３２人目の素数さん
07/07/25 21:18:18
D ＞ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式で
a ＞ 0 とする。
R を実２次体 Q(√D) の判別式 D の整環とする。
R = [1, (D + √D)/2] である(過去スレ４の585)。
ax^2 + bxy + cy^2 は原始的だから、過去スレ４の592より
I = [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアルである。
α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。
-Δ(α, β) = a(-b + √D)/2 - a(-b - √D)/2 = a√D ＞ 0
だから I の基底 a, (-b + √D)/2 の向き(過去スレ５の188)は正である。
過去スレ５の251より f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) である。
m ≠ 0 を有理整数で m = f(x, y), m = f(x', y') となる
(x, y) ∈ Z^2 と (x', y') ∈ Z^2 があるとする。
N(xα - yβ)/N(I) = N(x'α - y'β)/N(I) = m であるから
N(xα - yβ) = N(x'α - y'β) である。
λ = xα - yβ, μ = x'α - y'β とおけば
N(λ) = N(μ) である。
m ≠ 0 だから λ ≠ 0, μ ≠ 0 である。
5:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/25 21:52:45
>>4 を以下のように修正する。
D ＞ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式で
a ＞ 0 とする。
R を実２次体 Q(√D) の判別式 D の整環とする。
R = [1, (D + √D)/2] である(過去スレ４の585)。
ax^2 + bxy + cy^2 は原始的だから、過去スレ４の592より
I = [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアルである。
α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。
-Δ(α, β) = a(-b + √D)/2 - a(-b - √D)/2 = a√D ＞ 0
だから I の基底 a, (-b + √D)/2 の向き(過去スレ５の188)は正である。
過去スレ５の251より f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) である。
m ≠ 0 を有理整数で m = f(x, y) となる (x, y) ∈ Z^2 が
あるとする。
N(xα - yβ)/N(I) = m である。
λ = xα - yβ とおく。
m ≠ 0 だから λ ≠ 0 である。
6:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/26 00:00:29
>>5 の続き。
εを R の単数で N(ε) = 1 とする。
N(ελ) = N(λ) であるから N(ελ)/N(I) = m である。
ελ ∈ I であるから ελ = x'α - y'β となる有理整数 x', y' がある。
よって f(x', y') = N(x'α - y'β)/N(I) = m である。
過去スレ５の413より ε = (t + u√D)/2 と書ける。
ここで (t, u) は t^2 - Du^2 = 4 の有理整数解である。
このとき (x', y') を (x, y) と (t, u) で表す式を求めよう。
7:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/26 01:18:34
>>6 の続き。
λ = xα - yβ = ax + (b - √D)y/2
ε = (t + u√D)/2
だから
ελ = ((t + u√D)/2)(ax + (b - √D)y/2))
= ax(t + u√D)/2 + ((tb - uD)y + y(bu - t)√D)/4
= (2axt + (tb - uD)y)/4 + (2axu + y(bu - t))√D/4
これが ax' + (b - √D)y'/2 となるべきだから、
y' = -axu + y(t - bu)/2 とおく。
(b - √D)y'/2 = -abux/2 + by(t - bu)/4 + axu√D/2 - y(t - bu)√D/4
= -abux/2 + by(t - bu)/4 + (2axu + y(bu - t))√D/4
よって
ax' + (b - √D)y'/2 =
ax' - abux/2 + by(t - bu)/4 + (2axu + y(bu - t))√D/4
= (2axt + (tb - uD)y)/4 + (2axu + y(bu - t))√D/4
よって
ax' - abux/2 + by(t - bu)/4 = (2axt + (tb - uD)y)/4
よって
ax' = (2axt + (tb - uD)y)/4 + abux/2 + by(bu - t)/4
= axt/2 + abux/2 + (b^2yu - uDy)/4
= axt/2 + abux/2 + (b^2 - D)uy/4
= axt/2 + abux/2 + 4acuy/4
= axt/2 + abux/2 + acuy
= a((t + bu)x/2 + cuy)
8:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/26 01:26:54
>>7 の続き。
よって
x' = (t + bu)x/2 + cuy
y' = -aux + y(t - bu)/2
行列 T = ((t + bu)/2, cu)/(-au, (t - bu)/2) とおくと、
(x', y')^ = T(x, y)^ となる。
ここで、記号 ^ は転置を表す。
過去スレ５の412より φ(t, -u) = T である。
U(f) = {σ ∈ SL_2(Z) ; (a, b, c)σ = (a, b, c) } とおくと、
T ∈ U(f) である。
φ(t, -u) = T より T は ε = (t + u√D)/2 の共役
ε' = (t - u√D)/2 に対応する。
9:１３２人目の素数さん
07/07/26 16:17:02
またこのスレか。TeXでも数式ワープロでもいいからpdf にしてくれ。
10:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/27 11:47:28
補題
C ＞ 0, ε ＞ 1 を実数とする。
C ≦ ε^n ＜ εC となる有理整数 n が一意に存在する。
証明
C ≦ ε^n ＜ εC とする。
対数関数 log(x) は単調増加だから、この不等式は
log(C) ≦ n log(ε) ＜ log(ε) + log(C)
と同値である。
これを書き直すと、
(n-1)log(ε) ＜ log(C) ≦ n log(ε)
log(ε) ＞ 0 だから
(n-1) ＜ log(C)/log(ε) ≦ n
このような有理整数 n は一意に存在する。
証明終
11:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/27 14:39:37
D ＞ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式で
a ＞ 0 とする。
R を実２次体 Q(√D) の判別式 D の整環とする。
R = [1, (D + √D)/2] である(過去スレ４の585)。
ax^2 + bxy + cy^2 は原始的だから、過去スレ４の592より
I = [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアルである。
>>5 より f(x, y) = N(ax + (b - √D)y/2)/N(I) である。
N(I) = a だから
af(x, y) = (ax + (b - √D)y/2)(ax + (b + √D)y/2)
