線形代数/線型代数 4

線形代数/線型代数 4 at MATH

1:１３２人目の素数さん
07/06/16 14:00:00
線型代数に関する話題全般のスレッドです。

過去スレ

線型代数に関する話題はこちら
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線形代数/線型代数総合スレッド
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線形代数/線型代数 2
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線形代数/線型代数 3
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2:１３２人目の素数さん
07/06/16 14:02:00
。

3:１３２人目の素数さん
07/06/16 14:43:51
お勧めの本
「線型代数入門」（斉藤正彦著・東大出版会）
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)

4:１３２人目の素数さん
07/06/17 13:06:40
Ｖが体Ｋベクトル空間である事を示せって言われたら
∀ａ、∀ｂ∈Ｖ
∀λ、∀μ∈Ｋに対して
λａ＋μｂ∈Ｖ
を示せばいいんですか？それとも更にＶの加法の交換則、結合則、単位元、逆元と
Ｋに対して乗法の交換則、結合則、単位元、逆元がある事を示せばいいのですか？

5:１３２人目の素数さん
07/06/17 13:09:00
Ｖが体Ｋ上の～　でした‥

6:１３２人目の素数さん
07/06/17 13:58:31
>>4
上３つの奴しめせばよろし

7:１３２人目の素数さん
07/06/17 14:48:11
そうですか～ありがとうございます(ノД｀)

8:１３２人目の素数さん
07/06/17 19:51:32
・加法が定義されていること（可換、結合的、単位元・逆元、演算で閉）
・スカラー倍が定義されていること（演算で閉）
・加法とスカラー倍が両立すること（分配則二つ）

全部証明が必要だよ

9:１３２人目の素数さん
07/06/17 22:45:49
>>8
３つめので全て証明できる気がするのですが・・・

10:１３２人目の素数さん
07/06/17 23:13:21
>>9
３つめってどれ

11:１３２人目の素数さん
07/06/18 00:17:12
λａ＋μｂ∈Ｖ

12:１３２人目の素数さん
07/06/18 00:19:02
掃きだし法が全くわからないので
誰か教えてくださいm(_　_)m

13:１３２人目の素数さん
07/06/18 01:22:35
>>11
そんなことはない。加算・スカラー倍が正しく定義されていなければ
その条件を満たす線型空間でないものなんていくらでも構成できる。

14:１３２人目の素数さん
07/06/18 03:29:50
>>13
すいません。
勘違いでした

大学の教授が授業毎に小テストを実施していたのですがそこでは前提条件として問題文に書いてあっただけで、
気にできて無かっただけでした。
ずっと勘違いしてたので気づけてよかたです

15:１３２人目の素数さん
07/06/18 12:12:19
A,Bをそれぞれm次、n次の複素正方行列、
X,Cをそれぞれm*n複素行列としたとき、Xに対する方程式AX-XB=Cを考える。
このとき任意のi,jに対してA(i,i)≠B(j,j)ならばＸが一意に定まることを示せ。
という問題なのですが、方針さえまったく立ちません。
どなたか方針だけでも教えてくださいorz

16:１３２人目の素数さん
07/06/18 13:24:02
>>15
正しくない。n = m = 2 で、
A = |0 0|, B = |1 1|, C = |0 1|
　　 |0 0|　　　 |1 1|　　　|2 3|
は、条件を満たしているが A X + X B = C は解を持たない。

17:１３２人目の素数さん
07/06/18 13:25:16
+ と - を間違えてたけど、やはり解は無い。

18:１３２人目の素数さん
07/06/18 17:04:48
>>17
A,Bは上三角なのですが、それでも正しくないのでしょうか？

19:１３２人目の素数さん
07/06/18 17:10:25
おい

20:１３２人目の素数さん
07/06/18 17:13:36
>>18
死ねば？

21:１３２人目の素数さん
07/06/18 17:47:32
>>18
上三角なら成立する。

上三角かつ A_ij ≠ B_ij が成り立つためには
A または B が 1×1 でなければならない。あとは簡単。

22:１３２人目の素数さん
07/06/18 17:53:59
>>18
そんな重大な前提条件を後出ししてくんなよ、カス

23:１３２人目の素数さん
07/06/18 20:30:26
新手の嵐

わざと間違った問題や答えを記載
その後で、（前提）条件を後出し
数ヲタどもを蹂躙してやれ！

24:１３２人目の素数さん
07/06/18 23:27:51
kaisan

25:１３２人目の素数さん
07/06/25 22:19:36
すいません．
特異値分解について学習する必要が出てきたのですが，
手持ちの教科書には説明が載っていません．
どなたか良書を推薦して頂けませんでしょうか？

26:１３２人目の素数さん
07/06/29 02:12:57
age

27:１３２人目の素数さん
07/07/12 22:02:30
λをfのｍ重固有値とする。
Vk(λ）＝｛ｘ　|(f-λE)^k (x)=0}
Vm(λ)はf不変であることの証明を教えてください。

28:1stVirtue ◆.NHnubyYck
07/07/12 22:10:31
Reply:>>27 f=0の場合はどうするのか？

29:27
07/07/12 22:15:23
Vk(λ）＝｛ｘ∈U　|(f-λE)^k (x)=0}
はUの部分ベクトル空間

30:１３２人目の素数さん
07/07/12 22:37:45
補足です。
UはCのn次元部分ベクトル空間

31:１３２人目の素数さん
07/07/12 22:39:43
ｆはUの線型空間
ｆ不変とは　　　ｘ∈Vm(λ)⇒f(x)∈Vm(λ)

32:１３２人目の素数さん
07/07/12 22:41:31
【参院選】民主党から、在日コリアンの期待背負った金氏（民団幹部）が立候補…在日参政権訴え
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)l50

33:31
07/07/12 23:07:17
ｆはUの線型変換

34:１３２人目の素数さん
07/07/13 18:25:54
問題をもう一度書きます。
UはCのn次元部分ベクトル空間。ｆはUの線型変換。λをfのｍ重固有値とする。
Vk(λ）＝｛ｘ　|(f-λE)^k (x)=0} とする。Vm(λ)の元を広義固有ベクトルという。
Vm(λ)はf不変　すなわち　　　ｘ∈Vm(λ)⇒f(x)∈Vm(λ)
であることの証明を教えてください。

