線形代数/線型代数 4

線形代数/線型代数 4 at MATH

958:１３２人目の素数さん：
08/10/04 03:07:02
>957

なっとくできました。
どうもありがとうございました。

959:KingMind ◆KWqQaULLTg
08/10/04 12:52:29
Reply:>>957 勉強とは何か。才能の上での経験こそ利也。

960:１３２人目の素数さん
08/10/18 00:50:03
先生にご指名された問題です…
分からないので,教えてください！お願いします！

ｎ次正方行列Ａ∊Ｍ[n](Ｋ)がＡ^m≠Ｏ,Ａ^m+1＝Ｏを満たしている時,
あるベクトルｖ∊Ｋ^nがあって,v,Ａv,…,Ａ^m*vが一次独立となることを示せ.

961: ◆BhMath2chk
08/10/18 09:00:00
Ａ＾ｍΣ（ｂ（ｋ）Ａ＾ｋｖ）＝ｂ（０）Ａ＾ｍｖ。

962:１３２人目の素数さん
08/10/19 03:16:20
某大学院の過去問です
因数分解してみたが、＝Ｏと≠Ｏの条件のせいで求められない
成分で置いてみたが、文字が多すぎて求められない
解法の糸口が全く分かりません
分かる人いたら挙手

３×３の実行列Ａで,以下の条件を満たすようなものの例を挙げよ.

Ａ^3-7*Ａ^2+16*Ａ-12*Ｅ＝Ｏ
Ａ^2-5*Ａ+6*Ｅ≠Ｏ

ただし,Ｅを単位行列,Ｏを零行列とする.

963:１３２人目の素数さん
08/10/19 03:17:17
age

964:１３２人目の素数さん
08/10/19 04:50:50
>>962
文字が多すぎるって、アホ?
線型代数理解してれば瞬殺問題。

Aは初めからジョルダン標準形と思ってよい。
上の式から固有値が 2(重根), 3 とわかるから、対角成分が 2,2,3 で (1,2)成分が1 or 0 のものを考えれば十分。
対角行列では、A^2-5A+6E=O　となるのは明らかだから、A=[(2,1,0)(0,2,0)(0,0,3)] が一例で、これが期待される答だろう。
これに勝手な正則行列Pを用いて PAP^(-1) としたものも解だが、書かん方がよかろう。

965:１３２人目の素数さん
08/10/25 23:11:00
３元連立一次方程式（ｘ、ｙ、ｚ）の３本の式の右辺が０で
一本の式の係数にひとつだけａが入っています
このとき、ｘ＝ｙ＝ｚ＝０以外の解をもつようなａを求めるにはどうしたら良いですか

966:１３２人目の素数さん
08/10/25 23:59:04
>>965 係数行列をaの値で場合分けして行基本変形する。

967:１３２人目の素数さん
08/10/26 05:22:26
[問] K:={a+b√5;a,b∈Q},P_n:={Σ[i=0..n]a_ix^i;a_i∈K}
とする。P_nのQでの基底を求めよ。
そして,n=2の時,この基底の項の導関数の表現行列を求めよ。と言う問題です。

{x^n,√5x^n,x^(n-1),√5x^(n-1),…,1,√5}
の2(n+1)個の元が基底となると思うのですがいかがでしょうか?

n=2なので基底は{x^2,√5x^2,x,√5x,1,√5}
求める表現行列を[D]とすると
[D](x^2)=2x=0・x^2+0・√5x^2+2・x+0・√5x+0・1+0・√5
[D](√5x^2)=2√5x=0・x^2+0・√5x^2+0・x+2・√5x+0・1+0・√5
[D](x)=1=0・x^2+0・√5x^2+0・x+0・√5x+1・1+0・√5
[D](√5x)=1=0・x^2+0・√5x^2+0・x+0・√5x+0・1+1・√5
[D](1)=0=0・x^2+0・√5x^2+0・x+0・√5x+0・1+0・√5
[D](√5)=1=0・x^2+0・√5x^2+0・x+0・√5x+0・1+1・√5
よって
0,0,0,0,0,0
0,0,0,0,0,0
2,0,0,0,0,0
0,2,0,0,0,0
0,0,1,0,0,0
0,0,0,1,0,0
でいいでしょうか?

968:１３２人目の素数さん
08/10/26 09:13:04
>>967
基底、微分の行列表現ともに OK

969:１３２人目の素数さん
08/10/26 09:14:19
>>965
係数行列の det がゼロとなる a を求める

970:１３２人目の素数さん
08/10/26 21:17:57
最小多項式って実際に代入していくしか求める方法ないの？

971:１３２人目の素数さん
08/10/26 21:59:41
>>970
「代入していく」　って何に何を？

972:１３２人目の素数さん
08/10/27 01:01:50
>>971 最小多項式がx-αを因数にもつところまでの証明は見たけど
　そこから先がわからない。　たとえば3次の行列でa,bを固有値として重根がaのとき
　(x-a)(x-b),(x-a)^2(x-b)に順次Aを代入していかなければいけないのか
　何か判別する方法があるのかを知りたい。

973:１３２人目の素数さん
08/10/27 01:17:20
普通に単因子出せば良いだけでは

974:１３２人目の素数さん
08/10/27 12:41:03
３つの空間ベクトルa,b,c（それぞれ成分あり）があって、ベクトルx=（x y z）を
xベクトル=Ｐaベクトル＋Ｑbベクトル＋Ｒcベクトルと表すような数Ｐ，Ｑ，Ｒを
求めるにはどう進めていけばよいですか？お願いします

975:１３２人目の素数さん
08/10/27 17:00:20
>>974
行列形式で方程式を書くと
[a b c]|P| = |x|
　　　　|Q| 　|y|
　　　　|E|　　|z|
となるから，これを (P,Q,R) について解く．
掃き出し法なり（正則なら）逆行列を求めるなり．

976:１３２人目の素数さん
08/10/28 14:00:00
一年百三十四日。

977:１３２人目の素数さん
08/10/31 10:33:04
ジョルダン細胞を利用した漸化式の一般項の求め方の証明がわからない・・・

978:１３２人目の素数さん
08/10/31 10:50:48
>>977
具体的な問題を書いてごらん