m ＞ 0 を有理整数で m = f(x, y) となる (x, y) ∈ Z^2 が
あるとする。
am = (ax + (b - √D)y/2)(ax + (b + √D)y/2)
A = ax + (b - √D)y/2 とおく。
A の共役 A' は
A' = ax + (b + √D)y/2
(続く)
12:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/27 14:43:51
E を R の単数で N(E) = 1 とする。
>>6 より AE は ax' + (b - √D)y'/2 と書ける。
B = ax' + (b - √D)y'/2 とおく。
即ち、B = AE
両辺の共役をとって
B' = A'E'
E' = 1/E だから
B'/B = (A'/A)E^(-2)
ε を R の単数で N(ε) = 1 かつ ε ＞ 1 となる最小のものとする。
E = ±ε^n と書ける。
よって E^(-2) = ε^(2n) と書ける。
am = AA' ＞ 0 だから A'/A ＞ 0
C = A/A' とおけば >>10 より
C ≦ ε^(2n) ＜ (ε^2)C
即ち
1 ≦ (A'/A)ε^(2n) ＜ ε^2
となる有理整数 n が一意に存在する。
13:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/27 15:37:47
>>12 の続き。
A = ax + (b - √D)y/2
A' = ax + (b + √D)y/
B = ax' + (b - √D)y'/2
B' = ax' + (b - √D)y'/2
であった。
B'/B = A'/A とする。
即ち、B'/A' = B/A
よって B/A = t は実数である。
B = At
N(B) = N(At) = N(A)t^2
一方
N(B) = N(A) だから t^2 = 1
よって t = ±1 である。
即ち B = ±A
このことと、>>12 から
集合 S(m, f) = { (x, y) ∈ Z^2 ; m = f(x, y) } を
群 U(f) = {σ ∈ SL_2(Z) ; (a, b, c)σ = (a, b, c) }
で類別した集合 S(m, f)/U(f) の代表系として
次の条件を満たす (x, y) の集合が取れる。
1) (x, y) ∈ S(m, f)
2) ax + (b - √D)y/2 ＞ 0
3) 1 ≦ (ax + (b + √D)y/2)(ax + (b - √D)y/2) ＜ ε^2
14:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/27 15:41:27
訂正
>>13
>B' = ax' + (b - √D)y'/2
>であった。
B' = ax' + (b + √D)y'/2
であった。
15:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 10:36:56
訂正
>>13
>3) 1 ≦ (ax + (b + √D)y/2)(ax + (b - √D)y/2) ＜ ε^2
3) 1 ≦ (ax + (b + √D)y/2)/(ax + (b - √D)y/2) ＜ ε^2
16:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 10:55:13
D ＞ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。
f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式で
a ＞ 0 とする。
さらに、a は 2D と素とする。
s を実変数として級数 G(s, f) Σ1/f(x, y)^s を考える。
ここで (x, y) は S(f)/U(f) の代表系を動く。
ここで
S(f) = {(x, y) ∈ Z^2 ; f(x, y) ＞ 0 は 2D と素 }
U(f) = {σ ∈ SL_2(Z) ; (a, b, c)σ = (a, b, c) }
>>13 より S(f)/U(f) の代表系として以下の条件をみたす (x, y) の
集合 R(f) が取れる。
1) (x, y) ∈ S(f)
2) ax + (b - √D)y/2 ＞ 0
3) 1 ≦ (ax + (b + √D)y/2)/(ax + (b - √D)y/2) ＜ ε^2
af(x, y) = (ax + (b + √D)y/2)(ax + (b - √D)y/2) だから
3) から af(x, y) ＞ 0 となる。
a ＞ 0 だから f(x, y) ＞ 0 である。
従って、1) は次の条件 1') に変えてよい。
1') (x, y) ∈ Z^2 で f(x, y) は 2D と素
17:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 11:19:53
>>16 の続き。
D ≡ 0 (mod 4) のとき Δ = D/2
D ≡ 1 (mod 4) のとき Δ = 2D
とおく。
(α, γ) ∈ { (x, y) ∈ (Z/ΔZ)^2 ; f(x, y) は Δ と素 }
に対して、級数 G(s, f, α, γ) = Σ1/f(x, y)^s を考える。
ここで (x, y) = (Δv + α, Δw + γ) で (v, w) ∈ Z^2 であり、
さらに、以下の条件を満たす。
ax + (b - √D)y/2 ＞ 0
1 ≦ (ax + (b + √D)y/2)/(ax + (b - √D)y/2) ＜ ε^2
過去レス５の849 より G(s, f) = ΣG(s, f, α, γ) である。
ここで右辺の和の (α, γ) は
集合 { (x, y) ∈ (Z/(2D)Z)^2 ; f(x, y) は Δ と素 } の元全体
を動く。
過去レス５の849は D の符号に無関係に成り立つことは明らかである。
過去レス５の796 により s → 1+0 のときの
lim (s - 1) G(s, f, α, γ) は t → ∞ のときの lim T/t に等しい。
ここで
T は集合 { (x, y) ∈ Z^2 ; x ≡ α (mod Δ), y ≡ γ (mod Δ),
f(x, y) ≦ t,
ax + (b - √D)y/2 ＞ 0,
1 ≦ (ax + (b + √D)y/2)/(ax + (b - √D)y/2) ＜ ε^2 }
の元の個数である。
ε は R の単数で N(ε) = 1 かつ ε ＞ 1 となる最小のものである。
R は２次体 Q(√D) の判別式 D の整環である。
18:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 11:40:37
>>17 の続き。
ax^2 + bxy + cy^2 ≦ t は
a(x/√t)^2 + b(x/√t)(y/√t) + c(y/√t)^2 ≦ 1 と同値である。
ξ = x/√t
η = y/√t
とおくと
ξ = (Δ/√t)v + α/√t
η = (Δ/√t)w + γ/√t
(v, w) が Z^2 の元を動くと (ξ, η) は幅が h = Δ/√t の格子点
全体を動く。
よって T は aξ^2 + bξη + cη^2 ≦ 1 となる格子点 (ξ, η) で、
aξ + (b - √D)η/2 ＞ 0,
1 ≦ (aξ + (b + √D)η/2)/(aξ + (b - √D)η/2) ＜ ε^2 }
をみたすものの個数である。
19:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 11:49:51
>>18 の続き。
aξ^2 + bξη + cη^2 ≦ 1
aξ + (b - √D)η/2 ＞ 0
1 ≦ (aξ + (b + √D)η/2)/(aξ + (b - √D)η/2) ＜ ε^2
で定義される (ξ, η) 平面の領域の面積を B とする。
t → ∞ のとき、従って h = Δ/√t → 0 のとき
(h^2)T → B である。
(h^2)T = Δ^2/t だから
t → ∞ のとき lim T/t = B/Δ^2
よって lim T/t を求めるには B を計算すればよい。
20:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 11:55:30