35:１３２人目の素数さん
07/07/13 19:32:06
池沼か？

36:１３２人目の素数さん
07/07/13 21:44:22
>>25
呆痴されてるところを見ると、数学科の連中には縁の薄い話題なの鴨。
オレの教科書だった斉藤正彦の線形代数入門にも載ってないしな。
オレは計測自動制御学会のシステム制御のためのマトリクス理論を読んだ。
最近見た本では新井仁之の線形代数が良さげ。

37:１３２人目の素数さん
07/07/14 01:52:00
伊理先生の一般線形代数にも確か書いてあったはず。

38:aaaaa
07/07/14 11:39:28
x^3 x^2 x 1 　　データ

1 1 1 1 　　7.3
8 4 2 1 　　8.3
27 9 3 1 　　7.6
64 16 4 1 　　7.4
125 25 5 1 　　6.8
216 36 6 1 8.3
行列Ｚ

67171 12201 2275 441
12201 2275 441 91
2275 441 91 21
441 91 21 6
転置行列Ｚ＊行列Ｚ

0.015432099 -0.162037037 0.489197531 -0.388888889
-0.162037037 1.728174603 -5.324074074 4.333333333
0.489197531 -5.324074074 16.87720459 -14.27777778
-0.388888889 4.333333333 -14.27777778 13
（転置行列Ｚ＊行列Ｚ）の逆行列

39:aaaaa
07/07/14 11:41:12
-0.046296296 0.064814815 0.037037037 -0.037037037 -0.064814815 0.046296296
0.575396825 -0.698412698 -0.46031746 0.317460317 0.662698413 -0.396825397
-2.235449735 2.093915344 1.645502646 -0.645502646 -1.843915344 0.985449735
2.666666667 -1.333333333 -1.333333333 0.333333333 1.333333333 -0.666666667
（（転置行列Ｚ＊行列Ｚ）の逆行列）＊転置行列Ｚ

7.3 8.3 7.6 7.4 6.8 8.3　　　データ

0.156714435
-1.596491359
4.61551706
4.14852564 (（（転置行列Ｚ＊行列Ｚ）の逆行列）＊転置行列Ｚ)＊データ //{４行６列}*{６行１列｝
Moore-Penroseの一般化逆行列を利用
7.324265775 合計

この合計を利用してデータの推定をしたいのですが、やり方がわかりません。まず、この合計を何のために
求めたのかさえ分かりません。

行列Ｚにおいてｘ＝７での「データ値」の推定方法を教えてください。

この推定方法の名称だけでも教えていただけたら幸いです。

40:１３２人目の素数さん
07/07/14 14:19:00
>>34
f と f-λE は可換。

41:１３２人目の素数さん
07/07/23 19:30:25
多分このスレの人間には簡単なんだろうけど、どうしてもこの問題がわからないんだ。
| ｘ 1 1 1 1|
| 1 x 1 1 1|
| 1 1 x 1 1|＝0　を証明せよ
| 1 1 1 x 1|
| 1 1 1 1 x|
余因子展開してもどうにも動かなくて。
どうかお願いします。

42:１３２人目の素数さん
07/07/23 19:35:16
x^5は計算するまでもなく明らかに残ると思うが・・・。

43:１３２人目の素数さん
07/07/23 19:41:43
(x+1)(x-1)^4

44:41
07/07/23 20:07:50
証明せよじゃなくて、解けだったorz

一度行列の計算をしてサラスでやってみたら、
x(x-1)^4
になったんだけど、>>43の(x+1)での+１は何処から出るんでしょうか？
理解力不足ですみません。

45:１３２人目の素数さん
07/07/23 20:24:36
|0 1 1 1 1|
|1 0 1 1 1|
|1 1 0 1 1|
|1 1 1 0 1|
|1 1 1 1 0| = A
の固有値にマイナス掛けたやつを解にもつ方程式になる。
-1は明かに4重解の固有値。
また Im(A + I)はオール1のベクトルでそいつは固有値4に
対応する固有ベクトルになってる
よって答えは (x+4)(x-1)^4

46:41
07/07/23 20:29:33
ああ、途中式見直したら(x+4)(x-1)^4に確かになった。
答えてくれた方々、ありがとうございました。

47:１３２人目の素数さん
07/07/23 21:25:56
こんにちは
平面αの方程式：(x+2)/2=y/1=(z+1)/2
直線aの方程式：-2x+y+2z=6
の時、αまでの距離が0になるa上の点の座標はどうなるでしょうか？
出来れば解法だけでもお願いしますm(__)m

48:１３２人目の素数さん
07/07/23 22:23:40
x=6
y=4
z=7

49:47
07/07/23 22:35:25
ごめんなさい！！問題文の訂正です
平面αの方程式：(x+2)/2=y/1=(z+1)/2 →　平面αの方程式：(x-2)/-2=y/1=(z+1)/2
でした。
>>48
レスどうもです。出来れば解法をお願いします。

50:47
07/07/24 07:10:20
解決しました。無駄レスすみませんでした

51:１３２人目の素数さん
07/07/24 17:07:33
二次形式の標準化で疑問があります。

標準化は二次曲線を元の座標から角度を変える
座標変換だと習いました。

対角化をするさいに途中ででてくる固有ベクトルの
並び順によって対角化行列の対角成分にでてくる
固有値の順番が違ってきますが、それによって
標準形(たとえばx,y,z座標で考えて、x^2=X,y^2=Y,z^2=Zと略記して)
固有値がa,b,cだった場合
aX+bY+cZ=0だったり
cX+aY+bZ=0
だったりしますが、これは座標の元のxyz座標から
変換する際に色々な座標の取り方があるから
色々な標準形がでてくるという認識でよいでしょうか？

52:１３２人目の素数さん
07/07/24 17:31:12
よいです。

53:１３２人目の素数さん
07/07/24 19:55:22
4次の行列式を省略せずに全部の項を書き下した本かwebページを知っていたら教えてください。

54:１３２人目の素数さん
07/07/24 21:51:07
>>53
そんな本知らんが1分あれば計算できるだろ。

|a b c d|
|e f g h|
|i　j　k l|
|m n o p|
= afkp - aflo - agjp + agln + ahjo - ahkn
- bekp + belo + bgip - bglm - bhio + bhkm
+ cejp - celn - cfip + cflm + chin - chjm
- dejo + dekn + dfio - dfkm - dgin + dejm