>>19 の続き。
(√a)X = aξ + (b - √D)η/2
(√a)Y = aξ + (b + √D)η/2
とおく。
この変換の行列式は (a(b + √D)/2 - a(b - √D)/2)/(√a)^2
= a√D/a = √D である。
(√a)X(√a)Y = aXY = a(aξ^2 + bξη + cη^2) ≦ a
よって 0 ＜ XY ≦ 1
さらに、
aξ + (b - √D)η/2 ＞ 0,
1 ≦ (aξ + (b + √D)η/2)/(aξ + (b - √D)η/2) ＜ ε^2 }
から
X ＞ 0
1 ＜ Y/X ≦ ε^2
よって
0 ＜ XY ≦ 1
X ＞ 0
1 ＜ Y/X ≦ ε^2
で定義される (X, Y) 平面の領域の面積を C とすると、
C = (√D)B である。
21:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 14:38:21
>>20 の続き。
X = r cos(θ)
Y = r sin(θ)
と極座標で表す。
これの Jacobi 行列式は r である。
よって
C = ∫∫rdrdθ = ∫(∫rdr)dθ = ∫(r^2)/2 dθ
右辺の r は双曲線 XY = 1 の上にある。
この r を θ で表してみよう。
直線 Y = tan(θ)X と 双曲線 XY = 1 の交点 (X, Y) の r を求める。
tan(θ)X = 1/X より
X^2 = 1/tan(θ)
Y^2 = 1/X^2 だから
r^2 = X^2 + Y^2 = tan(θ) + 1/tan(θ)
よって
C = ∫(r^2)/2 dθ = (1/2)∫(tan(θ) + 1/tan(θ)) dθ
x = tan(θ) とおく。
dx = (1 + tan^2(θ))dθ
よって
C = (1/2)∫(x + 1/x)/(1 + x^2) dx = (1/2)∫(1/x)dx
この積分の範囲は [1, ε^2] である。
よって C = log(ε) である。
よって B = log(ε)/√D である。
22:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 15:08:09
>>21 の続き。
>>19 より
t → ∞ のとき lim T/t = B/Δ^2
よって
t → ∞ のとき lim T/t = log(ε)/(Δ^2)√D
>>17 より
s → 1+0 のときの lim (s - 1) G(s, f, α, γ) = log(ε)/(Δ^2)√D
G(s, f) = ΣG(s, f, α, γ) だから
s → 1+0 のときの lim (s - 1) G(s, f) = N(Δ)log(ε)/(Δ^2)√|D|
である。
ここで N(Δ) は集合 { (x, y) ∈ (Z/ΔZ)^2 ; f(x, y) は Δ と素 }
の元の個数である。
N(Δ) の値は過去スレの839, 844, 845 で求めてある。
即ち
D ≡ 0 (mod 4) のとき N(Δ) = Δφ(Δ)
D ≡ 1 (mod 8) のとき N(Δ) = (Δ/2)φ(Δ/2) = (Δ/2)φ(Δ)
D ≡ 5 (mod 8) のとき N(Δ/2) = (3/2)Δφ(Δ/2) = (3/2)Δφ(Δ)
過去スレの917と同様に
hN(Δ)log(ε)/(Δ^2)√|D| = lim (s - 1)(Σ1/n^s)(Σ(D/n)/n^s)
右辺の各和の n は D と素な正の奇数全体を動く。
ここで h = |C(D)| = |F_0(D)/SL_2(Z)| である。
F_0(D) は判別式 D の原始的な２次形式の集合である。
23:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/28 15:25:33
>>22 の続き。
hN(Δ)log(ε)/(Δ^2)√|D| = lim (s - 1)(Σ1/n^s)(Σ(D/n)/n^s)
この右辺の極限は過去スレと同様に求まる。
即ち、過去スレの920 より
lim (s - 1)(Σ1/n^s) = φ(Δ)/Δ である。
過去スレの973 より
D ≡ 0 (mod 4) のとき
lim(s → 1) Σ(D/n)/n^s = L(1, χ)
D ≡ 1 (mod 8) のとき
lim(s → 1) Σ(D/n)/n^s = (1/2)L(1, χ)
D ≡ 5 (mod 8) のとき
lim(s → 1) Σ(D/n)/n^s = (3/2)L(1, χ)
よって、いずれの場合も
h = (√D/log(ε))L(1, χ)
24:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 17:29:42
L(1, χ) を計算する前に、過去スレで証明をしていなかった級数に
関する命題の証明を行う。
まず級数論の基本事項を復習する。
25:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 17:30:51
定義(Bourbaki)
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
R^r は実数体上の r 次元数ベクトル空間であり、
C^r は複素数上の r 次元数ベクトル空間である。
x ∈ G のとき |x| は x のノルム即ち、
x = (x_1, . . , x_r) のとき
|x| = (|x_1|^2 + . . . + |x_r|^2)^(1/2) とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
G のある元 S が存在して、
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
|S - S(J)| ＜ ε となるとき、族 (x_i) は総和可能といい、
S をその和と呼ぶ。
このとき S = Σx_i と書く。
26:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 17:32:09
命題
I を高々可算な集合とする。
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
族 (x_i) が総和可能なら、その和は一意に決まる。
証明
S と T が族 (x_i) の和とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
|S - S(J)| ＜ ε となる。
同様に J_1 ∈ Φ(I) があり、
J_1 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
|T - S(J)| ＜ ε となる。
J = J_0 ∪ J_1 とすれば
|S - S(J)| ＜ ε
かつ
|T - S(J)| ＜ ε
となる。
|S - T| = |S - S(J) + S(J) - T| ≦ |S - S(J)| + |S(J) - T|
≦ ε + ε = 2ε
ε＞ 0 はいくらでも小さく出来るから S = T である。
証明終
27:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 17:32:42
注意
I が有限集合のとき 族 (x_i) は常に総和可能であり、
その和は通常の有限和に等しい。
28:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 17:36:38
命題
I を高々可算な集合とする。
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
K を集合として、φ : K → I を同型、即ち全単射とする。
族 (x_i) が総和可能(>>25) なら 族 (x_φ(k))) も総和可能であり、
Σx_i = Σx_φ(k) となる。
証明
S = Σx_i とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
同様に K の有限部分集合全体の集合を Φ(K) とする。
H ∈ Φ(K) に対して T(H) = Σx_φ(k) とおく。
ここで右辺の和の k は H の元全体を動く。
H が空集合のときは T(H) = 0 とする。
T(H) = S(φ(H)) である。
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して |S - S(J)| ＜ ε となる。
H_0 = φ^(-1)(J_0)
H = φ^(-1)(J) とおく。
J_0 ⊂ J だから H_0 ⊂ H である。
φ は全単射だから J = φ(H) である。
よって |S - S(φ(H))| ＜ ε
即ち、|S - T(H)| ＜ ε
これは S = Σx_φ(k) を意味する。
証明終
29:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 17:41:21
命題
I を高々可算な集合とする。
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
族 (x_i) は総和可能(>>25)とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
|S(K)| ＜ ε となる。
証明
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
|S - S(J)| ＜ ε/2 となる。
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合とする。
J_0 ⊂ J_0 ∪ K だから
|S - S(J_0 ∪ K)| ＜ ε/2 となる。
J_0 ∩ K は空集合だから
S(J_0 ∪ K) = S(J_0) + S(K)
よって
|S(K)| = |S(J_0 ∪ K) - S(J_0)| = |S(J_0 ∪ K) - S + S - S(J_0)|
= |S(J_0 ∪ K) - S| + |S - S(J_0)| ＜ ε/2 + ε/2 = ε
証明終
30:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 17:42:14
命題
I を可算無限集合とする。
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
族 (x_i) は総和可能(>>25)とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
i ∈ I - J_0 なら |x_i| ＜ ε となる。
証明
>>29 より明らかである。
31:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 17:42:56
X を集合とする。
X の有限部分集合全体の集合を Φ(X) とする。
Φ(X) の元の列 (F_n), n ≧ 0 は次の条件を満たすとき
X の F-近似列という。
1) F_0 ⊂ F_1 ⊂ . . . ⊂ F_n ⊂ F_(n+1) ⊂ . . .
2) 任意の F ∈ Φ(X) に対して F ⊂ F_n となる n がある。
32:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 18:01:56
>>31 の定義は杉浦の解析入門Ｉから拝借した。
33:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 18:08:53
補題
I を高々可算な集合とする。
I の F-近似列(>>31)が存在する。
証明
I が有限集合のときは任意の n に対して F_n = I とすれば
(F_n) は I の F-近似列である。
よって I は可算無限集合と仮定してよい。
Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。
I は可算無限集合だから同型 ψ : Z+ → I が存在する。
n ∈ Z+ のとき J_n = {0, 1, . . . , n} とおく。
F_n = ψ(J_n) とすとする。
F_0 ⊂ F_1 ⊂ . . . ⊂ F_n ⊂ F_(n+1) ⊂ . . .
は明らかである。
任意の F ∈ Φ(I) に対して J = ψ^(-1)(F) とする。
J は有限集合だから J ⊂ J_n となる n ∈ Z+ がある。
ψ(J) ⊂ ψ(J_n) である。
即ち F ⊂ F_n である。
証明終
34:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 18:13:41
命題(Cauchy の総和可能判定条件)
I を高々可算な集合とする。
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
|S(K)| ＜ ε となるとする。
このとき、族 (x_i) は総和可能(>>25)である。
証明
>>33 より I の F-近似列 (F_n) が存在する。
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(X) で J_0 ∩ K が空集合なら
|S(K)| ＜ ε/2 とする。
J_0 ⊂ F_m となる m ≧ 0 がある。
n ≧ m なら (F_n - F_m) ∩ J_0 は空集合だから
|S(F_n - F_m)| ＜ ε/2 である。
F_n = F_m ∪ F_n - F_m で F_m と F_n - F_m は交わらないから
S(F_n) = S(F_m) + S(F_n - F_m)
即ち S(F_n - F_m) = S(F_n) - S(F_m) である。
よって |S(F_n) - S(F_m)| ＜ ε/2 である。
(続く)
35:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/30 18:14:31
同様に
n' ≧ m なら |S(F_n') - S(F_m)| ＜ ε/2 である。
よって
|S(F_n) - S(F_n')| = |S(F_n) - S(F_m) + S(F_m) - S(F_n')|
= |S(F_n) - S(F_m)| + |S(F_m) - S(F_n')| ＜ ε/2 + ε/2 = ε
よって (S(F_n)) は Cauchy 列である。
よって S = lim S(F_n) が存在する。
即ち、任意の ε＞ 0 に対して k ≧ 0 があり、
n ≧ k のとき |S - S(F_n)| ＜ ε である。
仮定より J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(X) で J_0 ∩ K が空集合なら
|S(K)| ＜ ε となる。
(F_n) は I の F-近似列だから
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
J ⊂ F_n となる n がある。
n はいくらでも大きくできるから n ≧ k としてよい。
J_0 と (F_n - J) は交わらないから
S(F_n - J) ＜ ε である。
S(F_n) = S(J) + S(F_n - J)
よって
S(F_n) - S(J) = S(F_n - J)
|S - S(J)| = |S - S(F_n) + S(F_n) - S(J)|
= |S - S(F_n)| + |S(F_n - J)| ＜ ε + ε = 2ε
よって 族 (x_i) は総和可能である。
証明終
36:１３２人目の素数さん
07/07/31 04:10:00
15
37:１３２人目の素数さん
07/07/31 04:11:00
14
38:１３２人目の素数さん
07/07/31 04:12:00
13
39:１３２人目の素数さん
07/07/31 04:13:00
12
40:１３２人目の素数さん
07/07/31 04:14:00
11
41:１３２人目の素数さん
07/07/31 04:15:00
10
42:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 08:08:48
命題
I を高々可算な集合とする。
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
族 (x_i) は総和可能(>>25)とする。
H を I の任意の部分集合とする。
H を添字集合とする部分族 (x_i), i ∈ H は総和可能である。
証明
>>29 より族 (x_i), i ∈ I は Cauchy の総和可能判定条件を満たす。