55:１３２人目の素数さん
07/07/27 00:23:26
y'''+6y''+11y'+6y=0の解空間Sを構成せよ。またこの解が3次元空間で
あることを示せ。なお、Sがベクトル空間である事を示す必要はない。

頼みますm( __ __ )m

56:1stVirtue ◆.NHnubyYck
07/07/27 11:11:40
Reply:>>53 ｽﾚﾘﾝｸ(math板:54番)
Reply:>>55 とにかく方程式を解けばあとは簡単だろう。

57:１３２人目の素数さん
07/07/27 14:14:20
あの・・・今線形代数学を習っているのですが、線形空間って何でしょうか・・・。
空間なのでxyz座標があって、線形なので直線や四角形がある。といったイメージなんですが・・・。
それは何の意味があるのでしょうか？
あと部分空間とか線形写像とか何のためにやっているのでしょうか・・・。

58:1stVirtue ◆.NHnubyYck
07/07/27 15:00:22
Reply:>>57 多変量解析には線形代数の話がよく出る。

59:１３２人目の素数さん
07/07/27 16:21:59
>>57
線形代数はさまざまな分野に応用されるので、「とにかく将来必要になる」と思っておいた方がいいかと

60:１３２人目の素数さん
07/07/27 16:28:24
>>57
とりあえずお前が持ってる今のそのイメージは全部捨てろ。
これからいろんな空間を扱うことになるが
線型空間を原型的なイメージとしてもつほうが安全。

61:１３２人目の素数さん
07/07/27 17:35:53
>>57
線型性を持つもののなす構造

62:１３２人目の素数さん
07/07/28 15:46:44
>>58-61
レスどうもありがとうございます。
大学に入ってから
「○○を××の部分集合とするとき△△が○○の部分空間であることを示せ。」
といったような抽象的で意味不明な問題が沢山出てくるのでかなりピンチですorz

63:１３２人目の素数さん
07/07/28 15:59:03
抽象的だが意味不明ではない。

64:１３２人目の素数さん
07/07/28 16:38:51
>>62

＞意味不明

授業で使われる日本語が理解できず、教科書も買っていない、あるいは全く読んでいないと云う典型的なあほ。

65:１３２人目の素数さん
07/07/28 16:48:35
大学の基礎教養なめんな！

66:１３２人目の素数さん
07/07/28 17:28:55
>>62
まずは数学の学び方を身に着けろ。
話はそれからだ。

67:１３２人目の素数さん
07/07/28 20:50:08
n次正方行列をＡ、行列式を|Ａ|、余因子行列をＡ'とすると、

ＡＡ'の対角線の成分が|Ａ|となるのはわかるんですが、それ以外の成分が０になる意味がわかりません。

どなたか教えてください。

68:１３２人目の素数さん
07/07/28 21:41:09
>>67
余韻氏展開を見直せ。

69:67
07/07/29 15:28:22
>>68
試しに3次正方行列でやってみたら０になってびっくりしたんですが
なんでかわかりません。

だって対角線以外の成分の式ってもちろん行列式じゃないしいったいなんなんでしょうか？

70:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 16:10:53
もちろん行列式じゃないしっていうけど、そこをなんとか行列式の展開だと解釈するにはどんな行列をもってくればいい？

71:名無しさん＠そうだ選挙に行こう
07/07/29 20:21:11
>>69
余韻氏は全部行列式だろうが。

72:１３２人目の素数さん
07/07/30 20:22:29
次の連立一次方程式が会をもつためのa,bの条件を求めよ
l 2 1 3 l lx1l l 1 l
l 0 -1 1 l lx2l = l a l
l 1 1 1 l lx3l l b l
という問題なんですが、求め方をおしえていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

73:１３２人目の素数さん
07/07/30 20:33:03
それの拡大係数行列を簡約化すると、
l1 0 2 l a+b l
l0 -1 1l a l
l0 0 0 l -2b+1-a l
になって、一番下んとこの-2b+1-aが0になれば解をもつから、
答えはa+2b=1
だと思うたぶん。

74:１３２人目の素数さん
07/07/30 20:45:45
Aがn次正則行列、Dがm次正則行列ならば、任意のm×n次行列、m×n次行列Cに対し、
次の行列X,Y,Zは正則であることを示せ。
また、X^-1,Y^-1,Z^-1を求めよ。

X=[(A B),(0 D)],Y=[(A 0),(CD)],Z=[(B A),(D 0)]

明後日テストでここを必ず出すといわれたのですが、まったくわからないうえに
解法が載っていないので困っています。
どなたか教えていただけませんか・・・よろしくお願いします。

75:１３２人目の素数さん
07/07/30 20:59:48
>>72
l って何？

76:１３２人目の素数さん
07/07/30 21:01:06
>>74
ふつうに基本変形使ってdet求めればいいだけじゃん。

77:１３２人目の素数さん
07/07/30 21:11:44
>>76
ﾚｽありがとうございます。
せっかく書いていただいたのですが、いまいちﾋﾟﾝとこないので
申し訳ありませんが回答例書いていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

78:１３２人目の素数さん
07/07/30 21:44:38
女の子なら答えてあげられるのだが…

79:１３２人目の素数さん
07/07/30 21:53:19
>>77
基本変形ってのは正則行列掛けることだったんだから、
ブロック行列のままで基本変形できるだろ、カス。

80:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:21:40
>>78
ピチピチの15歳女子高生Bカップです♪

81:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:33:37
>>80
じゃあ電車に轢かれて死ね。

82:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:34:34
>>81
おもしろいとでも思ってんの？

83:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:39:35
A=　| a b | とする（a,b,dは実数）。次の同値を示せ。
　 | b d |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
零ベクトルではない実ベクトル　| x | に対し　[ x　，y　] A | x |　＞０ ⇔　a＞０　，det(Ａ)＞０
| y | | y |

解き方をどなたか教えてください…

84:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:42:26
>>82
なにかおもしろいことが起きたの？

85:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:43:12
>>83
はァ?

86:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:43:13
さぁ？

87:67
07/07/30 22:45:46
>>70 >>71
やっぱりわかりません・・・

88:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:46:15
ずれててすみません。
実ベクトルは

｜ｘ｜
｜ｙ｜

です。

で、問題文のＡの右隣が、縦に
｜ｘ｜
｜ｙ｜　>0　　⇔　a>0 ，　det(A) >0

です。わかりずらくてすみません。

89:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:48:04
>>88
おととい来やがれ！

90:１３２人目の素数さん
07/07/30 22:48:32
↑ わからずらさを詫びるより、自己の頭の悪さを詫びるべき

91:88
07/07/30 22:53:54
頭悪くて本当にごめんなさい。誰か助けて下さい

92:１３２人目の素数さん
07/07/30 23:10:58
>>88
二次形式の聖地性を固有値の整地性として述べろという問題か?
んなもん、明らかだろ。つか、2次程度なら、高校生レベルの計算問題。

93:１３２人目の素数さん
07/07/30 23:11:42
>>88
悩む前に手を動かせ。
書いてるうちに終わってるような類。

94:88
07/07/30 23:28:37
左辺を展開して　ad > b＾2
det(A) > 0 　から d > 0　ってことですか？

95:１３２人目の素数さん
07/07/30 23:30:32
>>94
なんだ、二次形式の問題じゃないのか、そりゃすまんかった。

96:88
07/07/30 23:39:22
まだ問題の意味もよく理解してないんですが、
この場合の「同値を示せ」って d > 0 みたいなのでいいんですか？
数学と関係無い質問でホントすみません

97:１３２人目の素数さん
07/07/30 23:41:50
>>96
おまえ、必要十分条件っていう言葉は知っているのか？

98:88
07/07/30 23:49:30
同値と必要十分条件が同じって初めて知りました
ホントありがとうございます

99:１３２人目の素数さん
07/07/30 23:51:26
同じといえば同じだが、
同値ってのは二項関係で、それで結ばれる右辺と左辺を
互いに他の必要十分条件という
というような感じかなあ。

100:１３２人目の素数さん
07/07/30 23:53:12
>>96

真面目に左辺を展開してみろ。

101:１３２人目の素数さん
07/07/31 00:15:28
左辺からは ad > b^2
右辺からは a > 0 　かつ　ad-b^2 > 0 がでてきました。

ad > b^2 　　→　　a > 0 、　ad-b^2 > 0　　　　は成り立たない（aとdが共に負のとき）
ad > b^2 　　←　　a > 0 、　ad-b^2 > 0　　　　は成り立つ

ということはこの二つが同値であるためには、　d > 0 がいるってことでか？

102:１３２人目の素数さん
07/07/31 00:21:32
>>101
もう一回いうね。
左辺を真面目に展開してみろ。

> 二つが同値であるためには、　d > 0 がいるってことでか？
かってに条件を足すな。

103:１３２人目の素数さん
07/07/31 00:22:56
>>101
こういえば分かるかな、

　　　　　　　x　　と　　y　　は　　ど　　こ　　へ　　消　　え　　た　　！

104:１３２人目の素数さん
07/07/31 00:31:59
[ ax+by bx+dy ]の行列は出るんですけど、その左の[ x ，y ]ってどういうことですか？
何度もすみません

105:１３２人目の素数さん
07/07/31 00:45:04
>>104
君にはソレが、行ベクトル以外の何に見えるの?

106:１３２人目の素数さん
07/07/31 00:46:35
>>104
もうお前無理。
問題解く段階のはるか以前じゃん。

107:88
07/07/31 00:50:13
ホントすみませんでした。
URLﾘﾝｸ(www.uploda.org)
これ問題なんですけど間のコンマが気になって…

108:88
07/07/31 01:12:33
もう誰もいないかな…やっと解けました
a{ x + (b/a)y }^2 + (y^2/a^2)(ad-b^2) >0 で、
｛　｝の中が正、(y^2/a^2)も正だから、
a > 0 、ad-b^2 > 0

皆さん本当にありがとうございました

109:１３２人目の素数さん
07/08/04 01:43:03
直交補空間の出し方がわからないんですが教えてくれませんか？

110:１３２人目の素数さん
07/08/04 01:59:06
直交ベクトルから適当に基底を選べ

111:１３２人目の素数さん
07/08/04 09:42:05
1.R^nのベクトル｛a_1,a_2,…a_r｝は一次独立であるとする。このとき以下の組は一次独立であるか。
1)｛a_1＋a_2,a_2＋a_3,…a_r-1＋a_r｝
2)｛a_1＋a_2,a_2＋a_3,…a_r-1＋a_r＋a_r＋a_1
｝
3)｛a_1,a_1＋a_2,a_1＋a_2＋a_3,…,a_1＋…＋a_r｝

2.W_1,W_2はR^4の部分空間とするとき、W_1∩W_2,W_1＋W_2の基底と次元を求めよ。([]内は列ベクトルです）
W_1=<[2 1 1 0],[2 -1 -3 2]>,W_2=<[2 1 -2 3],[1 1 0 1]>
考え方がわかりません。

3.基底{[2 1 1],[-1 -1 1],[3 0 2]},{[1 4],[2 5]}に関する表現行列が2×3列で、左からの列ごとに[3 2][0 -1][1 3]のとであるような線形写像f:R^3→R^2についてf([x y z])を求めよ。

4.W_1,W_2,W_3をR^nの部分空間とするとき、
(W_1∩W_2)＋(W_1∩W_3）⊂W_1∩（W_2＋W_3)であることを証明せよ。

5.m×nの行列A,Bに対して、rank(A＋B)≦rank(A)＋rank(B)を示せ。

教科書「教養のための線形代数」の問題です。
どなたか丁寧にご指導ください。m(__)m

112:１３２人目の素数さん
07/08/04 10:03:01
>>111
内容が全然理解できてないってことじゃん。
総復習が先だと思うよ。
佐武とか斎藤とか読めよ。

113:１３２人目の素数さん
07/08/04 11:25:19
>>112
レスありがとうございます。
教科書の内容は概念説明だけなので、
読めば理解できるのですが、
問題の解き方になると、わからないんです。
とき方を教えてください。m(__)m