即ち、任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
|S(K)| ＜ ε となる。
L ∈ Φ(H) で (J_0 ∩ H) ∩ L = J_0 ∩ L が空集合なら
|S(L)| ＜ ε となる。
即ち、部分族 (x_i), i ∈ H もCauchy の総和可能判定条件を満たす。
従って、>>34 より (x_i), i ∈ H は総和可能である。
証明終
43:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 08:56:14
命題
I を高々可算な集合とする。
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
族 (x_i) は総和可能(>>25)とする。
S = Σx_i をその和とする。
(I_λ), λ ∈ L を I の任意の分割とする。
即ち I = ∪I_λ, λ ∈ L で λ ≠ μ なら I_λ ∩ I_μ は空集合
である。
>>42 より部分族 (x_i), i ∈ I_λ は総和可能である。
この和を S_λ とする。
族 (S_λ), λ ∈ L は総和可能で、その和 ΣS_λ は S = Σx_i に
等しい。
証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
L の有限部分集合全体の集合を Φ(L) とする。
K ∈ Φ(L) に対して T(K) = ΣS_λ とおく。
ここで右辺の和の λ は K の元全体を動く。
K が空集合のときは T(K) = 0 とする。
(続く)
44:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 08:57:28
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
|S - S(J)| ＜ ε となる。
K_0 = {λ ∈ L ; J_λ = I_λ ∩ J_0 が空でない } とおく。
K を L の有限部分集合で K_0 ⊂ K とする。
|S - T(K)| ＜ ε を示せばよい。
任意の δ＞ 0 に対して
各 λ ∈ K に対して J_λ ⊂ H_λ ⊂ I_λ となる有限部分集合 H_λ
が存在して |S_λ - T(H_λ)| ＜ δ となる。
J = ∪H_λ, λ ∈ K とおく。J は I の有限部分集合で J_0 を含む。
S(J) = ΣT(H_λ), λ ∈ K
である。
|S - T(K)| = |S - ΣS_λ| = |S - Σ(S_λ - T(H_λ)) - ΣT(H_λ)|
= |S - S(J) - Σ(S_λ - T(H_λ))|
＜ ε + nδ
n は K の元の個数である。
δ＞ 0 はいくらで小さく出来るから
|S - T(K)| ≦ ε となる。
証明終
45:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 09:31:12
定義
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。
(x_n), n ∈ Z+ を G の元の Z+ を添字集合とする点列とする。
S_n = x_0 + x_1 + . . . + x_n とおく。
点列 (S_n) が収束するとき S = lim S_n を点列 (x_n) が定める級数の
和といい、 S = Σx_n と書く。
これは (x_n) が総和可能なときの和の記号と同じで紛らわしいので
Bourbaki は Σ の代わりに太字の S を使っている。
しかし、このスレでは従来通りの記号を使うことにする。
46:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 09:47:49
命題
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。
(x_n), n ∈ Z+ を G の元の Z+ を添字集合とする点列とする。
(x_n) が総和可能で、その和を S とする。
このとき (x_n) が定める級数も収束し S = Σx_n である。
証明
>>25 の記号を使う。
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(Z+) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(Z+) に対して
|S - S(J)| ＜ ε となる。
J_0 に含まれる元の最大値を n_0 とする。
n ∈ Z+ のとき I_n = {0, 1, . . . ,n} とする。
S(I_n) = x_0 + x_1 + . . . + x_n である。
n ≧ n_0 なら J_0 ⊂ I_n だから
|S - S(I_n)| ＜ ε となる。
これは級数 Σx_n が収束し S = Σx_n であることを示している。
証明終
47:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 09:53:40
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。
(x_n), n ∈ Z+ を G の元の Z+ を添字集合とする点列とする。
(x_n) は総和可能でその和を S とする。
σ : Z+ → Z+ を全単射とする。
>>28 より点列 (x_σ(n)) も総和可能で、その和は S になる。
しかし、点列 (x_n) が定める級数が収束しても点列 (x_σ(n)) が
定める級数が収束するとは限らない。
48:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 10:23:37
命題
G を R^r または C^r とする(r ≧ 1)。
Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。
(x_n), n ∈ Z+ を G の元の Z+ を添字集合とする点列とする。
任意の全単射 σ : Z+ → Z+ に対して点列 (x_σ(n)) が定める級数が
収束するなら点列 (x_n) は総和可能である。
このとき S を点列 (x_n) の和とすれば、任意の σ に対して
S = Σ(x_σ(n)) となる。
証明
点列 (x_n) が総和可能でないとして矛盾を導く。
点列 (x_n) は Cauchy の総和可能判定条件(>>34) を満たさない。
従って、ある ε ＞ 0 があり
任意の J ∈ Φ(Z+) に対して H ∈ Φ(Z+) で J ∩ _H が空集合となり
|S(H)| ≧ ε となるものがある。
(続く)
49:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 10:25:05
まず最初に J として空集合を取れば H_0 ∈ Φ(Z+) で |S(H_0)| ≧ ε
となるものがある。
次に J = H_0 として H_0 と交わらない H_1 で |S(H_1)| ≧ ε
となるものがある。
次に J = H_0 ∪ H_1 として H_0 ∪ H_1 と交わらない H_2 で
|S(H_2)| ≧ ε となるものがある。
これを続けると(厳密には数学的帰納法により)
Z+の有限部分集合の族 (H_n), n ∈ Z+ で以下の条件を満たすものが
存在する。
1) n ≠ m なら H_n と H_m は交わらない。
2) Z+ = ∪(H_n), n ∈ Z+
3) 任意の n ∈ Z+ に対して |S(H_n)| ≧ ε
点列 (x_n) を添字 n が H_0, H_1, . . . に現れる順に並べ変えた
ものを (x_σ(n)) とする。
点列 (x_σ(n)) が定める級数は条件 3) より Cauchy の収束判定条件を
満たさない。
よって (x_σ(n)) が定める級数は収束しない。
これは仮定に反する。
(x_n) が総和可能なとき、任意の全単射 σ : Z+ → Z+ に対して
S = Σ(x_σ(n)) となることは >>46 と >>47 より明らかである。
証明終
50:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 11:21:39
命題
F を実数体 R または複素数体 C とする。
G を F 上の r 次元数ベクトル空間 F^r とする(r ≧ 1)。