114:１３２人目の素数さん
07/08/04 11:49:05
それは理解していないという

115:１３２人目の素数さん
07/08/04 12:45:33
それでは、理解するために、問題のヒントを教えてください。
お願いします。

116:１３２人目の素数さん
07/08/04 12:47:22
>内容が全然理解できてないってことじゃん。
>総復習が先だと思うよ。

総復習というよりも、昨日からこの分野を、上記の本を使って
勉強し始めたのですが、つまずいたのです。

117:１３２人目の素数さん
07/08/04 14:35:05

数学の書物は、各センテンスが命題の様な物。一文一文を噛み砕いて説明出来る様でなければ理解しているとは言えない。
誰かに説明しながら読み進める様な、読み方が理解を助ける。上手く表現し直せない部分は理解出来ていない。

新たな概念に付いては自分で実例を構築出来るようでなければ厳しい。難しい概念に付いては提示された例から、
類似の例ぐらいは思いつかなければ行けない。それができないとすれば、素養が足りないと言う事で
他の書物で補う必要がある。

118:116
07/08/04 16:03:58
>>117

そのとおりだと思います。
でも練習問題を解いたり、その模範解答を読んだりすることも、
理解する上で、大事ではないのですか？

自分は大学生に成り立てて、まだ大学式の学習方法に慣れておらず、
戸惑いを感じている部分が大きいのですが、
高校では、例題と解答を通して学ぶことが多かった気がしますが、、
つまり概念を、実例を通して学ぶというか、、
とにかく、解放のヒントを教えていただけると本当に助かるんですが。。

119:116
07/08/04 16:04:36
解放→解法です。　よろしくお願いします。

120:１３２人目の素数さん
07/08/04 17:07:32
>>116
この問題はほとんど定義を確かめるだけの問題だから
例題と解答なんていう段階には全く至っていない。

とりあえず、これくらいは自分で考えてもらわないと、
今後あなたが繰り返し質問するのが目に見えてしまう。
どれだけ時間かかってもいいから答えを出してごらんよ。
出した答えくらいは添削してあげるから。

121:１３２人目の素数さん
07/08/04 17:10:48
>>119

模範解答を手掛りにして理解ができる事も多い。
その後の復習で、>>117 にある様な進み方ができれば十分だ。

こつは適当な間をおいて何度も読み返すこと。その都度新しい理解が付け加わる。
そうならない教科書は低俗本。

122:１３２人目の素数さん
07/08/04 17:31:21
直和があるのに直差がないのはなぜ

123:１３２人目の素数さん
07/08/04 19:11:11
>>116
それなら、そんな問題をイキナリやろうとするのは間違ってるよ。
君は本を読んでいない、眺めただけだ。

124:１３２人目の素数さん
07/08/04 19:12:42
>>122
その発想がわからん。

125:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:09:06
>>124
ある数学的概念が定式化されたら、それの逆の数学的概念（もしくは操作）について考えるのが当然ではないだろうか？

126:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:16:43
で、直和の逆が直差だと。

直和の定義はわかってるのかしら？

127:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:18:29
>>125
そういうつもりなら、随伴函手を構成すれば？

128:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:24:18
直和の逆演算である直差については、これこれこういうで定義できない、っていう説明をしてくれる賢い人が現れるまで待ってみます。

129:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:28:25
どういう意味で逆演算といい、どういう意味で定義できない
と思い込んでるのかがわからん。

130:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:31:27
和の逆が差ってのもなあ。

131:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:33:01
線形代数（有限次元ベクトル空間）の範疇では
直和も直積も一致するんだから、
逆は商空間なんだがな。

132:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:54:39
>>128 それより君の、0次元空間ー3次元空間、ってもののイメージを教えて欲しいよ。
あと0ー2次元空間あたりも。

133:１３２人目の素数さん
07/08/04 20:55:37
まだ募集中です。

134:116
07/08/04 20:58:17
>>120
>>121

ありがとうございます。がんばります

135:１３２人目の素数さん
07/08/05 00:44:26
>>131
もっといえば, ベクトル空間は free module だから
factor は sub だ.

>>133
おまえ、だれ

136:１３２人目の素数さん
07/08/05 03:03:57
やたら英語使う奴ってうざいね。

137:１３２人目の素数さん
07/08/05 03:14:13
>>136
同意を求めるなよ。

138:１３２人目の素数さん
07/08/05 04:06:55
>>136
普段、読むものにも夜かもしれないが、世の中ってのは
いちいち定訳がある術語ばかりでは無いのでね。

139:１３２人目の素数さん
07/08/05 04:09:58
＞factor
＞sub
に定訳がなかったｗｗ

140:１３２人目の素数さん
07/08/05 04:27:57
定訳が無いものも普通に扱うから別に>>136が言うような違和感はない
という意味なんだが、>>139には少し難しかったか。

141:１３２人目の素数さん
07/08/05 05:01:54
違和感？

142:１３２人目の素数さん
07/08/05 05:13:36
違和感

143:１３２人目の素数さん
07/08/05 06:28:52
しっかりしろ
>>136はどこにもあるコピペじゃないか

144:１３２人目の素数さん
07/08/05 06:38:41
俺はDOEを求める。

145:１３２人目の素数さん
07/08/05 19:15:10
OPEを求めるようになったらおしまいだ。

146:１３２人目の素数さん
07/08/12 14:03:59
本に書いてあるより簡単な証明を考えたんですがあってますでしょうか?

定理: 正規行列はユニタリ行列で対角化できる

証明: C上の線形変換は必ず固有値を持つ。それを tとおく。
U = Im(T - tI) とすると UはT-不変(証明略)。
U^\perp もT-不変。なぜならば
v \in U^\perp, u \in U とすると
<u, Tv> = <T^* u, v> = <T^*(T - tI)u', v>
= <(T-tI)T^*u', v> = 0

また T|_U, T|_{U^\perp}は正規行列である。
もし dim U = 0 ならば T = tIとなり基底の取り方によらず対角化できる。
よってユニタリ行列で対角化できる。
よって帰納的に示された。

147:１３２人目の素数さん
07/08/12 17:15:48
dim U = 0 ？

148:１３２人目の素数さん
07/08/12 17:52:02
>>147
V = U \oplus U^\perp と、不変空間の直和に分解して帰納的に示したいんですが
V = U^\perp の場合は次元が落ちないので別に考えています。

149:１３２人目の素数さん
07/08/12 18:55:00
違うやり方を思い付きました

xをTの固有値tに属する固有ベクトルとする。
U = span{x} とする。UはT-不変。
U^\perp もT-不変。なぜならば
v \in U^\perp, u \in Uとすると
<u, Tv> = <T^* u, v> = <\bar{t}u, v> = 0
(ここでTが正規ならTの固有値tに属する固有ベクトルがT^*の固有値\bar{t}
に属する固有ベクトルであることの証明が必要。)

T|_{U^\perp}は正規なので帰納的に示された。

手持ちの本では実対称行列が直交行列で対角化できることはこれと同じ様に
証明しているのに、上の証明は三角行列を使って証明しています。
なにか理由があるのでしょうか?

150:149
07/08/13 22:13:26
あんまり理由はないのだと思うことにしました。
正規行列Tとその不変空間Uについて
T|_Uが正規行列であることの証明はもっとあとにでてきます。
Uが一次元の時に限定すれば先にできるんですが
後で一般化されるような定理を証明するのが嫌だったんだ、
と思い納得します。

151:１３２人目の素数さん
07/08/23 22:45:51
URLﾘﾝｸ(www-2ch.net:8080)

以上の問題について質問させてください。

固有値x=-1,2（重解）と求め、
固有ベクトルはそれぞれ(1,0,1)(-1,1,0)となりました。（２つしか固有ベクトルが出なくて困ってます。）
ｎ乗ということで対角化を使うのかと思いましたが、固有ベクトルの数からしてB=P^-1APとは
できないようです・・・
ｎ乗が求められません。これは強引に３乗ぐらいまで計算してパターンを見つけるしかないのでしょうか？
このパターンの問題は今まで対角化のみで解いてきましたのでわかりません。

面倒な問題かもしれませんが、よろしくお願いします。

152:１３２人目の素数さん
07/08/23 22:46:30
　

153:１３２人目の素数さん
07/08/23 22:56:39
重解のほうから2こでないのか

154:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:07:00
今までのパターンなら重解から２つの固有ベクトルが出てきていたのですが
出てきません。一応何度も確かめたので計算ミスはないと思いますが・・・

155:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:13:10
てか、求めるのはA^nの行列式の値とあるわけだが
で、ヒントももらってたようだが?

156:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:19:03
det(AB)=det(A)*det(B)
ヒントは上のようにもらいましたが、理解できませんでした。
これはＡＢの行列式が行列式ＡとＢの積になると捉えましたが
この行列式Ｂの所がいまいちわかりません。
たぶん私は行列式Ｂを出す所で詰まってるのだと思います

157:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:24:54
B=A

158:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:25:19
>>156
その式で B = A とおけ。

159:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:26:24
Bは好きなものでいい。たとえばＡ。

160:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:27:52
Ａの行列式を求めて単にＮ倍すればよかったんですね。
助かりマシた。考え方がおかしかったです。

161:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:30:15
せっかくだから A^n も求めてごらん。
「ジョルダン標準形」を勉強するとできるようになるよ。

162:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:34:51
>>160
おいおい。

> Ａの行列式を求めて単にＮ倍すればよかったんですね。

違うぞ、違うぞ。N 乗な？

163:１３２人目の素数さん
07/08/23 23:38:54
タイプミスしました。n乗ですね。
ジョルダンもやってみます。ありがとうございました。

164:１３２人目の素数さん
07/08/24 11:36:15
大学の理学部数理科学科１年生に線形代数の講義を来年しないとなりません。
どんなことに注意したらよいでしょうか？

①　教科書は？
②　演習書は？
③　その他

165:１３２人目の素数さん
07/08/24 11:54:57
>>164

新人の先生ですか？
線型代数の講義は、受けた側から言うと、
「はき出し法を身に付ける」
の一言に集約されると思います。

行列式、固有値、固有ベクトル、対角化、ジョルダン標準形などは、
知識としてはもちろん必要ですが、
大学１年次では、手を動かして計算させるのが重要ではないでしょうか？

教科書・演習書については、私は独学なので、人様に薦められるようなものが
思いつきません。

166:１３２人目の素数さん
07/08/24 12:37:26
教科書や演習書は、結局はその大学のレベルやシラバスに見合ったものがいい。
クセがなくて教科書としては使いやすいと思ったのは『教養の線形代数』。
（他にもにたような本はたくさんあるだろうけど）
いずれにせよ可能な限り内容を教科書に依存しないような講義を心がけるべき。
演習書は買わせなくても問題をプリントにして配れば事足りるでしょう。
あとは一回の講義のテーマを一つに絞ること。
正面切って大きな声でゆっくり話すこと。
講義に限らず人前で話すときの基本だが、結構できないものだ。

167:１３２人目の素数さん
07/08/24 14:00:08
>>165は工学系寄りな講義を受けたのではないかと思います。

168:１３２人目の素数さん
07/08/24 14:00:37
レス有難うございます。

>>165
いえ、新人ではありません。大学教授ですが、線形代数の講義を
もったことがないので、質問してみました。

うちの学科では線形代数を１年半かけて週に２コマでやります。
ジョルダン標準形は２年生で。

>>166
高校の数学Ｃの復習から入っているテキストってありませんかね？
教養の線形代数という名前の本は色々あるようですが。

松坂さんの線形代数？、岩波から出ていたものが復刊されたので、
あれもいいかなと思いますが、テキストとして全員に買わせるには
高価だと思います。まあ、２年次も使える内容なのですけど。

169:１３２人目の素数さん
07/08/24 14:09:56
ニッピョウだと長谷川はだめ、荒いは無随（らしい）、川窪あたりが手頃か、
岩波の理工系もいい。思い切って黄色い演習書あたりを教科書に指定して

170:１３２人目の素数さん
07/08/24 14:13:45
>>167

はい。物理科でした。
線型代数の講義で憶えたのは、はき出し法だけです（笑）

>>168

これは失礼いたしました。
一年半かけてやるのであれば、相当なことができますね。
講義を持つ立場の方も大変ですね。

171:１３２人目の素数さん
07/08/24 14:15:56
『理系のための線型代数の基礎』はオススメ。

172:１３２人目の素数さん
07/08/24 16:40:02
>>168
非常勤始める若い人かと思ったら教授とは。
教養の線形代数というのは村上，野沢，佐藤，稲葉のものです。
タイトル通り理工系の教養レベルなので週２コマ１年半の講義には物足りないかも。