各 i, 1 ≦ i ≦ r に対して
pr_i : G → F を i 番目の射影写像とする。
即ち x = (x_1, . . . , x_r) を G の元としたとき、
pr_i(x) = x_i である。
L を高々可算な集合とする。
(x_λ), λ ∈ L を G の元の L を添字集合とする族とする。
(x_λ) が総和可能であるためには各 i に対して F の元の族
(pr_i(x_λ)), λ ∈ L が総和可能であることが必要十分である。
このとき S = (S_1, . . ., S_r) である。
ここで S は族 (x_λ)), λ ∈ L の和であり、
各 S_i は族 (pr_i(x_λ)), λ ∈ L の和である。
証明
(x_λ) が総和可能であるとする。
L の有限部分集合全体の集合を Φ(L) とする。
J ∈ Φ(L) に対して S(J) = Σx_λ とおく。
ここで右辺の和の λ は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
各 i, 1 ≦ i ≦ r と J ∈ Φ(L) に対して S_i(J) = Σpr_i(x_λ)
とおく。ここで右辺の和の λ は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S_i(J) = 0 とする。
(続く)
51:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 11:26:09
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(L) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(L) に対して
|S - S(J)| ＜ ε となる。
x ∈ G のとき |pr_i(x)| ≦ |x| である。
よって
|pr_i(S) - pr_i(S(J))| ≦ |S - S(J)| ＜ ε となる。
一方 pr_i(S(J)) = S_i(J) である。
よって族 (pr_i(x_λ)), λ ∈ L は総和可能で、その和は pr_i(S)
である。
S_i = pr_i(S) だから S = (S_1, . . ., S_r) である。
逆に各 i, 1 ≦ i ≦ r に対して族 (pr_i(x_λ)), λ ∈ L が
総和可能で、S_i をその和とする。
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(L) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(L) に対して
|S_i - S_i(J)| ＜ ε となる。
この J_0 は各 i に対して共通に取れる。
pr_i(S(J)) = S_i(J) だから |S_i - pr_i(S(J))| ＜ ε となる。
x ∈ G のとき |x| ≦ |pr_1(x)| + . . . + |pr_r(x)| である。
よって S = (S_1, . . ., S_r) とおくと、
|S - S(J)| ≦ Σ|S_i - pr_i(S(J))| ＜ rε となる。
よって (x_λ), λ ∈ L は総和可能で、その和は S である。
証明終
52:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 12:08:37
命題
R+ を非負実数全体の集合とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R+ の元の族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
集合 { S(J) ; J ∈ Φ(I) } が有界なら
族 (x_i) は総和可能(>>25)であり、
Σx_i = sup{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } である。
証明
S = sup{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } とおく。
任意の ε＞ 0 に対して
S - ε ＜ S(J_0) ≦ S となる J_0 ∈ Φ(I) がある。
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
S - ε ＜ S(J_0) ≦ S(J) ≦ S
である。
よって |S - S(J)| ＜ ε となる
よって、族 (x_i) は総和可能であり、その和は S である。
証明終
53:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 12:45:07
命題
R+ を非負実数全体の集合とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R+ の元の族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。
(F_n), n ∈ Z+ を I の F-近似列(>>31) とする。
数列 (S(F_n)) が有界なら、族 (x_i) は総和可能(>>25)であり、
Σx_i = sup{ S(F_n) ; n ∈ Z+ } である。
証明
T = sup{ S(F_n) ; n ∈ Z+ }
S = sup{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } とする。
任意の J ∈ Φ(I) に対して J ⊂ F_n となる n ∈ Z+ がある。
S(J) ≦ S(F_n) ≦ T だから S ≦ T である。
任意の F_n に対して S(F_n) ≦ S だから T ≦ S である。
よって S = T である。
>>52 から族 (x_i) は総和可能であり、その和は T である。
証明終
54:１３２人目の素数さん
07/07/31 13:01:33
スレ立て者に礼をいわないは馬鹿が書き込むスレはここか
55:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 13:08:14
命題
R+ を非負実数全体の集合とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), (y_i), i ∈ I を I を添字集合とする R+ の元の二つの族と
する。
各 i に対して x_i ≦ y_i とする。
(y_i) が総和可能なら (x_i) も総和可能で
Σx_i ≦ Σy_i である。
x_k ＜ y_k となる k ∈ I があれば Σx_i ＜ Σy_i である。
証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
同様に J ∈ Φ(I) に対して T(J) = Σy_i とおく。
任意の J ∈ Φ(I) に対して S(J) ≦ T(J) である。
よって sup{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } ≦ sup{ T(J) ; J ∈ Φ(I) } ＜ ∞
即ち Σx_i ≦ Σy_i である。
x_k ＜ y_k となる k ∈ I があるとする。
Σx_i = x_k + Σ'x_i である。
ここで Σ'x_i は I' = I - {k} に関する和である。
同様に Σy_i = y_k + Σ'y_i である。
x_k ＜ y_k, Σ'x_i ≦ Σ'y_i だから
x_k + Σ'x_i ＜ y_k + Σ'y_i である。
証明終
56:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 13:38:31
次の命題は >>52 と対称的であり、証明も同様である。
命題
R- を x ≦ 0 となる実数 x 全体の集合とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R- の元の族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
集合 { S(J) ; J ∈ Φ(I) } が有界なら
族 (x_i) は総和可能(>>25)であり、