数学Cの復習から入っている本を私は知りませんが，あまり意識する必要はないかと思います。
底辺で教えているので数学Cを履修してない学生もクラスに多数いますが，履修済の学生と有意な差は認められません。
ただ2,3次元の具体例を丁寧に説明するようには心がけています。

学生が躓くポイントは一次独立性です。

173:１３２人目の素数さん
07/08/24 21:09:17
>>172

アドバイス有難うございます。
高校の数学の講義と大学の数学科もどきの講義とでは
大きく違うので、１年生を相手にする場合、たいへんですね。
２・３次元で丁寧にやるのがいいかも知れません。
そのテキストは知らないので、献本を頼んで目を通してみます。

>>169
川久保さんのは持っています。岩波の理工系は物理学者が書いたものでしたっけ。
研究室のどこかにあるでしょう。黄色い本はサイエンス社の演習書ですね。
演習をたっぷりするつもりです。

>>171 その本は水本さんのでしたっけ？もっていたと思います。

>>170 １年生を初めて相手にするので、たいへんです。

174:１３２人目の素数さん
07/08/24 21:18:37
永田雅宜 (代表著者), 『理系のための線型代数の基礎』, 紀伊國屋書店, 1986.

URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)

175:１３２人目の素数さん
07/08/29 10:35:55
長谷川浩司の線型代数なら高校の復習からジョルダン標準形まであつかってる。
>>169によればだめらしいけど、どの辺が悪いんでしょうか？

176:１３２人目の素数さん
07/08/29 11:05:54
>>175
アマゾンを見て来ました。良さげですけど。
この著者は教授かなんかなんですか？東北の

177:１３２人目の素数さん
07/08/29 11:21:01
検索したら、こんなところに出ていますたｗ

URLﾘﾝｸ(ac-net.org)

178:１３２人目の素数さん
07/09/18 15:04:35
このスレはわからない問題を質問してもいいんでしょうか？

179:１３２人目の素数さん
07/09/18 15:22:37
とりあえずしてみたらいいんじゃない？

180:１３２人目の素数さん
07/09/18 15:58:55
線形代数ってどのあたりまでわかれば上出来か？大学の基礎教養として

181:１３２人目の素数さん
07/09/18 16:02:28
>>180
射影幾何学の概論さわるあたりくらいかなあ…

182:１３２人目の素数さん
07/09/18 17:17:19
松坂線型p204の最後の行のＡはＡ'とするべきですよね？

183:１３２人目の素数さん
07/09/20 09:56:45
そうだよ

184:１３２人目の素数さん
07/09/20 13:03:29
ありがとう

185:１３２人目の素数さん
07/09/20 13:18:05
長谷川も悪くはないと思うが
他と比べるとあれもこれもという感じで川久保のほうが
的を絞って（吐き出し、標準かなど）詳しくかいてあるように見える。
でも結局川久保の証明がきっちり読めれば佐竹（前半）ももめると思うのは
後からみたからか

186:１３２人目の素数さん
07/09/30 21:39:48
今、川久保線形で独学勉強してるんだが挫折しそう。
行列式から急に記述がムズくなってる気がする。
他書で行列式を勉強後に読んでても分かりにくい。
松坂の本は川久保より分かりやすいですか？
近所の本屋に松坂がないんで内容を確認できない…('A`)

187:１３２人目の素数さん
07/10/01 21:18:37
>>186
ばかを言っちゃいけない。川久保が読めない御仁が松阪を読めるわけない。
迷わず斉藤にしなさい。

188:１３２人目の素数さん
07/10/13 17:28:56
偶数次の交代行列の行列式は平方式になるそうですが、
証明はそうやってやるのでしょうか？
4次とか具体例でも結構ですから教えて下さい。

189:１３２人目の素数さん
07/10/13 17:58:56
4 次でいいなら自分で計算してみればいいじゃんﾆﾔﾆﾔ

190:１３２人目の素数さん
07/10/13 18:29:17
>>188
もっと簡単なのもあるかもしれんが，適当に思いついたやつ：

帰納法で示す．交代行列 A を次のようにブロックで分ける：
　|　 X　|　 B　|
　| --- + --- |
　|-B^T|　 C　|
ただし
　X = | 0 x|，C = (n-2)×(n-2) の交代行列
　　　 |-x 0|

X は正則なので、基本変形によって
　det(A) = det(X) det(C + B^T X^{-1} B)
とできる．ここで C + B^T X^{-1} B は交代行列なので
帰納法の仮定より平方式（x が負の整数べきで現れる）．
これに det(X) = x^2 をかけても平方式．

あとは，この平方式が x について整式であることを
証明する必要があるが，それは普通に det を計算すると
整式になることから従う．

191:１３２人目の素数さん
07/10/13 19:08:25
>>188
パッフィアン

192:188
07/10/13 23:59:02
>>190
どうも丁寧な回答有り難うございました。
頑張ってみます。

193:１３２人目の素数さん
07/10/14 03:18:28
>>186
線型空間は最初はわかりにくいからあせらずに。ここがわかれば後は結構楽に進む。
ただし最後のジョルダン標準形は少し難しい。

194:１３２人目の素数さん
07/10/14 09:23:46
ジョルダン標準形は、難しいというより、何をやっているのか良くわからない、という感じてはないかな。
教科書の内容を追うのに特に難しいことはないのだが、線型代数の範囲では意味づけがわかりにくい。
加群の理論を習えば霧が一気に解消するのだが、それなしに学ばなくてはならないので、ちょっと厳しい。

195:１３２人目の素数さん
07/10/14 09:31:02
加群の云々は単因子論？
半単純環の表現論？
リー環のジョルダン分解？

一般固有空間分解の基底に関する表示として
ジョルダン標準形を導くような具体的な操作は、
意味づけを知ればもやが晴れるというような
タイプの内容ではないとおもうけど。

196:１３２人目の素数さん
07/10/15 22:38:34
〔問題〕
n>2, x[n] を実数としたとき
　cos(π/n)･∑[k=1,n] (x[k])^2 ≧ ∑[k=1,n-1] x[k]･x[k+1] - x[n]･x[1],
が成り立つことを示せ.

ｽﾚﾘﾝｸ(math板:656番)
東大入試作問者スレ１１

197:１３２人目の素数さん
07/10/15 22:51:15
>196

n=1,2 の場合は明らかなので省く。
　　λ･∑[k=1,n] (x[k])^2 ) - (右辺) = ｘ・Ａ･ｘ
とおく。λは定数である。
Ａ[i,j] = λ　　( i=j )
　　　　-1/2　 ( |i-j| =1)
　　　　1/2　　(i,j)=(1,n) or (n,1)
　　　　0　　　( otherwise)
計算が少し長くなるが、
　det(Ａ) = (1/2)^(n-1)･{1 + Ｔ_n(λ)},
ここにＴ_n はn次の第1種チェビシェフ多項式。
Ａの固有値は λ - cos((2k-1)π/n),　　(k=1,2,…,n)
最小の固有値 λ - cos(π/n) が0になるようにλをとると、…以下(ry

198:197
07/10/16 01:29:06
>196

T_n(cosθ) = cos(nθ),
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)

199:１３２人目の素数さん
07/10/16 01:33:10
>>196
大学への数学の宿題だな

200:197
07/10/17 01:24:47
>197 の続き

最小の固有値 λ - cos(π/n) が0になるようにλをとると、
Ａのすべての固有値が非負、すなわち、Ａは半正値。
∴ (左辺) - (右辺) = tｘ･Ａ･ｘ ≧ 0.

(例)
n=3 のとき
　固有値 λ - 1/2 = 0 (二重),　λ+1 = 3/2,
　tｘ･Ａ･ｘ = (3/2)y[1]^2,　　y[1] = (x[1] - x[2] + x[3])/√3,

n=4 のとき
　固有値 λ-(1/√2) =0 (二重), λ+(1/√2) = √2 (二重),
　tｘ･Ａ･ｘ = (√2)y[1]^2 + (√2)y[2]^2,
　ここに, y[1] = {(x[1]+x[4])/√2}cos(π/8) - {( x[2]+x[3])/√2}sin(π/8),
　　　　　y[2] = {(x[1]-x[4])/√2}sin(π/8) + {(-x[2]+x[3])/√2}cos(π/8),

201:１３２人目の素数さん
07/10/17 01:30:09
数学板でも首席クラスだな

202:１３２人目の素数さん
07/10/17 11:15:30
へー
行列って便利だな
線形代数ちゃんと勉強し直そう・・・

203:１３２人目の素数さん
07/10/17 14:22:03
すまん。explicit matrixの英訳は陽行列でおｋ？

204:１３２人目の素数さん
07/10/17 14:32:18
聞いたことねーな、どんな行列？

205:１３２人目の素数さん
07/10/17 15:27:22
>>204
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
これのAnd in explicit matrix form:というところを見ていただければ。
それで、explicitの訳を探していたら日本語のWikipediaのゼータ関数の所に
Π(x) を陽の形（explicit）に表示する公式を～　とあったので、
日本語だと陽行列かな？　と思ったんだけどきちんとした日本語訳ってあるのかな？

206:１３２人目の素数さん
07/10/17 15:35:03
>>205
「陽行列」という何者かがあるという意味ではなく、
行列の形に陽に書くと、といういみ。
行列の形で書けば、とでも訳すのが適当だろう。

207:１３２人目の素数さん
07/10/17 15:39:31
ここでのexplicitは「成分がハッキリ見えるように」くらいの意味あい。

208:１３２人目の素数さん
07/10/17 15:46:03
所詮ウィキペディアなんてこの程度の(ry

209:１３２人目の素数さん
07/10/17 16:46:07
だな

210:１３２人目の素数さん
07/10/17 16:48:47
まともな項目は滅多にないし、翻訳らしきページには誤訳が満載、
おまえそれ日本語としてぜんぜん意味通ってないじゃんっての多過ぎｗ

211:１３２人目の素数さん
07/10/17 17:05:36
ウィキペディアの質はともかくとして、「陽の形に」っていう表現はありなのでは？

212:１３２人目の素数さん
07/10/17 17:07:01
>>211
だれかそこの表現を問題にしている奴がいるみたいな口ぶりだな

213:203
07/10/17 22:47:54
>>206
サンクス。やっと意味が分かった。

214:１３２人目の素数さん
07/10/17 22:53:23
二次のテンソルを行列じゃないけど見やすいから行列の形に書く
ってのはよくやることのはずで、ソレを知らんやつが訳してるってのは
やっぱウィキペディアってその程度の(ry

215:１３２人目の素数さん
07/10/17 22:59:43
初めて利用します。
線形代数で課題が出たのですが分からないので、お力添え下さい！

「R^nの部分空間Wはすべてある同時連立一次方程式AX=0の部分空間としてあらわすことができる」を示せ。

216:１３２人目の素数さん
07/10/17 23:03:16
同時ってなにかとおもったら、ホモジーニアスのことか。
問題文くらい正確に書いて欲しいものだ。

217:１３２人目の素数さん
07/10/17 23:13:18
すみません！同次連立一次方程式です！

218:１３２人目の素数さん
07/10/17 23:20:50
AX=0の部分空間とは何か

219:１３２人目の素数さん
07/10/17 23:28:45
すみません！
「R^nの部分空間Wはすべてある同次連立一次方程式AX=0の解空間としてあらわすことができる」を示せ。
でした＞＜

220:１３２人目の素数さん
07/10/17 23:32:26
>>219
どうやら一般の質問掲示板にもマルチしてるようだが
社員の掲示板はスレ立てすぎるとアク禁されるぞ。

221:１３２人目の素数さん
07/10/18 10:11:17
>>212
>>208->>210でwikipediaの日本語がけなされていて、そこより前で日本語wikipediaが引用されているのは>>205の
> Π(x) を陽の形（explicit）に表示する公式を～　とあったので、
だから「陽の形」という表現がおかしいとされてるのかなと思ったんだけど、そういう話の流れじゃなかったの？

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