Σx_i = inf{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } である。
証明
S = inf{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } とおく。
任意の ε＞ 0 に対して
S ≦ S(J_0) ＜ S + ε となる J_0 ∈ Φ(I) がある。
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
S ≦ S(J) ≦ S(J_0) ＜ S + ε
である。
よって |S - S(J)| ＜ ε となる
よって、族 (x_i) は総和可能であり、その和は S である。
証明終
57:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 13:45:13
命題
R- を x ≦ 0 となる実数 x 全体の集合とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R- の元の族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して A(J) = Σ|x_i| とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは A(J) = 0 とする。
集合 { A(J) ; J ∈ Φ(I) } が有界なら
族 (x_i) は総和可能であり、
A = sup{ A(J) ; J ∈ Φ(I) } とすると、
Σx_i = -A である。
証明
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
S = inf{ S(J) ; J ∈ Φ(I) } とおく。
S = -A である。
>>56 から族 (x_i) は総和可能であり、
Σx_i = -A である。
証明終
58:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 14:16:44
命題
F を実数体 R または複素数体 C とする。
G を F 上の r 次元数ベクトル空間 F^r とする(r ≧ 1)。
(x_i), i ∈ I を G の元の I を添字集合とする族とする。
(I_λ), λ ∈ L を I の有限な分割とする。
即ち、L は有限集合で、I = ∪I_λ で
λ ≠ μ なら I_λ ∩ I_μ は空集合である。
I_λ を添字集合とする部分族 (x_i), i ∈ I_λ は総和可能とする。
この和を S_λ とする。
このとき (x_i), i ∈ I は総和可能で
S = Σx_i をその和とすると、S = ΣS_λ である。
証明
L = {1, 2} の場合に証明すれば十分である。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
I_1 の有限部分集合全体の集合を Φ(I_1) とする。
H_1 ∈ Φ(I_1) に対して S_1(H_1) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は H_1 の元全体を動く。
同様に H_2 ∈ Φ(I_1) に対して S_2(H_2) を定義する。
(続く)
59:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 14:18:25
任意の ε＞ 0 に対して J_1 ∈ Φ(I_1) があり、
J_1 ⊂ H_1 となる任意の H_1 ∈ Φ(I_1) に対して
|S_1 - S_1(H_1)| ＜ ε となる。
同様に J_2 ∈ Φ(I_2) があり、
J_2 ⊂ H_2 となる任意の H_2 ∈ Φ(I_2) に対して
|S_2 - S_2(H_2)| ＜ ε となる。
J_1 ∪ J_2 ⊂ H とする。
H_1 = H ∩ I_1
H_2 = H ∩ I_2
H = H_1 ∪ H_2
J_1 ⊂ H_1
J_2 ⊂ H_1
S(H) = S_1(H_1) + S_2(H_2)
である。
S = S_1 + S_2 とする。
|S - S(H))| ≦ |S_1 - S_1(H_1)| + |S_2 - S_2(H_2)| ＜ 2ε
証明終
60:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 14:19:49
訂正
>>59
>J_2 ⊂ H_1
J_2 ⊂ H_2
61:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 14:38:44
命題
R を実数全体の集合とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R の元の族とする。
(x_i) が総和可能であることと、(|x_i|) が総和可能であることは
同値である。
証明
x_i ≧ 0 となる i ∈ I の集合を I_1 とする。
x_i ＜ 0 となる i ∈ I の集合を I_2 とする。
(x_i), i ∈ I が総和可能とする。
>>42 より部分族 (x_i), i ∈ I_1 と部分族 (x_i), i ∈ I_2 も
総和可能である。
このとき (|x_i|), i ∈ I_2 も総和可能である。
よって >>58 より (|x_i|), i ∈ I は総和可能である。
逆に (|x_i|), i ∈ I が総和可能とする。
>>42 より部分族 (|x_i|), i ∈ I_2 も総和可能である。
このとき >>57 より (x_i), i ∈ I_2 も総和可能である。
よって >>58 より (x_i), i ∈ I は総和可能である。
証明終
62:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 14:56:51
命題
R を実数全体の集合とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R の元の族とする。
(x_i) が総和可能であることと、(x_i) の有限部分和の全体が有界な
ことは同値である。
証明
(x_i), i ∈ I が総和可能であるとする。
x_i ≧ 0 となる i ∈ I の集合を I_1 とする。
x_i ＜ 0 となる i ∈ I の集合を I_2 とする。
>>42 より部分族 (x_i), i ∈ I_1 と部分族 (x_i), i ∈ I_2 も
総和可能である。
よって I_1 の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の集合と
I_2 の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の集合は
それぞれ有界である。
よって I の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の全体は
有界である。
(続く)
63:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 14:57:51
逆に (x_i) の有限部分和の全体が有界とする。
I_1 の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の集合と
I_2 の有限部分集合に関する (x_i) の部分和の集合は
それぞれ有界である。
>>52 より (x_i), i ∈ I の部分族 (x_i), i ∈ I_1 は
総和可能である。
>>56 より (x_i), i ∈ I の部分族 (x_i), i ∈ I_2 は
総和可能である。
>>58 より (x_i), i ∈ I は総和可能である。
証明終
64:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 15:29:04
命題
R を実数全体の集合とする。
R^n を R 上の n 次元数ベクトル空間とする(n ≧ 1)。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする R^n の元の族とする。
(x_i) が総和可能であることと、(|x_i|) が総和可能であることは
同値である。
証明
i ∈ I に対して
x_i = (x_(i,1), x_(i,2), . . . , x_(i,n)) とする。
>>50 より (x_i) が総和可能であることと、各 λ, 1 ≦ λ ≦ n に
対して族 (x_(i,λ)), i ∈ I が総和可能であることは同値である。
一方、>>61 より、族 (x_(i,λ)), i ∈ I が総和可能であることと
族 (|x_(i,λ)|), i ∈ I が総和可能であることは同値である。
不等式
|x_(i,λ)| ≦ |x_i| ≦ |x_(i,1)| + |x_(i,2)| + . . . + |x_(i,n)|
と >>55 より
(|x_i|) が総和可能であることと、
各 λ, 1 ≦ λ ≦ n に対して族 (|x_(i,λ)|), i ∈ I が
総和可能であることは同値である。
証明終
65:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 15:36:20
命題
C を複素数全体の集合とする。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする C の元の族とする。
(x_i) が総和可能であることと、(|x_i|) が総和可能であることは
同値である。
証明
R を実数全体の集合とする。
C はアーベル群として R^2 と同一視できる。
x ∈ C のとき x の絶対値 |x| は x ∈ R^2 とみたときのノルム |x| と
一致する。
よって本命題は >>64 の n = 2 の場合とみなすことが出来る。
証明終
66:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 15:41:41
命題
C を複素数全体の集合とする。
C^n を C 上の n 次元数ベクトル空間とする(n ≧ 1)。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする C^n の元の族とする。
(x_i) が総和可能であることと、(|x_i|) が総和可能であることは
同値である。
証明
R を実数全体の集合とする。
C^n はアーベル群として R^(2n) と同一視できる。
x ∈ C^n のとき x のノルム |x| は x ∈ R^(2n) とみたときの
ノルム |x| と一致する。
よって本命題は >>64 の n が偶数の場合とみなすことが出来る。
証明終
67:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 16:10:56
命題
F を実数体 R または複素数体 C とする。
G を F 上の r 次元数ベクトル空間 F^r とする(r ≧ 1)。
I を高々可算な集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。
Z+ を n ≧ 0 となる有理整数 n の集合とする。
(F_n), n ∈ Z+ を I の F-近似列(>>31) とする。
族 (x_i) が総和可能で、その和を S とする。
このとき S = lim S(F_n) である。
証明
G のある元 S が存在して、
任意の ε＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して
|S - S(J)| ＜ ε となる。
J_0 ⊂ F_(n_0) となる n_0 ∈ Z+ がある。
n ≧ n_0 のとき
F_(n_0) ⊂ F_n だから |S - S(F_n)| ＜ ε となる。
よって S = lim S(F_n) である。
証明終
68:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 18:19:38
命題
C を複素数全体の集合とする。
L と M を高々可算な集合とする。
(x_λ), λ ∈ L
(y_μ), μ ∈ M
をそれぞれ総和可能な C の元の族とする。
このとき (x_λy_μ), (λ,μ) ∈ L×M も総和可能で
Σx_λy_μ = (Σx_λ)(Σy_μ) となる。
証明
H ⊂ L と K ⊂ M をそれぞれ L と M の有限部分集合とする。
(|x_λ|) の H における部分和を X(H)
(|y_μ|) の K における部分和を Y(K)
(|x_λy_μ|) の H×K における部分和を Z(H×K) とする。
Z(H×K) = X(H)Y(K) である。
>>65 より (|x_λ|), λ ∈ L は総和可能である。
よって集合 { X(H) ; H ∈ Φ(L) } は有界である。
同様に集合 { Y(K) ; K ∈ Φ(M) } は有界である。
よって集合 { Z(H×K) ; H ∈ Φ(L), K ∈ Φ(M) } は有界である。
L×M の任意の有限部分集合は H×K の形の有限部分集合に含まれる。
よって >>65 より (x_λy_μ), (λ,μ) ∈ L×M は総和可能である。
(続く)
69:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 18:21:34
(続く)
(F_n), n ∈ Z+ を L の F-近似列(>>31) とする。
(G_n), n ∈ Z+ を M の F-近似列 とする。
>>33 よりこのような近似列は存在する。
(x_λ) の F_n における部分和を S_n
(y_μ) の G_n における部分和を T_n とする。
(x_λy_μ) の F_n×G_n における部分和を U_n とする。
U_n = (S_n)(T_n) である。
>>67 より
Σx_λ = lim S_n
Σy_μ = lim T_n
Σx_λy_μ = lim U_n
lim U_n = lim (S_n)(T_n) = (lim S_n)(lim T_n)
証明終
70:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/07/31 18:38:36
注意
>>69 において (x_λy_μ), (λ,μ) ∈ L×M が総和可能であることが
わかれば、
Σx_λy_μ = (Σx_λ)(Σy_μ) は以下のようにしても証明できる。
λ∈ L に対して L×M の部分集合 {λ}×M を考える。
L×M は ({λ}×M), λ∈ L により分割される。
>>43 より、
Σx_λy_μ = Σ(Σx_λy_μ, μ ∈ M), λ∈ L
となる。
この右辺は
Σ(x_λΣy_μ) = (Σx_λ)Σy_μ)
に等しい。
71:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/01 12:01:23
今まで述べた R^r または C^r における総和可能な族の理論は
分離かつ完備な位相アーベル群に値をもつ族の場合にほとんど
そのまま拡張できる。
これを述べよう。
72:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/01 12:05:17
定義
G を群であり同時に位相空間とする。
μ : G×G → G を μ(x, y) = xy により定義される写像とする。
ν : G → G を ν(x) = x^(-1) により定義される写像とする。
μ と ν が連続なとき G を位相群と言う。
73:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/01 12:07:55
定義
G を位相群(>>72)とする。
G の単位元を e とする。
{e} が閉集合のとき G を分離的な位相群という。
74:Kummer ◆g2BU0D6YN2
07/08/01 12:19:56
G を位相群とし、a を G の元とする。
写像 L_a : G → G を L_a(x) = ax で定義する。
b = a^(-1) とおくと、
L_aL_b = L_bL_a = 1 である。
L_a も L_b も連続だから L_a は位相同型である。
写像 R_a : G → G を R_a(x) = xa で定義する。
b = a^(-1) とおくと、
R_aR_b = R_bR_a = 1 である。
R_a も R_b も連続だから R_a は位相同型である。
x と y を G の元とする。
a = yx^(-1) とすれば L_a(x) = y である。
即ち G の任意の２点は G の位相同型写像により移る。
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